متغیر تصادفی x چگالی توزیع احتمال دارد. انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی پیوسته. مثال راه حل چگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته

1. چگالی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته

تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته، مشخصه احتمالی جامع آن است. اما یک اشکال دارد، که شامل این واقعیت است که قضاوت در مورد ماهیت توزیع یک متغیر تصادفی در یک محله کوچک از یک یا نقطه دیگری از محور عددی دشوار است. یک نمایش بصری بیشتر از ماهیت توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته در مجاورت نقاط مختلف توسط تابعی به نام چگالی توزیع احتمال یا قانون توزیع دیفرانسیل یک متغیر تصادفی ارائه می‌شود. در این سوال، توزیع چگالی احتمال و خواص آن را در نظر خواهیم گرفت.

بگذارید یک متغیر تصادفی پیوسته وجود داشته باشد ایکسبا تابع توزیع اجازه دهید احتمال برخورد این متغیر تصادفی در بخش ابتدایی را محاسبه کنیم
:

نسبت این احتمال را به طول مقطع بنویسید
:

نسبت حاصل نامیده می شود احتمال متوسط،که در واحد طول این قطعه است.

با در نظر گرفتن تابع توزیع اف(ایکس)متمایز، در برابری (1) به حد در می گذریم
; سپس دریافت می کنیم:

حد نسبت احتمال ضربه زدن به یک متغیر تصادفی پیوسته در یک مقطع ابتدایی از x به x + ∆x به طول این بخش ∆x, وقتی ∆x به صفر میل می کند، چگالی توزیع متغیر تصادفی در نقطه x نامیده می شود و نشان داده می شود.f (ایکس).

به موجب برابری (2)، چگالی توزیع f(ایکس)برابر با مشتق تابع توزیع است اف(ایکس)،یعنی

.

معنی چگالی توزیع f(ایکس)این است که نشان می دهد چند بار متغیر تصادفی ظاهر می شود ایکسدر برخی از محله های نقطه ایکسهنگام تکرار آزمایش ها

منحنی که چگالی توزیع را نشان می دهد f(ایکس)متغیر تصادفی نامیده می شود منحنی توزیعنمای تقریبی منحنی توزیع در شکل 1 نشان داده شده است.

توجه داشته باشید که اگر مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی یک بازه محدود را پر کند، چگالی توزیع f(ایکس) = 0 خارج از این فاصله

اجازه دهید بر روی محور آبسیسا یک مقطع ابتدایی Δ را مشخص کنیم ایکس، مجاور نقطه ایکس(شکل 2)، و احتمال برخورد با یک متغیر تصادفی را پیدا کنید ایکس به این منطقه از یک طرف، این احتمال برابر با افزایش است
توابع توزیع اف(ایکس)،افزایش مربوطه ∆ ایکس= dx بحث و جدل ایکس. از جانباز سوی دیگر، احتمال برخورد با یک متغیر تصادفی ایکس به منطقه ابتدایی dxبابه بینهایت کوچک مرتبه بالاتر از ∆ ایکسبرابر است با f(ایکس) dx (زیرا ∆ اف(ایکس)≈ dF(x) =f (ایکس) dx). از نظر هندسی، این مساحت یک مستطیل ابتدایی با ارتفاع است f(ایکس) و پایه و اساس dx (شکل 2). ارزش f (ایکس) dx تماس گرفت عنصر احتمال

لازم به ذکر است که همه متغیرهای تصادفی که مقادیر ممکن آنها به طور مداوم یک بازه مشخص را پر می کند، متغیرهای تصادفی پیوسته نیستند. چنین متغیرهای تصادفی وجود دارد که مقادیر ممکن آنها به طور مداوم یک بازه مشخص را پر می کند، اما تابع توزیع آنها در همه جا پیوسته نیست، اما در نقاط خاصی دچار ناپیوستگی می شود. چنین متغیرهای تصادفی نامیده می شوند مختلطبنابراین، برای مثال، در مسئله تشخیص سیگنال در نویز، دامنه سیگنال مفید یک متغیر تصادفی مخلوط است. ایکس، که می تواند هر ارزشی، مثبت یا منفی داشته باشد.

حال اجازه دهید تعریف دقیق تری از متغیر تصادفی پیوسته ارائه دهیم.

مقدار تصادفیایکساگر تابع توزیع آن باشد پیوسته نامیده می شوداف(x\ در کل محور x و چگالی توزیع پیوسته استf (ایکس) در همه جا وجود دارد، به جز شاید تعداد محدودی از نقاط.

خواص چگالی توزیع را در نظر بگیرید.

ملک 1.چگالی توزیع غیر منفی است،یعنی

این ویژگی مستقیماً از این واقعیت ناشی می شود که چگالی توزیع
مشتق تابع توزیع غیر کاهشی است اف(ایکس).

ملک 2. تابع توزیع یک متغیر تصادفی برابر است با انتگرال چگالی در محدوده -∞ تا x،یعنی

. (3)

ملک 3.احتمال ضربه زدن به یک متغیر تصادفی پیوستهایکسبه طرح
برابر است با انتگرال چگالی توزیع گرفته شده در این بخش،یعنی

. (4)

ملک 4. انتگرال در حدود نامتناهی چگالی توزیع برابر است با وحدت:

.

اگر فاصله مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی دارای محدودیت های محدود باشد آو ب, سپس چگالی توزیع f(ایکس)= 0 خارج از محدوده
و ویژگی 4 را می توان به صورت زیر نوشت:

.

مثال. مقدار تصادفی ایکس از قانون توزیع با چگالی پیروی می کند

.

ضروری:

1) ضریب را پیدا کنید آ.

2) احتمال برخورد یک متغیر تصادفی در ناحیه 0 تا .

راه حل. 1) برای تعیین ضریب آما از ویژگی 4 چگالی توزیع استفاده می کنیم:

,

جایی که .

2) طبق فرمول (4) داریم:

.

روش
متغیر تصادفی پیوسته Xمقداری نامیده می شود که در آن چگالی توزیع حداکثر است.

میانه متغیر تصادفی پیوسته Xمقدار آن فراخوانی می شود که برای آن به همان اندازه احتمال دارد که متغیر تصادفی کمتر یا بیشتر باشد ، به این معنا که:

از نظر هندسی، مد، آبسیسه آن نقطه از منحنی توزیع است که اردینات آن حداکثر است (برای یک متغیر تصادفی گسسته، مد، آبسیسا نقطه چندضلعی با حداکثر اردین است).

از نظر هندسی، میانه آبسیسا نقطه ای است که در آن ناحیه محدود شده توسط منحنی توزیع به نصف تقسیم می شود.

توجه داشته باشید که اگر توزیع یک وجهی و متقارن باشد، میانگین، مد و میانه یکسان هستند.

همچنین توجه داشته باشید که سومین لحظه مرکزی یا چولگی یکی از مشخصه های «کیولگی» توزیع است. اگر توزیع با توجه به انتظارات ریاضی متقارن باشد، برای منحنی توزیع (هیستوگرام)
. چهارمین لحظه مرکزی برای مشخص کردن توزیع اوج یا تخت استفاده می کند. این خواص توزیع با استفاده از به اصطلاح توصیف شده است کشیدگیفرمول های یافتن چولگی و کشیدگی توسط ما در سخنرانی قبلی مورد بحث قرار گرفت.

2. توزیع نرمال

در میان توزیع‌های متغیرهای تصادفی پیوسته، محل مرکزی قانون عادی یا قانون توزیع گاوسی است که چگالی احتمال آن به شکل زیر است:

, (5)

جایی که
پارامترهای توزیع نرمال هستند.

از آنجایی که توزیع نرمال به دو پارامتر بستگی دارد و
، سپس به آن نیز گفته می شود توزیع دو پارامتری

قانون توزیع نرمال در مواردی اعمال می شود که متغیر تصادفی باشد ایکسنتیجه تعداد زیادی از عوامل مختلف است. هر عامل به طور جداگانه با مقدار ایکسکمی تأثیر می گذارد و نمی توان مشخص کرد که کدام یک به میزان بیشتری نسبت به دیگران است. نمونه هایی از متغیرهای تصادفی با توزیع نرمال عبارتند از: انحراف ابعاد واقعی قطعات پردازش شده در دستگاه از ابعاد اسمی، خطاهای اندازه گیری، انحرافات در هنگام تیراندازی و موارد دیگر.

اجازه دهید ثابت کنیم که در فرمول (5) پارامتر آانتظارات ریاضی و پارامتر است
- انحراف معیار:

.

اولین انتگرال برابر با صفر است، زیرا انتگرال فرد است. انتگرال دوم به انتگرال پواسون معروف است:

.

بیایید واریانس را محاسبه کنیم:

.

نمودار چگالی احتمال یک توزیع نرمال منحنی گاوسی نرمال نامیده می شود (شکل 3).

ما به برخی از ویژگی های منحنی توجه می کنیم:

1. تابع چگالی احتمال بر روی کل محور عددی تعریف شده است، یعنی
.

2. محدوده عملکرد
یعنی منحنی گاوس بالای محور x قرار دارد و آن را قطع نمی کند.

3. شاخه های منحنی گاوس به طور مجانبی به سمت محور تمایل دارند
، به این معنا که

4. منحنی متقارن در مورد یک خط مستقیم است
. بنابراین، برای یک توزیع نرمال، انتظار ریاضی با حالت و میانه توزیع منطبق است.

5. تابع یک حداکثر در نقطه با آبسیسا دارد
، مساوی با
. با افزایش
منحنی گاوس مسطح تر می شود و با کاهش آن
- بیشتر "نیز".

6. منحنی گاوس دارای دو نقطه عطف با مختصات است
و
.

7.اگر در یک ثابت است
انتظارات ریاضی را تغییر دهید، سپس منحنی گاوسی در امتداد محور جابه‌جا می‌شود
: راست - هنگام افزایش آ، و به سمت چپ - هنگام کاهش.

8. چولگی و کشیدگی برای توزیع نرمال صفر است.

احتمال برخورد با متغیر تصادفی توزیع شده بر اساس قانون نرمال در نمودار را بیابید
. مشخص است که

.

.

با استفاده از تغییر متغیر

,

. (6)

انتگرال
بر حسب توابع ابتدایی بیان نمی شود، بنابراین برای محاسبه انتگرال (6) از جداول مقادیر یک تابع خاص به نام استفاده می کنند. تابع لاپلاس، و به نظر می رسد:

.

پس از تبدیل های ساده، فرمولی برای احتمال سقوط یک متغیر تصادفی در یک بازه مشخص به دست می آوریم.
:

. (7)

تابع لاپلاس دارای ویژگی های زیر است:

1.
.

2.
یک تابع فرد است

3.
.

نمودار تابع توزیع در شکل 4 نشان داده شده است.

اجازه دهید محاسبه احتمال انحراف یک متغیر تصادفی معمولی مورد نیاز باشد ایکسدر قدر مطلق از عدد مثبت معین تجاوز نمی کند ، یعنی احتمال نابرابری
.

ما از فرمول (7) و ویژگی عجیب بودن تابع لاپلاس استفاده می کنیم:

.

بگذاریم
و انتخاب کنید
. سپس دریافت می کنیم:

.

این بدان معنی است که برای یک متغیر تصادفی توزیع شده معمولی با پارامترها آو
تحقق نابرابری
یک رویداد تقریباً قطعی است این قانون به اصطلاح "سه سیگما" است.

ارزش مورد انتظار

پراکندگیمتغیر تصادفی پیوسته X که مقادیر ممکن آن به کل محور Ox تعلق دارد با برابری تعیین می شود:

واگذاری خدمات. ماشین حساب آنلاینطراحی شده برای حل مسائلی که در آنها یا چگالی توزیع f(x) یا تابع توزیع F(x) (به مثال مراجعه کنید). معمولاً در چنین کارهایی نیاز به یافتن است انتظارات ریاضی، انحراف معیار، رسم توابع f(x) و F(x).

دستورالعمل. نوع داده ورودی را انتخاب کنید: چگالی توزیع f(x) یا تابع توزیع F(x).

چگالی توزیع f(x) داده شده است:

تابع توزیع F(x) داده می شود:

یک متغیر تصادفی پیوسته با چگالی احتمال تعریف می شود
(قانون توزیع رایلی - مورد استفاده در مهندسی رادیو). M(x)، D(x) را پیدا کنید.

متغیر تصادفی X نامیده می شود مداوم ، اگر تابع توزیع آن F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته برای محاسبه احتمال سقوط یک متغیر تصادفی در یک بازه معین استفاده می شود:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
علاوه بر این، برای یک متغیر تصادفی پیوسته، مهم نیست که مرزهای آن در این بازه گنجانده شود یا خیر:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
چگالی توزیع متغیر تصادفی پیوسته تابع نامیده می شود
f(x)=F'(x)، مشتق تابع توزیع.

ویژگی های چگالی توزیع

1. چگالی توزیع یک متغیر تصادفی غیر منفی است (f(x) ≥ 0) برای همه مقادیر x.
2. شرایط عادی سازی:

معنای هندسی شرط نرمال شدن: مساحت زیر منحنی چگالی توزیع برابر با یک است.
3. احتمال برخورد با متغیر تصادفی X در فاصله بین α تا β را می توان با فرمول محاسبه کرد.

از نظر هندسی، احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته X در بازه (α، β) بیفتد برابر با مساحت ذوزنقه منحنی زیر منحنی چگالی توزیع بر اساس این بازه است.
4. تابع توزیع بر حسب چگالی به صورت زیر بیان می شود:

مقدار چگالی توزیع در نقطه x با احتمال گرفتن این مقدار برابر نیست؛ برای یک متغیر تصادفی پیوسته، ما فقط می توانیم در مورد احتمال سقوط در یک بازه معین صحبت کنیم. اجازه دهید، اگر چگالی احتمال آن به شکل زیر باشد:

انتظارات ریاضی و واریانس یک متغیر تصادفی توزیع شده یکنواخت توسط عبارات تعریف می شود.

3.8. مقدار تصادفی ایکسبه طور مساوی در بخش توزیع شده است. تابع توزیع را پیدا کنید اف(ایکس)، انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار مقدار.

راه حل. چگالی احتمال برای کمیت ایکسبه نظر می رسد:

بنابراین، تابع توزیع، با فرمول محاسبه می شود:

,

به صورت زیر نوشته خواهد شد:

انتظار ریاضی خواهد بود M x= (1 + 6)/2 = 3.5. واریانس و انحراف معیار را پیدا کنید:

Dx = (6 – 1) 2 /12 = 25/12, .

توزیع نرمال

مقدار تصادفی ایکسدر صورتی توزیع می شود که تابع چگالی احتمال آن به شکل زیر باشد:

جایی که M x- ارزش مورد انتظار؛

انحراف معیار است.

احتمال سقوط یک متغیر تصادفی در بازه ( آ, ب) با فرمول پیدا می شود

آر(آ < ایکس < ب) = F – F = F( z 2) - F( z 1), (5)

جایی که F( z) = تابع لاپلاس است.

مقادیر تابع لاپلاس برای معانی مختلف zدر پیوست 2 آورده شده است.

3.9. انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال ایکسبرابر است M x= 5، واریانس است Dx= 9. یک عبارت برای چگالی احتمال بنویسید.

3.10. انتظارات ریاضی و انحراف معیار یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال ایکسبه ترتیب 12 و 2 هستند. احتمال اینکه متغیر تصادفی مقدار موجود در بازه (14؛ 16) را بگیرد را بیابید.

راه حل. ما از فرمول (21.2) با در نظر گرفتن آن استفاده می کنیم M x = 12, = 2:

آر(14 < ایکس < 16) = Ф((16 – 12)/2) – Ф(14 – 12)/2) = Ф(2) – Ф(1).

با توجه به جدول مقادیر تابع لاپلاس، Ф(1) = 0.3413، Ф(2) = 0.4772 را پیدا می کنیم. پس از تعویض، مقدار احتمال مورد نظر را بدست می آوریم:

آر(14 <ایکس < 16) = 0,1359.

3.11. یک متغیر تصادفی وجود دارد ایکستوزیع شده بر اساس قانون نرمال، انتظار ریاضی آن برابر با 20، انحراف معیار برابر با 3 است. یک بازه متقارن با توجه به انتظارات ریاضی پیدا کنید، که در آن با احتمال آر 0.9972 = یک متغیر تصادفی دریافت می کند.

راه حل. زیرا آر(ایکس 1 < ایکس < ایکس 2) = آر= 2Ф(( ایکس 2 – M x)/)، سپس Ф( z) = آر/2 = 0.4986. با توجه به جدول تابع لاپلاس، مقدار را پیدا می کنیم z، مربوط به مقدار بدست آمده از تابع Ф( z) = 0,4986: z= 2.98. با توجه به این واقعیت که z = (ایکس 2 – M x)/، = را تعریف می کنیم ایکس 2 – M x = z= 3 2.98 = 8.94. فاصله مورد نظر مانند (11.06؛ 28.94) خواهد بود.

ما آن را در نظر می گیریم f(ایکس) = اف"(ایکس). سپس دریافت می کنیم:

در عبارت انتظار ریاضی را جایگزین کنید

.

ادغام توسط قطعات، ما دریافت می کنیم M x= 1/ یا M x = 1/0,1.

برای تعیین پراکندگی، عبارت اول را با قطعات ادغام می کنیم. در نتیجه، دریافت می کنیم:

.

اجازه دهید عبارت پیدا شده را برای در نظر بگیریم M x. جایی که

.

در این مورد M x = 10, Dx = 100.

سیستم های متغیرهای تصادفی

فرض کنید $X$ یک متغیر تصادفی پیوسته با تابع توزیع احتمال $F(x)$ باشد. تعریف تابع توزیع را به یاد بیاورید:

تعریف 1

تابع توزیع تابعی است $F(x)$ که شرط $F\left(x\right)=P(X) را برآورده می کند.

از آنجایی که متغیر تصادفی پیوسته است، بنابراین، همانطور که قبلاً می دانیم، تابع توزیع احتمال $F(x)$ یک تابع پیوسته خواهد بود. اجازه دهید $F\left(x\right)$ نیز در کل دامنه تعریف قابل تفکیک باشد.

بازه $(x,x+\مثلث x)$ را در نظر بگیرید (که در آن $\مثلث x$ افزایش $x$ است). روی او

حال، با اجازه دادن مقادیر افزایشی $\مثلث x$ به سمت صفر، دریافت می کنیم:

تصویر 1.

بنابراین، دریافت می کنیم:

چگالی توزیع، مانند تابع توزیع، یکی از اشکال قانون توزیع یک متغیر تصادفی است. با این حال، قانون توزیع را می توان بر حسب چگالی توزیع فقط برای متغیرهای تصادفی پیوسته نوشت.

تعریف 3

منحنی توزیع نموداری از تابع $\varphi \left(x\right)$، چگالی توزیع یک متغیر تصادفی است (شکل 1).

شکل 2. نمودار چگالی توزیع.

حس هندسی 1:احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته در بازه $(\alpha,\beta)$ بیفتد برابر است با مساحت ذوزنقه منحنی محدود شده توسط نمودار تابع توزیع $\varphi \left(x\right)$ و خطوط مستقیم $x=\alpha، $$x=\beta $ و $y=0$ (شکل 2).

شکل 3. نمایش هندسی احتمال سقوط یک متغیر تصادفی پیوسته در بازه $(\alpha,\beta)$.

حس هندسی 2:مساحت یک ذوزنقه منحنی بی نهایت محدود شده توسط نمودار تابع توزیع $\varphi \left(x\right)$، خط $y=0$ و خط متغیر $x$ چیزی نیست جز تابع توزیع $. F(x)$ (شکل 3).

شکل 4. نمایش هندسی تابع احتمال $F(x)$ بر حسب چگالی توزیع $\varphi \left(x\right)$.

مثال 1

اجازه دهید تابع توزیع $F(x)$ متغیر تصادفی $X$ شکل زیر را داشته باشد.

4. چگالی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته

یک متغیر تصادفی پیوسته را می توان با استفاده از تابع توزیع مشخص کرد اف(ایکس) . این روش تنظیم تنها راه نیست. یک متغیر تصادفی پیوسته را نیز می توان با استفاده از تابع دیگری به نام چگالی توزیع یا چگالی احتمال (که گاهی اوقات تابع دیفرانسیل نامیده می شود) مشخص کرد.

تعریف 4.1: چگالی توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته ایکستابع را فراخوانی کنید f (ایکس) - اولین مشتق تابع توزیع اف(ایکس) :

f ( ایکس ) = اف "( ایکس ) .

از این تعریف برمی‌آید که تابع توزیع ضد مشتق چگالی توزیع است. توجه داشته باشید که برای توصیف توزیع احتمال یک متغیر تصادفی گسسته، چگالی توزیع قابل اعمال نیست.

احتمال ضربه زدن به یک متغیر تصادفی پیوسته در یک بازه معین

با دانستن چگالی توزیع، می‌توانیم این احتمال را محاسبه کنیم که یک متغیر تصادفی پیوسته مقداری را که متعلق به یک بازه معین است، بگیرد.

قضیه: احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته X مقادیر مربوط به بازه (آ, ب)، برابر است با انتگرال معینی از چگالی توزیع، گرفته شده در محدوده ازآقبل ازب :

اثبات:ما از نسبت استفاده می کنیم

پ(آ ≤ ایکسب) = اف(ب) – اف(آ).

بر اساس فرمول نیوتن-لایب نیتس،

به این ترتیب،

.

زیرا پ(آ ≤ ایکس ب)= پ(آ ایکس ب) ، سپس ما در نهایت دریافت می کنیم

.

از نظر هندسی، نتیجه را می توان به صورت زیر تفسیر کرد: احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته مقداری متعلق به بازه (آ, ب) برابر است با مساحت ذوزنقه منحنی که توسط محور محدود شده استگاو نر، منحنی توزیعf(ایکس) و مستقیمایکس = آوایکس = ب.

اظهار نظر:به ویژه، اگر f(ایکس) تابع زوج است و انتهای بازه با توجه به مبدا متقارن است، پس

.

مثال.با توجه به چگالی احتمال یک متغیر تصادفی ایکس

احتمال اینکه در نتیجه آزمون را بیابید ایکسمقادیر مربوط به بازه (0.5؛ 1) را می گیرد.

راه حل:احتمال مورد نظر

.

یافتن تابع توزیع از چگالی توزیع شناخته شده

دانستن چگالی توزیع f(ایکس) ، می توانیم تابع توزیع را پیدا کنیم اف(ایکس) طبق فرمول

.

واقعا، اف(ایکس) = پ(ایکس ایکس) = پ(-∞ ایکس ایکس) .

در نتیجه،

.

به این ترتیب، با دانستن چگالی توزیع، می توانید تابع توزیع را پیدا کنید. البته از تابع توزیع شناخته شده می توان چگالی توزیع را پیدا کرد، برای مثال:

f(ایکس) = اف"(ایکس).

مثال.تابع توزیع را برای چگالی توزیع معین پیدا کنید:

راه حل:بیایید از فرمول استفاده کنیم

اگر یک ایکس ≤ آ، سپس f(ایکس) = 0 ، در نتیجه، اف(ایکس) = 0 . اگر یک a، سپس f(x) = 1/(b-a),

در نتیجه،

.

اگر یک ایکس > ب، سپس

.

بنابراین، تابع توزیع مورد نظر

اظهار نظر:ما تابع توزیع یک متغیر تصادفی توزیع شده یکنواخت را به دست آورده ایم (به توزیع یکنواخت مراجعه کنید).

ویژگی های چگالی توزیع

خاصیت 1:چگالی توزیع یک تابع غیر منفی است:

f ( ایکس ) ≥ 0 .

خاصیت 2:انتگرال نامناسب چگالی توزیع در محدوده -∞ تا ∞ برابر با یک است:

.

اظهار نظر:نمودار چگالی توزیع نامیده می شود منحنی توزیع.

اظهار نظر:چگالی توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته قانون توزیع نیز نامیده می شود.

مثال.چگالی توزیع یک متغیر تصادفی به شکل زیر است:

پارامتر ثابت را پیدا کنید آ.

راه حل:چگالی توزیع باید شرط را برآورده کند، بنابراین ما نیاز به برابری داریم

.

از اینجا
. بیایید انتگرال نامعین را پیدا کنیم:

.

ما انتگرال نامناسب را محاسبه می کنیم:

بنابراین، پارامتر مورد نیاز

.

معنی احتمالی چگالی توزیع

اجازه دهید اف(ایکس) تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته است ایکس. با تعریف چگالی توزیع، f(ایکس) = اف"(ایکس) ، یا

.

تفاوت اف(ایکس+∆х) -اف(ایکس) این احتمال را تعیین می کند ایکسمقدار متعلق به بازه را خواهد گرفت (ایکس, ایکس+∆х). بنابراین، حد نسبت احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته مقداری متعلق به بازه را بگیرد. (ایکس, ایکس+∆х)، به طول این بازه (در ∆х→0) برابر با مقدار چگالی توزیع در نقطه است ایکس.

بنابراین تابع f(ایکس) چگالی توزیع احتمال را برای هر نقطه تعیین می کند ایکس. از حساب دیفرانسیل مشخص است که افزایش یک تابع تقریباً برابر است با دیفرانسیل تابع، یعنی.

زیرا اف"(ایکس) = f(ایکس) و dx = ∆ ایکس، سپس اف(ایکس+∆ ایکس) - اف(ایکس) ≈ f(ایکس)∆ ایکس.

معنای احتمالی این برابری به شرح زیر است: احتمال اینکه یک متغیر تصادفی مقداری متعلق به بازه (ایکس, ایکس+∆ ایکس) تقریبا برابر است با حاصل ضرب چگالی احتمال در نقطه x و طول بازه ∆х.

از نظر هندسی، این نتیجه را می توان چنین تفسیر کرد: احتمال اینکه یک متغیر تصادفی مقداری متعلق به بازه (ایکس, ایکس+∆ ایکس، تقریباً برابر با مساحت مستطیل با پایه ∆х و ارتفاع استf(ایکس).

5. توزیع های معمولی متغیرهای تصادفی گسسته

5.1. توزیع برنولی

تعریف 5.1: مقدار تصادفی ایکس، که دو مقدار می گیرد 1 و 0 با احتمالات ("موفقیت") پو ("شکست") q، نامیده میشود برنولی:

, جایی که ک=0,1.

5.2. توزیع دو جمله ای

بذار تولید بشه n آزمایشات مستقل، که در هر یک از آنها یک رویداد آممکن است ظاهر شود یا نباشد. احتمال وقوع یک رویداد در همه آزمایش‌ها ثابت و برابر است پ(از این رو احتمال عدم ظهور وجود دارد q = 1 - پ).

یک متغیر تصادفی را در نظر بگیرید ایکس- تعداد وقوع رویداد آدر این تست ها مقدار تصادفی ایکسارزش ها را می گیرد 0,1,2,… nبا احتمالات محاسبه شده با فرمول برنولی: ، جایی که ک = 0,1,2,… n.

تعریف 5.2: دو جمله ایتوزیع احتمال تعیین شده توسط فرمول برنولی نامیده می شود.

مثال.سه تیر به سمت هدف شلیک می شود و احتمال اصابت هر شلیک 0.8 است. یک متغیر تصادفی در نظر می گیریم ایکس- تعداد ضربه به هدف. سری توزیع آن را پیدا کنید.

راه حل:مقدار تصادفی ایکسارزش ها را می گیرد 0,1,2,3 با احتمالات محاسبه شده با فرمول برنولی، که در آن n = 3, پ = 0,8 (احتمال ضربه) q = 1 - 0,8 = = 0,2 (احتمال گم شدن).

بنابراین، سری توزیع به شکل زیر است:

از فرمول برنولی برای مقادیر بزرگ استفاده کنید nبنابراین، محاسبه احتمالات مربوطه بسیار دشوار است، از قضیه لاپلاس محلی استفاده می شود، که به فرد اجازه می دهد تا احتمال وقوع یک رویداد را تقریباً پیدا کند. کیک بار در nآزمایشات در صورتی که تعداد آزمایشات به اندازه کافی زیاد باشد.

قضیه لاپلاس محلی: در صورت احتمال پوقوع یک رویداد آ
که رویداد آ ظاهر خواهد شد nدقیقا تست می کند کبار، تقریباً برابر (هر چه دقیق تر، بیشتر n) مقدار تابع
, جایی که
,
.

یادداشت 1:جداول حاوی مقادیر تابع
, در پیوست 1 آورده شده است و
. عملکرد چگالی توزیع نرمال استاندارد است (به توزیع نرمال مراجعه کنید).

مثال:احتمال وقوع رویداد را بیابید آ دقیقا میاد 80 یک بار در 400 آزمایشات در صورتی که احتمال وقوع این رویداد در هر آزمایش برابر باشد 0,2.

راه حل:با شرط n = 400, ک = 80, پ = 0,2 , q = 0,8 . اجازه دهید مقدار تعیین شده توسط داده های مسئله را محاسبه کنیم ایکس:
. با توجه به جدول ضمیمه 1 در می یابیم
. سپس احتمال مورد نظر خواهد بود:

اگر می خواهید احتمال وقوع یک رویداد را محاسبه کنید آظاهر خواهد شد nحداقل تست می کند ک 1 یک بار و نه بیشتر ک 2 بار، پس باید از قضیه انتگرال لاپلاس استفاده کنید:

قضیه انتگرال لاپلاس: در صورت احتمال پوقوع یک رویداد آدر هر آزمون ثابت و متفاوت از صفر و یک است، سپس احتمال
که رویداد آ ظاهر خواهد شد nتست ها از ک 1 قبل از ک 2 بار، تقریبا برابر با انتگرال معین

, جایی که
و
.

به عبارت دیگر، احتمال وقوع یک رویداد آ ظاهر خواهد شد nتست ها از ک 1 قبل از ک 2 بار، تقریباً برابر است

جایی که
, و .

نکته 2:عملکرد
تابع لاپلاس نامیده می شود (به توزیع نرمال مراجعه کنید). جداول حاوی مقادیر تابع , در پیوست 2 آورده شده است و
.

مثال:احتمال اینکه در میان 400 قطعات انتخاب شده به صورت تصادفی از 70 تا 100 قسمت برداشته می شوند، در صورتی که احتمال اینکه قطعه از بررسی کنترل کیفیت عبور نکرده باشد برابر باشد. 0,2.

راه حل:با شرط n = 400, پ = 0,2 , q = 0,8, ک 1 = 70, ک 2 = 100 . اجازه دهید حد پایین و بالای ادغام را محاسبه کنیم:

;
.

بنابراین، ما داریم:

با توجه به جدول ضمیمه 2 متوجه می شویم که
و
. سپس احتمال مورد نیاز این است:

نکته 3:در یک سری آزمایشات مستقل (وقتی n بزرگ است، p کوچک است)، از فرمول پواسون دقیقا k بار برای محاسبه احتمال وقوع یک رویداد استفاده می شود (به توزیع پواسون مراجعه کنید).

5.3. توزیع پواسون

تعریف 5.3: یک متغیر تصادفی گسسته نامیده می شود سم،اگر قانون توزیع آن به شکل زیر باشد:

, جایی که
و
(مقدار ثابت).

نمونه هایی از متغیرهای تصادفی پواسون:

تعداد تماس با یک ایستگاه خودکار در یک بازه زمانی تی.

تعداد ذرات واپاشی برخی از مواد رادیواکتیو در یک دوره زمانی معین تی.

تعداد تلویزیون هایی که در یک بازه زمانی وارد کارگاه می شوند تیدر شهر بزرگ .

تعداد اتومبیل هایی که به خط توقف یک تقاطع در یک شهر بزرگ می رسند .

یادداشت 1:جداول ویژه برای محاسبه این احتمالات در پیوست 3 آورده شده است.

نکته 2:در یک سری آزمایشات مستقل (زمانی که nعالی، پکوچک) برای محاسبه احتمال وقوع یک رویداد دقیقا کپس از استفاده از فرمول پواسون:
, جایی که
, یعنی میانگین تعداد وقوع رویدادها ثابت می ماند.

نکته 3:اگر یک متغیر تصادفی وجود داشته باشد که بر اساس قانون پواسون توزیع شده باشد، پس لزوماً یک متغیر تصادفی وجود دارد که بر اساس قانون نمایی توزیع شده است و بالعکس (به توزیع نمایی مراجعه کنید).

مثال.کارخانه به پایگاه فرستاده شد 5000 محصولات با کیفیت خوب احتمال اینکه محصول در حمل و نقل آسیب ببیند برابر است 0,0002 . این احتمال را پیدا کنید که دقیقاً سه مورد غیرقابل استفاده به پایه برسد.

راه حل:با شرط n = 5000, پ = 0,0002, ک = 3. بیایید پیدا کنیم λ: λ = np= 5000 0.0002 = 1.

طبق فرمول پواسون، احتمال مورد نظر برابر است با:

, که در آن متغیر تصادفی ایکس- تعداد محصولات معیوب

5.4. توزیع هندسی

اجازه دهید آزمایشات مستقلی انجام شود که در هر کدام از آنها احتمال وقوع یک رویداد وجود دارد ولیبرابر است با پ(0p

q = 1 - پ. آزمایشات به محض ظاهر شدن رویداد به پایان می رسد ولی. بنابراین، اگر یک رویداد ولیدر ظاهر شد کآزمون -ام، سپس در آزمون قبلی ک – 1 در تست ها ظاهر نشد.

با نشان دادن ایکسمتغیر تصادفی گسسته - تعداد آزمایشاتی که باید قبل از اولین وقوع رویداد انجام شود ولی. بدیهی است که مقادیر ممکن است ایکساعداد طبیعی x 1 \u003d 1، x 2 \u003d 2، ... هستند.

اجازه دهید اولین ک-1 رویداد آزمایشی ولینیامد، اما کآزمون ام ظاهر شد. احتمال این "رویداد پیچیده" با توجه به قضیه ضرب احتمالات رویدادهای مستقل، پ (ایکس = ک) = q ک -1 پ.

تعریف 5.4: یک متغیر تصادفی گسسته دارد توزیع هندسیاگر قانون توزیع آن به شکل زیر باشد:

پ ( ایکس = ک ) = q ک -1 پ , جایی که
.

یادداشت 1:با فرض اینکه ک = 1,2,… ، با جمله اول یک تصاعد هندسی بدست می آوریم پو مخرج q (0q. به همین دلیل توزیع را هندسی می نامند.

نکته 2:ردیف
همگرا می شود و مجموع آن برابر با یک است. در واقع، مجموع سریال است
.

مثال.اسلحه تا اولین ضربه به سمت هدف شلیک می کند. احتمال اصابت به هدف پ = 0,6 . احتمال وقوع ضربه در شلیک سوم را پیدا کنید.

راه حل:با شرط پ = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, ک = 3. احتمال مورد نظر برابر است با:

پ (ایکس = 3) = 0,4 2 0.6 = 0.096.

5.5. توزیع فرا هندسی

مشکل زیر را در نظر بگیرید. اجازه دهید مهمانی خارج شود نمحصولات موجود ماستاندارد (من). به صورت تصادفی از مهمانی انتخاب شده است nمحصولات (هر محصول را می توان با همان احتمال حذف کرد)، و محصول انتخاب شده قبل از انتخاب محصول بعدی به دسته بازگردانده نمی شود (بنابراین، فرمول برنولی در اینجا قابل استفاده نیست).

با نشان دادن ایکسمتغیر تصادفی - عدد مترمحصولات استاندارد در میان nانتخاب شد. سپس مقادیر ممکن ایکس 0، 1، 2،… دقیقه بیایید به آنها برچسب بزنیم و ... برمقادیر متغیر مستقل (Fonds)، از دکمه ( فصل ...

مجموعه آموزشی و روش شناسی برای رشته "کارگاه روانشناسی عمومی"

مجتمع آموزشی و روش شناسی

... روش شناختی دستورالعمل ها برانجام کار عملی 5.1 روشمندتوصیه ها براجرای پروژه های آموزشی 5.2 روشمندتوصیه ها بر... حساسیت) یک بعدیو چند بعدی ... تصادفیجزء در اندازه... با بخش"کارایی...

مجتمع آموزشی و روشی در رشته فیزیک (نام)

مجتمع آموزشی و روش شناسی

... بخش هادر کتاب های درسی حل مسئله برهر موضوع پیچیدگی روشمند دستورالعمل هابه کارهای آزمایشگاهی بر ... تصادفیو خطای اندازه گیری ابزاری 1.8 موضوعات کارهای کنترلی و روش شناختی دستورالعمل ها بر... ذره در یک بعدیسوراخ بالقوه ...

دستورالعمل کارهای آزمایشگاهی در رشته انفورماتیک

رهنمودها

... روشمند دستورالعمل هابه کارهای آزمایشگاهی بر ... اندازه، و بیشترین مقدار مقادیر... آرایه تصادفیاعداد... 3.0 4.0 3.0 -2.5 14.3 16.2 18.0 1.0 a) یک بعدیآرایه ب) آرایه دو بعدی شکل. 2- فایل های ... در شرح داده شده است بخشاجرا پس از ...