O'q atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan jismning hajmini hisoblang. Aylanish jismining hajmini qanday hisoblash mumkin? Yassi figurani o'q atrofida aylantirish natijasida hosil bo'lgan jismning hajmini hisoblash

Chiziq cheklangan bo'lsin. tekislik figurasi qutb koordinata tizimida aniqlanadi.

Misol: Aylanani hisoblang: x 2 +y 2 =R 2

Birinchi kvadrantda joylashgan aylananing 4-qismining uzunligini hisoblang (x≥0, y≥0):

Agar egri chiziq tenglamasi parametr shaklida ko'rsatilgan bo'lsa:
, x(t), y(t) funksiyalar [a,b] oraliqda hosilalari bilan birga aniqlangan va uzluksizdir. Hosil, keyin formulaga almashtiriladi:
va shuni hisobga olgan holda

olamiz
multiplikator qo'shing
ildiz belgisi ostida va biz nihoyat olamiz

Eslatma: Tekislik egri chizig‘i berilgan bo‘lsa, fazoda parametr berilgan funksiyani ham ko‘rib chiqishingiz mumkin, so‘ngra z=z(t) funksiya va formulani qo‘shishingiz mumkin.

Misol: tenglama bilan berilgan astroid uzunligini hisoblang: x=a*cos 3 (t), y=a*sin 3 (t), a>0

4-qismning uzunligini hisoblang:

formula bo'yicha

Qutbli koordinatalar tizimida ko'rsatilgan tekislik egri chizig'ining yoy uzunligi:

Egri chiziq tenglamasi qutb koordinata tizimida berilgan bo'lsin:
- uzluksiz funksiya, [a,b] oraliqdagi hosilasi bilan birga.

Qutb koordinatalaridan o'tish uchun formulalar:

parametrik deb hisoblang:

s - parametr, f-le bo'yicha

Masalan: Egri chiziq uzunligini hisoblang:
>0

Kontseptsiya: aylananing yarmini hisoblaymiz:

Tananing tasavvurlar maydonidan hisoblangan tananing hajmi.

Yopiq sirt bilan chegaralangan jism berilgan bo'lsin va bu jismning istalgan kesimining maydoni Ox o'qiga perpendikulyar tekislik bilan ma'lum bo'lsin. Bu maydon kesish tekisligining holatiga bog'liq bo'ladi.

butun jism Ox o‘qiga perpendikulyar bo‘lgan, uni x=a, x=b (a) nuqtalarda kesib o‘tuvchi 2 ta tekislik orasiga o‘ralgan bo‘lsin.

Bunday jismning hajmini aniqlash uchun uni Ox o'qiga perpendikulyar va uni nuqtalarda kesishgan kesish tekisliklari yordamida qatlamlarga ajratamiz. Har bir qisman intervalda
. Keling, tanlaymiz

va har bir qiymat uchun i=1,….,n silindrsimon jismni quramiz, uning avlodi Ox ga parallel va yo'naltiruvchi jismning x=C i tekislik bo'yicha kesmasining konturi, hajmi asos maydoni S=C i va balandligi ∆x i bo'lgan shunday elementar silindr. V i =S(C i)∆x i . Barcha bunday elementar tsilindrlarning hajmi bo'ladi
. Bu yig‘indining chegarasi, agar u mavjud bo‘lsa va max ∆x  0 da cheklangan bo‘lsa, berilgan jismning hajmi deyiladi.

. V n oraliqda uzluksiz S(x) funksiya uchun integral yig‘indisi bo‘lgani uchun ko‘rsatilgan chegara mavjud (mavjudlik shartlari) va def bilan ifodalanadi. Integral.

- kesma maydonidan hisoblangan tananing hajmi.

Aylanish jismining hajmi:

Jism y=f(x) funksiya grafigi, Ox o‘qi va x=a, x=b to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning Ox o‘qi atrofida aylanish natijasida hosil bo‘lsin.

y=f(x) funksiya aniqlangan va segmentda uzluksiz, unda manfiy bo‘lmagan bo‘lsin, u holda bu jismning Ox ga perpendikulyar tekislik kesimi radiusi R=y(x)=f(x) bo‘lgan aylana bo‘lsin. ). Doira maydoni S(x)=Py 2 (x)=P 2. Formulani almashtirish
Ox o'qi atrofida aylanish jismining hajmini hisoblash uchun formulani olamiz:

Agar uzluksiz funktsiya grafigi bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoid Oy o'qi atrofida aylansa, bunday aylanish jismining hajmi:

Xuddi shu hajmni quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:
. Agar chiziq parametrik tenglamalar bilan berilgan bo'lsa:

O'zgaruvchini almashtirish orqali biz quyidagilarni olamiz:

Agar chiziq parametrik tenglamalar bilan berilgan bo'lsa:

y (a)= c , y (b)= d . y = y (t) ni almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

Parabola o'qi atrofida aylanish jismlarini hisoblang, .

2) y=0 to‘g‘ri chiziq, yoy bilan chegaralangan egri trapesiyaning OX o‘qi atrofida aylanish jismining V ni hisoblang. (markazi (1;0) nuqtada va radius=1), bilan.

Inqilob tanasining sirt maydoni

y =f(x) egri chizig'ini Ox o'qi atrofida aylantirib berilgan sirt hosil bo'lsin. Bu sirtning S ni da aniqlash kerak.

y =f(x) funksiya aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin, [a;b] segmentning barcha nuqtalarida g‘ayritabiiy va manfiy bo‘lmagan bo‘lsin.

Keling, mos ravishda belgilagan uzunlikdagi akkordlarni chizamiz (n-akkordlar)

Lagrange teoremasiga ko'ra:

Barcha tasvirlangan singan chiziqning sirt maydoni teng bo'ladi

Ta'rif: bu yig'indining chegarasi, agar u cheklangan bo'lsa, singan chiziqning eng katta bo'g'ini max, ko'rib chiqilayotgan inqilob sirtining maydoni deb ataladi.

Yig'indi chegarasi p-th uchun integral yig'indining chegarasiga teng ekanligini isbotlash mumkin.

Revolyutsiya jismining S yuzasi uchun formula =

X=g(x) egri chiziq yoyining Oy o'qi atrofida aylanishi natijasida hosil bo'lgan sirtning S.

Uning hosilasi bilan uzluksiz

Agar egri chiziq parametrik ravishda ur-mi orqali berilgan bo'lsax=x(t) ,y= t(t) f-iix’(t), y’(t), x(t), y(t) oraliqda aniqlanadi [a; b], x(a)= a, x(b)= bkeyin o'zgartirish bilan almashtirishni amalga oshiringx= x(t)

Agar egri chiziq parametrik berilgan bo'lsa, formulaga o'zgartirish kiritib, biz quyidagilarni olamiz:

Agar egri chiziq tenglamasi qutbli koordinatalar tizimida berilgan bo'lsa

So'qi atrofida aylanish yuzasi teng bo'ladi

Bundan tashqari Aniq integral yordamida tekislik figurasining maydonini topish (7.2.3.ga qarang). mavzuning eng muhim qo'llanilishi hisoblanadi aylanish jismining hajmini hisoblash. Material oddiy, lekin o'quvchi tayyor bo'lishi kerak: siz hal qila olishingiz kerak noaniq integrallar o'rtacha murakkablik va Nyuton-Leybnits formulasini qo'llang aniq integral, n Bundan tashqari, sizga kuchli chizish qobiliyati kerak. Umuman olganda, aniq integral yordamida integral hisoblashda juda ko'p qiziqarli ilovalar mavjud, siz figuraning maydonini, aylanish jismining hajmini, yoy uzunligini, tananing sirtini hisoblashingiz mumkin; va yana ko'p narsalar. Koordinata tekisligida qandaydir tekis shaklni tasavvur qiling. Tanishtirdi? ... Endi bu raqamni ikki usulda aylantirish va aylantirish mumkin:

- x o'qi atrofida ;

– ordinata o‘qi atrofida .

Keling, ikkala holatni ham ko'rib chiqaylik. Aylanishning ikkinchi usuli ayniqsa qiziqarli bo'lib, u eng ko'p qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi, lekin aslida bu yechim x o'qi atrofidagi keng tarqalgan aylanish bilan deyarli bir xil. Keling, eng mashhur aylanish turidan boshlaylik.

Yassi figurani o'q atrofida aylantirish natijasida hosil bo'lgan jismning hajmini hisoblash OX

1-misol

Chiziqlar bilan chegaralangan figurani eksa atrofida aylantirish natijasida olingan tananing hajmini hisoblang.

Yechim: Hududni topish muammosida bo'lgani kabi, yechim tekis figurani chizish bilan boshlanadi. Ya'ni, samolyotda XOY chiziqlar bilan chegaralangan raqamni qurish kerak va tenglama o'qni ko'rsatishini unutmang. Bu erda chizish juda oddiy:

Kerakli tekis shakl ko'k rangda bo'yalgan, u o'q atrofida aylanadi. Aylanish natijasida o'qda ikkita o'tkir cho'qqisi bo'lgan biroz tuxumsimon uchuvchi likopcha paydo bo'ladi. OX, o'qga nisbatan simmetrik OX. Darhaqiqat, tananing matematik nomi bor, ma'lumotnomaga qarang.

Inqilob jismining hajmini qanday hisoblash mumkin? Agar tana o'q atrofida aylanish natijasida hosil bo'lsaOX, u aqliy jihatdan kichik qalinlikdagi parallel qatlamlarga bo'linadi dx, ular o'qga perpendikulyar OX. Butun tananing hajmi, shubhasiz, bunday elementar qatlamlarning hajmlari yig'indisiga teng. Har bir qatlam, dumaloq limon tilim kabi, balandligi past silindrdir dx va tayanch radiusi bilan f(x). U holda bir qatlamning hajmi p asos maydonining mahsulotidir f silindr balandligi uchun 2 ta ( dx), yoki p∙ f 2 (x)∙dx. Va butun aylanish tanasining maydoni elementar hajmlar yig'indisi yoki mos keladigan aniq integraldir. Revolyutsiya jismining hajmini quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:

"A" va "bo'lish" integratsiyasi chegaralarini qanday belgilashni tugallangan chizmadan osongina taxmin qilish mumkin. Funksiya... bu funksiya nima? Keling, rasmni ko'rib chiqaylik. Tekislik figurasi yuqoridagi parabola grafigi bilan chegaralangan. Bu formulada nazarda tutilgan funksiya. Amaliy topshiriqlarda tekis shakl ba'zan eksa ostida joylashgan bo'lishi mumkin OX. Bu hech narsani o'zgartirmaydi - formuladagi funktsiya kvadratga teng: f 2 (x), Shunday qilib, inqilob jismining hajmi har doim manfiy emas, bu juda mantiqiy. Ushbu formuladan foydalanib, aylanish jismining hajmini hisoblaymiz:

Yuqorida aytib o'tganimizdek, integral deyarli har doim oddiy bo'lib chiqadi, asosiysi ehtiyot bo'lishdir.

Javob:

Javobingizda siz o'lchamni ko'rsatishingiz kerak - kub birliklari. Ya'ni, bizning aylanish tanamizda taxminan 3,35 "kub" mavjud. Nima uchun kub birliklar? Chunki bu eng universal formuladir. Kub santimetr bo'lishi mumkin, kub metr bo'lishi mumkin, kub kilometrlar va hokazo bo'lishi mumkin, sizning tasavvuringiz uchib ketadigan likopchaga qancha yashil odam qo'yishi mumkin.

2-misol

O'q atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan jismning hajmini toping OX chiziqlar bilan chegaralangan raqam , , .

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. To'liq yechim va javob dars oxirida.

3-misol

Chiziqlar bilan chegaralangan figurani , va abscissa o'qi atrofida aylantirish natijasida olingan tananing hajmini hisoblang.

Yechim: Chizmada , , , chiziqlari bilan chegaralangan yassi figurani tasvirlaylik, tenglamani unutmaylik. x= 0 o'qni belgilaydi OY:

Istalgan raqam ko'k rangga bo'yalgan. U o'q atrofida aylanganda OX natijada tekis, burchakli donut (ikki konusning yuzasi bo'lgan yuvish mashinasi).

Aylanish jismining hajmini quyidagicha hisoblaymiz jismlarning hajmlaridagi farq. Birinchidan, qizil rang bilan aylana chizilgan rasmga qaraylik. U o'q atrofida aylanganda OX natijada kesilgan konus hosil bo'ladi. Ushbu kesilgan konusning hajmini bilan belgilaymiz V 1 .

Yashil rangda aylana bilan chizilgan rasmni ko'rib chiqing. Agar siz bu raqamni eksa atrofida aylantirsangiz OX, keyin siz bir xil kesilgan konusni olasiz, faqat biroz kichikroq. Uning hajmini bilan belgilaymiz V 2 .

Ko'rinib turibdiki, hajmlardagi farq V = V 1 - V 2 - bizning "donut" hajmi.

Revolyutsiya jismining hajmini topish uchun standart formuladan foydalanamiz:

1) Qizil rang bilan aylana chizilgan rasm yuqorida to'g'ri chiziq bilan chegaralangan, shuning uchun:

2) Yashil rang bilan aylana chizilgan rasm yuqorida to'g'ri chiziq bilan chegaralangan, shuning uchun:

3) Istalgan inqilob tanasining hajmi:

Javob:

Qizig'i shundaki, bu holda yechimni kesilgan konusning hajmini hisoblash uchun maktab formulasi yordamida tekshirish mumkin.

Qarorning o'zi ko'pincha qisqaroq yoziladi, shunga o'xshash narsa:

Ta'rif 3. Revolyutsiya tanasi - bu figurani kesib o'tmaydigan va u bilan bir tekislikda yotadigan o'q atrofida tekis figurani aylantirish natijasida olingan jism.

Aylanish o'qi, agar u figuraning simmetriya o'qi bo'lsa, uni kesishishi mumkin.

Teorema 2.
, eksa
va tekis segmentlar
Va

eksa atrofida aylanadi
. Keyin hosil bo'lgan aylanish jismining hajmini formuladan foydalanib hisoblash mumkin

(2)

Isbot. Bunday tana uchun abscissa bilan kesma radiusli doiradir
, anglatadi
va formula (1) kerakli natijani beradi.

Agar raqam ikkita uzluksiz funktsiyaning grafiklari bilan cheklangan bo'lsa
Va
, va chiziq segmentlari
Va
, va
Va
, keyin x o'qi atrofida aylanishda biz hajmi bo'lgan jismni olamiz

3-misol. Doira bilan chegaralangan doirani aylantirish natijasida olingan torusning hajmini hisoblang

abscissa o'qi atrofida.

R qaror. Ko'rsatilgan doira quyida funktsiya grafigi bilan cheklangan
, va yuqoridan -
. Ushbu funktsiyalar kvadratlarining farqi:

Kerakli hajm

(integralning grafigi yuqori yarim doira, shuning uchun yuqorida yozilgan integral yarim doira maydonidir).

4-misol. Asosli parabolik segment
, va balandligi , taglik atrofida aylanadi. Olingan tananing hajmini hisoblang ("Kavalieri tomonidan limon").

R qaror. Parabolani rasmda ko'rsatilganidek joylashtiring. Keyin uning tenglamasi
, va
. Parametrning qiymatini topamiz :
. Shunday qilib, kerakli hajm:

Teorema 3. Uzluksiz manfiy bo'lmagan funksiya grafigi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya bo'lsin
, eksa
va tekis segmentlar
Va
, va
, o'q atrofida aylanadi
. Keyin hosil bo'lgan aylanish jismining hajmini formula bo'yicha topish mumkin

(3)

Isbot fikri. Biz segmentni ajratamiz
nuqta

, qismlarga bo'ling va to'g'ri chiziqlar torting
. Butun trapezoid chiziqlarga bo'linadi, ularni taxminan asosli to'rtburchaklar deb hisoblash mumkin
va balandligi
.

Olingan tsilindrni uning generatrix bo'ylab bunday to'rtburchakni aylantirib kesib, uni ochamiz. Biz o'lchamlari bilan "deyarli" parallelepipedni olamiz:
,
Va
. Uning hajmi
. Shunday qilib, inqilob tanasining hajmi uchun biz taxminan tenglikka ega bo'lamiz

Aniq tenglikka erishish uchun chegaraga borish kerak
. Yuqorida yozilgan yig'indi funktsiyaning integral yig'indisidir
, shuning uchun chegarada (3) formuladan integral olamiz. Teorema isbotlangan.

Eslatma 1. 2 va 3 teoremalarda shart
o'tkazib yuborilishi mumkin: formula (2) odatda belgiga sezgir emas
, va (3) formulada bu etarli
bilan almashtirildi
.

5-misol. Parabolik segment (asosiy
, balandligi ) balandlik atrofida aylanadi. Olingan jismning hajmini toping.

Yechim. Parabolani rasmda ko'rsatilganidek joylashtiramiz. Va aylanish o'qi shaklni kesib o'tsa ham, u - o'qi - simmetriya o'qi. Shuning uchun biz segmentning faqat o'ng yarmini hisobga olishimiz kerak. Parabola tenglamasi
, va
, anglatadi
. Bizda hajm uchun:

Eslatma 2. Egri chiziqli trapetsiyaning egri chiziqli chegarasi parametrik tenglamalar bilan berilgan bo'lsa
,
,
Va
,
keyin (2) va (3) formulalarni almashtirish bilan ishlatishingiz mumkin yoqilgan
Va
yoqilgan
o'zgarganda t dan
oldin .

6-misol. Bu raqam sikloidning birinchi yoyi bilan cheklangan
,
,
, va x o'qi. Ushbu rasm atrofida aylantirilganda olingan tananing hajmini toping: 1) o'q
; 2) o'qlar
.

Yechim. 1) Umumiy formula
Bizning holatda:

2) Umumiy formula
Bizning raqamimiz uchun:

Talabalarni barcha hisob-kitoblarni o'zlari bajarishga taklif qilamiz.

Eslatma 3. Uzluksiz chiziq bilan chegaralangan egri sektor bo'lsin
va nurlar
,

, qutb o'qi atrofida aylanadi. Olingan tananing hajmini formuladan foydalanib hisoblash mumkin.

7-misol. Kardioid bilan chegaralangan shaklning bir qismi
, aylanadan tashqarida yotish
, qutb o'qi atrofida aylanadi. Olingan jismning hajmini toping.

Yechim. Ikkala chiziq va shuning uchun ular cheklaydigan raqam qutb o'qiga nisbatan simmetrikdir. Shuning uchun, faqat qaysi qismini hisobga olish kerak
. Egri chiziqlar kesishadi
Va

da
. Bundan tashqari, bu raqamni ikkita sektorning farqi deb hisoblash mumkin va shuning uchun hajmni ikkita integralning farqi sifatida hisoblash mumkin. Bizda ... bor:

Vazifalar mustaqil qaror qabul qilish uchun.

1. Aylana bo‘lak, uning asosi
, balandligi , taglik atrofida aylanadi. Aylanish jismining hajmini toping.

2. Asosi aylanma paraboloidning hajmini toping , balandligi esa .

3. Astroid bilan chegaralangan rasm
,
abscissa o'qi atrofida aylanadi. Olingan jismning hajmini toping.

4. Chiziqlar bilan chegaralangan rasm
Va
x o'qi atrofida aylanadi. Aylanish jismining hajmini toping.

Integrallar yordamida aylanish jismlarining hajmlarini topish

Matematikaning amaliy foydaliligi, bu holda

Maxsus matematik bilimlar qurilma va zamonaviy texnologiyalardan foydalanish tamoyillarini tushunishni qiyinlashtiradi. Har bir inson hayotida juda murakkab hisob-kitoblarni amalga oshirishi, tez-tez ishlatiladigan asbob-uskunalardan foydalanishi, ma'lumotnomalardan kerakli formulalarni topishi va muammolarni hal qilish uchun oddiy algoritmlarni yaratishi kerak. Zamonaviy jamiyatda yuqori darajadagi ta'limni talab qiladigan tobora ko'proq mutaxassisliklar matematikani bevosita qo'llash bilan bog'liq. Shunday qilib, matematika talaba uchun kasbiy ahamiyatga ega bo'lgan fanga aylanadi. Algoritmik tafakkurni shakllantirishda matematika yetakchi rol o'ynaydi, u berilgan algoritm bo'yicha harakat qilish va yangi algoritmlarni qurish qobiliyatini rivojlantiradi.

Revolyutsiya jismlarining hajmlarini hisoblash uchun integraldan foydalanish mavzusini o'rganayotganda, men tanlov sinflarida o'quvchilarga "Integrallar yordamida inqilob jismlarining hajmlari" mavzusini ko'rib chiqishni taklif qilaman. Quyida ushbu mavzuni ko'rib chiqish bo'yicha uslubiy tavsiyalar keltirilgan:

1. Yassi figuraning maydoni.

Algebra kursidan bilamizki, amaliy xarakterdagi masalalar aniq integral tushunchasiga olib kelgan. Ulardan biri y=f(x) uzluksiz chiziq bilan chegaralangan tekis figuraning maydonini hisoblashdir (bu erda f(x)DIV_ADBLOCK243">

Keling, egri chiziqli trapetsiyaning maydonini formuladan foydalanib hisoblaylik, agar trapetsiya asosi x o'qida bo'lsa yoki https://pandia.ru/text/77/502/images/image004_49.jpg" eni formulasidan foydalanamiz. "526" balandligi "262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Singan chiziq y=f(x), Ox o'qi, x=a va x=b to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning Ox o'qi atrofida aylanishidan hosil bo'lgan aylanish jismining hajmini topish uchun hisoblaymiz. formuladan foydalanib

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y"

3. Silindr hajmi.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Konus aylanish yo'li bilan olinadi to'g'ri uchburchak AC oyog'i yotadigan Ox o'qi atrofida ABC(C=90).

AB segmenti y=kx+c to'g'ri chiziqda yotadi, bu erda https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

a=0, b=H (H - konusning balandligi), keyin Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src=" bo'lsin. ">.

5. Kesilgan konusning hajmi.

Kesilgan konusni aylantirish orqali olish mumkin to'rtburchak trapezoid Ox o'qi atrofida ABCD (CDOx).

AB segmenti y=kx+c to'g'ri chiziqda yotadi, bu erda , c=r.

To'g'ri chiziq A nuqtadan o'tganligi uchun (0;r).

Shunday qilib, to'g'ri chiziq https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src="> ga o'xshaydi.

a=0, b=H (H - kesilgan konusning balandligi), keyin https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src" bo'lsin. ="> = .

6. To'pning hajmi.

To'pni markazi (0;0) bo'lgan doirani Ox o'qi atrofida aylantirish orqali olish mumkin. Ox o'qi ustida joylashgan yarim doira tenglama bilan berilgan

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

I. Inqilob jismlarining hajmlari. G. M. Fixtengolts darsligidan XII bob, 197, 198-bandlarni oldindan o'rganing * 198-bandda keltirilgan misollarni batafsil tahlil qiling.

508. Ellipsni Ox o'qi atrofida aylantirish natijasida hosil bo'lgan jismning hajmini hisoblang.

Shunday qilib,

530. y = sin x sinusoid yoyining Ox o'qi atrofida X = 0 nuqtadan X = It nuqtasigacha aylanish natijasida hosil bo'lgan sirt maydonini toping.

531. Balandligi h va radiusi r bo'lgan konusning sirt maydonini hisoblang.

532. Hosil bo'lgan sirt maydonini hisoblang

astroid x3 -)- y* - a3 ning Ox o'qi atrofida aylanishi.

533. 18 ug - x (6 - x) z egri chiziq halqasini Ox o'qi atrofida aylantirish natijasida hosil bo'lgan sirt maydonini hisoblang.

534. X2 - j - (y-3)2 = 4 aylananing Ox o'qi atrofida aylanishidan hosil bo'lgan torusning sirtini toping.

535. Doiraning Ox o'qi atrofida X = a xarajat, y = asint aylanishidan hosil bo'lgan sirt maydonini hisoblang.

536. X = 9t2, y = St - 9t3 egri chiziq halqasining Ox o'qi atrofida aylanishidan hosil bo'lgan sirt maydonini hisoblang.

537. Ox o'qi atrofida x = e*sint, y = el xarajatlar egri yoyining aylanishidan hosil bo'lgan sirt maydonini toping.

t = 0 dan t = — gacha.

538. Sikloid yoyning x = a (q> -sin ph), y = a (I - cos ph) Oy o'qi atrofida aylanishi natijasida hosil bo'lgan sirt 16 u2 o2 ga teng ekanligini ko'rsating.

539. Kardioidni qutb o'qi atrofida aylantirish natijasida olingan sirtni toping.

540. Lemniskatning aylanishidan hosil bo‘lgan sirt maydonini toping Qutb o'qi atrofida.