Kesilgan to'rtburchak prizma hajmining formulasi. To'liq va kesilgan piramida hajmi uchun formulalar. Xeops piramidasining hajmi. Kesilgan piramidaning sirt maydoni va hajmi
Piramida ko'pburchak deyiladi, uning yuzlaridan biri ko'pburchak ( asos ) va boshqa barcha yuzlar umumiy uchli uchburchaklardir ( yon yuzlar ) (15-rasm). Piramida deyiladi to'g'ri , agar uning asosi muntazam ko'pburchak bo'lsa va piramidaning tepasi poydevor markaziga proyeksiyalangan bo'lsa (16-rasm). Barcha qirralari teng bo'lgan uchburchak piramida deyiladi tetraedr .
Yon qovurg'a piramida yon yuzning asosga tegishli bo'lmagan tomoni deb ataladi Balandligi piramida - uning tepasidan poydevor tekisligigacha bo'lgan masofa. Muntazam piramidaning barcha yon qirralari bir-biriga teng, barcha yon tomonlari teng yon tomonli uchburchaklardir. Muntazam piramidaning tepadan chizilgan yon yuzining balandligi deyiladi apotema . diagonal qism Piramidaning kesimi bir yuzga tegishli bo'lmagan ikkita yon chetidan o'tadigan tekislik deyiladi.
Yon sirt maydoni piramida barcha yon yuzlar maydonlarining yig'indisi deb ataladi. To'liq sirt maydoni barcha yon yuzlar va poydevor maydonlarining yig'indisidir.
Teoremalar
1. Agar piramidada barcha lateral qirralar asos tekisligiga teng qiyshaygan bo'lsa, u holda piramidaning ustki qismi poydevorga yaqin bo'lgan chegaralangan doira markaziga proyeksiyalanadi.
2. Agar piramidada barcha lateral qirralarning uzunligi teng bo'lsa, u holda piramidaning ustki qismi poydevorga yaqin bo'lgan chegaralangan doira markaziga proyeksiyalanadi.
3. Agar piramidada barcha yuzlar asos tekisligiga teng qiyshaygan bo'lsa, u holda piramidaning yuqori qismi asosga chizilgan doira markaziga proyeksiyalanadi.
Ixtiyoriy piramidaning hajmini hisoblash uchun formula to'g'ri:
qayerda V- hajm;
S asosiy- tayanch maydoni;
H piramidaning balandligi.
Oddiy piramida uchun quyidagi formulalar to'g'ri bo'ladi:
qayerda p- poydevorning perimetri;
h a- apotema;
H- balandligi;
S to'la
S tomoni
S asosiy- tayanch maydoni;
V muntazam piramidaning hajmi.
kesilgan piramida piramidaning asosi va piramida asosiga parallel bo'lgan kesish tekisligi orasiga o'ralgan qismi deyiladi (17-rasm). To'g'ri kesilgan piramida muntazam piramidaning asosi va piramida poydevoriga parallel bo'lgan kesish tekisligi orasiga o'ralgan qismi deyiladi.
asoslar kesilgan piramida - shunga o'xshash ko'pburchaklar. Yon yuzlar - trapezoid. Balandligi kesilgan piramida uning asoslari orasidagi masofa deb ataladi. Diagonal Kesilgan piramida - bu uning bir yuzida yotmaydigan uchlarini bog'laydigan segment. diagonal qism Kesilgan piramidaning kesimi bir yuzga tegishli bo'lmagan ikki yon chetidan o'tuvchi tekislik deyiladi.
Kesilgan piramida uchun formulalar amal qiladi:
(4)
qayerda S 1 , S 2 - yuqori va pastki tagliklarning joylari;
S to'la umumiy sirt maydoni;
S tomoni lateral sirt maydoni;
H- balandligi;
V- kesilgan piramidaning hajmi.
Oddiy kesilgan piramida uchun quyidagi formula to'g'ri bo'ladi:
qayerda p 1 , p 2 - asosiy perimetrlar;
h a- oddiy kesilgan piramidaning apothemi.
1-misol Muntazam uchburchakli piramidada poydevordagi ikki burchakli burchak 60º ga teng. Yon qirraning asos tekisligiga moyillik burchagi tangensini toping.
Yechim. Keling, rasm chizamiz (18-rasm).
 |
Piramida muntazamdir, ya'ni asosi teng qirrali uchburchak va barcha yon tomonlari teng teng yonli uchburchaklardir. Poydevordagi dihedral burchak piramidaning yon yuzining poydevor tekisligiga moyillik burchagidir. Chiziqli burchak burchak bo'ladi a ikki perpendikulyar o'rtasida: ya'ni. Piramidaning ustki qismi uchburchakning markazida (cheklangan doira markazi va uchburchakda chizilgan doira) proyeksiyalangan. ABC). Yon qovurg'aning egilish burchagi (masalan SB) chekkaning o'zi va uning asos tekisligiga proyeksiyasi orasidagi burchak. Qovurg'a uchun SB bu burchak burchak bo'ladi SBD. Tangensni topish uchun siz oyoqlarni bilishingiz kerak SO va OB. Segmentning uzunligi bo'lsin BD 3 hisoblanadi a. nuqta O chiziq segmenti BD qismlarga bo'linadi: va Biz topamiz SO: 
Biz topamiz: 
Javob:
2-misol Oddiy kesilgan to'rtburchak piramidaning hajmini toping, agar uning asoslarining diagonallari sm va sm, balandligi 4 sm bo'lsa.
Yechim. Kesilgan piramidaning hajmini topish uchun (4) formuladan foydalanamiz. Asoslarning maydonlarini topish uchun ularning diagonallarini bilgan holda, asosiy kvadratlarning tomonlarini topish kerak. Poydevorlarning tomonlari mos ravishda 2 sm va 8 sm.Bu asoslarning maydonlarini bildiradi va formulaga barcha ma'lumotlarni almashtirib, kesilgan piramida hajmini hisoblaymiz:
Javob: 112 sm3.
3-misol Poydevorlari yon tomonlari 10 sm va 4 sm, piramidaning balandligi esa 2 sm bo'lgan muntazam uchburchakli kesilgan piramidaning lateral yuzining maydonini toping.
Yechim. Keling, rasm chizamiz (19-rasm).
Bu piramidaning yon tomoni teng yonli trapezoiddir. Trapezoidning maydonini hisoblash uchun siz poydevor va balandlikni bilishingiz kerak. Bazalar shart bilan berilgan, faqat balandligi noma'lum bo'lib qoladi. Uni qayerdan toping LEKIN 1 E nuqtadan perpendikulyar LEKIN 1 pastki poydevor tekisligida, A 1 D-dan perpendikulyar LEKIN 1 da AC. LEKIN 1 E\u003d 2 sm, chunki bu piramidaning balandligi. Topish uchun DE biz qo'shimcha rasm chizamiz, unda biz yuqori ko'rinishni tasvirlaymiz (20-rasm). Nuqta O- yuqori va pastki asoslar markazlarining proyeksiyasi. beri (20-rasmga qarang) va Boshqa tomondan OK chizilgan aylana radiusi va 
OM chizilgan aylana radiusi:
MK=DE.
dan Pifagor teoremasiga ko'ra
Yon yuz maydoni: 
Javob:
4-misol Piramidaning negizida teng yonli trapesiya yotadi, uning asoslari a va b (a> b). Har bir yon yuz piramida poydevorining tekisligiga teng burchak hosil qiladi j. Piramidaning umumiy sirtini toping.
Yechim. Keling, rasm chizamiz (21-rasm). Piramidaning umumiy sirt maydoni SABCD trapetsiyaning maydonlari va maydoni yig'indisiga teng A B C D.
Agar piramidaning barcha yuzlari asos tekisligiga teng darajada moyil bo'lsa, u holda cho'qqi poydevorga chizilgan doira markaziga proyeksiyalanadi, degan bayonotdan foydalanamiz. Nuqta O- cho'qqi proyeksiyasi S piramidaning tagida. Uchburchak SOD uchburchakning ortogonal proyeksiyasidir CSD asosiy tekislikka. Ortogonal proyeksiya maydoni teoremasi bo'yicha tekis shakl olamiz:
Xuddi shunday, bu degani 
Shunday qilib, muammo trapezoidning maydonini topishga qisqartirildi A B C D. Trapezoidni chizish A B C D alohida (22-rasm). Nuqta O trapetsiya ichiga chizilgan aylana markazidir.
Aylana trapetsiyaga yozilishi mumkinligi sababli, u holda yoki Pifagor teoremasi bo'yicha bizda mavjud
kesilgan piramida cho'qqilari asosning uchlari va asosga parallel tekislik bilan kesmasining uchlari bo'lgan ko'pburchak deyiladi.
Kesilgan piramidaning xususiyatlari:
- Kesilgan piramidaning asoslari o'xshash ko'pburchaklardir.
- Kesilgan piramidaning yon yuzlari trapezoidlardir.
- Muntazam kesilgan piramidaning lateral qirralari teng va piramida poydevoriga teng darajada moyil.
- Muntazam kesilgan piramidaning yon yuzlari bir-biriga teng va piramida asosiga teng darajada moyil bo'lgan teng yonli trapesiyadir.
- Muntazam kesilgan piramidaning lateral qirralaridagi ikki burchakli burchaklar tengdir.
Kesilgan piramidaning sirt maydoni va hajmi
Kesilgan piramidaning balandligi, va - kesilgan piramida asoslarining perimetrlari va - kesilgan piramida asoslarining maydonlari, - kesilgan piramidaning lateral yuzasi maydoni, - maydon bo'lsin. kesilgan piramidaning to'liq yuzasi, - kesilgan piramidaning hajmi. Keyin quyidagi munosabatlar mavjud:
.
Agar kesilgan piramidaning poydevoridagi barcha ikki burchakli burchaklar teng bo'lsa va piramidaning barcha yon yuzlarining balandliklari teng bo'lsa, u holda
HA13118 - minimal miqdordagi tashqi elementlarni o'z ichiga olgan va nisbatan past besleme zo'riqishida yuqori quvvatga ega bo'lgan AB sinf kuchaytirgichi, kuchaytirgich ham 55 dB yuqori daromadga ega, bu signalni oldindan kuchaytirish zaruratini yo'q qiladi. Asosiy spetsifikatsiyalar: Chiqish quvvati 18 Vt (maksimal) 4 ohm 10 Vtga ...
Ro'yxatdagi barcha mikrosxemalar 11 pinli SIP1 to'plamida ishlab chiqarilgan va ikki kanalli stereo bosh kuchaytirgichlar bo'lib, tashqi elementlarning bir xil ulanishiga ega. *TDA2005 ko'prik ilovalari uchun maxsus mo'ljallangan. Parametrlar: TDA2004A(TDA2004S) Ta'minot kuchlanishi 8…18V Sokin oqim 65mA Chastota diapazoni 40…20000Hz Rn -2 Ohm Chiqish quvvati 10 Vt dan …
Raqamli boshqariladigan tartibga solinadigan elektr ta'minoti sxemasi KM317 da ijobiy kuchlanish regulyatori, CD4017 o'n yillik hisoblagichi KPOM, NE555 taymeri va LM7912 da salbiy kuchlanish regulyatoridan iborat. Tarmoq kuchlanishi transformator tomonidan ikkilamchi o'rashda 1A oqimida +/-12V kuchlanishgacha kamayadi, keyin u rektifikatsiya qilinadi. C1-C5 sig'imli doimiy kuchlanish filtri. LED1 ko'rsatadi ...
Rasmda 8 kanalli vaqt rölesi diagrammasi ko'rsatilgan, vaqt o'rni Arduino Nano, DS3231 real vaqt soati (modul), TM1637 drayveriga (TM1637 moduli) asoslangan etti segmentli to'rt xonali indikatordan va to'rttadan foydalanadi. boshqaruv tugmalari. Har bir kanalda siz o'rni yoqish va o'chirish vaqtini belgilashingiz mumkin, o'rni yoqish va o'chirish vaqtining barcha qiymatlari ... da saqlanadi.
Standart uch fazali asenkron vosita bir fazali tarmoqdan quvvatlantirilganda maxsus chora-tadbirlarsiz tork hosil qilishi mumkin. Aytaylik, uch fazali tarmoqqa ulangan ishlaydigan dvigatelning simlaridan birining zanjiri ochiq (masalan, sug'urta yonib ketganligi sababli). Stator o'rashlarining ketma-ket yoki ketma-ket parallel ulanishi bilan bir fazali rejimda ishlaydigan mashina ...
va uning asosiga parallel bo'lgan kesish tekisligi.
Yoki boshqacha aytganda: kesilgan piramida- bu piramida va uning asosga parallel bo'lgan qismidan hosil bo'lgan shunday ko'pburchak.
Piramidaning poydevoriga parallel bo'lgan kesma piramidani 2 qismga bo'ladi. Piramidaning asosi va kesimi orasidagi qismi kesilgan piramida.
Kesilgan piramida uchun ushbu bo'lim ushbu piramidaning asoslaridan biri bo'lib chiqadi.
Kesilgan piramidaning asoslari orasidagi masofa kesilgan piramida balandligi.
Kesilgan piramida bo'ladi to'g'ri qachon kelib chiqqan piramida ham to'g'ri bo'lgan.
Muntazam kesilgan piramidaning trapetsiya yon yuzining balandligi apotema muntazam kesilgan piramida.
Kesilgan piramidaning xossalari.
1. Muntazam kesilgan piramidaning har bir yon yuzi bir xil o'lchamdagi teng yonli trapesiyadir.
2. Kesilgan piramidaning asoslari o'xshash ko'pburchaklardir.
3. Muntazam kesilgan piramidaning yon qirralari teng kattalikda va biri piramida asosiga nisbatan qiya.
4. Kesilgan piramidaning yon yuzlari trapetsiyadir.
5. Muntazam kesilgan piramidaning lateral chetlaridagi ikki burchakli burchaklar teng kattalikka ega.
6. Asoslar maydonlarining nisbati: S 2 /S 1 \u003d k 2.
Kesilgan piramida uchun formulalar.
Ixtiyoriy piramida uchun:
Kesilgan piramidaning hajmi balandlik mahsulotining 1/3 qismiga teng h (OS) ustki asosning maydonlari yig'indisi bo'yicha S1 (abcde), kesilgan piramidaning pastki poydevori S2 (ABCDE) va ular orasidagi o'rtacha proportsional.
Piramidaning hajmi:
qayerda S1, S2- tayanch maydoni,
h- kesilgan piramidaning balandligi.
Yon sirt maydoni 
kesilgan piramidaning lateral yuzlari maydonlarining yig'indisiga teng.
Oddiy kesilgan piramida uchun:
To'g'ri kesilgan piramida- oddiy piramida va uning asosiga parallel bo'lgan kesimidan hosil bo'lgan ko'pburchak.
Oddiy kesilgan piramidaning lateral yuzasining maydoni uning asoslari va apotema perimetrlari yig'indisining ½ qismidir.
qayerda S1, S2- tayanch maydoni,
φ - piramida poydevoridagi ikki burchakli burchak.
CH- kesilgan piramidaning balandligi, P1 va P2- asoslarning perimetrlari; S1 va S2- asosiy maydonlar, S tomoni- yon sirt maydoni, S to'la- umumiy sirt maydoni:
Piramidaning poydevorga parallel bo'lgan tekislik bilan kesilishi.
Piramidaning asosiga parallel bo'lgan tekislik kesmasi (balandligiga perpendikulyar) piramidaning balandligi va yon qirralarini proportsional segmentlarga ajratadi.
Piramidaning asosiga parallel (balandlikka perpendikulyar) bo'lgan tekislik kesimi piramida asosiga o'xshash ko'pburchak bo'lib, bu ko'pburchaklarning o'xshashlik koeffitsienti ularning tepadan masofalarining nisbatiga mos keladi. piramidadan.
Piramidaning poydevoriga parallel bo'lgan kesmalarning maydonlari ularning piramida tepasidan masofalarining kvadratlari sifatida bog'langan.
Fazoviy figuralar hajmini hisoblash qobiliyati geometriyadan bir qator amaliy masalalarni hal qilishda muhim ahamiyatga ega. Eng keng tarqalgan shakllardan biri piramidadir. Ushbu maqolada biz to'liq va kesilgan piramidalarni ko'rib chiqamiz.
Piramida uch o'lchamli shakl sifatida
Misr piramidalari haqida hamma biladi, shuning uchun ular qaysi raqam muhokama qilinishi haqida yaxshi tasavvurga ega. Shunga qaramay, Misr tosh inshootlari piramidalarning ulkan sinfining alohida holatidir.
Umumiy holatda ko'rib chiqilayotgan geometrik ob'ekt ko'pburchak asos bo'lib, uning har bir uchi fazoning asos tekisligiga tegishli bo'lmagan biron bir nuqtasi bilan bog'langan. Bu ta'rif bitta n-burchak va n uchburchakdan tashkil topgan raqamga olib keladi.
Har qanday piramida n+1 yuz, 2*n chet va n+1 uchdan iborat. Ko'rib chiqilayotgan rasm mukammal ko'pburchak bo'lganligi sababli, belgilangan elementlarning soni Eyler tenglamasiga bo'ysunadi:
2*n = (n+1) + (n+1) - 2.
Poydevorda joylashgan ko'pburchak piramida nomini beradi, masalan, uchburchak, beshburchak va boshqalar. Turli asoslarga ega piramidalar to'plami quyidagi fotosuratda ko'rsatilgan.
Shaklning n ta uchburchagi tutashgan nuqtaga piramidaning tepasi deyiladi. Agar undan asosga perpendikulyar tushirilsa va u uni geometrik markazda kesib o'tsa, unda bunday figura to'g'ri chiziq deb ataladi. Agar bu shart bajarilmasa, u holda eğimli piramida mavjud.
Asosini teng tomonli (teng burchakli) n-burchakdan tashkil topgan to'g'ri figura muntazam deyiladi.
Piramida hajmi formulasi
Piramidaning hajmini hisoblash uchun biz integral hisobdan foydalanamiz. Buning uchun biz raqamni asosga parallel ravishda cheksiz miqdordagi nozik qatlamlarga ajratamiz. Quyidagi rasmda balandligi h va yon uzunligi L bo'lgan to'rtburchakli piramida ko'rsatilgan, unda yupqa kesma qatlam to'rtburchak bilan belgilangan.
Har bir bunday qatlamning maydoni quyidagi formula bo'yicha hisoblanishi mumkin:
A (z) = A 0 * (h-z) 2 / h 2 .
Bu erda A 0 - bazaning maydoni, z - vertikal koordinataning qiymati. Ko'rinib turibdiki, agar z = 0 bo'lsa, formula A 0 qiymatini beradi.
Piramida hajmining formulasini olish uchun siz rasmning butun balandligi bo'yicha integralni hisoblashingiz kerak, ya'ni:
V = ∫ h 0 (A(z)*dz).
A(z) bog‘liqlikni almashtirib, antiderivativni hisoblab, quyidagi ifodaga kelamiz:
V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.
Biz piramida hajmining formulasini oldik. V qiymatini topish uchun raqamning balandligini asosning maydoniga ko'paytirish va natijani uchga bo'lish kifoya.
E'tibor bering, natijada olingan ifoda ixtiyoriy turdagi piramida hajmini hisoblash uchun to'g'ri keladi. Ya'ni, u moyil bo'lishi mumkin va uning asosi ixtiyoriy n-gon bo'lishi mumkin.
va uning hajmi
Yuqoridagi paragrafda olingan hajmning umumiy formulasi muntazam asosli piramida holatida aniqlanishi mumkin. Bunday asosning maydoni quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).
Bu erda L - tomonning uzunligi muntazam ko'pburchak n ta burchak bilan. Pi belgisi - pi soni.
A 0 ifodasini umumiy formulaga almashtirib, oddiy piramidaning hajmini olamiz:
V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).
Masalan, uchburchak piramida uchun bu formula quyidagi ifodaga olib keladi:
V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.
Oddiy to'rtburchak piramida uchun hajm formulasi quyidagi shaklni oladi:
V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.
Muntazam piramidalarning hajmlarini aniqlash uchun ularning poydevori tomonini va figuraning balandligini bilish kerak.
Piramida kesilgan
Faraz qilaylik, biz ixtiyoriy piramidani oldik va uning lateral yuzasining cho'qqisini o'z ichiga olgan qismini kesib oldik. Qolgan raqam kesilgan piramida deb ataladi. U allaqachon ikkita n-gonal asosdan va ularni bog'laydigan n trapezoiddan iborat. Agar kesish tekisligi rasmning asosiga parallel bo'lsa, u holda parallel o'xshash asoslar bilan kesilgan piramida hosil bo'ladi. Ya'ni, ulardan birining tomonlarining uzunliklarini ikkinchisining uzunliklarini qandaydir k koeffitsientiga ko'paytirish orqali olish mumkin.
Yuqoridagi rasmda kesilgan muntazam ko'rsatilgan.Ko'rinib turibdiki, uning ustki asosi, pastki qismi kabi, muntazam olti burchakli shakldan iborat.
Yuqoridagiga o'xshash integral hisob yordamida olinishi mumkin bo'lgan formula:
V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).
Bu erda A 0 va A 1 mos ravishda pastki (katta) va yuqori (kichik) asoslarning maydonlari. h o'zgaruvchisi kesilgan piramidaning balandligini bildiradi.
Xeops piramidasining hajmi
Eng katta Misr piramidasini o'z ichiga olgan hajmni aniqlash muammosini hal qilish qiziq.
1984 yilda britaniyalik Misrshunoslar Mark Lehner va Jon Gudman Cheops piramidasining aniq o'lchamlarini o'rnatdilar. Uning dastlabki balandligi 146,50 metr (hozirda taxminan 137 metr) edi. Qurilishning to'rt tomonining har birining o'rtacha uzunligi 230,363 metrni tashkil etdi. Piramidaning asosi yuqori aniqlikdagi kvadratdir.
Keling, ushbu tosh gigantning hajmini aniqlash uchun berilgan raqamlardan foydalanamiz. Piramida muntazam to'rtburchak bo'lganligi sababli, u uchun formula to'g'ri keladi:
Raqamlarni kiritib, biz quyidagilarni olamiz:
V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.
Cheops piramidasining hajmi deyarli 2,6 million m 3 ni tashkil qiladi. Taqqoslash uchun, Olimpiya hovuzining hajmi 2,5 ming m 3 ekanligini ta'kidlaymiz. Ya'ni, butun Cheops piramidasini to'ldirish uchun 1000 dan ortiq bunday hovuzlar kerak bo'ladi!