Birinchi tartibli sirt nima. Birinchi tartibli algebraik yuzalar. Ushbu ma'lumotnoma materiali va analoglari o'rtasidagi farq nima

§7. Birinchi tartibli sirt sifatida tekislik. Samolyotning umumiy tenglamasi. Berilgan vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan oʻtuvchi tekislik tenglamasi Toʻgʻri burchakli dekart koordinata sistemasi Oxyzni fazoga kiritamiz va x, y, z uchun birinchi darajali tenglamani (yoki chiziqli tenglamani) koʻrib chiqamiz: (7.1) Ax  By.  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0 . 7.1 teorema. Har qanday tekislikni ixtiyoriy to'rtburchaklar Dekart koordinatalar tizimida (7.1) ko'rinishdagi tenglama bilan aniqlash mumkin. Xuddi tekislikdagi chiziq holatida bo'lgani kabi, 7.1 teoremaga qarama-qarshi teorema ham o'rinlidir. 7.2 teorema. (7.1) shakldagi har qanday tenglama fazodagi tekislikni aniqlaydi. 7.1 va 7.2 teoremalarning isboti xuddi 2.1, 2.2 teoremalarning isboti kabi amalga oshirilishi mumkin. 7.1 va 7.2 teoremalardan tekislik va faqat u birinchi tartibli sirt ekanligi kelib chiqadi. (7.1) tenglama tekislikning umumiy tenglamasi deyiladi. Uning  koeffitsientlari A, B, C bu tenglama bilan aniqlangan tekislikka perpendikulyar n vektorning koordinatalari sifatida geometrik talqin qilinadi. Bu vektor  n(A, B, C) berilgan tekislikka normal vektor deyiladi. (7.2) A(x  x0)  B(y  y0)  C (z  z0)  0 tenglama A, B, C koeffitsientlarining barcha mumkin bo‘lgan qiymatlari uchun M 0 nuqtasidan o‘tuvchi barcha tekisliklarni aniqlaydi. x0 , y0 , z0) . Bu tekisliklar to'plamining tenglamasi deyiladi. Tanlov muayyan qiymatlar (7.2) da A, B, C deb berilgan n(A, B, C) vektorga  ga perpendikulyar M 0 nuqtadan o`tuvchi tutashuvdan P tekislikni tanlash tushuniladi (7.1-rasm). 7.1-misol. a  (1, 2,–1), b  (2, 0, 1) vektorlariga parallel   A(1, 2, 0) nuqtadan o‘tuvchi R tekislik tenglamasini yozing.    n dan P ga normal vektor berilgan a va b vektorlarga ortogonal (7.2-rasm),   shuning uchun n uchun ularning vektor n ko’paytmasini olish mumkin: A    R i j k 2 n  a   1 2  1  i  j 2 1  k 12 0  0 1 2 0 1 n   a    b 2i  3 j  4k. Koordinatalarni o'rniga qo'ying. 7.2. Masalan, (7.2) tenglamadagi 7.1 P M0  nuqta M 0 va vektor n, shakl. 7.1. P tekislik to‘plami tenglamasi tenglamasiga: 2(x  1)  3(y  2)  4z  0 yoki P: 2x  3y  4z  4  0 .◄ B koeffitsientining ikkitasi 1 bo‘lsa, , (7.1) tenglamaning C nolga teng, u koordinata tekisliklaridan biriga parallel tekislikni aniqlaydi. Masalan, A  B  0, C  0 bo‘lganda - P1 tekislik: Cz  D  0 yoki P1: z   D / C (7.3-rasm). U Oksi tekisligiga parallel, chunki uning normal vektori  n1(0, 0, C) shu tekislikka perpendikulyar. A  C  0, B  0 yoki B  C  0 uchun A  0 tenglama (7.1) P2 tekisliklarni aniqlaydi:  D  0 va P3 bo‘yicha: Ax  D  0 koordinatalarga parallel Ox va Oz tekisliklari. , shuning uchun   bo'lgani uchun ularning normal vektorlari n2(0, B, 0) va n3(A, 0, 0) ularga perpendikulyar (7.3-rasm). Agar (7.1) tenglamaning A, B, C koeffitsientlaridan faqat bittasi nolga teng bo'lsa, u koordinata o'qlaridan biriga parallel (yoki uni o'z ichiga olgan, agar D  0 bo'lsa) tekislikni aniqlaydi. Demak, P tekislik: Ax  By  D  0 Oz o‘qiga parallel, z z  n1  n  n2 P1 L P O  n3 x y O P2 y P3 x. 7.4. P tekislik: Ax  B y  D  0 , Oz o‘qiga parallel shakl. 7.3. Uning normal vektori n(A, B, 0) Oz o'qiga perpendikulyar bo'lgani uchun koordinatalar tekisliklariga parallel tekisliklar . E'tibor bering, u Oksi tekisligida yotgan L: Ax  By  D  0 dan o'tadi (7.4-rasm). Qachonki D  0 tenglama (7.1) koordinata boshidan o'tuvchi tekislikni aniqlaydi. 7.2-misol. x  (2  2) y  (2    2)z    3  0 tenglama P tekislikka parallel bo‘lgan  parametrning qiymatlarini toping: koordinata tekisliklari; b) koordinata o'qlaridan biriga parallel; v) koordinatalarning kelib chiqishidan o'tish. Keling, bu tenglamani shaklda yozamiz (7.3)  ning har qanday qiymati uchun (7.3) tenglama ma'lum bir tekislikni aniqlaydi, chunki (7.3) da x, y, z koeffitsientlari bir vaqtning o'zida yo'qolmaydi. a)   0 tenglamada (7. 3) Oksi , P tekisligiga parallel P tekislikni aniqlaydi: z  3 / 2 ,   2 bilan esa Oyz , P: x  5/ 2 tekisligiga parallel P 2 tekislikni aniqlaydi.  ning hech qanday qiymatlari uchun (7.3) tenglama bilan aniqlangan P tekislik Oxz tekisligiga parallel emas, chunki (7.3) da x, z koeffitsientlari bir vaqtning o'zida yo'qolmaydi. b)   1 tenglamada (7.3) Oz , P o‘qiga parallel bo‘lgan P tekislik aniqlanadi: x  3y  2  0 .  parametrining boshqa qiymatlari uchun u koordinata o'qlaridan faqat bittasiga parallel bo'lgan tekislikni aniqlamaydi. c)   3 tenglama (7.3) uchun koordinata koordinatasidan o‘tuvchi P tekislikni aniqlaydi, P: 3x  15 y  10 z  0 . ◄ 7.3-misol. U orqali o'tuvchi P tekislikning tenglamasini yozing: a) Oxy tekislik o'qiga parallel M nuqta (1,  3, 2); b) Ox o'qi va M nuqta (2, - 1, 3) .   a) n dan R gacha bo‘lgan normal vektor uchun bu yerda Oz o‘qining birlik vektori k (0, 0,1) vektorni olishimiz mumkin, chunki u Oksi tekisligiga perpendikulyar.  M nuqta (1,  3, 2) va vektor n koordinatalarini (7.2) tenglamaga almashtiramiz, P tekislik tenglamasini olamiz: z 3  0.   b) Normal vektor n. to P ga i (1, 0, 0) va OM (2,  1, 3) ,  vektorlariga ortogonal bo‘ladi, shuning uchun ularning vektor ko‘paytmasini n sifatida olish mumkin: 01   3 j  k . 2  1 3 

1.7.1. Samolyot.

Dekart asosidagi ixtiyoriy P tekislikni va unga normal vektorni (perpendikulyar) `n (A, B, C) ko'rib chiqaylik. Bu tekislikda ixtiyoriy qo'zg'almas M0(x0, y0, z0) nuqta va M(x, y, z) oqim nuqtasini oling.

Shubhasiz ?`n = 0 (1,53)

(j = p /2 uchun (1.20) ga qarang). Bu vektor shaklidagi tekislikning tenglamasi. Koordinatalarga o'tib, biz tekislikning umumiy tenglamasini olamiz

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 ?Ax + Vy + Cz + D = 0 (1,54).

(D = –Ax0 – Vu0 – Sz0; A2 + V2 + S2 ? 0).

Ko'rsatish mumkinki, Dekart koordinatalarida har bir tekislik birinchi darajali tenglama bilan aniqlanadi va aksincha, har bir birinchi darajali tenglama tekislikni belgilaydi (ya'ni, tekislik birinchi tartibli sirt va birinchi darajali sirt tekislikdir).

Umumiy tenglama bilan berilgan tekislikning joylashuvining ba'zi maxsus holatlarini ko'rib chiqing:

A \u003d 0 - Ox o'qiga parallel; B \u003d 0 - Oy o'qiga parallel; C \u003d 0 - Oz o'qiga parallel. (Koordinata tekisliklaridan biriga perpendikulyar bo'lgan bunday tekisliklar proyeksiyalash deyiladi); D = 0 - koordinatadan o'tadi; A = B = 0 - Oz o'qiga perpendikulyar (xOy tekisligiga parallel); A = B = D = 0 - xOy tekisligiga to'g'ri keladi (z = 0). Boshqa barcha holatlar xuddi shunday tahlil qilinadi.

Agar D? 0 bo'lsa, (1.54) ning ikkala qismini -D ga bo'lsak, tekislik tenglamasini quyidagi ko'rinishga keltiramiz: (1.55),

a \u003d - D / A, b \u003d - D / B, c \u003d - D / C. (1.55) munosabat segmentlardagi tekislik tenglamasi deyiladi; a, b, c - tekislikning Ox, Oy, Oz va |a|, |b|, |c| o'qlari bilan kesishish nuqtalarining abssissasi, ordinatasi va applikatsiyasi. boshdan mos keladigan o'qlarda tekislik bilan kesilgan segmentlarning uzunliklari.

(1,54) ning ikkala tomonini normallashtiruvchi omilga ko'paytirish (mD xcosa + ycosb + zcosg - p = 0 (1,56)

Bu erda cosa \u003d Am, cosb \u003d Bm, cosg \u003d Cm - normalning tekislikka yo'nalishi kosinuslari, p - boshlanish joyidan tekislikgacha bo'lgan masofa.

Keling, hisob-kitoblarda ishlatiladigan asosiy nisbatlarni ko'rib chiqaylik. A1x + B1y + C1z + D1 = 0 va A2x + B2y + C2z + D2 = 0 tekisliklari orasidagi burchakni osongina bu tekisliklarning `n1 (A1, B1, C1) normallari orasidagi burchak sifatida aniqlash mumkin.

`n2 (A2, B2, C2): (1.57)

(1.57) dan perpendikulyarlik shartini olish oson

A1A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 (1,58)

va parallelizm (1.59) tekisliklar va ularning normalari.

Ixtiyoriy M0(x0, y0, z0) nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa (1,54)

ifoda bilan aniqlanadi: (1.60)

Berilgan uchta M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) nuqtalardan oʻtuvchi tekislik tenglamasi vektorlarning solishtirish sharti (1.25) yordamida eng qulay tarzda yoziladi. Bu yerda M(x, y, z) - tekislikning joriy nuqtasi.

(1.61)

Biz tekisliklar to'plami uchun tenglamani keltiramiz (ya'ni,

Bir to'g'ri chiziqdan o'tuvchi samolyotlar to'plami) - uni bir qator masalalarda ishlatish qulay.

(A1x + B1y + C1z + D1) + l(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (1.62)

Bu yerda l Î R, va qavs ichida nurning istalgan ikkita tekisligi tenglamalari.

Nazorat savollari.

1) Berilgan nuqta berilgan tenglama bilan berilgan sirtda yotganligi qanday tekshiriladi?

2) Dekart koordinatalar sistemasidagi tekislik tenglamasini boshqa yuzalar tenglamasidan ajratib turuvchi xarakterli xususiyat nimada?

3) Tekislik koordinatalar sistemasiga nisbatan qanday bo'ladi, agar uning tenglamasida quyidagilar bo'lmasa: a) erkin had; b) koordinatalardan biri; c) ikkita koordinata; d) koordinatalardan biri va erkin muddat; e) ikkita koordinata va erkin muddat?

1) M1(0,-1,3) va M2(1,3,5) nuqtalar berilgan. M1 nuqtadan o'tuvchi va vektorga perpendikulyar tekislik tenglamasini yozing To'g'ri javobni tanlang:

A) ; b) .

2) va tekisliklar orasidagi burchakni toping. To'g'ri javobni tanlang:

a) 135o, b) 45o

1.7.2. Streyt. Normallari kollinear bo'lmagan samolyotlar yoki kesishadi, bu chiziqni ularning kesishish chizig'i sifatida aniq belgilaydi, bu quyidagicha yoziladi:

Bu chiziq orqali cheksiz ko'p tekisliklarni (tekisliklar qalami (1.62)), shu jumladan uni koordinata tekisliklariga proyeksiyalovchilarni ham chizish mumkin. Ularning tenglamalarini olish uchun (1.63) har bir tenglamadan bitta noma'lumni chiqarib tashlash va ularni, masalan, shaklga qisqartirish kifoya. (1.63`).

Vazifani qo'yaylik - M0 (x0, y0, z0) nuqtadan `S (l, m, n) vektoriga parallel to'g'ri chiziq o'tkazamiz (u yo'naltiruvchi deyiladi). Kerakli chiziqda ixtiyoriy M(x, y, z) nuqtani oling. Vektorlar va kollinear bo'lishi kerak, shundan biz chiziqning kanonik tenglamalarini olamiz.

(1.64) yoki (1.64`)

bu yerda cosa, cosb, cosg `S vektorining yo'nalish kosinuslari. (1.64) dan berilgan M1(x1, y1, z1) va M2(x2, y2, z2) nuqtalardan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasini olish oson (u parallel. )

Yoki (1,64``)

((1.64) dagi kasrlarning qiymatlari chiziqning har bir nuqtasi uchun teng va t bilan belgilanishi mumkin, bu erda t R. Bu toʻgʻri chiziqning parametrik tenglamalarini kiritish imkonini beradi

t parametrining har bir qiymati chiziqdagi nuqtaning x, y, z koordinatalari to'plamiga mos keladi yoki (aks holda) - chiziq tenglamalarini qanoatlantiradigan noma'lumlarning qiymatlari).

Allaqachon foydalanish ma'lum xususiyatlar vektorlar va ular ustida amallar va to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalari uchun quyidagi formulalarni olish oson:

Chiziqlar orasidagi burchak: (1.65)

Parallellik sharti (1.66).

perpendikulyarlik l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1.67) chiziqlar.

Chiziq va tekislik orasidagi burchak (chiziq va tekislikning normal orasidagi burchakni topish orqali osongina olinadi, bu kerakli p / 2 ga qo'shiladi)

(1.68)

(1.66) dan Al + Bm + Cn = 0 (1.69) parallellik shartini olamiz.

va chiziq va tekislikning perpendikulyarligi (1,70). Ikki chiziqning bir tekislikda bo'lishi uchun zarur va etarli shartni taqqoslash shartidan (1.25) osongina olish mumkin.

(1.71)

Nazorat savollari.

1) Fazoda to'g'ri chiziq o'rnatishning qanday usullari mavjud?

1) A (4,3,0) nuqtadan o‘tuvchi va vektorga parallel to‘g‘ri chiziq tenglamalarini yozing. To'g'ri javobni belgilang:

A) ; b) .

2) A(2,-1,3) va B(2,3,3) nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamalarini yozing. To'g'ri javobni ko'rsating.

A) ; b) .

3) Chiziqning tekislik bilan kesishgan nuqtasini toping: , . To'g'ri javobni belgilang:

a) (6,4,5); b) (6, -4,5).

1.7.3. Ikkinchi tartibli yuzalar. Agar uch o'lchovli Dekart asosidagi chiziqli tenglama tekislikni yagona aniqlasa, har qanday nochiziqli tenglama, tarkibida x, y, z boshqa sirtni tasvirlaydi. Agar tenglama o'xshash bo'lsa

Ax2 + Vy2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, keyin ikkinchi tartibli sirtni (umumiy ikkinchi tartibli sirt tenglamasi) tavsiflaydi. Dekart koordinatalarini tanlash yoki o'zgartirish orqali tenglamani iloji boricha soddalashtirish mumkin, bu esa mos keladigan sirtni tavsiflovchi quyidagi shakllardan biriga olib keladi.

1. Generatorlari Oz o'qiga parallel bo'lgan ikkinchi tartibli silindrlarning kanonik tenglamalari va xOy tekisligida yotgan mos keladigan ikkinchi tartibli egri chiziqlar yo'naltiruvchi bo'lib xizmat qiladi:

(1.72), (1,73), y2 = 2px (1,74)

mos ravishda elliptik, giperbolik va parabolik silindrlar.

(Eslatib o'tamiz, silindrsimon sirt generatrix deb ataladigan to'g'ri chiziqni o'ziga parallel ravishda siljitish natijasida olingan sirt deb ataladi. Bu sirtning generatrixga perpendikulyar tekislik bilan kesishish chizig'i yo'riqnoma deb ataladi - bu shaklni aniqlaydi. yuzadan).

Analogiya bo'yicha, Oy o'qiga va Ox o'qiga parallel bo'lgan generatorlar bilan bir xil silindrsimon sirtlarning tenglamalarini yozish mumkin. Qo'llanma silindrning sirtining kesishish chizig'i va mos keladigan koordinata tekisligi sifatida belgilanishi mumkin, ya'ni. shakldagi tenglamalar tizimi:

2. Boshida tepasi bo‘lgan ikkinchi tartibli konusning tenglamalari:

(1.75)

(konusning o'qlari mos ravishda Oz, Oy va Ox o'qlaridir)

3. Ellipsoidning kanonik tenglamasi: (1,76);

Maxsus holatlar, masalan, inqilob ellipsoidlari - ellipsni aylantirish natijasida olingan sirt Oz o'qi atrofida (qachon

a > s ellipsoid siqilgan, a x2 + y2+ uchun z2 + = r2 radiusi r boʻlgan sharning koordinatasi koordinatasi).

4. Bir varaqli giperboloidning kanonik tenglamasi

("-" belgisi chap tomondagi uchta atamaning birortasi oldida turishi mumkin - bu faqat kosmosdagi sirt o'rnini o'zgartiradi). Alohida holatlar, masalan, inqilobning bir varaqli giperboloidlari giperbolani aylantirish natijasida olingan sirtdir Oz o'qi atrofida (giperbolaning xayoliy o'qi).

5. Ikki varaqli giperboloidning kanonik tenglamasi

("-" belgisi chap tomondagi uchta atamaning har qandayining oldiga qo'yilishi mumkin).

Alohida holatlar inqilobning ikki varaqli giperboloidlari, masalan, giperbolani Oz o'qi (giperbolaning haqiqiy o'qi) atrofida aylantirish natijasida olingan sirtdir.

6. Elliptik paraboloidning kanonik tenglamasi

(p >0, q >0) (1,79)

7. Giperbolik paraboloidning kanonik tenglamasi

(p >0, q >0) (1,80)

(z o'zgaruvchisi x va y har qanday o'zgaruvchilar bilan o'rinlarni o'zgartirishi mumkin - sirtning fazodagi holati o'zgaradi).

E'tibor bering, koordinata o'qlariga perpendikulyar bo'lgan tekisliklar bo'yicha ushbu sirtlarning kesimlarini ko'rib chiqish orqali ushbu sirtlarning xususiyatlari (shakli) haqida tasavvurga ega bo'lish oson.

Nazorat savollari.

1) Fazodagi qanday nuqtalar to'plami tenglamani aniqlaydi?

2) Ikkinchi tartibli silindrlarning kanonik tenglamalari qanday; ikkinchi tartibli konuslar; ellipsoid; bir varaqli giperboloid; ikki varaqli giperboloid; elliptik paraboloid; giperbolik paraboloid?

1) Sharning markazi va radiusini toping va to'g'ri javobni ko'rsating:

a) C (1,5; -2,5; 2), ; b) S(1,5;2,5;2), ;

2) Tenglamalar orqali berilgan sirt turini aniqlang: . To'g'ri javobni belgilang:

a) bir varaqli giperboloid; giperbolik paraboloid; elliptik paraboloid; konus.

b) ikki varaqli giperboloid; giperbolik paraboloid; elliptik paraboloid; konus.

Ma'ruza 2. Tekislik birinchi tartibli sirt sifatida. Tekis tenglamalar va ularni o'rganish. Fazodagi chiziq, fazoda chiziqlarning o'zaro joylashishi, fazoda tekislik va chiziq. Tekislikdagi chiziq, tekislikdagi chiziq tenglamalari, tekislikdagi nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa. Ikkinchi tartibli egri chiziqlar; kanonik tenglamalarni chiqarish, tenglamalarni o'rganish va egri chiziqlarni qurish. Ikkinchi tartibli sirtlar, sirtlarning kanonik tenglamalarini o'rganish. Bo'lim usuli. 1

Analitik geometriya elementlari § 1. Tekislik. Bizda OXYZ va ba'zi S sirt F(x, y, z) = 0 z x (S) O y Ta'rif 1: uchta o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglama fazodagi S sirt tenglamasi deyiladi, agar bu tenglama har birining koordinatalari bilan qanoatlansa. Koordinatalar bo'yicha emas, balki sirtda yotgan nuqta, unda yotadigan nuqta yo'q. 2

Misol. (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) tenglama C(a, b, c) nuqtada va R radiusda joylashgan sharni aniqlaydi. M M( x , y, z) oʻzgaruvchan nuqta M s (S) |CM| = RC 3

2-ta’rif: S sirt n-tartibli sirt deb ataladi, agar ba’zi bir dekart koordinata sistemasida u n-darajali F(x, y, z) algebraik tenglama bilan berilgan bo’lsa = 0 (1) Misolda ( S) - aylana, ikkinchi tartibli sirt . Agar S n-tartibli sirt bo'lsa, u holda F(x, y, z) (x, y, z) ga nisbatan n-darajali ko'phaddir. 1-tartibdagi yagona sirt - tekislikni ko'rib chiqaylik. M (x, y, z) nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasini, normal vektori 4 bo‘lgan holda tuzamiz.

M(x, y, z) tekislikning ixtiyoriy (joriy) nuqtasi bo'lsin. M M 0 O a yoki koordinatali shaklda: (2) tenglama (2) - berilgan normal vektor bilan M nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi. 5

D (*) (3) - tekislikning to'liq tenglamasi Tekislikning to'liq bo'lmagan tenglamasi. Agar (3) tenglamada bir nechta koeffitsientlar (lekin bir vaqtning o'zida A, B, C emas) = 0 bo'lsa, u holda tenglama to'liq emas deb ataladi va a tekislik joylashuvi bo'yicha yagonalikka ega. Misol uchun, agar D = 0 bo'lsa, u holda a koordinatali nuqtadan o'tadi. 6

M 1 nuqtadan a M 1 (x 1, y 1, z 1) tekislikgacha bo'lgan masofa a: M 1 d a M 0 nuqtaga M 0 K 7 qo'llaniladi.

- M 1 nuqtadan a tekislikgacha bo'lgan masofa "segmentlarda" tekislik tenglamasi C(0, 0, c) qiymatlari bilan koordinata o'qlarida nolga teng bo'lmagan segmentlarni kesib tashlaydigan tekislik tenglamasini tuzamiz a, b, c. B(0, b, 0) ni A(a, 0, 0) 8 bilan A nuqta uchun tenglama sifatida olaylik.

- a "segmentlarda" tekislik tenglamasi - normal vektor 9 ga perpendikulyar A nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi.

§ 2. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi. Kosmosdagi to'g'ri chiziqni 2 tekislikning kesishishi bilan aniqlash mumkin. (1) to'g'ri chiziq tenglamasi (1) ko'rinishdagi sistema fazodagi to'g'ri chiziqni aniqlaydi, agar A 1, B 1, C 1 koeffitsientlari bir vaqtning o'zida A 2, B 2, C 2 ga nomutanosib bo'lsa. 10

Chiziqning parametrik va kanonik tenglamalari - ixtiyoriy nuqta chiziq nuqtasi M M 0 Parametrik tenglama t - parametr 11

Yo'q qilish orqali biz quyidagilarni olamiz: - kanonik tenglama Tizim (3) vektor yo'nalishi bo'yicha tezlik bilan M 0 (x 0, y 0, z 0) boshlang'ich pozitsiyasidan to'g'ri chiziqli va bir xil bo'lgan moddiy nuqtaning harakatini aniqlaydi. 12

Kosmosdagi chiziqlar orasidagi burchak. Parallellik va perpendikulyarlik shartlari. Fazodagi ikkita L 1, L 2 chiziqlar ularning kanonik tenglamalari bilan berilsin: Keyin bu chiziqlar orasidagi burchakni aniqlash masalasi burchakni aniqlashga keltiriladi.

ularning yo‘nalish vektorlari: Skayar ko‘paytmaning ta’rifidan va ko‘rsatilgan skalyar ko‘paytmaning koordinatalaridagi ifodadan hamda q 1 va q 2 vektorlarning uzunliklaridan foydalanib, biz quyidagilarni topamiz: 15

l 1 va l 2 chiziqlarning parallellik sharti q 1 va q 2 ning kollinearligiga mos keladi, bu vektorlar koordinatalarining proporsionalligidan iborat, ya'ni u ko'rinishga ega: Perpendikulyarlik sharti skalar ta'rifidan kelib chiqadi. mahsulot va uning nolga tengligi (cos = 0 da) va quyidagi shaklga ega: l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16

Chiziq va tekislik orasidagi burchak: chiziq va tekislikning parallellik va perpendikulyarligi shartlari Umumiy tenglama bilan berilgan P tekislikni va kanonik chiziq bilan berilgan L chiziqni ko'rib chiqing: Ax + By + Cz + D = 0. tenglama: 17

L to‘g‘ri chiziq bilan P tekislik orasidagi burchak q = (l, m, n) chiziqning yo‘naltiruvchi vektori bilan n = (A, B, C) tekislikning normal vektori orasidagi burchakka komplementar bo‘lgani uchun, u holda skalyar ko'paytmaning ta'rifidan q n = q n cos va tenglik cos = sin (= 90 -), biz olamiz: 18

L chiziq va P tekislikning parallellik sharti (bu L ning P ga tegishli ekanligini ham o'z ichiga oladi) q va n vektorlarning perpendikulyarlik shartiga ekvivalent bo'lib, bu vektorlarning skalyar ko'paytmasining = 0 i bilan ifodalanadi: q n. = 0: Al + Bm + Cn = 0. L chiziq va P tekislikning perpendikulyarlik sharti n va q vektorlarning parallellik shartiga ekvivalent va bu vektorlar koordinatalarining proporsionalligi bilan ifodalanadi: 19.

Ikki chiziqning bir tekislikka tegishli bo'lish shartlari L 1 va L 2 fazodagi ikkita chiziq: 1) kesishishi mumkin; 2) parallel bo'lishi; 3) chatishtirish. Birinchi ikki holatda L 1 va L 2 chiziqlar bir tekislikda yotadi. Kanonik tenglamalar bilan berilgan ikkita to'g'ri chiziqning bir tekislikka tegishlilik shartini belgilaymiz: 20

Shubhasiz, ko'rsatilgan ikkita chiziq bir tekislikka tegishli bo'lishi uchun uchta vektor = (x2 - x1, y2 - y1, z 2 - z 1) bo'lishi zarur va etarli; q 1 = (l 1, m 1, n 1) va q 2 = (l 2, m 2, n 2), koplanar edi, buning uchun, o'z navbatida, bu uch vektorning aralash mahsuloti zarur va etarli. = 0. 21

Ko'rsatilgan vektorlarning aralash mahsulotlarini koordinatalarda yozib, ikkita L 1 va L 2 chiziqlari bir tekislikka tegishli bo'lishi uchun zarur va etarli shartni olamiz: 22

Chiziqning tekislikka tegishli bo'lish sharti Chiziq va tekislik bo'lsin Ax + Vy + Cz + D = 0. Bu shartlar Ax1 + Vy1 + Cz 1 + D = 0 va Al + Bm + Cn = ko'rinishga ega. 0, birinchisi, chiziq o'tadigan M 1 (x1, y1, z 1) nuqta tekislikka tegishli ekanligini bildiradi, ikkinchisi esa chiziq va tekislikning parallellik shartidir. 23

Ikkinchi tartibli egri chiziqlar. § 1. Tekislikdagi chiziq tenglamasi haqida tushuncha. f (x, y) = 0 tenglama, agar u chiziqda yotmagan biron bir nuqtaning koordinatalari bilan emas, balki to‘g‘ri chiziqda yotgan istalgan nuqtaning koordinatalari bilan qanoatlansa, tanlangan koordinatalar sistemasidagi L chiziq tenglamasi deyiladi. 24

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="Misol: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}

L chiziq n-tartibli chiziq deyiladi, agar u ba'zi bir Dekart koordinata tizimida x va y ga nisbatan n-darajali algebraik tenglama bilan berilgan bo'lsa. Biz 1-tartibdagi yagona chiziq - to'g'ri chiziqni bilamiz: Ax + By + D = 0 Biz 2-tartibdagi egri chiziqlarni ko'rib chiqamiz: ellips, giperbola, parabola. 2-tartibli chiziqlarning umumiy tenglamasi: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26

Ellips (E) ta'rifi. Ellips - tekislikning barcha nuqtalari to'plami, ularning o'choqlari deb ataladigan F 1 va F 2 tekislikning ikkita sobit nuqtalarigacha bo'lgan masofalari yig'indisi doimiy va fokuslar orasidagi masofadan kattaroqdir. Doimiy 2 a, fokuslar orasidagi masofani 2 c belgilaymiz.Fokuslar orqali X o'qini o'tkazamiz, (a > c, a > 0, c > 0). fokus uzunligining o'rta nuqtalari orqali Y o'qi. M ellipsning ixtiyoriy nuqtasi bo'lsin, ya'ni M s E r 1 + r 2 = 2 a (1), bu erda r 1, r 2 E ning fokal 27 radiusi.

(1) ni koordinata shaklida yozamiz: (2) Bu tanlangan koordinatalar sistemasidagi ellips tenglamasi. (2) ni soddalashtirib olamiz: b 2 = a 2 - c 2 (3) ellipsning kanonik tenglamasi. (2) va (3) larning ekvivalent ekanligini ko'rsatish mumkin: 28

Ellips shaklini kanonik tenglama bo'yicha o'rganish 1) Ellips 2-tartibdagi egri chiziq 2) Ellips simmetriyasi. chunki x va y (3) ga faqat juft darajalarda kiritilgan, u holda ellips 2 o'q va 1 simmetriya markaziga ega bo'lib, tanlangan koordinata tizimida tanlangan koordinata o'qlari va O nuqtaga to'g'ri keladi. 29

3) Ellipsning joylashuvi Ya'ni butun E to'rtburchak ichida joylashgan bo'lib, uning tomonlari x = ± a va y = ± b. 4) O'qlar bilan kesishish. A 1(-a; 0); A 2(a; 0); C OX: ellipsning uchlari C OC: B 1(0; b); B2(0;-b); Ellipsning simmetriyasi tufayli biz uning harakatini (↓) faqat birinchi chorakda ko'rib chiqamiz. o'ttiz

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt=" y ga nisbatan (3) ni yechish orqali biz quyidagilarni olamiz: birinchi kvadrantda x > 0 va ellips kamayib bormoqda."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}

Giperbola (G) Ta'rif: G - tekislikning barcha nuqtalari to'plami, F 1 , F 2 tekislikning 2 qo'zg'almas nuqtasigacha bo'lgan masofalar farqi moduli doimiy qiymat va

Soddalashtiruvchi (1): (2) G ning kanonik tenglamasi. (1) va (2) ekvivalent. Giperbolani kanonik tenglama bo'yicha tekshirish 1) 2-tartibli G-chiziq 2) G ikkita o'q va bitta simmetriya markaziga ega bo'lib, bizning holatlarimizda koordinata o'qlari va koordinata o'qlari bilan mos keladi. 3) Giperbolaning joylashishi. 34

Giperbola chiziqdan tashqarida x = a, x = -a chiziqlari orasida joylashgan. 4) O'qlar bilan kesishish nuqtalari. OX: OY: yechimlari yo'q A 1(-a; 0); A 2(a; 0) – G B 1(0; b) ning haqiqiy uchlari; B 2(0; -b) - xayoliy cho'qqilar G 2 a - haqiqiy o'q G 2 b - xayoliy o'q G 35

5) Giperbolaning asimptotalari. D simmetriyasi tufayli birinchi chorakda uning qismini ko'rib chiqaylik. (2) ni y ga nisbatan yechish, biz quyidagilarni olamiz: G tenglama I chorakdagi x ≥ 0 mos keladigan D nuqta, ya'ni birinchi chorakda D bu chiziq ostida yotadi. Barcha G tomonlari 36 boʻlgan vertikal burchak ichida joylashgan

6) Birinchi qismda G ning ortib borishini ko rsatish mumkin 7) G ni qurish rejasi

Parabola (P) Tekislikdagi d (direktrix) va F (fokus) ni ko'rib chiqing. Ta'rif. P - tekislikning barcha nuqtalari to'plami d chiziqdan va F nuqtadan (fokus) 39 teng masofada joylashgan.

d-directrix F-fokus XOY nuqtasi M P keyin |MF| = |MN| (1) Koordinatalar tizimida tanlangan P tenglama (1) soddalashtirib, y 2 = 2 px (2) - P kanonik tenglamani olamiz.

Tadqiqot P kanonik tenglama bo'yicha x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41

§ 4. Silindrlar. Koordinata o'qlariga parallel generatorlari bo'lgan silindrsimon sirtlar L chiziqning x nuqtasi orqali OZ o'qiga parallel to'g'ri chiziq o'tkazamiz. Ushbu chiziqlardan hosil bo'lgan sirt silindrsimon sirt yoki silindr (C) deb ataladi. OZ o'qiga parallel bo'lgan har qanday chiziq generatrix deb ataladi. l - XOY tekisligining silindrsimon sirtining yo'riqnomasi. Z(x, y) = 0 (1) 42

M(x, y, z) silindrsimon yuzaning ixtiyoriy nuqtasi bo'lsin. Biz uni L ga proyeksiya qilamiz. M 0 s L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Ms Ts y = y 0 M sL 0, bu ya'ni, M koordinatalari (1) ni qanoatlantiradi, ko'rinib turibdiki, agar M C bo'lsa, u M 0 s L nuqtaga proyeksiyalanmaydi va shuning uchun M ning koordinatalari C ni aniqlaydigan (1) tenglamani qanoatlantirmaydi. fazoda OZ o'qiga parallel bo'lgan generatrix. Xuddi shunday, shuni ko'rsatishimiz mumkin: Ts || fazoda F(x, z) = 0 OY 43 (y, z) = 0 Ts || fazoda aniqlaydi OX

Fazoviy chiziqning koordinata tekisligidagi proyeksiyasi Fazodagi chiziq parametrik va sirtlarning kesishishi orqali aniqlanishi mumkin. Bitta va bir xil chiziq ∩ turli sirtlar tomonidan berilishi mumkin. L fazo chizig‘i ikkita a sirtining ∩ ga teng bo‘lsin: S 1: F 1(x, y, z) = 0 S 2: F 2(x, y, z) = 0 tenglama L F 1(x, y). , z) = 0 (1) F 2(x, y, z) = 0 (1) tenglamadan L ning XOY tekislikka proyeksiyasi topilsin, Z chiqarib tashlansin. Tenglamani olamiz: Z(x, y) = 0 – fazoda bu generator || bilan Ts tenglamasi OZ va yo'riqnoma L. 46

Proyeksiya: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 Ikkinchi tartibli yuzalar Ellipsoid – sirtning kanonik tenglamasi quyidagi ko rinishga ega: 1) Ellipsoid – ikkinchi tartibli sirt. 2) X, Y, Z tenglamani faqat juft darajalarda kiriting => sirt 3 ta tekislik va 1 simmetriya markaziga ega, ular tanlangan koordinatalar sistemasida koordinata tekisliklari va koordinata boshi bilan mos keladi. 47

3) Ellipsoidning joylashuvi Sirt || orasida joylashgan x = a, x = -a tenglamali tekisliklar. Xuddi shunday, ya'ni butun sirt to'rtburchaklar parallelepiped ichiga o'ralgan. x = ± a, y = ± b, z = ± c. Biz sirtni kesmalar usuli bilan o'rganamiz - sirtni koordinata tekisliklari bilan kesib o'tamiz || muvofiqlashtirish. Bo'limda biz chiziqlarni olamiz, ularning shakli bo'yicha biz sirt shaklini baholaymiz. 48

Biz sirtni XOY tekisligi bilan kesib o'tamiz. Bo'limda biz chiziqni olamiz. - ellips a va b - yarim o'qlar Xuddi shunday YOZ tekisligi bilan - yarim o'qli b va c ellips Tekislik || XOY Agar h(0, c) bo'lsa, ellips o'qlari a va b dan 0 gacha kamayadi. 49

a = b = c - shar Paraboloidlar a) Giperbolik paraboloid kanonik tenglamaga ega bo'lgan sirt: 1) Ikkinchi tartibli sirt 2) x, y tenglamaga faqat juft darajalarda kiritilganligi sababli, sirt a bilan mos keladigan simmetriya tekisliklariga ega. 50 ta XOZ, YOZ tekisliklari bilan koordinatalarni tanlash berilgan.

3) sirtni kesma egar pl usuli bilan tekshiramiz. XOZ Kesmada OZ o'qiga simmetrik bo'lgan, ko'tarilayotgan parabola. kv. YOZ 51

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt="pl. ||XOY h > 0 giperbola, OX bo'ylab haqiqiy yarim o'qli, h uchun"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}

b) Ikki varaqli giperboloid 1) ikkinchi tartibli sirt 2) 3 ta tekislik va 1 simmetriya markaziga ega 3) sirtning joylashuvi x 2 ≥ a 2; |x| ≥ a ; (a, b, c > 0) Sirt x = a, x = -a tenglamalari bo'lgan tekisliklar orasidagi chiziqdan tashqarida joylashgan ikkita qismdan iborat 4) kesmalar usuli bilan o'rganamiz (Mustaqil ravishda!) 57

Ikkinchi tartibli konus Ikkinchi tartibli konus deb kanonik tenglamasi quyidagi shaklga ega bo'lgan sirtdir: 1) ikkinchi tartibli sirt 2) 3 ta tekislik va 1 simmetriya markaziga ega 3) pl kesmalar usulini o'rganamiz. XOY 58

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt="sq. ||XOY |h| –>∞ 0 dan ∞ kv. YOZ juft qatorlar , orqali o'tish"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}

Kosmosda analitik geometriya to'rtburchaklar Dekart koordinatalarida birinchi, ikkinchi va boshqalarning algebraik tenglamalari bilan aniqlanadigan sirtlarni o'rganadi. X, Y, Z ga nisbatan darajalar:

Ax+By+Cz+D=0 (1)

Ax²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Mx+2Ny+2Lz+K=0 (2)

va h.k. Tenglamaning tartibi u aniqlagan sirt tartibi deb ataladi. Biz bu tenglamani allaqachon ko'rdik birinchi buyurtma(chiziqli) (1) har doim o'rnatiladi samolyot birinchi tartibdagi yagona sirtdir. Ikkinchi tartibli yuzalar allaqachon ko'p. Keling, ulardan eng muhimlarini ko'rib chiqaylik.

§2. Koordinata o'qlaridan biriga parallel ravishda generatorlari bo'lgan silindrsimon sirtlar.

XOY tekisligida qandaydir L chiziq berilsin, masalan, uning tenglamasi F(x,y)=0 (1) . Keyin oz (generatorlar) o'qiga parallel bo'lgan va L nuqtalaridan o'tuvchi chiziqlar to'plami S sirtini hosil qiladi. silindrsimon sirt.

z o‘zgaruvchisi bo‘lmagan (1) tenglama bu S silindrsimon yuzaning tenglamasi ekanligini ko‘rsatamiz. S ga tegishli bo‘lgan ixtiyoriy M(x, y, z) nuqtani oling. M dan o‘tuvchi generatrix, L nuqtani N nuqtada kesishadi. N nuqta N(x,y,0) koordinatalariga ega, ular (1) tenglikni qanoatlantiradi, chunki ( )N L ga tegishli. Lekin u holda (x,y,z,) koordinatalari ham (1) ni qanoatlantiradi, chunki unda z mavjud emas. Demak, silindrsimon yuzaning istalgan nuqtasining koordinatalari S (1) tenglamani qanoatlantiradi. Demak, F(x,y)=0 bu silindrsimon yuzaning tenglamasi. L egri chizig'i deyiladi hidoyat (egri) silindrsimon sirt. E'tibor bering, fazoviy tizimda L, aslida, ikkita tenglama F(x,y)=0 , z=0, kesishish chizig'i sifatida berilishi kerak.

Misollar:

Qanday tekislikdagi qo'llanmalar ellips, parabola, giperbola. Shubhasiz, F=(y,z)=0 va F(x,z)=0 tenglamalar generatorlari OX va OY o‘qlariga parallel bo‘lgan silindrsimon sirtlarni aniqlaydi. Ularning yo'lboshchilari mos ravishda YOZ va XOZ tekisliklarida yotadi.

Izoh. Silindrsimon sirt ikkinchi tartibli sirt bo'lishi shart emas. Masalan, 3-tartibli silindrsimon sirt mavjud va y=sin(x) tenglamasi sinusoidal silindrni aniqlaydi, unga tartib berilmaydi, bu umuman algebraik sirt emas.

§3. Revolyutsiya sirtining tenglamasi.

Ayrim 2-tartibli yuzalar inqilob yuzalaridir. Qandaydir egri chiziq L F(y,z)=0(1) YOZ tekisligida yotsin. Egri chiziqning (1) oz o'qi atrofida aylanishidan hosil bo'lgan S sirtning tenglamasi qanday bo'lishini bilib olaylik.

S sirtda ixtiyoriy M(x,y,z) nuqtani oling. L ga tegishli (.) N dan olingan deb hisoblash mumkin, keyin M va N nuqtalarning ilovalari (=z) ga teng. N nuqtaning ordinatasi bu erda aylanish radiusi, demak, C (0,0, z) va shuning uchun. . Lekin N nuqta egri chiziqda yotadi va shuning uchun uning koordinatalari uni qanoatlantiradi. vositalari (2) . (2) tenglama S aylanish yuzasining koordinatalari bilan qanoatlantiriladi. Demak, (2) aylanish sirtining tenglamasi. "+" yoki "-" belgilari YOZ tekisligining qaysi qismida egri chiziq (1) joylashganiga, y>0 yoki ga qarab olinadi.

Shunday qilib, qoida: L egri chizig'ining OZ o'qi atrofida aylanishidan hosil bo'lgan sirt tenglamasini topish uchun egri chiziq tenglamasidagi y o'zgaruvchini almashtirish kerak.

OX va OY o'qi atrofida aylanish yuzalarining tenglamalari xuddi shunday tuzilgan.

Yuzaki

Berilgan koordinatalar sistemasidagi qandaydir tenglama bilan aniqlangan sirt koordinatalari berilgan F(x; y; z) = 0 tenglamani qanoatlantiradigan nuqtalarning joylashuvi hisoblanadi.

kosmosdagi chiziq

Agar F(x; y; z) = 0 va F (x; y; z) = 0 tenglamalar qandaydir sirtni aniqlasa, L (x; y; z) = 0 chiziqni umumiy nuqtalarning joylashuvi sifatida aniqlash mumkin. ikkala sirtga (sirtlarning kesishish chizig'i)

Birinchi tartibli sirt sifatida tekislik

Samolyotning kamida uchta ta'rifi mavjud:

1) Tekislik - bu sirt to'liq uning istalgan ikkita nuqtasini bog'laydigan har bir chiziq.

2) Tekislik - berilgan ikki nuqtadan teng masofada joylashgan fazodagi nuqtalar to'plami.

Va endi tekislik tenglamasining shakllaridan biri haqida.

Birinchidan, maktab davridan beri ma'lum; "Bir to'g'ri chiziqda to'g'ri kelmaydigan va yotmaydigan har qanday uchta nuqta tekislikni va faqat bittasini belgilaydi." Uchta oyoqli stul mutlaqo barqaror (ya'ni "silkitmaydi") va ikki yoki uchdan ortiq oyoqli stul barqaror emas ("toshlar") tasodif emas. Ikkinchidan, tekislikka normal vektor uni fazoda yo'naltiradi (31-rasmga qarang).

Istalgan p tekislik vektorga perpendikulyar M 0 nuqtadan o'tib ketsin

Birinchidan, vektor M 0 M 2 vektor va M 0 M 1 vektorining o'zaro ko'paytmasining natijasidir.

Ikkinchidan, vektor M 0 M 2 vektoriga ham, M 1 M 2 vektoriga ham perpendikulyar. Qayerdan, qayerdan vektor ortogonallik shartlari M 0 M 2 vektoridagi (yoki M 0 M 1 vektoridagi) skalyar mahsulot nolga teng ekanligini olamiz. Agar M 2 nuqta koordinatalariga (x; y; z) ega bo'lsa, u holda vektor va M 0 M 2 vektorining skalyar ko'paytmasi nolga teng bo'lishi kerak. M 0 M 2 vektori sifatida aniqlanganligini hisobga olgan holda

buni tushunamiz

Berilgan nuqtadan o'tuvchi va berilgan vektorga perpendikulyar tekislik tenglamasi

30-misol (tekislik tenglamasini olish)

Vektorga perpendikulyar M 0 (1; 1; 1) nuqtadan oʻtuvchi tekislik tenglamasini toping.

Yechim

Bizning holatda

A=1, B=1 va C=1;

x 0 = 2, y 0 = 2, z 0 = 3,

shuning uchun tekislikning tenglamasi ko'rinishga ega

Yoki, nihoyat,

Javob

Kerakli tekislik tenglama bilan aniqlanadi

Samolyotning umumiy tenglamasi

Umuman olganda, shaklning har qanday tenglamasi

A x + B y + C z + D = 0

tekislikni belgilaydi (bu erda A, B va C - tekislikka normal vektorning koordinatalari). Tekislik tenglamasining bu shakli "tekislikning umumiy tenglamasi" deb ataladi.

Tugallanmagan tekislik tenglamalari

Tekislik uning umumiy tenglamasi bilan berilgan bo'lsin

A x + B y + C z + D = 0, (*)

1) agar D = 0 bo'lsa, u holda (*) koordinata boshidan o'tadigan tekislikni aniqlaydi;

2) agar A \u003d 0 bo'lsa, u holda B y + C z + D \u003d 0 va bizda samolyot bor, Ox o'qiga parallel(chunki);

3) agar B \u003d 0 bo'lsa, unda A x + C z + D \u003d 0 va bizda samolyot bor, Oy o'qiga parallel(chunki);

4) agar C = 0 bo'lsa, u holda A x + B y + D = 0 va bizda tekislik bor, Oz o'qiga parallel(chunki);

5) A = 0; B \u003d 0, keyin C z + D \u003d 0 va bizda Oksi tekisligiga parallel tekislik bor;

6) A = 0; C \u003d 0, keyin B y + D \u003d 0 va bizda Oxz tekisligiga parallel tekislik bor;

7) B = 0; C = 0, keyin A x + D = 0 va bizda Oyz tekisligiga parallel tekislik bor;

8) A \u003d 0, B \u003d 0, D \u003d 0, keyin C z \u003d 0 - Oksi tekisligi;

9) A = 0, C = 0, D = 0, u holda B y = 0 Oxz tekislik;

10) B = 0, C = 0, D = 0, u holda A z = 0 Oyz tekislikdir.

Xuddi avvalgidek tekislikdagi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi, tekislik tenglamasining boshqa shakllarini umumiy tenglamadan olish mumkin. Ushbu shakllardan biri tekislikning segmentlardagi tenglamasidir.

Samolyotning umumiy tenglamasidan

A x + B y + C z + D = 0

Bu segmentlardagi tekislikning tenglamasi chiqadi

Oxirgi ifoda "segmentlardagi tekislik tenglamasi" deb ataladi.

Segmentlardagi tekislik tenglamasi

bu erda a, b va c - miqdorlar Ox, Oy va Oz o'qlarida tekislik bilan kesilgan segmentlar.

Ikki tekislik ularning umumiy tenglamalari bilan berilgan bo'lsin

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 va

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

Ya'ni, normal vektorlar koordinatalariga ega

Samolyot uchun

Va tekisliklar mos kelmasin va parallel bo'lmasin (32-rasmga qarang)

Ikki tekislik orasidagi burchak

Samolyotlar orasidagi burchak normal vektorlar orasidagi burchak bilan belgilanadi, ammo qanday topish mumkin vektorlar orasidagi burchak biz allaqachon bilamiz:

agar c vektorlar orasidagi burchak bo'lsa, bu p 1 va p 2 tekisliklari orasidagi burchakdir

Ikki muhim oqibatlar (shartlar)

Ikki tekislikning perpendikulyarlik sharti

Ikki tekislik perpendikulyar bo'lishi sharti bilan

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0.