Die Funktion sei in der Domäne definiert

Definition. Ausdruck

Angerufen funktionell nahe.

Beispiel.

Bei einigen Werten kann die Reihe konvergieren, bei anderen Werten kann sie divergieren.

Beispiel.

Finden Sie den Konvergenzbereich der Reihe. Diese Reihe wird für die Werte definiert

Wenn dann, divergiert die Reihe, da das notwendige Kriterium für die Konvergenz der Reihe nicht erfüllt ist; wenn die Reihe divergiert; if ist eine unendlich abnehmende geometrische Folge.

Der Vergleich dieser Reihe mit der konvergenten Reihe bei ergibt den Konvergenzbereich der untersuchten Reihe.

Mit Werten aus der Funktionsreihe erhält man eine Zahlenreihe

Wenn die Zahlenreihe konvergiert, heißt der Punkt Konvergenzpunkt Funktionsumfang.

Die Menge aller Konvergenzpunkte einer Reihe bildet ihren Konvergenzbereich. Der Konvergenzbereich ist normalerweise ein Intervall der Achse.

Konvergieren die Zahlenreihen in jedem Punkt, so heißt die Funktionsreihe konvergent im Gebiet .

Die Summe einer Funktionsreihe ist eine Funktion einer Variablen, die im Konvergenzbereich der Reihe definiert ist

Welche Eigenschaften haben die Funktionen, wenn die Eigenschaften der Mitglieder der Reihe bekannt sind?

Die Kontinuität von Funktionen reicht nicht aus, um Rückschlüsse auf die Kontinuität zu ziehen.

Die Konvergenz einer Reihe stetiger Funktionen zu einer stetigen Funktion wird durch eine zusätzliche Bedingung sichergestellt, die ein wichtiges Merkmal der Konvergenz einer Funktionsreihe ausdrückt.

Definition. Eine Funktionsreihe heißt im Bereich konvergent, wenn es einen Grenzwert von Teilsummen dieser Reihe gibt, also.

Definition. Eine Funktionsreihe heißt in einem Bereich gleichmäßig konvergent, wenn es für jede positive Zahl eine Zahl gibt, bei der die Ungleichung für alle gilt.

Geometrische Bedeutung der gleichmäßigen Konvergenz

Wenn man den Graphen einer Funktion mit einem Streifen umgibt, bestimmt man durch die Beziehung dann den Graphen alle Funktionen ab ausreichend von großer Wichtigkeit , vollständig liegen in diesem „- Streifen“, der den Graphen der Grenzfunktion umgibt.

Eigenschaften einer gleichmäßig konvergenten Reihe .

1. Die Summe einer gleichmäßig konvergenten Reihe in einem bestimmten Bereich, die aus stetigen Funktionen besteht, ist eine stetige Funktion in diesem Bereich.

2. Eine solche Reihe kann Term für Term differenziert werden

3. Die Reihe kann Term für Term integriert werden

Um festzustellen, ob eine Funktionsreihe gleichmäßig konvergent ist, muss man den ausreichenden Weierstrass-Konvergenztest verwenden.

Definition. Die Funktionsreihe heißt Majorisiert in einem Änderungsbereich, wenn es eine konvergente Zahlenreihe mit positiven Termen gibt, sodass die Ungleichungen für alle in diesem Bereich erfüllt sind.

Weierstrass-Schild(gleichmäßige Konvergenz der Funktionsreihe).

Funktionsumfang konvergiert gleichmäßig im Konvergenzbereich, wenn es in diesem Bereich Majorisierbar ist.

Mit anderen Worten: Wenn Funktionen in einem bestimmten Bereich die entsprechenden positiven Zahlen im Absolutwert nicht überschreiten und die Zahlenreihe konvergiert, dann konvergiert die Funktionsreihe in diesem Bereich gleichmäßig.

Beispiel. Beweisen Sie die gleichmäßige Konvergenz der Funktionsreihe.

Lösung. . Ersetzen wir das gemeinsame Mitglied dieser Reihe durch ein gemeinsames Mitglied der numerischen Reihe, wobei wir jedoch jedes Mitglied der Reihe im absoluten Wert übertreffen. Dazu muss ermittelt werden, bei welchem ​​Zeitpunkt die Gesamtlaufzeit der Serie maximal sein wird.

Die resultierende Zahlenreihe konvergiert, das heißt, die Funktionsreihe konvergiert gleichmäßig nach dem Weierstrass-Kriterium.

Beispiel. Finden Sie die Summe der Reihe.

Um die Summe einer Reihe zu ermitteln, verwenden wir die bekannte Formel für die Summe einer geometrischen Folge

Wenn wir die linke und rechte Seite der Formel (1) differenzieren, erhalten wir sequentiell

Wählen wir in der zu berechnenden Summe die Terme aus, die proportional zur ersten und zweiten Ableitung sind:

Berechnen wir die Ableitungen:

Potenzreihe.

Unter den Funktionsreihen gibt es eine Klasse von Potenzreihen und trigonometrischen Reihen.

Definition. Funktionsreihe der Form

heißt Macht durch Mächte. Ausdrücke sind konstante Zahlen.

Wenn die Reihe eine Potenzreihe in Potenzen von ist.

Der Konvergenzbereich der Potenzreihe. Abels Theorem.

Satz. Wenn eine Potenzreihe in einem Punkt konvergiert, dann konvergiert sie und zwar absolut für jeden Wert, der betragsmäßig, also oder im Intervall kleiner ist.

Nachweisen.

Aufgrund der Konvergenz von rad muss sein gemeinsamer Term gegen Null tendieren, daher sind alle Terme dieser Reihe gleichmäßig begrenzt: Es gibt eine so konstante positive Zahl, dass für jeden die Ungleichung . gilt, die für alle mit Mittelpunkt im Punkt gilt

Konvergenzregion Funktionsumfang ist eine Reihe, deren Mitglieder Funktionen sind, die auf einer bestimmten Menge E der Zahlenachse definiert sind. Beispielsweise werden die Terme einer Reihe auf einem Intervall definiert, und die Terme einer Reihe werden auf einem Intervall definiert. Eine Funktionsreihe (1) konvergiert im Punkt Ho € E, wenn sie konvergiert. FUNKTIONSREIHE Konvergenzbereich Gleichförmig Konvergenz-Weierstrass-Test Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Funktionsreihen numerischer Reihen Wenn die Reihe (1) an jedem Punkt x der Menge D C E konvergiert und an jedem Punkt divergiert, der nicht zur Menge D gehört, dann sagt man, dass die Reihe auf der Menge D konvergiert , und D heißt der Konvergenzbereich der Reihe. Eine Reihe (1) heißt absolut konvergent auf einer Menge D, wenn die Reihe auf dieser Menge konvergiert. Im Fall der Konvergenz einer Reihe (1) auf einer Menge D ist ihre Summe S eine auf D definierte Funktion. Der Konvergenzbereich einiger Funktionsreihen kann mithilfe bekannter ausreichender Kriterien ermittelt werden, die für Reihen mit positiven Termen festgelegt wurden, beispielsweise der Dapambert-Test oder der Cauchy-Test. Beispiel 1. Finden Sie den Konvergenzbereich der Reihe M. Da die Zahlenreihe für p > 1 konvergiert und für p ^ 1 divergiert, erhalten wir unter der Annahme von p - Igx diese Reihe. die bei Igx > T konvergiert, d. h. wenn x > 10, und divergieren, wenn Igx ^ 1, d. h. bei 0< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х >Zeile 0 divergiert, da A =. Die Divergenz der Reihe bei x = 0 ist offensichtlich. Beispiel 3. Finden Sie den Konvergenzbereich der Reihe. Die Terme der gegebenen Reihe sind definiert und stetig auf der Menge. Mit dem Kriterium Kosh und finden wir für jeden. Folglich divergiert die Reihe für alle Werte von x. Bezeichnen wir mit Sn(x) die n-te Teilsumme der Funktionsreihe (1). Wenn diese Reihe gegen die Menge D konvergiert und ihre Summe gleich 5(g) ist, kann sie in der Form dargestellt werden, in der die Summe der Reihe gegen die Menge D konvergiert, die aufgerufen wird n-m Rest Funktionsreihe (1). Für alle Werte von x € D gilt daher die Beziehung und. das heißt, der Rest Rn(x) einer konvergenten Reihe strebt gegen Null, unabhängig von x 6 D. Gleichmäßige Konvergenz Unter allen konvergenten Funktionsreihen spielen die sogenannten gleichmäßig konvergenten Reihen eine wichtige Rolle. Gegeben sei eine Funktionsreihe, die gegen eine Menge D konvergent ist und deren Summe gleich S(x) ist. Nehmen wir die n-te Teilsummendefinition. Funktionsreihen FUNKTIONSREIHEN Bereich der Konvergenz Gleichmäßige Konvergenz Weierstrass-Test Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Funktionsreihen heißen gleichmäßig konvergent auf der Menge PS1), wenn es für jede Zahl e > O eine Zahl Γ > O gibt, sodass die Ungleichung für alle Zahlen gilt n > N und für alle x aus der Menge fI. Kommentar. Hier ist die Zahl N für alle x € Yu gleich, d.h. hängt nicht von z ab, sondern von der Wahl der Zahl e, also schreiben wir N = N(e). Die gleichmäßige Konvergenz der Funktionsreihe £ /n(®) zur Funktion S(x) auf der Menge ft wird oft wie folgt bezeichnet: Die Definition der gleichmäßigen Konvergenz der Reihe /n(x) auf der Menge ft kann geschrieben werden Kürzer mit logischen Symbolen: Lassen Sie uns geometrisch die Bedeutung des Funktionsbereichs der gleichmäßigen Konvergenz erklären. Nehmen wir die Strecke [a, 6] als Menge ft und konstruieren Graphen der Funktionen. Die Ungleichung |, die für Zahlen n > N und für alle a gilt; G [a, b] kann in der folgenden Form geschrieben werden. Die erhaltenen Ungleichungen zeigen, dass die Graphen aller Funktionen y = 5n(x) mit Zahlen n > N vollständig innerhalb des durch die Kurven y begrenzten £-Bandes liegen = S(x) - e und y = 5(g) + e (Abb. 1). Beispiel 1 konvergiert gleichmäßig auf dem Intervall. Diese Reihe alterniert im Vorzeichen, erfüllt die Bedingungen des Leibniz-Kriteriums für jedes x € [-1,1] und konvergiert daher auf dem Intervall (-1,1]. Sei S(x ) sei seine Summe und Sn (x) - seine n-i teilweise Summe. Der Rest der Reihe im absoluten Wert überschreitet nicht den absoluten Wert seines ersten Termes: und da Nehmen wir irgendein e. Dann ist die Ungleichung | wird ausgeführt, wenn. Von hier aus finden wir, dass n > \. Wenn wir eine Zahl nehmen (hier bezeichnet [a] die größte ganze Zahl, die a nicht überschreitet), dann ist die Ungleichung | e gilt für alle Zahlen n > N und für alle x € [-1,1). Dies bedeutet, dass diese Reihe im Intervall [-1,1) gleichmäßig konvergiert. I. Nicht jede Funktionsreihe, die auf einer Menge D konvergent ist, ist in Beispiel 2 gleichmäßig konvergent. Wir zeigen, dass die Reihe auf einem Intervall konvergent ist, jedoch nicht gleichmäßig. 4 Berechnen wir die n-te Teilsumme £„(*) der Reihe. Wir haben: Wo konvergiert diese Reihe gegen das Segment und seine Summe, wenn der Absolutwert der Differenz S(x) - 5„(x) (der Rest der Reihe) gleich ist? Nehmen wir eine solche Zahl e. Lassen Sie Wir die Ungleichung in Bezug auf n auflösen. Wir haben, woher (da und bei der Division durch Inx das Vorzeichen der Ungleichung in das Gegenteil wechselt). Die Ungleichung wird erfüllt sein, wenn. Daher gibt es eine solche Zahl N(e) unabhängig von x, dass die Ungleichung für jedes) für alle x aus dem Segment gleichzeitig erfüllt ist. , existiert nicht. Wenn wir das Segment 0 durch ein kleineres Segment ersetzen, wo, dann konvergiert diese Reihe auf letzterem gleichmäßig zur Funktion S0. Tatsächlich für und daher für für alle x auf einmal §3. Der Weierstrass-Test Ein ausreichender Test für die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionsreihe ist der Satz von Weierstrass. Satz 1 (Weierstrass-Test). Lassen Sie für alle x aus der Menge Q die Terme der Funktionsreihe in absoluten Werten die entsprechenden Mitglieder der konvergenten Zahlenreihe P = 1 mit positiven Termen, also für alle x € Q, nicht überschreiten. Dann ist die Funktionsreihe (1 ) auf der Menge P absolut und gleichmäßig konvergiert. Und da gemäß den Bedingungen des Satzes die Terme der Reihe (1) die Bedingung (3) für die gesamte Menge Q erfüllen, konvergiert durch Vergleich die Reihe 2 \fn(x)\ für jedes x € I und , folglich konvergiert die Reihe (1) absolut gegen P. Beweisen wir die gleichmäßige Konvergenz der Reihe (1). Es seien Sn(x) und an die Teilsummen der Reihen (1) bzw. (2). Wir haben: Nehmen Sie eine beliebige (beliebig kleine) Zahl e > 0. Aus der Konvergenz der Zahlenreihe (2) folgt dann die Existenz einer Zahl N = N(e), sodass also -e für alle Zahlen n > N gilt (e) und für alle xbP, d.h. Reihe (1) konvergiert gleichmäßig auf der Menge P. Bemerkung. Die Zahlenreihe (2) wird oft als Majorisierung oder Majorant für die Funktionsreihe (1) bezeichnet. Beispiel 1. Untersuchen Sie die Reihe auf gleichmäßige Konvergenz. Die Ungleichung gilt für alle. und für alle. Die Zahlenreihe konvergiert. Aufgrund des Weierstrass-Kriteriums konvergiert die betrachtete Funktionsreihe absolut und gleichmäßig auf der gesamten Achse. Beispiel 2. Untersuchen Sie die Reihe auf gleichmäßige Konvergenz. Die Terme der Reihe sind definiert und stetig im Intervall [-2,2|. Da im Intervall [-2,2) für jede natürliche Zahl n gilt, gilt somit die Ungleichung für. Da die Zahlenreihe konvergiert, konvergiert nach dem Kriterium von Weierstraß die ursprüngliche Funktionsreihe absolut und gleichmäßig auf der Strecke. Kommentar. Die Funktionsreihe (1) kann gleichmäßig auf der Menge Piv konvergieren, wenn es keine numerische Majorantenreihe (2) gibt, d. h. das Weierstrass-Kriterium ist nur ein ausreichendes Kriterium für gleichmäßige Konvergenz, aber nicht notwendig. Beispiel. Wie oben gezeigt wurde (Beispiel), konvergiert die Reihe gleichmäßig auf dem Segment 1-1,1]. Allerdings gibt es für sie keine Majoranten-Konvergenz-Zahlenreihe (2). Tatsächlich ist für alle natürlichen n und für alle x € [-1,1) die Ungleichung erfüllt und Gleichheit wird erreicht, wenn. Daher müssen die Mitglieder der gewünschten Majorantenreihe (2) sicherlich die Bedingung erfüllen, aber die Zahlenreihe FUNKTIONSREIHE Konvergenzbereich Gleichmäßige Konvergenz Weierstrass-Test Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Funktionsreihen divergieren. Das bedeutet, dass auch die Reihe £op divergieren wird. Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Funktionsreihen Gleichmäßig konvergente Funktionsreihen weisen eine Reihe wichtiger Eigenschaften auf. Satz 2. Wenn alle Terme einer Reihe, die im Intervall [a, b] gleichmäßig konvergieren, mit derselben Funktion d(x) multipliziert werden, die auf [a, 6] beschränkt ist, dann konvergiert die resultierende Funktionsreihe gleichmäßig. Auf dem Intervall [a, b\ soll die Reihe £ fn(x) gleichmäßig gegen die Funktion 5(x) konvergieren und die Funktion d(x) beschränkt sein, d. h. es existiert eine Konstante C > 0, so dass per Definition gilt der gleichmäßigen Konvergenz der Reihe für jede Zahl e > 0 gibt es eine Zahl N, so dass für alle n > N und für alle x € [a, b] die Ungleichung erfüllt ist, wobei 5n(ar) die Teilsumme der ist Serie in Betracht gezogen. Deshalb werden wir es für jeden haben. die Reihe konvergiert gleichmäßig gegen [a, b| zum Funktionssatz 3. Alle Terme fn(x) der Funktionsreihe seien stetig und die Reihe konvergiere gleichmäßig auf dem Intervall [a, b\. Dann ist die Summe S(x) der Reihe in diesem Intervall stetig. M Nehmen wir zwei beliebige Punkte ig + Ax auf der Strecke [o, b]. Da diese Reihe im Intervall [a, b] gleichmäßig konvergiert, gibt es für jede Zahl e > O eine Zahl N = N(e), so dass für alle i > N die Ungleichungen erfüllt sind, wobei 5„(g) sind Teilsummen der Reihe fn (x). Diese Teilsummen 5n(x) sind auf dem Intervall [a, 6] stetig als Summen einer endlichen Anzahl von Funktionen fn(x), die auf [a, 6] stetig sind. Daher gibt es für eine feste Zahl no > N(e) und eine gegebene Zahl e eine Zahl 6 = 6(e) > 0, so dass für das Inkrement Ax, das die Bedingung | erfüllt, die Ungleichung gilt: Das Inkrement AS von Die Summe S(x) kann in der folgenden Form dargestellt werden: wobei. Unter Berücksichtigung der Ungleichungen (1) und (2) erhalten wir für Inkremente Ax, die die Bedingung | erfüllen. Dies bedeutet, dass die Summe Six) am Punkt x stetig ist. Da x ein beliebiger Punkt der Strecke [a, 6] ist, ist 5(x) stetig auf |a, 6|. Kommentar. Eine Funktionsreihe, deren Terme auf dem Intervall [a, 6] stetig sind, die aber auf (a, 6] ungleichmäßig konvergiert, kann als Summe eine unstetige Funktion haben. Beispiel 1. Betrachten Sie eine Funktionsreihe auf dem Intervall |0,1 ). Berechnen wir seine n-te Teilsumme. Daher ist es auf dem Segment unstetig, obwohl die Terme der Reihe auf ihm stetig sind. Aufgrund des bewährten Satzes ist diese Reihe auf dem Intervall nicht gleichmäßig konvergent. Beispiel 2. Betrachten Sie die Reihe. Wie oben gezeigt, konvergiert diese Reihe bei, die Reihe wird gemäß dem Weierstrass-Test gleichmäßig konvergieren, da 1 und die Zahlenreihe konvergieren. Folglich ist die Summe dieser Reihe für jedes x > 1 stetig. Kommentar. Die Funktion wird Riemann-Funktion genannt (diese Funktion spielt in der Zahlentheorie eine große Rolle). Satz 4 (zur Term-für-Term-Integration einer Funktionsreihe). Alle Terme fn(x) der Reihe seien stetig und die Reihe konvergiere gleichmäßig auf dem Intervall [a, b] zur Funktion S(x). Dann gilt die Gleichheit: Aufgrund der Stetigkeit der Funktionen f„(x) und der gleichmäßigen Konvergenz dieser Reihe auf dem Intervall [a, 6] ist ihre Summe 5(x) stetig und daher auf integrierbar. Betrachten wir den Unterschied. Aus der gleichmäßigen Konvergenz der Reihe auf [o, b] folgt, dass es für jedes e > 0 eine Zahl N(e) > 0 gibt, so dass für alle Zahlen n > N(e) und für alle gilt x € [a, 6] die Ungleichung wird erfüllt Wenn die Reihe fn(0 nicht gleichmäßig konvergent ist, dann kann sie im Allgemeinen nicht Term für Term integriert werden, d. h. Satz 5 (zur Term-für-Term-Differenzierung einer Funktionsreihe) . Angenommen, alle Terme der konvergenten Reihe 00 haben stetige Ableitungen und die Reihe, die aus diesen Ableitungen besteht, konvergiert gleichmäßig im Intervall [a, b]. Dann ist die Gleichheit an jedem Punkt wahr, d. h. diese Reihe kann durch einen Term differenziert werden Term. M Nehmen wir zwei beliebige Punkte. Dann haben wir aufgrund von Satz 4: Die Funktion o-(x) ist stetig als Summe einer gleichmäßig konvergenten Reihe stetiger Funktionen. Durch Differenzieren der Gleichheit erhalten wir daher Übungen Finden Sie die Konvergenzbereiche dieser Funktionsreihen: Beweisen Sie mit dem Weierstrass-Test die gleichmäßige Konvergenz dieser Funktionsreihen in den angegebenen Intervallen:

Funktionsreihe. Potenzreihe.
Konvergenzbereich der Reihe

Grundloses Lachen ist ein Zeichen von d'Alembert

Die Stunde der funktionalen Dienstgrade hat geschlagen. Um das Thema und insbesondere diese Lektion erfolgreich zu meistern, müssen Sie über ein gutes Verständnis gewöhnlicher Zahlenreihen verfügen. Sie sollten gut verstehen, was eine Reihe ist, und in der Lage sein, Vergleichskriterien anzuwenden, um die Reihe auf Konvergenz zu untersuchen. Wenn Sie also gerade erst mit dem Studium des Themas begonnen haben oder Anfänger in der höheren Mathematik sind, notwendig Arbeiten Sie drei Lektionen nacheinander durch: Reihen für Dummies,D'Alemberts Zeichen. Cauchys Zeichen Und Abwechselnde Reihen. Leibniz-Test. Auf jeden Fall alle drei! Wenn Sie über grundlegende Kenntnisse und Fähigkeiten zur Lösung von Problemen mit Zahlenreihen verfügen, wird der Umgang mit Funktionsreihen recht einfach sein, da es nicht viel neues Material gibt.

In dieser Lektion schauen wir uns das Konzept einer Funktionsreihe an (was es überhaupt ist), machen uns mit Potenzreihen vertraut, die in 90 % der praktischen Aufgaben vorkommen, und lernen, wie man ein häufiges typisches Problem der Bestimmung des Radius löst Konvergenz, Konvergenzintervall und Konvergenzbereich einer Potenzreihe. Als nächstes empfehle ich, das Material darüber zu betrachten Erweiterung von Funktionen in Potenzreihen, und dem Anfänger wird Erste Hilfe geleistet. Nachdem wir etwas Luft geholt haben, gehen wir zum nächsten Level über:

Auch im Bereich der Funktionsserien gibt es davon zahlreiche Anwendungen zur Näherungsberechnung, und in gewisser Weise stechen Fourier-Reihen hervor, denen in der Bildungsliteratur in der Regel ein eigenes Kapitel gewidmet wird. Ich habe nur einen Artikel, aber er ist lang und es gibt viele, viele zusätzliche Beispiele!

Also, die Meilensteine ​​sind gesetzt, los geht’s:

Das Konzept der Funktionsreihen und Potenzreihen

Wenn sich herausstellt, dass die Grenze unendlich ist, dann beendet auch der Lösungsalgorithmus seine Arbeit und wir geben die endgültige Antwort auf die Aufgabe: „Die Reihe konvergiert bei“ (oder bei „beide“). Siehe Fall Nr. 3 des vorherigen Absatzes.

Wenn sich herausstellt, dass der Grenzwert weder Null noch Unendlich ist, dann haben wir den in der Praxis häufigsten Fall Nr. 1 – die Reihe konvergiert in einem bestimmten Intervall.

In diesem Fall liegt die Grenze bei . Wie finde ich das Konvergenzintervall einer Reihe? Wir bilden die Ungleichung:

IN JEDE Aufgabe dieser Art auf der linken Seite der Ungleichung sollte sein Ergebnis der Limitberechnung, und auf der rechten Seite der Ungleichung – streng Einheit. Ich werde nicht genau erklären, warum es eine solche Ungleichheit gibt und warum es rechts eine gibt. Die Lektionen sind Praxisorientierung, und es ist schon sehr gut, dass meine Geschichten das Lehrpersonal nicht hängen ließen und einige Theoreme klarer geworden sind.

Die Technik, mit einem Modul zu arbeiten und doppelte Ungleichungen zu lösen, wurde im ersten Jahr des Artikels ausführlich besprochen Funktionsdomäne, aber der Einfachheit halber werde ich versuchen, alle Aktionen so detailliert wie möglich zu kommentieren. Wir offenbaren die Ungleichung mit dem Modul von Schulordnung . In diesem Fall:

Der halbe Weg ist vorbei.

Im zweiten Schritt muss die Konvergenz der Reihe an den Enden des gefundenen Intervalls untersucht werden.

Zuerst nehmen wir das linke Ende des Intervalls und setzen es in unsere Potenzreihe ein:

Bei

Wir haben eine Zahlenreihe erhalten und müssen diese auf Konvergenz untersuchen (eine Aufgabe, die wir bereits aus früheren Lektionen kennen).

1) Die Serie ist alternierend.
2) – Die Glieder der Reihe nehmen im Modul ab. Darüber hinaus ist jedes nächste Mitglied der Reihe im absoluten Wert kleiner als das vorherige: , was bedeutet, dass die Abnahme monoton ist.
Fazit: Die Reihe konvergiert.

Anhand einer Reihe von Modulen erfahren wir genau, wie:
– konvergiert („Standard“-Reihe aus der Familie der verallgemeinerten harmonischen Reihen).

Somit konvergiert die resultierende Zahlenreihe absolut.

bei – konvergiert.

! Ich erinnere dich dass jede konvergente positive Reihe auch absolut konvergent ist.

Somit konvergiert die Potenzreihe absolut an beiden Enden des gefundenen Intervalls.

Antwort: Konvergenzbereich der untersuchten Potenzreihe:

Eine andere Antwortform hat das Recht auf Leben: Eine Reihe konvergiert, wenn

Manchmal erfordert die Problemstellung die Angabe des Konvergenzradius. Es ist offensichtlich, dass im betrachteten Beispiel .

Beispiel 2

Finden Sie den Konvergenzbereich der Potenzreihe

Lösung: Wir finden das Konvergenzintervall der Reihe mit Hilfe d'Alemberts Zeichen (aber nicht das BY-Attribut! – ein solches Attribut gibt es für Funktionsreihen nicht):

Die Reihe konvergiert bei

Links wir müssen gehen nur, also multiplizieren wir beide Seiten der Ungleichung mit 3:

– Die Serie ist abwechselnd.
– – Die Glieder der Reihe nehmen im Modul ab. Jedes nächste Mitglied der Reihe ist im absoluten Wert kleiner als das vorherige: , was bedeutet, dass die Abnahme monoton ist.

Fazit: Die Reihe konvergiert.

Untersuchen wir es auf die Natur der Konvergenz:

Vergleichen wir diese Reihe mit einer divergenten Reihe.
Wir verwenden das limitierende Vergleichskriterium:

Man erhält eine endliche Zahl, die von Null verschieden ist, was bedeutet, dass die Reihe von der Reihe abweicht.

Somit konvergiert die Reihe bedingt.

2) Wann – divergiert (nach dem, was nachgewiesen wurde).

Antwort: Konvergenzbereich der untersuchten Potenzreihe: . Wenn die Reihe bedingt konvergiert.

Im betrachteten Beispiel ist der Konvergenzbereich der Potenzreihe ein halbes Intervall und an allen Punkten des Intervalls die Potenzreihe konvergiert absolut, und an dem Punkt, wie sich herausstellte – bedingt.

Beispiel 3

Finden Sie das Konvergenzintervall der Potenzreihe und untersuchen Sie seine Konvergenz an den Enden des gefundenen Intervalls

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an, die selten sind, aber vorkommen.

Beispiel 4

Finden Sie den Konvergenzbereich der Reihe:

Lösung: Mit dem d'Alembert-Test ermitteln wir das Konvergenzintervall dieser Reihe:

(1) Wir bilden das Verhältnis des nächsten Mitglieds der Reihe zum vorherigen.

(2) Wir entfernen uns von der vierstöckigen Fraktion.

(3) Gemäß der Regel der Operationen mit Potenzen bringen wir die Würfel unter eine einzige Potenz. Im Zähler erweitern wir geschickt den Grad, d.h. Wir ordnen es so an, dass wir im nächsten Schritt den Bruch um reduzieren können. Wir beschreiben Fakultäten im Detail.

(4) Unter dem Würfel dividieren wir Term für Term den Zähler durch den Nenner, was anzeigt, dass . In einem Bruchteil reduzieren wir alles, was reduziert werden kann. Wir nehmen den Faktor über das Grenzzeichen hinaus; er kann herausgenommen werden, da darin nichts enthalten ist, was von der „dynamischen“ Variablen „en“ abhängt. Bitte beachten Sie, dass das Modulzeichen nicht gezeichnet wird – aus dem Grund, dass es für jedes „x“ nicht negative Werte annimmt.

Im Grenzfall erhält man Null, was bedeutet, dass wir die endgültige Antwort geben können:

Antwort: Die Reihe konvergiert bei

Doch zunächst schien es, dass dieser Streit mit der „schrecklichen Füllung“ schwer zu lösen sein würde. Null oder Unendlich im Limit ist fast ein Geschenk, denn die Lösung wird spürbar reduziert!

Beispiel 5

Finden Sie den Konvergenzbereich der Reihe

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Seien Sie vorsichtig;-) Die vollständige Lösung finden Sie am Ende der Lektion.

Schauen wir uns noch ein paar Beispiele an, die im Hinblick auf den Einsatz technischer Techniken ein Novum enthalten.

Beispiel 6

Finden Sie das Konvergenzintervall der Reihe und untersuchen Sie seine Konvergenz an den Enden des gefundenen Intervalls

Lösung: Der gemeinsame Term der Potenzreihe enthält einen Faktor, der für den Vorzeichenwechsel sorgt. Der Lösungsalgorithmus bleibt vollständig erhalten, aber bei der Festlegung des Grenzwerts ignorieren wir diesen Faktor (schreiben ihn nicht), da das Modul alle „Minuspunkte“ zerstört.

Wir ermitteln das Konvergenzintervall der Reihe mithilfe des d'Alembert-Tests:

Erstellen wir eine Standardungleichung:
Die Reihe konvergiert bei
Links wir müssen gehen Nur Modul, also multiplizieren wir beide Seiten der Ungleichung mit 5:

Nun öffnen wir das Modul auf bekannte Weise:

In der Mitte der doppelten Ungleichung müssen Sie nur „X“ stehen lassen; dazu subtrahieren wir von jedem Teil der Ungleichung 2:

– Konvergenzintervall der untersuchten Potenzreihe.

Wir untersuchen die Konvergenz der Reihe an den Enden des gefundenen Intervalls:

1) Setze den Wert in unsere Potenzreihe ein :

Seien Sie äußerst vorsichtig, der Multiplikator bietet keinen Vorzeichenwechsel für ein natürliches „en“. Wir nehmen das resultierende Minus außerhalb der Reihe und vergessen es, da es (wie jede Faktorkonstante) in keiner Weise die Konvergenz oder Divergenz der Zahlenreihe beeinflusst.

Bitte noch einmal beachten dass im Zuge der Einsetzung des Wertes in den allgemeinen Term der Potenzreihe unser Faktor reduziert wurde. Geschieht dies nicht, liegt das daran, dass wir entweder das Limit falsch berechnet oder das Modul falsch erweitert haben.

Wir müssen also die Zahlenreihe auf Konvergenz untersuchen. Hier ist es am einfachsten, das limitierende Vergleichskriterium zu nutzen und diese Reihe mit einer divergenten harmonischen Reihe zu vergleichen. Aber um ehrlich zu sein, bin ich des einschränkenden Vergleichszeichens furchtbar überdrüssig, deshalb werde ich die Lösung etwas abwechslungsreicher gestalten.

Die Reihe konvergiert also bei

Wir multiplizieren beide Seiten der Ungleichung mit 9:

Wir extrahieren die Wurzel aus beiden Teilen und erinnern uns dabei an den Witz der alten Schule:


Erweiterung des Moduls:

und füge eins zu allen Teilen hinzu:

– Konvergenzintervall der untersuchten Potenzreihe.

Untersuchen wir die Konvergenz der Potenzreihe an den Enden des gefundenen Intervalls:

1) Wenn , dann erhält man folgende Zahlenreihe:

Der Multiplikator ist spurlos verschwunden, da für jeden natürlichen Wert „en“ gilt.

Funktionsumfang wird als formal geschriebener Ausdruck bezeichnet

u1 (X) + u 2 (X) + u 3 (X) + ... + u N ( X) + ... , (1)

Wo u1 (X), u 2 (X), u 3 (X), ..., u N ( X), ... - Funktionsfolge aus der unabhängigen Variablen X.

Verkürzte Schreibweise einer Funktionsreihe mit Sigma: .

Beispiele für Funktionsreihen sind: :

(2)

(3)

Angabe der unabhängigen Variablen X etwas Wert X0 und wenn wir es in die Funktionsreihe (1) einsetzen, erhalten wir die Zahlenreihe

u1 (X 0 ) + u 2 (X 0 ) + u 3 (X 0 ) + ... + u N ( X 0 ) + ...

Konvergiert die resultierende Zahlenreihe, so spricht man von einer Konvergenz der Funktionsreihe (1). X = X0 ; Wenn sie divergiert, wird gesagt, dass die Reihe (1) bei divergiert X = X0 .

Beispiel 1. Untersuchen Sie die Konvergenz einer Funktionsreihe(2) bei Werten X= 1 und X = - 1 .
Lösung. Bei X= 1 erhalten wir eine Zahlenreihe

die nach Leibniz‘ Kriterium konvergiert. Bei X= - 1 erhalten wir eine Zahlenreihe

,

die als Produkt einer divergenten harmonischen Reihe um – 1 divergiert. Die Reihe (2) konvergiert also bei X= 1 und divergiert bei X = - 1 .

Wenn eine solche Überprüfung der Konvergenz der Funktionsreihe (1) in Bezug auf alle Werte der unabhängigen Variablen aus dem Definitionsbereich ihrer Mitglieder durchgeführt wird, werden die Punkte dieses Bereichs in zwei Mengen unterteilt: für die Werte X In einer davon konvergiert die Reihe (1) und in der anderen divergiert sie.

Die Wertemenge der unabhängigen Variablen, bei der die Funktionsreihe konvergiert, wird als ihre bezeichnet Bereich der Konvergenz .

Beispiel 2. Finden Sie den Konvergenzbereich der Funktionsreihe

Lösung. Die Glieder der Reihe sind auf dem gesamten Zahlenstrahl definiert und bilden eine geometrische Folge mit Nenner Q= Sünde X. Daher konvergiert die Reihe, wenn

und divergiert, wenn

(Werte nicht möglich). Aber für die Werte und für andere Werte X. Daher konvergiert die Reihe für alle Werte X, außer . Der Bereich seiner Konvergenz ist die gesamte Zahlenlinie mit Ausnahme dieser Punkte.

Beispiel 3. Finden Sie den Konvergenzbereich der Funktionsreihe

Lösung. Die Terme der Reihe bilden mit dem Nenner eine geometrische Folge Q=ln X. Daher konvergiert die Reihe, wenn , oder , woher . Dies ist der Konvergenzbereich dieser Reihe.

Beispiel 4. Untersuchen Sie die Konvergenz einer Funktionsreihe

Lösung. Nehmen wir einen beliebigen Wert. Mit diesem Wert erhalten wir eine Zahlenreihe

(*)

Lassen Sie uns die Grenze seines gemeinsamen Begriffs finden

Folglich divergiert die Reihe (*) für ein willkürlich gewähltes, d. h. um jeden Wert X. Sein Konvergenzbereich ist die leere Menge.

Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionsreihe und ihrer Eigenschaften

Kommen wir zum Konzept gleichmäßige Konvergenz der Funktionsreihe . Lassen S(X) ist die Summe dieser Reihe und SN ( X) - Summe N die ersten Mitglieder dieser Serie. Funktionsumfang u1 (X) + u 2 (X) + u 3 (X) + ... + u N ( X) + ... heißt gleichmäßig konvergent im Intervall [ A, B] , wenn für eine beliebig kleine Zahl ε > 0 gibt es so eine Zahl N das vor aller Augen N ≥ N Ungleichheit wird erfüllt

|S(X) − S N ( X)| < ε

für jeden X aus dem Segment [ A, B] .

Die obige Eigenschaft lässt sich geometrisch wie folgt veranschaulichen.

Betrachten Sie den Graphen der Funktion j = S(X) . Konstruieren wir um diese Kurve einen Streifen der Breite 2 ε N, das heißt, wir werden Kurven konstruieren j = S(X) + ε N Und j = S(X) − ε N(im Bild unten sind sie grün).

Dann für jeden ε N Graph einer Funktion SN ( X) wird vollständig im betrachteten Streifen liegen. Derselbe Streifen enthält Diagramme aller nachfolgenden Teilsummen.

Jede konvergente Funktionsreihe, die nicht die oben beschriebene Eigenschaft aufweist, ist ungleichmäßig konvergent.

Betrachten wir eine weitere Eigenschaft gleichmäßig konvergenter Funktionsreihen:

die Summe einer Reihe stetiger Funktionen, die in einem bestimmten Intervall gleichmäßig konvergieren [ A, B] gibt es eine in diesem Intervall stetige Funktion.

Beispiel 5. Bestimmen Sie, ob die Summe einer Funktionsreihe stetig ist

Lösung. Finden wir die Summe N Die ersten Mitglieder dieser Serie:

Wenn X> 0 also

,

Wenn X < 0 , то

Wenn X= 0 also

Und deswegen .

Unsere Forschung hat gezeigt, dass die Summe dieser Reihe eine diskontinuierliche Funktion ist. Sein Diagramm ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Weierstrass-Test für gleichmäßige Konvergenz von Funktionsreihen

Wir nähern uns dem Weierstrass-Kriterium durch das Konzept Majorisierbarkeit funktionaler Reihen . Funktionsumfang

u1 (X) + u 2 (X) + u 3 (X) + ... + u N ( X) + ...

4.1. Funktionsreihe: Grundbegriffe, Konvergenzbereich

Definition 1. Eine Reihe, deren Mitglieder Funktionen von einem oder sind
mehrere unabhängige Variablen, die auf einer bestimmten Menge definiert sind, werden aufgerufen Funktionsumfang.

Betrachten Sie eine Funktionsreihe, deren Mitglieder Funktionen einer unabhängigen Variablen sind X. Summe von zuerst N Mitglieder einer Reihe sind eine Teilsumme einer gegebenen Funktionsreihe. Allgemeines Mitglied Es gibt eine Funktion von X, definiert in einer bestimmten Region. Betrachten Sie die Funktionsreihe an dieser Stelle . Wenn die entsprechende Nummernreihe konvergiert, d.h. Die Teilsummen dieser Reihe sind begrenzt
(Wo − Summe einer Zahlenreihe), dann heißt der Punkt Konvergenzpunkt Funktionsumfang . Wenn die Zahlenreihe divergiert, dann heißt der Punkt Divergenzpunkt Funktionsumfang.

Definition 2. Konvergenzbereich Funktionsumfang heißt die Menge aller dieser Werte X, bei dem die Funktionsreihe konvergiert. Bezeichnet wird der Konvergenzbereich, bestehend aus allen Konvergenzpunkten . Beachten Sie, dass R.

Die Funktionsreihe konvergiert in der Region , wenn überhaupt es konvergiert wie eine Zahlenreihe, und seine Summe wird eine Funktion sein . Dies ist das sogenannte Grenzfunktion Sequenzen : .

So finden Sie den Konvergenzbereich einer Funktionsreihe ? Sie können ein Zeichen verwenden, das dem d'Alembert-Zeichen ähnelt. Für eine Reihe komponieren und betrachten Sie den Grenzwert für einen festen Wert X:
. Dann ist eine Lösung der Ungleichung und Lösen der Gleichung (Wir nehmen nur die Lösungen der Gleichung in
welche entsprechenden Zahlenreihen konvergieren).

Beispiel 1. Finden Sie den Konvergenzbereich der Reihe.

Lösung. Bezeichnen wir , . Lassen Sie uns das Limit zusammenstellen und berechnen
, dann wird der Konvergenzbereich der Reihe durch die Ungleichung bestimmt und die Gleichung . Untersuchen wir die Konvergenz der ursprünglichen Reihe an den Punkten, die die Wurzeln der Gleichung sind, weiter:

und wenn , , dann erhalten wir eine divergente Reihe ;

b) wenn , , dann die Serie konvergiert bedingt (von

Leibniz-Kriterium, Beispiel 1, Vorlesung 3, Abschnitt. 3.1).

Somit der Konvergenzbereich Serie sieht aus wie: .

4.2. Potenzreihen: Grundkonzepte, Satz von Abel

Betrachten wir einen Sonderfall einer Funktionsreihe, die sogenannte Potenzreihe , Wo
.

Definition 3. Potenzreihe heißt eine Funktionsreihe der Form,

Wo − konstante Zahlen genannt Koeffizienten der Reihe.

Eine Potenzreihe ist ein „unendliches Polynom“, das in aufsteigenden Potenzen angeordnet ist . Beliebige Zahlenreihen Ist
ein Spezialfall einer Potenzreihe für .

Betrachten wir den Spezialfall einer Potenzreihe für :
. Lassen Sie uns herausfinden, um welchen Typ es sich handelt
Konvergenzbereich dieser Reihe .

Satz 1 (Abels Satz). 1) Wenn die Potenzreihe konvergiert in einem Punkt , dann konvergiert es absolut für jeden X, für die die Ungleichung gilt .

2) Wenn die Potenzreihe bei divergiert , dann divergiert es für jeden X, wofür .

Nachweisen. 1) Aufgrund der Bedingung konvergiert die Potenzreihe im Punkt ,

d.h. die Zahlenreihe konvergiert

(1)

und gemäß dem notwendigen Konvergenzkriterium tendiert sein gemeinsamer Term gegen 0, d.h. . Daher gibt es eine solche Nummer dass alle Mitglieder der Serie durch diese Anzahl begrenzt sind:
.

Betrachten wir nun welche X, wofür , und erstellen Sie eine Reihe absoluter Werte: .
Schreiben wir diese Serie in einer anderen Form: seit , dann (2).

Aus Ungleichheit
wir bekommen, d.h. Reihe

besteht aus Termen, die größer sind als die entsprechenden Terme der Reihe (2). Reihe stellt eine konvergente Reihe einer geometrischen Folge mit einem Nenner dar , Und , als . Folglich konvergiert die Reihe (2) bei . Also die Potenzreihe passt absolut.

2) Lassen Sie die Serie divergiert bei , mit anderen Worten,

Zahlenreihe divergiert . Lassen Sie uns das für jeden beweisen X () divergiert die Reihe. Der Beweis erfolgt durch Widerspruch. Lassen Sie einige

Fest ( ) konvergiert die Reihe, dann konvergiert sie für alle (siehe den ersten Teil dieses Theorems), insbesondere wann , was der Bedingung 2) von Satz 1 widerspricht. Der Satz ist bewiesen.

Folge. Der Satz von Abel ermöglicht es uns, die Lage des Konvergenzpunkts einer Potenzreihe zu beurteilen. Wenn der Punkt ist der Konvergenzpunkt der Potenzreihe, dann das Intervall gefüllt mit Konvergenzpunkten; wenn der Divergenzpunkt der Punkt ist , Das
unendliche Intervalle gefüllt mit Divergenzpunkten (Abb. 1).

Reis. 1. Konvergenz- und Divergenzintervalle der Reihe

Es kann gezeigt werden, dass es eine solche Zahl gibt das vor aller Augen
Potenzreihe konvergiert absolut und wann − divergiert. Wir gehen davon aus, dass, wenn die Reihe nur an einem Punkt 0 konvergiert, dann und ob die Reihe für alle konvergiert , Das .

Definition 4. Konvergenzintervall Potenzreihe ein solches Intervall heißt das vor aller Augen diese Reihe konvergiert und darüber hinaus absolut und für alle X, außerhalb dieses Intervalls liegend, divergiert die Reihe. Nummer R angerufen Konvergenzradius Potenzreihe.

Kommentar. Am Ende des Intervalls Die Frage der Konvergenz oder Divergenz einer Potenzreihe wird für jede einzelne Reihe separat gelöst.

Lassen Sie uns eine Möglichkeit zeigen, das Intervall und den Konvergenzradius einer Potenzreihe zu bestimmen.

Betrachten Sie die Potenzreihe und bezeichnen .

Lassen Sie uns eine Reihe absoluter Werte seiner Mitglieder erstellen:

und wenden Sie den d'Alembert-Test darauf an.

Lass es existieren

.

Nach dem d'Alembert-Test konvergiert eine Reihe, wenn und divergiert, wenn . Daher konvergiert die Reihe bei , dann ist das Konvergenzintervall: . Wenn die Serie auseinandergeht, seitdem .
Verwendung der Notation , erhalten wir eine Formel zur Bestimmung des Konvergenzradius einer Potenzreihe:

,

Wo − Potenzreihenkoeffizienten.

Wenn sich herausstellt, dass die Grenze , dann nehmen wir an .

Um das Intervall und den Konvergenzradius einer Potenzreihe zu bestimmen, können Sie auch den radikalen Cauchy-Test verwenden; aus der Beziehung wird der Konvergenzradius der Reihe ermittelt .

Definition 5. Verallgemeinerte Potenzreihen heißt eine Reihe der Form

. Sie wird auch Potenzreihe genannt .
Für eine solche Reihe hat das Konvergenzintervall die Form: , Wo − Konvergenzradius.

Lassen Sie uns zeigen, wie man den Konvergenzradius für eine verallgemeinerte Potenzreihe ermittelt.

diese. , Wo .

Wenn , Das und der Konvergenzbereich R; Wenn , Das und Konvergenzregion .

Beispiel 2. Finden Sie den Konvergenzbereich der Reihe .

Lösung. Bezeichnen wir . Lasst uns eine Grenze setzen

Lösung der Ungleichung: , , also das Intervall

Konvergenz hat die Form: , Und R= 5. Zusätzlich untersuchen wir die Enden des Konvergenzintervalls:
A) , , wir bekommen die Serie , was divergiert;
B) , , wir bekommen die Serie , was konvergiert
bedingt. Somit ist der Konvergenzbereich: , .

Antwort: Konvergenzregion .

Beispiel 3. Reihe für jeden anders , als bei , Konvergenzradius .

Beispiel 4. Die Reihe konvergiert für alle R, Konvergenzradius .