다음 공식 중 헤론의 공식은 무엇입니까? 삼각형의 면적. 문제 해결의 예

제로나 공식 영웅 공식

면적을 표현 에스세 변의 길이에 따른 삼각형 ㅏ, 비그리고 와 함께그리고 반주 아르 자형 = (ㅏ + 비 + 와 함께)/2: . 알렉산드리아의 헤론의 이름을 따서 명명되었습니다.

헤로나 포뮬러

HERON FORMULA, 면적 표현 에스세 변의 길이에 따른 삼각형 ㅏ, 비그리고 씨그리고 반주 피 = (ㅏ + 비 + 씨)/2
알렉산드리아의 헤론의 이름을 따서 명명되었습니다.

백과사전 . 2009 .

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알렉산드리아(Heronus Alexandrinus)(출생 연도 불명, 아마도 1세기), 알렉산드리아에서 일한 고대 그리스 과학자. 그가 고대 세계의 주요 업적을 체계적으로 설명 한 작품의 저자 ... ... 위대한 소비에트 백과사전

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헤론의 공식

학교 수학에서 헤론의 공식은 매우 유명하며 이를 사용하면 세 변을 따라 삼각형의 면적을 계산할 수 있습니다. 동시에, 원에 내접하는 사변형의 면적을 계산하는 유사한 공식이 있다는 것을 아는 학생은 거의 없습니다. 이러한 공식을 브라마굽타 공식이라고 합니다. 헤론의 공식에서 파생된 세 가지 높이에서 삼각형의 면적을 계산하는 잘 알려지지 않은 공식도 있습니다.

삼각형의 면적 계산

삼각형에 넣어측면 및 . 그러면 다음 정리(헤론의 공식)가 유효합니다.

정리 1.

어디 .

증거.공식 (1)을 유도할 때 잘 알려진 기하학을 사용합니다. tric 공식

, (2)

. (3)

식 (2)와 (3)에서 우리는 및 를 얻습니다. 그때부터

. (4)

지정하면 그런 다음 공식 (1)은 등식 (4)를 따릅니다. 정리가 증명되었습니다.

이제 삼각형의 면적을 계산하는 문제를 고려하십시오.조건에, 그것의 3개의 높이가 알려져 있다는 것을, 그리고 .

정리 2.면적은 공식에 의해 계산됩니다

. (5)

증거., 그리고 , 이후

이 경우 식 (1)에서 우리는

또는

식 (5)는 이것으로부터 이어진다. 정리가 증명되었습니다.

사변형의 면적 계산

사변형의 면적을 계산하는 경우에 대한 헤론 공식의 일반화를 고려하십시오. 그러나 그러한 일반화는 원에 내접하는 사변형에 대해서만 가능하다는 점에 즉시 주목해야 합니다.

사각형을 보자, , 가 있습니다.

만약 사각형이다, 동그라미에 새겨진, 그러면 정리 3(Brahmagupta의 공식)이 성립합니다.

정리 3.정사각형 공식에 의해 계산

어디 .

증거.사변형에 대각선을 그리고 두 개의 삼각형을 얻고 . 공식 (3)과 동일한 이러한 삼각형에 코사인 정리를 적용하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

사변형은 원에 내접하므로 그 반대 각의 합은 , 즉 .

때문에 또는 그런 다음 (7)에서 우리는

또는

. (8)

그때부터 . 그러나, 따라서

이후, 공식 (8) 및 (9)는 다음을 의미합니다.

우리가 넣으면, 그런 다음 여기에서 공식 (6)을 얻습니다. 정리가 증명되었습니다.

내접 사각형의 경우동시에 기술된다, 그러면 공식 (6)이 크게 단순화됩니다.

정리 4.한 원에 내접하고 다른 원 주위에 설명되는 사변형의 면적은 다음 공식으로 계산됩니다.

. (10)

증거.원은 사변형에 내접하므로 등식

이 경우, , , , 및 식 (6)은 쉽게 식 (10)으로 변환된다. 정리가 증명되었습니다.

기하학 문제의 예에 대한 고려로 넘어 갑시다., 입증 된 정리의 적용을 기반으로 솔루션이 수행됩니다.

문제 해결의 예

실시예 1. 지역 찾기, 경우 및 .

해결책.여기부터 정리 1에 따라 우리는 다음을 얻습니다.

대답: .

메모, 삼각형의 변이라면비합리적인 의미를 취하다, 그런 다음 면적 계산식 (1)을 사용하여, 대개 , 비효율적입니다. 이 경우 식 (2)와 (3)을 직접 적용하는 것이 편리하다.

실시예 2인 경우 면적을 구하고 .

해결책.공식 (2)와 (3)을 고려하면, 우리는

이후 , 다음 또는 .

대답: .

실시예 3인 경우 면적을 구하고 .

해결책.때문에,

그런 다음 정리 2에서 다음을 따릅니다.

대답: .

실시예 4삼각형에는 면이 있고 . 를 찾고 , 여기서 외접원과 내접원의 반지름은 각각 입니다.

해결책.먼저 면적을 계산해 보겠습니다. 이후, 식 (1)에서 우리는 을 얻습니다.

와 이라고 알려져 있습니다. 그렇기 때문에 .

실시예 5, , 이면 원에 내접하는 사각형의 넓이를 구하세요.

해결책.라는 예제의 조건을 따릅니다. 그런 다음 정리 3에 따라 를 얻습니다.

실시예 6변이 , , 인 원에 내접하는 사변형의 넓이를 구하십시오.

해결책.와 , 이후에 평등은 사변형에서 유지됩니다. 그러나 이러한 등식의 존재는 주어진 사변형에 원이 내접되기 위한 필요충분조건으로 알려져 있다. 이와 관련하여 공식 (10)을 사용하여 면적을 계산할 수 있습니다.

학교 기하학 문제 해결 분야의 입학 시험에 대한 독립적이고 고품질의 준비를 위해 교과서를 효과적으로 사용할 수 있습니다., 권장 독서 목록에 나열되어 있습니다.

1. 갓맨 E.G. 면적 측정의 문제 및 해결 방법. – M.: 계몽, 1996. – 240 p.

2. 쿨라긴 E.D. , 페딘 S.N. 문제의 삼각형 기하학. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2009. - 208p.

3. 고등교육기관 수학문제집 / Ed. 미. 스카나비. - 남: 세계와 교육, 2013. - 608p.

4. 수프런 V.P. 고등학생을 위한 수학: 추가 섹션 학교 커리큘럼. – M.: 레낭 / URSS, 2014. - 216p.

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알면 알 수 있다 베이스그리고 키. 이 계획의 전체 단순성은 높이가 밑변 a를 두 부분으로 나누고 삼각형 자체를 두 부분으로 나눈다는 사실에 있습니다. 정삼각형, 그 면적을 구하고 . 그런 다음 전체 삼각형의 면적은 표시된 두 영역의 합이 될 것이며 브래킷에서 높이의 절반을 빼면 전체적으로 밑면을 얻습니다.

계산을 위한 더 어려운 방법은 3면을 모두 알아야 하는 헤론 공식입니다. 이 공식의 경우 먼저 계산해야 합니다. 삼각형의 반둘레 : 헤론의 공식 자체가 의미합니다. 제곱근반 둘레에서 각면의 차이를 차례로 곱합니다.

모든 삼각형과 관련된 다음 방법을 사용하면 두 변을 통해 삼각형의 면적을 찾을 수 있습니다. 모서리그들 사이에. 이에 대한 증명은 높이 공식에서 따릅니다. 알려진 측면 중 하나에 높이를 그리고 각도 α의 사인우리는 그것을 얻는다 h=a⋅sinα. 면적을 계산하려면 높이의 절반에 두 번째 변을 곱합니다.

또 다른 방법은 2개의 각과 그 사이의 변이 주어진 삼각형의 면적을 찾는 것입니다. 이 공식의 증명은 매우 간단하며 다이어그램에서 명확하게 볼 수 있습니다.

세 번째 모서리의 상단에서 알려진 측면까지 높이를 낮추고 결과 세그먼트를 각각 x라고 합니다. 에서 직각 삼각형첫 번째 세그먼트 x가 제품과 같다는 것을 알 수 있습니다.

예비 정보

먼저 다음에서 필요한 정보와 표기법을 소개합니다.

예각 $A$와 $C$를 가진 삼각형 $ABC$를 고려할 것입니다. 거기에 높이 $BH$를 그립니다. 다음 표기법을 소개하겠습니다. $AB=c,\ BC=a,\ $$AC=b,\ AH=x,\ BH=h\ $ (그림 1).

그림 1.

우리는 증거 없이 삼각형 면적 정리를 소개합니다.

정리 1

삼각형의 면적은 그 변의 길이와 그것에 그려진 높이의 곱의 절반으로 정의됩니다.

헤론의 공식

알려진 세 변이 주어진 삼각형의 넓이를 구하는 정리를 소개하고 증명합니다. 이 공식을 헤론의 공식.

정리 2

삼각형 $a,\b\,\c$의 세 변이 있다고 하자. 그러면 이 삼각형의 넓이는 다음과 같이 표현됩니다.

여기서 $p$는 주어진 삼각형의 절반 둘레입니다.

증거.

우리는 그림 1에 소개된 표기법을 사용할 것입니다.

삼각형 $ABH$를 고려하십시오. 피타고라스 정리에 의해 우리는

$HC=AC-AH=b-x$인 것은 분명합니다.

삼각형 $\CBH$를 고려하십시오. 피타고라스 정리에 의해 우리는

\ \ \

얻은 두 관계에서 높이의 제곱 값을 동일시하십시오.

\ \ \

첫 번째 방정식에서 높이를 찾습니다.

\ \ \ \ \ \

반주가 $p=\frac(a+b+c)(2)$, 즉 $a+b+c=2p$와 같기 때문에,

\ \ \ \

정리 1에 의해 우리는

정리가 증명되었습니다.

Heron 공식을 사용하기 위한 작업의 예

실시예 1

삼각형의 변이 $3$ cm, $6$ cm, $7$ cm인 경우 삼각형의 넓이를 구하십시오.

해결책.

먼저 이 삼각형의 반둘레를 구합시다.

정리 2에 의해 우리는

대답:$4\sqrt(5)$.