To'rtburchak trapezoidda diagonallar o'zaro bo'ladi. Trapetsiyaning diagonallari. Trapetsiya diagonallarini topish formulalari

Trapetsiya diagonallarining oʻrta nuqtalarini tutashtiruvchi segment asoslari farqining yarmiga teng.
Trapetsiya asoslari va ularning kesishish nuqtasigacha bo'lgan diagonallar segmentlari tomonidan hosil qilingan uchburchaklar o'xshashdir.
Yonlari trapetsiyaning yon tomonlarida yotadigan trapetsiya diagonallarining segmentlaridan hosil boʻlgan uchburchaklar oʻlchamlari boʻyicha teng (bir xil maydonga ega)
Agar siz trapezoidning yon tomonlarini kichikroq poydevorga cho'zsangiz, ular bir nuqtada asoslarning o'rta nuqtalarini bog'laydigan to'g'ri chiziq bilan kesishadi.
Trapetsiya asoslarini tutashtiruvchi va trapetsiya diagonallarining kesishish nuqtasidan oʻtuvchi segment shu nuqtaga trapetsiya asoslari uzunliklari nisbatiga teng nisbatda boʻlinadi.
Trapetsiya asoslariga parallel bo'lgan va diagonallarning kesishish nuqtasi orqali o'tkazilgan segment shu nuqtaga ko'ra yarmiga bo'linadi va uning uzunligi 2ab/(a + b) ga teng, bu erda a va b - bu chiziqning asoslari. trapezoid

Trapetsiya diagonallarining o'rta nuqtalarini tutashtiruvchi segmentning xossalari

ABCD trapesiya diagonallarining o'rta nuqtalarini bog'laymiz, buning natijasida LM segmentiga ega bo'lamiz.
Trapetsiya diagonallarining o'rta nuqtalarini bog'lovchi segment trapetsiyaning oʻrta chizigʻida yotadi.

Ushbu segment trapetsiya asoslariga parallel.

Trapetsiya diagonallarining o'rta nuqtalarini tutashtiruvchi segmentning uzunligi uning asoslari farqining yarmiga teng.

LM = (AD - BC)/2
yoki
LM = (a-b)/2

Trapetsiya diagonallari bilan hosil qilingan uchburchaklarning xossalari

Trapezoidning asoslari va trapetsiya diagonallarining kesishish nuqtasidan hosil bo'lgan uchburchaklar - o'xshashdir.
BOC va AOD uchburchaklari o'xshash. BOC va AOD burchaklari vertikal bo'lgani uchun ular tengdir.
OCB va OAD burchaklari AD va BC parallel chiziqlari (trapetsiya asoslari bir-biriga parallel) va AC ajralish chizig'i bilan ko'ndalang yotgan ichki burchaklardir, shuning uchun ular tengdir.
OBC va ODA burchaklari bir xil sababga ko'ra tengdir (ichki ko'ndalang).

Bitta uchburchakning uchta burchagi boshqa uchburchakning mos burchaklariga teng bo'lganligi sababli, bu uchburchaklar o'xshashdir.

Bundan nima kelib chiqadi?

Geometriyaga oid masalalarni yechish uchun uchburchaklarning o'xshashligi quyidagicha qo'llaniladi. Agar biz o'xshash uchburchaklarning ikkita mos keladigan elementining uzunligini bilsak, biz o'xshashlik koeffitsientini topamiz (biz birini boshqasiga ajratamiz). Boshqa barcha elementlarning uzunligi bir xil qiymat bilan bir-biriga bog'langan joydan.

Trapetsiyaning yon tomoni va diagonallarida yotuvchi uchburchaklarning xossalari

AB va CD trapesiyalarining yon tomonlarida yotgan ikkita uchburchakni ko'rib chiqaylik. Bular AOB va COD uchburchaklari. Ushbu uchburchaklarning alohida tomonlari o'lchamlari butunlay boshqacha bo'lishi mumkinligiga qaramay, lekin trapetsiyaning lateral tomonlari va diagonallarining kesishish nuqtasi hosil qilgan uchburchaklarning maydonlari teng, ya'ni uchburchaklar o'lchamlari bo'yicha tengdir.

Agar biz trapezoidning yon tomonlarini kichikroq asosga uzatsak, u holda tomonlarning kesishish nuqtasi bo'ladi. asoslarning o'rtasidan o'tadigan to'g'ri chiziqqa to'g'ri keladi.

Shunday qilib, har qanday trapezoidni uchburchakka kengaytirish mumkin. Bunda:

Kengaytirilgan tomonlarning kesishish nuqtasida umumiy cho'qqisi bo'lgan trapetsiya asoslaridan hosil bo'lgan uchburchaklar o'xshashdir.
Trapetsiya asoslarining o'rta nuqtalarini bog'laydigan to'g'ri chiziq bir vaqtning o'zida qurilgan uchburchakning medianasidir.

Trapetsiya asoslarini tutashtiruvchi segmentning xossalari

Agar trapetsiyaning (KN) diagonallari kesishish nuqtasida yotuvchi uchlari trapetsiya asoslarida yotadigan segmentni chizsak, u holda uning tashkil etuvchi segmentlarining asos tomondan kesishish nuqtasiga nisbati. diagonallar (KO/ON) trapetsiya asoslari nisbatiga teng bo'ladi(BC/AD).

KO/ON = BC/AD

Bu mulk mos keladigan uchburchaklarning o'xshashligidan kelib chiqadi (yuqoriga qarang).

Trapetsiya asoslariga parallel segmentning xossalari

Agar trapetsiya asoslariga parallel va trapetsiya diagonallarining kesishish nuqtasidan o'tadigan segmentni chizsak, u quyidagi xususiyatlarga ega bo'ladi:

Belgilangan masofa (KM) trapetsiya diagonallarining kesishish nuqtasi bilan ikkiga bo'lingan
Bo'lim uzunligi trapetsiya diagonallarining kesishish nuqtasidan o'tgan va asoslariga parallel KM = 2ab/(a + b)

Trapetsiya diagonallarini topish formulalari

a, b- trapetsiya asoslari

c, d- trapetsiyaning yon tomonlari

d1 d2- trapetsiya diagonallari

α β - trapetsiyaning asosi kattaroq burchaklar

Trapetsiyaning asoslari, tomonlari va burchaklari orqali diagonallarini topish formulalari

Formulalarning birinchi guruhi (1-3) trapezoid diagonallarining asosiy xususiyatlaridan birini aks ettiradi:

1. Trapetsiya diagonallari kvadratlari yig'indisi tomonlari kvadratlari yig'indisiga va uning asoslari ko'paytmasining ikki barobariga teng. Trapetsiya diagonallarining bu xossasini alohida teorema sifatida isbotlash mumkin

2 . Bu formula oldingi formulani o'zgartirish orqali olingan. Ikkinchi diagonalning kvadrati tenglik belgisi orqali tashlanadi, shundan so'ng kvadrat ildiz ifodaning chap va o'ng tomonidan chiqariladi.

3 . Trapetsiya diagonalining uzunligini topishning ushbu formulasi avvalgisiga o'xshaydi, farqi shundaki, ifodaning chap tomonida boshqa diagonal qoldirilgan.

Keyingi formulalar guruhi (4-5) ma'no jihatidan o'xshash va o'xshash munosabatni ifodalaydi.

Formulalar guruhi (6-7) trapetsiyaning kattaroq asosi, bir tomoni va poydevoridagi burchak ma'lum bo'lsa, uning diagonalini topishga imkon beradi.

Trapetsiyaning balandlik orqali diagonallarini topish formulalari

Eslatma. Bu darsda trapetsiya haqidagi geometriya masalalari yechimlari keltirilgan. Agar siz o'zingizni qiziqtirgan turdagi geometriya muammosiga yechim topmagan bo'lsangiz, forumda savol bering.

Vazifa.
ABCD (AD | | BC) trapetsiyaning diagonallari O nuqtada kesishadi. Trapetsiya asosining BC uzunligini toping, agar asos AD = 24 sm, uzunligi AO = 9 sm, uzunligi OS = 6 sm bo'lsa.

Yechim.
Bu muammoning yechimi mafkura jihatidan avvalgi muammolar bilan mutlaqo bir xil.

AOD va BOC uchburchaklari uchta burchakda o'xshashdir - AOD va BOC vertikal, qolgan burchaklar esa juftlik bilan tengdir, chunki ular bir chiziq va ikkita parallel chiziqlarning kesishishidan hosil bo'ladi.

Uchburchaklar bir-biriga o'xshash bo'lgani uchun ularning barcha geometrik o'lchamlari xuddi masala shartlariga ko'ra bizga ma'lum bo'lgan AO va OC segmentlarining geometrik o'lchamlari kabi bir-biriga bog'langan. Ya'ni

AO/OC = AD/BC
9/6 = 24/BC
Miloddan avvalgi = 24 * 6 / 9 = 16

Javob: 16 sm

Vazifa.
ABCD trapetsiyasida AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17 ekanligi ma’lum. Trapetsiya maydonini toping.

Yechim.
Kichikroq asos B va C cho’qqilaridan trapetsiya balandligini topish uchun kattaroq asosga ikkita balandlikni tushiramiz. Trapetsiya teng bo'lmagani uchun biz uzunlikni AM = a, uzunligi KD = b ( formuladagi belgi bilan adashtirmaslik kerak trapetsiya maydonini topish). Trapetsiyaning asoslari parallel bo'lgani uchun va biz kattaroq asosga perpendikulyar ikkita balandlikni tushirdik, demak, MBCK to'rtburchakdir.

anglatadi
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

DBM va ACK uchburchaklari to'rtburchaklar, shuning uchun ularning to'g'ri burchaklari trapetsiya balandligidan hosil bo'ladi. Trapetsiya balandligini h bilan belgilaymiz. Keyin, Pifagor teoremasi bo'yicha

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
Va
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

A = 16 - b ekanligini hisobga olamiz, keyin birinchi tenglamada
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Pifagor teoremasi yordamida olingan ikkinchi tenglamaga balandlik kvadratining qiymatini almashtiramiz. Biz olamiz:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Shunday qilib, KD = 12
Qayerda
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Trapetsiyaning maydonini uning balandligi va asoslari yig'indisining yarmi orqali toping
, bu erda a b - trapetsiya asosi, h - trapetsiya balandligi
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 sm 2

Javob: trapetsiyaning maydoni 80 sm2.

Agar teng yonli trapesiyadagi diagonallar perpendikulyar bo‘lsa, masalani yechishda quyidagi nazariy material foydali bo‘ladi.

1. Agar teng yonli trapesiyadagi diagonallar perpendikulyar bo‘lsa, trapetsiya balandligi asoslar yig‘indisining yarmiga teng bo‘ladi.

C nuqta orqali BD ga parallel CF chizig'ini o'tkazamiz va AD chizig'ini CF bilan kesishguncha uzaytiramiz.

BCFD toʻrtburchak parallelogramma (trapetsiya asosi sifatida BC∥ DF, qurilishi boʻyicha BD∥ CF). Shunday qilib, CF=BD, DF=BC va AF=AD+BC.

ACF uchburchagi to'g'ri burchakli (agar chiziq ikkita parallel chiziqlardan biriga perpendikulyar bo'lsa, u boshqa chiziqqa ham perpendikulyar bo'ladi). Teng yon tomonli trapetsiyada diagonallar teng va CF=BD bo'lgani uchun CF=AC, ya'ni ACF uchburchak asosi AF bo'lgan teng yon tomonli bo'ladi. Bu uning balandligi CN ham median ekanligini anglatadi. Va gipotenuzaga chizilgan to'g'ri burchakli uchburchakning medianasi uning yarmiga teng bo'lgani uchun

nima ichida umumiy ko'rinish sifatida yozish mumkin

Bu erda h - trapetsiya balandligi, a va b - uning asoslari.

2. Agar teng yonli trapetsiyadagi diagonallar perpendikulyar bo‘lsa, uning balandligi o‘rta chiziqqa teng bo‘ladi.

Trapetsiyaning o'rta chizig'i m asoslar yig'indisining yarmiga teng bo'lgani uchun, demak

3. Agar teng yonli trapetsiyadagi diagonallar perpendikulyar boʻlsa, trapetsiyaning maydoni trapetsiya balandligi kvadratiga (yoki asoslarning yarim yigʻindisi kvadratiga yoki oʻrta chiziq kvadratiga) teng boʻladi. ).

Trapezoidning maydoni formula bo'yicha topilganligi sababli

perpendikulyar diagonalli teng yonli trapezoidning balandligi, asoslari yig‘indisining yarmi va o‘rta chizig‘i bir-biriga teng:

4. Agar teng yonli trapetsiyadagi diagonallar perpendikulyar bo‘lsa, uning diagonalining kvadrati asoslar yig‘indisining yarmi kvadratiga, shuningdek, balandlikning ikki barobar kvadratiga va o‘rta chiziqning ikki barobar kvadratiga teng bo‘ladi.

Qavariq to'rtburchakning maydonini uning diagonallari va ular orasidagi burchak orqali formuladan foydalanib topish mumkin.

Yana Pifagor uchburchagi :))) Agar katta asosdan kesishish nuqtasigacha bo'lgan katta diagonalning bir qismi x belgilansa, u holda burchaklari teng bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchaklarning aniq o'xshashligidan kelib chiqadi.x/64 = 36/x, demak. x = 48;48/64 = 3/ 4, shuning uchun asoslar, diagonallar va poydevorga perpendikulyar tomondan hosil bo'lgan HAMMA to'g'ri burchakli uchburchaklar tomonlari 3,4,5 bo'lgan uchburchakka o'xshaydi. Istisno faqat diagonallar va qiya tomon bo'laklari tomonidan tashkil etilgan uchburchakdir, lekin bizni bu qiziqtirmaydi :). (Tushunish uchun, ko'rib chiqilayotgan o'xshashlik faqat TURLI NOMI BORCHILGAN burchaklarning trigonometrik funksiyalaridir:) Biz katta diagonal va asosiy asos orasidagi burchakning tangensini allaqachon bilamiz, u 3/4 ga teng, ya'ni sinus 3/5 ga teng, kosinus esa 4 /5 :)) Siz darhol yozishingiz mumkin

Javoblar. Pastki poydevor 80, trapesiya balandligi 60, yuqori qismi esa 45 bo'ladi. (36*5/4 = 45, 64*5/4 = 80, 100*3/5 = 60)

Shunga o'xshash vazifalar:

1. Prizmaning asosi uchburchak bo'lib, uning bir tomoni 2 sm, qolgan ikkitasi har biri 3 sm bo'lib, poydevor tekisligi bilan 45 burchak hosil qiladi teng kub.

2. Qiya prizmaning asosi tomoni a bo‘lgan teng yonli uchburchak; yon yuzlaridan biri asos tekisligiga perpendikulyar bo'lib, kichikroq diagonali c ga teng bo'lgan rombdir. Prizma hajmini toping.

3. Qiya prizmada asos bu to'g'ri uchburchak, gipotenuzasi c ga teng, bitta o'tkir burchagi 30, yon cheti k ga teng va asos tekisligi bilan 60 burchak hosil qiladi.

1. Kvadratning diagonali 10 sm bo‘lsa, uning tomonini toping

2. Teng yonli trapesiyada o‘tmas burchak 135 gradus, asosi 4 sm, balandligi 2 sm bo‘lsa, trapetsiyaning yuzini toping?

3. Trapetsiyaning balandligi asoslarning biridan 3 marta, lekin ikkinchisining yarmidan katta. Trapetsiyaning maydoni 168 sm kvadrat bo'lsa, uning asoslarini va balandligini toping?

4. ABC uchburchagida A burchak = Burchakda = 75 daraja. Agar uchburchakning maydoni 36 sm kvadrat bo'lsa, BC ni toping.

1. Tomonlari AB va CD bo‘lgan ABCD trapetsiyada diagonallar O nuqtada kesishadi.

a) ABD va ACD uchburchaklarining maydonlarini solishtiring

b) ABO va CDO uchburchaklarining maydonlarini solishtiring

c) OA*OB=OC*OD ekanligini isbotlang

2. Teng yonli uchburchakning asosi tomoni bilan 4:3 nisbatda, asosga chizilgan balandligi 30 sm ga teng, asosdagi burchakning bissektrisasi shu balandlikni ajratuvchi kesmalarni toping.

3. AM chizig’i aylanaga tangens, AB bu aylana akkordidir. MAB burchagi MAB burchagi ichida joylashgan AB yoyining yarmi bilan o'lchanishini isbotlang.