Kocke u svemiru. Tesseract i n-dimenzionalne kocke općenito. Hiperkocka u umjetnosti
Ako ste obožavatelj filmova o Osvetnicima, prva stvar koja bi vam mogla pasti na pamet kada čujete riječ "Tesseract" je prozirna posuda u obliku kocke od kamena beskonačnosti koja sadrži neograničenu moć.
Za ljubitelje Marvelovog svemira, Tesseract je svjetleća plava kocka koja izluđuje ljude ne samo sa Zemlje, već i s drugih planeta. Zato su se svi Osvetnici okupili kako bi zaštitili Zemljane od iznimno razorne moći Tesseracta.
No, valja reći sljedeće: Tesseract je stvarni geometrijski koncept, točnije, oblik koji postoji u 4D. To nije samo plava kocka iz Osvetnika... to je pravi koncept.
Tesseract je objekt u 4 dimenzije. Ali prije nego što to detaljno objasnimo, krenimo od početka.
Što je "mjerenje"?
Svatko je čuo izraze 2D i 3D, koji predstavljaju dvodimenzionalne ili trodimenzionalne objekte u prostoru. Ali što je ovo?
Dimenzija je jednostavno smjer kojim možete ići. Na primjer, ako crtate crtu na komadu papira, možete ići lijevo/desno (x-os) ili gore/dolje (y-os). Pa kažemo da je papir dvodimenzionalan jer možete ići samo u dva smjera.
Postoji osjećaj dubine u 3D.
Sada, u stvarnom svijetu, osim dva gore navedena smjera (lijevo/desno i gore/dolje), također možete ići "do/od". Posljedično, 3D prostoru se dodaje osjećaj dubine. Stoga to kažemo stvaran život 3-dimenzionalni.
Točka može predstavljati 0 dimenzija (budući da se ne kreće ni u jednom smjeru), linija predstavlja 1 dimenziju (duljinu), kvadrat predstavlja 2 dimenzije (duljinu i širinu), a kocka predstavlja 3 dimenzije (duljinu, širinu i visinu). ).
Uzmite 3D kocku i zamijenite svako njezino lice (koje su trenutno kvadrati) kockom. I tako! Oblik koji dobijete je teserakt.
Što je teserakt?
Jednostavno rečeno, teserakt je kocka u 4-dimenzionalnom prostoru. Također se može reći da je to 4D analog kocke. Ovo je 4D oblik gdje je svaka strana kocka.
3D projekcija teserakta koji izvodi dvostruku rotaciju oko dvije ortogonalne ravnine. Slika: Jason Hise
Evo jednostavnog načina konceptualizacije dimenzija: kvadrat je dvodimenzionalan; dakle, svaki od njegovih uglova ima 2 linije koje se protežu od njega pod kutom od 90 stupnjeva jedna prema drugoj. Kocka je trodimenzionalna, tako da svaki njen kut ima 3 linije koje izlaze iz njega. Isto tako, teserakt je 4D oblik, tako da svaki kut ima 4 linije koje se protežu iz njega.
Zašto je teško zamisliti teserakt?
Budući da smo mi kao ljudi evoluirali da vizualiziramo objekte u tri dimenzije, sve što ide u dodatne dimenzije kao što su 4D, 5D, 6D, itd. za nas nema puno smisla jer ih uopće ne možemo predstaviti. Naš mozak ne može razumjeti 4. dimenziju u svemiru. Jednostavno ne možemo razmišljati o tome.
Čim sam mogao držati predavanja nakon operacije, prvo pitanje koje su studenti postavili bilo je:
Kad ćeš nam nacrtati 4-dimenzionalnu kocku? Ilyas Abdulkhaevich nam je obećao!
Sjećam se da moji dragi prijatelji ponekad vole trenutak matematičkih obrazovnih aktivnosti. Stoga ću ovdje napisati dio svog predavanja za matematičare. I pokušat ću a da ne bude dosadno. U nekim trenucima predavanje čitam strože, naravno.
Prvo da se dogovorimo. 4-dimenzionalni, a još više 5-6-7- i općenito k-dimenzionalni prostor nije nam dan u osjetilnim osjetima.
“Jadni smo jer smo samo trodimenzionalni,” rekla je moja učiteljica u nedjeljnoj školi, koja mi je prva rekla što je to 4-dimenzionalna kocka. Nedjeljna škola bila je, naravno, izrazito religiozno-matematička. Tada smo proučavali hiper-kocke. Tjedan dana prije ovoga, matematička indukcija, tjedan nakon toga, Hamiltonovi ciklusi u grafovima - prema tome, ovo je 7. razred.
Ne možemo dodirnuti, pomirisati, čuti ili vidjeti 4-dimenzionalnu kocku. Što možemo učiniti s tim? Možemo to zamisliti! Jer naš je mozak mnogo složeniji od očiju i ruku.
Dakle, da bismo razumjeli što je 4-dimenzionalna kocka, prvo shvatimo što nam je dostupno. Što je trodimenzionalna kocka?
OK OK! Ne tražim jasnu matematičku definiciju. Zamislite samo najjednostavniju i najobičniju trodimenzionalnu kocku. Predstavljeno?
Fino.
Da bismo razumjeli kako 3-dimenzionalnu kocku generalizirati u 4-dimenzionalni prostor, shvatimo što je 2-dimenzionalna kocka. Tako je jednostavno - to je kvadrat! 
Kvadrat ima 2 koordinate. Kocka ima tri. Kvadratne točke su točke s dvije koordinate. Prva je od 0 do 1. A druga je od 0 do 1. Točke kocke imaju tri koordinate. A svaki je bilo koji broj od 0 do 1.
Logično je zamisliti da je 4-dimenzionalna kocka stvar koja ima 4 koordinate i sve su od 0 do 1.
/* Odmah je logično zamisliti jednodimenzionalnu kocku, koja nije ništa više od jednostavnog segmenta od 0 do 1. */
Dakle, čekajte, kako nacrtati 4-dimenzionalnu kocku? Uostalom, ne možemo nacrtati 4-dimenzionalni prostor na ravnini!
Ali ni mi ne crtamo trodimenzionalni prostor na ravnini, mi ga crtamo projekcija na 2-dimenzionalnu ravninu crtanja. Treću koordinatu (z) postavimo pod kutom, zamišljajući da os iz crtaće ravnine ide “prema nama”. 
Sada je potpuno jasno kako nacrtati 4-dimenzionalnu kocku. Na isti način na koji smo postavili treću os pod određenim kutom, uzmimo četvrtu os i također je postavimo pod određenim kutom.
I – voila! -- projekcija 4-dimenzionalne kocke na ravninu. 
Što? Što je ovo uopće? Uvijek čujem šapat sa stražnjih stolova. Dopustite mi da detaljnije objasnim što je ovo zbrka redaka.
Prvo pogledajte trodimenzionalnu kocku. Što smo učinili? Uzeli smo kvadrat i povukli ga duž treće osi (z). To je kao mnogo, mnogo papirnatih kvadrata zalijepljenih zajedno u hrpu.
Isto je i s 4-dimenzionalnom kockom. Nazovimo četvrtu os, radi pogodnosti i znanstvene fantastike, "vremenska os". Trebamo uzeti običnu trodimenzionalnu kocku i povući je kroz vrijeme od vremena "sada" do vremena "za sat vremena".
Imamo kocku "sada". Na slici je roza. 
I sada ga povlačimo duž četvrte osi - duž vremenske osi (ja sam to pokazao zelenom bojom). I dobivamo kocku budućnosti – plavu. 
Svaki vrh "kocke sada" ostavlja trag u vremenu - segment. Povezivanje njezine sadašnjosti s njezinom budućnošću.
Ukratko, bez teksta: nacrtali smo dvije identične 3-dimenzionalne kocke i spojili odgovarajuće vrhove.
Potpuno isto kao što su napravili s 3-dimenzionalnom kockom (nacrtajte 2 identične 2-dimenzionalne kocke i spojite vrhove).
Da biste nacrtali 5-dimenzionalnu kocku, morat ćete nacrtati dvije kopije 4-dimenzionalne kocke (4-dimenzionalnu kocku s petom koordinatom 0 i 4-dimenzionalnu kocku s petom koordinatom 1) i spojiti odgovarajuće vrhove bridovima. Istina, u avionu će biti takva zbrka rubova da će biti gotovo nemoguće bilo što razumjeti.
Nakon što smo zamislili 4-dimenzionalnu kocku i čak je uspjeli nacrtati, možemo je istraživati na različite načine. Ne zaboravite ga istražiti u svom umu i iz slike.
Na primjer. Dvodimenzionalna kocka je s 4 strane omeđena jednodimenzionalnim kockama. To je logično: svaka od 2 koordinate ima i početak i kraj.
Trodimenzionalna kocka omeđena je sa 6 strana dvodimenzionalnim kockama. Za svaku od tri koordinate ima početak i kraj.
To znači da 4-dimenzionalna kocka mora biti ograničena s osam 3-dimenzionalnih kocki. Za svaku od 4 koordinate - s obje strane. Na gornjoj slici jasno vidimo 2 lica koja ga ograničavaju duž "vremenske" koordinate.
Ovdje su dvije kocke (malo su ukošene jer imaju 2 dimenzije projicirane na ravninu pod kutom), koje ograničavaju našu hiperkocku s lijeve i desne strane. 
Također je lako uočiti "gornje" i "donje". 
Najteže je vizualno razumjeti gdje su "prednji" i "stražnji". Prednja počinje od prednjeg ruba "kocke sada" i do prednjeg ruba "kocke budućnosti" - crvena je. Stražnja je ljubičasta. 
Njih je najteže uočiti jer su druge kocke zapetljane pod nogama, koje ograničavaju hiperkocku na drugoj projiciranoj koordinati. Ali imajte na umu da su kocke ipak različite! Evo opet slike gdje su istaknute “kocka sada” i “kocka budućnosti”.
Naravno, moguće je projicirati 4-dimenzionalnu kocku u 3-dimenzionalni prostor.
Prvi mogući prostorni model je jasan kako izgleda: trebate uzeti 2 okvira kocke i spojiti im odgovarajuće vrhove novim rubom.
Ovaj model trenutno nemam na stanju. Na predavanju studentima pokazujem malo drugačiji 3-dimenzionalni model 4-dimenzionalne kocke.
Znate kako se kocka projicira na ovakvu ravninu.
Kao da gledamo kocku odozgo. 
Bliži rub je, naravno, velik. I daleki rub izgleda manji, vidimo ga kroz onaj bliži.
Ovako možete projicirati 4-dimenzionalnu kocku. Kocka je sada veća, kocku budućnosti vidimo u daljini, pa izgleda manja. 
Na drugoj strani. S gornje strane. 
Izravno točno sa strane ruba: 
Sa strane rebra: 
I posljednji kut, asimetričan. Iz odjeljka "reci mi da sam mu pogledao između rebara." 
Pa, onda možete smisliti bilo što. Na primjer, kao što postoji razvoj 3-dimenzionalne kocke na ravnini (to je kao da izrežete list papira tako da kad ga presavijete dobijete kocku), isto se događa s razvojem 4-dimenzionalne kocke u prostor. To je kao da komad drveta izrežete tako da presavijanjem u 4-dimenzionalnom prostoru dobijete teserakt.
Ne možete proučavati samo 4-dimenzionalnu kocku, već n-dimenzionalne kocke općenito. Na primjer, je li točno da je polumjer sfere opisane oko n-dimenzionalne kocke manji od duljine ruba te kocke? Ili evo jednostavnijeg pitanja: koliko vrhova ima n-dimenzionalna kocka? Koliko bridova (1-dimenzionalnih površina)?
U geometriji hiperkocka- Ovo n-dimenzionalna analogija kvadrata ( n= 2) i kocka ( n= 3). To je zatvorena konveksna figura koja se sastoji od skupina paralelnih linija smještenih na suprotnim rubovima figure, a međusobno su povezane pod pravim kutom.
Ova figura je također poznata kao teserakt(teserakt). Teserakt je prema kocki kao što je kocka prema kvadratu. Formalnije, teserakt se može opisati kao pravilni konveksni četverodimenzionalni politop (poliedar) čija se granica sastoji od osam kubičnih ćelija.
Prema Oxfordskom rječniku engleskog jezika, riječ "tesseract" skovao je 1888. Charles Howard Hinton i upotrijebio je u svojoj knjizi "Nova era mišljenja". Riječ je izvedena iz grčkog "τεσσερες ακτινες" ("četiri zrake"), u obliku četiri koordinatne osi. Osim toga, u nekim se izvorima zvala ista brojka tetracube(tetrakub).
n-dimenzionalna hiperkocka se također naziva n-kocka.
Točka je hiperkocka dimenzije 0. Pomaknete li točku za jedinicu duljine, dobit ćete isječak jedinične duljine - hiperkocku dimenzije 1. Nadalje, ako pomaknete isječak za jedinicu duljine u smjeru okomitom na smjer segmenta, dobiva se kocka - hiperkocka dimenzije 2. Pomicanjem kvadrata za jedinicu duljine u smjeru okomitom na ravninu kvadrata, dobiva se kocka - hiperkocka dimenzije 3. Ovaj proces može se generalizirati na bilo koji broj dimenzija. Na primjer, ako pomaknete kocku za jednu jedinicu duljine u četvrtoj dimenziji, dobit ćete teserakt.
Obitelj hiperkocki jedan je od rijetkih pravilnih poliedara koji se mogu prikazati u bilo kojoj dimenziji.
Elementi hiperkocke
Dimenzijska hiperkocka n ima 2 n“strane” (jednodimenzionalna crta ima 2 točke; dvodimenzionalni kvadrat ima 4 stranice; trodimenzionalna kocka ima 6 stranica; četverodimenzionalni teserakt ima 8 ćelija). Broj vrhova (točaka) hiperkocke je 2 n(na primjer, za kocku - 2 3 vrha).
Količina m-dimenzionalne hiperkocke na granici n-kocka je jednaka
Na primjer, na granici hiperkocke nalazi se 8 kocki, 24 kvadrata, 32 brida i 16 vrhova.
| n-kocka | Ime | Vertex (0-lice) |
Rub (1 lice) |
Rub (2 lica) |
Ćelija (3 lica) |
(4 lica) | (5 lica) | (6-strana) | (7 lica) | (8 lica) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0-kocka | Točka | 1 | ||||||||
| 1-kocka | Segment linije | 2 | 1 | |||||||
| 2-kocka | Kvadrat | 4 | 4 | 1 | ||||||
| 3-kocka | Kocka | 8 | 12 | 6 | 1 | |||||
| 4-kocka | Teserakt | 16 | 32 | 24 | 8 | 1 | ||||
| 5-kocka | Penterakt | 32 | 80 | 80 | 40 | 10 | 1 | |||
| 6-kocka | Hexeract | 64 | 192 | 240 | 160 | 60 | 12 | 1 | ||
| 7-kocka | Hepterakt | 128 | 448 | 672 | 560 | 280 | 84 | 14 | 1 | |
| 8-kocka | Okterakt | 256 | 1024 | 1792 | 1792 | 1120 | 448 | 112 | 16 | 1 |
| 9-kocka | Eneneract | 512 | 2304 | 4608 | 5376 | 4032 | 2016 | 672 | 144 | 18 |
Projekcija na ravninu
Formiranje hiperkocke može se prikazati na sljedeći način:
- Dvije točke A i B mogu se spojiti tako da čine dužinu AB.
- Dva paralelna odsječka AB i CD mogu se povezati u kvadrat ABCD.
- Dva paralelna kvadrata ABCD i EFGH mogu se spojiti u kocku ABCDEFGH.
- Dvije paralelne kocke ABCDEFGH i IJKLMNOP mogu se spojiti u hiperkocku ABCDEFGHIJKLMNOP.
Potonju strukturu nije lako vizualizirati, ali je moguće prikazati njezinu projekciju u dvodimenzionalni ili trodimenzionalni prostor. Štoviše, projekcije na dvodimenzionalnu ravninu mogu biti korisnije dopuštajući preuređivanje položaja projiciranih vrhova. U tom slučaju moguće je dobiti slike koje više ne odražavaju prostorne odnose elemenata unutar teserakta, već ilustriraju strukturu verteksnih veza, kao u primjerima u nastavku.
Prva ilustracija pokazuje kako u načelu nastaje teserakt spajanjem dviju kockica. Ova shema je slična shemi za stvaranje kocke iz dva kvadrata. Drugi dijagram pokazuje da su svi rubovi teserakta iste duljine. Ova shema također vas prisiljava da tražite kocke povezane jedna s drugom. U trećem dijagramu, vrhovi teserakta nalaze se u skladu s udaljenostima duž lica u odnosu na donju točku. Ova shema je zanimljiva jer se koristi kao osnovna shema za mrežnu topologiju povezivanja procesora pri organiziranju paralelnog računalstva: udaljenost između bilo koja dva čvora ne prelazi 4 duljine ruba, a postoji mnogo različitih putova za uravnoteženje opterećenja.
Hiperkocka u umjetnosti
Hiperkocka se u literaturi znanstvene fantastike pojavljuje od 1940. godine, kada je Robert Heinlein u priči “And He Built a Crooked House” opisao kuću sagrađenu u obliku teserakta. U priči, ovo Dalje, ova kuća se ruši, pretvarajući se u četverodimenzionalni teserakt. Nakon toga, hiperkocka se pojavljuje u mnogim knjigama i kratkim pričama.
Film Kocka 2: Hiperkocka govori o osam ljudi zarobljenih u mreži hiperkocki.
Slika Salvadora Dalija "Raspeće (Corpus Hypercubus)", 1954., prikazuje Isusa razapetog na teseraktu. Ova se slika može vidjeti u Metropolitan Museum of Art u New Yorku.
Zaključak
Hiperkocka je jedan od najjednostavnijih četverodimenzionalnih objekata iz kojeg se vidi složenost i neobičnost četvrte dimenzije. I ono što izgleda nemoguće u tri dimenzije, moguće je u četiri, primjerice, nemoguće figure. Tako će, primjerice, šipke nemogućeg trokuta u četiri dimenzije biti spojene pod pravim kutom. I ova će figura izgledati ovako sa svih točaka gledanja i neće biti iskrivljena, za razliku od implementacija nemogućeg trokuta u trodimenzionalnom prostoru (vidi.
Bakalyar Marija
Proučavaju se metode za uvođenje pojma četverodimenzionalne kocke (teserakt), njena struktura i neka svojstva trodimenzionalni objekti dobivaju se presijecanjem četverodimenzionalne kocke s hiperravninama paralelnim s njezinim trodimenzionalnim plohama, kao i hiperravninama okomitima na njezinu glavnu dijagonalu. Razmatra se aparatura višedimenzionalne analitičke geometrije koja se koristi za istraživanje.
Preuzimanje datoteka:
Pregled:
Uvod………………………………………………………………………………….2
Glavni dio………………………………………………………………..4
Zaključci………….. …………………………………………………………..12
Reference…………………………………………………………..13
Uvod
Četverodimenzionalni prostor dugo je privlačio pozornost i profesionalnih matematičara i ljudi koji su daleko od proučavanja ove znanosti. Zanimanje za četvrtu dimenziju može biti posljedica pretpostavke da je naš trodimenzionalni svijet "uronjen" u četverodimenzionalni prostor, baš kao što je ravnina "uronjena" u trodimenzionalni prostor, ravna linija je "uronjena" u ravnina, a točka je u pravoj liniji. Osim toga, četverodimenzionalni prostor igra važnu ulogu u moderna teorija relativnosti (tzv. prostor-vrijeme ili prostor Minkowskog), a može se smatrati i posebnim slučajemdimenzionalni euklidski prostor (sa).
Četverodimenzionalna kocka (tesseract) je objekt u četverodimenzionalnom prostoru koji ima najveću moguću dimenziju (kao što je obična kocka objekt u trodimenzionalnom prostoru). Imajte na umu da je također od izravnog interesa, naime, može se pojaviti u problemima optimizacije linearno programiranje(kao područje u kojem se nalazi minimum ili maksimum linearne funkcije četiriju varijabli), a koristi se i u digitalnoj mikroelektronici (pri programiranju rada zaslona elektroničkog sata). Osim toga, sam proces proučavanja četverodimenzionalne kocke doprinosi razvoju prostornog razmišljanja i mašte.
Stoga je proučavanje strukture i specifičnih svojstava četverodimenzionalne kocke vrlo relevantno. Vrijedno je napomenuti da je u pogledu strukture četverodimenzionalna kocka prilično dobro proučena. Mnogo je zanimljivija priroda njegovih presjeka različitim hiperravninama. Dakle, glavni cilj ovog rada je proučavanje strukture teserakta, kao i razjašnjavanje pitanja koji će se trodimenzionalni objekti dobiti ako se četverodimenzionalna kocka razreže hiperravninama paralelnim s jednom od njezinih trodimenzionalnih kocki. dimenzijskim plohama, ili hiperravninama okomitim na njegovu glavnu dijagonalu. Hiperravninu u četverodimenzionalnom prostoru nazivat ćemo trodimenzionalnim potprostorom. Možemo reći da je pravac na ravnini jednodimenzionalna hiperravnina, ravnina u trodimenzionalnom prostoru je dvodimenzionalna hiperravnina.
Cilj je odredio ciljeve studije:
1) Proučiti osnovne činjenice višedimenzionalne analitičke geometrije;
2) Proučiti značajke konstruiranja kocki dimenzija od 0 do 3;
3) Proučiti strukturu četverodimenzionalne kocke;
4) Analitički i geometrijski opisati četverodimenzionalnu kocku;
5) Izraditi modele razvoja i središnje projekcije trodimenzionalnih i četverodimenzionalnih kocki.
6) Pomoću aparata višedimenzionalne analitičke geometrije opisati trodimenzionalne objekte koji nastaju presjekom četverodimenzionalne kocke s hiperravninama paralelnim s jednom od njezinih trodimenzionalnih ploha ili hiperravninama okomitim na njezinu glavnu dijagonalu.
Informacije dobivene na ovaj način omogućit će nam bolje razumijevanje strukture teserakta, kao i prepoznavanje dubokih analogija u strukturi i svojstvima kocki različitih dimenzija.
Glavni dio
Prvo opisujemo matematički aparat koji ćemo koristiti tijekom ovog proučavanja.
1) Koordinate vektora: ako, To
2) Jednadžba hiperravnine s normalnim vektorom izgleda kao Ovdje
3) Zrakoplovi i su paralelni ako i samo ako
4) Udaljenost između dviju točaka određuje se na sljedeći način: ako, To
5) Uvjet za ortogonalnost vektora:
Prije svega, saznajmo kako opisati četverodimenzionalnu kocku. To se može učiniti na dva načina - geometrijskim i analitičkim.
Ako govorimo o geometrijskoj metodi specificiranja, onda je preporučljivo pratiti proces konstruiranja kocki, počevši od nulte dimenzije. Kocka nulte dimenzije je točka (uzgred, imajte na umu da točka također može igrati ulogu lopte nulte dimenzije). Zatim uvodimo prvu dimenziju (x-os) i na odgovarajućoj osi označavamo dvije točke (dvije nultodimenzionalne kocke) koje se nalaze na udaljenosti 1 jedna od druge. Rezultat je segment - jednodimenzionalna kocka. Odmah napominjemo karakteristična značajka: Granica (krajevi) jednodimenzionalne kocke (odsječka) su dvije nultodimenzionalne kocke (dvije točke). Zatim uvodimo drugu dimenziju (ordinatnu os) i na ravniniKonstruirajmo dvije jednodimenzionalne kocke (dva segmenta), čiji su krajevi međusobno udaljeni 1 (zapravo, jedan segment je ortogonalna projekcija drugog). Spajanjem odgovarajućih krajeva segmenata dobivamo kvadrat – dvodimenzionalnu kocku. Opet, primijetite da su granica dvodimenzionalne kocke (kvadrata) četiri jednodimenzionalne kocke (četiri segmenta). Na kraju uvodimo treću dimenziju (aplikacijsku os) i konstruiramo u prostorudva kvadrata na način da je jedan od njih ortogonalna projekcija drugoga (odgovarajući vrhovi kvadrata međusobno su udaljeni 1). Spojimo odgovarajuće vrhove segmentima - dobit ćemo trodimenzionalnu kocku. Vidimo da je granica trodimenzionalne kocke šest dvodimenzionalnih kocki (šest kvadrata). Opisane konstrukcije omogućuju nam da identificiramo sljedeći obrazac: na svakom korakudimenzionalna kocka se "kreće ostavljajući trag" uMjerenje na udaljenosti od 1, dok je smjer kretanja okomit na kocku. Formalni nastavak ovog procesa omogućuje nam da dođemo do koncepta četverodimenzionalne kocke. Naime, natjerat ćemo trodimenzionalnu kocku da se pomakne u smjeru četvrte dimenzije (okomito na kocku) za udaljenost od 1. Postupajući slično prethodnom, odnosno spajanjem odgovarajućih vrhova kocki, dobit ćemo četverodimenzionalnu kocku. Treba napomenuti da je geometrijski takva konstrukcija u našem prostoru nemoguća (budući da je trodimenzionalna), ali ovdje ne nailazimo na proturječja s logičke točke gledišta. Prijeđimo sada na analitički opis četverodimenzionalne kocke. Također se dobiva formalno, pomoću analogije. Dakle, analitička specifikacija jedinične kocke nulte dimenzije ima oblik:
Analitički zadatak jednodimenzionalne jedinične kocke ima oblik:
Analitički zadatak dvodimenzionalne jedinične kocke ima oblik:
Analitički zadatak trodimenzionalne jedinične kocke ima oblik:
Sada je vrlo lako dati analitički prikaz četverodimenzionalne kocke, naime:
Kao što vidimo, i geometrijska i analitička metoda definiranja četverodimenzionalne kocke koristile su metodu analogija.
Sada ćemo pomoću aparata analitičke geometrije saznati kakva je struktura četverodimenzionalne kocke. Prvo, saznajmo koje elemente uključuje. Ovdje se opet možemo poslužiti analogijom (da postavimo hipotezu). Granice jednodimenzionalne kocke su točke (nultodimenzionalne kocke), dvodimenzionalne kocke - segmenti (jednodimenzionalne kocke), trodimenzionalne kocke - kvadrati (dvodimenzionalne plohe). Može se pretpostaviti da su granice teserakta trodimenzionalne kocke. Kako bismo to dokazali, razjasnimo što se podrazumijeva pod vrhovima, bridovima i plohama. Vrhovi kocke su njezine kutne točke. To jest, koordinate vrhova mogu biti nule ili jedinice. Tako se otkriva veza između dimenzije kocke i broja njezinih vrhova. Primijenimo pravilo kombinatornog umnoška – budući da je vrhizmjerena kocka ima točnokoordinate, od kojih je svaka jednaka nuli ili jedinici (neovisno o svim ostalima), tada ukupno postojivrhovi Dakle, za bilo koji vrh sve koordinate su fiksne i mogu biti jednake ili . Ako popravimo sve koordinate (stavljajući svaku od njih jednaku ili , bez obzira na ostale), osim jedne, dobivamo ravne linije koje sadrže bridove kocke. Slično prethodnom, možete računati da ih ima točnostvari. I ako sada popravimo sve koordinate (stavljajući svaku od njih jednaku ili , neovisno o ostalim), osim neke dvije, dobivamo ravnine koje sadrže dvodimenzionalne plohe kocke. Koristeći se pravilom kombinatorike, nalazimo da postoje točnostvari. Dalje, slično - popravljajući sve koordinate (stavljajući svaku od njih jednaku ili , neovisno o ostalim), osim neke tri, dobivamo hiperravnine koje sadrže trodimenzionalne plohe kocke. Koristeći isto pravilo, izračunavamo njihov broj - točnoitd. Ovo će biti dovoljno za naše istraživanje. Primijenimo dobivene rezultate na strukturu četverodimenzionalne kocke, naime u sve izvedene formule stavimo. Dakle, četverodimenzionalna kocka ima: 16 vrhova, 32 brida, 24 dvodimenzionalne plohe i 8 trodimenzionalnih ploha. Radi jasnoće, definirajmo analitički sve njegove elemente.
Vrhovi četverodimenzionalne kocke:
Bridovi četverodimenzionalne kocke ():
Dvodimenzionalne površine četverodimenzionalne kocke (slična ograničenja):
Trodimenzionalne površine četverodimenzionalne kocke (slična ograničenja):
Sada kada smo dovoljno detaljno opisali strukturu četverodimenzionalne kocke i metode za njezino definiranje, prijeđimo na provedbu glavnog cilja - razjasniti prirodu različitih dijelova kocke. Počnimo s elementarnim slučajem kada su presjeci kocke paralelni s jednom od njezinih trodimenzionalnih stranica. Na primjer, razmotrimo njegove presjeke s hiperravninama paralelnim s plohomIz analitičke geometrije je poznato da će svaki takav presjek biti dan jednadžbomDefinirajmo analitički odgovarajuće dijelove:
Kao što vidimo, dobili smo analitičku specifikaciju za trodimenzionalnu jediničnu kocku koja leži u hiperravnini
Da uspostavimo analogiju, napišimo presjek trodimenzionalne kocke ravninom Dobivamo:
Ovo je kvadrat koji leži u ravnini. Analogija je očita.
Presjeci četverodimenzionalne kocke hiperravninamadati potpuno slične rezultate. To će također biti pojedinačne trodimenzionalne kocke koje leže u hiperravninama odnosno.
Sada razmotrimo presjeke četverodimenzionalne kocke s hiperravninama okomitima na njezinu glavnu dijagonalu. Prvo, riješimo ovaj problem za trodimenzionalnu kocku. Koristeći gore opisanu metodu definiranja jedinične trodimenzionalne kocke, zaključuje da se kao glavna dijagonala može uzeti npr. isječak s krajevima I . To znači da će vektor glavne dijagonale imati koordinate. Stoga će jednadžba bilo koje ravnine okomite na glavnu dijagonalu biti:
Odredimo granice promjene parametara. Jer , tada zbrajanjem ovih nejednakosti član po član, dobivamo:
Ili .
Ako tada (zbog ograničenja). Isto tako - ako, To . Dakle, kada i kada rezna ravnina i kocka imaju točno jednu zajedničku točku ( I odnosno). Zabilježimo sada sljedeće. Ako(opet zbog varijabilnih ograničenja). Odgovarajuće ravnine sijeku tri plohe odjednom, jer bi inače rezna ravnina bila paralelna s jednom od njih, što se prema uvjetu ne događa. Ako, tada ravnina siječe sve stranice kocke. Ako, tada ravnina siječe lica. Predstavimo odgovarajuće izračune.
Neka Zatim avionprelazi granicu u ravnoj liniji, i . Rub, štoviše. Rub ravnina se siječe pravocrtno, i
Neka Zatim avionprelazi liniju:
rub u ravnoj liniji, i .
rub u ravnoj liniji, i .
rub u ravnoj liniji, i .
rub u ravnoj liniji, i .
rub u ravnoj liniji, i .
rub u ravnoj liniji, i .
Ovaj put dobivamo šest segmenata koji imaju uzastopne zajedničke krajeve:
Neka Zatim avionprelazi granicu u ravnoj liniji, i . Rub ravnina se siječe pravocrtno, i . Rub ravnina se siječe pravocrtno, i . Odnosno, dobivamo tri segmenta koji imaju parove zajedničkih krajeva:Dakle, za navedene vrijednosti parametraravnina će presjeći kocku po pravilnom trokutu s vrhovima
Dakle, ovdje je sveobuhvatan opis ravnih figura dobivenih kada se kocka presječe ravninom okomitom na njezinu glavnu dijagonalu. Glavna ideja bila je sljedeća. Potrebno je razumjeti koje strane ravnina siječe, po kojim skupovima ih siječe i kako su ti skupovi međusobno povezani. Na primjer, ako se ispostavilo da ravnina siječe točno tri lica duž odsječaka koji imaju po par zajedničkih krajeva, tada je presjek jednakostranični trokut (što se dokazuje izravnim izračunavanjem duljina odsječaka), čiji su vrhovi ti krajevi segmenata.
Koristeći isti aparat i istu ideju proučavanja odjeljaka, sljedeće činjenice mogu se izvesti na potpuno analogan način:
1) Vektor jedne od glavnih dijagonala četverodimenzionalne jedinične kocke ima koordinate
2) Bilo koja hiperravnina okomita na glavnu dijagonalu četverodimenzionalne kocke može se napisati u obliku.
3) U jednadžbi sekantne hiperravnine, parametarmože varirati od 0 do 4;
4) Kada i sekantna hiperravnina i četverodimenzionalna kocka imaju jednu zajedničku točku ( I odnosno);
5) Kada presjek će proizvesti pravilan tetraedar;
6) Kada u presjeku rezultat će biti oktaedar;
7) Kada presjek će proizvesti pravilan tetraedar.
Prema tome, ovdje hiperravnina siječe teserakt duž ravnine na kojoj se, zbog ograničenja varijabli, razlikuje trokutasto područje (analogija - ravnina je sijekla kocku po ravnoj liniji, na kojoj je, zbog ograničenja varijabli). varijable, izdvojen je segment). U slučaju 5) hiperravnina siječe točno četiri trodimenzionalne plohe teserakta, odnosno dobivaju se četiri trokuta koji imaju po par zajedničkih stranica, drugim riječima, čine tetraedar (točno je kako se to može izračunati). U slučaju 6) hiperravnina siječe točno osam trodimenzionalnih ploha teserakta, odnosno dobiva se osam trokuta koji imaju uzastopno zajedničke stranice, odnosno tvore oktaedar. Slučaj 7) potpuno je sličan slučaju 5).
Ilustrirajmo ono što je rečeno konkretan primjer. Naime, proučavamo presjek četverodimenzionalne kocke hiperravninomZbog promjenjivih ograničenja, ova hiperravnina siječe sljedeće trodimenzionalne površine: Rub siječe po ravniniZbog ograničenja varijabli, imamo:Dobivamo trokutasto područje s vrhovimaUnaprijediti,dobijemo trokutKada hiperravnina siječe licedobijemo trokutKada hiperravnina siječe licedobijemo trokutDakle, vrhovi tetraedra imaju sljedeće koordinate. Kao što je lako izračunati, ovaj tetraedar je doista pravilan.
zaključke
Dakle, u procesu ovog istraživanja proučavane su osnovne činjenice višedimenzionalne analitičke geometrije, proučavane su značajke konstruiranja kocki dimenzija od 0 do 3, proučavana je struktura četverodimenzionalne kocke, proučavana je četverodimenzionalna kocka. analitički i geometrijski opisani, izrađeni su modeli razvoja i središnje projekcije trodimenzionalne i četverodimenzionalne kocke, trodimenzionalne kocke su analitički opisani objekti koji nastaju presjekom četverodimenzionalne kocke s hiperravninama paralelnim s jednom od njezinih tro- dimenzionalne plohe, ili s hiperravninama okomitim na njegovu glavnu dijagonalu.
Provedeno istraživanje omogućilo je identificiranje dubokih analogija u strukturi i svojstvima kocki različitih dimenzija. Korištena tehnika analogije može se primijeniti u istraživanju, npr.dimenzionalna sfera ilidimenzionalni simpleks. Naime,dimenzionalna sfera može se definirati kao skup točakadimenzionalni prostor jednako udaljen od dane točke, koji se naziva središte sfere. Unaprijediti,dimenzionalni simpleks se može definirati kao diodimenzionalni prostor ograničen minimalnim brojemdimenzionalne hiperravnine. Na primjer, jednodimenzionalni simpleks je segment (dio jednodimenzionalnog prostora, ograničen s dvije točke), dvodimenzionalni simpleks je trokut (dio dvodimenzionalnog prostora, ograničen s tri crte), trodimenzionalni simpleks je tetraedar (dio trodimenzionalnog prostora, ograničen s četiri ravnine). Konačno,definiramo dimenzionalni simpleks kao diodimenzionalni prostor, ograničenhiperravnina dimenzija.
Imajte na umu da je, unatoč brojnim primjenama teserakta u nekim područjima znanosti, ovo istraživanje još uvijek uglavnom matematičko istraživanje.
Bibliografija
1) Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M.Viša matematika, tom 1 – M.: Bustard, 2005 – 284 str.
2) Kvantni. Četverodimenzionalna kocka / Duzhin S., Rubtsov V., br. 6, 1986.
3) Kvantna. Kako crtati dimenzionalna kocka / Demidovich N.B., br. 8, 1974.
Tesseract je četverodimenzionalna hiperkocka – kocka u četverodimenzionalnom prostoru.
Prema Oxfordskom rječniku, riječ teserakt skovao je i upotrijebio 1888. Charles Howard Hinton (1853.-1907.) u svojoj knjizi Novo doba misli. Kasnije su neki istu figuru nazvali tetrakub (grč. τετρα – četiri) – četverodimenzionalna kocka.
Obični teserakt u euklidskom četverodimenzionalnom prostoru definiran je kao konveksna ljuska točaka (±1, ±1, ±1, ±1). Drugim riječima, može se predstaviti kao sljedeći skup:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Teserakt je ograničen s osam hiperravnina x_i= +- 1, i=1,2,3,4, čije sjecište s tim da sam teserakt definira 3D lica (koje su pravilne kocke) Svaki par neparalelnih 3D lica siječe se da bi formirao 2D lica (kvadrate), itd. Konačno, teserakt ima 8 3D lica, 24 2D lica, 32 brida i 16 vrhovi.
Popularni opis
Pokušajmo zamisliti kako će hiperkocka izgledati bez napuštanja trodimenzionalnog prostora.
U jednodimenzionalnom “prostoru” - na liniji - odaberemo isječak AB duljine L. Na dvodimenzionalnoj ravnini na udaljenosti L od AB nacrtamo isječak DC paralelan s njim i spojimo njihove krajeve. Rezultat je kvadratni CDBA. Ponavljajući ovu operaciju s ravninom, dobivamo trodimenzionalnu kocku CDBAGHFE. A pomicanjem kocke u četvrtoj dimenziji (okomito na prve tri) za udaljenost L dobivamo hiperkocku CDBAGHFEKLJIOPNM.
Jednodimenzionalni segment AB služi kao strana dvodimenzionalnog kvadrata CDBA, kvadrat - kao strana kocke CDBAGHFE, koja će zauzvrat biti strana četverodimenzionalne hiperkocke. Isječak ravne linije ima dvije rubne točke, kvadrat ima četiri vrha, a kocka osam. U četverodimenzionalnoj hiperkocki bit će dakle 16 vrhova: 8 vrhova izvorne kocke i 8 vrhova pomaknute u četvrtoj dimenziji. Ima 32 ruba - po 12 daje početnu i završnu poziciju originalne kocke, a ostalih 8 rubova "crta" njezinih osam vrhova koji su prešli u četvrtu dimenziju. Isto razmišljanje može se učiniti za lica hiperkocke. U dvodimenzionalnom prostoru postoji samo jedna (sam kvadrat), kocka ih ima 6 (dvije strane pomaknutog kvadrata i još četiri koje opisuju njegove stranice). Četverodimenzionalna hiperkocka ima 24 kvadratna lica - 12 kvadrata izvorne kocke u dva položaja i 12 kvadrata s njezinih dvanaest rubova.
Kao što su stranice kvadrata 4 jednodimenzionalna segmenta, a stranice (lice) kocke 6 dvodimenzionalnih kvadrata, tako su i za “četverodimenzionalnu kocku” (teserakt) stranice 8 trodimenzionalnih kocki. . Prostori nasuprotnih parova teseraktnih kocki (odnosno trodimenzionalnih prostora kojima te kocke pripadaju) su paralelni. Na slici su to kocke: CDBAGHFE i KLJIOPNM, CDBAKLJI i GHFEOPNM, EFBAMNJI i GHDCOPLK, CKIAGOME i DLJBHPNF.
Na sličan način možemo nastaviti razmišljanje o hiperkockama većeg broja dimenzija, ali puno je zanimljivije vidjeti kako će nam, stanovnicima trodimenzionalnog prostora, izgledati četverodimenzionalna hiperkocka. Za to ćemo koristiti već poznatu metodu analogija.
Uzmimo žičanu kocku ABCDHEFG i pogledajmo je jednim okom sa strane ruba. Na ravnini ćemo vidjeti i moći nacrtati dva kvadrata (njezine bliže i dalje rubove), povezana s četiri linije - bočnim bridovima. Slično tome, četverodimenzionalna hiperkocka u trodimenzionalnom prostoru izgledat će kao dvije kubične "kutije" umetnute jedna u drugu i povezane s osam rubova. U ovom slučaju, same "kutije" - trodimenzionalna lica - bit će projicirane na "naš" prostor, a linije koje ih povezuju protezat će se u smjeru četvrte osi. Također možete pokušati zamisliti kocku ne u projekciji, već u prostornoj slici.
Baš kao što trodimenzionalnu kocku čini kvadrat pomaknut za duljinu svoje plohe, kocka pomaknuta u četvrtu dimenziju tvorit će hiperkocku. Ograničeno je s osam kocki, koje će u perspektivi izgledati kao prilično složena figura. Sama četverodimenzionalna hiperkocka sastoji se od beskonačnog broja kocki, baš kao što se trodimenzionalna kocka može “izrezati” na beskonačan broj ravnih kvadrata.
Rezanjem šest strana trodimenzionalne kocke, možete je rastaviti na ravna figura- skenirati. Imat će kvadrat sa svake strane izvornog lica plus još jedan - lice suprotno od njega. A trodimenzionalni razvoj četverodimenzionalne hiperkocke sastojat će se od originalne kocke, šest kocki koje "rastu" iz nje, plus još jedna - konačno "hiperface".
Svojstva teserakta su produžetak svojstava geometrijski oblici manje dimenzije u četverodimenzionalni prostor.