직사각형 사다리꼴에서 대각선은 서로 다릅니다. 사다리꼴 대각선. 사다리꼴의 대각선을 찾는 공식

사다리꼴 대각선의 중점을 연결하는 선분은 밑변 차이의 절반과 같습니다.
사다리꼴의 밑변과 대각선의 선분에서 교차점까지 형성된 삼각형은 유사합니다.
사다리꼴의 대각선 부분에 의해 형성된 삼각형, 그 측면이 사다리꼴의 측면에 있음 - 동일합니다 (동일한 면적을 가짐)
사다리꼴의 측면을 더 작은 밑면으로 확장하면 밑변의 중점을 연결하는 직선과 한 점에서 교차합니다.
사다리꼴의 밑변을 연결하고 사다리꼴 대각선의 교차점을 통과하는 선분을 사다리꼴 밑변의 길이의 비율과 동일한 비율로 이 점으로 나눕니다.
사다리꼴의 밑변에 평행하고 대각선의 교차점을 통해 그린 선분은 이 점에 의해 이등분되며 길이는 2ab / (a + b)입니다. 여기서 a와 b는 사다리꼴의 밑면입니다

사다리꼴 대각선의 중점을 연결하는 선분의 속성

사다리꼴 ABCD 대각선의 중점을 연결하면 세그먼트 LM이 생깁니다.
사다리꼴의 대각선의 중점을 연결하는 선분 사다리꼴 정중선에 위치.

이 세그먼트 사다리꼴 바닥과 평행.

사다리꼴의 대각선의 중점을 연결하는 선분의 길이는 밑변의 반차와 같습니다.

LM = (AD - BC)/2
또는
LM = (a-b)/2

사다리꼴의 대각선이 이루는 삼각형의 성질

사다리꼴의 밑변과 사다리꼴 대각선의 교차점에 의해 형성되는 삼각형 - 비슷하다.
삼각형 BOC와 AOD는 비슷합니다. 각 BOC와 AOD는 수직이므로 동일합니다.
각도 OCB와 OAD는 평행선 AD와 BC(사다리꼴의 밑변은 서로 평행)와 할선 AC에 십자형으로 놓여 있으므로 동일합니다.
각도 OBC와 ODA는 같은 이유로 동일합니다(내부 교차).

한 삼각형의 세 각은 모두 다른 삼각형의 대응하는 각과 같으므로 이 삼각형은 유사합니다.

이것으로부터 무엇이 뒤따릅니까?

기하학의 문제를 해결하기 위해 삼각형의 유사도는 다음과 같이 사용됩니다. 유사한 삼각형의 해당하는 두 요소의 길이를 알고 있으면 유사성 계수를 찾습니다(하나로 나눕니다). 다른 모든 요소의 길이가 정확히 동일한 값으로 서로 관련되어 있는 곳입니다.

사다리꼴의 측면과 대각선에 놓인 삼각형의 특성

사다리꼴 AB와 CD의 변에 있는 두 개의 삼각형을 고려하십시오. 삼각형 AOB와 COD입니다. 이 삼각형의 개별 변의 크기가 완전히 다를 수 있다는 사실에도 불구하고 사다리꼴의 대각선의 교차점과 변에 의해 형성된 삼각형의 면적은 다음과 같습니다., 즉 삼각형이 동일합니다.

사다리꼴의 측면이 더 작은 밑면을 향해 확장되면 측면의 교차점이 다음과 같습니다. 밑면의 중점을 통과하는 직선과 일치.

따라서 모든 사다리꼴은 삼각형으로 확장될 수 있습니다. 여기서:

연장된 변의 교차점에서 공통 정점이 있는 사다리꼴의 밑변에 의해 형성된 삼각형은 유사합니다.
사다리꼴 밑변의 중점을 연결하는 직선은 동시에 구성된 삼각형의 중앙값입니다.

사다리꼴의 밑변을 연결하는 선분의 속성

사다리꼴 (KN)의 대각선의 교차점에있는 사다리꼴의 밑면에 끝이있는 세그먼트를 그리면 밑면에서 교차점까지의 구성 세그먼트의 비율 대각선 (KO / ON) 사다리꼴 밑변의 비율과 같습니다.(BC/AD).

KO/ON=BC/AD

이 속성은 해당 삼각형의 유사성에서 비롯됩니다(위 참조).

사다리꼴의 밑변에 평행한 선분의 속성

사다리꼴의 밑면에 평행하고 사다리꼴 대각선의 교차점을 통과하는 세그먼트를 그리면 다음과 같은 속성을 갖습니다.

사전 설정 거리(KM) 사다리꼴의 대각선의 교차점을 이등분
절단 길이, 사다리꼴의 대각선의 교차점을 통과하고 밑변에 평행한 것은 다음과 같습니다. KM = 2ab/(a + b)

사다리꼴의 대각선을 찾는 공식

에이, ㄴ- 사다리꼴의 밑변

CD- 사다리꼴의 측면

d1 d2- 사다리꼴의 대각선

α β - 사다리꼴의 밑변이 더 큰 각도

밑변, 밑변, 밑변을 통해 사다리꼴의 대각선을 찾는 공식

공식 (1-3)의 첫 번째 그룹은 사다리꼴 대각선의 주요 속성 중 하나를 반영합니다.

1. 사다리꼴의 대각선의 제곱의 합은 변의 제곱의 합에 밑변의 곱의 두 배를 더한 것과 같습니다. 사다리꼴 대각선의 이러한 속성은 별도의 정리로 증명할 수 있습니다.

2 . 이 공식이전 공식을 변환하여 얻습니다. 두 번째 대각선의 제곱은 등호 위에 던져진 다음 표현식의 왼쪽과 오른쪽에서 제곱근을 추출합니다.

3 . 사다리꼴의 대각선 길이를 구하는 이 공식은 이전 공식과 유사하지만 표현식의 왼쪽에 다른 대각선이 남는다는 차이점이 있습니다.

식(4-5)의 다음 그룹은 의미가 유사하고 유사한 관계를 나타냅니다.

공식 (6-7) 그룹을 사용하면 사다리꼴의 더 큰 밑변, 한 변 및 밑변의 각도를 알면 사다리꼴의 대각선을 찾을 수 있습니다.

높이로 사다리꼴의 대각선을 찾는 공식

메모. 이 단원에서는 사다리꼴에 대한 기하학 문제의 솔루션이 제공됩니다. 관심 있는 유형의 기하학 문제에 대한 솔루션을 찾지 못한 경우 포럼에 질문하십시오..

작업.
사다리꼴 ABCD(AD | | BC)의 대각선은 점 O에서 교차합니다. 밑변 AD = 24cm, 길이 AO = 9cm, 길이 OS = 6cm인 경우 사다리꼴의 밑변 BC의 길이를 찾으십시오.

해결책.
이 과제의 해결은 사상적으로는 이전 과제와 완전히 동일합니다.

삼각형 AOD와 BOC는 세 각에서 유사합니다. AOD와 BOC는 수직이고 나머지 각은 한 선과 두 평행선의 교차로 형성되기 때문에 쌍으로 동일합니다.

삼각형이 유사하기 때문에 모든 기하학적 차원은 문제의 조건에 따라 우리에게 알려진 세그먼트 AO 및 OC의 기하학적 차원과 같이 서로 관련됩니다. 그건

AO/OC=AD/BC
9 / 6 = 24 / 기원전
BC = 24 * 6 / 9 = 16

대답: 16cm

작업 .
사다리꼴 ABCD에서 AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17임을 알 수 있습니다. 사다리꼴의 면적을 찾으십시오.

해결책 .
더 작은 밑변 B와 C의 꼭짓점에서 사다리꼴의 높이를 찾기 위해 더 큰 밑변으로 두 높이를 낮춥니다. 사다리꼴이 같지 않기 때문에 길이 AM = a, 길이 KD = b ( 공식의 기호와 혼동하지 마십시오.사다리꼴의 면적 찾기). 사다리꼴의 밑변이 평행하고 더 큰 밑변에 수직인 두 개의 높이를 생략했으므로 MBCK는 직사각형입니다.

수단
광고=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

삼각형 DBM과 ACK는 직각이므로 사다리꼴의 높이에 의해 직각이 형성됩니다. 사다리꼴의 높이를 h로 표시합시다. 그러면 피타고라스 정리에 의해

H 2 + (24-a) 2 \u003d (5√17) 2
그리고
시간 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2

a \u003d 16-b를 고려한 다음 첫 번째 방정식에서
시간 2 + (24-16 + b) 2 \u003d 425
시간 2 \u003d 425 - (8 + b) 2

높이의 제곱 값을 피타고라스 정리로 얻은 두 번째 방정식에 대입합니다. 우리는 다음을 얻습니다.
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

따라서 KD = 12
어디에
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
시간 = 5

높이와 밑변의 합을 사용하여 사다리꼴의 면적 찾기
, 여기서 b - 사다리꼴의 밑면, h - 사다리꼴의 높이
S \u003d (24 + 8) * 5 / 2 \u003d 80cm 2

대답: 사다리꼴의 면적은 80cm2입니다.

이등변 사다리꼴의 대각선이 수직이면 다음 이론 자료가 문제를 해결하는 데 유용합니다.

1. 이등변 사다리꼴에서 대각선이 수직이면 사다리꼴의 높이는 밑변의 합의 절반입니다.

BD에 평행한 점 C를 통해 선 CF를 그리고 CF와 교차할 때까지 선 AD를 연장합니다.

사변형 BCFD는 평행사변형입니다(사다리꼴의 밑변인 BC∥ DF, 구성에 의한 BD∥ CF). 따라서 CF=BD, DF=BC 및 AF=AD+BC입니다.

삼각형 ACF는 직각입니다(선이 두 평행선 중 하나에 수직이면 다른 선에도 수직입니다). 이등변 사다리꼴의 대각선은 동일하고 CF=BD이므로 CF=AC, 즉 삼각형 ACF는 밑변 AF가 있는 이등변입니다. 따라서 높이 CN도 중앙값입니다. 그리고 빗변에 그려진 직각 삼각형의 중앙값은 그 절반과 같기 때문에,

일반적으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

여기서 h는 사다리꼴의 높이이고 b는 밑변입니다.

2. 이등변 사다리꼴에서 대각선이 수직이면 높이는 정중선과 같습니다.

사다리꼴 m의 중심선은 밑변의 합과 같기 때문에

3. 대각선이 이등변 사다리꼴에서 수직이면 사다리꼴의 면적은 사다리꼴 높이의 제곱(또는 밑변의 반합의 제곱 또는 중간선의 제곱 ).

사다리꼴의 면적은 공식에 의해 발견되기 때문에

수직 대각선을 가진 이등변 사다리꼴의 밑변과 정중선의 합과 높이의 절반은 서로 같습니다.

4. 이등변 사다리꼴의 대각선이 수직이면 대각선의 제곱은 밑변의 제곱의 절반과 같으며 높이의 제곱의 두 배와 정중선의 제곱의 두 배입니다.

볼록 사변형의 면적은 공식을 사용하여 대각선과 그 사이의 각도를 통해 찾을 수 있기 때문에

다시 말하지만, 피타고라스 삼각형 :))) 큰 밑면에서 교차점까지의 큰 대각선 조각이 x로 표시되면 동일한 각도를 가진 직각 삼각형의 명백한 유사성에서 따라옵니다. x / 64 = 36 / x, 따라서 x = 48, 48/64 = 3 / 4, 따라서 밑변, 대각선 및 밑변에 수직인 변으로 형성된 모든 직각 삼각형은 변이 3,4,5인 삼각형과 유사합니다. 유일한 예외는 대각선 조각과 비스듬한면으로 구성된 삼각형이지만 우리는 그것에 관심이 없습니다 :). (분명히, 문제의 유사성은 각도의 또 다른 이름이 지정된 삼각 함수입니다.) 우리는 이미 큰 대각선과 큰 밑변 사이의 각도 탄젠트를 알고 있습니다. 3/4이므로 사인은 3/5입니다. 코사인은 4/5입니다 :)) 즉시 쓸 수 있습니다

답변. 하단은 80, 사다리꼴 높이는 60, 상단은 45입니다. (36*5/4 = 45, 64*5/4 = 80, 100*3/5 = 60)