איזו מהנוסחאות הללו היא הנוסחה של הרון. שטח של משולש. דוגמאות לפתרון בעיות

נוסחת ג'רונה נוסחת גיבור

מבטא את השטח סמשולש מבחינת אורכי שלושת צלעותיו א, בו עםוחצי היקפי ר = (א + ב + עם)/2: . נקרא על שם אנפה מאלכסנדריה.

נוסחת HERONA

HERON FORMULA, מבטאת את השטח סמשולש מבחינת אורכי שלושת צלעותיו א, בו גוחצי היקפי פ = (א + ב + ג)/2
נקרא על שם אנפה מאלכסנדריה.

מילון אנציקלופדי . 2009 .

ראה מהי "נוסחת ג'רון" במילונים אחרים:

מבטא את שטח S של משולש במונחים של אורכי שלוש צלעותיו a, b ו-c והחצי-היקף P = (a + b + c) / 2 על שם אנפה מאלכסנדריה ... מילון אנציקלופדי גדול

נוסחה המבטאת את שטחו של משולש במונחים של שלוש צלעותיו. כלומר, אם a, b, c הם אורכי צלעות המשולש, ו-S הוא השטח שלו, אז ה-G.f. יש את הצורה: כאשר p מציין את חצי ההיקף של המשולש G. f. ... ...

הנוסחה המבטאת את שטחו של משולש במונחים של צלעותיו a, b, c: כאשר על שם אנפה (במאה ה-1 לספירה), א.ב. איבנוב ... אנציקלופדיה מתמטית

מבטא את שטח 5 של משולש במונחים של אורכי שלוש צלעותיו a, b ו-c והחצי-היקף p \u003d (a + b + c) / 2: s \u003d ריבוע. root p(p a)(p b)(p c). נקרא על שם אנפה מאלכסנדריה... מדע טבעי. מילון אנציקלופדי

- ... ויקיפדיה

מאפשר לך לחשב את שטחו של משולש (S) על צלעותיו a, b, c: כאשר p הוא חצי ההיקף של המשולש: . הוכחה היכן הזווית משולשת ... ויקיפדיה

מבטא את שטחו של מרובע הכתוב במעגל כפונקציה של אורכי צלעותיו. אם למרובע רשום יש אורכי צלעות וחצי-היקף, אז השטח שלו הוא ... ויקיפדיה

מאמר זה חסר קישורים למקורות מידע. המידע חייב להיות בר אימות, אחרת הוא עלול להיחקר ולהסירו. אתה יכול לערוך מאמר זה כך שיכלול קישורים למקורות מוסמכים. סימן זה ... ... ויקיפדיה

- (הרנוס אלכסנדרינוס) (שנות לידה ומוות לא ידועות, כנראה המאה ה-1), מדען יווני עתיק שפעל באלכסנדריה. מחבר העבודות שבהן תיאר באופן שיטתי את ההישגים העיקריים של העולם העתיק בתחום המכניקה השימושית, V ... ... האנציקלופדיה הסובייטית הגדולה

אלכסנדרוני (Heronus Alexandrinus) (שנות לידה ומוות לא ידועות, כנראה המאה ה-1), מדען יווני עתיק שפעל באלכסנדריה. מחבר היצירות שבהן תיאר באופן שיטתי את ההישגים העיקריים של העולם העתיק בתחום ... ... האנציקלופדיה הסובייטית הגדולה

יכולת חשיבה מתמטיתאחת היכולות האצילות ביותר של האדם.

המחזאי האירי ברנרד שו

הנוסחה של הרון

במתמטיקה בבית הספר, הנוסחה של הרון פופולרית מאוד, שהשימוש בה מאפשר לך לחשב את שטח המשולש לאורך שלושת צלעותיו. יחד עם זאת, מעט תלמידים יודעים שיש נוסחה דומה לחישוב שטח המרובעים הרשומים במעגל. נוסחה כזו נקראת הנוסחה של Brahmagupta. קיימת גם נוסחה מעט ידועה לחישוב שטחו של משולש משלושת הגבהים שלו, שגזירתה נובעת מהנוסחה של הרון.

חישוב שטח המשולשים

להכניס משולשצדדים, ו . אז המשפט הבא (נוסחת הרון) תקף.

משפט 1.

איפה .

הוכחה.בעת גזירת נוסחה (1), נשתמש בגיאומטריות הידועות נוסחאות טריקיות

, (2)

. (3)

מנוסחאות (2) ו-(3) נקבל ו. מאז

. (4)

אם אנו מייעדים ואז נוסחה (1) נובעת משוויון (4). המשפט הוכח.

שקול כעת את שאלת חישוב השטח של משולשבתנאי , ששלושת גבהיו ידועים, ו .

משפט 2.השטח מחושב לפי הנוסחה

. (5)

הוכחה.מאז, ו, אז

במקרה זה, מנוסחה (1) אנו מקבלים

אוֹ

מכאן נובעת נוסחה (5). המשפט הוכח.

חישוב שטח מרובעים

שקול הכללה של הנוסחה של הרון למקרה של חישוב שטח של מרובעים. עם זאת, יש לציין מיד שהכללה כזו אפשרית רק עבור מרובעים הרשומים במעגל.

תן למרובעיש צדדים , ו .

אם הוא מרובע, רשום במעגל, אז משפט 3 (הנוסחה של ברהמגופטה) מתקיים.

משפט 3.כיכר מחושב לפי הנוסחה

איפה .

הוכחה.צייר אלכסון במרובע וקבל שני משולשים ו. אם ניישם את משפט הקוסינוס על המשולשים האלה, שהוא שווה ערך לנוסחה (3), אז נוכל לכתוב

מכיוון שהמרובע רשום במעגל, סכום הזוויות ההפוכות שלו הוא , כלומר. .

כי או ואז מ-(7) נקבל

אוֹ

. (8)

מאז . אולם, ולכן

מאז , אז נוסחאות (8) ו-(9) מרמזות

אם נשים, ואז מכאן נקבל נוסחה (6). המשפט הוכח.

אם המרובע הכתובמתואר במקביל, אז הנוסחה (6) מפושטת מאוד.

משפט 4.שטחו של מרובע, שנרשם במעגל אחד ומתואר סביב השני, מחושב על ידי הנוסחה

. (10)

הוכחה.מכיוון שמעגל רשום במרובע, השוויון

במקרה זה, , , ונוסחה (6) מומרת בקלות לנוסחה (10). המשפט הוכח.

הבה נעבור לבחינה של דוגמאות לבעיות גיאומטריה, פתרונו מתבצע על בסיס יישום המשפטים המוכחים.

דוגמאות לפתרון בעיות

דוגמה 1. מצא אזור, אם ו .

פִּתָרוֹן.מאז כאן, לפי משפט 1 אנחנו מקבלים

תשובה: .

הערה, אם צלעות המשולשלקבל משמעויות לא רציונליות, ואז חישוב השטח שלועל ידי שימוש בנוסחה (1), בדרך כלל , אינו יעיל. במקרה זה, כדאי ליישם נוסחאות (2) ו-(3) ישירות.

דוגמה 2מצא את האזור אם , ו .

פִּתָרוֹן.בהתחשב בנוסחאות (2) ו-(3), אנו מקבלים

מאז , אז או .

תשובה: .

דוגמה 3מצא את האזור אם , ו .

פִּתָרוֹן.בגלל ה ,

ואז נובע ממשפט 2 ש.

תשובה: .

דוגמה 4למשולש יש צלעות , ו . מצא ו , היכן נמצאים הרדיוסים של המעגלים המוקפים והחרוטים, בהתאמה.

פִּתָרוֹן.בוא נחשב קודם את השטח. מאז , אז מנוסחה (1) אנו מקבלים .

ידוע כי ו. בגלל זה.

דוגמה 5מצא את השטח של מרובע רשום במעגל אם , , ו .

פִּתָרוֹן.מתנאי הדוגמה עולה כי . ואז, לפי משפט 3, נקבל .

דוגמה 6מצא את השטח של מרובע רשום במעגל עם צלעות , ו .

פִּתָרוֹן.מאז ו , אז השוויון מתקיים במרובע. עם זאת, ידוע כי קיומו של שוויון כזה הוא תנאי הכרחי ומספיק כדי שיירשם עיגול במרובע נתון. בהקשר זה, ניתן להשתמש בנוסחה (10) לחישוב השטח, שממנה להלן.

להכנה עצמאית ואיכותית למבחני קבלה בתחום פתרון בעיות של גיאומטריה בית ספרית, ניתן להשתמש ביעילות בספרי לימוד, מופיע ברשימת הקריאה המומלצת.

1. גוטמן א.ג. בעיות בפלנימטריה ושיטות לפתרון שלהן. – מ.: נאורות, 1996. – 240 עמ'.

2. קולאגין E.D. , פדין ס.נ. גיאומטריית משולש בבעיות. - מ .: KD "ליברוקום" / URSS, 2009. - 208 עמ'.

3. אוסף בעיות במתמטיקה למועמדים למוסדות להשכלה גבוהה / אד. מִי. סקנאווי. - מ.: עולם וחינוך, 2013. - 608 עמ'.

4. Suprun V.P. מתמטיקה לתלמידי תיכון: חלקים נוספים מערכת של ביהס. – מ.: לננד / URSS, 2014. - 216 עמ'.

יש לך שאלות?

לקבלת עזרת מורה דרך - הירשמו.

אתר, עם העתקה מלאה או חלקית של החומר, נדרש קישור למקור.

ניתן למצוא על ידי ידיעה בסיסו גוֹבַה. כל הפשטות של הסכימה טמונה בעובדה שהגובה מחלק את הבסיס a לשני חלקים a 1 ו-2, ואת המשולש עצמו לשניים משולש ישר זווית, ששטחו מתקבל ו. ואז שטח המשולש כולו יהיה סכום שני השטחים המצוינים, ואם נוציא חצי מהגובה מהסוגר, אז בסך הכל נקבל בחזרה את הבסיס:

שיטה קשה יותר לחישובים היא נוסחת הארון, שעבורה אתה צריך לדעת את כל שלושת הצדדים. עבור נוסחה זו, תחילה עליך לחשב חצי היקף של משולש : הנוסחה של הרון עצמה מרמזת שורש ריבועימהחצי-היקף, כפול בתורו בהפרש שלו בכל צד.

השיטה הבאה, רלוונטית גם לכל משולש, מאפשרת לך למצוא את השטח של משולש דרך שתי צלעות ו פינהביניהם. ההוכחה לכך נובעת מהנוסחה עם הגובה - אנו מציירים את הגובה לכל אחת מהצלעות המוכרות ודרכן סינוס של זווית αאנחנו מקבלים את זה h=a⋅sinα. כדי לחשב את השטח, הכפל חצי מהגובה בצלע השניה.

דרך נוספת היא למצוא את השטח של משולש עם 2 זוויות ואת הצלע ביניהן. ההוכחה לנוסחה זו פשוטה למדי, וניתן לראות אותה בבירור מהתרשים.

אנו מורידים את הגובה מהחלק העליון של הפינה השלישית לצד הידוע וקוראים למקטעים המתקבלים x, בהתאמה. מ משולשים ישריםניתן לראות שהקטע הראשון x שווה למכפלה

מידע ראשוני

מלכתחילה, אנו מציגים מידע וסימון שיידרשו בהמשך.

נשקול משולש $ABC$ עם זוויות חדות $A$ ו-$C$. צייר בו גובה $BH$. הבה נציג את הסימון הבא: $AB=c,\ BC=a,\ $$AC=b,\ AH=x,\ BH=h\ $ (איור 1).

תמונה 1.

אנו מציגים ללא הוכחה את משפט שטח המשולש.

משפט 1

שטחו של משולש מוגדר כמחצית מהמכפלה של אורך הצלע שלו והגובה הנמשך אליה, כלומר

הנוסחה של הרון

אנו מציגים ומוכיחים משפט על מציאת שטחו של משולש בהינתן שלוש צלעות ידועות. נוסחה זו נקראת הנוסחאות של הרון.

משפט 2

תנו לנו שלוש צלעות של משולש $a,\b\ ו\c$. ואז השטח של המשולש הזה מתבטא באופן הבא

כאשר $p$ הוא חצי ההיקף של המשולש הנתון.

הוכחה.

נשתמש בסימון המובא באיור 1.

שקול משולש $ABH$. לפי משפט פיתגורס, אנחנו מקבלים

ברור ש$HC=AC-AH=b-x$

קחו בחשבון את המשולש $\CBH$. לפי משפט פיתגורס, אנחנו מקבלים

\ \ \

השווה את ערכי הגובה בריבוע משני היחסים שהתקבלו

\ \ \

מהמשוואה הראשונה נמצא את הגובה

\ \ \ \ \ \

מכיוון שהחצי-היקף שווה ל-$p=\frac(a+b+c)(2)$, כלומר $a+b+c=2p$, אז

\ \ \ \

לפי משפט 1, אנחנו מקבלים

המשפט הוכח.

דוגמאות למשימות לשימוש בנוסחת האנפה

דוגמה 1

מצא את השטח של משולש אם צלעותיו הן $3$ ס"מ, $6$ ס"מ ו-$7$ ס"מ.

פִּתָרוֹן.

תחילה נמצא את חצי ההיקף של המשולש הזה

לפי משפט 2, אנחנו מקבלים

תשובה:$4\sqrt(5)$.