디오판틴 방정식 푸는 방법. 일부 디오판틴 방정식. 기하학 및 정수론의 대수학 개발에서 Leonhard Euler의 탁월한 역할

선의 디오판틴 방정식

대수학 연구

9학년 학생 MOU "Upshinskaya OOSh"

안토노프 유리

"수영을 배우고 싶다면

과감하게 물에 들어가고 싶으면

문제를 해결하는 방법을 배운 다음 해결하십시오.

디포야

헤드 - Sofronova N.A. .


작업

폭이 3m인 바닥재의 경우 폭 11cm와 13cm의 판자가 있는데 두 가지 크기의 판자가 모두 몇 개 필요합니까?

만약 엑스 - 너비 11cm의 보드 수 및 ~에 - 너비가 13cm인 보드의 수, 다음 방정식을 풀어야 합니다.

11 엑스 + 13 y = 300


방정식 11 x + 13 y \u003d 300의 특징: ▪ 계수 11, 13, 300은 정수입니다. ▪ 미지수의 수가 방정식의 수를 초과합니다. ▪ 이 방정식의 해 x와 y는 정수여야 합니다. 양수

미지수의 수가 방정식의 수를 초과하고 정수 솔루션을 찾아야 하는 정수 계수가 있는 대수 방정식 또는 대수 방정식 시스템을 무한 또는 디오판틴, 그리스 수학자의 이름을 딴 디오판투스 .


디오판틴 방정식의 예

1 . 모든 정수 쌍 찾기

엑스 , 와이 , 사실이다 평등

2 . 방정식을 보여

무한한 수의 솔루션이 있습니다

정수


목적:

알아보려면:

  • 어떤 종류 행동 양식 와 함께 존재하다 ~을 위한 디오판틴 방정식의 해는?

작업:

  • 찾기 및 솔루션 방법 배우기 선의 두 변수의 디오판틴 방정식.
  • 선형 디오판틴 방정식 이론의 가능성을 고려하십시오.

피타고라스 삼중항

  • 정수의 부정 방정식은 Diophantus 이전에도 해결되었습니다. 예를 들어 대수 방정식이 큰 관심을 끌었습니다. 엑스 2 + 와이 2 = 지 2 , 구속력 있는 당사자 엑스 , ~에 , 지 정삼각형. 정수 엑스 , 와이 그리고 지 이 방정식의 해인 를 "피타고라스의 세쌍둥이" .

페르마의 방정식

  • Diophantus의 연구는 프랑스 수학자 Pierre de Fermat의 수학적 연구와도 직접적인 관련이 있습니다. 정수론의 발전에 새로운 물결을 일으킨 것은 페르마의 작업이라고 믿어집니다. 그리고 그의 문제 중 하나는 페르마의 유명한 방정식입니다.

엑스 N +y N =z N


디오판틴 방정식 이론을 통과한 주요 수학자는 한 명도 없습니다.

Fermat, Euler, Lagrange, Gauss, Chebyshev는 이 흥미로운 이론에 지울 수 없는 흔적을 남겼습니다.


1, (카탈라나); ax 2 + bxy + su 2 + dx + ey + f \u003d 0, 여기서 a, b, c, d, e, f는 정수, 즉 합계 불균일 방정식두 개의 미지수(P. Fermat, J. Vallis, L. Euler, J. Lagrange 및 K. Gauss)가 있는 2차 "width="640"

부정 방정식의 예 위대한 수학자들이 풀었다 19세기와 20세기: 엑스 2 − 뉴욕 2 = 1 , 어디 N 정확한 제곱이 아닙니다(Fermat, Pell). 엑스 지 − 와이 티 = 1 , 어디 지 , 티 1, (카탈라나); 오 2 + b.xy + 수 2 + DX + 어이 + 에프 = 0 , 어디 ㅏ , 비 , 와 함께 , 디 , 이자형 , 에프 - 정수, 즉 2개의 미지수(P. Fermat, J. Vallis, L. Euler, J. Lagrange 및 K. Gauss)가 있는 2차 일반 이차 방정식


디오판틴 방정식 20세기에

1900년 국제 수학 대회.

힐베르트의 10번째 문제

몇 가지 미지수와 유리수 정수 계수가 있는 디오판틴 방정식이 주어집니다. 유한한 수의 연산으로 방정식이 유리수에서 풀 수 있는지 여부를 결정할 수 있는 절차를 마련하는 것이 필요합니다.

러시아 수학자 유리 마티야세비치 증명 :

Hilbert의 10번째 문제는 풀 수 없습니다. 필요한 알고리즘이 존재하지 않습니다.


특정 부정 방정식에 대한 모든 전체 솔루션을 찾거나 그러한 방정식의 부재를 증명하는 것이 항상 가능합니까?

  • 정수로 방정식을 푸는 문제는 미지수가 2개 또는 3개인 1차 방정식에 대해서만 완전히 해결되었습니다.
  • 미지수가 2개인 2차 DE는 이미 큰 어려움으로 해결되었습니다.
  • 미지수가 2개 이상인 2차 DE는 다음 방정식과 같은 일부 특별한 경우에만 해결됩니다. 엑스 2 + 와이 2 = 지 2 .
  • 두 번째보다 높은 차수의 DE는 원칙적으로 유한한 수의 솔루션(정수)만 가집니다.
  • 미지수가 두 개 이상인 2차 이상의 방정식의 경우 정수 솔루션의 존재 문제조차 다소 어렵습니다. 예를 들어, 방정식이 다음과 같은지 여부는 알려져 있지 않습니다.

엑스 3 + 와이 3 + 지 3 = 30 적어도 하나의 정수 솔루션.

  • 개별 미분 방정식을 풀기 위해, 때로는 특정 방정식에 대해 새로운 방법을 고안해야 합니다. 분명히 임의의 DE에 대한 솔루션을 찾을 수 있는 알고리즘은 없습니다.

선형 디오판틴 방정식

일반 양식:

두 개의 변수가 있는 LDE:

ㅏ 엑스 + by = c

세 가지 변수가 있는 LDE:

ㅏ 엑스 + by + cz = d


두 개의 미지수가 있는 LDE

두 개의 변수가 있는 LDE:

ㅏ 엑스 + by = c

솔루션:

엑스 = x 0 - bt

~에 = ~에 0 + ~에

동종의:

ㅏ 엑스 + 의해 = 0

솔루션:

엑스 = - bt

~에 = 에


개인 솔루션 찾기

솔루션 방법:

  • 다중 방법.
  • 유클리드 알고리즘의 적용.
  • 반복 방법.
  • 하강법.
  • 나눗셈의 나머지를 고려하는 방법

다중 방법

방정식을 풀다 11 x + 2 y = 69

우리는 69와 같은 합계를 찾고 있습니다. 55 + 14 = 69 방정식의 특정 솔루션

엑스 0 = 5, y 0 = 7


유클리드 알고리즘의 적용

방정식을 풀다 4 x + 7 y = 16

  • Euclid 알고리즘을 사용하여 숫자 4와 7의 gcd를 구해 보겠습니다. gcd(4,7) = 1
  • 숫자를 표현해보자 1 계수를 통해 ㅏ = 4 및 비 =7 GCD 선형 확장 정리 사용:

GCD( ㅏ, 비 ) = au+bv .

  • 우리는 다음을 얻습니다: 1 = 4 ∙ 2 + 7 ∙ (-1) 유 = 2, v = -1
  • 방정식의 특정 솔루션: 엑스 0 = 2 ∙ 16 = 32,

~에 0 = -1 ∙ 16 = -16


열거 방법

방정식을 풀다 7 x + 12 y = 100

  • 7x + 12y = 100
  • 7x \u003d 100 - 12y
  • 100 - 12년 7의 배수

방정식의 특정 솔루션: 엑스 0 = 4, y 0 = 6

100-12u


방출 방법: 3x+8y=60

표현하다

변하기 쉬운 엑스

~을 통해 ~에

표현하다

변하기 쉬운 엑스

~을 통해 티

대답:

시험:


나눗셈의 나머지를 고려하는 방법

  • 정수로 방정식 풀기 3x - 4y \u003d 1
  • 3 x = 4 y + 1
  • 방정식의 좌변은 3으로 나누어 떨어지므로 우변은 3으로 나누어야 합니다. 3으로 나누면 나머지가 0, 1, 2가 될 수 있습니다.
  • 3가지 경우를 생각해보자.

3x = 4 ∙ 3p + 1 = 12p + 1

y=3p+1

3으로 나누어 떨어지지 않음

3x = 4 ∙ (3p + 1) +1 = 12p + 3

y=3p+2

3으로 나누어 떨어지지 않음

3 x = 4 ∙ (3p + 2) +1 = 12p + 9

3x=3(4p+3)

x = 4p + 3

대답:

3으로 나눌 수 있음

x = 4p + 3 ; y=3p+2


LDE 이론의 가능성 방정식의 모든 정수 솔루션 찾기 엑스 2 + 5년 2 + 34z 2 + 2xy - 10xz - 22uz =0


프로젝트는 나에게 무엇을 주었습니까?

  • 연구 프로젝트 작업에 대한 통찰력을 얻었습니다.
  • 그는 Diophantine 방정식 개발의 역사와 Diophantus의 전기에 대해 알게되었습니다.
  • 미지수가 2개와 3개인 LDE를 푸는 방법을 연구했습니다.
  • 실용적인 성격의 문제 그룹을 해결하고 올림피아드, 기본 학교 과정 시험에서도 발생합니다.
  • 비표준 문제를 해결하는 기술을 습득했습니다.

앞으로도 계속해서 디오판틴 2급 방정식과 그 풀이 방법을 공부할 생각입니다.

사용된 소스 목록

  • 개념, 정의 및 용어의 수학. 1 부. 교사를 위한 안내입니다. 에드. L.V. 사비니나. M., "계몽", 1978. -320 p. (수학 교사의 도서관.) 표제 책의 뒷면: O.V. Manturov, Yu.K. Solntsev, Yu.I. Sorokin, N.G. Fedin.
  • 나기빈 F.F., 카닌 E.S. 수학 상자: 학생 안내서. – 4판, 수정됨. 그리고 추가 - M.: 계몽, 1984. - 160년대., 병.
  • N.P. 투치닌. 질문하는 방법? (학생의 수학적 창의성에 관하여): 학생을 위한 책. - M .: 교육, 1993. - 192 p., 병.
  • S.N.Olekhnik, Yu.V.Nesterenko, M.K.Potapov 고대 오락 문제. –M.: Bustard, 2002. -176s., ill.
  • Ya.I. Perelman. 재미있는 대수학. - M.: Nauka, 1975. - 200대., 병.
  • 선거 자원: http :// www.yugzone.ru /엑스/ diofant-i-diofantovy-uravneniya / I.G. Bashmakova "디오판틴과 디오판틴 방정식".
  • 선거 자원: http :// www.goldenmuseum.com /1612Hilbert_eng.html Hilbert의 10번째 문제: 수학적 발견의 역사(Diophantus, Fermat, Hilbert, Julia Robinson, Nikolai Vorobyov, Yuri Matiyasevich).
  • 선거 자료: http://ru.wikipedia.org/wiki/ 디오판틴 방정식.
  • 선거 자원: http :// 혁명.allbest.ru / 수학 /d00013924.html Belov Denis Vladimirovich 선형 디오판틴 방정식.
  • 선거 자원: http :// 혁명.allbest.ru / 수학 /d00063111.html 선형 디오판틴 방정식
  • 선거 자원: http //portfolio.1september.ru/work.php?id=570768 쥬류키나 올가. 정수 또는 디오판틴 방정식의 부정 방정식.
  • 선거 자원: http //portfolio.1september.ru/work.php?id=561773 아라포프 알렉산더. 디오판투스와 그의 방정식.
  • 선거 자원: http :// ko.wikipedia.org / 위키 / 유클리드 알고리즘.

러시아 연방 교육 과학부

고등의 주립 교육 기관

직업 교육

"토볼스크 주립 사회 및 교육 아카데미

그들을. 디. 멘델레예프"

TIMOM 수학과

일부 디오판틴 방정식

코스 작업

FMF 3학년 학생

마타예프 예브게니 빅토로비치

과학 고문:

물리 및 수학 과학 A.I. Valitskas 후보자

등급: ____________

토볼스크 - 2011

소개……………………………………………………………………........2

§ 1. 선형 디오판틴 방정식 ...........................................................................3

§ 2. 디오판틴 방정식엑스 2 – 와이 2 = ㅏ………………………………….....9

§ 3. 디오판틴 방정식엑스 2 + 와이 2 = ㅏ…………………………………... 12

§ 4. 방정식 x 2 + x + 1 = 3년 2 …………………………………………….. 16

§ 5. 피타고라스식 트리플 ........................................................................................... 19

§ 6. 페르마의 마지막 정리 ........................................................................................... 23

결론...........................................................................................................................29

서지...........………………………………………………..30

소개

디오판틴 방정식은 다음 형식의 방정식입니다. 피(엑스 1 , … , 엑스 N ) = 0 , 여기서 왼쪽은 변수의 다항식입니다. 엑스 1 , … , 엑스 N정수 계수로. 모든 주문 세트 (유 1 ; … ; 유 N ) 속성이 있는 정수 피(유 1 , … , 유 N ) = 0 디오판틴 방정식의 (부분) 해라고 합니다. 피(엑스 1 , … , 엑스 N ) = 0 . 디오판틴 방정식을 푸는 것은 모든 해를 찾는 것을 의미합니다. 이 방정식의 일반적인 해.

우리의 목표는 이러한 솔루션을 사용할 수 있는 경우 일부 디오판틴 방정식에 대한 솔루션을 찾는 방법을 배우는 것입니다.

이렇게 하려면 다음 질문에 답해야 합니다.

ㅏ. Diophantine 방정식에는 항상 솔루션이 있습니까? 솔루션의 존재 조건을 찾으십시오.

비. 디오판틴 방정식의 해를 찾을 수 있는 알고리즘이 있습니까?

예: 1.디오판틴 방정식 5 엑스 – 1 = 0 솔루션이 없습니다.

2. 디오판틴 방정식 5 엑스 – 10 = 0 솔루션이 있습니다 엑스 = 2 , 유일한 것입니다.

3. 방정식 인 엑스 – 8 엑스 2 = 0 디오판틴이 아니다.

4. 종종 형식의 방정식 피(엑스 1 , … , 엑스 N ) = 큐(엑스 1 , … , 엑스 N ) , 어디 피(엑스 1 , … , 엑스 N ) , 큐(엑스 1 , … , 엑스 N ) 디오판틴이라고도 하는 정수 계수가 있는 다항식입니다. 그들은 형식으로 작성할 수 있습니다 피(엑스 1 , … , 엑스 N ) – 큐(엑스 1 , … , 엑스 N ) = 0 , 이것은 디오판틴 방정식의 표준입니다.

5. 엑스 2 – 와이 2 = ㅏ임의의 정수 a에 대해 두 개의 미지수 x와 y를 갖는 2차 디오판틴 방정식입니다. 에 대한 솔루션이 있습니다. ㅏ = 1 에 대한 솔루션이 없습니다. ㅏ = 2 .

§ 1. 선형 디오판틴 방정식

허락하다 ㅏ 1 , … , ㅏ N , 와 함께지 . 유형 방정식 ㅏ 1 엑스 1 + ... + 에이 N 엑스 N = c계수가 있는 선형 디오판틴 방정식이라고 합니다. ㅏ 1 , … , ㅏ N , 오른쪽 c 및 알 수 없음 엑스 1 , … , x N . 선형 디오판틴 방정식의 우변 c가 0이면 그러한 디오판틴 방정식을 동종이라고 합니다.

우리의 즉각적인 목표는 두 개의 미지수에서 선형 디오판틴 방정식의 특정 및 일반 솔루션을 찾는 방법을 배우는 것입니다. 분명히, 모든 동질 디오판틴 방정식은 ㅏ 1 엑스 1 + ... + 에이 N 엑스 N = 0 항상 특정 솔루션이 있습니다 (0; … ; 0).

모든 계수가 0인 선형 디오판틴 방정식은 우변이 0인 경우에만 해가 있음이 분명합니다. 일반적으로 다음이 있습니다.

정리(선형 디오판틴 방정식에 대한 솔루션의 존재).선형 디오판틴 방정식 ㅏ 1 엑스 1 + ... + 에이 N 엑스 N = c, 계수가 모두 0이 아닌 경우에만 솔루션이 있습니다. GCD( 1 , … , ㅏ N ) | 씨.

증거.조건의 필요성은 분명합니다. GCD( 1 , … , ㅏ N ) | ㅏ 나 (1 나 N) , 그래서 GCD( 1 , … , ㅏ N ) | (ㅏ 1 엑스 1 + … + ㅏ N 엑스 N ) , 즉 나눕니다.

씨 = ㅏ 1 엑스 1 + … + ㅏ N 엑스 N .

허락하다 디= gcd(ㅏ 1 , … , ㅏ N ) , c =Dt 그리고 ㅏ 1 유 1 + ... + 에이 N 유 N = 디 – 숫자의 최대공약수의 선형 확장 ㅏ 1 , … , ㅏ N. 양변에 곱하기 티, 우리는 얻는다 ㅏ 1 (유 1 티) + ... + 에이 N (유 N 티) = Dt = 씨, 즉. 정수

N-카 (엑스 1 티; … ; 엑스 N 티)는 다음과 같은 원래 방정식의 해입니다. N알려지지 않은.

정리가 증명되었습니다.

이 정리는 선형 디오판틴 방정식에 대한 특정 솔루션을 찾기 위한 건설적인 알고리즘을 제공합니다.

예: 1.선형 디오판틴 방정식 12x+21y=5때문에 해결책이 없다 gcd(12, 21) = 3나누지 않는다 5 .

2. 디오판틴 방정식의 특정 해 찾기 12x+21y = 6.

분명히 지금 gcd(12, 21) = 3 | 6, 그래서 솔루션이 존재합니다. 우리는 선형 확장을 씁니다. gcd(12, 21) = 3 = 122 + 21(–1). 따라서 부부 (2; –1) 는 방정식의 특정 솔루션입니다. 12x+21y = 3, 그리고 커플 (4; –2) 원래 방정식의 특정 솔루션입니다. 12x+21y = 6.

3. 선형 방정식에 대한 특정 솔루션 찾기 12x + 21y - 2z = 5.

왜냐하면 (12, 21, –2) = ((12, 21), –2) = (3, –2) = 1 | 5 , 그러면 솔루션이 존재합니다. 정리의 증명에 따라 우리는 먼저 방정식의 해를 찾습니다. (12.21)x–2y=5, 그런 다음 이전 문제에서 최대 공약수의 선형 확장을 대입하여 원래 방정식의 해를 얻습니다.

방정식을 풀려면 3x - 2y = 5선형 확장을 기록 gcd(3, -2) = 1 = 31 - 21확실히. 그래서 몇 가지 숫자 (1; 1) 는 방정식의 해입니다. 3 엑스 – 2 와이 = 1 , 그리고 커플 (5; 5) 디오판틴 방정식의 특정 해입니다. 3x - 2y = 5.

그래서, (12, 21)5 – 25 = 5 . 이전에 발견된 선형 확장을 여기에 대입 (12, 21) = 3 = 122 + 21(–1) , 우리는 얻는다 (122+21(–1))5 – 25 = 5 , 또는 1210 + 21(–5) – 25 = 5 , 즉. 정수의 삼중항 (10; –5; 5) 원래 디오판틴 방정식의 특정 솔루션입니다. 12x + 21y - 2z = 5.

정리(선형 디오판틴 방정식의 일반 솔루션 구조).선형 디오판틴 방정식의 경우 ㅏ 1 엑스 1 + ... + 에이 N 엑스 N = c다음 진술은 사실입니다.

(1) 만약 = (유 1 ; … ; 유 N ), = (v 1 ; … ; V N ) 특정 솔루션은 다음과 같습니다. (유 1 -V 1 ; … ; 유 N -V N ) 대응하는 동차 방정식의 특정 해입니다. ㅏ 1 엑스 1 + ... + 에이 N 엑스 N = 0 ,

(2) 선형 디오판틴 균질 방정식의 특정 해 세트 ㅏ 1 엑스 1 + ... + 에이 N 엑스 N = 0 정수에 의한 더하기, 빼기 및 곱하기 아래에서 닫힙니다.

(3) 만약 중주어진 선형 디오판틴 방정식의 일반 솔루션이며, 엘해당하는 동질 디오판틴 방정식의 일반 솔루션이며, 특정 솔루션에 대해 = (유 1 ; … ; 유 N ) 원래 방정식의 평등 남 = +L .

증거.평등 빼기 ㅏ 1 V 1 + … + ㅏ N V N = 씨 평등에서 ㅏ 1 유 1 + … +a N 유 N = c, 우리는 얻는다 ㅏ 1 (유 1 -V 1 ) + ... + 에이 N (유 N -V N ) = 0 , 즉 집합

(유 1 -V 1 ; … ; 유 N -V N ) 선형 균질 디오판틴 방정식의 특정 해입니다. ㅏ 1 엑스 1 + ... + 에이 N 엑스 N = 0 . 따라서 다음이 입증되었습니다.

= (유 1 ; … ; 유 N ), = (v 1 ; … ; V N ) 중엘 .

이것은 주장 (1)을 증명합니다.

진술 (2)는 유사하게 증명된다:

, 엘 지 지 엘 지 엘 .

(3)을 증명하기 위해 우리는 먼저 M+L. 이것은 이전 것에서 다음과 같습니다. M+L .

반대로 만약 = (나는 1 ; … ; 엘 N ) L 및 = (유 1 ; … ; 유 N ) 중, 다음 M:

ㅏ 1 (유 1 +l 1 )+ …+아 N (유 N +l N ) = (아 1 유 1 + ... + 에이 N 유 N )+(아 1 엘 1 + ... + 에이 N 엘 N ) = c + 0 = c.

이런 식으로, + 패중, 그리고 결국 남 = +L .

정리가 증명되었습니다.

증명된 정리는 기하학적 의미가 분명합니다. 선형 방정식을 고려하면 ㅏ 1 엑스 1 + ... + 에이 N 엑스 N = c, 어디 엑스 나 아르 자형, 기하학에서 알 수 있듯이 공간에서 결정합니다. 아르 자형 N평면에서 얻은 초평면 엘 동차 방정식으로 ㅏ 1 엑스 1 + … +아 N 엑스 N =0 어떤 벡터만큼 이동하여 좌표의 원점을 통과 아르 자형 N. 표면 보기 + 엘가이드 공간이 있는 선형 매니폴드라고도 함 엘및 시프트 벡터 . 따라서 일반적인 솔루션은 다음과 같이 증명됩니다. 중디오판틴 방정식 ㅏ 1 엑스 1 + ... + 에이 N 엑스 N = c정수 좌표를 갖는 선형 다양체의 모든 점으로 구성됩니다. 이 경우 시프트 벡터의 좌표도 정수이고 집합 엘균질 디오판틴 방정식의 해 ㅏ 1 엑스 1 + ... + 에이 N 엑스 N = 0 정수 좌표를 가진 안내 공간의 모든 점으로 구성됩니다. 이러한 이유로 임의의 디오판틴 방정식의 해 세트는 시프트 벡터가 있는 선형 다양체를 형성한다고 종종 말합니다. 그리고 선두 공간 엘.

예시:디오판틴 방정식의 경우 x - y \u003d 1공통의 결정 중형태가 있다 (1+y; y), 여기서 y지, 특정 솔루션 = (1; 0) , 그리고 일반적인 솔루션 엘균질 방정식 x – y = 0형식으로 작성됩니다 (야; 야), 어디 ~에지. 따라서 원래 Diophantine 방정식과 해당하는 균일 Diophantine 방정식의 해가 선형 다양체에서 두꺼운 점으로 표시되는 다음 그림을 그릴 수 있습니다. 중그리고 공간 엘각기.

2. 디오판틴 방정식의 일반 솔루션 찾기 12x + 21y - 2z = 5.

개인 결정 (10; –5; 5) 이 방정식은 더 일찍 발견되었으며, 동차 방정식의 일반 솔루션을 찾습니다. 12x + 21y - 2z = 0, 디오판틴 방정식과 동일 12 엑스 + 21 와이 = 2 지.

이 방정식을 풀 수 있으려면 다음 조건이 필요하고 충분합니다. gcd(12, 21) = 3 | 2z,저것들. 3 | 지또는 z = 3t일부 정수에 대해 티. 두 부분을 모두 축소 3 , 우리는 얻는다 4x + 7y = 2t. 디오판틴 방정식의 특정 해(2; -1) 4x+7y= 1 이전 예에서 찾았습니다. 그렇기 때문에 (4t ; -2t)는 방정식의 특정 솔루션입니다. 4x + 7y = 2t어떠한 것도

티 지. 해당 동차 방정식의 일반 솔루션

(7 유 ; –4 유) 이미 찾았습니다. 따라서 방정식의 일반 솔루션은 4x + 7y = 2t다음과 같이 보입니다. (4t + 7유; -2t - 4유) , 및 동차 방정식의 일반 솔루션 12x + 21y - 2z = 0다음과 같이 작성됩니다.

(4t + 7유; -2t - 4유; 3t).

이 결과가 균질 디오판틴 방정식의 해에 대한 증거 없이 위에서 언급한 정리와 일치함을 확인하는 것은 쉽습니다. ㅏ 1 엑스 1 + ... + 에이 N 엑스 N = 0 : 만약에 피 = ,그 다음에 아르 자형그리고

(유; 티) 피고려된 동차 방정식의 일반 솔루션입니다.

따라서 디오판틴 방정식의 일반 솔루션은 12x + 21y - 2z = 5다음과 같이 보입니다. (10 + 4t + 7유; –5 – 2t – 4유; 5+3t).

3. 이전 방정식의 예에서 우리는 계수 모듈의 최대값을 연속적으로 줄이는 것으로 구성된 많은 미지수에서 디오판틴 방정식을 푸는 또 다른 방법을 설명합니다.

12x + 21y - 2z = 5 12x + (102 + 1)y - 2z = 5

12x + y - 2(z - 10y) = 5

따라서 고려된 방정식의 일반 솔루션은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. (x; 5 - 12x + 2u; 50 - 120x + 21u), 어디 엑스, 유임의의 정수 매개변수입니다.

§ 2. 디오판틴 방정식엑스 2 – 와이 2 = ㅏ

예: 1.~에 ㅏ = 0 우리는 무한한 수의 솔루션을 얻습니다. 엑스 = 와이또는 엑스 = – 와이누구에게나 와이 지.

2. ~에 ㅏ = 1 우리는 엑스 2 – 와이 2 = 1 (엑스 + 와이)(엑스 – 와이) = 1 . 따라서 숫자 1은 두 정수 인수의 곱으로 분해됩니다. 엑스 + 와이그리고 엑스 – 와이(중요, 그 엑스, 와이- 전부의!). 번호 때문에 1 정수 인수의 곱으로 단 두 번의 확장 1 = 11 그리고 1 = (–1)(–1) , 우리는 두 가지 가능성을 얻습니다. .

3. 을 위한 ㅏ = 2 우리는 엑스 2 – 와이 2 = 2 (엑스 + 와이)(엑스 – 와이) = 2. 이전과 유사하게 진행하여 확장을 고려합니다.

2=12=21=(–1)(–2)=(–2)(–1), 우리는 시스템을 구성합니다:, 이전 예와 달리 솔루션이 없습니다. 따라서 고려된 디오판틴 방정식에 대한 솔루션이 없습니다. 엑스 2 – 와이 2 = 2.

4. 이전 고려 사항은 몇 가지 결론으로 ​​이어집니다. 방정식 솔루션 엑스 2 – 와이 2 = ㅏ 분해 중 ㅏ = km시스템에서 정수의 곱으로 . 이 시스템은 다음과 같은 경우에만 전체 솔루션을 제공합니다. 케이 + 중 그리고 케이 – 중 짝수, 즉 언제 숫자 케이 그리고 중 동일한 패리티(동시에 짝수 또는 홀수). 따라서 Diophantine 방정식 x 2 – y 2 = a는 a가 동일한 패리티의 두 정수 인수의 곱으로 확장될 수 있는 경우에만 솔루션을 갖습니다. 그러한 모든 것을 찾는 것만 남아 있습니다.

정리 (방정식에엑스 2 – 와이 2 = ㅏ ). (1) 방정식 엑스 2 – 와이 2 = 0 무한한 수의 솔루션이 있습니다 .

(2) 방정식의 모든 해는 다음과 같이 얻어진다. , 어디 ㅏ = km동일한 패리티의 두 정수 인수의 곱으로 숫자를 분해하는 것입니다.

(3) 방정식 엑스 2 – 와이 2 = ㅏ다음 경우에만 솔루션이 있습니다. ㅏ 2 (모드 4).

증거.(1) 이미 증명되었습니다.

(2) 이미 증명되었습니다.

(3) () 먼저 디오판틴 방정식을 보자 엑스 2 – 와이 2 = ㅏ 솔루션이 있습니다. 그것을 증명하자 ㅏ 2 (모드 4) . 만약 ㅏ = km 동일한 패리티의 정수 곱으로 확장한 다음 짝수에 대해 케이그리고 중우리는 케이 = 2 엘, 중 = 2 N그리고 ㅏ = km = 4 인 0 (모드 4) . 이상한 경우 케이, 중그들의 일 ㅏ또한 이상한, 차이 ㅏ – 2 이상하고 나눌 수 없는 4 , 즉. 다시

ㅏ 2 (모드 4).

() 지금이라면 ㅏ 2 (모드 4) , 그러면 방정식에 대한 솔루션을 구성할 수 있습니다. 엑스 2 – 와이 2 = ㅏ. 사실 이상하다면 ㅏ = 1 ㅏ홀수 정수의 곱 분해이므로 디오판틴 방정식의 해입니다. 짝수이면 고려하여 ㅏ 2 (모드 4) 우리는 그것을 얻는다 4 | ㅏ, ㅏ = 4 비 = 2(2 비) 는 짝수 정수의 곱 분해이므로 디오판틴 방정식의 해입니다.

정리가 증명되었습니다.

예: 1.디오판틴 방정식 엑스 2 – 와이 2 = 2012 솔루션이 없기 때문에 2010 = 4502 + 2 2 (모드 4).

2. 디오판틴 방정식 엑스 2 – 와이 2 = 2011 솔루션이 있기 때문에

2011 3 (모드 4). 우리는 명백한 확장이 있습니다

2011 = 12011 = 20111 = (–1)(–2011) = (–2011)(–1),

각각의 솔루션에 대해 (모든 문자 조합). 다른 해결책이 없기 때문에 숫자 2011 단순한 (?!).

§ 3. 디오판틴 방정식엑스 2 + 와이 2 = ㅏ

예: 1. 0 = 0 2 + 0 2 , 1 = 0 2 + 1 2 , 케이 2 = 0 2 + 케이 2 . 따라서 모든 제곱은 두 제곱의 합으로 간단하게 표현할 수 있습니다.

2. 2 = 1 2 + 1 2 , 5 = 1 2 + 2 2 , 8 = 2 2 + 2 2 , 10 = 1 2 + 3 2 , 13 = 2 2 + 3 2 , 17 = 1 2 + 4 2 , 18 = 3 2 + 3 2 , 20 = 2 2 + 4 2 , …

3. 에 대한 솔루션 없음 ㅏ = 3, 6 = 23, 7, 11, 12 = 2 2 3, 14 = 27, 15 = 35, 19, 21 = 37, 22 = 211, 23, 24 = 32 3 , …

위 결과의 분석은 솔루션의 부재가 형식의 소수와 어떻게든 연결되어 있음을 시사할 수 있습니다.

4 N+3 두 제곱의 합으로 나타낼 수 없는 숫자의 인수분해에 존재합니다.

정리(두 제곱의 합에 의한 자연수 표현).자연수는 정규 확장에서 다음 형식의 소수인 경우에만 두 제곱의 합으로 나타낼 수 있습니다. 4 N + 3 심지어 지수가 있습니다.

증거.먼저 자연수가 두 제곱의 합으로 표현될 수 있다면 정규 확장에서 다음 형식의 모든 소수를 증명합니다. 4 N + 3 지수가 짝수여야 합니다. 증명된 내용과 달리 다음과 같이 가정합니다. ㅏ= 피 2 케이 +1 비 = 엑스 2 + 와이 2 , 어디

R -형식의 소수 4 N+3 그리고 비 피. 숫자를 상상하다 엑스그리고 ~에~처럼

x =디즈, 와이 = Dt, 어디디= gcd(엑스, 와이) = 피 에스 승, 피 승; 지, 티, 에스 N 0 . 그러면 우리는 평등을 얻는다. 아르 자형 2 케이 +1 비 = 디 2 (지 2 + 티 2 ) = 피 2 에스 승 2 (지 2 + 티 2 ) , 즉. 아르 자형 2( 케이 – 에스 )+1 비 = 승 2 (지 2 + 티 2 ) . 등식의 왼쪽에 p가 있습니다(홀수 거듭제곱은 0과 같지 않음). 이는 오른쪽에 있는 요인 중 하나가 소수 p로 나눌 수 있음을 의미합니다. 왜냐하면 피 승, 그 다음에 피 | (지 2 + 티 2 ) , 여기서 숫자 지, 티 서로 간단합니다. 이것은 다음 보조 정리(?!)와 모순됩니다.

보조정리(두 제곱의 합을 다음 형식의 소수로 나눌 수 있음)

4 N + 3 ). 소수인 경우 피 = 4N+3 두 자연수의 제곱의 합을 나눈 다음 각 수를 나눕니다.

증거.반대로. 허락하다 엑스 2 + 와이 2 0(모드 피) , 하지만 엑스0(모드 피) 또는 와이 0 (모드 피) . 왜냐하면 엑스그리고 와이대칭형이므로 서로 교환할 수 있으므로 다음과 같이 가정할 수 있습니다. 엑스 피.

보조 정리(가역성 모듈로피 ). 임의의 정수에 대해 엑스, 소수로 나눌 수 없음 피, 역 요소 모듈로가 있습니다. 피 – 그러한 정수 1 유 < 피, 무엇 xi 1 (모드 피).

증거.숫자 엑스와 동감하다 피, 그래서 우리는 선형 확장을 쓸 수 있습니다 GCD(엑스, 피) = 1 = xi + PV (유, V 지) . 그것은 분명하다 xi1(모드) , 즉. 유- 역 요소 엑스모듈로 피. 만약 유제약 조건을 충족하지 않습니다 1 유 < 피, 다음 나누기 유나머지를 켜고 피, 우리는 나머지를 얻습니다 아르 자형 유 (모드 피) , 무엇을 위해 xr xi 1 (모드 피) 그리고 0 아르 자형 < 피.

모듈로 가역성 보조 정리 피입증되었습니다.

곱셈 비교 엑스 2 + 와이 2 0 (모드 피) 평방 당 유 2 역 요소 엑스모듈로 피, 우리는 얻는다 0 = 0u 2 엑스 2 유 2 +y 2 유 2 = (슈) 2 + (유) 2 1+t 2 (모드 p).

그래서 티 = 유비교 완료 티 2 –1 (모드 피) , 우리는 모순을 가져옵니다. 그것은 분명하다 티 피: 그렇지 않으면 티 0 (모드 피) 그리고 0 티 2 –1 (모드 피) , 불가능합니다. 페르마의 정리에 의해 우리는 티 피 –1 1 (모드 피)와 함께 티 2 –1 (모드 피) 그리고 피 = 4 N + 3은 모순으로 이어진다.

1t p–1 = 티 4n+3–1 = 티 2(2n+1) = (티 2 ) 2n+1 (–1) 2n+1 = -1(modp).

얻어진 모순은 에 대한 가정이 엑스 0 (모드 피) 정확하지 않았습니다.

두 제곱의 합을 소수로 나누는 것에 대한 보조정리 4 N+3 입증되었습니다.

따라서 정규 분해가 소수를 포함하는 숫자가 다음과 같이 증명됩니다. 피 = 4 N + 3 홀수 거듭제곱으로 두 제곱의 합으로 나타낼 수 없습니다.

이제 정규 확장에서 소수가 소수임을 증명합시다. 피 = 4 N + 3 두 제곱의 합으로 나타낼 수 있는 짝수 거듭제곱에만 참여합니다.

증명의 아이디어는 다음과 같은 정체성을 기반으로 합니다.

(ㅏ 2 +b 2 )(씨 2 +d 2 ) = (ac – bd) 2 + (광고 + BC) 2 ,

이는 잘 알려진 복소수 모듈러스의 속성에서 얻을 수 있습니다. 제품의 모듈러스는 모듈의 제품과 같습니다. 진짜,

| 지|| 티| = | zt| | ㅏ + 바이|| 씨 + 디| = |(ㅏ + 바이)(씨 + 디)|

|아+비| 2 |c + 디| 2 = |(ac – bd) + (광고 + BC)i| 2

(ㅏ 2 +b 2 )(씨 2 +d 2 ) = (ac – bd) 2 + (광고 + BC) 2 .

이 항등식에서 두 숫자 u, v는 두 제곱의 합으로 나타낼 수 있습니다. 유 = 엑스 2 + 와이 2 , V = 지 2 + 티 2 , 그리고 그들의 곱 uv는 또한 두 제곱의 합으로 표현될 수 있습니다: 자외선 = (xz – yt) 2 + (xt + yz) 2 .

어느 자연수 ㅏ > 1 형태로 쓸 수 있다 ㅏ= 피 1 … 르 케이 중 2 , 어디 아르 자형 나쌍으로 구별되는 소수이며, 중 N . 이렇게 하려면 표준 분해를 찾는 것으로 충분합니다. , 양식의 각 정도를 기록하십시오 아르 자형정사각형 형태로 (아르 자형) 2 짝수를 위해 = 2, 또는 형식으로 아르 자형 = 아르 자형(아르 자형) 2 이상한 = 2 + 1 , 그런 다음 정사각형과 나머지 단일 소수를 별도로 그룹화합니다. 예를 들어,

29250 = 23 2 5 3 13 = 2513(35) 2 , 중 = 15.

숫자 중 2 두 제곱의 합으로 사소한 표현이 있습니다. 중 2 = 0 2 + 중 2 . 모든 소수의 두 제곱의 합으로 표현 가능성을 증명하면 아르 자형 나 (1 나 케이) , 그런 다음 ID를 사용하여 숫자 a의 표현도 얻을 수 있습니다. 조건에 따라 숫자 중 아르 자형 1 , … , R 케이 만 만날 수 있습니다 2 = 1 2 + 1 2 및 형식의 소수 4 N + 1 . 따라서 소수의 두 제곱의 합으로 표현하는 것이 남아 있습니다. p = 4m + 1. 우리는 이 진술을 별도의 정리로 분리합니다(아래 참조)

예를 들어, ㅏ = 29250 = 2513(15) 2 연속적으로 우리는 다음을 얻습니다.

2 = 1 2 + 1 2 , 5 = 1 2 + 2 2 , 13 = 2 2 + 3 2 ,

25 = (11 – 12) 2 + (12 + 11) 2 = 1 2 + 3 2 ,

2513 = (12 – 33) 2 + (13 + 32) 2 = 7 2 + 9 2 ,

29250 = 2513(15) 2 = (715) 2 + (915) 2 = 105 2 + 135 2 .

정리가 증명되었습니다.

§ 4. 방정식x + x + 1 = 3년

이제 방정식을 다루자 x+x+1=주.이미 역사가 있습니다. 1950년에 R. Oblat은 다음과 같이 제안했습니다.

엑스=y=1. 자연수에는 다른 해가 없습니다. x, y여기서 x는 홀수입니다. 같은 해에 T. Nagel은 해결책을 지적했습니다. 엑스= 313, y = 181.방정식에 대해 위의 것과 유사한 방법 x+x-2y=0, 방정식의 모든 솔루션을 결정할 수 있습니다. 엑스+x+1=3년 (1)

자연수 엑스, 에.그런 척 하자 (x, y)는 자연수에서 방정식 (1)의 해이고, x > 1. 방정식 (18)에는 자연수의 해가 없음을 쉽게 알 수 있습니다. 엑스, 요, 어디 x = 2, 3. 4, 5, 6, 7, 8, 9;그래서 그것은해야합니다 x10.

그것을 보여줍시다 12년<7 엑스+3, 7년>4엑스+ 2. 4세 > 2엑스+1 . (2)

만약 그랬다면 12년> 7x+3, 우리는해야 144년> 49 엑스+42 엑스+9 . (18)에 비추어 볼 때, 144년= 48엑스+ 48 엑스 + 48 , 그러면 될 것입니다 엑스< 6 엑스 +3 9, 어디에서

(x-z)< 48 따라서 엑스> 10, 7 < 148 , 불가능합니다. 따라서 첫 번째 부등식 (2)가 증명됩니다.

만약 그랬다면 7년< 4 엑스+2 , 우리는해야 49년< 16 엑스+ 16 엑스+4 , 그리고 (1)의 관점에서, 16 엑스+ 16 엑스+ 16 = 48년, 그러면 될 것입니다 49년< 48u- 12, 불가능합니다. 따라서 부등식 (2) 중 두 번째 부등식에서 세 번째 부등식이 바로 이어집니다. 따라서 부등식 (2)는 참입니다.

이제 넣어보자

승\u003d 7x - 12y + 3,시간 = -4 엑스+ 7u-2. (3)

(2)를 기반으로 우리는 다음을 찾습니다. 승 > 0 , 시간 > 0 그리고 엑스 -승=3(4 와이-2 엑스-1)>0 따라서, 승<х . (3)에 따르면, 우리는 승 2 + 승+1=3 시간 2 따라서 (1)에 비추어 우리는 수락합니다. g(x, y) = (7x - 12y + 3, -4x + 7y -2).

따라서 우리는 모든 솔루션을 기반으로 (x, y)자연수에서 방정식 (1), 여기서 x > 1, 우리는 새로운 솔루션을 얻습니다 (승, 시간) = g(x, y)자연수 방정식 (1) 승, 시간어디 승 < х (따라서 더 작은 자연수의 솔루션). 따라서 위와 같이 행동하면 자연수에서 식 (1)의 각 해에 대해 x, y, 어디 x > 1, 다음과 같은 자연수 n이 있습니다. g(x, y) = (l, 1).

수락한 f(x, y) = (7엑스+12년 + 3, 4엑스+ 7년 + 2), (4) 우리는 그것을 쉽게 찾을 수 있습니다 f(g(x, y)) = (x, y)따라서 (엑스, 와이) = 에프(1,1) 반면에 다음과 같은 경우 쉽게 확인할 수 있습니다. (x, y)자연수에서 방정식 (1)의 해는 다음과 같습니다. 에프(엑스, 와이) 자연수에서 방정식 (1)의 해도 있습니다 (각각, 엑스그리고 ~에).

수락한 x=y=1(x, y) = f(1, 1)~을 위한 N=2,3,…..,

우리는 순서를 얻는다 { 엑스, 와이} ~을 위한 N= 1, 2,….., 자연수로 된 방정식 (1)의 모든 해와 그러한 해만 포함합니다.

여기 우리는 (엑스,와이)= 에프(1,1)= 에프(x, y),따라서 (4)로 인해 우리는

x=7엑스+12년+3,와이=4x+7y+2 (5) (N=1, 2, ...)

모든 솔루션을 일관되게 결정할 수 있는 공식 (x, y)자연수에서 방정식 (1). 이런 식으로 우리는 솔루션을 쉽게 얻을 수 있습니다. (1,1),(22,13),(313,181),.(4366,2521),(60817,35113),..

분명히 이러한 솔루션의 수는 무한합니다. 평등에서

x=y=1(4) 귀납법에 의해 우리는 숫자가 엑스홀수 인덱스는 홀수, 짝수 인덱스는 짝수, 숫자 와이에센스 이상한 N = 1, 2, ... 방정식 (1)의 모든 해를 정수로 얻으려면 x, y, 증명하기 쉽기 때문에 이미 얻은 솔루션을 따릅니다. (x, y)가입하다 (x, -y)그리고 (-x-1,±y)~을 위한 N=1, 2, .. .

예를 들어 여기에 더 많은 솔루션이 있습니다. (-2,1) (-23,13), (-314,181). A. Rotkevich는 자연수에서 방정식 (1)의 모든 해에 대해 x > 1 y는 방정식의 모든 해를 구할 수 있습니다. (z+1)-지=y (6)

자연수 z, y.실제로, 자연수 z, y가 식 (5)를 만족한다고 가정합니다. 퍼팅 x=3z+l, 우리는 확인하기 쉽기 때문에 자연수를 얻습니다. x > 1그리고 ~에식 (1)을 만족시킨다.

반면에 자연수라면 x > 1그리고 ~에식 (1)을 만족하면, 우리는 확인하기 쉽기 때문에, (x-1)= 3(y-x), 여기서 숫자(자연)는 다음과 같습니다. x-1로 나눈 3 , 결과적으로 x-1=3 z, 어디에 지는 자연수이고 평등은 3z=y-엑스=y3지-1 , 이는 숫자가 지그리고 ~에식 (6)을 만족한다. 따라서 솔루션을 기반으로 (22,13),(313,181), (4366,2521) 방정식 (1), 우리는 솔루션을 얻습니다 (7,13),(104,181),(1455,2521) 방정식 (6). 우리는 또한 자연수가 z, y식 (6)을 만족하면 ~에예를 들어 두 개의 연속 제곱의 합입니다. 13=2+3,181=9+10, 2521=35+ 36 . 비슷한 방식으로 방정식 (1)에 대해 이전과 같이 방정식의 모든 솔루션을 찾을 수 있습니다. 엑스+(엑스+1)= 와이자연수 x, y, 복용 x > 3g (x.y) \u003d (3x -2y + 1, 3y - 4x - 2)그리고 엑스> 1 f(x, y) = (3엑스+ 2y+l, 4x + Zu + 2),이는 공식( x, y)에프(3,5) 그리고 자연수 x, y에서 방정식 (6)의 모든 해가 시퀀스에 포함된다는 결론에 도달합니다. { 엑스, 와이} ~을 위한 N= 1, 2,…., 어디 x=3, y=5 및엑스=3 엑스+2 와이+1 . 와이 = 4 엑스+3 와이+2 (N=1, 2, ...). 예를 들어, x \u003d 3 3 + 2 5 + 1 \u003d 20, y \u003d 4 3 + Z 5 + 2 \u003d 29;엑스=119, y=169:엑스=69b, y=985;엑스=4059, y=5741.

고려된 방정식의 기하학적 의미는 다리가 연속적인 자연수로 표현되는 모든 피타고라스 삼각형(자연변이 있는 직사각형)을 제공한다는 것입니다. 이러한 삼각형(*)은 무한히 많습니다.

방정식은 엑스+(엑스+1)= 와이, 자연수에는 해가 없음이 증명되었습니다. x, y.

  • 디오판틴 방정식 풀기 알고리즘
  • 유클리드 알고리즘
    • 예제 #1(단순)
    • 예 #2(하드)
  • 선택하지 않고 숫자 선택에 대한 문제를 해결합니다.
    • 닭, 토끼 및 발에 관한 문제
    • 판매원의 임무와 변화

    • sibms의 리뷰에 따르면, 실제 걸림돌은 학교 과정학생뿐만 아니라 부모를 위한 수학은 디오판틴 방정식이 됩니다. 그것은 무엇이며 올바르게 해결하는 방법은 무엇입니까? Gornostai Educational Center의 수학 교사인 Aelita Bekesheva와 물리 및 수리 과학 후보인 Yury Shanko가 우리가 그것을 알아내는 데 도움을 주었습니다.

    디오판토스는 누구인가?

    고대 이집트인들도 추론의 편의를 위해 알 수 없는 숫자를 나타내는 특별한 단어를 생각해 냈지만 그 당시에는 동작 기호와 등호가 없었기 때문에 방정식을 쓰는 방법을 몰랐습니다.

    방정식을 작성하는 방법을 처음으로 생각해 낸 사람은 알렉산드리아의 훌륭한 과학자 디오판투스였습니다. 알렉산드리아는 위대한 문화, 상업 및 과학 센터고대 세계. 이 도시는 여전히 존재하며 이집트의 지중해 연안에 위치하고 있습니다.

    Diophantus는 분명히 서기 3세기에 살았습니다. 그리고 고대의 마지막 위대한 수학자였습니다. 그의 작품 중 2개는 "산술"(13권 중 6권이 남아 있음)과 "다각형 숫자에 관하여"(발췌)입니다. Diophantus의 작업은 대수학, 수학적 분석 및 정수론의 발전에 큰 영향을 미쳤습니다.

    하지만 당신은 디오판틴 방정식에 대해 뭔가를 알고 있습니다 ...

    모두 디오판틴 방정식을 알고 있습니다! 선택하여 푸는 초등학생용 퍼즐입니다.

    ” 예를 들어 "얼마나 다른 방법들코펙과 5코펙 동전만 있으면 아이스크림 96코펙 값을 지불할 수 있습니까?”

    디오판틴 방정식을 주면 일반 정의, 그러면 이것이 추가 조건이 있는 대수 방정식이라고 말할 수 있습니다. 모든 솔루션은 정수여야 합니다(일반적인 경우에는 합리적이어야 함).

    ” 종종 어머니(특히 개발된 사회주의 하에서 학교를 졸업한 사람들)는 그러한 작업의 주요 목표가 아이들에게 아이스크림 값을 지불하도록 가르치는 것이라고 믿습니다. 그래서 작은 물건을 쌓아두는 것이 과거의 일이라고 진심으로 확신했을 때, 좋아하는 7학년(또는 8학년)은 예상치 못한 질문을 던집니다. “엄마, 이거 어떻게 풀어요?” 두 개의 변수가 있는 방정식. 이전에는 학교 과정에 그런 문제가 없었습니다(변수가 있는 만큼 방정식이 있어야 한다는 것을 모두 기억합니다). 그래서 수학자가 아닌 어머니는 종종 혼미에 빠집니다. 그러나 이것은 변화와 아이스크림에 관한 동일한 문제입니다. 일반보기!

    그건 그렇고, 그들은 왜 갑자기 7 학년 그녀에게 돌아 오는 것입니까? 간단합니다. 디오판틴 방정식을 공부하는 목적은 정수 이론의 기초를 제공하는 것입니다. 정수 이론은 수학, 컴퓨터 과학 및 프로그래밍 분야에서 더욱 발전됩니다. Diophantine 방정식은 종종 통합 국가 시험의 "C"부분의 작업에서 발견됩니다. 무엇보다 어려운 점은 해결 방법이 많다는 점에서 졸업생은 그 중에서 올바른 방법을 선택해야 합니다. 그러나 선형 디오판틴 방정식 ax + by = c는 특수 알고리즘을 사용하여 비교적 쉽게 풀 수 있습니다.

    디오판틴 방정식 풀기 알고리즘

    디오판틴 방정식의 연구는 7학년부터 고급 대수학 과정에서 시작됩니다. 교과서 Yu.N. 마카리체바, N.G. Mindyuk, 다음을 사용하여 해결되는 몇 가지 문제와 방정식이 제공됩니다. 유클리드 알고리즘그리고 무차별 대입 방법, - Aelita Bekesheva는 말합니다.- 나중에 8~9학년이 되면 이미 고차 정수의 방정식을 고려하고 있을 때 학생들에게 다음을 보여줍니다. 인수분해 방법, 그리고 이 방정식의 해에 대한 추가 분석, 평가 방법. 소개합니다 전체 정사각형 선택 방법으로. 소수의 성질을 공부할 때 정수 방정식의 해 이론의 기본 정리 중 하나인 페르마의 작은 정리(Fermat's little theorem)를 소개합니다. 더 높은 수준에서 이 지인은 10-11학년에서 계속됩니다. 동시에 우리는 아이들을 "모듈로 비교"이론의 연구 및 적용에 데려오고 7-9 학년에서 만난 알고리즘을 해결합니다. 아주 잘, 이 자료는 A.G.의 교과서에 나와 있습니다. Mordkovich "대수학 및 분석의 시작, 10 학년" 및 G.V. Dorofeev "수학" 10 학년.

    유클리드 알고리즘

    유클리드 방법 자체는 최대 공약수를 찾는 또 다른 수학적 문제를 나타냅니다. 원래 숫자 쌍 대신 새 쌍이 작성됩니다. 즉, 작은 숫자와 원래 쌍의 더 작은 수와 더 큰 수의 차이입니다. 이 작업은 쌍의 숫자가 같아질 때까지 계속됩니다. 이것이 가장 큰 공통 요소가 됩니다. 알고리즘의 변형은 디오판틴 방정식을 푸는 데에도 사용됩니다. 이제 우리는 유리 샹코와 함께"코인에 관한" 문제를 해결하는 방법을 보여주기 위해 예를 사용하겠습니다.

    선형 디오판틴 방정식을 고려합니다. ax + by = c,여기서 a, b, c, x 및 y는 정수입니다. 보시다시피 하나의 방정식에는 두 개의 변수가 있습니다. 그러나 기억하시겠지만, 우리는 방정식이 참인 숫자 쌍을 찾을 수 있는 것을 단순화하는 정수 근만 필요합니다.

    그러나 디오판틴 방정식에 항상 해가 있는 것은 아닙니다. 예: 4x + 14y = 5. 해가 없습니다. 방정식의 왼쪽에서 임의의 정수 x 및 y에 대해 짝수가 얻어지고 5는 홀수입니다. 이 예는 일반화할 수 있습니다. 만약 방정식에서 도끼 + 에 의해 = c계수 a와 b는 일부 정수 d로 나눌 수 있고 숫자 c는 이 d로 나눌 수 없으면 방정식에 해가 없습니다. 반면에 모든 계수(a, b 및 c)가 d로 나누어지면 전체 방정식을 이 d로 나눌 수 있습니다.

    예를 들어, 방정식 4x + 14y = 8에서 모든 계수는 2로 나눌 수 있습니다. 방정식을 이 숫자로 나누고 2𝑥 + 7𝑦 = 4를 얻습니다. 이 기술(방정식을 일부 숫자로 나눔)은 때때로 계산을 단순화합니다.

    이제 반대편에서 가봅시다. 방정식(a 또는 b)의 왼쪽에 있는 계수 중 하나가 1과 같다고 가정합니다. 그러면 방정식이 실제로 해결됩니다. 실제로, 예를 들어 a = 1이라고 하면 x = c − by인 동안 임의의 정수를 y로 취할 수 있습니다. 원래 방정식을 계수 중 하나가 1과 같은 방정식으로 줄이는 방법을 배운다면 선형 디오판틴 방정식을 푸는 방법을 배우게 됩니다!

    방정식 2x + 7y = 4의 예를 들어 이를 보여드리겠습니다.

    다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다. 2(x + 3y) + y = 4.

    새로운 미지수 z = x + 3y를 도입하면 방정식은 2z + y = 4와 같이 작성됩니다.

    우리는 1의 인수로 방정식을 얻었습니다! 그러면 z는 임의의 숫자이며 y = 4 − 2z입니다.

    x = z − 3y = z − 3(4 − 2z) = 7z − 12를 찾아야 합니다.

    z=1이라고 하자. 그런 다음 y=2, x=-5입니다. 2*(-5)+7*2=4

    z=5라고 하자. 그런 다음 y=-6, x=23입니다. 2 * (23)+7 * (-6)=4

    ” 이 예에서는 계수가 2와 7인 방정식에서 계수가 2와 1인 방정식으로 어떻게 이동했는지 이해하는 것이 중요합니다. 이 경우(항상!) 새 계수(이 경우 1)는 다음과 같습니다. 원래 계수를 서로 나눈 나머지(7을 2로).

    이 예에서는 운이 좋았습니다. 첫 번째 교체 직후 계수가 1인 방정식을 얻었습니다. 항상 그런 것은 아니지만 새로운 미지수를 도입하고 새 방정식을 작성하여 이전 트릭을 반복할 수 있습니다. 조만간 이러한 교체 후에 계수가 1인 방정식이 얻어집니다.

    Aelita Bekesheva는 더 복잡한 방정식을 풀어보도록 합시다.

    방정식 13x - 36y = 2를 고려하십시오.

    1 단계

    36/13=2(10개 남음). 따라서 원래 방정식은 13x-13* 2y-10y=2와 같이 다시 작성할 수 있습니다. 13(x-2y)-10y=2로 변환해 보겠습니다. 새로운 변수 z=x-2y를 소개하겠습니다. 이제 방정식이 있습니다: 13z-10y=2.

    2 단계

    13/10=1(3개 남음). 원래 방정식 13z-10y=2는 10z-10y+3z=2와 같이 다시 쓸 수 있습니다. 10(z-y)+3z=2로 변환해 보겠습니다. 새로운 변수 m=z-y를 소개하겠습니다. 이제 방정식이 있습니다: 10m+3z=2.

    3단계

    10/3=3(1개 남음). 원래 방정식 10m+3z=2는 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다. 3* 3m+3z+1m=2. 3(3m+z)+1m=2로 변환해 보겠습니다. 새로운 변수 n=3m+z를 소개하겠습니다. 이제 방정식이 있습니다. 3n+1m=2.

    만세! 우리는 계수가 1인 방정식을 얻었습니다!

    m=2-3n이고 n은 임의의 숫자일 수 있습니다. 그러나 x와 y를 찾아야 합니다. 변수를 역순으로 변경해 보겠습니다. 우리는 x와 y를 n으로 표현해야 함을 기억하십시오. 이는 임의의 숫자가 될 수 있습니다.

    y=z-m; z=n-3m, m=2-3n ⇒ z=n-3*(2-3n), y=n-3*(2-3n)-(2-3n)=13n-8; y=13n-8

    x=2y+z ⇒ x=2(13n-8)+(n-3*(2-3n))=36n-22; x=36n-22

    n=1이라고 하자. 그러면 y=5, x=24입니다. 13 * (14)-36 * 5=2

    n=5라고 하자. 그런 다음 y=57, x=158입니다. 13*(158)-36*(57)=2

    네, 알아내기가 쉽지는 않지만, 이제는 선택으로 해결되는 문제를 항상 일반적인 방식으로 풀 수 있습니다!

    숫자 선택 문제를 해결합니다.

    선택으로 해결되는 초등학생을 위한 문제의 예: 아이와 경쟁하십시오. 누가 더 빨리 해결할 것입니까? 유클리드 알고리즘을 사용하는 당신, 아니면 모범생 - 선택으로?

    발에 관한 문제

    자귀

    닭과 토끼는 새장에 있습니다. 그들은 총 20 개의 발을 가지고 있습니다. 닭은 몇 마리, 토끼는 몇 마리입니까?

    해결책

    x개의 닭과 y개의 토끼가 있다고 가정해 보겠습니다. 방정식을 만들어 봅시다: 2х+4y=20. 방정식의 양변을 x+2y=10으로 2로 줄이겠습니다. 따라서 x=10-2y, 여기서 x와 y는 양의 정수입니다.

    대답

    토끼와 암탉의 수: (1; 8), (2; 6), (3; 4), (4; 2), (5; 0)

    동의합니다. "토끼 한 마리를 새장에 앉히십시오 ..."를 분류하는 것보다 빨리 밝혀졌습니다.

    동전에 대한 문제

    자귀

    한 판매원은 5루블과 2루블 동전만 가지고 있었습니다. 그녀는 몇 가지 방법으로 57루블을 거스름돈으로 모을 수 있습니까?

    해결책

    x개의 2루블과 y개의 5루블 동전이 있다고 합시다. 방정식을 만들어 봅시다: 2х+5y=57. 방정식을 변환해 보겠습니다. 2(x+2y)+y=57. z=x+2y라고 하자. 그런 다음 2z+y=57입니다. 따라서, y=57-2z, x=z-2y=z-2(57-2z) ⇒ x=5z-114. 변수 z는 23보다 작을 수 없고(그렇지 않으면 x, 2루블 동전의 개수가 음수임) 28보다 클 수 없습니다(그렇지 않으면 5루블 동전 개수인 y가 음수가 됨). 23에서 28까지의 모든 값이 우리에게 적합합니다.

    대답

    여섯 가지 방법.

    Tatyana Yakovleva가 준비했습니다.

    시립예산교육기관

    중학교 №1

    파블로보.

    연구 작업

    디오판틴 방정식을 푸는 방법.

    학과: 물리학 및 수학

    섹션: 수학

    완전한:

    8학년 학생 Nikolai Trukhin(14세)

    과학 고문:

    수학 선생님

    레파노바 N.A.

    파블로보

    2013년

    목차

    I 서론 ..............................................................................................................................3

    II 문헌 검토 ...........................................................................................................5

    III 주요 부분 ...........................................................................................................6

    IV 결론...........................................................................................................15

    V 참고 문헌 목록 .................................................................................................................................................................................. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ...........................................................................................................................................

    VI 부록 ...........................................................................................................17

      소개.

    2011-2012년에 나는 연구 작업주제에 : "방정식 풀기 고대 그리스그리고 인도." 작업하면서 알렉산드리아의 디오판투스와 무하마드 알 콰리즈미의 작품을 알게 되었습니다. 이전 작업에서 나는 두 개의 미지수가 있는 1차 방정식을 푸는 몇 가지 방법을 고려했으며 두 개의 미지수가 있는 1차 방정식의 해로 이어지는 몇 가지 오래된 문제에 대해 알게 되었습니다.

    모하메드 벤 무사 알 콰리즈미(Mohammed Ben Mussa al-Khwarizmi), 또는 이란의 "지혜의 집"의 일원인 호레즘의 모세의 아들 모하메드는 우리 연대기의 820년경에 책을 썼습니다. 여기서 그는 산술의 단순하고 복잡한 문제를 푸는 법을 가르쳤습니다. 상속분할, 유언장 작성, 재산분할 및 소송사건, 무역, 각종 거래에 필요한 것. al - Khorezmi라는 이름으로 "대수학", "아라비아 숫자", "알고리즘"의 개념이 연결됩니다. 그는 기하학에서 대수학을 분리하여 이슬람 중세의 수학에 큰 공헌을 했습니다. Muhammad al-Khwarizmi는 일생과 사후에 알려지고 존경을 받았습니다.

    하지만 디오판투스에 대해 더 알고 싶었습니다. 그리고 올해 저의 연구 주제는 다음과 같습니다. 디오판틴 방정식을 푸는 방법»

    알렉산드리아의 디오판토스는 고대 그리스의 가장 독특한 수학자 중 한 사람으로 그의 업적은 다음과 같습니다. 큰 중요성대수학 및 정수론. Diophantus의 작품 중 가장 중요한 것은 "산술"이며 13 권의 책 중 오늘날까지 6 권만 남아 있습니다. 살아남은 책에는 189개의 문제 풀이가 포함되어 있습니다. 첫 번째 책에는 1차 및 2차 방정식으로 이어지는 문제가 포함되어 있습니다. 나머지 5권은 대부분 불확정 방정식을 포함합니다(불확정 방정식을 두 개 이상의 미지수를 포함하는 방정식이라고 함). 이 책들은 아직 부정 방정식의 체계적인 이론을 가지고 있지 않으며, 해결 방법은 경우에 따라 다릅니다. Diophantus는 양수인 한 전체 또는 분수 하나의 솔루션으로 만족합니다. 그러나 부정 방정식을 푸는 방법은 수학에 대한 Diophantus의 주요 공헌을 구성합니다. Diophantus의 상징주의에는 미지의 표시가 하나뿐이었습니다. 부정 방정식을 풀 때 그는 임의의 숫자를 몇 가지 미지수로 사용했으며, 그 대신 다른 숫자를 사용할 수 있어 솔루션의 일반성을 보존했습니다.

    내 작업의 목적:

    1. 디오판틴 방정식에 대해 계속 알아가십시오.

    2. 디오판틴 방정식을 풀 때 계산 및 분산(분쇄) 방법을 조사합니다.

    3. 몇 가지 실용적인 문제를 풀기 위해 디오판틴 방정식을 사용할 가능성을 탐색합니다.

    Ⅱ. 문학 리뷰.

    작품을 작성할 때 다음 문헌을 사용했습니다.

    Diophantus와 al-Khwarizmi에 대한 정보를 사용했습니다.

    이 책은 부정 방정식을 푸는 Diophantus의 방법에 전념합니다. 그것은 Diophantus 자신의 삶에 대해 알려줍니다. 이 정보는 내 작업에 사용됩니다.

    이 책은 고대부터 대수의 역사에 대해 알려줍니다. 나는 고대부터 방정식 이론에 대한 정보를 사용했습니다.

    이 책에는 수학의 기본 개념과 응용에 관한 약 200개의 기사가 포함되어 있습니다. "대수학", "방정식", "디오판틴 방정식" 기사의 자료를 사용했습니다.

    실제 사용을 위한 작업 텍스트는 책에서 가져옵니다.

      주제에 대해 내가 사이트를 사용했습니다.

    http :// ko . 위키피디아 . 조직 (알 - Khorezmi 및 Diophantus에 대한 정보. Diophantine 방정식을 푸는 방법에 대해).

      주요 부분

    오늘날 수학을 해 본 사람이라면 누구나 디오판틴 방정식에 대해 들어본 적이 있을 것입니다. 정수 계수가 있는 대수 방정식은 정수(드물게 합리적인) 숫자 집합에서 해결되어 수학의 역사에 디오판틴으로 들어갔습니다. . 1차 및 2차 디오판틴 방정식이 가장 많이 연구됩니다. 내 작업의 내용에는 두 개의 미지수가 있는 1차 방정식을 푸는 문제로 축소된 문제가 포함되어 있습니다.

    (1)

    문제를 생각해 봅시다.

    작업 1. 셀에서 엑스 꿩과 ~에토끼들. 다리의 총 수가 62개일 때 새장에 들어 있는 꿩과 토끼의 수는 몇 마리입니까?

    총 수다리는 방정식 2x + 4y \u003d 62 (2)를 사용하여 작성할 수 있습니다.

    문제의 조건에 따라 내가 만든 이 등식을 두 개의 변수가 있는 방정식이라고 합니다. 이 방정식을 선형 방정식이라고 합니다. 선형 방정식은 다양한 문제를 해결하는 데 중요한 역할을 합니다. 이 개념과 관련된 주요 조항을 상기시켜 드리겠습니다.

    두 개의 변수가 있는 선형 방정식은 ax + x \u003d c 형식의 방정식입니다. 여기서 x와 y는 변수이고 a, b 및 c는 일부 숫자입니다.

    방정식 (2)에서 값을 명확하게 결정 엑스 그리고 와이그것은 금지되어 있습니다. 변수의 자연값에 국한하더라도 1과 15, 3과 14, 5와 13 등의 경우가 있을 수 있습니다.

    한 쌍의 숫자( a , b )는 x를 b로 대체하고 y를 b로 대체할 때 진정한 평등을 얻는 경우 두 개의 변수가 있는 방정식의 해라고 합니다.

    두 개의 변수가 있는 각 방정식은 해의 집합, 즉 모든 숫자 쌍(a, b)으로 구성된 집합에 해당하며, 이를 방정식에 대입하면 진정한 평등이 얻어집니다. 물론 이 경우 집합 X와 Y가 미리 지정되어 있다면, 알 수 없는 x와 y를 받아들일 수 있는 그런 다음 이러한 쌍(a , b )만 취하면 됩니다. X 에 속하고 b 가 Y 에 속합니다.

    몇 개의 숫자( a, b) 좌표를 갖는 점 M으로 평면에 나타낼 수 있습니다. ㅏ및 b, M \u003d M (a, b). 두 개의 미지수가 있는 방정식의 솔루션 세트의 모든 점의 이미지를 고려하여 평면의 특정 부분 집합을 얻습니다. 방정식의 그래프라고 합니다. .

    계수 중 적어도 하나가 0이 아닌 두 변수의 선형 방정식의 그래프, 직선이다. 이 방정식을 플롯하려면 좌표가 있는 두 점을 가져와 직선을 그리는 것으로 충분합니다. 이전 작업에서 그래픽 솔루션 방법을 사용했습니다.

    같은 해를 갖는 두 변수의 두 방정식을 등가라고 합니다.

    예를 들어, 방정식 x + 2y = 5 및 3x + 6y = 15는 동일합니다. 이러한 방정식 중 하나를 충족하는 숫자 쌍은 두 번째 방정식도 충족합니다.

    두 개의 변수가 있는 방정식은 하나의 변수가 있는 방정식과 동일한 속성을 갖습니다.

    1) 방정식에서 용어를 한 부분에서 다른 부분으로 옮기고 부호를 변경하면 주어진 것과 동일한 방정식을 얻습니다.

    2) 방정식의 두 부분을 0이 아닌 동일한 숫자로 곱하거나 나누면 주어진 것과 동일한 방정식이 얻어진다.

    디오판틴 방정식을 푸는 방법에는 여러 가지가 있습니다.

      선택 방법

      유클리드 알고리즘 사용

      연속 촬영 사용

      산란(연삭) 방식

      파스칼 프로그래밍 언어 사용

    내 작업에서 나는 방법을 탐구했습니다 - 옵션의 열거 및 분산 (연삭)

    옵션을 열거하는 방법을 고려할 때 방정식에 대한 가능한 솔루션의 수를 고려해야 합니다. 예를 들어, 이 방법은 다음 문제를 해결하여 적용할 수 있습니다.

    작업 2 . Andrei는 여름에 카페에서 일합니다. 매시간 그는 10루블을 받는다. 그리고 2r을 계산합니다. 모든 깨진 접시에 대해. 에 지난주그는 180 r을 벌었습니다. 그가 하루에 3시간 이상 일하지 않는 것으로 알려진 경우 그가 몇 시간 일하고 몇 개의 판을 깨뜨렸는지 확인하십시오.

    해결책.

    허락하다 엑스그가 일주일 동안 일한 시간, 10배아르 자형. 그는 돈을 받았지만 파산했다 ~에접시, 그리고 그것에서 빼 2년아르 자형. 우리는 방정식을 가지고 10x - 2y \u003d 180, 그리고 엑스 21보다 작거나 같습니다. 우리는 다음을 얻습니다. 5x-y=90, 5x=90+y, x=18+y:5.

    왜냐하면 엑스 정수, 다음 ~에우변의 정수를 얻으려면 5로 균등하게 나눌 수 있어야 합니다. 4가지 경우가 있습니다

      y=0, x=18, 즉 솔루션은 쌍 - (18, 0)입니다.

      y=5, x=19, (19, 5);

      y=10, x=20, (20, 10);

      y=15, x=21, (21, 15).

    옵션 열거 방법을 사용하여 이 문제를 해결했습니다. 대답에는 네 가지 가능한 옵션이 있습니다. 이 방법으로 몇 가지 문제를 더 해결하려고 했습니다.

    작업 3. 23 루블의 양은 2 루블과 5 루블 동전으로 만들었습니다. 이 2루블 동전은 몇 개입니까?

    해결책.

    허락하다 엑스 - 2 루블 동전의 수, 와 - 5 루블 동전의 수. 방정식을 만들고 풀자: 2x+5y=23; 2x=23–5y; x \u003d (23-5y): 2; x \u003d (22 + 1 - 5y): 2, 우리는 22를 2로 나누고 (1 - 5y)를 2 용어로 용어별로 다음을 얻습니다. x \u003d 11 + (1 - 5y): 2.

    왜냐하면 엑스 그리고 와이 문제의 조건에 따른 자연수일 때, 방정식의 좌변은 자연수이며, 이는 우변도 자연수여야 함을 의미합니다. 또한, 우변의 자연수를 얻기 위해서는 식 (1 - 5y)가 2로 완전히 나누어떨어질 필요가 있습니다. 옵션을 열거해 보겠습니다.

      y =1, x=9, 즉 9개의 2루블 동전이 있을 수 있습니다.

      y=2, 식 (1 - 5y)는 2로 나눌 수 없습니다.

      y=3, x=4, 즉 4개의 2루블 동전이 있을 수 있습니다.

      y가 4보다 크거나 같으면 x는 자연수가 아닙니다.

    따라서 문제의 답은 다음과 같습니다. 동전 중에는 9 또는 4개의 2루블 동전이 있습니다.

    작업 4. Scheherazade는 위대한 통치자에게 자신의 이야기를 들려줍니다. 그녀는 총 1001개의 동화를 말해야 합니다. 만약 세헤라자드가 그의 모든 이야기를 하려면 얼마나 많은 밤이 걸릴까요? 엑스 밤에 그녀는 3개의 이야기를 하고 나머지 이야기는 5개의 이야기를 할 것입니다. ~에밤

    해결책.

    이야기꾼은 x + y가 필요합니다. 밤 , 여기서 x와 y - 방정식 3x + 5y \u003d 1001의 자연근

    x \u003d (1001-5y): 3; 왜냐하면 엑스가 자연수이면 등호의 오른쪽에도 자연수가 포함되어야 합니다. 즉, 표현식 (1001 - 5y)은 3으로 완전히 나누어떨어져야 합니다.

    옵션에 대해 알아보겠습니다.

    y=1, 1001 - 5y=1001-5= 996, 996은 3으로 나눌 수 있으므로 x=332입니다. 결정(332;1);

    y=2, 1001– 10=991, 991은 3으로 나눌 수 없습니다.

    y=3, 1001 - 15 = 986; 986은 3으로 나누어 떨어지지 않습니다.

    y \u003d 4, 1001 - 20 \u003d 981, 981은 3으로 나눌 수 있으므로 x \u003d 327, 솔루션은 (327; 4) 등입니다.

    이 문제에는 67쌍의 가능한 뿌리가 있습니다. 시간이 많이 걸리기 때문에 이 문제에 대한 모든 솔루션을 보여주지는 않았습니다.

    방정식 도끼 + ~에 의해 = 씨 (1) 위의 문제에서 옵션을 열거하는 방법을 풀었습니다. 방정식에 대한 모든 솔루션을 찾는 데 상당한 시간이 걸리기 때문에 옵션을 열거하는 방법이 이 문제를 해결하는 데 항상 효과적인 것은 아니라는 것을 스스로 깨달았습니다. 그리고 제 생각에는 현재는 관련이 없습니다.

    그래서 분산(분쇄)법을 이용하여 셰헤라자드 문제를 풀었습니다.

    산란 방법은 정수의 정수 계수를 사용하여 1차 부정 방정식을 푸는 일반적인 방법입니다.

    그럼, Scheherazade에 대한 문제를 scattering 방법으로 풀어봅시다:

    방정식 3x + 5y = 1001을 살펴보겠습니다.

    다르게 다시 작성해 보겠습니다. 3x = 1001 - 5y; 3x \u003d 1001 - 2년 - 3년;

    x = -y +
    그리고 나타내다 엑스 엘= y + 엑스

    결과적으로 방정식은 3x 형식을 취합니다. 1 = 1001 - 2년 또는

    y = - 엑스 엘
    .

    다시 y 1 \u003d y + x 1을 바꾸면 방정식에 도달합니다.

    x 1 + 2y 1 \u003d 1001. 미지수에 대한 계수가 감소했음에 유의하십시오. 파쇄되었습니다.

    여기서 x 1의 계수는 1과 같으므로 모든 정수 y 1 \u003d t에 대해 숫자 x 1도 정수입니다. 원래 변수를 t로 표현하는 것은 남아 있습니다.

    x 1 \u003d 1001 - 2 t 따라서 y \u003d - 1001 + 3 t 및 x \u003d 2002 - 5 t입니다. 따라서 정수 솔루션의 무한 시퀀스(2002 – 5 t , – 1001 + 3 t )를 얻습니다. . 변수 값을 찾는 공식의 모양은 이전에 얻은 솔루션과 다르지만 문제의 조건을 고려하면 뿌리는 동일합니다. 따라서 쌍 (332;1)은 t = 334에서 얻어집니다.

    제 생각에는 이 방법이 더 편리할 뿐만 아니라(동작 알고리즘이 있음) 흥미롭습니다. 이 방법은 알려진안에 처음에 처음 적용VI안에. 인도의 수학자아리아바타.

    작년에 나는 Brahmagupta 자신이 제안한 산란 방법에 고대 인도 Brahmagupta 문제의 해결책을 보여주었습니다. 그 결정은 비합리적이었다.

    아래에 제시되어 있습니다.

    "첫 번째 19와 두 번째 8의 곱의 차이가 13이라는 것을 알고 두 개의 정수를 찾으십시오."

    문제에서는 방정식의 모든 정수 솔루션을 찾아야 합니다.

    해결책:

    (1) 19엑스 – 8와이 = 13

    나는 표현한다 와이를 통해 계수의 가장 작은 절대값을 갖는 미지수 엑스, 나는 얻다:

    (2) 와이 = (19엑스 – 13)/8

    이제 어떤 정수 값이 엑스 해당 값 와이 도 정수입니다. 나는 식 (2)를 다음과 같이 다시 쓸 것이다.

    (3) 와이 = 2엑스 + (3엑스 – 13)/8

    (3)에서 정수 x가 있는 y는 표현식 (3 엑스-13)/8은 정수입니다. 와이 1 . 가정

    (4) (3엑스 - 13)/8 = 와이 1 ,

    문제는 두 개의 미지수 x가 있는 정수로 방정식 (4)를 푸는 것으로 축소됩니다. 와이 1 ; 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

    (5) 3엑스 – 8와이 1 = 13.

    이 방정식은 미지수에 대한 계수의 절대값 중 가장 작은 값인 3이 (1)보다 작다는 원래 방정식 (1)에 비해 장점이 있습니다. 즉, 8. 이것은 x(19)에서의 계수를 나머지 8로 대체함으로써 달성되었습니다.

    같은 방식으로 계속하면 (5)에서 다음을 얻습니다.

    (6) 엑스= (8년 1 +13)/3 = 2와이 1 + (2와이 1 + 13)/3.

    따라서 정수 y 1을 갖는 미지수 x는 (2 와이 1 + 13)/3은 정수입니다. 와이 2 :

    (7) (2와이 1 + 1)/3 = 와이 2 ,

    또는

    (8) 3와이 2 – 2 와이 1 = 13.

    (9) 와이 1 = (3와이 2 - 13)/2 = 와이 2 + (와이 2 - 13)/2

    가정

    (10) (와이 2 - 13)/2 = 와이 3 ,

    가져 오기

    (11) 와이 2 – 2 와이 3 = 13.

    계수 중 하나가 1과 같기 때문에 이것은 고려된 모든 부정 방정식 중 가장 단순합니다.

    (11)에서 나는 다음을 얻는다.

    (12) 와이 2 = 2와이 3 + 13.

    이것은 y 2 가 y 3 의 모든 정수 값에 대해 정수 값을 취한다는 것을 보여줍니다. 등식 (6), (9), (12), (3)에서 연속적인 대입으로 식 (1)의 미지수 x와 y에 대해 다음 식을 찾을 수 있습니다.

    엑스= 2와이 1 +와이 2 = 2(와이 2 +와이 3 ) + 와이 2 = 3y2 + 2 와이 3 = 3(2와이 2 + 13) + 2와이 3 = 8와이 3 + 39;

    ~에= 2엑스 + 와이 1 = 2(8와이 3 + 39) + 와이 2 + 와이 3 = 19와이 3 +91.

    그래서 공식

    x=8 와이 3 + 39,

    y=19 와이 3 + 91.

    ~에 y 3 = 0, + 1,+ 2, + 3, ... 식 (1)의 모든 정수 솔루션을 제공합니다.

    다음 표는 그러한 솔루션의 예를 제공합니다.

    1 번 테이블.

    y3

    엑스

    와이

    이 문제를 합리적으로 해결합시다. 솔루션은 특정 알고리즘을 사용합니다.

    작업 5.

    첫 번째 19와 두 번째 8의 곱의 차이가 13이면 두 숫자를 찾으십시오.

    해결책. 방정식 19x - 8y \u003d 13을 푸는 데 필요합니다.

    다르게 다시 작성해 보겠습니다. 8y =19x –13; 8y =16x +3x -13; y = 2x +

    그리고 나타내다 y 1 \u003d y-2x.

    결과적으로 방정식은 8y 1 = Zx - 13 또는 x = 2y 1 형식을 취합니다.
    .

    x 1 \u003d x - 2y 1을 다시 바꾸면 방정식에 도달합니다.

    3x l - 2y 1 \u003d 13.

    미지수에 대한 계수가 감소했습니다. 추가 연삭: y 1 = x l +
    , 그러면 우리는 y 2 \u003d y 1 -x 1을 얻습니다.

    결과적으로 마지막 방정식은 x 1 - 2y 2: \u003d 13 형식으로 변환됩니다. 여기서 x 1의 계수는 1이므로 임의의 정수 y 2 \u003d t에 대해 숫자 x 1은 다음과 같습니다. 또한 정수.

    원래 변수를 t로 표현하는 것은 남아 있습니다.

    먼저 x 1 \u003d 2t +13, y 1 \u003d 3t +13을 표현합니다. x = 8 t +39, y = 19 t + 91입니다.

    그래서 우리는 무한 시퀀스를 얻습니다 (39 + 8티, 91 + 19 티) 정수 솔루션. 방정식 도끼 + ~에 의해 = 씨 (1) 위의 문제에서 분산(그라인딩) 방법을 해결했습니다.

    IV. 결론.

    그것들을 풀기 위해 디오판틴 방정식을 공부하면서 나는 옵션의 열거와 산란(연마)의 방법을 사용했습니다. 이러한 방법으로 나는 현대 문제와 고대 문제를 모두 해결했습니다. 내 작업의 내용에는 두 개의 변수 ax + b y \u003d c (1)를 사용하여 1차 방정식을 푸는 작업이 포함되었습니다.

    작업 과정에서 나는 다음과 같은 결론에 도달했습니다.

      열거 방법은 상당한 시간 비용이 필요하므로 매우 편리하고 합리적이지 않습니다.

      제 생각에는 산란 방법이 더 합리적입니다. 이 방법으로 오래된 인디언 문제를 풀 때 특정 솔루션 알고리즘이 있음을 깨달았습니다. 나는 학교에서 충분한 지식을 얻었습니다. 나는 수학의 발달과 함께 도판트 방정식을 푸는 방법이 끊임없이 개선되고 있다고 확신했습니다.

    내년에는 디오판틴 방정식을 푸는 방법을 계속 공부하고 싶습니다.

    V. 서지

      G. I. Glazer "학교에서의 수학 역사" M.: ed. "계몽" 1964 376초.

      I. G. Bashmakova "Diophantine 및 Diophantine 방정식" M.: ed. "과학" 1972 68초.

      V. A. Nikiforovsky "방정식의 세계에서" M.: ed. "과학" 1987 176초.

      A.P. 사빈 " 백과사전젊은 수학자 "M.: ed. "교육학" 1985

      G. M. Voznyak, V. F. Gusev "극단에 대한 응용 문제" M.: ed. "계몽" 1985 144초.

      http :// ko . 위키피디아 . 조직

    VI. 신청.

      농장에서는 167m 길이의 급수 시스템을 수행해야합니다. 파이프는 5m 및 7m 길이로 제공됩니다. 최소한의 연결을 위해 몇 개의 파이프를 사용해야 합니까(파이프를 절단하지 않음)?

    하나와 다른 파이프의 수는 다를 수 있으므로 7미터 파이프의 수는 다음과 같이 표시됩니다. x,5- 미터 - 통해 ~에

    그런 다음 7x는 7미터 파이프의 길이이고 5y는 5미터 파이프의 길이입니다.

    여기에서 우리는 무한 방정식을 얻습니다.

    7x+5y=167

    예를 들어, 변수를 ~에변수를 통해 엑스, 우리는 다음을 얻습니다.

    반복하여 일치하는 값 쌍을 쉽게 찾을 수 있습니다. 엑스그리고 ~에, 방정식 7x+5y=167을 충족

    (1;32), (6;25), (11;18), (16;11), (21;4).

    이러한 솔루션 중 마지막 솔루션이 가장 유리합니다. 즉, x=21입니다. y=4.

    숫자와 생년월일을 추측하는 고대의 많은 방법은 디오판틴 방정식을 푸는 데 기반을 두고 있습니다. 예를 들어, 대담한 사람의 생년월일 (월과 일)을 추측하려면 두 제품을 추가하여받은 금액을 알아내는 것으로 충분합니다. 날짜 번호 (엑스 ) 12 및 월 숫자(~에 ) 31시에.

    2. 문제의 작품의 합을 330이라고 하자. 생년월일을 구하라.

    무한 방정식을 풀자

    12 엑스 + 31 ~에 = 330.

    산란 방법을 사용하여 다음을 얻습니다.

    엑스 = 43 – 31 ~에 4 ,

    ~에 = 6 – 12 ~에 4 .

    한계로 인해 유일한 해결책은

    ~에 4 = 1, 엑스 = 12, ~에 = 6.

    따라서 생년월일: 6월 12일, 즉 6월 12일

    선형 디오판틴 방정식을 풀려면 정수인 변수 "x"와 "y"의 값을 찾아야 합니다. 정수 솔루션은 일반적인 솔루션보다 더 복잡하고 특정 작업 세트가 필요합니다. 먼저 계수의 최대공약수(gcd)를 계산한 다음 솔루션을 찾아야 합니다. 선형 방정식에 대한 하나의 정수 해를 찾으면 간단한 패턴을 적용하여 무한한 수의 다른 해를 찾을 수 있습니다.

    단계

    1 부

    방정식을 작성하는 방법

      방정식을 표준 형식으로 작성하십시오.선형 방정식은 변수의 지수가 1을 초과하지 않는 방정식입니다. 이러한 선형 방정식을 풀려면 먼저 표준 형식으로 작성하십시오. 선형 방정식의 표준 형식은 다음과 같습니다. A x + B y = C (\displaystyle Ax+By=C), 어디 A , B (\displaystyle A,B)그리고 C(\디스플레이스타일 C)- 정수.

      방정식을 단순화하십시오(가능한 경우).방정식을 표준 형식으로 작성할 때 계수를 살펴보십시오. A , B (\displaystyle A,B)그리고 C(\디스플레이스타일 C). 이러한 계수에 GCD가 있으면 세 계수를 모두 GCD로 나눕니다. 이렇게 단순화된 방정식의 해는 원래 방정식의 해이기도 합니다.

      방정식을 풀 수 있는지 확인하십시오.어떤 경우에는 방정식에 해가 없다고 즉시 선언할 수 있습니다. 계수 "C"가 계수 "A"와 "B"의 GCD로 나눌 수 없는 경우 방정식에는 해가 없습니다.

      2 부

      유클리드 알고리즘을 작성하는 방법

      1. 유클리드 알고리즘을 이해한다.이것은 이전 나머지가 다음 제수로 사용되는 일련의 반복 나눗셈입니다. 숫자를 균등하게 나누는 마지막 제수는 두 숫자의 최대공약수(gcd)입니다.

        계수 "A"와 "B"에 유클리드 알고리즘을 적용합니다. 1차방정식을 표준형으로 작성할 때 계수 "A"와 "B"를 결정한 다음 유클리드 알고리즘을 적용하여 gcd를 구합니다. 예를 들어, 선형 방정식이 주어지면 87 x − 64 y = 3 (\displaystyle 87x-64y=3).

        최대공약수(gcd)를 구합니다.마지막 제수가 1이므로 GCD 87과 64는 1입니다. 따라서 87과 64는 소수서로 관련하여.

        결과를 분석합니다.계수의 GCD를 찾을 때 A(\디스플레이스타일 A)그리고 B(\디스플레이스타일 B), 계수와 비교 C(\디스플레이스타일 C)원래 방정식. 만약 C(\디스플레이스타일 C) NOD로 나누어 A(\디스플레이스타일 A)그리고 B(\디스플레이스타일 B), 방정식에는 정수 솔루션이 있습니다. 그렇지 않으면 방정식에 해가 없습니다.

      3부

      유클리드 알고리즘을 사용하여 솔루션을 찾는 방법

        GCD 계산 단계에 번호를 매깁니다.선형 방정식의 해를 찾으려면 유클리드 알고리즘을 대체 및 단순화 프로세스의 기초로 사용해야 합니다.

        나머지가있는 마지막 단계에주의하십시오.이 단계의 방정식을 다시 작성하여 나머지를 분리합니다.

        이전 단계의 나머지 부분을 분리합니다.이 프로세스는 단계별 "위로 이동"입니다. 매번 이전 단계에서 방정식의 나머지를 분리합니다.

        변경하고 단순화하십시오. 6단계의 방정식에는 숫자 2가 포함되어 있지만 5단계의 방정식에서는 숫자 2가 분리되어 있습니다. 따라서 6단계의 방정식에서 "2" 대신 5단계의 표현식을 대체합니다.

        대체 및 단순화 과정을 반복합니다.유클리드 알고리즘을 역순으로 이동하면서 설명된 과정을 반복합니다. 매번 이전 단계의 방정식을 다시 작성하고 얻은 마지막 방정식으로 대체합니다.

      1. 대체 및 단순화 프로세스를 계속합니다.이 과정은 유클리드 알고리즘의 초기 단계에 도달할 때까지 반복됩니다. 이 과정의 목표는 풀려는 원래 방정식의 계수 87과 64를 사용하여 방정식을 작성하는 것입니다. 우리의 예에서:

        • 1 = 2 (18) − 7 (5) (\displaystyle 1=2(18)-7(5))
        • 1 = 2 (18) − 7 (23 − 18) (\displaystyle 1=2(18)-7(23-18))(3단계에서 치환된 표현)
        • 1 = 9 (64 − 2 * 23) − 7 (23) (\displaystyle 1=9(64-2*23)-7(23))(2단계에서 치환된 표현)
        • 1 = 9 (64) − 25 (87 − 64) (\displaystyle 1=9(64)-25(87-64))(1단계에서 치환된 표현)