0 1 oralig'i kontinuumning kuchiga ega. Continuum (to'plam nazariyasi). Ushbu jarayonning davomi haqida bir nechta savollar

Cheksiz to'plamlar mavjud, ularning elementlarini qayta raqamlash mumkin emas. Bunday to'plamlar deyiladi behisob.

Kantor teoremasi. Segmentning barcha nuqtalari to'plamini sanab bo'lmaydi.

Isbot.

Segmentning nuqtalar to'plamini sanab o'tish mumkin bo'lsin. Bu shuni anglatadiki, bu nuqtalarni qayta raqamlash, ya'ni ketma-ketlik shaklida joylashtirish mumkin. x 1 , x 2 …xn, … .

Keling, segmentni uchta teng qismga ajratamiz. Qayerda bo'lmasin x 1, u barcha segmentlarga tegishli bo'lishi mumkin emas, , . Shuning uchun ular orasida nuqta bo'lmagan D 1 segmenti mavjud x 1 (1.7-rasm). Keling, ushbu D 1 segmentini olamiz va uni uchta teng qismga ajratamiz. Ular orasida har doim nuqta bo'lmagan D 2 segmenti mavjud x 2. Bu segmentni uchta teng qismga ajratamiz va hokazo.D 1 É D 2 É D 3 É…ÉD segmentlar ketma-ketligini olamiz. n E…. Kantor aksiomasi tufayli bir nuqtaga yaqinlashadi x da n® ¥. Qurilish bo'yicha, bu nuqta x har bir segmentga tegishli D 1 , D 2 , D 3 ,…, D n, …, ya'ni nuqtalarning hech biri bilan mos kela olmaydi x 1 , x 2 ,…xn, …, ya'ni ketma-ketlik x 1 , x 2 …xn, … segmentning barcha nuqtalarini tugatmaydi, bu dastlabki taxminga zid keladi. Teorema isbotlangan.

Segmentning barcha nuqtalari to'plamiga ekvivalent to'plam deyiladi quvvat uzluksizligi to'plami.

Intervallar, segmentlar va butun chiziq nuqtalari to'plami bir-biriga ekvivalent bo'lganligi sababli, ularning barchasi kontinuum kuchiga ega.

Berilgan to‘plamning kontinuumning kardinalligiga ega ekanligini isbotlash uchun berilgan to‘plam va segment, interval yoki butun chiziqdagi nuqtalar to‘plami o‘rtasidagi yakkama-yakka muvofiqlikni ko‘rsatish kifoya.

1.24-misol.

Anjirdan. 1.8 parabola nuqtalari to'plamidan kelib chiqadi y= x 2 -¥ chiziqdagi nuqtalar to'plamiga teng< x < ¥ и, следовательно, имеет мощность континуума.

Quyidagilardan foydalanib, doimiylik kuchini ham o'rnatishingiz mumkin kontinuumning quvvat to'plamlari haqidagi teoremalar(dalilsiz berilgan).

Teorema 1. Hisoblanadigan to'plamning barcha kichik to'plamlari to'plamini hisoblash mumkin.

Teorema 2. Irratsional sonlar to'plami kontinuumning kardinalligiga ega.

Teorema 3. Barcha nuqtalar to'plami n- har qanday uchun o'lchamli bo'sh joy n davomiylik kuchiga ega.

Teorema 4. Barcha kompleks sonlar to'plami kontinuumning kardinalligiga ega.

Teorema 5.[ oraliqda aniqlangan barcha uzluksiz funksiyalar to'plami. a, b] kontinuumning kardinalligiga ega.

Shunday qilib, cheksiz to'plamlarning kardinalliklari farq qilishi mumkin. Continuumning kardinalligi hisoblanuvchi to'plamning kardinalligidan kattaroqdir. Kontinuumning kardinalligidan yuqoriroq kardinallik to'plamlari mavjudmi degan savolga javob quyidagi teorema bilan beriladi (isbotsiz berilgan).

Yuqori kardinallik to'plamlari haqidagi teorema. Berilgan to'plamning barcha kichik to'plamlari to'plami berilgan to'plamdan yuqori kardinallikka ega.

Bu teoremadan kelib chiqadiki, eng katta kardinallikka ega bo'lgan to'plamlar mavjud emas.

MAVZU 2. MUNOSABATLAR. FUNKSIYALAR

Uzluksiz quvvat

Teorema 1. Segment sonsiz.

Isbot

Buning aksini faraz qilaylik.

Segment hisoblanuvchi to'plam bo'lsin. Keyin uning barcha nuqtalarini ketma-ketlik sifatida joylashtirish mumkin

Bu bajarilsin, ya'ni. Har bir nuqta (1) ketma-ketlikda joylashgan.

Nuqtalar bo'yicha uchta teng qismga bo'ling va (1-rasm). Ko'rinib turibdiki, nuqta uchta segmentga tegishli bo'lishi mumkin emas va ulardan kamida bittasi uni o'z ichiga olmaydi. Tarkibida bo'lmagan segment bilan belgilang (agar ikkita bunday segment bo'lsa, biz ulardan birini chaqiramiz).

Endi biz segmentni uchta teng segmentga ajratamiz va nuqtasi bo'lmagan yangi segmentlardan biri bilan belgilaymiz.

Keyin biz segmentni uchta teng segmentga ajratamiz va nuqtasi bo'lmagan va hokazo bilan belgilaymiz.

Natijada, biz shunday xususiyatga ega bo'lgan ichki o'rnatilgan segmentlarning cheksiz ketma-ketligini olamiz.

Segmentning uzunligi ortib borishi bilan nolga moyil bo'lganligi sababli, Cantor ichki segmentlar teoremasiga ko'ra, barcha segmentlar uchun umumiy nuqta mavjud.

Chunki, u holda nuqta (1) ketma-ketlikka kiritilishi kerak. Lekin bu mumkin emas, chunki, . Demak, nuqta ketma-ketlikning (1) birorta nuqtasi bilan mos kelmasligini tushunamiz.

Teorema isbotlangan

Ta'rif 1. Agar A to'plam segmentga ekvivalent bo'lsa, u holda A uzluksizlikning kardinalligiga yoki qisqasi, c kardinalligiga ega deyiladi.

Teorema 2. Har bir segment, har bir interval va har bir yarim interval yoki kardinallikka ega c.

Isbot

to'plamlar o'rtasida yakkama-yakka muvofiqlikni o'rnatadi va shundan kelib chiqadiki, A kontinuumning kardinalligiga ega.

Cheksiz to'plamdan bir yoki ikkita elementni olib tashlash asl to'plamga ekvivalent to'plamga olib kelganligi sababli, bo'shliqlar segment bilan bir xil kardinallikka ega, ya'ni. kuch s.

Teorema isbotlangan.

Teorema 3. C kardinallikning cheklangan sonli juft-ajralmagan to'plamlarining yig'indisi c kardinallikka ega.

Isbot

Yarim intervalni oling va uni nuqtalar bo'yicha yarim intervallarga ajrating,

Ushbu yarim oraliqlarning har biri c kardinallikka ega, shuning uchun biz to'plam va yarim intervalni bir-bir yozishmalarda bog'lashimiz mumkin. Ko'rinib turibdiki, shu tarzda yig'indi va yarim oraliq o'rtasida birma-bir yozishmalar o'rnatilgan.

Teorema isbotlangan.

Teorema 4. Kardinallik c bo'lgan juft ajratilgan to'plamlarning sanaladigan to'plamining yig'indisi c kardinallikka ega.

Isbot

bu erda to'plamlarning har biri kardinallikka ega c.

Yarim oraliqda monoton ortib borayotgan ketma-ketlikni va qaysi nuqtalarni oling.

To'plamlar va hamma uchun birma-bir yozishmalarni o'rnatganimizdan so'ng, biz va o'rtasida birma-bir yozishmalarni o'rnatamiz.

Teorema isbotlangan.

Xulosa 1. Barcha haqiqiy sonlar to'plami kardinallikka ega c.

Xulosa 2. Barcha irratsional sonlar to'plami c kardinallikka ega.

Xulosa 3. Transsendental (algebraik bo'lmagan) sonlar mavjud.

Teorema 5. Natural sonlarning barcha ketma-ketliklari to'plami

kuchga ega.

Isbot

Teoremani ikki usulda isbotlaymiz:

1) Davomli kasrlar nazariyasiga asoslanib.

Ketma-ketlik va irratsional sonni o'zaro bog'liq deb hisoblab, R va (0, 1) oraliqdagi barcha irratsional sonlar to'plami o'rtasida yakkama-yakka muvofiqlikni o'rnatamiz, buning uchun davomli kasr kengayishi shaklga ega.

Muvofiqlik imkoniyati teoremani isbotlaydi.

2) Ikkilik kasrlar nazariyasiga asoslanib.

Ushbu nazariyaning ba'zi faktlarini ko'rib chiqing:

1. Ikkilik kasr qatorning yig‘indisidir,

Belgilangan miqdor belgi bilan ko'rsatilgan

2. Shaklda istalgan sonni ifodalash mumkin

Agar x shaklning kasr bo'lmasa, bu tasvir noyobdir 0 va 1 raqamlari (noyob) kasrlarga,

Agar, u holda u ikkita parchalanishni tan oladi. Bu kengayishlarda ... belgilari bir-biriga toʻgʻri keladi va ularning birida ishora 1, ikkinchisida 0. Birinchi kengayishdagi qolgan barcha belgilar nolga teng (davrda 0), ikkinchisida esa (). davrda 1).

Masalan

3. Har bir ikkilik kasr qandaydir songa teng.

Agar bu kasr davrda 0 yoki 1 ni, ya'ni shaklning sonini o'z ichiga olgan bo'lsa, istisno - bu kasrlar va keyin asl bilan birga yana bitta ikkilik kengayish mavjud.

Agar ikkilik kasrda davrda 0 yoki 1 raqamlari bo'lmasa, unda boshqa ikkilik kengaytmalar mavjud emas.

Keling, teoremaning isbotiga qaytaylik.

Davrda birlik bo'lgan kasrlarni ishlatmaslikka rozi bo'laylik. Keyin yarim oraliqdagi har bir raqam shaklda noyob ko'rinishga ega bo'ladi

va, Qat'i nazar, siz qanday raqam olish, shunday bor

Aksincha, bu xususiyatga ega bo'lgan har qanday kasr (1) dan nuqtaga to'g'ri keladi. Lekin siz qaysi kasrni ko'rsatish orqali (1) kasrni belgilashingiz mumkin

Bular natural sonlarning ortib boruvchi ketma-ketligini hosil qiladi

va har bir bunday ketma-ketlik kasrga (1) mos keladi. Demak, ketma-ketliklar to'plami (2) kardinallikka ega. Ammo to'plamlar va u o'rtasida birma-bir yozishmalarni o'rnatish oson. Buning uchun ketma-ketlikni (2) ketma-ketlik bilan bog'lash kifoya

dan, buning uchun, ...

Teorema isbotlangan.

Teorema 6. Agar A to'plamining elementlari piktogramma bilan aniqlangan bo'lsa, ularning har biri boshqa piktogrammalardan qat'i nazar, asosiylik bilan qiymatlar to'plamini oladi.

Bu A to'plami kardinallikka ega.

Isbot

Uchta piktogramma uchun ishni ko'rib chiqish kifoya, chunki argument umumiy xususiyatga ega.

Keling, (mos ravishda va) piktogramma qiymatlari to'plamini (mos ravishda va) chaqiramiz, shu bilan birga piktogrammalarning har biri boshqalardan mustaqil ravishda o'zgaradi va to'plamlarning har biri o'ziga xos xususiyatga ega.

Keling, har bir to'plam va natural sonlarning barcha ketma-ketliklari to'plami o'rtasida yakkama-yakka muvofiqlikni o'rnatamiz. Bu va o'rtasida bir xil munosabatni o'rnatadi.

Keling, qaerda, .

va elementlar orasidagi yozishmalarda dan ba'zi elementlarga mos keladi.

element ketma-ketlikka mos keladi,

element ketma-ketlikka mos keladi.

Keling, elementga aniq kiritilgan ketma-ketlikni tayinlaymiz.

Bu bilan biz haqiqatan ham A va P o'rtasida yakkama-yakka yozishmalarga ega bo'ldik, ya'ni A to'plami kardinallikka ega.

Teorema isbotlangan.

Xulosa 1. Samolyotning barcha nuqtalari to'plami kardinallikka ega.

Xulosa 2. Uch o'lchovli fazodagi barcha nuqtalar to'plami kardinallikka ega.

Xulosa 3. Kardinallik cning juft-ajralmagan to'plamlarining c yig'indisi c kardinallikka ega.

Teorema 7. Agar A to'plamning elementlari sanaladigan piktogramma to'plami yordamida aniqlansa, ularning har biri boshqa piktogrammalardan qat'iy nazar, asosiylik qiymatlari to'plamini oladi, u holda A to'plam c kardinallikka ega.

Isbot

Belgilar qiymatlari to'plami bo'lsin.

Biz uni natural sonlarning barcha ketma-ketliklarining P to'plami bilan birma-bir yozishmalar orqali bog'laymiz.

Bu yozishmalar belgilansin.

Buni amalga oshirib, biz ixtiyoriy elementni tanlaymiz.

Keyin qayerda.

Ketma-ketlik belgining qiymatiga mos kelsin

Keyin element cheksiz butun sonli matritsaga mos keladi

Natijada A va matritsalar to'plami (*) o'rtasidagi moslik yakkama-yakka ekanligini ko'rish oson. Shuning uchun, to'plamning c kardinallikka ega ekanligini aniqlash qoladi. Ammo bu aniq, chunki (*) matritsani ketma-ketlik bilan bog'lash orqali

va o'rtasida darhol birma-bir yozishma olamiz.

Shunday qilib, A to'plami kardinallikka ega.

Teorema isbotlangan.

Teorema 8. Shaklning barcha ketma-ketliklari to'plami, bu erda bir-biridan mustaqil ravishda 0 va 1 qiymatlarini qabul qiladi, c kardinallikka ega.

Isbot

Bir joydan boshlab hammasi 1 ga teng bo'lgan ketma-ketliklar to'plami bo'lsin.

Kiritilgan har bir ketma-ketlik ikkilik kengayishga ega bo'lgan raqam bilan bog'lanishi mumkin; bu raqam 1 ga teng bo'ladi yoki bundan tashqari, ko'rsatilgan turdagi raqamlar to'plami va o'rtasidagi muvofiqlik aniq birma-bir bo'ladi, shundan kelib chiqadiki, to'plam sanab bo'ladi.

Boshqa tomondan, agar biz sonni ikkilik kengayish bilan bog'lasak, u holda biz va yarim oraliq o'rtasida birma-bir yozishma olamiz.

teorema: (0,1) oraliqda yotgan haqiqiy sonlar to'plamini sanab bo'lmaydi.

Isbot:

Haqiqiy sonlar to‘plami bilan natural sonlar to‘plami o‘rtasida hech qanday tarzda yakkama-yakka muvofiqlikni o‘rnatib bo‘lmasligini isbotlash zarur. Teoremani qarama-qarshilik bilan isbotlaymiz.

Aytaylik, bu birma-bir yozishmalar qandaydir tarzda o'rnatilgan; u holda har bir haqiqiy son bitta va faqat bittaga mos keladi natural son, va aksincha, har bir natural son bitta va faqat bitta haqiqiy songa mos keladi. Shunday qilib, ba'zi bir haqiqiy raqam 1 raqamiga mos keladi - bu kasr 0, a 1 a 2 ...a n . Ba'zi haqiqiy son 2 raqamiga to'g'ri keladi - bu kasr 0, b 1 b 2 b 3 ...b n va boshqalar sifatida yoziladi.

Endi haqiqiy sonlarni ketma-ket yozamiz: avval bittaga mos keladigan sonni, keyin ikkitaga mos keladigan sonni, keyin uchtaga mos keladigan sonni yozamiz va hokazo.

0, a 1 a 2 ...a n 0, b 1 b 2 b 3 ...b n 0, g 1 g 2 ....g n

Shunday qilib, barcha haqiqiy sonlar yoziladi, chunki har bir haqiqiy son qandaydir natural songa to'g'ri keladi: yuqori qatorda (0,1) oraliqdagi barcha haqiqiy sonlar, pastki qatorda esa barcha natural sonlar mavjud.

Endi quyidagi qonundan foydalanib 0, m 1 m 2 ..m n … sonini tuzamiz.m 1 sifatida 0 dan 9 gacha bo‘lgan va a 1 ga teng bo‘lmagan natural sonni oling, ya’ni. m 1 ≠a 1 , 0

m 1 ≠a 1 , m 2 ≠b 2 , m 3 ≠ g 3 ,…

0

0, m 1 m 2 …m n .. soni 0, a 1 a 2 ...a n .. soniga teng emas, chunki u qurilishi boʻyicha undan birinchi kasr bilan farq qiladi. 0, m 1 m 2 …m n ... soni 0, b 1 b 2 b 3 ...b n sonidan ikkinchi kasr bilan farq qiladi. 0, m 1 m 2 …m n ... soni 0 raqamidan g 1 g 2 ....g n uchinchi kasr va boshqalar bilan farq qiladi. Umuman olganda, konstruksiyadan kelib chiqadiki, 0, m 1 m 2 …m n ... soni yuqori qatordagi har bir raqamdan farq qiladi, shuning uchun u yuqori qatordagi raqamlar orasida emas. Boshqa tomondan, 0, m 1 m 2 …m n ... soni (0,1) oraliqdagi haqiqiy son bo‘lib, yuqori satrda shu oraliqdagi barcha haqiqiy sonlar mavjud. Bu shuni anglatadiki, 0, m 1 m 2 …m n ... soni ham yuqori qatorda bo'lishi kerak.

Biz qarama-qarshilikka keldik. Shuning uchun (0,1) oraliqdagi haqiqiy sonlar to‘plami bilan natural sonlar to‘plami o‘rtasida yakkama-yakka muvofiqlikni o‘rnatib bo‘lmaydi, ya’ni (0,1) intervaldagi haqiqiy sonlar to‘plamini sanab bo‘lmaydi. .

Ta'rif: (0,1) oraliqda yotgan haqiqiy sonlar to'plamiga ekvivalent bo'lgan har qanday to'plam uzluksiz kardinallik to'plamidir.

(0,1) oraliqdagi har bir raqam bu oraliqdan bitta va faqat bitta nuqtaga to'g'ri keladi va aksincha, (0,1) oraliqdagi har bir nuqtaga ushbu intervaldan bitta va faqat bitta raqam mos keladi. Shuning uchun (0,1) oraliqda yotgan nuqtalar to'plami kontinuumning kardinalligiga ega.

Turli uzunlikdagi intervalda yotgan nuqtalar to‘plami o‘rtasida yakkama-yakka muvofiqlik o‘rnatilishi mumkinligini isbotladik. Shunday qilib, har qanday intervalli nuqtalar to'plami kontinuumning kardinalligiga ega.

Butun chiziqdagi nuqtalar to'plami va har qanday intervaldagi nuqtalar to'plami ekvivalent ekanligini isbotladik. Shunday qilib, butun chiziqdagi nuqtalar to'plami kontinuumning kardinalligiga ega va bundan kelib chiqadiki, barcha haqiqiy sonlar to'plami kontinuumning kardinalligiga ega.

To'plamlar nazariyasi cheksiz to'plamlarni sifat jihatidan farqlash imkonini berdi, hisoblanuvchi to'plamlar va kontinuumning kardinallik to'plamlarini ajratib ko'rsatdi.

Haqiqiy sonlar to'plamining kardinalligi uchun R maxsus belgi mavjud. Bunday kuchga ega bo'lgan har qanday to'plam kontinuum deb ataladi (inglizchadan davom etish - davom ettirish).

Kontinuumning kuchi tushunchasining kiritilishi ikkita savol tug'diradi.

1. Quvvati c dan katta bo'lgan to'plam bormi?

2. Hisoblanuvchi va kontinuum o'rtasida oraliq kuchlar to'plami bormi?

Bir qarashda, har qanday tekislik figurasi, masalan, kvadrat, c dan kattaroq kardinallik to'plamidir. Biroq, bu to'g'ri emas va

TEOREMA. Tekislikdagi ochiq birlik kvadrat kardinallikka ega c.

ISLOV. Kvadratning yon tomonidagi nuqtalarining f xaritasini tuzamiz. Koordinatalari (x, y) bo'lgan kvadrat ichidagi istalgan nuqtani oling. O'nli ko'rinishda x = 0,a 1 a 2 a 3 ... va y = 0,b 1 b 2 b 3 ... bo'lsin. Biz z = f(x, y) = = 0,a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ... sonini hosil qilamiz, bu kvadrat tomonidagi nuqtaning koordinatasi. Shunday qilib, biz kvadrat nuqtalarini uning yon tomoniga chizamiz. Bu xaritalash in'ektsion ekanligi aniq, ya'ni. agar biz A \u003d (x 1, y 1) va B \u003d (x 2, y 2) nuqtalarini olsak, A ¹ B va z A \u003d f (A), z B \u003d f (B) ni aniqlaymiz. ), keyin biz z A ¹ z B ni olamiz, ya'ni. kvadratning ikki xil A va B nuqtalari chiziq segmentidagi ikki xil nuqtaga ko'rsatilgan. Haqiqatan ham, A ¹ B bo'lsin. Shunday qilib, x 1 ¹ x 2 yoki y 1 ¹ y 2 va agar shunday bo'lsa, bu raqamlar kamida bitta kasr bilan farqlanadi va shuning uchun z A ¹ z B .

In'ektivlik kvadratda segmentdagidan ko'proq nuqta yo'qligini anglatadi. Boshqa tomondan, ularning soni kamroq bo'lishi mumkin emas, chunki segment kvadratning kichik to'plamidir. Binobarin, tuzilgan f xaritalash birma-bir.

Shunga qaramay, kontinuum ustidagi kardinallik to'plamlari mavjud; bundan tashqari, bizda mavjud

TEOREMA. Har qanday A to'plami uchun kattaroq kardinallikka ega B to'plami mavjud.

ISLOV. A to'plam bo'lsin. B to'plamni ko'rib chiqaylik, bu A to'plamning nuqtalarida aniqlangan va bu nuqtalarda 0 yoki 1 ga teng bo'lgan barcha funktsiyalar to'plamidir. B to'plamning kardinalligi A ning kardinalligidan katta ekanligini ko'rsataylik.

A to'plamda B dan qoida bilan aniqlangan funktsiyani ko'rib chiqing

qaerda aOA. Har bir aOA nuqtasini f a (x)OV funksiyasiga mos kelaylik va natijada olingan to'plamni ko'rib chiqaylik

B 1 = ( f a (x)OB | aOA )M B.

Shubhasiz, biz birma-bir xaritalashni o'rnatdik A « V 1 . Shuning uchun, | A | = | B 1 |, va shuning uchun | A | £ | B 1 |.

Keling, buni ko'rsatamiz | A | ¹ | B 1 |. Bu A ni barcha B ga birma-bir xaritalash mavjud emasligiga teng. Aksincha, j bijektiv xaritalash mavjud bo'lsin: A ® B, har bir aOA ga bOV va har bir elementni belgilaydi. funktsiya B dan A to'plamning elementi. j(a ) = f (a) (x) deb belgilang va funktsiyani ko'rib chiqing.

g(x) = 1 – f(a)(x).

B to'plam elementlarining xossalariga ko'ra, f (a) (x) ning qiymati 0 yoki 1 ga teng bo'lsa, u holda bu xususiyat g (x) funktsiyasi uchun ham qondiriladi. Shuning uchun g(x)OV. Demak, taxminga ko'ra, bOA nuqtasi mavjud bo'lib, g(x) unga yagona mos keladi, ya'ni, g(x) = f(b)(x). Keling, x = b ni olaylik, keyin olamiz

g (b) = 1 - f (b) (b) = f (b) (b).

Demak, f (b) (b)=1/2, bu f (b) (x) funksiya B to'plamga tegishli bo'lgan shartga ziddir. Shuning uchun bunday j xaritalash mavjud emas. Demak, B ning kuchi A ning kuchidan qat'iy kattaroqdir.

Teoremadan kelib chiqadiki, eng katta kardinallik to'plami yo'q.

Agar B ni elementlari A to‘plamning barcha mumkin bo‘lgan kichik to‘plamlari bo‘lgan to‘plam sifatida aniqlasak, kattaroq kardinallik to‘plamini qurishning ekvivalent usulini olamiz. Ayrim A to‘plamning barcha kichik to‘plamlari to‘plami mantiqiy deyiladi va 2 A (2) bilan belgilanadi. A =( C | C Í A)). Keyin m(2 A) = 2 | A | .

Kardinalligi 2 c bo'lgan to'plam gipercontinuum kardinallik to'plami deyiladi.

Oraliq o'lchamlar to'plamining mavjudligi muammosiga kelsak, bu fikrni to'plamlar nazariyasi aksiomalari asosida isbotlab bo'lmaydi, lekin u ham ularga zid emas.

NAZORAT SAVOL VA VAZIFALAR

1. Quyidagi to‘plamlarning kardinalliklarini aniqlang:

a) cho'qqilari koordinatalari ratsional sonlar bilan ifodalangan tekislikdagi barcha uchburchaklar to'plami;

b) butun koeffitsientli ko'phadlarning ildizlari to'plami;

c) 0 dan 1 gacha bo'lgan haqiqiy sonlar to'plami, ularning o'nli ko'rinishida 7 3-o'rinda turadi (ya'ni 0.ab7cd ... ko'rinishidagi raqamlar).

2. Haqiqiy chiziqda chegaralanmagan sanoqli E to‘plami berilgan.Har doim z haqiqiy son mavjudligini, E to‘plamini z ga o‘ngga siljitish orqali yangi E 1 to‘plamini olishimizni isbotlang, bu to‘plam bo‘sh kesmaga ega bo‘ladi. bilan E.

3*. Intervaldagi barcha uzluksiz funksiyalar to‘plami kontinuumning kardinalligiga ega ekanligini isbotlang.

4. Segmentda aniqlangan va shu segmentning kamida bitta nuqtasida uzilishli barcha funksiyalar to‘plamining kardinalligi qanday?

5. Segmentda aniqlangan barcha qat'iy ortib boruvchi uzluksiz funksiyalar to'plamining kardinalligi nimaga teng?

6. Intervaldagi barcha monoton funksiyalar to‘plamining kardinalligi nimaga teng?

7. Tabiiy qatorlarning barcha almashtirishlar to'plami ekanligini ko'rsating N davomiylik kuchiga ega.

8. Natural sonlarning barcha qat’iy ortib boruvchi ketma-ketliklari to‘plamining kardinalligi nimaga teng?

9. Natural sonlarning barcha ketma-ketliklari to‘plamining kardinalligi nimaga teng?

Yechim misollari

Segmentning barcha ratsional nuqtalarining Q to'plamini ko'rib chiqing , o'zboshimchalik bilan raqamlangan, ya'ni. Q= = (r 1 , r 2 , ...). Har bir uzluksiz f funksiyaga f(r 1), f(r 2), ... haqiqiy sonlar ketma-ketligini va haqiqiy sonlarning barcha ketma-ketliklari to‘plamining bir qismini uzluksiz funksiyalarni belgilaymiz. Demak, 11-13-masalalarning 4-bandi natijalariga ko'ra, barcha uzluksiz funktsiyalar to'plamining kardinalligi kontinuumning kardinalligidan katta emas. Boshqa tomondan, u kontinuumning kardinalligidan kam bo'lishi mumkin emas, chunki doimiy bo'lgan barcha funktsiyalar allaqachon kontinuumning kardinalligi to'plamini tashkil qiladi. Isbotni yakunlash uchun Kantor-Bernshteyn teoremasini qo'llash qoladi.

Noaniq to'plamlar. Asosiy tushunchalar

Klassik to‘plamlar nazariyasi 20-asr boshlarida Kantor asarlarida paydo bo‘lgan va 1965-yilda Kaliforniya universiteti (Berkli) professori Lotfi A. Zadeh “Loyqa to‘plamlar” (“Fuzzy sets”) asarini nashr etgan. , unda u to'plamning klassik kontseptsiyasini kengaytirdi va shaxsning intellektual faoliyatini modellashtirish uchun asos yaratdi.

To'plamlar nazariyasi yordamida hal qilinadigan ko'plab amaliy masalalarda ma'lum to'plamga tegishli elementlar to'plamini yagona va aniq cheklash qiyin, chunki matematikaning rasmiy tabiati bilan insonning noaniq, noaniq tushunchalarda fikr yuritish odati o‘rtasida ziddiyat yuzaga keladi. (Bir dasta tosh - nechta bo'lak? 5 ta fil ko'p, 10 ta chumoli kam va hokazo). Zade bu ziddiyatni ma’lum darajada yengib o‘ta oldi.

Professor L.Zade va uning izdoshlarining keyingi faoliyati yangi nazariyaga mustahkam poydevor yaratdi va loyqa boshqaruv usullarini muhandislik amaliyotiga joriy etish uchun zarur shart-sharoitlarni yaratdi. 1990 yilga kelib bu mavzuda 10 000 dan ortiq maqola nashr etildi va tadqiqotchilar soni 10 000 taga yetdi, AQSh, Yevropa va SSSRda 200-300 ta, Yaponiyada 1000 ga yaqin, Hindistonda 2000-3000 ta va taxminan. Xitoyda 5000 tadqiqotchi. So'nggi 5 - 7 yil ichida sanoatda yangi usul va modellarni qo'llash boshlandi. Va loyqa boshqaruv tizimlarining birinchi qo'llanilishi Evropada sodir bo'lgan bo'lsa-da, bunday tizimlar Yaponiyada eng intensiv ravishda amalga oshirilmoqda. Ularning qo‘llanish doirasi keng: metro poyezdini jo‘natish va to‘xtatish jarayonini boshqarish, yuk liftlari va yuqori o‘choqni boshqarishdan tortib, kir yuvish mashinalari, changyutgichlar va mikroto‘lqinli pechlargacha. Shu bilan birga, loyqa tizimlar resurslar va energiya xarajatlarini kamaytirish bilan birga mahsulot sifatini yaxshilashga imkon beradi va an'anaviy avtomatik boshqaruv tizimlariga nisbatan aralashuvchi omillarga yuqori qarshilik ko'rsatadi.

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, yangi yondashuvlar avtomatlashtirish tizimlarini qo'llash doirasini klassik nazariyaning amal qilish chegaralaridan tashqariga kengaytirish imkonini beradi. Bu borada L.Zodehning nuqtai nazari qiziq: "Men aniqlikka bo'lgan haddan tashqari ishtiyoq boshqaruv nazariyasi va tizimlar nazariyasini bekor qiladigan ta'sir ko'rsata boshladi, deb o'ylayman, chunki bu ushbu sohadagi tadqiqotlar aynan o'sha va faqat hal qilinishi mumkin bo'lgan muammolarga qaratilganiga olib keladi. Natijada. , Ma'lumotlar, maqsadlar va cheklovlar aniq matematik tahlil qilish uchun juda murakkab yoki noto'g'ri aniqlangan ko'plab muhim muammolar sinflari matematik ishlov berishga to'g'ri kelmaydiganligi sababli chetda qoldirilgan va chetda qoldirilgan. Shunday qilib, biz aniqlik talablarimizdan voz kechishimiz va biroz noaniq yoki noaniq natijalarga ruxsat berishimiz kerak."

Loyqa tizimlar ilmiy-tadqiqot markazining amaliy dasturlarga o‘tishi loyqa hisoblashlar uchun yangi kompyuter arxitekturalari, loyqa kompyuterlar va kontrollerlarning element bazasi, ishlab chiqish vositalari, hisoblash va ishlab chiqishning muhandislik usullari kabi bir qator muammolarni shakllantirishga olib keldi. loyqa boshqaruv tizimlari va boshqalar.

E universal to‘plam, x E ning elementi, P esa qandaydir xossa bo‘lsin. Elementlari R xossasini qanoatlantiradigan universal E to‘plamining oddiy (aniq) kichik to‘plami A tartiblangan juftliklar to‘plami sifatida aniqlanadi. = (m A (x) / X } , bu yerda m A (x) xarakteristik funksiya, agar x R xossasini qanoatlantirsa, 1 qiymatini oladi. , va aks holda 0.

Loyqa kichik to'plam odatdagidan farq qiladi, chunki x elementlari uchun E dan R xossasiga nisbatan bir ma'noli "ha-yo'q" javobi yo'q. Shu munosabat bilan E universal to'plamining noaniq A kichik to'plami tartiblangan juftliklar to'plami sifatida aniqlanadi. A = (m A (x) /x), bu erda m A (x) - xarakterli a'zolik funktsiyasi (yoki oddiygina a'zolik funktsiyasi), u qandaydir yaxshi tartiblangan M to'plamida qiymatlarni oladi (masalan, M = [ 0,1] ). A'zolik funktsiyasi x elementning A kichik to'plamdagi a'zolik darajasini (yoki darajasini) ko'rsatadi. M to'plam a'zolik to'plami deb ataladi. Agar M = { 0,1} , keyin loyqa kichik to'plam A oddiy yoki tiniq to'plam sifatida ko'rib chiqilishi mumkin.

Loyqa to'plamni yozishga misollar

E= (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ), M boʻlsin. = [ 0,1] ; A loyqa to'plam bo'lib, u uchun m A ( x 1)=0,3; m A ( x 2)=0; m A ( x 3)=1; m A ( x 4)=0,5; m A ( x 5)=0,9. Keyin A ni quyidagicha ifodalash mumkin:
A= { 0,3/x1; 0/x2; 1/x3; 0,5/x4; 0,9/x5 } yoki
A = 0,3/x 1 È 0/x 2 È 1/x 3 È 0,5/x 4 È 0,9/x 5, yoki

A=	x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0,3 0,5 0,9