Quyidagi formulalardan qaysi biri Geron formulasi? Uchburchakning maydoni. Muammoni hal qilishga misollar
Heron formulasi Heron formulasi
maydonni ifodalaydi s uchburchakning uch tomonining uzunliklari orqali A, b Va Bilan va yarim perimetr R = (A + b + Bilan)/2: . Iskandariya Heron sharafiga nomlangan.
HERONA FORMULAHERONA FORMULA, maydonni ifodalaydi S uchburchakning uch tomonining uzunliklari orqali a, b Va c va yarim perimetr P = (a + b + c)/2
Iskandariya Heron sharafiga nomlangan.
ensiklopedik lug'at . 2009 .
Boshqa lug'atlarda "Heron formulasi" nima ekanligini ko'ring:
Uchburchakning S maydonini uning uchta tomoni a, b va c uzunligi hamda yarim perimetri P = (a + b + c) orqali ifodalaydi/2Iskandariya Geroni nomi bilan atalgan... Katta ensiklopedik lug'at
Uchburchakning uch tomoni orqali uning maydonini ifodalovchi formula. Ya'ni, agar a, b, C uchburchak tomonlarining uzunligi, S esa uning maydoni bo'lsa, G. f. shaklga ega: bu yerda p G uchburchakning yarim perimetrini bildiradi. f.... ...
Uchburchakning maydonini a, b, c tomonlari orqali ifodalovchi formula: bu erda Heron (milodiy 1-asr), A. B. Ivanov nomi bilan atalgan ... Matematik entsiklopediya
Uchburchakning 5 maydonini uning uchta tomoni a, b va c uzunligi va yarim perimetri p = (a + b + c)/2 orqali ifodalaydi: s = kvadrat. ildiz p(p a)(p b)(p c). Iskandariya Heron sharafiga nomlangan ... Tabiiy fan. ensiklopedik lug'at
- ... Vikipediya
Uchburchakning maydonini (S) uning a, b, c tomonlari asosida hisoblash imkonini beradi: bu erda p - uchburchakning yarim perimetri: . Burchak uchburchak qaerda ekanligini isbotlash... Vikipediya
Aylana ichiga chizilgan to'rtburchakning maydonini uning tomonlari uzunligiga bog'liq holda ifodalaydi. Agar chizilgan to'rtburchakning yon uzunligi va yarim perimetri bo'lsa, uning maydoni ... Vikipediya
Ushbu maqolada ma'lumot manbalariga havolalar yo'q. Ma'lumotlar tekshirilishi kerak, aks holda ular shubha ostiga olinishi va o'chirilishi mumkin. Siz nufuzli manbalarga havolalarni kiritish uchun ushbu maqolani tahrirlashingiz mumkin. Bu belgi... ... Vikipediya
- (Heronus Aleksandrin) (tug'ilgan va vafot etgan yillari noma'lum, ehtimol 1-asr), Iskandariyada ishlagan qadimgi yunon olimi. Qadimgi dunyoning ushbu sohadagi asosiy yutuqlarini muntazam ravishda tasvirlab bergan asarlar muallifi amaliy mexanika, IN… … Buyuk Sovet Entsiklopediyasi
Iskandariya (Heronus Aleksandrin) (tugʻilgan va oʻlgan yillari nomaʼlum, 1-asr boʻlsa kerak), Iskandariyada ishlagan qadimgi yunon olimi. Qadimgi dunyoning ...... sohasidagi asosiy yutuqlarini muntazam ravishda bayon qilgan asarlar muallifi. Buyuk Sovet Entsiklopediyasi
Matematik fikrlash qobiliyati - insonning eng olijanob qobiliyatlaridan biri.
Irland dramaturgi Bernard Shou
Heron formulasi
Maktab matematikasida Heron formulasi juda mashhur bo'lib, undan foydalanish uchburchakning maydonini uning uch tomoniga qarab hisoblash imkonini beradi. Shu bilan birga, bir nechta talabalar aylana ichiga yozilgan to'rtburchaklar maydonini hisoblash uchun shunga o'xshash formula mavjudligini bilishadi. Bu formula Brahmagupta formulasi deb ataladi. Uchburchakning maydonini uning uchta balandligidan hisoblash formulasi ham kam ma'lum, uning kelib chiqishi Heron formulasidan kelib chiqadi.
Uchburchaklar maydonini hisoblash
Uchburchak shaklida bo'lsin tomonlar, va . U holda quyidagi teorema (Geron formulasi) to'g'ri bo'ladi.
Teorema 1.
Qayerda.
Isbot. Formula (1) ni olishda biz ma'lum geomalardan foydalanamiz trikli formulalar
, (2)
. (3)
(2) va (3) formulalardan va ni olamiz. O'shandan beri
. (4)
Agar belgilasak u holda (4) tenglikdan (1) formula kelib chiqadi. Teorema isbotlangan.
Keling, uchburchakning maydonini hisoblash masalasini ko'rib chiqaylik shartiga ko'ra , uning uchta balandligi ma'lum, Va .
Teorema 2. Hudud formuladan foydalanib hisoblanadi
. (5)
Isbot. dan beri , va , keyin
Bu holda (1) formuladan olamiz
yoki
Bundan (5) formula kelib chiqadi. Teorema isbotlangan.
To'rtburchaklar maydonini hisoblash
Keling, to'rtburchaklar maydonini hisoblash holatiga Heron formulasini umumlashtirishni ko'rib chiqaylik. Biroq, darhol shuni ta'kidlash kerakki, bunday umumlashtirish faqat aylana ichiga yozilgan to'rtburchaklar uchun mumkin.
To'rtburchak bo'lsin tomonlari bor , , va .
Agar to'rtburchakdir, doira ichida yozilgan, u holda 3-teorema (Brahmagupta formulasi) haqiqatdir.
Teorema 3. Kvadrat formula bo'yicha hisoblanadi
Qayerda.
Isbot. To'rtburchakda diagonal chizamiz va ikkita uchburchak va . Agar formula (3) ga ekvivalent bo'lgan bu uchburchaklarga kosinus teoremasini qo'llasak, u holda yozishimiz mumkin.
To'rtburchak aylana ichiga yozilganligi sababli, uning qarama-qarshi burchaklarining yig'indisi teng, ya'ni. .
Buyon yoki keyin (7) dan olamiz
Yoki
. (8)
O'shandan beri. Biroq va shuning uchun
Chunki , keyin (8) va (9) formulalardan kelib chiqadi
Agar qo'ysangiz keyin bu yerdan (6) formulani olamiz. Teorema isbotlangan.
Agar tsiklik to'rtburchak bo'lsaham tasvirlangan, keyin formula (6) sezilarli darajada soddalashtiriladi.
Teorema 4. To'rtburchakning bir doira ichiga chizilgan va boshqasi atrofida o'ralgan maydoni formula bo'yicha hisoblanadi.
. (10)
Isbot. Doira to'rtburchak ichiga chizilganligi sababli, tengliklar amal qiladi:
Bu holda, , , va formula (6) osonlik bilan (10) formulaga aylantiriladi. Teorema isbotlangan.
Keling, geometriya masalalari misollarini ko'rib chiqishga o'tamiz, uning yechimi isbotlangan teoremalarni qo'llash asosida amalga oshiriladi.
Muammoni hal qilishga misollar
1-misol. Hududni toping, agar.
Yechim. Bu erdan boshlab, 1-teorema bo'yicha biz olamiz
Javob: .
Eslatma, agar uchburchakning tomonlari bo'lsairratsional qadriyatlarni qabul qilish, keyin uning maydonini hisoblashformula (1) yordamida, Qoida sifatida , samarasizdir. Bunday holda, (2) va (3) formulalarni to'g'ridan-to'g'ri qo'llash maqsadga muvofiqdir.
2-misol. Agar , va maydonini toping.
Yechim.(2) va (3) formulalarni hisobga olgan holda biz olamiz
O'shandan beri, keyin yoki.
Javob: .
3-misol. Agar , va maydonini toping.
Yechim. Chunki,
u holda 2-teoremadan kelib chiqadiki.
Javob: .
4-misol. Uchburchakning tomonlari bor va . va ni toping, qayerda mos ravishda aylana va chizilgan doiralarning radiuslari.
Yechim. Birinchidan, maydonni hisoblaymiz. dan beri, u holda (1) formuladan ni olamiz.
Ma'lumki. Shunung uchun .
5-misol. Agar , va bo'lsa, aylana ichiga chizilgan to'rtburchakning maydonini toping.
Yechim. Misol shartlaridan kelib chiqadiki. Keyin, 3-teoremaga muvofiq, biz .
6-misol. Tomonlari , va bo'lgan aylana ichiga chizilgan to'rtburchakning maydonini toping.
Yechim. va dan beri, tenglik to'rtburchakda bajariladi. Biroq ma'lumki, bunday tenglikning mavjudligi berilgan to'rtburchakda aylana chizilgan bo'lishi uchun zaruriy va etarli shartdir. Shu munosabat bilan, maydonni hisoblash uchun siz formuladan (10) foydalanishingiz mumkin, undan kelib chiqadi.
Maktab geometriya muammolarini hal qilish sohasida kirish imtihonlariga mustaqil va sifatli tayyorgarlik ko'rish uchun siz darsliklardan samarali foydalanishingiz mumkin., tavsiya etilgan adabiyotlar ro‘yxatiga kiritilgan.
1. Gotman E.G. Planimetriya masalalari va ularni yechish usullari. – M.: Ta’lim, 1996. – 240 b.
2. Kulagin E.D. , Fedin S.N. Masalalarda uchburchak geometriyasi. – M.: "Librocom" CD / URSS, 2009. – 208 b.
3. Kollejlarga abituriyentlar uchun matematikadan masalalar to'plami / Ed. M.I. Skanavi. - M.: Tinchlik va ta'lim, 2013. – 608 b.
4. Suprun V.P. O'rta maktab o'quvchilari uchun matematika: qo'shimcha bo'limlar maktab o'quv dasturi. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 b.
Hali ham savollaringiz bormi?
Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.
veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.
Bilish orqali topish mumkin asos Va balandligi. Diagrammaning butun soddaligi shundan iboratki, balandlik a asosini ikki qismga a 1 va 2 ga, uchburchakning o'zi esa ikkiga bo'ladi. to'g'ri uchburchak, olingan maydoni va. Keyin butun uchburchakning maydoni ko'rsatilgan ikkita maydonning yig'indisiga teng bo'ladi va agar biz balandlikning bir soniyasini qavsdan chiqarsak, yig'indida biz asosni qaytarib olamiz:
Hisoblash uchun qiyinroq usul - bu Heron formulasi, buning uchun siz uch tomonni bilishingiz kerak. Ushbu formula uchun siz avval hisoblashingiz kerak uchburchakning yarim perimetri :
Heron formulasining o'zi nazarda tutadi Kvadrat ildiz yarim perimetrdan, har tomondan uning farqiga o'z navbatida ko'paytiriladi.
Har qanday uchburchak uchun ham tegishli bo'lgan quyidagi usul sizga ikki tomondan uchburchakning maydonini topishga imkon beradi. burchak ular orasida. Buning isboti balandlik formulasidan kelib chiqadi - biz balandlikni ma'lum tomonlarning istalganiga va orqali chizamiz burchak sinusi a buni tushunamiz h=a⋅sina. Maydonni hisoblash uchun balandlikning yarmini ikkinchi tomonga ko'paytiring.
Yana bir usul - 2 burchakni va ular orasidagi tomonni bilib, uchburchakning maydonini topish. Ushbu formulaning isboti juda oddiy va diagrammadan aniq ko'rinadi.
Biz balandlikni uchinchi burchakning tepasidan ma'lum tomonga tushiramiz va natijada olingan segmentlarni x deb nomlaymiz. Kimdan to'g'ri uchburchaklar birinchi segment x ko'paytmaga teng ekanligi aniq
Dastlabki ma'lumotlar
Birinchidan, keyinroq kerak bo'ladigan ma'lumotlar va belgilar bilan tanishamiz.
Biz oʻtkir burchaklari $A$ va $C$ boʻlgan $ABC$ uchburchakni koʻrib chiqamiz. Unda $BH$ balandligini chizamiz. Quyidagi yozuvni kiritamiz: $AB=c,\ BC=a,\ $$AC=b,\ AH=x,\ BH=h\ $(1-rasm).
1-rasm.
Keling, uchburchakning maydoni haqidagi teoremani isbotsiz kiritaylik.
Teorema 1
Uchburchakning maydoni uning tomoni uzunligi va unga chizilgan balandlikning yarmi mahsuloti sifatida aniqlanadi, ya'ni
Heron formulasi
Keling, uchburchakning uchta ma'lum tomondan yuzini topish haqidagi teoremani kiritaylik va isbotlaylik. Bu formula deyiladi Heron formulalari.
Teorema 2
Bizga $a,\b\ va\c$ uchburchakning uchta tomoni berilsin. Keyin bu uchburchakning maydoni quyidagicha ifodalanadi
bu yerda $p$ berilgan uchburchakning yarim perimetri.
Isbot.
Biz 1-rasmda keltirilgan belgidan foydalanamiz.
$ABH$ uchburchagini ko'rib chiqing. Pifagor teoremasiga ko'ra, biz olamiz
Ko'rinib turibdiki, $HC=AC-AH=b-x$
$\CBH$ uchburchagini ko'rib chiqing. Pifagor teoremasiga ko'ra, biz olamiz
\ \ \
Olingan ikkita nisbatdan kvadrat balandlikning qiymatlarini tenglashtiramiz
\ \ \
Birinchi tenglikdan biz balandlikni topamiz
\ \ \ \ \ \
Yarim perimetr $p=\frac(a+b+c)(2)$ ga teng bo'lgani uchun, ya'ni $a+b+c=2p$, u holda
\ \ \ \
1-teorema bo'yicha biz olamiz
Teorema isbotlangan.
Heron formulasidan foydalanilgan masalalarga misollar
1-misol
Agar uchburchakning tomonlari $3$ sm, $6$ sm va $7$ sm boʻlsa, uning maydonini toping.
Yechim.
Avval bu uchburchakning yarim perimetrini topamiz
2-teorema bo'yicha biz olamiz
Javob:$4\sqrt(5)$.