ל-4 מאפיינים של שורשים מרובעים גרסת הכנה. מאפיינים של שורשים, ניסוחים, הוכחות, דוגמאות. עכשיו לגמרי לבד

\(\sqrt(a)=b\) if \(b^2=a\), כאשר \(a≥0,b≥0\)

דוגמאות:

\(\sqrt(49)=7\) כי \(7^2=49\)
\(\sqrt(0.04)=0.2\), כי \(0.2^2=0.04\)

איך לחלץ את השורש הריבועי של מספר?

כדי לחלץ את השורש הריבועי של מספר, אתה צריך לשאול את עצמך את השאלה: איזה מספר בריבוע ייתן את הביטוי מתחת לשורש?

לדוגמה. חלץ את השורש: a)\(\sqrt(2500)\); ב) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); ג) \(\sqrt(0.001)\); ד) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

א) איזה מספר בריבוע ייתן \(2500\)?

\(\sqrt(2500)=50\)

ב) איזה מספר בריבוע ייתן \(\frac(4)(9)\) ?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

ג) איזה מספר בריבוע ייתן \(0.0001\)?

\(\sqrt(0.0001)=0.01\)

ד) איזה מספר בריבוע ייתן \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)? כדי לתת תשובה לשאלה, עליך לתרגם לשאלה הלא נכונה.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

תגובה: למרות ש\(-50\), \(-\frac(2)(3)\) , \(-0,01\),\(- \frac(7)(6)\) עונים גם על השאלות הנתונות , אבל הם לא נלקחים בחשבון, שכן השורש הריבועי תמיד חיובי.

המאפיין העיקרי של השורש

כפי שאתה יודע, במתמטיקה, לכל פעולה יש הפוך. בחיבור יש חיסור, לכפל יש חילוק. ההיפך מריבוע הוא לקחת את השורש הריבועי. לכן, פעולות אלה מבטלות זו את זו:

\((\sqrt(a))^2=a\)

זהו המאפיין העיקרי של השורש, שבו נעשה שימוש לרוב (כולל ב-OGE)

דוגמא . (משימה מה-OGE). מצא את הערך של הביטוי \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)

פִּתָרוֹן :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36) )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

דוגמא . (משימה מה-OGE). מצא את הערך של הביטוי \((\sqrt(85)-1)^2\)

פִּתָרוֹן:

תשובה: \(86-2\sqrt(85)\)

כמובן, כאשר עובדים עם שורש ריבועי, אתה צריך להשתמש באחרים.

דוגמא . (משימה מה-OGE). מצא את הערך של הביטוי \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
פִּתָרוֹן:

תשובה: \(220\)

4 כללים שתמיד שוכחים

לא תמיד מחלצים את השורש

דוגמא: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) וכו'. - חילוץ שורש ממספר לא תמיד אפשרי וזה נורמלי!

שורש של מספר, גם מספר

אין צורך להתייחס ל\(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\) בשום דרך מיוחדת. אלו מספרים, אבל לא מספרים שלמים, כן, אבל לא כל דבר בעולם שלנו נמדד במספרים שלמים.

השורש נלקח רק ממספרים לא שליליים

לכן, בספרי לימוד לא תראה ערכים כאלה \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\) וכו'.

הסתכלתי שוב על הצלחת... ובוא נלך!

נתחיל עם אחד פשוט:

חכה דקה. זה, מה שאומר שאנחנו יכולים לכתוב את זה כך:

הבנת? הנה הבא בשבילך:

השורשים של המספרים המתקבלים לא נשלפים בדיוק? אל דאגה, הנה כמה דוגמאות:

אבל מה אם אין שני מכפילים, אלא יותר? אותו הדבר! נוסחת הכפל השורש עובדת עם כל מספר של גורמים:

עכשיו עצמאי לחלוטין:

תשובות:כל הכבוד! מסכים, הכל מאוד קל, העיקר לדעת את לוח הכפל!

חלוקת שורשים

הבנו את הכפל של השורשים, עכשיו נמשיך למאפיין החלוקה.

זכור כי הנוסחה השקפה כלליתנראה כך:

וזה אומר את זה שורש המנה שווה למנה השורשים.

ובכן, בואו נסתכל על דוגמאות:

זה הכל מדע. והנה דוגמה:

הכל לא חלק כמו בדוגמה הראשונה, אבל כפי שאתה יכול לראות, אין שום דבר מסובך.

מה אם הביטוי נראה כך:

אתה רק צריך ליישם את הנוסחה הפוך:

והנה דוגמה:

אתה יכול גם לראות את הביטוי הזה:

הכל אותו דבר, רק כאן אתה צריך לזכור איך לתרגם שברים (אם אתה לא זוכר, תסתכל על הנושא וחזור!). נזכר? עכשיו אנחנו מחליטים!

אני בטוח שהתמודדת עם הכל, הכל, עכשיו בוא ננסה לבנות שורשים במידה.

אקספוננציה

מה קורה אם השורש הריבועי בריבוע? זה פשוט, זכרו את המשמעות של השורש הריבועי של מספר – זהו מספר שהשורש הריבועי שלו שווה לו.

אם כן, אם אנחנו בריבוע מספר שהשורש הריבועי שלו שווה, אז מה נקבל?

ובכן, כמובן, !

בואו נסתכל על דוגמאות:

הכל פשוט, נכון? ואם השורש בדרגה אחרת? זה בסדר!

היצמד לאותו היגיון וזכור את המאפיינים והפעולות האפשריות עם מעלות.

קרא את התיאוריה בנושא "" והכל יתברר לך מאוד.

לדוגמה, הנה ביטוי:

בדוגמה זו, התואר זוגי, אבל מה אם הוא אי זוגי? שוב, הפעל את מאפייני הכוח וחשוב על הכל:

עם זה נראה שהכל ברור, אבל איך מחלצים את השורש ממספר במעלה? הנה, למשל, זה:

די פשוט, נכון? מה אם התואר גדול משניים? אנו פועלים לפי אותו היגיון תוך שימוש במאפיינים של מעלות:

נו, הכל ברור? ואז פתור את הדוגמאות שלך:

והנה התשובות:

הקדמה בסימן השורש

מה שפשוט לא למדנו לעשות עם השורשים! נותר רק להתאמן בהזנת המספר מתחת לסימן השורש!

זה די קל!

נניח שיש לנו מספר

מה אנחנו יכולים לעשות עם זה? ובכן, כמובן, הסתר את המשולש מתחת לשורש, תוך כדי לזכור כי המשולש הוא השורש הריבועי של!

למה אנחנו צריכים את זה? כן, רק כדי להרחיב את היכולות שלנו בעת פתרון דוגמאות:

איך אתה אוהב את התכונה הזו של שורשים? עושה את החיים הרבה יותר קלים? מבחינתי זה נכון! רק עלינו לזכור שאנו יכולים להזין רק מספרים חיוביים תחת סימן השורש הריבועי.

נסה את הדוגמה הזו בעצמך:
הסתדרת? בוא נראה מה אתה צריך לקבל:

כל הכבוד! הצלחת להזין מספר מתחת לסימן השורש! בואו נעבור למשהו חשוב לא פחות - שקול כיצד להשוות מספרים המכילים שורש ריבועי!

השוואת שורשים

מדוע עלינו ללמוד להשוות מספרים המכילים שורש ריבועי?

פשוט מאוד. לעתים קרובות, בביטויים גדולים וארוכים שנתקלים בבחינה, אנו מקבלים תשובה לא הגיונית (אתה זוכר מה זה? כבר דיברנו על זה היום!)

עלינו למקם את התשובות שהתקבלו על קו הקואורדינטות, למשל, כדי לקבוע איזה מרווח מתאים לפתרון המשוואה. וכאן נוצר החסך: אין מחשבון בבחינה, ובלעדיו, איך לדמיין איזה מספר גדול יותר ואיזה קטן יותר? זהו זה!

לדוגמה, קבע מה גדול יותר: או?

אתה לא תגיד מיד. ובכן, בואו נשתמש במאפיין המנתח של הוספת מספר מתחת לסימן השורש?

ואז קדימה:

ובכן, ברור שככל שהמספר מתחת לסימן השורש גדול יותר, כך השורש עצמו גדול יותר!

הָהֵן. אם אומר .

מכאן אנו מסיקים זאת בתוקף ואף אחד לא ישכנע אותנו אחרת!

חילוץ שורשים ממספרים גדולים

לפני כן, הצגנו גורם בסימן השורש, אבל איך מוציאים אותו? אתה רק צריך לחשב את זה ולחלץ את מה שחולץ!

אפשר היה ללכת בדרך אחרת ולהתפרק לגורמים אחרים:

לא נורא, נכון? כל אחת מהגישות הללו נכונה, תחליטו איך אתם מרגישים בנוח.

פקטורינג שימושי מאוד בעת פתרון משימות לא סטנדרטיות כמו זו:

אנחנו לא נבהלים, אנחנו פועלים! אנו מפרקים כל גורם מתחת לשורש לגורמים נפרדים:

ועכשיו נסה את זה בעצמך (בלי מחשבון! זה לא יהיה בבחינה):

האם זה הסוף? אנחנו לא עוצרים באמצע הדרך!

זה הכל, זה לא כל כך מפחיד, נכון?

קרה? כל הכבוד, אתה צודק!

עכשיו נסה את הדוגמה הזו:

ודוגמה היא אגוז קשה לפיצוח, כך שאי אפשר להבין מיד איך לגשת אליו. אבל אנחנו, כמובן, בשיניים.

ובכן, בוא נתחיל לעשות פקטורינג, נכון? מיד נציין שאתה יכול לחלק מספר ב (זכור את סימני ההתחלקות):

ועכשיו, נסה זאת בעצמך (שוב, ללא מחשבון!):

ובכן, זה עבד? כל הכבוד, אתה צודק!

סיכום

השורש הריבועי (שורש ריבועי אריתמטי) של מספר לא שלילי הוא מספר לא שלילי שהריבוע שלו שווה.
.
אם רק ניקח את השורש הריבועי של משהו, תמיד נקבל תוצאה אחת לא שלילית.
תכונות שורש אריתמטיות:
כאשר משווים שורשים מרובעים, יש לזכור שככל שהמספר מתחת לסימן השורש גדול יותר, כך השורש עצמו גדול יותר.

איך אתה אוהב את השורש הריבועי? הכל ברור?

ניסינו להסביר לכם בלי מים את כל מה שצריך לדעת בבחינה על השורש הריבועי.

תורך. כתבו לנו אם הנושא הזה קשה לכם או לא.

למדת משהו חדש או שהכל כבר היה כל כך ברור.

כתבו בתגובות ובהצלחה במבחנים!

כותרת: עצמאי ו עבודות מבחןבאלגברה וגיאומטריה לכיתה ח'.

המדריך מכיל עבודה עצמאית ובקרה על כל הנושאים החשובים ביותר של קורס אלגברה וגיאומטריה בכיתה ח'.

העבודות מורכבות מ-6 גרסאות של שלוש רמות קושי. חומרים דידקטיים נועדו לארגן עבודה עצמאית מובחנת של תלמידים.

תוֹכֶן
אַלגֶבּרָה 4
C-1 ביטוי רציונלי. הפחתת שבר 4
C-2 חיבור וחיסור שברים 5
K-1 שברים רציונליים. חיבור וחיסור שברים 7
C-3 כפל וחילוק שברים. העלאת שבר בחזקת 10
C-4 טרנספורמציה של ביטויים רציונליים 12
C-5 מידתיות הפוכה ועלילתה 14
K-2 שברים רציונליים 16
C-6 שורש ריבועי אריתמטי 18
C-7 משוואה x2 = א. פונקציה y = y[x 20
C-8 שורש ריבועי של המוצר, שבר, חזקת 22
K-3 שורש ריבועי אריתמטי ותכונותיו 24
C-9 הכנסה וכפל בשורשים ריבועיים 27
C-10 המרת ביטויים המכילים שורשים מרובעים 28
K-4 יישום המאפיינים של השורש הריבועי האריתמטי 30
C-11 משוואות ריבועיות לא שלמות 32
C-12 Quadratic Root Formula 33
С-13 פתרון בעיות באמצעות משוואות ריבועיות. משפט וייטה 34
K-5 משוואות ריבועיות 36
C-14 משוואות רציונליות חלקיות 38
C-15 יישום משוואות רציונליות שברים. פתרון בעיות 39
K-6 משוואות רציונליות חלקיות 40
C-16 מאפיינים של אי-שוויון מספרי 43
K-7 אי שוויון מספרי ותכונותיהם 44
С-17 אי שוויון ליניארי עם משתנה אחד 47
С-18 מערכות של אי-שוויון ליניארי 48
K-8 אי-שוויון ליניארי ומערכות אי-שוויון עם משתנה אחד 50
C-19 מעלות ג אינדיקטור שלילי 52
תואר K-9 עם מעריך מספר שלם 54
K-10 מבחן שנתי 56
גיאומטריה (לפי פוגורלוב) 58
C-1 מאפיינים ומאפיינים של מקבילית". 58
C-2 מלבן. מְעוּיָן. ריבוע 60
K-1 מקבילית 62
C-3 משפט תאלס. קו אמצע של משולש 63
C-4 טרפז. קו אמצע של טרפז 66
K-2 טרפז. קווים חציוניים של משולש וטרפז .... 68
C-5 משפט פיתגורס 70
משפט С-6, משוחח למשפט פיתגורס. מאונך ואלכסוני 71
C-7 משולש אי-שוויון 73
K-3 משפט פיתגורס 74
C-8 פתרון משולשים ישרים 76
C-9 מאפיינים של פונקציות טריגונומטריות 78
K-4 משולש ישר (מבחן סיכום) 80
С-10 קואורדינטות של אמצע הקטע. מרחק בין נקודות. משוואת מעגל 82
C-11 משוואת ישר 84
K-5 קואורדינטות קרטזיות 86
תנועת С-12 ותכונותיה. סימטריה מרכזית וצירית. בן 88
C-13. העברה מקבילה 90
C-14 הרעיון של וקטור. שוויון וקטור 92
C-15 פעולות עם וקטורים בצורת קואורדינטות. וקטורים קולינאריים 94
C-16 פעולות עם וקטורים בצורה גיאומטרית 95
C-17 Dot מוצר 98
K-6 וקטורים 99
K-7 מבחן שנתי 102
גיאומטריה (על פי Atanasyan) 104
C-1 מאפיינים ומאפיינים של מקבילית 104
C-2 מלבן. מְעוּיָן. ריבוע 106
K-1 Quadrangles 108
C-3 שטח של מלבן, ריבוע 109
C-4 שטח מקבילית, מעוין, משולש 111
C-5 אזור טרפז 113
C-6 משפט פיתגורס 114
K-2 ריבועים. משפט פיתגורס 116
C-7 הגדרה של משולשים דומים. מאפיין חוצה זווית של משולש 118
С-8 סימני דמיון של משולשים 120
K-3 דמיון משולשים 122
C-9 החלת דמיון לפתרון בעיות 124
C-10 יחסים בין צלעות וזוויות משולש ישר זווית 126
K-4 יישום של דמיון לפתרון בעיות. יחסים בין צלעות וזוויות של משולש ישר זווית 128
C-11 טנג'נט למעגל 130
C-12 זוויות מרכזיות וכתובות 132
C-13 משפט על מכפלת מקטעים של אקורדים מצטלבים. נקודות משולש יוצאות דופן 134
ג-14 עיגולים כתובים ומוקפים 136
K-5 מעגל 137
C-15 חיבור וחיסור וקטור 139
C-16 כפל וקטור במספר 141
C-17 קו אמצע של הטרפז 142
K-6 וקטורים. החלת וקטורים לפתרון בעיות 144
K-7 מבחן שנתי 146
תשובות 148
ספרות 157

הַקדָמָה .
1. ספר אחד קטן יחסית מכיל סט שלם עבודת אימות(כולל מבחני גמר) לכל קורס האלגברה והגיאומטריה של כיתה ח', אז מספיק לרכוש סט ספרים אחד לכיתה.
הבחינות מיועדות לשיעור, עבודה עצמאית- 20-35 דקות, תלוי בנושא. לנוחות השימוש בספר, הכותרת של כל יצירה עצמאית ובקרה משקפת את נושאה.

2. האוסף מאפשר לבצע בקרה מובחנת בידע, שכן המשימות מחולקות לשלוש רמות מורכבות א', ב' ו-ג' רמה א' תואמת את דרישות התכנית החובה, ב' - רמת המורכבות הממוצעת, רמה ג'. המשימות מיועדות לתלמידים המגלים עניין מוגבר במתמטיקה, וגם לשימוש בכיתות, בתי ספר, אולמות כושר וליסיאומים עם מחקר מעמיקמָתֵימָטִיקָה. לכל רמה ניתנות 2 אפשרויות שוות זו לצד זו (כפי שהן כתובות בדרך כלל על הלוח), כך שספר אחד לכל שולחן מספיק לשיעור.

הורדה חינם של ספר אלקטרוני בפורמט נוח, צפו וקראו:
הורד את הספר עבודה עצמאית ומבחן באלגברה וגיאומטריה לכיתה ח'. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 - fileskachat.com, הורדה מהירה וחינמית.

במאמר זה ננתח את העיקר תכונות שורש. נתחיל במאפיינים של השורש הריבועי האריתמטי, נביא את הניסוחים שלהם ונביא הוכחות. לאחר מכן, נעסוק בתכונות השורש האריתמטי של המעלה ה-n.

ניווט בדף.

מאפייני שורש ריבועי

בסעיף זה נעסוק בדברים העיקריים הבאים תכונות של השורש הריבועי האריתמטי:

בכל אחד מהשוויון הכתוב, ניתן להחליף את החלק השמאלי והימני, לדוגמה, ניתן לשכתב את השוויון כ . בצורה "הפוכה" זו, התכונות של השורש הריבועי האריתמטי מיושמות כאשר פישוט ביטוייםבאותה תדירות כמו בצורה ה"ישירה".

ההוכחה של שני המאפיינים הראשונים מבוססת על ההגדרה של השורש הריבועי האריתמטי ועל . וכדי להצדיק את התכונה האחרונה של השורש הריבועי האריתמטי, אתה צריך לזכור.

אז בואו נתחיל עם הוכחה לתכונת השורש הריבועי האריתמטי של מכפלת שני מספרים לא שליליים: . לשם כך, על פי הגדרת השורש הריבועי החשבוני, די להראות שהוא מספר לא שלילי שהריבוע שלו שווה ל- b . בוא נעשה את זה. ערכו של הביטוי אינו שלילי כמכפלה של מספרים לא שליליים. התכונה של מידת המכפלה של שני מספרים מאפשרת לנו לכתוב את השוויון , ומאחר לפי הגדרת השורש הריבועי החשבוני ו , אז .

באופן דומה, הוכח שהשורש הריבועי האריתמטי של המכפלה של k גורמים לא שליליים a 1 , a 2 , …, a k שווה למכפלת השורשים הריבועיים האריתמטיים של גורמים אלה. באמת, . משוויון זה נובע כי .

הנה כמה דוגמאות: ו.

עכשיו בואו נוכיח תכונה של השורש הריבועי האריתמטי של מנה: . המאפיין של מנת הכוח הטבעית מאפשר לנו לכתוב את השוויון , א , בעוד שיש מספר לא שלילי. זו ההוכחה.

למשל, ו .

הגיע הזמן לפרק תכונה של השורש הריבועי האריתמטי של ריבוע של מספר, בצורה של שוויון כתוב כ . כדי להוכיח זאת, שקול שני מקרים: עבור a≥0 ועבור a<0 .

ברור שעבור a≥0 השוויון נכון. קל גם לראות שעבור א<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 ו-(-a) 2 =a 2 . לכן, , שהיה צריך להוכיח.

הנה כמה דוגמאות: ו .

המאפיין של השורש הריבועי שזה עתה הוכח מאפשר לנו להצדיק את התוצאה הבאה, שבה a הוא כל מספר ממשי, ו-m הוא כל. אכן, תכונת האקספונציה מאפשרת לנו להחליף את התואר a 2 m בביטוי (a m) 2, ואז .

לְמָשָׁל, ו .

תכונות של השורש ה-n

בוא נרשום תחילה את העיקריות תכונות של שורשים n:

כל השוויון הכתוב נשאר בתוקף אם הצד השמאלי והימין מוחלפים בהם. בצורה זו, הם משמשים לעתים קרובות, בעיקר בעת פישוט ושינוי ביטויים.

ההוכחה של כל המאפיינים הקוליים של השורש מבוססת על הגדרת השורש האריתמטי של המעלה ה-n', על מאפייני התואר ועל הגדרת המודול של המספר. בואו נוכיח אותם לפי סדר עדיפות.

נתחיל עם ההוכחה תכונות של השורש ה-n של מוצר . עבור a ו-b שאינם שליליים, גם ערך הביטוי אינו שלילי, וכך גם המכפלה של מספרים שאינם שליליים. תכונת המוצר של כוחות טבעיים מאפשרת לנו לכתוב את השוויון . לפי הגדרת השורש האריתמטי של התואר ה-n, ולכן, . זה מוכיח את המאפיין הנחשב של השורש.

תכונה זו הוכחה באופן דומה עבור מכפלת k גורמים: עבור מספרים לא שליליים a 1 , a 2 , …, a n ו.

להלן דוגמאות לשימוש בתכונה של השורש של הדרגה ה-n של המוצר: ו.

בואו נוכיח תכונת שורש של מנה. עבור a≥0 ו-b>0, התנאי מתקיים, ו .

בואו נראה דוגמאות: ו .

אנחנו ממשיכים הלאה. בואו נוכיח תכונה של השורש ה-n של מספר בחזקת n. כלומר, נוכיח זאת לכל מ' אמיתי וטבעי. עבור a≥0 יש לנו ו , מה שמוכיח את השוויון ואת השוויון מובן מאליו. למשך<0 имеем и (המעבר האחרון תקף בגלל תכונת הכוח עם מעריך זוגי), מה שמוכיח את השוויון, ו נכון בשל העובדה שכאשר מדברים על שורש מדרגה מוזרה, לקחנו עבור כל מספר לא שלילי ג.

להלן דוגמאות לשימוש במאפיין השורש המנתח: and .

אנו ממשיכים להוכחת המאפיין של השורש מהשורש. הבה נחליף את החלק הימני והשמאלי, כלומר, נוכיח את תקפות השוויון, כלומר תקפות השוויון המקורי. עבור מספר לא שלילי a, השורש הריבועי של הצורה הוא מספר לא שלילי. נזכור את המאפיין של העלאת כוח לכוח, ושימוש בהגדרת השורש, נוכל לכתוב שרשרת של שוויון של הצורה . זה מוכיח את התכונה הנחשבת של שורש משורש.

תכונתו של שורש משורש משורש מוכחת באופן דומה, וכן הלאה. בֶּאֱמֶת, .

לדוגמה, ו.

הבה נוכיח את הדברים הבאים תכונת הפחתת מעריך שורש. לשם כך, מתוקף הגדרת השורש, די להראות שקיים מספר לא שלילי שכאשר מועלה בחזקת n m שווה ל-m. בוא נעשה את זה. ברור שאם המספר a אינו שלילי, אז השורש ה-n של המספר a הוא מספר לא שלילי. איפה , מה שמשלים את ההוכחה.

הנה דוגמה לשימוש במאפיין השורש המנתח: .

הבה נוכיח את התכונה הבאה, תכונת השורש של דרגת הצורה . ברור שעבור a≥0 התואר הוא מספר לא שלילי. יתר על כן, החזקה ה-n שלו שווה ל-m, אכן, . זה מוכיח את המאפיין הנחשב של התואר.

לדוגמה, .

בוא נמשיך הלאה. הבה נוכיח כי עבור כל מספרים חיוביים a ו-b שעבורם התנאי a , כלומר, a≥b . וזה סותר את התנאי א

לדוגמה, אנו נותנים את אי השוויון הנכון .

לבסוף, נותר להוכיח את התכונה האחרונה של השורש ה-n. תחילה נוכיח את החלק הראשון של תכונה זו, כלומר, נוכיח את זה עבור m>n ו-0 . לאחר מכן, בשל התכונות של תואר עם מעריך טבעי, אי השוויון , כלומר, a n ≤ a m. ואי השוויון שנוצר עבור m>n ו-0
באופן דומה, בסתירה, מוכח שעבור m>n ו-a>1 מתקיים התנאי.

הבה ניתן דוגמאות ליישום התכונה המוכחת של השורש במספרים קונקרטיים. למשל, אי השוויון ונכונים.

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. אלגברה: ספר לימוד ל-8 תאים. מוסדות חינוך.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ועוד. אלגברה והתחלות הניתוח: ספר לימוד לכיתות י'-יא' של מוסדות חינוך כלליים.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. מתמטיקה (מדריך למועמדים לבתי ספר טכניים).