삼각형의 3 높이. "삼각형 높이의 교차점에 대한 정리"수업 요약. 직각 삼각형의 요소 비율

삼각형.

기본 개념.

삼각형- 하나의 직선 위에 있지 않은 세 개의 선분과 세 개의 점으로 구성된 도형입니다.

세그먼트는 파티, 그리고 포인트 봉우리.

각도의 합삼각형은 180º입니다.

삼각형의 높이입니다.

삼각형 높이한 꼭짓점에서 반대쪽으로 그은 수선이다.

예각 삼각형에서 높이는 삼각형 내부에 포함됩니다(그림 1).

직각 삼각형에서 다리는 삼각형의 높이입니다(그림 2).

둔각삼각형에서 높이는 삼각형의 바깥을 지난다(그림 3).

삼각형 높이 속성:

삼각형의 이등분선.

삼각형의 이등분선- 이것은 꼭지점의 모서리를 이등분하고 꼭지점을 반대쪽 점에 연결하는 선분입니다(그림 5).

이등분 속성:

삼각형의 중앙값.

삼각형 중앙값- 꼭지점과 반대쪽 중앙을 연결하는 선분입니다(그림 9a).

중앙값의 길이는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다. 2비 2 + 2씨 2 - ㅏ 2 엄마 2 = —————— 4 어디 엄마- 측면으로 그려진 중앙값 ㅏ. 직각 삼각형에서 빗변에 그려진 중앙값은 빗변의 절반입니다. 씨 엠씨 = — 2 어디 엠씨빗변에 그려진 중앙값입니다. 씨(그림 9c) 삼각형의 중앙값은 한 점(삼각형의 질량 중심)에서 교차하고 이 점에서 2:1의 비율로 위에서부터 세어 나눕니다. 즉, 정점에서 중심까지의 선분은 삼각형의 중심에서 변까지의 선분의 2배입니다(그림 9c). 삼각형의 중앙값 3개는 삼각형을 같은 넓이의 삼각형 6개로 나눕니다.

삼각형의 가운데 선입니다.

삼각형의 가운데 선- 두면의 중간점을 연결하는 세그먼트입니다(그림 10).

삼각형의 중심선은 세 번째 변과 평행하고 그 절반과 같습니다.

삼각형의 바깥쪽 모서리입니다.

외부 코너삼각형은 인접하지 않은 두 내각의 합과 같습니다(그림 11).

삼각형의 외각은 인접하지 않은 각보다 큽니다.

정삼각형.

정삼각형- 이것은 직각을 가진 삼각형입니다(그림 12).

직각 삼각형의 맞은편에 있는 변을 직각 삼각형이라고 합니다. 빗변.

다른 두 면은 호출됩니다. 다리.

직각 삼각형의 비례 세그먼트.

1) 직각삼각형에서 직각에서 그은 높이는 3개의 유사한 삼각형 ABC, ACH 및 HCB를 형성합니다(그림 14a). 따라서 높이가 이루는 각도는 각도 A와 B와 같습니다.

그림 14a

이등변 삼각형.

이등변 삼각형-두 변이 같은 삼각형입니다 (그림 13).

이 동등한 측면을 호출 측면, 그리고 세 번째 기초삼각형.

이등변 삼각형에서 밑면의 각도는 같습니다. (삼각형에서 각도 A는 각도 C와 같습니다).

이등변 삼각형에서 밑면에 그려진 중앙값은 삼각형의 이등분선과 높이입니다.

정삼각형.

정삼각형은 모든 변이 같은 삼각형입니다(그림 14).

정삼각형의 속성:

삼각형의 놀라운 속성.

삼각형에는 이러한 모양과 관련된 문제를 성공적으로 해결하는 데 도움이 되는 원래 속성이 있습니다. 이러한 속성 중 일부는 위에 설명되어 있습니다. 그러나 우리는 그것들을 다시 반복하여 몇 가지 다른 훌륭한 기능을 추가합니다.

1) 각이 90º, 30º, 60º인 직각삼각형에서 다리는 비, 30º의 각도에 반대되는 위치는 다음과 같습니다. 빗변의 절반. 다리ㅏ 더 많은 다리비√3회 (그림 15 ㅏ). 예를 들어, b의 다리가 5이면 빗변 씨반드시 10과 같고 다리 ㅏ 5√3과 같습니다. 2) 각이 90º, 45º, 45º인 직각 이등변 삼각형에서 빗변은 변의 √2배입니다(그림 15 비). 예를 들어 다리가 5이면 빗변은 5√2입니다. 3) 삼각형의 가운데 선은 평행 변의 절반과 같습니다(그림 15 와 함께). 예를 들어 삼각형의 한 변이 10이면 삼각형과 평행한 중심선은 5입니다. 4) 직각 삼각형에서 빗변에 그려진 중앙값은 빗변의 절반과 같습니다(그림 9c). 엠씨= c/2. 5) 한 점에서 교차하는 삼각형의 중선은 이 점에서 2:1의 비율로 나뉩니다. 즉, 꼭지점에서 중앙선의 교점까지의 선분은 중앙선의 교점에서 삼각형의 변까지의 선분의 2배입니다(그림 9c). 6) 직각삼각형에서 빗변의 중점은 외접원의 중심이다(그림 15). 디).

삼각형의 등호.

평등의 첫 징후: 한 삼각형의 두 변과 그 사이의 각도가 다른 삼각형의 두 변과 그 사이의 각도와 같으면 이러한 삼각형은 합동입니다.

평등의 두 번째 신호: 한 삼각형의 변과 이에 인접한 각이 다른 삼각형의 변과 인접한 각도와 같으면 이러한 삼각형은 합동입니다.

평등의 세 번째 표시: 한 삼각형의 세 변이 다른 삼각형의 세 변과 같으면 이러한 삼각형은 합동입니다.

삼각형 불평등.

모든 삼각형에서 각 변은 다른 두 변의 합보다 작습니다.

피타고라스의 정리.

직각 삼각형에서 빗변의 제곱은 다리의 제곱의 합과 같습니다.

씨 2 = ㅏ 2 + 비 2 .

삼각형의 면적.

1) 삼각형의 면적은 측면과 이쪽에 그려진 높이의 곱의 절반과 같습니다.

아
에스 = ——
2

2) 삼각형의 면적은 두 변의 곱과 그 사이 각도의 사인의 절반과 같습니다.

1
에스 = — AB · 교류 · 죄 ㅏ
2

원에 외접하는 삼각형.

모든면에 닿으면 원이 삼각형으로 새겨 져 있습니다 (그림 16 ㅏ).

원에 새겨진 삼각형.

삼각형이 모든 꼭지점과 닿으면 원에 새겨진 삼각형이라고합니다 (그림 17 ㅏ).

직각 삼각형의 예각의 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트(그림 18).

공동예각 엑스 반대빗변에 카테터.
다음과 같이 표기: 죄엑스.

코사인예각 엑스직각 삼각형은 비율입니다 인접한빗변에 카테터.
다음과 같이 표시됩니다. 엑스.

접선예각 엑스반대쪽 다리와 인접한 다리의 비율입니다.
다음과 같이 표시: tg엑스.

코탄젠트예각 엑스인접한 다리와 반대쪽 다리의 비율입니다.
다음과 같이 표시: ctg엑스.

규칙:

다리 반대편 코너 엑스, 빗변과 죄의 곱과 같습니다 엑스:

b=c죄 엑스

모서리에 인접한 다리 엑스, 빗변과 cos의 곱과 같습니다. 엑스:

a = c코사인 엑스

다리 반대편 코너 엑스, 두 번째 다리와 tg의 곱과 같습니다. 엑스:

비 = 에이 TG 엑스

모서리에 인접한 다리 엑스, 두 번째 다리와 ctg의 곱과 같습니다. 엑스:

a = b CTG 엑스.

모든 예각 엑스:

죄 (90° - 엑스) = 코사인 엑스

cos(90° - 엑스) = 죄 엑스

추가 구성 없이 삼각형의 모든 매개변수를 결정하는 것은 거의 불가능합니다. 이러한 구성은 측면과 각도의 크기를 결정하는 데 도움이 되는 일종의 삼각형 그래픽 특성입니다.

정의

이러한 특성 중 하나는 삼각형의 높이입니다. 고도는 삼각형의 꼭지점에서 반대쪽으로 그은 수직선입니다. 정점은 세 변과 함께 삼각형을 구성하는 세 점 중 하나입니다.

삼각형의 높이에 대한 정의는 다음과 같이 들릴 수 있습니다. 높이는 삼각형의 꼭지점에서 반대편을 포함하는 선까지 그은 수직선입니다.

이 정의는 더 복잡하게 들리지만 상황을 더 정확하게 반영합니다. 사실 둔각 삼각형에서는 삼각형 내부에 높이를 그릴 수 없습니다. 그림 1에서 볼 수 있듯이 이 경우 높이는 외부입니다. 또한 비표준 상황은 직각 삼각형의 높이 구성입니다. 이 경우 삼각형의 세 높이 중 두 개는 다리를 통과하고 세 번째는 꼭지점에서 빗변까지 통과합니다.

쌀. 1. 둔각삼각형의 높이.

일반적으로 삼각형의 높이는 문자 h로 표시됩니다. 높이는 다른 도면에도 표시되어 있습니다.

삼각형의 높이를 찾는 방법?

삼각형의 높이를 찾는 세 가지 표준 방법이 있습니다.

피타고라스의 정리를 통해

이 방법은 정삼각형과 이등변 삼각형에 사용됩니다. 우리는 이등변삼각형에 대한 해를 분석한 다음 정삼각형에 대해 동일한 해가 유효한 이유를 말할 것입니다.

주어진: 밑변이 AC인 이등변삼각형 ABC. AB=5, AC=8. 삼각형의 높이를 찾으십시오.

쌀. 2. 문제에 대한 그림.

이등변 삼각형의 경우 어느 쪽이 밑변인지 아는 것이 중요합니다. 이는 동일해야 하는 측면과 일부 속성이 작용하는 높이를 정의합니다.

밑면에 그려진 이등변 삼각형의 높이 속성:

• 높이는 중앙값과 이등분선과 같습니다.
• 베이스를 두 개의 동일한 부분으로 나눕니다.

높이를 BD로 표시합니다. 점 D의 높이가 밑면을 반으로 나누기 때문에 DС는 밑면에서 절반으로 발견됩니다. DC=4

높이는 수직이므로 BDC는 직각 삼각형이고 높이 BH는 이 삼각형의 변입니다.

피타고라스 정리를 사용하여 높이 찾기: $$ВD=\sqrt(BC^2-HC^2)=\sqrt(25-16)=3$$

모든 정삼각형은 이등변이며 밑면 만 변과 같습니다. 즉, 동일한 절차를 사용할 수 있습니다.

삼각형 영역을 통해

이 방법은 모든 삼각형에 사용할 수 있습니다. 그것을 사용하려면 삼각형의 면적과 높이가 그려지는 변의 값을 알아야합니다.

삼각형의 높이는 같지 않으므로 해당 변에 대해 해당 높이를 계산할 수 있습니다.

삼각형의 면적 공식은 $$S=(1\over2)*bh$$이며, 여기서 b는 삼각형의 변이고 h는 그 변에 그려진 높이입니다. 공식에서 높이를 표현하십시오.

$$h=2*(S\over b)$$

넓이가 15, 옆이 5이면 높이는 $$h=2*(15\over5)=6$$

삼각 함수를 통해

세 번째 방법은 밑면의 측면과 각도를 알고 있는 경우에 적합합니다. 이렇게 하려면 삼각 함수를 사용해야 합니다.

쌀. 3. 문제를 그리기.

각도 BCH=300 및 측면 BC=8. 여전히 동일한 직각 삼각형 BCH가 있습니다. 사인을 사용합시다. 사인은 빗변에 대한 반대쪽 다리의 비율입니다. 이는 BH/BC=cos BCH를 의미합니다.

각도는 측면과 마찬가지로 알려져 있습니다. 삼각형의 높이를 표현하십시오.

$$BH=BC*\cos (60\유니코드(xb0))=8*(1\over2)=4$$

코사인 값은 일반적으로 Bradis 테이블에서 가져오지만 30.45 및 60도에 대한 삼각 함수는 표 형식의 숫자입니다.

우리는 무엇을 배웠습니까?

우리는 삼각형의 높이가 무엇인지, 높이가 무엇인지, 어떻게 표시되는지 배웠습니다. 우리는 일반적인 작업을 파악하고 삼각형의 높이에 대한 세 가지 공식을 적었습니다.

주제퀴즈

기사 등급

평균 평점: 4.6. 받은 총 평점: 137.

순전히 수학적 및 응용적 특성(특히 건설)의 다양한 종류의 문제를 해결할 때 특정 기하학적 도형의 높이 값을 결정해야 하는 경우가 많습니다. 삼각형에서 주어진 값(높이)을 계산하는 방법은 무엇입니까?

단일 직선에 있지 않은 세 점을 쌍으로 결합하면 결과 그림이 삼각형이 됩니다. 고도는 반대쪽 면과 교차할 때 90°의 각도를 형성하는 도형의 모든 꼭지점에서 선의 일부입니다.

부등변삼각형에서 높이 구하기

그림에 임의의 각도와 변이 있는 경우 삼각형의 높이 값을 결정합시다.

헤론의 공식

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, 여기서

p - 그림 둘레의 절반, h(a) - 측면 a에 직각으로 그려진 선분,

p=(a+b+c)/2 – 반주 계산.

그림의 영역이 있는 경우 높이를 결정하기 위해 h(a)=2S/a 비율을 사용할 수 있습니다.

삼각 함수

측면 a와의 교차점에서 직각을 이루는 선분의 ​​길이를 결정하려면 다음 관계를 사용할 수 있습니다. 측면 b와 각도 γ 또는 측면 c와 각도 β를 알고 있으면 h(a)=b*sinγ 또는 h(a)=c*sinβ입니다.
어디:
γ는 변 b와 a 사이의 각도이고,
β는 변 c와 a 사이의 각도입니다.

반지름과의 관계

원래 삼각형이 원 안에 내접되어 있는 경우 이러한 원의 반지름을 사용하여 높이를 결정할 수 있습니다. 그 중심은 3개의 높이가 모두 교차하는 지점(각 정점에서)에 위치합니다.

그런 다음 h(a)=bc/2R, 여기서:
b, c - 삼각형의 다른 변 2개,
R은 삼각형을 나타내는 원의 반지름입니다.

직각삼각형의 높이 구하기

이 형태의 기하학적 도형에서 교차점의 두 변은 직각 - 90 °를 형성합니다. 따라서 높이 값을 결정해야하는 경우 다리 중 하나의 크기 또는 빗변과 90 °를 형성하는 세그먼트 값을 계산해야합니다. 지정할 때:
a, b - 다리,
c는 빗변이고,
h(c)는 빗변에 수직입니다.
다음 비율을 사용하여 필요한 계산을 할 수 있습니다.

• 피타고라스의 정리:

a \u003d √ (c 2 -b 2),
b \u003d √ (c 2 -a 2),
h(c)=2S/c S=ab/2이면 h(c)=ab/c .

• 삼각 함수:

a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

이등변삼각형에서 고도 구하기

이것 기하학적 도형크기가 같은 양면과 세 번째면이 기본으로 다릅니다. 세 번째, 다른 면에 그려진 높이를 결정하기 위해 피타고라스의 정리가 도움이 됩니다. 지정으로
- 쪽,
c-베이스,
h(c)는 90° 각도에서 c까지의 세그먼트이고 h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2)입니다.