בטרפז מלבני, האלכסונים הם הדדיים. אלכסונים של טרפז. נוסחאות למציאת האלכסונים של טרפז
- הקטע המחבר את נקודות האמצע של האלכסונים של טרפז שווה למחצית ההפרש של הבסיסים
- משולשים הנוצרים מבסיסי טרפז ומקטעי האלכסונים עד לנקודת החיתוך שלהם דומים
- משולשים הנוצרים מקטעי אלכסוני טרפז, שצלעותיו מונחות על הצדדים הצדדיים של הטרפז - שווים בגודלם (בעלי אותו שטח)
- אם תרחיב את הצדדים של הטרפז לכיוון הבסיס הקטן יותר, אז הם יצטלבו בנקודה אחת עם הקו הישר המחבר את נקודות האמצע של הבסיסים
- קטע המחבר בין בסיסי הטרפז ועובר דרך נקודת החיתוך של אלכסוני הטרפז מחולק בנקודה זו ביחס שווה ליחס אורכי הבסיסים של הטרפז
- קטע מקביל לבסיסי הטרפז ונמשך דרך נקודת החיתוך של האלכסונים מחולק לשניים בנקודה זו, ואורכו שווה ל-2ab/(a + b), כאשר a ו-b הם הבסיסים של ה- טרפז
תכונות של קטע המחבר בין נקודות האמצע של האלכסונים של טרפז
נחבר את נקודות האמצע של האלכסונים של הטרפז ABCD, וכתוצאה מכך יהיה לנו קטע LM.
קטע המחבר בין נקודות האמצע של האלכסונים של טרפז שוכב על קו האמצע של הטרפז.
הקטע הזה במקביל לבסיסי הטרפז.
אורך הקטע המחבר את נקודות האמצע של האלכסונים של טרפז שווה למחצית ההפרש של הבסיסים שלו.
LM = (AD - BC)/2
אוֹ
LM = (a-b)/2
תכונות של משולשים שנוצרו על ידי אלכסונים של טרפז
משולשים שנוצרים על ידי הבסיסים של טרפז ונקודת החיתוך של אלכסוני הטרפז - דומים.
משולשים BOC ו-AOD דומים. מכיוון שהזוויות BOC ו- AOD הן אנכיות, הן שוות.
זוויות OCB ו-OAD הן זוויות פנימיות המונחות לרוחב עם קווים מקבילים AD ו-BC (בסיסי הטרפז מקבילים זה לזה) וקו חותך AC, ולכן הם שווים.
זוויות OBC ו-ODA שוות מאותה סיבה (פנימית לרוחב).
מכיוון שכל שלוש הזוויות של משולש אחד שוות לזוויות המתאימות של משולש אחר, אז משולשים אלה דומים.
מה נובע מכך?
כדי לפתור בעיות בגיאומטריה, הדמיון של משולשים משמש כדלקמן. אם אנו יודעים את אורכם של שני אלמנטים תואמים של משולשים דומים, אז נמצא את מקדם הדמיון (נחלק אחד בשני). מהמקום שבו האורכים של כל שאר האלמנטים קשורים זה לזה באותו ערך בדיוק.
מאפיינים של משולשים השוכבים על הצד הרוחבי ואלכסונים של טרפז
שקול שני משולשים השוכבים על הצדדים הרוחביים של הטרפז AB ו-CD. אלו הם משולשים AOB ו-COD. למרות העובדה כי הגדלים של צלעות בודדות של משולשים אלה עשויים להיות שונים לחלוטין, אבל שטחי המשולשים הנוצרים על ידי הצלעות הרוחביות ונקודת החיתוך של אלכסוני הטרפז שווים, כלומר, המשולשים שווים בגודלם.
אם נרחיב את צלעות הטרפז לכיוון הבסיס הקטן יותר, אזי נקודת החיתוך של הצדדים תהיה חופפים לקו ישר שעובר באמצע הבסיסים.
לפיכך, ניתן להרחיב כל טרפז למשולש. שבו:
- משולשים שנוצרו על ידי הבסיסים של טרפז עם קודקוד משותף בנקודת החיתוך של הצלעות המורחבות דומים
- הקו הישר המחבר את נקודות האמצע של בסיסי הטרפז הוא, בו זמנית, החציון של המשולש הבנוי
תכונות של קטע המחבר בין הבסיסים של טרפז
אם תצייר קטע שקצהו מונחים על בסיסי טרפז, שנמצא בנקודת החיתוך של אלכסוני הטרפז (KN), אז היחס בין הקטעים המרכיבים אותו מצד הבסיס לנקודת החיתוך של האלכסונים (KO/ON) יהיה שווה ליחס הבסיסים של הטרפז(לפני הספירה/לספירה).
KO/ON = BC/AD
תכונה זו נובעת מהדמיון של המשולשים המתאימים (ראה לעיל).
תכונות של קטע מקביל לבסיסי טרפז
אם נצייר קטע מקביל לבסיסי הטרפז ועובר דרך נקודת החיתוך של אלכסוני הטרפז, אזי יהיו לו המאפיינים הבאים:
- מרחק שצוין (KM) חצוי על ידי נקודת החיתוך של אלכסוני הטרפז
- אורך מקטעמעבר דרך נקודת החיתוך של אלכסוני הטרפז ומקביל לבסיסים שווה ל KM = 2ab/(a + b)
נוסחאות למציאת האלכסונים של טרפז
א, ב- בסיסי טרפז
ג, ד- הצדדים של הטרפז
d1 d2- אלכסונים של טרפז
α β - זוויות עם בסיס גדול יותר של הטרפז
נוסחאות למציאת האלכסונים של טרפז דרך הבסיסים, הצלעות והזוויות בבסיס
הקבוצה הראשונה של נוסחאות (1-3) משקפת את אחת התכונות העיקריות של אלכסוני טרפז:
1. סכום ריבועי האלכסונים של טרפז שווה לסכום ריבועי הצלעות ועוד כפול מכפלת הבסיסים שלו. ניתן להוכיח תכונה זו של אלכסוני טרפז כמשפט נפרד
2 . הנוסחה הזומתקבל על ידי שינוי הנוסחה הקודמת. ריבוע האלכסון השני נזרק דרך סימן השוויון, ולאחר מכן חולץ השורש הריבועי מהצד השמאלי והימני של הביטוי.
3 . נוסחה זו למציאת אורך האלכסון של טרפז דומה לזו הקודמת, בהבדל שנותר אלכסון נוסף בצד שמאל של הביטוי
קבוצת הנוסחאות הבאה (4-5) דומות במשמעותן ומבטאות קשר דומה.
קבוצת הנוסחאות (6-7) מאפשרת למצוא את האלכסון של טרפז אם הבסיס הגדול יותר של הטרפז, צד צד אחד והזווית בבסיס ידועים.
נוסחאות למציאת האלכסונים של טרפז דרך הגובה
מְשִׁימָה.
האלכסונים של הטרפז ABCD (AD | | BC) מצטלבים בנקודה O. מצא את אורך הבסיס BC של הטרפז אם הבסיס AD = 24 ס"מ, אורך AO = 9 ס"מ, אורך OS = 6 ס"מ.
פִּתָרוֹן.
הפתרון לבעיה זו זהה מבחינה אידיאולוגית לחלוטין לבעיות הקודמות.
משולשים AOD ו-BOC דומים בשלוש זוויות - AOD ו-BOC הם אנכיים, ושאר הזוויות שוות בזוגיות, שכן הן נוצרות על ידי חיתוך של ישר אחד ושני ישרים מקבילים.
מכיוון שהמשולשים דומים, כל הממדים הגיאומטריים שלהם קשורים זה לזה, בדיוק כמו הממדים הגיאומטריים של הקטעים AO ו-OC המוכרים לנו לפי תנאי הבעיה. זה
AO/OC = AD/BC
9 / 6 = 24 / לפני הספירה
לפני הספירה = 24 * 6 / 9 = 16
תשובה: 16 ס"מ
משימה .
בטרפז ABCD ידוע ש-AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. מצא את השטח של הטרפז. 
פתרון.
כדי למצוא את גובהו של טרפז מהקודקודים של הבסיס הקטן יותר B ו-C, נוריד שני גבהים לבסיס הגדול יותר. מכיוון שהטרפז אינו שווה, נסמן את האורך AM = a, אורך KD = b ( לא להתבלבל עם הסימון בנוסחהמציאת השטח של טרפז). מכיוון שהבסיסים של הטרפז מקבילים, והורדנו שני גבהים בניצב לבסיס הגדול יותר, אז MBCK הוא מלבן.
אומר
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - ב
המשולשים DBM ו-ACK הם מלבניים, ולכן הזוויות הישר שלהם נוצרות על ידי הגבהים של הטרפז. הבה נסמן את גובה הטרפז ב-h. ואז, לפי משפט פיתגורס
H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
ו
h 2 + (24 - ב) 2 = 13 2
ניקח בחשבון ש-a = 16 - b, ואז במשוואה הראשונה
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2
הבה נחליף את הערך של ריבוע הגובה במשוואה השנייה המתקבלת באמצעות משפט פיתגורס. אנחנו מקבלים:
425 - (8 + ב) 2 + (24 - ב) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - ב) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
אז KD = 12
איפה
h 2 = 425 - (8 + ב) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5
מצא את שטח הטרפז דרך גובהו וחצי מסכום הבסיסים
, כאשר a b - בסיס הטרפז, h - גובה הטרפז
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 ס"מ 2
תשובה: שטח הטרפז הוא 80 סמ"ר.
אם האלכסונים בטרפז שווה שוקיים מאונכים, החומר התיאורטי הבא יהיה שימושי בפתרון הבעיה.
1. אם האלכסונים בטרפז שווה שוקיים מאונכים, גובה הטרפז שווה למחצית מסכום הבסיסים.
הבה נצייר קו CF מקביל ל-BD דרך נקודה C ונרחיב את הישר AD עד שהוא נחתך עם CF.
מרובע BCFD הוא מקבילית (BC∥ DF כבסיס של טרפז, BD∥ CF לפי בנייה). אז CF=BD, DF=BC ו-AF=AD+BC.
משולש ACF הוא ישר זווית (אם ישר מאונך לאחד משני ישרים מקבילים, אז הוא גם מאונך לישר השני). מכיוון שבטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים ו-CF=BD, אז CF=AC, כלומר, משולש ACF שווה שוקיים עם AF בסיס. זה אומר שהגובה שלו CN הוא גם החציון. ומכיוון שהחציון של משולש ישר-זווית הנמשך אל תחתית הקרקע שווה למחציתו, אז
מה בפנים השקפה כלליתניתן לכתוב כ
כאשר h הוא גובה הטרפז, a ו-b הם הבסיסים שלו.
2. אם האלכסונים בטרפז שווה שוקיים מאונכים, אזי גובהו שווה לקו האמצע.
מכיוון שקו האמצע של הטרפז m שווה למחצית מסכום הבסיסים, אז
3. אם האלכסונים בטרפז שווה שוקיים מאונכים, אז שטח הטרפז שווה לריבוע גובה הטרפז (או ריבוע חצי סכום הבסיסים, או ריבוע קו האמצע ).
מאז השטח של טרפז נמצא על ידי הנוסחה
והגובה, מחצית מסכום הבסיסים והקו האמצעי של טרפז שווה שוקיים עם אלכסונים מאונכים שווים זה לזה:
4. אם האלכסונים בטרפז שווה שוקיים מאונכים, הרי שריבוע האלכסון שלו שווה למחצית הריבוע של סכום הבסיסים, וכן כפול ריבוע הגובה ופעמיים ריבוע קו האמצע.
מכיוון שניתן למצוא את השטח של מרובע קמור דרך האלכסונים שלו והזווית ביניהם באמצעות הנוסחה
שוב המשולש הפיתגורי :))) אם חלק מהאלכסון הגדול מהבסיס הגדול לנקודת החיתוך מסומן x, אז מהדמיון הברור של משולשים ישרים עם זוויות שוות הוא נובע.x/64 = 36/x, ומכאן x = 48;48/64 = 3/ 4, לכן כל המשולשים הישרים-זויים הנוצרים על ידי בסיסים, אלכסונים וצלע מאונכת לבסיס דומים למשולש עם הצלעות 3,4,5. היוצא מן הכלל היחיד הוא משולש שנוצר על ידי חתיכות של אלכסונים וצד אלכסוני, אבל אנחנו לא מעוניינים בו :). (כדי להבהיר, הדמיון המדובר הוא רק פונקציות טריגונומטריות של זוויות בעלות שם שונה:) אנחנו כבר יודעים את הטנגנס של הזווית בין האלכסון הראשי לבסיס הראשי, הוא שווה ל-3/4, כלומר הסינוס הוא שווה ל-3/5, והקוסינוס הוא 4/5:)) אפשר לכתוב מיד
תשובות. הבסיס התחתון הוא 80, גובה הטרפז יהיה 60, והעליון יהיה 45. (36*5/4 = 45, 64*5/4 = 80, 100*3/5 = 60)
משימות דומות:
1. בסיס המנסרה הוא משולש שצד אחד שלו הוא 2 ס"מ, והשניים האחרים בגודל 3 ס"מ כל אחד. קצה הצד הוא 4 ס"מ ועושה זווית של 45 עם מישור הבסיס. מצא את הקצה של קובייה שווה.
2. בסיס המנסרה הנוטה הוא משולש שווה צלעות עם הצלע a; אחד מפנים הצדדיות מאונך למישור הבסיס והוא מעוין, שהאלכסון הקטן יותר שלו שווה ל-c. מצא את נפח המנסרה.
3. בפריזמה משופעת, הבסיס הוא משולש ישר זווית, שהתחתון שלו שווה ל-c, זווית חדה אחת היא 30, קצה הצד שווה ל-k ועושה זווית של 60 עם מישור הבסיס.מצא את נפח המנסרה.
1. מצא את צלע הריבוע אם האלכסון שלו הוא 10 ס"מ
2. בטרפז שווה שוקיים, הזווית הקהה היא 135 מעלות, הבסיס הוא 4 ס"מ, והגובה הוא 2 ס"מ, למצוא את שטח הטרפז?
3. גובה הטרפז גדול פי 3 מאחד הבסיסים, אך חצי מהשני. מצא את הבסיסים של הטרפז והגובה אם שטח הטרפז הוא 168 ס"מ ריבוע?
4. במשולש ABC, זווית A = בזווית = 75 מעלות. מצא את BC אם שטח המשולש הוא 36 ס"מ ריבוע.
1. בטרפז ABCD עם הצלעות AB ו-CD, האלכסונים מצטלבים בנקודה O
א) השווה את שטחי המשולשים ABD ו-ACD
ב) השוו את שטחי המשולשים ABO ו-CDO
ג) הוכח ש-OA*OB=OC*OD
2. בסיס משולש שווה שוקיים קשור לצלע כ-4:3, והגובה הנמשך לבסיס הוא 30 ס"מ. מצא את הקטעים שאליהם חוצה הזווית בבסיס מחלקת את הגובה הזה.
3. קו AM משיק למעגל, AB הוא אקורד של מעגל זה. הוכח שהזווית MAB נמדדת במחצית מהקשת AB שנמצאת בתוך הזווית MAB.