مکعب ها در فضا به طور کلی مکعب های تسراکت و n بعدی. هایپر مکعب در هنر

اگر از طرفداران فیلم های انتقام جویان هستید، اولین چیزی که با شنیدن کلمه Tesseract به ذهن شما خطور می کند ظرف مکعبی شکل شفاف سنگ بی نهایت است که دارای قدرت بی حد و حصر است.

برای طرفداران دنیای مارول، Tesseract یک مکعب آبی درخشان است که مردم نه تنها زمین، بلکه سیارات دیگر نیز از آن دیوانه می شوند. به همین دلیل است که تمام انتقام‌جویان با هم متحد شده‌اند تا از Grounders در برابر نیروهای بسیار مخرب Tesseract محافظت کنند.

با این حال، آنچه باید گفته شود این است: تسراکت یک مفهوم هندسی واقعی است، به طور خاص، شکلی که در 4 بعدی وجود دارد. این فقط یک مکعب آبی از انتقام جویان نیست، بلکه یک مفهوم واقعی است.

Tesseract یک جسم در 4 بعد است. اما قبل از توضیح مفصل، اجازه دهید از ابتدا شروع کنیم.

"اندازه گیری" چیست؟

همه اصطلاحات 2D و 3D را شنیده اند که به ترتیب نشان دهنده اشیاء دو بعدی یا سه بعدی از فضا هستند. اما اینها چیست؟

بعد فقط جهتی است که می توانید بروید. برای مثال، اگر روی یک تکه کاغذ خطی می‌کشید، می‌توانید به چپ/راست (محور x) یا بالا/پایین (محور y) بروید. بنابراین می گوییم کاغذ دو بعدی است زیرا شما فقط می توانید در دو جهت راه بروید.

حس عمق در سه بعدی وجود دارد.

حال در دنیای واقعی، علاوه بر دو جهتی که در بالا ذکر شد (چپ/راست و بالا/پایین)، می توانید به داخل/خارج نیز بروید. در نتیجه، حس عمق در فضای سه بعدی اضافه می شود. بنابراین ما این را می گوییم زندگی واقعی 3 بعدی.

یک نقطه می تواند 0 بعد را نشان دهد (چون در هیچ جهتی حرکت نمی کند)، یک خط نشان دهنده 1 بعد (طول)، یک مربع نشان دهنده 2 بعد (طول و عرض) و یک مکعب نشان دهنده 3 بعد (طول، عرض و ارتفاع) است. ).

یک مکعب سه بعدی بردارید و هر صورت (که در حال حاضر مربع است) را با یک مکعب جایگزین کنید. و همینطور! شکلی که به دست می آورید تسراکت است.

تسراکت چیست؟

به زبان ساده، تسراکت یک مکعب در فضای 4 بعدی است. شما همچنین می توانید بگویید که این معادل 4 بعدی یک مکعب است. این یک شکل 4 بعدی است که در آن هر صورت یک مکعب است.

یک طرح سه بعدی از یک تسراکت که چرخش مضاعف را حول دو صفحه متعامد انجام می دهد.
تصویر: جیسون هیس

در اینجا یک راه ساده برای مفهوم سازی ابعاد وجود دارد: مربع دو بعدی است. بنابراین هر گوشه آن دارای 2 خط است که از آن 90 درجه به یکدیگر امتداد دارند. مکعب سه بعدی است، بنابراین هر گوشه آن دارای 3 خط است. به همین ترتیب، تسراکت یک شکل 4 بعدی است، بنابراین هر گوشه دارای 4 خط است که از آن امتداد دارند.

چرا تصور تسراکت دشوار است؟

از آنجایی که ما به عنوان انسان تکامل یافته ایم تا اجسام را به صورت سه بعدی ارائه کنیم، هر چیزی که به ابعاد اضافی مانند 4 بعدی، 5 بعدی، 6 بعدی و غیره تبدیل شود چندان برای ما منطقی نیست زیرا اصلا نمی توانیم آنها را تجسم کنیم. معرفی کنید. مغز ما نمی تواند بعد 4 را در فضا درک کند. ما فقط نمی توانیم در مورد آن فکر کنیم.

به محض اینکه توانستم بعد از عمل سخنرانی کنم، اولین سوالی که دانشجویان پرسیدند این بود:

کی برای ما مکعب 4 بعدی می کشی؟ ایلیا عبدالخائویچ به ما قول داد!

به یاد دارم که دوستان عزیزم گاهی یک دقیقه برنامه آموزشی ریاضی را دوست دارند. بنابراین، من بخشی از سخنرانی خود را برای ریاضیدانان در اینجا خواهم نوشت. و سعی میکنم خجالت نکشم البته در برخی موارد سخنرانی را با دقت بیشتری خواندم.

بیایید اول توافق کنیم. فضای 4 بعدی و حتی بیشتر از آن 5-6-7- و به طور کلی فضای k-بعدی در حواس حسی به ما داده نمی شود.
معلم مدرسه یکشنبه من که برای اولین بار به من گفت مکعب 4 بعدی چیست، گفت: "ما فقیر هستیم زیرا فقط سه بعدی هستیم." مدرسه یکشنبه، البته، بسیار مذهبی بود - ریاضی. در آن زمان ما مشغول مطالعه هایپر مکعب بودیم. یک هفته قبل از این، استقراء ریاضی، یک هفته پس از آن، چرخه هامیلتونی در نمودارها - به ترتیب، این کلاس هفتم است.

ما نمی توانیم یک مکعب 4 بعدی را لمس کنیم، بو کنیم، بشنویم یا ببینیم. با آن چه کنیم؟ ما می توانیم آن را تصور کنیم! زیرا مغز ما بسیار پیچیده تر از چشم و دست ماست.

بنابراین، برای اینکه بفهمیم یک مکعب 4 بعدی چیست، بیایید ابتدا بفهمیم که چه چیزی در دسترس ماست. مکعب سه بعدی چیست؟

باشه باشه! من از شما یک تعریف ریاضی واضح نمی خواهم. فقط ساده ترین و رایج ترین مکعب سه بعدی را تصور کنید. نمایندگی؟

خوب
برای اینکه بفهمیم چگونه یک مکعب 3 بعدی را به یک فضای 4 بعدی تعمیم دهیم، بیایید بفهمیم که یک مکعب 2 بعدی چیست. خیلی ساده است - یک مربع است!

یک مربع 2 مختصات دارد. مکعب سه دارد. نقاط یک مربع، نقاطی با دو مختصات هستند. اولی از 0 تا 1 است. و دومی از 0 تا 1. نقاط مکعب سه مختصات دارند. و هر کدام هر عددی بین 0 و 1 است.

منطقی است تصور کنیم که یک مکعب 4 بعدی چنین چیزی است که دارای 4 مختصات و همه چیز از 0 تا 1 است.

/* همچنین منطقی است که یک مکعب 1 بعدی را تصور کنید که چیزی بیش از یک قطعه ساده از 0 تا 1 نیست. */

بنابراین، صبر کنید، چگونه یک مکعب 4 بعدی رسم می کنید؟ از این گذشته، ما نمی توانیم یک فضای 4 بعدی را در یک هواپیما ترسیم کنیم!
اما از این گذشته ، ما همچنین فضای 3 بعدی را روی یک هواپیما ترسیم نمی کنیم ، آن را ترسیم می کنیم طرح ریزیدر صفحه طراحی دو بعدی مختصات سوم (z) را در یک زاویه قرار می دهیم و تصور می کنیم که محور از صفحه ترسیم "به سمت ما" می رود.

حالا نحوه رسم یک مکعب 4 بعدی کاملاً واضح است. همانطور که محور سوم را در یک زاویه قرار دادیم، محور چهارم را نیز در یک زاویه قرار می دهیم.
و - voila! -- طرح ریزی یک مکعب 4 بعدی بر روی یک هواپیما.

چی؟ اصلاً چیست؟ من همیشه از پشت میزها زمزمه می شنوم. اجازه دهید با جزئیات بیشتر توضیح دهم که این توده خطوط چیست.
ابتدا به مکعب سه بعدی نگاه کنید. ما چه کرده ایم؟ یک مربع گرفتیم و آن را در امتداد محور سوم (z) کشیدیم. مانند بسیاری از مربع های کاغذی است که در یک توده به هم چسبانده شده اند.
در مکعب 4 بعدی هم همینطور است. برای راحتی و اهداف علمی تخیلی، محور چهارم را «محور زمان» بنامیم. ما باید یک مکعب سه بعدی معمولی برداریم و آن را در زمان از زمان "اکنون" به زمان "در یک ساعت" بکشیم.

ما یک مکعب "اکنون" داریم. در تصویر صورتی است.

و اکنون آن را در امتداد محور چهارم - در امتداد محور زمان (من آن را به رنگ سبز نشان دادم) می کشیم. و ما مکعب آینده را دریافت می کنیم - آبی.

هر رأس "اکنون مکعب" ردی در زمان بر جای می گذارد - یک بخش. ارتباط حال او با آینده اش.

به طور خلاصه، بدون متن: ما دو مکعب سه بعدی یکسان کشیدیم و رئوس مربوطه را به هم وصل کردیم.
درست مانند کاری که با یک مکعب سه بعدی انجام دادیم (2 مکعب دو بعدی یکسان بکشید و رئوس را به هم وصل کنید).

برای کشیدن یک مکعب 5 بعدی، باید دو کپی از مکعب 4 بعدی (یک مکعب 4 بعدی با مختصات پنجم 0 و یک مکعب 4 بعدی با مختصات پنجم 1) بکشید و رئوس مربوطه را با لبه ها به هم وصل کنید. درست است، چنین لبه‌هایی در هواپیما بیرون می‌آیند که درک چیزی تقریبا غیرممکن خواهد بود.

زمانی که یک مکعب 4 بعدی را تصور کردیم و حتی توانستیم آن را ترسیم کنیم، می توانیم به هر شکلی آن را کشف کنیم. فراموش نکنید که آن را هم در ذهن و هم در تصویر بررسی کنید.
مثلا. یک مکعب 2 بعدی از 4 طرف توسط مکعب های 1 بعدی محدود می شود. این منطقی است: برای هر یک از 2 مختصات، هم شروع و هم یک پایان دارد.
یک مکعب 3 بعدی از 6 طرف توسط مکعب های 2 بعدی محدود شده است. برای هر یک از سه مختصات، یک شروع و یک پایان دارد.
بنابراین یک مکعب 4 بعدی باید به هشت مکعب 3 بعدی محدود شود. برای هر یک از 4 مختصات - از دو طرف. در شکل بالا به وضوح 2 وجه را می بینیم که آن را در امتداد مختصات "زمان" محدود می کنند.

در اینجا دو مکعب وجود دارد (آنها کمی مایل هستند زیرا دارای 2 بعد هستند که به صورت زاویه ای بر روی صفحه نمایش داده می شوند)، که ابرمکعب ما را به چپ و راست محدود می کند.

به راحتی می توان به "بالا" و "پایین" نیز توجه کرد.

دشوارترین چیز این است که بصری درک کنید که "جلو" و "عقب" کجا هستند. قسمت جلویی از جلوی "مکعب اکنون" شروع می شود و به سمت جلوی "مکعب آینده" - قرمز است. عقب، به ترتیب، بنفش.

تشخیص آنها سخت‌ترین است، زیرا مکعب‌های دیگر در زیر پا گیج می‌شوند و همین امر مکعب فوق‌العاده را به یک مختصات پیش‌بینی‌شده متفاوت محدود می‌کند. اما توجه داشته باشید که مکعب ها هنوز متفاوت هستند! در اینجا دوباره تصویری وجود دارد که "مکعب اکنون" و "مکعب آینده" برجسته شده اند.

البته این امکان وجود دارد که یک مکعب 4 بعدی را در فضایی 3 بعدی قرار دهید.
اولین مدل فضایی ممکن واضح است که به نظر می رسد: شما باید 2 قاب مکعبی بگیرید و رئوس مربوطه آنها را با یک لبه جدید وصل کنید.
من الان این مدل رو ندارم در یک سخنرانی، من یک مدل سه بعدی کمی متفاوت از یک مکعب 4 بعدی را به دانش آموزان نشان می دهم.

شما می دانید که چگونه یک مکعب بر روی صفحه ای مانند این پرتاب می شود.
انگار از بالا به مکعب نگاه می کنیم.

پایان نزدیک، البته، بزرگ است. و سمت دور کوچکتر به نظر می رسد، ما آن را از طریق نزدیک می بینیم.

به این ترتیب می توانید یک مکعب 4 بعدی را پخش کنید. مکعب اکنون بزرگتر است، مکعب آینده که در دوردست می بینیم، بنابراین کوچکتر به نظر می رسد.

از سوی دیگر. از سمت بالا.

دقیقاً از کنار لبه:

از سمت دنده:

و آخرین زاویه، نامتقارن. از قسمت "هنوز میگی بین دنده هاش نگاه کردم."

خوب، پس شما می توانید به هر چیزی فکر کنید. به عنوان مثال، همانطور که یک مکعب 3 بعدی روی یک هواپیما باز می شود (مثل بریدن یک ورق کاغذ برای به دست آوردن یک مکعب در هنگام تا شدن است)، یک مکعب 4 بعدی نیز در فضا باز می شود. مثل بریدن یک تکه چوب به طوری که با تا کردن آن در فضای 4 بعدی یک تسراکت بدست آوریم.

شما می توانید نه فقط یک مکعب 4 بعدی، بلکه به طور کلی مکعب های n بعدی را مطالعه کنید. به عنوان مثال، آیا درست است که شعاع کره ای که به دور یک مکعب n-بعدی احاطه شده است از طول یک لبه این مکعب کمتر است؟ یا در اینجا یک سوال ساده تر وجود دارد: یک مکعب n بعدی چند رأس دارد؟ و چند لبه (وجه 1 بعدی)؟

در هندسه هایپر مکعب- این هست n-قیاس بعدی مربع ( n= 2) و مکعب ( n= 3). این یک شکل محدب بسته است، متشکل از گروه هایی از خطوط موازی که در لبه های مخالف شکل قرار گرفته اند و در زوایای قائم به یکدیگر متصل می شوند.

این رقم نیز به نام تسراکت(تسراکت). تسراکت به مکعب است همانطور که مکعب به مربع است. به طور رسمی تر، یک تسراکت را می توان به عنوان یک پلی توپ (پلی توپ) چهار بعدی محدب منظم توصیف کرد که مرز آن از هشت سلول مکعبی تشکیل شده است.

بر اساس فرهنگ لغت انگلیسی آکسفورد، کلمه "tesseract" در سال 1888 توسط چارلز هوارد هینتون ابداع شد و در کتاب خود به نام A New Era of Thought استفاده شد. این کلمه از یونانی "τεσσερες ακτινες" ("چهار پرتو") تشکیل شده است که به شکل چهار محور مختصات است. به علاوه در برخی منابع نیز همین رقم نامیده شده است چهار مکعب(تترا مکعب).

nهایپرمکعب بعدی نیز نامیده می شود n-مکعب.

یک نقطه یک ابرمکعب با ابعاد 0 است. اگر یک نقطه را با یک واحد طول جابه‌جا کنید، یک پاره واحد طول به دست می‌آورید - یک ابرمکعب با بعد 1. به علاوه، اگر یک پاره را با واحد طول در جهتی عمود بر هم جابجا کنید. در جهت قطعه، یک مکعب دریافت می کنید - یک ابرمکعب به ابعاد 2. با جابجایی مربع با یک واحد طول در جهت عمود بر صفحه مربع، یک مکعب به دست می آید - یک ابرمکعب به ابعاد 3. این فرآیند را می توان به هر تعداد ابعاد تعمیم داد. به عنوان مثال، اگر یک مکعب را با یک واحد طول در بعد چهارم جابه‌جا کنید، یک تسراکت دریافت می‌کنید.

خانواده هایپرمکعب یکی از معدود چندوجهی های منظمی است که می توان آن را در هر بعد نشان داد.

عناصر Hypercube

هایپرمکعب ابعاد n 2 دارد n"اضلاع" (خط یک بعدی دارای 2 نقطه است؛ مربع دو بعدی - 4 طرف؛ مکعب سه بعدی - 6 وجه؛ تسراکت چهار بعدی - 8 سلول). تعداد رئوس (نقطه) هایپرمکعب 2 است n(به عنوان مثال، برای یک مکعب - 2 3 رأس).

تعداد مترهایپر مکعب های بعدی در مرز n-مکعب برابر است

به عنوان مثال، در مرز یک ابر مکعب 8 مکعب، 24 مربع، 32 لبه و 16 راس وجود دارد.

عناصر هایپرمکعب

n-مکعب	نام	راس (0-صورت)	حاشیه، غیرمتمرکز (1-صورت)	حاشیه، غیرمتمرکز (2-صورت)	سلول (3 چهره)	(4 چهره)	(5 چهره)	(6 چهره)	(7 چهره)	(8 چهره)
0-مکعب	نقطه	1
1-مکعب	بخش خط	2	1
2-مکعب	مربع	4	4	1
3-مکعب	مکعب	8	12	6	1
4-مکعب	تسراکت	16	32	24	8	1
5-مکعب	پنتراکت کنید	32	80	80	40	10	1
6-مکعب	Hexeract	64	192	240	160	60	12	1
7-مکعب	هپتراکت	128	448	672	560	280	84	14	1
8-مکعب	Octeract	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-مکعب	انرژی بخشید	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

طرح ریزی صفحه

شکل گیری یک ابر مکعب را می توان به شکل زیر نشان داد:

• دو نقطه A و B را می توان به هم متصل کرد تا پاره خط AB را تشکیل دهد.
• دو بخش موازی AB و CD را می توان به هم متصل کرد تا یک ABCD مربع تشکیل دهد.
• دو مربع موازی ABCD و EFGH را می توان به هم متصل کرد تا مکعب ABCDEFGH را تشکیل دهد.
• دو مکعب موازی ABCDEFGH و IJKLMNOP را می توان به هم متصل کرد تا یک ابر مکعب ABCDEFGHIJKLMNOP تشکیل دهد.

تصور ساختار دوم آسان نیست، اما می توان طرح ریزی آن را در دو یا سه بعدی به تصویر کشید. علاوه بر این، پیش‌بینی‌ها بر روی یک صفحه دوبعدی می‌توانند با مرتب کردن مجدد موقعیت‌های رئوس پیش‌بینی‌شده مفیدتر باشند. در این حالت، می توان تصاویری به دست آورد که دیگر روابط فضایی عناصر درون تسراکت را منعکس نمی کنند، اما ساختار اتصالات راس را مانند مثال های زیر نشان می دهند.

تصویر اول نشان می دهد که چگونه یک تسراکت در اصل با به هم پیوستن دو مکعب تشکیل می شود. این طرح شبیه به طرح ایجاد یک مکعب از دو مربع است. نمودار دوم نشان می دهد که تمام لبه های تسراکت دارای طول یکسانی هستند. این طرح همچنین مجبور است به دنبال مکعب های متصل به یکدیگر باشد. در نمودار سوم، رئوس تسراکت مطابق با فواصل در امتداد وجوه نسبت به نقطه پایین قرار دارند. این طرح جالب است زیرا به عنوان طرح اساسی برای توپولوژی شبکه اتصال پردازنده ها در سازماندهی محاسبات موازی استفاده می شود: فاصله بین هر دو گره از 4 طول لبه تجاوز نمی کند و راه های مختلفی برای متعادل کردن بار وجود دارد.

هایپر مکعب در هنر

این هایپرمکعب از سال 1940 در داستان های علمی تخیلی ظاهر شد، زمانی که رابرت هاینلین، در داستان "خانه ای که تیل ساخت" ("و او خانه ای کج ساخت")، خانه ای را که به شکل یک تسراکت ساخته شده بود، توصیف کرد. در داستان، این بعد، این خانه تا شده و به یک تسراکت چهار بعدی تبدیل می شود. پس از آن، هایپر مکعب در بسیاری از کتاب ها و رمان ها ظاهر می شود.

مکعب 2: Hypercube حدود هشت نفر است که در شبکه ای از ابر مکعب ها به دام افتاده اند.

تابلوی صلیب (Corpus Hypercubus)، سال 1954 توسط سالوادور دالی، عیسی را به تصویر می کشد که بر روی یک اسکن تسراکت به صلیب کشیده شده است. این نقاشی را می توان در موزه هنر (موزه هنر متروپولیتن) نیویورک مشاهده کرد.

نتیجه

هایپرمکعب یکی از ساده ترین اجسام چهار بعدی است که بر روی نمونه آن می توانید تمام پیچیدگی و غیرعادی بودن بعد چهارم را ببینید. و آنچه در سه بعد غیرممکن به نظر می رسد در چهار، برای مثال، شکل های غیرممکن امکان پذیر است. بنابراین، به عنوان مثال، میله های یک مثلث غیر ممکن در چهار بعد در زوایای قائم به هم متصل می شوند. و این شکل از همه نظر به این شکل خواهد بود و برخلاف اجرای مثلث غیرممکن در فضای سه بعدی تحریف نمی شود (شکل 2 را ببینید).

باکالیر ماریا

ما روش هایی را برای معرفی مفهوم مکعب چهار بعدی (تسراکت)، ساختار و برخی خواص آن مطالعه می کنیم. اشیاء سه بعدیبا تقاطع یک مکعب چهار بعدی با ابرصفحه های موازی با وجوه سه بعدی آن و همچنین ابرصفحه های عمود بر قطر اصلی آن به دست می آیند. دستگاه هندسه تحلیلی چند بعدی مورد استفاده برای تحقیق در نظر گرفته شده است.

دانلود:

پیش نمایش:

مقدمه………………………………………………………………………….2

قسمت اصلی…………………………………………………………………..4

نتیجه گیری………………………………………………………………………..12

مراجع…………………………………………………………………..13

مقدمه

فضای چهار بعدی مدتهاست که توجه ریاضیدانان حرفه ای و افرادی را که از انجام این علم دور هستند به خود جلب کرده است. علاقه به بعد چهارم ممکن است ناشی از این فرض باشد که دنیای سه بعدی ما در فضای چهار بعدی "غوطه ور" است، همانطور که یک صفحه در فضای سه بعدی "غوطه ور" است، یک خط مستقیم نیز در فضایی "غوطه ور" است. صفحه، و یک نقطه در یک خط مستقیم است. علاوه بر این، فضای چهار بعدی نقش مهمی در نظریه مدرننسبیت (به اصطلاح فضا-زمان یا فضای مینکوفسکی)، و همچنین می تواند به عنوان یک مورد خاص در نظر گرفته شود.فضای اقلیدسی بعدی (برای).

مکعب چهاربعدی (تسراکت) جسمی از فضای چهاربعدی است که حداکثر بعد ممکن را دارد (همانطور که یک مکعب معمولی شیء فضای سه بعدی است). توجه داشته باشید که مورد علاقه مستقیم نیز هست، یعنی می تواند در مسائل بهینه سازی ظاهر شود برنامه ریزی خطی(به عنوان منطقه ای که در آن حداقل یا حداکثر یک تابع خطی از چهار متغیر پیدا می شود)، و همچنین در میکروالکترونیک دیجیتال (هنگام برنامه ریزی نمایش یک ساعت الکترونیکی) استفاده می شود. علاوه بر این، خود فرآیند مطالعه یک مکعب چهار بعدی به توسعه تفکر فضایی و تخیل کمک می کند.

بنابراین، مطالعه ساختار و خواص ویژه یک مکعب چهار بعدی کاملاً مرتبط است. لازم به ذکر است که از نظر ساختار، مکعب چهار بعدی به خوبی بررسی شده است. ماهیت بخش‌های آن توسط ابرصفحه‌های مختلف جالب‌تر است. بنابراین، هدف اصلی این کار بررسی ساختار تسراکت و همچنین روشن کردن این سوال است که اگر یک مکعب چهار بعدی توسط ابرصفحه‌های موازی با یکی از سه‌بعدی آن بریده شود، چه اجسامی سه‌بعدی به دست می‌آیند. وجه های بعدی یا توسط ابرصفحه های عمود بر مورب اصلی آن. ابر صفحه در یک فضای چهار بعدی یک زیرفضای سه بعدی است. می توان گفت که یک خط مستقیم در یک هواپیما یک ابر صفحه یک بعدی است، یک صفحه در فضای سه بعدی یک ابر صفحه دو بعدی است.

مجموعه هدف، اهداف مطالعه را تعیین کرد:

1) حقایق اساسی هندسه تحلیلی چند بعدی را مطالعه کنید.

2) بررسی ویژگی های ساخت مکعب هایی با ابعاد 0 تا 3.

3) ساختار یک مکعب چهار بعدی را مطالعه کنید.

4) یک مکعب چهار بعدی را به صورت تحلیلی و هندسی توصیف کنید.

5) مدل هایی از جاروها و برجستگی های مرکزی مکعب های سه بعدی و چهار بعدی بسازید.

6) با استفاده از دستگاه هندسه تحلیلی چندبعدی، اجسام سه بعدی را که با عبور از یک مکعب چهار بعدی توسط ابرصفحه های موازی با یکی از وجوه سه بعدی آن، یا توسط ابرصفحه های عمود بر قطر اصلی آن به دست آمده اند، توصیف کنید.

اطلاعات به‌دست‌آمده از این طریق، درک بهتر ساختار تسراکت و همچنین آشکارسازی یک قیاس عمیق در ساختار و خواص مکعب‌ها با ابعاد مختلف را ممکن می‌سازد.

بخش اصلی

ابتدا دستگاه ریاضی را که در این مطالعه استفاده خواهیم کرد، توضیح می دهیم.

1) مختصات برداری: اگر، سپس

2) معادله ابر صفحه با بردار نرمالشبیه اینجاست

3) هواپیما و اگر و فقط اگر موازی هستند

4) فاصله بین دو نقطه به صورت زیر تعریف می شود: اگر، سپس

5) شرایط متعامد بودن بردارها:

اول از همه، بیایید دریابیم که چگونه می توان یک مکعب چهار بعدی را توصیف کرد. این را می توان به دو روش انجام داد - هندسی و تحلیلی.

اگر در مورد روش هندسی تنظیم صحبت می کنیم، توصیه می شود روند ساخت مکعب ها را از بعد صفر شروع کنید. مکعب صفر بعدی یک نقطه است (به هر حال توجه داشته باشید که یک نقطه می تواند نقش یک توپ صفر بعدی را نیز بازی کند). در ادامه بعد اول (محور آبسیسا) را معرفی می کنیم و روی محور مربوطه دو نقطه (دو مکعب صفر بعدی) که در فاصله 1 از یکدیگر قرار دارند را علامت گذاری می کنیم. نتیجه یک بخش است - یک مکعب یک بعدی. ما بلافاصله توجه می کنیم ویژگی برجسته: مرز (انتهای) یک مکعب یک بعدی (قطعه) دو مکعب صفر بعدی (دو نقطه) است. بعد، بعد دوم (محور y) و در صفحه را معرفی می کنیمبیایید دو مکعب یک بعدی (دو قطعه) بسازیم که انتهای آنها در فاصله 1 از یکدیگر قرار دارند (در واقع یکی از قسمت ها برآمدگی متعامد دیگری است). با اتصال انتهای مربوط به بخش ها، یک مربع - یک مکعب دو بعدی به دست می آوریم. مجدداً متذکر می شویم که مرز یک مکعب دو بعدی (مربع) چهار مکعب یک بعدی (چهار قطعه) است. در نهایت بعد سوم (محور کاربردی) را معرفی کرده و در فضا می سازیمدو مربع به گونه ای که یکی از آنها برآمدگی متعامد دیگری باشد (در این حالت رئوس مربع ها در فاصله 1 از یکدیگر قرار دارند). رئوس مربوطه را با بخش ها وصل کنید - یک مکعب سه بعدی می گیریم. می بینیم که مرز مکعب سه بعدی شش مکعب دو بعدی (شش مربع) است. ساختارهای توصیف شده این امکان را فراهم می کند تا نظم زیر را آشکار کند: در هر مرحلهمکعب ابعادی "حرکت می کند و دنباله ای به جا می گذارد".این اندازه گیری در فاصله 1 است، در حالی که جهت حرکت عمود بر مکعب است. ادامه رسمی این روند است که به ما امکان می دهد به مفهوم یک مکعب چهار بعدی برسیم. یعنی مکعب سه بعدی را مجبور می کنیم در جهت بعد چهارم (عمود بر مکعب) با فاصله 1 حرکت کند. با عمل مشابه قبلی یعنی اتصال رئوس متناظر مکعب ها، عمل می کنیم. یک مکعب چهار بعدی بگیرید. لازم به ذکر است که چنین ساخت و سازی در فضای ما از نظر هندسی غیرممکن است (به دلیل سه بعدی بودن) اما در اینجا از نظر منطقی با هیچ تناقضی مواجه نمی شویم. حال به توضیح تحلیلی مکعب چهار بعدی می رویم. رسماً نیز به کمک قیاس به دست می آید. بنابراین، وظیفه تحلیلی یک مکعب واحد صفر بعدی به شکل زیر است:

وظیفه تحلیلی یک مکعب واحد تک بعدی به شکل زیر است:

وظیفه تحلیلی یک مکعب واحد دو بعدی به شکل زیر است:

وظیفه تحلیلی یک مکعب واحد سه بعدی به شکل زیر است:

اکنون ارائه یک نمایش تحلیلی از یک مکعب چهار بعدی بسیار آسان است، یعنی:

همانطور که می بینید، هم در روش هندسی و هم در روش تحلیلی تعیین یک مکعب چهار بعدی از روش قیاس استفاده می شود.

حال با استفاده از دستگاه هندسه تحلیلی متوجه خواهیم شد که یک مکعب چهار بعدی چه ساختاری دارد. ابتدا بیایید دریابیم که شامل چه عناصری است. در اینجا دوباره، می توانید از قیاس (برای ارائه یک فرضیه) استفاده کنید. مرزهای یک مکعب یک بعدی نقاط (صفر مکعب)، یک مکعب دو بعدی - قطعات (مکعب های یک بعدی)، یک مکعب سه بعدی - مربع (چهره های دو بعدی) است. می توان فرض کرد که مرزهای تسراکت مکعب های سه بعدی هستند. برای اثبات این موضوع، اجازه دهید منظور از رئوس، لبه ها و وجه ها را روشن کنیم. رئوس یک مکعب نقاط گوشه آن هستند. یعنی مختصات رئوس می تواند صفر یا یک باشد. بنابراین، رابطه ای بین ابعاد یک مکعب و تعداد رئوس آن پیدا می شود. ما قانون محصول ترکیبی را اعمال می کنیم - از راسمکعب دقیقا داردمختصاتی که هر کدام برابر با صفر یا یک است (بدون توجه به بقیه)، پس وجود داردقله ها بنابراین، در هر راس، همه مختصات ثابت هستند و می توانند برابر باشندیا . اگر همه مختصات را ثابت کنیم (هر کدام را برابر قرار دهیمیا ، مستقل از بقیه)، به جز یکی، سپس خطوط مستقیم حاوی لبه های مکعب را دریافت می کنیم. مشابه مورد قبلی، می توانیم حساب کنیم که دقیقاً وجود داردچیزها و اگر اکنون همه مختصات را ثابت کنیم (هر کدام را برابر قرار دهیمیا مستقل از بقیه)، به جز دو مورد، صفحاتی را به دست می آوریم که دارای وجه های دو بعدی مکعب هستند. با استفاده از قانون ترکیبیات، متوجه می شویم که دقیقاً وجود داردچیزها علاوه بر این، به طور مشابه - ثابت کردن همه مختصات (تنظیم هر یک از آنها برابر استیا ، بدون توجه به بقیه)، به جز سه مورد، ابرصفحه هایی حاوی وجه های سه بعدی مکعب را دریافت می کنیم. با استفاده از همان قانون، تعداد آنها را محاسبه می کنیم - دقیقاو غیره. این برای مطالعه ما کافی است. اجازه دهید نتایج به دست آمده را در ساختار یک مکعب چهار بعدی، یعنی در تمام فرمول های مشتق شده که تنظیم کرده ایم، اعمال کنیم.. بنابراین یک مکعب چهار بعدی دارای 16 رأس، 32 یال، 24 وجه دو بعدی و 8 وجه سه بعدی است. برای وضوح، تمام عناصر آن را به صورت تحلیلی تعریف می کنیم.

رئوس یک مکعب چهار بعدی:

لبه های یک مکعب چهار بعدی ():

وجه های دو بعدی یک مکعب چهار بعدی (محدودیت های مشابه):

وجوه سه بعدی یک مکعب چهار بعدی (محدودیت های مشابه):

حال که ساختار مکعب چهاربعدی و روش‌های تعریف آن با کمال کامل شرح داده شد، بیایید به هدف اصلی یعنی روشن شدن ماهیت بخش‌های مختلف مکعب برویم. بیایید با حالت ابتدایی شروع کنیم که بخش های یک مکعب با یکی از وجوه سه بعدی آن موازی هستند. به عنوان مثال، بخش های آن را با ابرصفحه های موازی با صورت در نظر بگیریداز هندسه تحلیلی مشخص است که هر بخش از این معادله داده خواهد شداجازه دهید بخش های مربوطه را به صورت تحلیلی تنظیم کنیم:

همانطور که می بینید، ما یک کار تحلیلی برای یک مکعب واحد سه بعدی که در یک ابر صفحه قرار دارد به دست آورده ایم.

برای ایجاد قیاس، برشی از یک مکعب سه بعدی را توسط یک صفحه می نویسیمما گرفتیم:

این یک مربع است که در یک هواپیما قرار دارد. تشبیه آشکار است.

برش های یک مکعب چهار بعدی توسط ابرصفحه هادقیقا همین نتایج را بدهد اینها همچنین مکعب های سه بعدی تکی خواهند بود که در ابرصفحه ها قرار دارندبه ترتیب.

حال بیایید بخش هایی از یک مکعب چهار بعدی را با ابرصفحه های عمود بر قطر اصلی آن در نظر بگیریم. بیایید ابتدا این مشکل را برای یک مکعب سه بعدی حل کنیم. با استفاده از روش توصیف شده در بالا برای تعیین یک مکعب سه بعدی واحد، نتیجه می گیرد که برای مثال، یک قطعه با انتهای آن را می توان به عنوان قطر اصلی در نظر گرفت.و . یعنی بردار مورب اصلی مختصاتی خواهد داشت. بنابراین، معادله هر صفحه عمود بر قطر اصلی به صورت زیر خواهد بود:

اجازه دهید محدودیت های تغییر پارامتر را تعریف کنیم. زیرا ، سپس با اضافه کردن این نابرابری ها به صورت ترم، به دست می آوریم:

یا .

اگر پس از آن (به دلیل محدودیت ها). به طور مشابه، اگر، سپس . بنابراین، در و در صفحه برش و مکعب دقیقاً یک نقطه مشترک دارند (و به ترتیب). حالا بیایید به موارد زیر توجه کنیم. اگر یک(باز هم به دلیل محدودیت متغیرها). صفحات مربوطه سه وجه را همزمان قطع می کنند، زیرا در غیر این صورت، صفحه برش موازی با یکی از آنها خواهد بود، که در شرایط چنین نیست. اگر یک، سپس صفحه تمام وجوه مکعب را قطع می کند. اگر، سپس هواپیما چهره ها را قطع می کند. اجازه دهید محاسبات مربوطه را ارائه دهیم.

اجازه دهید سپس هواپیمااز خط عبور می کندعلاوه بر این، در یک خط مستقیم. مرز، علاوه بر این. حاشیه، غیرمتمرکز صفحه در یک خط مستقیم قطع می شود، علاوه بر این

اجازه دهید سپس هواپیمااز لبه عبور می کند:

علاوه بر این، لبه در یک خط مستقیم.

علاوه بر این، لبه در یک خط مستقیم.

علاوه بر این، لبه در یک خط مستقیم.

علاوه بر این، لبه در یک خط مستقیم.

علاوه بر این، لبه در یک خط مستقیم.

علاوه بر این، لبه در یک خط مستقیم.

این بار، شش بخش به دست می آید که دارای انتهای مشترک متوالی هستند:

اجازه دهید سپس هواپیمااز خط عبور می کندعلاوه بر این، در یک خط مستقیم. حاشیه، غیرمتمرکز صفحه در یک خط مستقیم قطع می شود، و . حاشیه، غیرمتمرکز صفحه در یک خط مستقیم قطع می شود، علاوه بر این . یعنی سه بخش به دست می آید که دارای دو انتهای مشترک هستند:بنابراین، برای مقادیر مشخص شده پارامترصفحه مکعب را در یک مثلث منظم با رئوس قطع می کند

بنابراین، در اینجا شرح کاملی از شکل های صفحه به دست آمده از عبور از مکعب با صفحه عمود بر مورب اصلی آن است. ایده اصلی این بود. باید فهمید که صفحه کدام وجه را قطع می کند، در چه مجموعه هایی آنها را قطع می کند، چگونه این مجموعه ها به هم متصل می شوند. به عنوان مثال، اگر معلوم شد که صفحه دقیقاً سه وجه را در امتداد قطعاتی که دارای دو انتهای مشترک هستند قطع می کند، آن مقطع یک مثلث متساوی الاضلاع بود (که با شمارش مستقیم طول قطعات ثابت می شود) که رئوس آن این انتهای هستند. از بخش ها

با استفاده از همین دستگاه و همان ایده بررسی مقاطع، می توان حقایق زیر را دقیقاً به همین ترتیب استنباط کرد:

1) بردار یکی از قطرهای اصلی مکعب واحد چهار بعدی دارای مختصاتی است.

2) هر ابر صفحه عمود بر قطر اصلی یک مکعب چهار بعدی را می توان به صورت زیر نوشت:.

3) در معادله ابر صفحه سکانت، پارامترمی تواند از 0 تا 4 متغیر باشد.

4) در و ابر صفحه متقاطع و مکعب چهار بعدی یک نقطه مشترک دارند (و به ترتیب)؛

5) چه زمانی در بخش، یک چهار وجهی منظم به دست می آید.

6) چه زمانی در بخش، یک هشت وجهی به دست می آید.

7) چه زمانی یک چهار وجهی منظم در بخش به دست می آید.

بر این اساس، در اینجا ابرصفحه تسراکت را در امتداد صفحه قطع می کند، که به دلیل محدودیت های متغیرها، یک منطقه مثلثی به آن اختصاص داده شده است (قیاس - این صفحه مکعب را در امتداد یک خط مستقیم قطع کرده است، که در آن، به دلیل محدودیت های به متغیرها، یک بخش اختصاص داده شد). در حالت 5، ابرصفحه دقیقاً چهار وجه تسراکت سه بعدی را قطع می کند، یعنی چهار مثلث به دست می آید که دارای اضلاع مشترک دو به دو هستند، به عبارت دیگر، یک چهار وجهی تشکیل می دهند (همانطور که می توان محاسبه کرد - صحیح). در حالت 6، ابرصفحه دقیقاً هشت وجه تسراکت سه بعدی را قطع می کند، یعنی هشت مثلث به دست می آید که دارای اضلاع متوالی مشترک هستند، به عبارت دیگر یک هشت ضلعی را تشکیل می دهند. مورد 7) کاملاً مشابه مورد 5 است).

بیایید آنچه گفته شد را به تصویر بکشیم مثال ملموس. یعنی برش مکعب چهار بعدی را توسط ابر صفحه مطالعه می کنیمبا توجه به محدودیت های متغیرها، این ابرصفحه سه بعدی زیر را قطع می کند:حاشیه، غیرمتمرکز در یک صفحه تلاقی می کندبا توجه به محدودیت های متغیرها، داریم:یک ناحیه مثلثی با رئوس بدست آوریدبه علاوه،مثلث می گیریمدر تقاطع یک ابر هواپیما با یک صورتمثلث می گیریمدر تقاطع یک ابر هواپیما با یک صورتمثلث می گیریمبنابراین، رئوس چهار وجهی دارای مختصات زیر است. به همان اندازه که محاسبه کردن آن آسان است، این چهار وجهی واقعاً صحیح است.

نتیجه گیری

بنابراین، در جریان این تحقیق، حقایق اصلی هندسه تحلیلی چند بعدی بررسی شد، ویژگی‌های ساخت مکعب‌هایی با ابعاد 0 تا 3، ساختار یک مکعب چهار بعدی، یک مکعب چهار بعدی بررسی شد. به صورت تحلیلی و هندسی توصیف شده، مدل‌هایی از پیشرفت‌ها و برآمدگی‌های مرکزی مکعب‌های سه‌بعدی و چهار بعدی ساخته شد، مکعب‌های سه‌بعدی به صورت تحلیلی توصیف شدند. اجسام حاصل از تقاطع یک مکعب چهار بعدی توسط ابرصفحه‌های موازی با یکی از سه آن. -وجه های بعدی، یا توسط ابرصفحه های عمود بر مورب اصلی آن.

این مطالعه امکان آشکارسازی یک قیاس عمیق در ساختار و خواص مکعب‌ها با ابعاد مختلف را فراهم کرد. تکنیک قیاس مورد استفاده را می توان در مطالعه به کار برد، به عنوان مثال،کره بعدی یاسیمپلکس بعدی برای مثال،یک کره بعدی را می توان به عنوان مجموعه ای از نقاط تعریف کردفضای ابعادی، با فاصله مساوی از یک نقطه معین، که مرکز کره نامیده می شود. به علاوه،سیمپلکس بعدی را می توان به عنوان قطعه تعریف کردفضای ابعادی، محدود به حداقل تعدادهایپرصفحه های بعدی به عنوان مثال، یک سیمپلکس یک بعدی یک قطعه است (بخشی از فضای یک بعدی محدود به دو نقطه)، یک سیمپلکس دو بعدی یک مثلث است (بخشی از فضای دو بعدی محدود به سه خط)، یک سیمپلکس سه بعدی. یک چهار وجهی (بخشی از فضای سه بعدی است که توسط چهار صفحه محدود شده است). سرانجام،سیمپلکس بعدی به عنوان قطعه تعریف می شودفضای ابعادی، محدودابر صفحه بعد.

توجه داشته باشید که علیرغم کاربردهای متعدد تسراکت در برخی از حوزه‌های علم، این مطالعه هنوز تا حد زیادی یک تحقیق ریاضی است.

کتابشناسی - فهرست کتب

1) Bugrov Ya.S.، Nikolsky S.M.ریاضیات عالی، ج 1 - م.: درفا، 1384 - 284 ص.

2) کوانتومی مکعب چهار بعدی / Duzhin S., Rubtsov V., No. 6, 1986.

3) کوانتومی چطوری طراحی کنیم مکعب بعدی / Demidovich N.B.، شماره 8، 1974.

Tesseract - یک ابر مکعب چهار بعدی - یک مکعب در فضای چهار بعدی.
بر اساس فرهنگ لغت آکسفورد، کلمه tesseract در سال 1888 توسط چارلز هوارد هینتون (1853-1907) در کتاب خود به نام A New Age of Thought ابداع و استفاده شد. بعداً عده ای همین شکل را چهار مکعب (به یونانی چهار - چهار) - یک مکعب چهار بعدی - نامیدند.
یک تسراکت معمولی در فضای چهار بعدی اقلیدسی به عنوان بدنه محدب نقاط (1±، 1±، 1±، ±1) تعریف می‌شود. به عبارت دیگر، می توان آن را به صورت مجموعه زیر نشان داد:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = یک تسراکت با هشت ابرصفحه محدود می شود x_i= +- 1, i=1,2,3,4 که تقاطع آنها با خود tesseract آن را به صورت سه بعدی تعریف می کند (که مکعب های معمولی هستند) هر جفت وجه سه بعدی غیر موازی با هم قطع می شوند و صورت های دو بعدی (مربع) و غیره را تشکیل می دهند. در نهایت، تسراکت دارای 8 وجه سه بعدی، 24 2 بعدی، 32 یال و 16 رأس است.
توضیحات محبوب
بیایید سعی کنیم تصور کنیم که هایپر مکعب بدون خروج از فضای سه بعدی چگونه به نظر می رسد.
در "فضای" یک بعدی - روی یک خط - یک قطعه AB به طول L را انتخاب می کنیم. در یک صفحه دو بعدی در فاصله L از AB، یک قطعه DC موازی با آن ترسیم می کنیم و انتهای آنها را به هم وصل می کنیم. شما یک CDBA مربعی دریافت خواهید کرد. با تکرار این عمل با هواپیما یک مکعب سه بعدی CDBAGHFE بدست می آوریم. و با جابجایی مکعب در بعد چهارم (عمود بر سه بعد اول) با فاصله L، ابرمکعب CDBAGHFEKLJIOPNM را بدست می آوریم.
قطعه یک بعدی AB به عنوان ضلعی از مربع دو بعدی CDBA عمل می کند، مربع ضلع مکعب CDBAGHFE است که به نوبه خود ضلع ابر مکعب چهار بعدی خواهد بود. یک پاره خط مستقیم دارای دو نقطه مرزی، یک مربع دارای چهار راس، و یک مکعب دارای هشت نقطه است. بنابراین، در یک ابرمکعب چهار بعدی، 16 راس وجود خواهد داشت: 8 راس مکعب اصلی و 8 راس در بعد چهارم جابجا شده اند. این 32 یال دارد - هر کدام 12 یال موقعیت اولیه و نهایی مکعب اصلی را نشان می‌دهند و 8 یال دیگر هشت رأس آن را که به بعد چهارم منتقل شده‌اند، ترسیم می‌کنند. همین استدلال را می توان برای چهره های ابرمکعب نیز انجام داد. در فضای دو بعدی، یک است (خود مربع)، مکعب دارای 6 عدد از آنها است (دو وجه از مربع جابجا شده و چهار وجه دیگر اضلاع آن را توصیف می کنند). یک ابر مکعب چهار بعدی دارای 24 وجه مربع است - 12 مربع از مکعب اصلی در دو موقعیت و 12 مربع از دوازده لبه آن.
همانطور که اضلاع یک مربع 4 قطعه یک بعدی و اضلاع (وجه) یک مکعب 6 مربع دو بعدی است، بنابراین برای "مکعب چهار بعدی" (تسراکت) اضلاع 8 مکعب سه بعدی است. فضاهای جفت های متضاد مکعب های تسراکت (یعنی فضاهای سه بعدی که این مکعب ها به آنها تعلق دارند) موازی هستند. در شکل، این مکعب ها هستند: CDBAGHFE و KLJIOPNM، CDBAKLJI و GHFEOPNM، EFBAMNJI و GHDCOPLK، CKIAGOME و DLJBHPNF.
به روشی مشابه، می‌توانیم استدلال را برای ابرمکعب‌هایی با ابعاد بیشتر ادامه دهیم، اما بسیار جالب‌تر است که ببینیم یک ابر مکعب چهار بعدی برای ما، ساکنان فضای سه‌بعدی، چگونه به نظر می‌رسد. اجازه دهید برای این کار از روش آشنای قیاس استفاده کنیم.
بیایید مکعب سیم ABCDHEFG را برداریم و با یک چشم از کنار صورت به آن نگاه کنیم. ما می بینیم و می توانیم دو مربع را روی صفحه بکشیم (صورت نزدیک و دور آن) که با چهار خط - لبه های جانبی به هم متصل شده اند. به طور مشابه، یک ابر مکعب چهار بعدی در فضای سه بعدی مانند دو "جعبه" مکعبی خواهد بود که در یکدیگر قرار گرفته و توسط هشت لبه به هم متصل شده اند. در این حالت، خود "جعبه ها" - چهره های سه بعدی - بر روی فضای "ما" پیش بینی می شوند و خطوط متصل کننده آنها در جهت محور چهارم کشیده می شوند. همچنین می توانید سعی کنید یک مکعب را نه در طرح ریزی، بلکه در یک تصویر فضایی تصور کنید.
همانطور که یک مکعب سه بعدی با یک مربع جابجا شده به اندازه طول یک صورت تشکیل می شود، مکعبی که به بعد چهارم منتقل می شود یک ابرمکعب تشکیل می دهد. این توسط هشت مکعب محدود شده است، که در آینده شبیه یک شکل نسبتاً پیچیده خواهد بود. ابرمکعب چهار بعدی خود از تعداد بی نهایت مکعب تشکیل شده است، همانطور که یک مکعب سه بعدی را می توان به تعداد بی نهایت مربع مسطح "برش" داد.
با برش شش وجه یک مکعب سه بعدی، می توان آن را تجزیه کرد شکل تخت- یک جارو این یک مربع در هر طرف صورت اصلی، به علاوه یک مربع دیگر خواهد داشت - صورت مقابل آن. توسعه سه بعدی یک ابر مکعب چهار بعدی شامل مکعب اصلی، شش مکعبی است که از آن "رشد" می کنند، به علاوه یک مکعب دیگر - "هیپرفیس" نهایی.
خصوصیات تسراکت امتدادی از خواص هستند شکل های هندسیبعد پایین تر به یک فضای چهار بعدی.