Aniq farq sxemasi shabloni. Farq sxemalari: aniq va yashirin sxemalar. To'lqinli tenglama uchun aralash masalani grid usulida yechish

Eritma maydonining har bir ichki tuguniga shablon yordamida issiqlik tenglamasi taxminiy hisoblanadi

Bu yerdan biz topamiz:

Boshlang'ich va chegaraviy shartlardan foydalanib, grid funktsiyasining qiymatlari nol vaqt darajasidagi barcha tugunlarda topiladi.

Keyin, nisbatlardan foydalaning

Ushbu funktsiyalarning qiymatlari barcha ichki tugunlarda birinchi vaqt darajasida topiladi, shundan so'ng biz chegara tugunlarida qiymatni topamiz

Natijada, biz barcha tugunlardagi funktsiyalarning qiymatini birinchi vaqt darajasida topamiz. Shundan so'ng, ushbu munosabatlardan foydalanib, biz barcha boshqa qadriyatlarni topamiz va hokazo.

Ko'rib chiqilayotgan farq sxemasida keyingi vaqt darajasida kerakli funktsiyaning qiymatlari to'g'ridan-to'g'ri, aniq formuladan foydalangan holda topiladi.

Shuning uchun ushbu shablon yordamida ko'rib chiqilgan farq sxemasi deyiladi aniq farq sxemasi . Uning aniqligi tartibda.

Ushbu farq sxemasidan foydalanish oson, ammo u sezilarli kamchilikka ega. Ma'lum bo'lishicha, aniq farq sxemasi barqaror yechimga ega faqat shunday holatda, agar shart bajarilsa :

Aniq farq sxemasi shartli barqarordir . Agar shart bajarilmasa, unda kichik hisoblash xatolar, masalan, kompyuter ma'lumotlarini yaxlitlash bilan bog'liq, yechimning keskin o'zgarishiga olib keladi. Yechim yaroqsiz holga keladi. Bu holat vaqt bosqichiga juda qattiq cheklovlar qo'yadi, bu muammoni hal qilish uchun hisoblash vaqtining sezilarli darajada oshishi tufayli qabul qilinishi mumkin emas.

Boshqa naqsh yordamida farq sxemasini ko'rib chiqing

36-usul

Issiqlik tenglamasi uchun yashirin farq sxemasi.

Issiqlik tenglamasini almashtiring:

Bu nisbat har bir ichki tugun uchun vaqt darajasida yoziladi va chegara tugunlaridagi qiymatlarni aniqlaydigan ikkita nisbat bilan to'ldiriladi. Natijada vaqt darajasida funktsiyaning noma'lum qiymatlarini aniqlash uchun tenglamalar tizimi mavjud.

Muammoni hal qilish sxemasi quyidagicha:

Dastlabki va chegaraviy shartlardan foydalanib, funktsiyaning qiymati nol vaqt darajasida topiladi. Keyin ushbu munosabatlar va chegara shartlaridan foydalanib, birinchi vaqt darajasidagi funktsiyaning qiymatini topish uchun chiziqli algebraik tenglamalar tizimi tuziladi, shundan so'ng ushbu munosabatlar yordamida tizim qayta quriladi va qiymatlar topiladi. ikkinchi marta darajasi va boshqalar.

Aniq sxemadan farqi- keyingi vaqt darajasidagi qiymatlar to'g'ridan-to'g'ri tayyor formuladan foydalanib hisoblanmaydi, balki tenglamalar tizimini echish orqali topiladi, ya'ni. noma'lumlarning qiymatlari SLAE ni hal qilish orqali aniq topiladi. Shuning uchun farq sxemasi yashirin deb ataladi. Aniqdan farqli o'laroq, yashirini mutlaqo barqarordir.

Mavzu №9

Optimallashtirish muammolari.

Bu masalalar amaliy matematikaning eng muhim muammolaridan biridir. Optimallashtirish degani berilgan muammoning barcha mumkin bo'lgan echimlaridan eng yaxshi variantni tanlash. Buning uchun echilayotgan masalani matematik tarzda shakllantirish, tushunchalarga yaxshi yoki yomonroq miqdoriy ma'no berish kerak. Odatda, hal qilish jarayonida optimallashtirilgan parametr qiymatlarini topish kerak. Ushbu variantlar deyiladi dizayn. Va dizayn parametrlarining soni aniqlaydi vazifa hajmi.

Yechim dizayn parametrlariga bog'liq bo'lgan ba'zi funksiyalar yordamida miqdoriy hisoblanadi. Bu funksiya deyiladi maqsad . U eng maqbul qiymat maksimal (minimal) ga to'g'ri keladigan tarzda qurilgan.

- maqsadli funksiya.

Maqsad funksiyasi bir parametrga bog'liq bo'lgan va aniq formula bilan berilgan eng oddiy holatlardir. Bir nechta maqsadli funktsiyalar bo'lishi mumkin.

Masalan, samolyotni loyihalashda bir vaqtning o'zida maksimal ishonchlilik, minimal og'irlik va narx va boshqalarni ta'minlash talab qilinadi. Bunday hollarda kiriting ustuvor tizim . Har bir maqsadli funktsiyaga ma'lum bir maqsadli multiplikator tayinlanadi, natijada umumlashtirilgan maqsadli funktsiya (kompromis funktsiyasi) olinadi.

Odatda optimal yechim muammoning jismoniy funktsiyasi bilan bog'liq bo'lgan bir qator shartlar bilan cheklanadi. Bu shartlar tenglik yoki tengsizlik shaklida bo'lishi mumkin

Cheklovlar mavjud bo'lganda optimallashtirish muammolarini hal qilish nazariyasi va usullari amaliy matematikaning bo'limlaridan birida tadqiqot mavzusidir - matematik dasturlash.

Agar maqsad funktsiyasi dizayn parametrlariga nisbatan chiziqli bo'lsa va parametrlarga qo'yilgan cheklovlar ham chiziqli bo'lsa, u holda vazifa chiziqli dasturlash . Bir o'lchovli optimallashtirish muammosini hal qilish usullarini ko'rib chiqing.

Maqsad funktsiyasi maksimal qiymatga ega bo'lgan qiymatlarni topish kerak. Agar maqsad funksiya analitik tarzda berilsa va uning hosilalari uchun ifoda topilsa, u holda optimal yechimga segmentning uchlarida yoki hosila yo‘qolib ketadigan nuqtalarda erishiladi. Bu muhim nuqtalar va . Barcha tanqidiy nuqtalarda maqsad funktsiyasining qiymatlarini topish va maksimalni tanlash kerak.

Umumiy holda, yechim topish uchun turli xil qidiruv usullari qo'llaniladi. Natijada, optimal yechimni o'z ichiga olgan segment torayadi.

Keling, ba'zi qidiruv usullarini ko'rib chiqaylik. Faraz qilaylik, maqsad funksiya oraliqda bitta maksimalga ega. Bunday holda, tugun nuqtalariga bo'linish , ularning soni , maqsad funktsiyasi ushbu tugun nuqtalarida hisoblanadi. Faraz qilaylik, maqsad funksiyaning maksimal qiymati tugunda bo'ladi, u holda optimal yechim intervalda bo'ladi deb taxmin qilish mumkin. Natijada, optimal yechimni o'z ichiga olgan segment torayadi. Olingan yangi segment yana qismlarga bo'linadi va hokazo. Har bir bo'lim bilan optimal echimni o'z ichiga olgan segment bir marta kamayadi.

Tortish bosqichlari ishlab chiqarilgan deb faraz qiling. Keyin asl segment bir omilga kamayadi.

Ya'ni yugurayotganda bajaring (*)

Bunda maqsad funksiyasi hisoblanadi.

(*) ifoda eng kam bilan olinadigan qiymatni topish talab qilinadi

hisob-kitoblar soni.

37-usul

yarim bo'linish usuli.

uchun qidiruv usulini ko'rib chiqing. U yarimga bo'lish usuli deb ataladi, chunki har bir bosqichda optimal echimni o'z ichiga olgan segment ikkiga kamayadi.

Qidiruv samaradorligini ma'lum bir torayish bosqichida maqsad funktsiyasi hisoblangan nuqtalarni maxsus tanlash orqali oshirish mumkin.

38-usul

Oltin qism usuli.

Bittasi samarali usullar oltin qism usuli hisoblanadi. Segmentning oltin kesimi sharti qondiriladigan nuqtadir

Bunday ikkita nuqta mavjud: =0,382 +0,618

0,618 +0,382 .

Segment nuqtalarga bo'linadi va undan keyin maqsad funktsiyasi maksimal bo'lgan nuqta mavjud. Natijada, uzunligi 0,618 ( - ) bo'lgan o'zgartirilgan segment topiladi.

Toraytirilgan segment uchun oltin qismning bitta qiymati allaqachon ma'lum, shuning uchun har bir keyingi bosqichda maqsad funktsiyasini hisoblash faqat bitta nuqtada (oltin qismning ikkinchi nuqtasi) talab qilinadi.

39-usul

Koordinatali ko'tarilish (tushish) usuli.

Maqsad funksiyasi bir necha parametr qiymatlariga bog'liq bo'lgan holatda optimallashtirish masalasini ko'rib chiqishga o'tamiz. Eng oddiy qidiruv usuli - koordinatali ko'tarilish (tushish) usuli.

tugunlarning konfiguratsiyasi, panjara funktsiyasining qiymatlari, bunda tarmoqning ichki (chegara chizig'i bo'lmagan) nuqtalarida farq tenglamalari shakli aniqlanadi. Qoida tariqasida, shablonlarning tasvirlari bo'lgan raqamlarda lotinlarni hisoblashda ishtirok etadigan nuqtalar chiziqlar bilan bog'lanadi.

Courant-Isakson-Ries sxemasi(KIR), bu ba'zan S.K. nomi bilan ham bog'liq. Godunov, ma'lum bo'lishicha, . Uning yaqinlashish tartibi. KIR sxemasi shartli ravishda barqaror, ya'ni. Courant sharti ostida . Hisoblash sohasining ichki nuqtalarida Courant-Isakson-Ries sxemasi uchun farq tenglamalarini keltiramiz:

Shamolga qarshi farq sxemasi (ingliz adabiyotida - shamolga qarshi) nomiga ega bo'lgan bu sxemalar quyidagicha yozilishi mumkin.

Ularning afzalligi yechimning qaramlik sohasini aniqroq hisobga olishdadir. Agar yozuvni kiritsak

keyin ikkala sxemani quyidagi shakllarda yozish mumkin:

(farq tenglamasining oqim shakli);

(bu erda ikkinchi farqli atama aniq ajralib turadi, bu sxemaga barqarorlikni beradi);

(cheklangan o'sishdagi tenglama).

O'ylab ko'ring noaniq koeffitsientlar usuli farq sxemasini qurish, transport tenglamasi uchun birinchi darajali aniqlikning o'ng burchagi

Sxema quyidagicha ifodalanishi mumkin

Courant-Isakson-Ries sxemasi xarakteristikaning raqamli usullari bilan chambarchas bog'liq. beraylik qisqa Tasvir bunday usullar uchun g'oyalar.

Oxirgi ikkita sxema qabul qilindi (bilan turli belgilar uzatish tezligi) quyidagicha talqin qilinishi mumkin. Tugundan o'tuvchi (t n + 1, x m ), qiymati aniqlanishi kerak bo'lgan va t n qatlamni nuqtada kesib o'tuvchi xarakteristikani quramiz. . Aniqlik uchun biz c uzatish tezligini ijobiy deb hisoblaymiz.

Pastki vaqt qatlamidagi x m - 1 va x m tugunlari o'rtasida chiziqli interpolyatsiyani amalga oshirib, biz olamiz

Keyinchalik, u n (x") qiymatini xarakteristikalar bo'ylab o'zgarmasdan yuqori qatlam t n + 1 ga o'tkazamiz, ya'ni biz o'rnatamiz. . Oxirgi qiymatni taxminiy yechim sifatida ko'rib chiqish tabiiydir bir jinsli tenglama transfer. Unday bo `lsa

yoki Courant raqamidan yana grid parametrlariga o'tish,

bular. Boshqa yo'l bilan, biz barqaror bo'lgan taniqli "chap burchak" sxemasiga keldik. Tugundan chiqadigan xarakteristikaning kesishish nuqtasi (t n + 1, x m, vaqt ichida n -chi qatlam bilan tugunning chap tomonida joylashganda (t n, x m - 1). Shunday qilib, yechim topiladi. , interpolyatsiya emas, balki beqaror bo'lib chiqadigan ekstrapolyatsiya qo'llaniladi.

c > 0 uchun "o'ng burchak" sxemasining beqarorligi ham aniq. Buni isbotlash uchun spektral mezon yoki Kurant, Fridrix va Levi shartidan foydalanish mumkin. Shunga o'xshash mulohazalarni ish uchun ham amalga oshirish mumkin c< 0 и схемы "правый уголок".

beqaror to'rt nuqtali sxema qachon olingan , uning yaqinlashish tartibi. Farqi sxemasi uchun panjara tenglamalari quyidagi shaklga ega bo'ladi:

Laks-Vendroff sxemasi qachon sodir bo'ladi . Lax-Vendroff sxemasini yaqinlashtirish tartibi . Sxema Courant sharoitida barqaror .

Ushbu sxemani noaniq koeffitsientlar usuli bilan yoki yaqinlashish xatosining etakchi muddatini aniqroq hisobga olgan holda olish mumkin. Keling, Lax-Vendroff sxemasini olish jarayonini batafsil ko'rib chiqaylik. Oldingi to'rt nuqtali sxemani yaqinlashtirish uchun o'rganishni amalga oshirib, (va bu tadqiqot juda oddiy va proyeksiya funktsiyasini Teylor seriyasida differensial muammoni aniq hal qilish tarmog'iga kengaytirishga qisqartiradi), biz quyidagilarga erishamiz. xatoning asosiy atamasi

Taxminan xatoning asosiy atamasi ifodasini olishda dastlabki differentsial transport tenglamasining natijasi ishlatilgan.

Qaysi (3.3) dastlabki tenglamani avval t vaqtga, so'ngra x koordinatasiga nisbatan differensiallash va hosil bo'lgan nisbatlardan birini ikkinchisidan ayirish yo'li bilan olinadi.

Keyingi, almashtirish ikkinchi hosila ikkinchi hadda o'ng tomonda O(h 2) ga qadar, biz originalga yaqin bo'lgan yangi farq sxemasini olamiz. differensial tenglama aniqlik bilan . Hisoblash tarmoqlarining ichki tugunlarida Lax-Vendroff sxemasi uchun grid tenglamalari:

Yashirin olti nuqtali sxema q = 0 da sodir bo'ladi; uning yaqinlashish tartibi bilan , da .

1. Koordinatalar sistemasida xOt qadam bilan to'rtburchaklar panjara qurish h eksa bo'ylab Oh va o'q bo'ylab t qadam bilan Kimdan:

a) x i =ih, i= l, n , n=L/soat;

b) t k =kτ, k= l,m , m=T/t;

ichida) va i , k = u(x i ,t k) = u(ih,kτ).

2. Funksiya qiymatlarini hisoblang u(x i , t k) chiziqlar ustida yotgan tugunlarda x= 0 va x=L:

3. Hisoblang u i ,0 =f(ih),i= 1, n .

4. (1.16) yoki (1.23) yordamida barcha ichki tugunlar uchun yechim topamiz: u i , k + n , i= l,n -l, k= 0, m -l.

1.3. To'lqinli tenglama uchun aralash masalani grid usulida yechish

1.3.1. Muammoni shakllantirish. Usul algoritmi

To'lqin tenglamasi uchun aralash muammoni (ya'ni, berilgan boshlang'ich va chegara shartlarini) ko'rib chiqing

hududida D=(0≤x≤ L, 0≤t≤T) dastlabki shartlar bilan

va chegara shartlari

Biz buni taxmin qilamiz f(x),g(x) yetarli darajada silliq funksiyalardir va domenning ikki burchagida mos keladigan shartlar bajariladi D(x=0, t=0), (x=L, t=0), bu yechimning mavjudligi va o'ziga xosligini ta'minlaydi u(x, t).

Asl muammoni diskretlashtirish uchun biz domenda tuzamiz

to'rtburchaklar panjara

qayerda h – yo'nalishdagi panjara oralig'i X, t - yo'nalishdagi panjara qadami t,

Qisman hosilalarni taxmin qilish uchun ikkinchi darajali markaziy farqlardan (1.10) foydalanib, har bir ichki tarmoq tugunlari uchun biz farq tenglamalari tizimini olamiz.

tugundagi (1.24) to'lqin tenglamasiga yaqin bo'lgan ( X i , t k) xato bilan O(h 2 + t2).

Bu yerda u i , k funksiyaning taxminiy qiymati va(X,t) tugunida ( x i ,t k).

l = aτ/ h, biz uch qatlamli farq sxemasini olamiz:

Sxema (1.28) uch qavatli deb ataladi, chunki u qiymatlarni bog'laydi u i , k funktsiyalari va(X,t) raqamlar bilan uchta vaqt qatlamida ( k-l), k, (k+1).

Farq sxemasi (1.28) "xoch" tipidagi besh nuqtali uch qatlamli naqshga mos keladi (1.2-rasm).

Sxema (1.28) qiymatlarni bog'laydi u i , k =u(ih, kt) o'z vaqtida uchta qatlamda va darajaga o'tish uchun ( k+1), qanday qilib bilish kerak u i , k, va u i , k-1 , bu differensial tenglama (1.24) ikkinchi marta hosilani o'z ichiga olganligining natijasidir. (1.24) - (1.26) masalaning raqamli yechimi taxminiy qiymatlarni hisoblashdan iborat. u i , k yechimlar u(X, t) tugunlarda ( X i ,t) da i = 1, n , k=1, m . (1.28) ga muvofiq hisoblash sxemasi aniq bo'lib, u tugunlardagi funktsiyaning taxminan qiymatlarini hisoblash imkonini beradi ( k+1) oldingi ikki qatlamdagi ma'lum qiymatlariga ko'ra --chi qatlam. Birinchi ikkita qatlamda funktsiyaning qiymatlari boshlang'ich shartlardan (1.25) aniqlanadi. Ishonamizki

Vaqt hosilasi uchun biz (1.5) taxminiylikdan foydalanamiz.

Taxminlash tartibi (1.30). O(τ).

E'tibor bering (1.29), (1.31) birinchi ikki qator uchun echimlarni beradi: k=0, k=1. O'rnini bosish k= 1 in (1,28), biz quyidagilarni olamiz:

(1.32) tenglamaning o'ng tomonidagi barcha shartlar qiymatlarni o'z ichiga oladi va i , k faqat panjaraning birinchi ikki qatoridan; ammo bu qiymatlarning barchasi dastlabki shartlardan ma'lum.

Shundan so'ng, echimlarni bilish va i ,1 ,va i,2 , funksiyaning qiymatlarini hisoblash uchun (1.28) dan foydalanishimiz mumkin va i , k uchinchi marta qatlamda, to'rtinchi va boshqalar.

Yuqorida tavsiflangan (1.28) – (1.31) hisoblash sxemasi (1.24) – (1.26) masalani aniqlik bilan taxmin qiladi. O(τ+ h 2). t ga nisbatan yaqinlashishning past tartibi lotinga nisbatan haddan tashqari qo'pol yaqinlikdan foydalanish bilan izohlanadi. t formulada (1. 30).

Keling, yaqinlashuv va barqarorlik masalalarini ko'rib chiqaylik. Bu erda dalillar keltirmasdan, biz yakuniy natijalarni shakllantirish bilan cheklanamiz. Agar Courant sharti bajarilsa, hisoblash sxemasi barqaror bo'ladi

Demak, (1.33) bajarilganda, masalan, birinchi qatlamda hisoblashda yuzaga keladigan kichik xatolar har bir yangi vaqt qatlamiga o'tishda cheksiz ko'paymaydi. Agar Courant sharti bajarilsa, farq sxemasi (1.28) bir xilda yaqinlashadi, ya'ni. h→0 va t→0 farqli masala yechimi (1.28) - (1.31) dastlabki masala (1.24) - (1.26) yechimiga bir xil intiladi.

Konvergentsiya uchun shart (1.33) yetarli, lekin shart emas. Boshqacha qilib aytganda, tenglamalar va intervallarning qiymatlari mavjud bo'lib, ular uchun (1.33) bajarilmaydi, lekin baribir to'g'ri natija olinadi. Gap shundaki, u holda konvergentsiyani kafolatlab bo'lmaydi. Umumiy holatda, albatta, konvergentsiyani aniq ta'minlash maqsadga muvofiqdir va shuning uchun (1.33) shart bajarilishi kerak.

Shunday qilib, qadam o'lchami tanlanishi bilanoq h yo'nalishda X, keyin t qadamning o'lchamida vaqt bo'yicha cheklov mavjud. Barcha aniq usullarning o'ziga xos xususiyati shundan iboratki, ulardan foydalanishda (1.33) turdagi ma'lum bir shartga rioya qilish kerak, bu usulning yaqinlashishi va barqarorligini ta'minlaydi.

To'r va naqsh. Ko'pgina farqli sxemalar uchun panjara tugunlari tabiiy koordinatalar tizimida yoki maxsus tanlangan maydonda chizilgan ba'zi to'g'ri chiziqlar (ko'p o'lchovli masalalarda, giperplanlar) kesishmasida yotadi. G.

Agar o'zgaruvchilardan biri vaqtning jismoniy ma'nosiga ega bo'lsa t, keyin panjara odatda shunday quriladiki, uning chiziqlari (yoki giperplanlari) orasida chiziqlar mavjud t = t m. Bunday chiziq yoki giperplanda yotuvchi panjara tugunlari to'plami qatlam deb ataladi.

Har bir qatlamda yo'nalishlar ajratiladi, ular bo'ylab faqat bitta fazoviy koordinata o'zgaradi. Masalan, o'zgaruvchilar uchun x, y, t yo'nalishlar mavjud x (t = const, y = const) va yo'nalish y (t = const, X = const).

Farq sxemalarini (26.2) va (26.4) tuzib, biz mintaqaning barcha ichki tugunlarida hosilalarning bir xil turdagi farqlarini yaqinlashtirishdan foydalandik. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, har bir farq tenglamasini yozishda ma'lum bir to'r tugunining yonida bir xil miqdordagi tugunlar olinib, qat'iy belgilangan konfiguratsiyani tashkil etuvchi, biz ushbu farq sxemasining shablonini chaqirdik (26.2-rasmga qarang).

Ta'rif. Shablonda farq sxemasi yozilgan tugunlar muntazam, qolganlari esa tartibsiz deb ataladi.

Odatda tartibsiz chegara tugunlari, ba'zan esa chegara yaqinida joylashgan tugunlar ham bo'ladi (shundayki, ushbu tugun yaqinida olingan shablon mintaqa chegarasidan tashqariga chiqadi).

Farq sxemasini tuzish shablonni tanlash bilan boshlanadi. Shablon har doim farq sxemasini noyob tarzda aniqlamaydi, lekin uning xususiyatlariga sezilarli darajada ta'sir qiladi; Misol uchun, biz buni keyinroq shakl shablonida ko'ramiz. 26.2 b issiqlik o'tkazuvchanligi muammosi uchun yaxshi farq sxemasini tuzish mumkin emas (26.1). Har bir turdagi tenglamalar va chegaraviy masalalar o'z shablonini talab qiladi.

Aniq va yashirin farq sxemalari

Keling, farq yechimini haqiqiy hisoblash masalasini muhokama qilaylik. Katta qism jismoniy muammolar o'zgaruvchilardan biri sifatida vaqtni o'z ichiga olgan tenglamalarga olib keladi. Bunday tenglamalar uchun odatda aralash chegaraviy masala qo'yiladi, uning tipik holati issiqlik o'tkazuvchanligi masalasidir (26.1).

Bunday masalalar uchun hisob-kitoblarning qatlamli algoritmi qo'llaniladi. Buni (26.2) va (26.4) sxemalar misolida ko'rib chiqamiz.

Dastlabki qatlamda (26.4) sxemada m= 0 eritma boshlang'ich sharti tufayli ma'lum. Keling, qo'ying m= 0 (26.4) tenglamalarda. Keyin indeksning har bir qiymati uchun n tenglama bitta noma'lumni o'z ichiga oladi ; shu yerdan aniqlashingiz mumkin da
Qiymatlar va chegaraviy shartlar bilan belgilanadi (26.3). Shunday qilib, birinchi qavatdagi qiymatlar hisoblanadi. Ularga asoslanib, ikkinchi qatlamdagi eritma shunga o'xshash tarzda hisoblab chiqiladi va hokazo.

Sxema (26.4) har bir tenglamada keyingi qavatdagi funksiyaning faqat bitta qiymati mavjud; bu qiymat boshlang'ich qatlamdagi funktsiyaning ma'lum qiymatlari bo'yicha osongina aniq ifodalanishi mumkin, shuning uchun bunday sxemalar aniq deb ataladi.

Sxema (26.2) har bir tenglamada yangi qatlamdagi funktsiyaning bir nechta noma'lum qiymatlarini o'z ichiga oladi; bunday sxemalar yashirin deb ataladi. Yechimni haqiqatda hisoblash uchun (26.2) chegaraviy shartni (26.3) hisobga olgan holda quyidagi shaklda qayta yozamiz.

(26.5)

Har bir qatlamda (26.5) sxemada miqdorlarni aniqlash uchun chiziqli tenglamalar tizimi mavjud.
; Ushbu tenglamalarning o'ng tomonlari ma'lum, chunki ular oldingi qatlamdagi yechim qiymatlarini o'z ichiga oladi. Chiziqli tizimning matritsasi tridiagonal bo'lib, yechimni algebraik supurish orqali hisoblash mumkin.

Hozir ko'rib chiqilayotgan algoritm ancha tipik. U bir o'lchovli va ko'p o'lchovli muammolar uchun ko'plab yashirin farq sxemalarida qo'llaniladi. Keyin biz indeks o'rniga qilamiz m ko'pincha qisqartmalardan foydalaning

Ushbu belgilarda aniq va yashirin farq sxemalari mos ravishda quyidagi shaklni oladi:

Farqlanish. Umumiy operator differentsial tenglamasini ko'rib chiqing (chiziqli bo'lishi shart emas)

Au = f, yoki Au – f = 0.

Operatorni almashtirish LEKIN farq operatori A h, o'ng tomon f- ba'zi bir panjara funktsiyasi , va aniq yechim u- farqli yechim y, farq sxemasini yozamiz

yoki
. (26.6)

Agar aniq yechimni almashtirsak u munosabatga (26.6), u holda yechim, umuman olganda, bu munosabatni qanoatlantirmaydi
. qiymat

qoldiq deb ataladi.

Qoldiq odatda Teylor seriyasining kengayishi yordamida baholanadi. Masalan, issiqlik tenglamasi (26.1a) uchun aniq farq sxemasining (26.4) nomuvofiqligini topamiz. Bu tenglamani kanonik shaklda yozamiz

Chunki bu holatda
keyin

Keling, yechimni tugun yaqinidagi Teylor formulasi bilan kengaytiramiz ( x n , t m), ga nisbatan uzluksiz to'rtinchi hosilalarning mavjudligini faraz qilgan holda X va ikkinchi t

(26.7)

qayerda

Bu kengayishlarni qoldiq ifodaga almashtirish va hosilalarning uzluksizligi tufayli miqdorlar orasidagi farqni e'tiborsiz qoldirish
dan ( x n , t m) toping

(26.8)

Shunday qilib, qoldiq (26.8) nolga intiladi
va
Farq sxemasining asl muammoga yaqinligi qoldiqning kattaligi bilan aniqlanadi. Agar qoldiq nolga moyil bo'lsa h va nolga moyil bo'lsa, bunday farq sxemasi differensial muammoga yaqinlashadi, deymiz. Taxminan bor R-bu tartib agar
.

Ifoda (26.8) faqat oddiy tarmoq tugunlarida nomuvofiqlikni beradi. (26.3) va (26.1b) ni solishtirsak, tartibsiz tugunlardagi nomuvofiqlikni osongina topishimiz mumkin.

Izoh 1. Domenda doimiy koeffitsientli (26.1) issiqlik o'tkazuvchanligi masalasini hal qilish doimiy ravishda cheksiz ko'p marta differentsiallanadi. Biroq, Teylor seriyasining (26.7) kengayishidagi beshinchi va undan ortiq hosilalarni hisobga olgan holda, nomuvofiqlikka (26.8) faqat kichiklikning yuqori tartibidagi shartlar qo'shiladi. va h, ya'ni. asosan qoldiqning ko'rinishini o'zgartirmaydi.

Izoh 2. Negadir asl masala yechimi bir necha marta farqlansin; masalan, silliq, lekin ikkinchi hosilasi bo'lmagan o'zgaruvchan issiqlik o'tkazuvchanligi bo'lgan masalalarda, yechim faqat uchinchi uzluksiz hosilalarga ega. Keyin Teylor seriyasining kengayishida (26.7) oxirgi shartlar
bir-birini to'liq bartaraf etmaydi. Bu tur a'zosining qoldig'ida (26.8) paydo bo'lishiga olib keladi
bular. nomuvofiqlik to'rt marta uzluksiz differensiallanuvchi echimlarga qaraganda kichikroq kichiklik tartibiga ega bo'ladi.

Izoh 3. Funksiya tarkibiga kirganligini hisobga olib, qoldiq ifodani o'zgartirish orqali u(x,t) asl tenglama va munosabatlarning aniq yechimidir

Ushbu ifodani (26.8) ga almashtirib, biz hosil bo'lamiz

Agar biz fazo va vaqtdagi qadamlarni shunday tanlasak
keyin asosiy a'zosi qoldiqlar yo'qoladi va faqat jihatidan kichiklikning yuqori tartibidagi shartlar va h(biz buni o'tkazib yubordik). Ushbu texnika yuqori aniqlikdagi farq sxemalarini qurishda qo'llaniladi.

farq sxemasi

farq sxemasi differensial tenglama va qoʻshimcha shartlarni (masalan, chegara shartlari va/yoki boshlangʻich taqsimot) oʻz ichiga olgan ayrim differensial masala bilan bogʻliq chekli algebraik tenglamalar tizimidir. Shunday qilib, ayirma sxemalari uzluksiz xarakterga ega bo'lgan differentsial masalani chekli tenglamalar tizimiga qisqartirish uchun ishlatiladi, raqamli yechim Bu asosan kompyuterlarda mumkin. Differensial tenglama bilan bog'liq algebraik tenglamalar farq sxemalari nazariyasini differensial masalalarni yechishning boshqa raqamli usullaridan (masalan, Galerkin usuli kabi proyeksiya usullaridan) ajratib turadigan farq usuli yordamida olinadi.

Ayirma sxemasining yechimi differensial masalaning taqribiy yechimi deyiladi.

Rasmiy ta'rif algebraik tenglamalar shakliga jiddiy cheklovlar qo'ymasa ham, amalda faqat differensial muammoga qandaydir tarzda mos keladigan sxemalarni ko'rib chiqish mantiqiy. Farq sxemalari nazariyasining muhim tushunchalari konvergentsiya, yaqinlashish, barqarorlik va konservatizm tushunchalaridir.

Taxminlash

Aytishlaricha, domenda aniqlangan funksiyalar bo‘yicha aniqlangan differensial operator, agar bosqichga qarab, to‘rda aniqlangan funksiyalar bo‘yicha aniqlangan chekli ayirma operatori tomonidan funksiyalarning ayrim sinfiga yaqinlashadi.

Taxminan agar buyrug'i bor deyiladi

qayerda - muayyan funktsiyaga bog'liq bo'lgan, lekin qadamga bog'liq bo'lmagan doimiy. Yuqorida qo'llaniladigan me'yor boshqacha bo'lishi mumkin va yaqinlashish tushunchasi uning tanloviga bog'liq. Ko'pincha bir xil uzluksizlik normasining diskret analogi qo'llaniladi:

ba'zan integral me'yorlarning diskret analoglari qo'llaniladi.

Misol. Operatorni chekli ayirma operatori bilan yaqinlashtirish

chegaralangan oraliqda silliq funksiyalar sinfida ikkinchi tartib.

Cheklangan farq masalasi differensial masalaga yaqinlashadi va agar differensial tenglamaning o‘zi ham, chegara (va boshlang‘ich) shartlari ham tegishli chekli farq operatorlari tomonidan yaqinlashtirilsa va yaqinlashishlar tartibli bo‘lsa.

Sardor holati

Courant holati (ingliz tilidagi adabiyotda, Eng. Kurant-Fridrix-Levi holati , CFL) - farq muammosidagi buzilishlarning tarqalish tezligi differentsialdan kam bo'lmasligi kerak. Agar bu shart bajarilmasa, ayirma sxemasining natijasi differentsial tenglamani echishga moyil bo'lmasligi mumkin. Boshqacha qilib aytganda, bir vaqtning o'zida zarracha bir nechta hujayradan "o'tib ketmasligi" kerak.

Koeffitsientlari differensial tenglamaning yechimiga bog'liq bo'lmagan sxemalar bo'lsa, Courant holati barqarorlikdan kelib chiqadi.

Yo'naltirilgan tarmoqlar bo'yicha sxemalar

Natija o'rnatiladigan va ma'lumotlar bir-biridan o'rnatiladigan ushbu grid sxemalarida. Misol uchun, natija nuqtalari ma'lumotlar nuqtalari orasidagi o'rtada joylashgan. Ba'zi hollarda, bu oddiyroq chegara shartlaridan foydalanishga imkon beradi.

Shuningdek qarang

Havolalar

• "Farq sxemalari" - Wikibooksning "Giperbolik tenglamalar uchun farq sxemalari" bo'limi
• Demyanov A. Yu., Chijikov D. V. Aniqlikning ikkinchi darajali yashirin gibrid monotonik farq sxemasi
• V. S. Ryaben'kii, A. F. Filippov. Farq tenglamalarining barqarorligi haqida. - M .: Gostekhizdat, 1956 yil.
• S. K. Godunov, V. S. Ryabenkiy. Farq sxemalari nazariyasiga kirish. - M .: Fizmatgiz, 1962 yil.
• K. I. Babenko. Raqamli tahlil asoslari. - M .: Nauka, 1986 yil.
• Berezin I.S., Jidkov N.P. Hisoblash usullari, - Har qanday nashr.
• Baxvalov N.S., Jidkov N.P., Kobelkov G.M. Raqamli usullar, - Har qanday nashr.
• G. I. Marchuk. Hisoblash matematikasi usullari. - M .: Nauka, 1977 yil.

Eslatmalar

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "Farq sxemasi" nima ekanligini ko'ring:

Differensial tenglama va qo'shimcha (boshlang'ich, chegara va hokazo) shartlarni yaqinlashtiruvchi ayirma tenglamalari tizimi. Dastlabki differensial masalani yaqinlashtirish R. s. bu asl muammoni taxminan diskretlashtirishning bir usuli ... Matematik entsiklopediya

chekli elementlar farqi sxemasi- chekli elementlar usuli - [A.S.Goldberg. Ingliz ruscha energiya lug'ati. 2006] Mavzular Umumiy energiya Sinonimlar chekli elementlar usuli EN chekli hajm farqi jadvali ...

Farqi sxemasi - bu differensial tenglama va qo'shimcha shartlarni (masalan, chegara shartlari va / yoki boshlang'ich ... ... Vikipediya) o'z ichiga olgan har qanday differensial muammo bilan bog'liq cheklangan algebraik tenglamalar tizimi.

nazorat hajmlari asosida chekli farqlarni hisoblash sxemasi- (masalan, issiqlik va massa almashinuvi, issiqlik o'tkazuvchanligi) [A.S.Goldberg. Ingliz ruscha energiya lug'ati. 2006] Cheklangan farqlar jadvaliga asoslangan umumiy EN nazorat hajmidagi energiya mavzulari ... Texnik tarjimon uchun qo'llanma

Sxema: grafik hujjat; taqdimot, tasvir, biror narsani eng umumiy ma'noda, soddalashtirilgan tarzda taqdim etish (masalan, hisobot sxemasi); elektron qurilma, ko'plab komponentlarni o'z ichiga oladi (integral sxema). Grafik hujjat ... ... Vikipediya

Differensial tenglama uchun chegaraviy masalaga mos keladigan variatsion masalaga asoslangan farq sxemasi. R.ni qurishning asosiy g'oyasi. Bilan. Ritz usulida koordinata funktsiyalarining maxsus tanlovi bilan ... ... Matematik entsiklopediya

Gierbolpch tenglamalarini yechishning sonli usullari. hisoblash algoritmlariga asoslangan turi. Har xil matematik modellar ko'p hollarda giperbolik differensial tenglamalarga olib keladi. turi. Bunday tenglamalar aniq aialitikaga ega ... ... Matematik entsiklopediya

Hisoblash matematikasining taxminiy yechim usullarini o'rganadigan bo'limi differensial tenglamalar ularni chekli ayirma tenglamalari (farq sxemalari) bilan almashtirish orqali. R. s. t. farq sxemalarini qurish usullarini o'rganadi, ... ... Matematik entsiklopediya

Qisman differensial tenglamalarni echishning sonli usullari taxminiy echish usullari bo'lib, buning natijasida masalaning yechimi raqamlar jadvali bilan ifodalanadi. Aynan yechimlar (aniq formulalar, qatorlar va boshqalar shaklida) faqat kamdan-kam hollarda qurilishi mumkin ...... Matematik entsiklopediya

Hisoblash algoritmlari asosida gaz dinamikasi masalalarini yechish usullari. Gaz dinamikasi masalalarini yechishning raqamli usullari nazariyasining asosiy jihatlarini ko'rib chiqamiz, gaz dinamikasi tenglamalarini inertial ... ... da saqlanish qonunlari ko'rinishida yozamiz. Matematik entsiklopediya elektron kitob