כאשר משתנה אקראי מציית להתפלגות נורמלית. התפלגות נורמלית. הפצות רציפות ב-MS EXCEL. חלקות צפיפות רגילה דו משתנים

הַגדָרָה. נוֹרמָלִינקראת התפלגות ההסתברות רציפה משתנה רנדומלי, המתואר על ידי צפיפות ההסתברות

ההתפלגות הנורמלית נקראת גם חוק גאוס.

חוק ההתפלגות הנורמלית הוא מרכזי בתורת ההסתברות. זאת בשל העובדה שחוק זה בא לידי ביטוי בכל המקרים כאשר משתנה מקרי הוא תוצאה של פעולתם של מספר רב של גורמים שונים. כל שאר חוקי ההפצה מתקרבים לחוק הרגיל.

ניתן להראות בקלות שהפרמטרים הנכללים בצפיפות ההתפלגות הם, בהתאמה, התוחלת המתמטית וסטיית התקן של המשתנה האקראי X.

מצא את פונקציית ההפצה F(x).

חלקת צפיפות ההתפלגות הרגילה נקראת עקומה רגילהאוֹ עקומה גאוסית.

לעקומה נורמלית יש את התכונות הבאות:

1) הפונקציה מוגדרת על כל ציר המספרים.

2) לכולם איקספונקציית ההתפלגות לוקחת רק ערכים חיוביים.

3) ציר OX הוא האסימפטוטה האופקית של גרף צפיפות ההסתברות, שכן עם עלייה בלתי מוגבלת בערך המוחלט של הטיעון איקס, ערך הפונקציה שואף לאפס.

4) מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה.

כי בְּ- y' > 0בְּ- איקס< m ו אתה< 0 בְּ- x > מ, ואז בנקודה x = tלפונקציה יש מקסימום שווה ל.

5) הפונקציה היא סימטרית ביחס לקו ישר x = א, כי הֶבדֵל

(x - א) נכנס לפונקציית צפיפות ההתפלגות בריבוע.

6) כדי למצוא את נקודות הפיתול של הגרף, נמצא את הנגזרת השנייה של פונקציית הצפיפות.

בְּ x = m+ s ו x = m- s הנגזרת השנייה שווה לאפס, וכשעוברים בנקודות אלו היא משנה סימן, כלומר. בנקודות אלו לפונקציה יש נטייה.

בנקודות אלה, הערך של הפונקציה הוא .

בואו נבנה גרף של פונקציית צפיפות ההתפלגות.

גרפים נבנו עבור ט=0 ושלושה ערכים אפשריים של סטיית התקן s = 1, s = 2 ו-s = 7. כפי שניתן לראות, ככל שערך סטיית התקן עולה, הגרף הופך שטוח יותר, והערך המקסימלי יורד.

אם א> 0, אז הגרף יזוז לכיוון החיובי אם א < 0 – в отрицательном.

בְּ א= 0 ו-s = 1 נקראת העקומה מנורמל. משוואת עקומה מנורמלת:

לקיצור, אנו אומרים כי CV X מציית לחוק N(m,s), כלומר. X ~ N(m, s). הפרמטרים m ו-s עולים בקנה אחד עם המאפיינים העיקריים של ההתפלגות: m = m X , s = s X = . אם SV X ~ N(0, 1), אז זה נקרא ערך תקין מתוקנן. DF נקרא ערך נורמלי מתוקנן פונקציית Laplaceומסומן כ Ф(x). ניתן להשתמש בו כדי לחשב הסתברויות מרווחים עבור ההתפלגות הנורמלית N(m, s):

P(x 1 £ X< x 2) = Ф - Ф .

בעת פתרון בעיות בהתפלגות נורמלית, לעתים קרובות יש צורך להשתמש בערכים טבלאיים של פונקציית Laplace. מכיוון שפונקציית לפלס מספקת את היחס F(-x) = 1 - F(x), אז מספיק שיהיו ערכים טבלאיים של הפונקציה F(x)רק עבור ערכי ארגומנט חיוביים.

עבור ההסתברות לפגיעה במרווח שהוא סימטרי ביחס לתוחלת המתמטית, הנוסחה הבאה נכונה: P(|X - m X |< e) = 2×F(e/s) - 1.

המומנטים המרכזיים של ההתפלגות הנורמלית מספקים את היחס הרקורסי: m n +2 = (n+1)s 2 m n , n = 1, 2, ... . זה מרמז שכל המומנטים המרכזיים בסדר אי זוגי שווים לאפס (שכן m 1 = 0).

מצא את ההסתברות שמשתנה אקראי המחולק לפי החוק הנורמלי נכנס למרווח נתון.

לציין

כי אינטגרל אינו מתבטא במונחים של פונקציות אלמנטריות, ואז הפונקציה מוכנסת בחשבון

,

שנקרא פונקציית Laplaceאוֹ אינטגרל הסתברות.

הערכים של פונקציה זו ב ערכים שונים איקסמחושב ומוצג בטבלאות מיוחדות.

להלן גרף של פונקציית Laplace.

לפונקציית Laplace יש את המאפיינים הבאים:

2) F(- איקס) = - F( איקס);

פונקציית Laplace נקראת גם פונקציית שגיאהוסמן erf איקס.

עדיין בשימוש מנורמלפונקציית לפלס, הקשורה לפונקציית לפלס על ידי היחס:

להלן עלילה של פונקציית Laplace המנורמלת.

כאשר בוחנים את ההתפלגות הנורמלית, מובחן מקרה מיוחד חשוב, המכונה כלל שלוש סיגמא.

נרשום את ההסתברות שהסטייה של משתנה אקראי מחולק נורמלית מהתוחלת המתמטית קטנה מערך נתון D:

אם נקבל D = 3s, נקבל באמצעות טבלאות הערכים של פונקציית Laplace:

הָהֵן. ההסתברות שמשתנה אקראי יחרוג מהתוחלת המתמטית שלו בכמות גדולה מפי שלוש מסטיית התקן היא כמעט אפס.

כלל זה נקרא כלל שלוש סיגמא.

בפועל, נחשב שאם עבור משתנה אקראי כלשהו מתקיים הכלל של שלוש סיגמא, אז למשתנה האקראי הזה יש התפלגות נורמלית.

דוגמא.הרכבת מורכבת מ-100 קרונות. המסה של כל עגלה היא משתנה מקרי המופץ לפי החוק הרגיל עם תוחלת מתמטית א= 65 t וסטיית תקן s = 0.9 t. הקטר יכול לשאת רכבת במשקל של לא יותר מ-6600 t, אחרת יש צורך בחיבור קטר שני. מצא את ההסתברות שהקטר השני אינו נדרש.

הקטר השני אינו נדרש אם הסטייה של מסת הרכבת מהצפוי (100 × 65 = 6500) אינה עולה על 6600 - 6500 = 100 טון.

כי למסה של כל קרון יש התפלגות נורמלית, אז גם המסה של הרכבת כולה תתחלק בצורה נורמלית.

אנחנו מקבלים:

דוגמא.משתנה אקראי שחולק נורמלי X ניתן על ידי הפרמטרים שלו - a \u003d 2 -תוחלת מתמטית ו-s = 1 – סטיית תקן. נדרש לכתוב את צפיפות ההסתברות ולבנות את הגרף שלה, למצוא את ההסתברות ש-X ייקח ערך מהמרווח (1; 3), למצוא את ההסתברות ש-X סוטה (מודולו) מהתוחלת המתמטית בלא יותר מ-2.

לצפיפות ההפצה יש את הצורה:

בואו נבנה גרף:

בואו נמצא את ההסתברות לפגיעה במשתנה אקראי במרווח (1; 3).

מצא את ההסתברות שהמשתנה האקראי סוטה מהתוחלת המתמטית בערך שאינו גדול מ-2.

ניתן לקבל את אותה תוצאה באמצעות פונקציית Laplace המנורמלת.

הרצאה 8 חוק המספרים הגדולים(סעיף 2)

תוכנית הרצאה

משפט גבול מרכזי (ניסוח כללי וניסוח מסוים למשתנים אקראיים בלתי תלויים בחלוקה זהה).

אי השוויון של צ'בישב.

חוק המספרים הגדולים בצורת צ'בישב.

הרעיון של תדירות אירועים.

הבנה סטטיסטית של הסתברות.

חוק המספרים הגדולים בצורת ברנולי.

חקר הסדירות הסטטיסטית איפשר לקבוע שבתנאים מסוימים, ההתנהגות הכוללת של מספר רב של משתנים אקראיים כמעט מאבדת את אופייה האקראי והופכת לסדירה (במילים אחרות, סטיות אקראיות מהתנהגות ממוצעת כלשהי מבטלות זו את זו). . בפרט, אם ההשפעה על סכום האיברים הבודדים קטנה באופן אחיד, חוק ההתפלגות של הסכום מתקרב לנורמלי. הניסוח המתמטי של משפט זה ניתן בקבוצה של משפטים הנקראים חוק המספרים הגדולים.

חוק המספרים הגדולים – עיקרון כללי, שבזכותו הפעולה המשולבת של גורמים אקראיים מובילה, בכמה תנאים כלליים מאוד, לתוצאה כמעט בלתי תלויה במקרה. הדוגמה הראשונה לפעולה של עיקרון זה יכולה להיות התכנסות של תדירות התרחשות של אירוע אקראי עם ההסתברות שלו עם עלייה במספר הניסויים (לעיתים קרובות משמש בפועל, למשל, כאשר משתמשים בתדירות ההתרחשות של כל איכות המשיב במדגם כאומדן מדגם של ההסתברות המתאימה).

מַהוּת חוק המספרים הגדוליםהוא שעם מספר רב של ניסויים עצמאיים, תדירות התרחשות של אירוע כלשהו קרובה להסתברות שלו.

משפט הגבול המרכזי (CLT) (בניסוח של Lyapunov A.M. עבור RVs בחלוקה זהה).אם ל-RVs X 1 , X 2 , ..., X n , ... יש את אותו חוק התפלגות עם מאפיינים מספריים סופיים M = m ו- D = s 2 , אז עבור n ® ¥ חוק ההפצה של RV ללא הגבלת זמן מתקרב לחוק הנורמלי N(n×m, ).

תוֹצָאָה.אם במצב של משפט CB , אז כאשר n ® ¥ חוק ההתפלגות של SW Y מתקרב לחוק הרגיל N(m, s/ ) ללא הגבלת זמן.

משפט דה מויברה-לפלאס.תן ל-SV K להיות מספר ה"הצלחות" ב-n ניסויים לפי סכימת ברנולי. לאחר מכן, עבור n ® ¥ וערך קבוע של ההסתברות ל"הצלחה" בניסוי אחד p, חוק ההפצה של RV K מתקרב ללא הגבלת זמן לחוק הרגיל N(n×p, ).

תוֹצָאָה.אם, במצב של המשפט, במקום SV K, נבחן את SV K/n - תדירות ה"הצלחות" ב-n ניסויים לפי סכימת ברנולי, אזי חוק ההפצה שלו עבור n ® ¥ וערך קבוע של p מתקרב לחוק הרגיל N(p, ) ללא הגבלת זמן.

תגובה.תן ל-SV K להיות מספר ה"הצלחות" ב-n ניסויים לפי סכימת ברנולי. חוק ההפצה של SW כזה הוא החוק הבינומי. ואז, בתור n ® ¥, לחוק הבינומי יש שתי התפלגויות גבול:

n הפצה פויסון(עבור n ® ¥ ו-l = n×p = const);

n הפצה גאוס N(n×p, ) (עבור n ® ¥ ו-p = const).

דוגמא.ההסתברות ל"הצלחה" בניסוי אחד היא רק p = 0.8. כמה ניסויים צריך לעשות כדי שעם הסתברות של לפחות 0.9 נוכל לצפות שהתדירות הנצפית של "הצלחה" בניסויים לפי סכימת ברנולי חורגת מההסתברות p בלא יותר מ-e = 0.01?

פִּתָרוֹן.לשם השוואה, אנו פותרים את הבעיה בשתי דרכים.

חוק ההתפלגות הנורמלית של הסתברויות של משתנה אקראי רציף תופס מקום מיוחד בין חוקים תיאורטיים שונים, שכן הוא העיקרי במחקרים מעשיים רבים. הוא מתאר את רוב התופעות האקראיות הקשורות לתהליכי ייצור.

תופעות אקראיות המצייתות לחוק ההפצה הנורמלית כוללות טעויות מדידה של פרמטרי ייצור, התפלגות טעויות ייצור טכנולוגיות, גובה ומשקל של רוב העצמים הביולוגיים וכו'.

נוֹרמָלִי קוראים לחוק התפלגות ההסתברות של משתנה מקרי רציף, המתואר על ידי פונקציה דיפרנציאלית

a - תוחלת מתמטית למשתנה אקראי;

סטיית התקן של ההתפלגות הנורמלית.

גרף הפונקציה הדיפרנציאלית של ההתפלגות הנורמלית נקרא עקומה נורמלית (עקומה גאוסית) (איור 7).

אורז. 7 עקומה גאוסית

תכונות של עקומה נורמלית (עקומה גאוסית):

1. העקומה סימטרית על הישר x = a;

2. העקומה הרגילה ממוקמת מעל ציר X, כלומר, עבור כל הערכים של X, הפונקציה f(x) תמיד חיובית;

3. ציר השור הוא האסימפטוטה האופקית של הגרף, כי

4. עבור x = a, לפונקציה f(x) יש מקסימום שווה ל

,

בנקודות A ו-B at ולעקומה יש נקודות פיתול שהאורדינטות שלהן שוות.

יחד עם זאת, ההסתברות שהערך המוחלט של הסטייה של משתנה אקראי המחולק נורמלית מהתוחלת המתמטית שלו לא יעלה על סטיית התקן שווה ל-0.6826.

בנקודות E ו-G, עבור ו , הערך של הפונקציה f(x) שווה ל

וההסתברות שהערך המוחלט של הסטייה של משתנה אקראי המחולק נורמלית מהתוחלת המתמטית שלו לא יעלה על פי שניים מסטיית התקן היא 0.9544.

בהתקרבות אסימפטוטית לציר האבשיסה, העקומה של גאוס בנקודות C ו-D, ב- ו, מתקרבת מאוד לציר האבשיסה. בנקודות אלה, הערך של הפונקציה f(x) קטן מאוד

וההסתברות שהערך המוחלט של הסטייה של משתנה אקראי שחולק נורמלית מהתוחלת המתמטית שלו לא יעלה על פי שלוש מסטיית התקן היא 0.9973. תכונה זו של עקומה גאוסית נקראת " כלל שלוש סיגמא".

אם משתנה מקרי מתחלק נורמלית, אזי הערך המוחלט של הסטייה שלו מהתוחלת המתמטית אינו עולה על פי שלוש מסטיית התקן.

שינוי ערכו של הפרמטר a (הציפייה המתמטית למשתנה מקרי) אינו משנה את צורת העקומה הרגילה, אלא רק מוביל להזזה שלו לאורך ציר ה-X: ימינה אם a גדל, ולשמאל אם a. יורד.

כאשר a=0, העקומה הרגילה היא סימטרית על ציר ה-y.

שינוי ערך הפרמטר (סטיית תקן) משנה את צורת העקומה הנורמלית: עם הגדלת האורדינאטות של ירידת העקומה הרגילה, העקומה נמתחת לאורך ציר ה-X ונלחצת אליה. כאשר יורדים, הקורינטות של העקומה הרגילה גדלות, העקומה מתכווצת לאורך ציר ה-X והופכת ל"שיא" יותר.

יחד עם זאת, עבור כל ערכים של ו, השטח התחום על ידי העקומה הרגילה וציר ה-X נשאר שווה לאחד (כלומר, ההסתברות שמשתנה אקראי המחולק בצורה נורמלית יקבל ערך תחום על ידי העקומה הנורמלית ב- ציר X שווה ל-1).

התפלגות נורמלית עם פרמטרים שרירותיים ו, ​​כלומר, מתוארת על ידי פונקציה דיפרנציאלית

שקוראים לו התפלגות נורמלית כללית.

ההתפלגות הנורמלית עם פרמטרים ו נקראת התפלגות מנורמלת(איור 8). בהתפלגות מנורמלת, פונקציית ההתפלגות הדיפרנציאלית היא:

אורז. 8 עקומה מנורמלת

לפונקציה האינטגרלית של ההתפלגות הנורמלית הכללית יש את הצורה:

תנו למשתנה אקראי X להתחלק לפי החוק הנורמלי במרווח (ג, ד). אז ההסתברות ש-X לוקח ערך השייך למרווח (c,d) שווה ל

דוגמא.המשתנה האקראי X מתחלק לפי החוק הנורמלי. התוחלת המתמטית וסטיית התקן של משתנה מקרי זה הם a=30 ו. מצא את ההסתברות ש-X לוקח ערך במרווח (10, 50).

לפי תנאי: . לאחר מכן

באמצעות טבלאות Laplace מוכנות (ראה נספח 3), יש לנו.

בתורת ההסתברות, נחשב מספר גדול למדי של חוקי הפצה שונים. לפתרון בעיות הקשורות לבניית תרשימי בקרה, רק חלק מהן מעניינות. החשוב שבהם הוא חוק ההפצה הרגילה, המשמש לבניית תרשימי בקרה המשמשים ב בקרה כמותית, כלומר כאשר עסקינן במשתנה אקראי רציף. חוק ההפצה הרגילה תופס מקום מיוחד בין חוקי ההפצה האחרים. זה מוסבר על ידי העובדה, שראשית, לרוב נתקלים בו בפועל, ושנית, זהו החוק המגביל, שאליו ניגשים דיני הפצה אחרים, תחת תנאים טיפוסיים. באשר לנסיבות השניות, הוכח בתורת ההסתברות שהסכום של מספר גדול מספיק של משתנים אקראיים בלתי תלויים (או תלויים במידה חלשה) הכפופים לחוקי התפלגות כלשהם (בכפוף להגבלות מסוימות מאוד לא נוקשות) מציית בקירוב לחוק הרגיל , וזה מתקיים ככל שמספר המשתנים האקראיים המסוכמים יהיה גדול יותר. את רוב המשתנים האקראיים שנתגלו בפועל, כמו למשל טעויות מדידה, ניתן לייצג כסכום של מספר גדול מאוד של מונחים קטנים יחסית - טעויות אלמנטריות, שכל אחת מהן נגרמת כתוצאה מפעולה של סיבה נפרדת בלתי תלויה. של האחרים. החוק הנורמלי מתרחש כאשר המשתנה האקראי איקסהוא תוצאה של מספר רב של גורמים שונים. כל גורם בנפרד לפי הערך איקסמשפיע מעט, ואי אפשר לציין מי מהם משפיע במידה רבה יותר מהאחרים.

התפלגות נורמלית(התפלגות לפלס-גאוס) היא התפלגות ההסתברות של משתנה מקרי רציף איקסכך שצפיפות התפלגות ההסתברות ב- ¥<х< + ¥ принимает действительное значение:

exp (3)

כלומר, ההתפלגות הנורמלית מאופיינת בשני פרמטרים m ו-s, כאשר m היא התוחלת המתמטית; s היא סטיית התקן של ההתפלגות הנורמלית.

ערך של 2 היא השונות של ההתפלגות הנורמלית.

התוחלת המתמטית m מאפיינת את מיקום מרכז ההפצה, וסטיית התקן s (RMS) היא מאפיין פיזור (איור 3).

f(x) f(x)

איור 3 - פונקציות צפיפות של ההתפלגות הנורמלית עם:

א) ציפיות מתמטיות שונות m; ב) RMS שונות.

לפיכך, הערך μ נקבע לפי המיקום של עקומת ההתפלגות על ציר ה-x. מֵמַד μ - זהה לממד המשתנה האקראי איקס. ככל שהציפייה המתמטית עולה, שתי הפונקציות נעות במקביל ימינה. עם השונות הולכת ופוחתת s 2 הצפיפות נעשית מרוכזת יותר ויותר סביב m, בעוד שפונקציית החלוקה הופכת תלולה יותר ויותר.

הערך של σ קובע את צורת עקומת ההתפלגות. מכיוון שהשטח מתחת לעקומת ההתפלגות חייב להישאר תמיד שווה לאחדות, ככל ש-σ גדל, עקומת ההתפלגות נעשית שטוחה יותר. על איור. 3.1 מציג שלוש עקומות עבור σ שונה: σ1 = 0.5; σ2 = 1.0; σ3 = 2.0.

איור 3.1 - פונקציות צפיפות של ההתפלגות הנורמלית עם RMS שונים.

לפונקציית ההתפלגות (פונקציה אינטגרלית) יש את הצורה (איור 4):

(4)

איור 4 - פונקציות התפלגות נורמלית אינטגרלית (א) ודיפרנציאלית (ב).

חשיבות מיוחדת היא הטרנספורמציה הליניארית של משתנה אקראי מחולק נורמלית איקס, לאחר מכן מתקבל משתנה אקראי זעם תוחלת מתמטית 0 ושונות 1. טרנספורמציה כזו נקראת נורמליזציה:

ניתן לעשות זאת עבור כל משתנה אקראי. נורמליזציה מאפשרת לצמצם את כל הגרסאות האפשריות של ההתפלגות הנורמלית למקרה אחד: m = 0, s = 1.

ההתפלגות הנורמלית עם m = 0, s = 1 נקראת התפלגות נורמלית מנורמלת (תקנית).

התפלגות נורמלית סטנדרטית(התפלגות Laplace-Gauss סטנדרטית או התפלגות נורמלית מנורמלת) היא התפלגות ההסתברות של משתנה אקראי נורמלי מתוקנן ז, שצפיפות ההתפלגות שלו שווה ל:

ב- ¥<ז< + ¥

ערכי פונקציה Ф(z)נקבע על ידי הנוסחה:

(7)

ערכי פונקציה Ф(z)וצפיפות f(z)התפלגות נורמלית מנורמלת מחושבת ומסכמת בטבלאות (בלוח). הטבלה מורכבת רק עבור ערכים חיוביים זבגלל זה:

F (–z) = 1–Ф (z) (8)

באמצעות טבלאות אלה, ניתן לקבוע לא רק את ערכי הפונקציה והצפיפות של ההתפלגות הנורמלית המנורמלת עבור נתון ז, אלא גם הערכים של פונקציית ההתפלגות הנורמלית הכללית, שכן:

; (9)

. 10)

בבעיות רבות הקשורות למשתנים אקראיים בחלוקה נורמלית, יש צורך לקבוע את ההסתברות לפגיעה במשתנה מקרי. איקס, בכפוף לחוק הרגיל עם פרמטרים m ו-s, לאזור מסוים. אתר כזה יכול להיות, למשל, שדה סובלנות לפרמטר מהערך העליון Uלתחתית ל.

ההסתברות ליפול לתוך המרווח מ איקס 1 ל איקס 2 ניתן לקבוע על ידי הנוסחה:

לפיכך, ההסתברות לפגיעה במשתנה אקראי (ערך פרמטר) איקסבשדה הסובלנות נקבע על ידי הנוסחה

התפלגות נורמלית ( התפלגות נורמלית) - ממלא תפקיד חשוב בניתוח נתונים.

לפעמים במקום המונח נוֹרמָלִי הפצהלהשתמש במונח תפוצה גאוסיתלכבודו של ק. גאוס (מונחים ישנים יותר, כמעט שאינם בשימוש כעת: חוק גאוס, התפלגות גאוס-לפלאס).

התפלגות נורמלית חד משתנית

להתפלגות הנורמלית יש צפיפות::

בנוסחה זו, פרמטרים קבועים, - מְמוּצָע, - תֶקֶן חֲרִיגָה.

ניתנים גרפים של צפיפות עבור פרמטרים שונים.

לפונקציה האופיינית של ההתפלגות הנורמלית יש את הצורה:

הבדלה בין התפקוד וההגדרה האופייניים t = 0, אנו משיגים רגעים מכל סדר.

עקומת צפיפות ההתפלגות הנורמלית היא סימטרית ביחס ובעלת מקסימום יחיד בנקודה זו, שווה ל

פרמטר סטיית התקן משתנה מ-0 ל-∞.

מְמוּצָע משתנה בין -∞ ל-+∞.

ככל שהפרמטר גדל, העקומה מתפשטת לאורך הציר איקס, נוטה ל-0 מתכווץ סביב הערך הממוצע (הפרמטר מאפיין את ההתפשטות, הפיזור).

כשזה משתנה העקומה מוזזת לאורך הציר איקס(ראה גרפים).

על ידי שינוי הפרמטרים ו, ​​אנו מקבלים מודלים שונים של משתנים אקראיים המתעוררים בטלפוניה.

יישום טיפוסי של החוק הרגיל בניתוח, למשל, נתוני טלקומוניקציה הוא מודל אותות, תיאור של רעש, הפרעות, שגיאות, תעבורה.

גרפים של ההתפלגות הנורמלית החד-משתנית

איור 1. עלילת צפיפות התפלגות נורמלית: הממוצע הוא 0, סטיית התקן היא 1

איור 2. מגרש צפיפות של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית עם שטחים המכילים 68% ו-95% מכל התצפיות

איור 3. חלקות צפיפות של התפלגויות נורמליות עם אפס ממוצע וסטיות שונות (=0.5, =1, =2)

איור 4 גרפים של שתי התפלגויות נורמליות N(-2,2) ו-N(3,2).

שימו לב שמרכז ההפצה הוסט בעת שינוי הפרמטר.

תגובה

בתוכנית סטָטִיסטִיקָההכינוי N(3,2) מובן כחוק נורמלי או גאוסי עם פרמטרים: ממוצע = 3 וסטיית תקן =2.

בספרות, לפעמים הפרמטר השני מתפרש כ פְּזִירָה, כלומר כיכרסטיית תקן.

חישובי אחוז נקודת התפלגות נורמלית עם מחשבון הסתברות סטָטִיסטִיקָה

שימוש במחשבון הסתברות סטָטִיסטִיקָהאפשר לחשב מאפיינים שונים של התפלגויות מבלי להזדקק לטבלאות המסורבלות המשמשות בספרים ישנים.

שלב 1.אנחנו משיקים אָנָלִיזָה / מחשבון הסתברות / הפצות.

בקטע ההפצה, בחר נוֹרמָלִי.

איור 5. הפעלת מחשבון התפלגות ההסתברות

שלב 2ציין את הפרמטרים שבהם אנו מעוניינים.

לדוגמה, אנו רוצים לחשב את הכמות של 95% של התפלגות נורמלית עם ממוצע של 0 וסטיית תקן של 1.

ציין פרמטרים אלו בשדות המחשבון (ראה שדות של ממוצע המחשבון וסטיית תקן).

הבה נציג את הפרמטר p=0.95.

תיבת סימון "Reverse f.r.". יוצג אוטומטית. סמן את התיבה "גרף".

לחץ על כפתור "חשב" בפינה השמאלית העליונה.

איור 6. הגדרת פרמטר

שלב 3בשדה Z, נקבל את התוצאה: ערך הקוונטיל הוא 1.64 (ראה בחלון הבא).

איור 7. צפייה בתוצאה של המחשבון

איור 8. חלקות של פונקציות צפיפות ופיזור. ישר x=1.644485

איור 9. גרפים של פונקציית ההתפלגות הנורמלית. קווים מנוקדים אנכיים - x=-1.5, x=-1, x=-0.5, x=0

איור 10. גרפים של פונקציית ההתפלגות הנורמלית. קווים מנוקדים אנכיים - x=0.5, x=1, x=1.5, x=2

אומדן של פרמטרים של התפלגות נורמלית

ניתן לחשב ערכי התפלגות נורמלית באמצעות מחשבון אינטראקטיבי.

התפלגות נורמלית דו משתנית

ההתפלגות הנורמלית החד-משתנית מכללה באופן טבעי ל דו מימדהתפלגות נורמלית.

לדוגמה, אם אתה מחשיב אות בנקודה אחת בלבד, אז מספיקה לך התפלגות חד מימדית, בשתי נקודות - התפלגות דו מימדית, בשלוש נקודות - התפלגות תלת מימדית וכן הלאה.

הנוסחה הכללית להתפלגות הנורמלית הדו-משתנית היא:

איפה המתאם הזוגי בין x1ו x2;

x1בהתאמה;

ממוצע וסטיית תקן של משתנה x2בהתאמה.

אם משתנים אקראיים X 1ו X 2הם בלתי תלויים, אז המתאם הוא 0, = 0, בהתאמה, האיבר האמצעי במעריך נעלם, ויש לנו:

f(x 1 ,x 2) = f(x 1)*f(x 2)

עבור כמויות בלתי תלויות, הצפיפות הדו-ממדית מתפרקת למכפלה של שתי צפיפויות חד-ממדיות.

חלקות צפיפות רגילה דו משתנים

איור 11. חלקת צפיפות של התפלגות נורמלית דו-משתנית (וקטור ממוצע אפס, מטריצת קו-שונות של יחידה)

איור 12. חתך של חלקת הצפיפות של ההתפלגות הנורמלית הדו-ממדית לפי המישור z=0.05

איור 13. חלקת צפיפות של ההתפלגות הנורמלית הדו-משתנית (וקטור תוחלת אפס, מטריצת שיתוף פעולה עם 1 באלכסון הראשי ו-0.5 באלכסון הצד)

איור 14. חתך רוחב של חלקת הצפיפות הנורמלית הדו-ממדית (וקטור התוחלת אפס, מטריצת שיתופיות עם 1 באלכסון הראשי ו-0.5 באלכסון הצד) לפי המישור z=0.05

איור 15. חלקת צפיפות של התפלגות נורמלית דו-משתנית (וקטור תוחלת אפס, מטריצת שיתופיות עם 1 באלכסון הראשי ו-0.5 באלכסון הצד)

איור 16. חתך של חלקת הצפיפות של ההתפלגות הנורמלית הדו-ממדית (וקטור תוחלת אפס, מטריצת שיתוף פעולה עם 1 באלכסון הראשי ו-0.5 באלכסון הצד) לפי המישור z=0.05

איור 17. חתכים של חלקות של צפיפות התפלגות נורמלית דו-ממדית לפי מישור z=0.05

להבנה טובה יותר של ההתפלגות הנורמלית הדו-משתנית, נסה את הבעיה הבאה.

משימה. הסתכלו על הגרף של ההתפלגות הנורמלית הדו-משתנית. תחשוב על זה, האם זה יכול להיות מיוצג כסיבוב של גרף של התפלגות נורמלית חד מימדית? מתי צריך ליישם את טכניקת הדפורמציה?

בפועל, רוב המשתנים האקראיים, המושפעים ממספר רב של גורמים אקראיים, מצייתים לחוק הרגיל של התפלגות ההסתברות. לכן, ביישומים שונים של תורת ההסתברות, לחוק זה חשיבות מיוחדת.

משתנה אקראי $X$ מציית לחוק התפלגות ההסתברות הרגילה אם לצפיפות התפלגות ההסתברות שלו יש את הצורה הבאה

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

באופן סכמטי, הגרף של הפונקציה $f\left(x\right)$ מוצג באיור ויש לו את השם "עקומה גאוסית". מימין לגרפיקה הזו נמצא השטר הגרמני 10 מארק, שהיה בשימוש עוד לפני כניסת היורו. אם תסתכלו היטב, אז בשטר הזה תוכלו לראות את העקומה הגאוסיית ואת מגלה שלה, המתמטיקאי הגדול ביותר קרל פרידריך גאוס.

נחזור לפונקציית הצפיפות שלנו $f\left(x\right)$ וניתן קצת הסבר על פרמטרי ההתפלגות $a,\ (\sigma )^2$. הפרמטר $a$ מאפיין את מרכז הפיזור של ערכי המשתנה האקראי, כלומר יש לו משמעות של הציפייה המתמטית. כאשר הפרמטר $a$ משתנה והפרמטר $(\sigma )^2$ נשאר ללא שינוי, נוכל לראות את ההסטה של ​​הגרף של הפונקציה $f\left(x\right)$ לאורך ציר האבססיס, בעוד הצפיפות הגרף עצמו אינו משנה את צורתו.

הפרמטר $(\sigma )^2$ הוא השונות ומאפיין את צורת עקומת הצפיפות $f\left(x\right)$. כאשר משנים את הפרמטר $(\sigma )^2$ עם הפרמטר $a$ ללא שינוי, נוכל לראות כיצד גרף הצפיפות משנה את צורתו, מתכווץ או מתמתח, תוך שהוא אינו זז לאורך האבשיסה.

הסתברות של משתנה אקראי שחולק נורמלית ליפול לתוך מרווח נתון

כידוע, ניתן לחשב את ההסתברות שמשתנה אקראי $X$ ייפול לתוך המרווח $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

כאן הפונקציה $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ היא פונקציית לפלס. הערכים של פונקציה זו לקוחים מ-. ניתן לציין את המאפיינים הבאים של הפונקציה $\Phi \left(x\right)$.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, כלומר הפונקציה $\Phi \left(x\right)$ היא מוזרה.

2 . $\Phi \left(x\right)$ היא פונקציה הגדלה מונוטונית.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ left(x\right)\ )=-0.5$.

כדי לחשב את הערכים של הפונקציה $\Phi \left(x\right)$, ניתן גם להשתמש באשף הפונקציות $f_x$ של חבילת Excel: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left (x;0;1;1\right )-0.5$. לדוגמה, בוא נחשב את ערכי הפונקציה $\Phi \left(x\right)$ עבור $x=2$.

ניתן לחשב את ההסתברות שמשתנה מקרי $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ ייפול למרווח סימטרי ביחס לתוחלת $a$ באמצעות הנוסחה

$$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

כלל שלוש סיגמא. זה כמעט בטוח שמשתנה אקראי שחולק נורמלי $X$ נופל לתוך המרווח $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$.

דוגמה 1 . המשתנה האקראי $X$ כפוף לחוק התפלגות ההסתברות הרגילה עם הפרמטרים $a=2,\ \sigma =3$. מצא את ההסתברות ש$X$ נופל לתוך המרווח $\left(0,5;1\right)$ ואת ההסתברות שאי השוויון $\left|X-a\right|< 0,2$.

שימוש בנוסחה

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

מצא את $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left((((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0,5-2)\ over (3))\right)=\Phi \left(-0.33\right)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi \left(0.5\right)-\Phi \ left(0.33\right) =0.191-0.129=$0.062.

$$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

דוגמה 2 . נניח שבמהלך השנה מחיר מניות של חברה מסויימת הוא משתנה אקראי המופץ על פי החוק הרגיל עם תוחלת מתמטית השווה ל-50 יחידות כספיות קונבנציונליות וסטיית תקן השווה ל-10. מה ההסתברות שעל בחירה אקראית ביום של התקופה הנידונה, מחיר המניה יהיה:

א) יותר מ-70 יחידות כספיות קונבנציונליות?

ב) מתחת ל-50 למניה?

ג) בין 45 ל-58 יחידות כספיות קונבנציונליות למניה?

תן למשתנה האקראי $X$ להיות המחיר של מניות של חברה כלשהי. לפי תנאי $X$ כפוף להתפלגות נורמלית עם פרמטרים $a=50$ - תוחלת מתמטית, $\sigma =10$ - סטיית תקן. הסתברות $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$a)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ over (10))\right)=0.5-\Phi \left(2\right)=0.5-0.4772=0.0228.$$

$$b)\ P\left(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$c)\ P\left(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$