شرط Lipschitz بر روی همگرایی یک معادله غیر خطی. سیستم های معادلات غیر خطی روش تکرار ساده
ورزش:
1) با استفاده از روش تکرار، سیستم را حل کنید
2) با استفاده از روش نیوتن، سیستم را حل کنید
معادلات غیر خطیبا دقت 0.001
کار شماره 1 با استفاده از روش تکرار، سیستم معادلات غیرخطی را با دقت 0.001 حل کنید.
بخش نظری
روش تکرار eاین روشی برای حل عددی مسائل ریاضی است. ماهیت آن یافتن یک الگوریتم جستجو برای یک تقریب شناخته شده (مقدار تقریبی) مقدار مورد نظر تقریب بعدی و دقیق تر است. در مواردی استفاده می شود که توالی تقریب طبق الگوریتم مشخص شده همگرا شود.
این روشروش تقریب های متوالی، روش تعویض های مکرر، روش تکرارهای ساده و غیره نیز نامیده می شود.
روش نیوتن، الگوریتم نیوتن (همچنین به عنوان روش مماس شناخته می شود) تکراری است روش عددیپیدا کردن ریشه (صفر) تابع داده شده. این روش برای اولین بار توسط فیزیکدان، ریاضیدان و ستاره شناس انگلیسی ایزاک نیوتن (1643-1727) ارائه شد. جستجوی راه حل با ساخت تقریب های متوالی انجام می شود و بر اساس اصول تکرار ساده است. این روش دارای همگرایی درجه دوم است. بهبود روش روش آکورد و مماس است. همچنین می توان از روش نیوتن برای حل مسائل بهینه سازی استفاده کرد که در آنها باید صفر اولین مشتق یا گرادیان را در مورد فضای چند بعدی تعیین کرد. بنیاد و پایه
برای حل عددی معادله با روش تکرار ساده، باید آن را به شکل زیر کاهش داد: , نگاشت انقباض کجاست.
برای بهترین همگرایی روش در نقطه تقریب بعدی، شرط باید برآورده شود. حل این معادله به شکل زیر جستجو می شود:
با فرض اینکه نقطه رویکرد «به اندازه کافی نزدیک» به ریشه باشد و این عملکرد داده شدهپیوسته است، فرمول نهایی برای این است:
با در نظر گرفتن این موضوع، تابع با عبارت زیر تعریف می شود:
این تابع در همسایگی ریشه یک نگاشت انقباض را انجام می دهد و الگوریتم برای یافتن جواب عددی معادله به یک روش محاسبه تکراری کاهش می یابد:
.
گزینه های وظیفه
№1. 1) 
2) 
№2. 1) 
2) 
№3. 1) 
2) 
№4. 1) 
2) 
№5. 1) 
2) 
№6. 1) 
2) 
№7. 1) 
2) 
№8. 1) 
2) 
№9. 1) 
2) 
№10.1) 
2) 
№11.1) 
2) 
№12.1) 
2) 
№13.1) 
2) 
№14.1) 
2) 
№15.1) 
2) 
№16.1) 
2) 
№17.1) 
2) 
№18.1) 
2) 
№19.1) 
2) 
№20.1) 
2) 
№21. 1) 
2) 
№22. 1) 
2) 
№23. 1) 
2) 
№24. 1) 
2) 
№25. 1) 
2) 
№26. 1) 
2) 
№27. 1) 
2) 
№28. 1) 
2) 
№29. 1) 
2) 
№30. 1) 
2) 
نمونه تکمیل کار
№1. 1) 
2) 
مثالی از حل سیستم معادلات غیرخطی با تکرار
بازنویسی کنیم این سیستممانند:
جداسازی ریشه ها به صورت گرافیکی انجام می شود (شکل 1). از نمودار می بینیم که سیستم یک راه حل دارد که در ناحیه محصور شده است د: 0<ایکس<0,3;-2,2<y<-1,8.
اجازه دهید مطمئن شویم که روش تکرار برای اصلاح راه حل سیستم قابل اجرا است، که آن را به شکل زیر می نویسیم:
از آنجایی که ما در منطقه D داریم
+ 
= ;
+ = 
بنابراین، شرایط همگرایی برآورده می شود.
جدول شماره 2
| پ |  |  |  |  |
||
| 0,15 | -2 | -0,45 | -0,4350 | -0,4161 | -0,1384 | |
| 0,1616 | -2,035 | -0,4384 | -0,4245 | -0,4477 | -0,1492 | |
| 0,1508 | -2.0245 | -0,4492 | -0,4342 | -0,4382 | -0,1461 | |
| 0.1539 | -2,0342. | -0,4461 | -0.4313 | -0,4470 | -0,1490 | |
| 0.1510 | -2,0313 | -0,4490 | -0,4341 | -0,4444 | -0.1481 | |
| 0,1519 | -2,0341 | -0,4481 | -0,4333 | -0,4469 | -0,1490 | |
| 0,1510 | -2.0333 | -0.449 | -0,4341 | -0.4462 | -0,1487 | |
| 0.1513 | -2.0341 | -0,4487 | -0,4340 | -0,4469 | -0.1490 | |
| 0.1510 | -2,0340 |
ما به عنوان تقریب اولیه در نظر می گیریم x o=0,15, y 0 =-2.
(تب. شماره 2). سپس پاسخ این خواهد بود:
نمونه ای از حل سیستم معادلات غیر خطی به روش نیوتن
جداسازی ریشه ها به صورت گرافیکی انجام می شود (شکل 2). برای رسم نمودارهای تابع، جدولی از مقادیر تابع را جمع آوری می کنیم و در معادلات اول و دوم گنجانده شده است (جدول I).
مقادیر x را می توان بر اساس شرایط زیر در نظر گرفت: از معادله اول 1≤1.2x+0.4≤1، یعنی 1.16≤х≤0.5; از معادله دوم، یعنی . به این ترتیب، .
این سیستم دو راه حل دارد. اجازه دهید یکی از آنها را که متعلق به منطقه D است اصلاح کنیم: 0.4<ایکس<0,5;
0,76<y<0,73. За начальное приближение примем Имеем:
جدول شماره 3
| ایکس | -1,1 | -1 | -0,8 | -0,6 | -0,2 | -0,4 | 0,2 | 0,4 | 0,5 | |
| x 2 | 1.21 | 0,64 | 0,36 | 0,04 | 0,16 | 0,04 | 0.16 | 0,25 | ||
| 0,8x 2 | 0,97 | 0,8 | 0,51 | 0,29 | 0,032 | 0,13 | 0,032 | 0,13 | 0,2 | |
| 1 -0,8x 2 | 0,03 | 0,2 | 0,49 | 0,71 | 0,97 | 0,87 | 0,97 | 0.87 | 0,8 | |
| 0,02 | 0,13 | 0,33 | 0,47 | 0,65 | 0,58 | 0,67 | 0,65 | 0,58 | 0.53 | |
| 0.14 ± | 0.36 ± | 0.57 ± | 0.69 ± | 0.81 ± | 0.76 ± | 0.82 ± | 0.81 ± | 0.76 ± | 0.73 ± | |
| 1.2 برابر | -1,32 | -1,2 | -0.9b" | -0,72 | -0,24 | -0,48 | 0,24 | 0,48 | 0,6 | |
| 0,4+1,2ایکس | -0,92 | -0,8 | -0,56 | -0,32 | 0,16 | -0,08 | 0,4 | 0,64 | 0.88 | |
| 2x-y | -1.17 | -0,93 | -0,59 | -0,33 | 0,16 | -0,08 | 0,41 | 0,69 | 2.06 1,08 | 1,57 |
| -1,03 | -1,07 | -1,01 | -0,87 | -0,56 | -0,72 | -0,41 | -0,29 | -1,26 -1,28 | -0.57 |
ما ریشه ها را با روش نیوتن اصلاح می کنیم:
جایی که 
; 
;
; 
;
کلیه محاسبات مطابق جدول 3 انجام می شود
| جدول 3 | 0,10 | 0,017 | -0,0060 | 0,0247 | -0,0027 | -0,0256 | 0,0001 | 0,0004 | ||||||||
| 0,2701 | 0,0440 | -0,0193 | 0,0794 | -0,0080 | -0,0764 | -0,0003 | 0,0013 | |||||||||
| 2,6197 | 3,2199 | 2,9827 | 3,1673 | |||||||||||||
| -0,0208 | -2,25 | 0,1615 | -2,199 | 0,1251 | -2,1249 | 0,1452 | -2,2017 | |||||||||
| -1,1584 | 0,64 | -1,523 | 0,8 | -1,4502 | 0,7904 | -1,4904 | 0,7861 | |||||||||
| 0,1198 | -0,0282 | -0,0131 | 0,059 | -0,0007 | -0,0523 | -0,0002 | 0,0010 | |||||||||
| 0,9988 | 0,0208 | 0,9869 | -0,1615 | 0,9921 | -0,1251 | -0,9894 | -0,1452 | |||||||||
| 0,55 | 0,733 | 1,6963 | 1,7165 | |||||||||||||
| 0,128 | 0,8438 | 0,2 | 0,8059 | 0,1952 | 0,7525 | 0,1931 | 0,8079 | |||||||||
| 0,4 | 0,75 | 0,50 | -0,733 | 0,4940 | -0,7083 | 0,4913 | -0,7339 | 0,4912 | -0,7335 | پاسخ: ایکس≈0,491 y≈ 0,734 | ||||||
| n | ||||||||||||||||
سوالات تستی
1) موارد احتمالی حل یک سیستم دو معادله غیرخطی را روی نمودار ارائه دهید.
2) بیان مسئله حل یک سیستم معادلات خطی n را فرموله کنید.
3) فرمول های تکراری روش تکرار ساده را در مورد سیستمی متشکل از دو معادله غیر خطی ارائه دهید.
4) یک قضیه در مورد همگرایی محلی روش نیوتن فرموله کنید.
5) مشکلاتی را که هنگام استفاده از روش نیوتن در عمل به وجود می آید را فهرست کنید.
6) توضیح دهید که چگونه می توان روش نیوتن را اصلاح کرد.
7) در قالب بلوک دیاگرام الگوریتمی برای حل سیستم های دو معادله غیرخطی با استفاده از روش های تکرار ساده و نیوتن ترسیم کنید.
آزمایشگاه شماره 3
واگذاری خدمات. ماشین حساب آنلاین برای یافتن ریشه های معادله طراحی شده است روش تکرار.تصمیم در قالب Word گرفته شده است.
قوانین ورود توابع
مثال ها≡ x^2/(1+x)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)
یکی از کارآمدترین روش ها برای حل عددی معادلات است روش تکرار. ماهیت این روش به شرح زیر است. اجازه دهید معادله f(x)=0 داده شود.
اجازه دهید آن را با معادله معادل جایگزین کنیم
تقریب اولیه ریشه x 0 را انتخاب می کنیم و آن را در سمت راست معادله (1) جایگزین می کنیم. سپس تعدادی عدد بدست می آوریم
x 1 \u003d φ (x 0). (2)
اکنون در سمت راست (2) به جای x 0 عدد x 1 را جایگزین می کنیم، عدد x 2 \u003d φ (x 1) را می گیریم. با تکرار این فرآیند، دنباله ای از اعداد خواهیم داشت
x n =φ(x n-1) (n=1،2..). (3)
اگر این دنباله همگرا باشد، یعنی حدی وجود داشته باشد، پس از عبور از حد در برابری (3) و با فرض پیوسته بودن تابع φ(x) متوجه می‌شویم.
یا ξ=φ(ξ).
بنابراین حد ξ ریشه معادله (1) است و از فرمول (3) با هر درجه دقت قابل محاسبه است.
برنج. 1a شکل 1b
برنج. 2.
|φ'(x)|>1 - فرآیند واگرا
در شکل های 1a، 1b، در مجاورت ریشه |φ'(x)|<1 и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай |φ′(x)|>1، سپس فرآیند تکرار می تواند واگرا باشد (شکل 2 را ببینید).
شرایط کافی برای همگرایی روش تکرار
قضیه 7.اجازه دهید تابع φ(x) بر روی قطعه تعریف و قابل تمایز باشد، و تمام مقادیر آن φ(x)∈ و اجازه دهید |φ'(x)|≤q<1 при x∈. Тогда процесс итерации x n = φ(x n -1) сходится независимо от начального значения x 0 ∈ и предельное значение является единственным корнем уравнения x= φ(x) на отрезке .اثبات:دو تقریب متوالی x n = φ(x n -1) و x n +1 = φ(x n) را در نظر بگیرید و تفاوت آنها را در نظر بگیرید x n+1 -x n =φ(xn)-φ(x n-1). با قضیه لاگرانژ، سمت راست را می توان به صورت نمایش داد
φ'(x n)(x n -x n-1)
جایی که x n∈
سپس می گیریم
|x n+1 -x n |≤φ'(x n)|x n -x n-1 |≤q|x n -x n-1 |
با فرض n=1،2،...
|x 2 -x 1 |≤q|x 1 -x 0 |
|x 3 -x 2 |≤q|x 2 -x 1 |≤q²|x 1 -x 0 |
|x n+1 -x n ≤q n |x 1 -x 0 | (چهار)
از (4) به دلیل شرط q<1 видно, что последовательность {x n } сходится к некоторому числу ξ, то есть
، و از این رو (به دلیل تداوم تابع φ(x)) یا ξ= φ(ξ) q.t.d.
برای خطای ریشه ξ می توان فرمول زیر را به دست آورد.
x n =φ(x n-1) داریم.
بیشتر ξ-x n =ξ-φ(x n-1) = φ(ξ)-φ(x n-1) →
اکنون φ(x n-1)=φ(x n)-φ′(c)(x n -x n-1) →
φ(ξ)-φ(xn)+φ′(c)(x n -x n-1)
در نتیجه می گیریم
ξ-x n = φ'(c 1)(ξ-x n-1)+φ'(c)(x n -x n-1)
یا
|ξ-x n |≤q|ξ-x n |+q|x n -x n-1 |
از اینجا
, (5)
از آنجا می توان دید که برای q نزدیک به 1 تفاوت |ξ -x n | می تواند بسیار بزرگ باشد حتی اگر |x n -x n -1 |<ε, где ε-заданная величина. Для того, чтобы вычислить ξ с точностью ε необходимо обеспечить
. (6)
سپس با جایگزینی (6) به (5)، |ξ -x n | را بدست می آوریم<ε.
اگر q بسیار کوچک است، به جای (6) می توان استفاده کرد
|x n -x n -1 |<ε
همگرایی روش تکرارخطی با ضریب همگرایی α=q. در واقع، ما داریم
ξ-x n =φ(ξ)-φ n-1 = φ'(c) (ξ-x n-1)، از این رو |ξ-x n |≤q·|ξ-x n-1 |.
اظهار نظر.اجازه دهید در همسایگی ریشه ξ∈(a,b) معادله x= φ(x)، مشتق φ’(x) یک علامت ثابت و نابرابری |φ’(x)|≤q را حفظ کند.<1. Тогда, если φ’(x) положительна, то последовательные приближения x n = φ(x n -1) сходятся к корню монотонно.
اگر φ'(x) منفی باشد، تقریب های متوالی در اطراف ریشه در نوسان هستند.
راهی برای نمایش معادله f(x)=0 به شکل x= φ(x) در نظر بگیرید.
تابع φ(x) باید طوری مشخص شود که |φ'(x)| در مجاورت ریشه کوچک بود.
بگذارید m 1 و M 1 شناخته شوند - کوچکترین و بزرگترین مقادیر مشتق f'(x)
0
x = x - λf(x).
فرض کنید φ(x) = x- λf(x). اجازه دهید پارامتر λ را به گونه ای انتخاب کنیم که در همسایگی ریشه ξ، نابرابری
0≤|φ'(x)|=|1-λ f'(x)|≤q≤1
از این رو، بر اساس (7)، به دست می آوریم
0≤|1-λM 1 |≤|1-λm 1 |≤q
سپس با انتخاب λ = 1/M 1، به دست می آوریم
q = 1-m 1 /M 1< 1.
اگر λ \u003d 1 / f '(x)، فرمول تکراری x n \u003d φ (x n -1) وارد فرمول نیوتن می شود
x n \u003d x n -1 - f (x n) / f '(x).
روش تکرار در اکسل
در سلول B2 ابتدای بازه a و در سلول B3 انتهای بازه b را وارد می کنیم. خط 4 در زیر عنوان جدول اختصاص داده شده است. ما فرآیند تکرارها را در سلول های A5:D5 سازماندهی می کنیم.فرآیند یافتن صفرهای یک تابع با تکرارشامل مراحل زیر است:
- با استفاده از این سرویس یک الگو دریافت کنید.
- فواصل در سلول های B2، B3 را اصلاح کنید.
- سطرهای تکرار را با دقت لازم کپی کنید (ستون D).
مثال. ریشه معادله e -x -x=0، x=∈، ε=0.001 را بیابید (8)
راه حل.
معادله (8) را به شکل x=x-λ(e -x -x) نشان می‌دهیم.
حداکثر مقدار مشتق تابع f(x)= e - x -x را بیابید.
max f′(x)=max(-(e -x +1)) ≈ -1.37. معنی 
. بنابراین معادله زیر را حل می کنیم
x=x+0.73(e-x-x)
مقادیر تقریب های متوالی در جدول آورده شده است.
| n | x i | f(x i) |
| 1 | 0.0 | 1.0 |
| 2 | 0.73 | -0.2481 |
| 3 | 0.5489 | 0.0287 |
| 4 | 0.5698 | -0.0042 |
| 5 | 0.5668 | 0.0006 |
سیستم معادلات غیر خطی به شکل زیر است:
در اینجا متغیرهای ناشناخته هستند و اگر حداقل یکی از توابع غیرخطی باشد، سیستم (7) یک سیستم مرتبه عادی نامیده می شود.
حل سیستم معادلات غیرخطی یکی از دشوارترین مسائل در ریاضیات محاسباتی است. مشکل این است که تعیین کنیم آیا سیستم راه حلی دارد یا خیر، و اگر چنین است، چند راه حل دارد. اصلاح راه حل ها در یک منطقه معین کار ساده تری است.
اجازه دهید توابع در مناطق تعریف شوند. سپس منطقه منطقه ای خواهد بود که راه حل در آن یافت می شود. متداول ترین روش ها برای پالایش محلول، روش تکرارهای ساده و روش نیوتن است.
روش تکرارهای ساده برای حل سیستم های معادلات غیرخطی
از سیستم اصلی (7) به وسیله تبدیل های معادل به سیستمی به شکل گذر می کنیم:
فرآیند تکراری که با فرمول ها تعریف می شود
می توانید با دادن یک تقریب اولیه شروع کنید. شرط کافی برای همگرایی فرآیند تکراری یکی از دو شرط است:
شرط اول را بنویسیم:
شرط دوم را بنویسیم:
اجازه دهید یکی از راه‌های رساندن سیستم (7) را به شکل (8) که تکرارهای همگرا را می‌پذیرد، در نظر بگیریم.
اجازه دهید یک سیستم مرتبه دوم از فرم داده شود:
لازم است آن را به فرم بیاورید:
معادله اول سیستم را در یک ثابت مجهول ضرب می کنیم، دومی را در ضرب می کنیم، سپس آنها را جمع می کنیم و به دو طرف معادله اضافه می کنیم. اولین معادله سیستم تبدیل شده را به دست می آوریم
ما ثابت های مجهول را از شرایط همگرایی کافی تعیین می کنیم
بیایید این شرایط را با جزئیات بیشتری بنویسیم:
با فرض اینکه عبارات زیر علامت مدول برابر با صفر باشند، سیستمی متشکل از چهار معادله با چهار مجهول برای تعیین ثابت ها بدست می آوریم:
با چنین انتخابی از پارامترها، در صورتی که مشتقات جزئی توابع به سرعت در همسایگی نقطه تغییر نکنند، شرایط همگرایی برآورده خواهد شد.
برای حل سیستم، باید تقریب اولیه را تنظیم کنید و مقادیر مشتقات را محاسبه کنید و در این مرحله. محاسبه در هر مرحله از تکرارها انجام می شود، در حالی که،.
روش تکرارهای ساده خود تصحیح، جهانی و آسان برای پیاده سازی در رایانه است. اگر سیستم دارای سفارش زیاد باشد، استفاده از این روش که سرعت همگرایی پایینی دارد توصیه نمی شود. در این مورد از روش نیوتن استفاده می شود که همگرایی سریع تری دارد.
روش نیوتن برای حل سیستم های معادلات غیرخطی
اجازه دهید برای حل یک سیستم معادلات غیرخطی شکل (7) لازم باشد. فرض کنید که راه حل در دامنه ای وجود دارد که همه توابع پیوسته هستند و حداقل مشتق اول را دارند. روش نیوتن یک فرآیند تکراری است که طبق فرمول خاصی به شکل زیر انجام می شود:
مشکلات استفاده از روش نیوتن:
آیا ماتریس معکوس وجود دارد؟
آیا خارج از منطقه می رود؟
روش اصلاح شده نیوتن کار اول را آسان می کند. اصلاح در این واقعیت است که ماتریس نه در هر نقطه بلکه فقط در نقطه اولیه محاسبه می شود. بنابراین، روش نیوتن اصلاح شده دارای فرمول زیر است:
اما روش اصلاح شده نیوتن پاسخی به سوال دوم نمی دهد.
فرآیند تکراری طبق فرمول (8) یا (10) در صورتی به پایان می رسد که شرط زیر برآورده شود.
مزیت روش نیوتن همگرایی سریع آن در مقایسه با روش تکرارهای ساده است.
حل معادلات غیر خطی
بگذارید برای حل معادله مورد نیاز باشد
جایی که 
یک تابع پیوسته غیر خطی است.
روش های حل معادلات به دو دسته مستقیم و تکراری تقسیم می شوند. روشهای مستقیم روش‌هایی هستند که به شما امکان می‌دهند با استفاده از یک فرمول (به عنوان مثال، یافتن ریشه‌های یک معادله درجه دوم) یک جواب را محاسبه کنید. روشهای تکراری روش‌هایی هستند که در آنها مقداری تقریب اولیه مشخص می‌شود و دنباله‌ای همگرا از تقریب‌ها به جواب دقیق ساخته می‌شود و هر تقریب بعدی با استفاده از تقریب‌های قبلی محاسبه می‌شود.
حل کامل مشکل را می توان به 3 مرحله تقسیم کرد:
تعداد، ماهیت و محل ریشه های معادله (1) را تنظیم کنید.
مقادیر تقریبی ریشه ها را پیدا کنید، به عنوان مثال. شکاف هایی را که در آن ریشه ها پیدا می شود را نشان دهید (ریشه ها را جدا کنید).
مقدار ریشه ها را با دقت لازم بیابید (ریشه ها را مشخص کنید).
برای حل دو مسئله اول روش های گرافیکی و تحلیلی مختلفی وجود دارد.
گویاترین روش برای جداسازی ریشه های معادله (1) تعیین مختصات نقاط تقاطع نمودار تابع است. 
با محور آبسیسا. آبسیسا 
نمودار نقاط تقاطع 
با محور 
ریشه های معادله (1) هستند
فواصل جداسازی ریشه های معادله (1) را می توان به صورت تحلیلی، بر اساس قضایای مربوط به خواص توابعی که روی یک قطعه پیوسته هستند، به دست آورد.
اگر مثلاً تابع 
پیوسته در بخش 
و 
، سپس با توجه به قضیه بولزانو کوشی، بر روی قطعه 
حداقل یک ریشه از معادله (1) (تعداد فرد ریشه) وجود دارد.
اگر تابع 
شرایط قضیه بولزانو کوشی را برآورده می کند و در این بخش یکنواخت است، سپس در 
تنها یک ریشه معادله (1) وجود دارد، بنابراین، معادله (1) روشن است 
تنها ریشه در صورت وجود شرایط:
اگر تابعی به طور پیوسته در یک بازه معین قابل تمایز باشد، می توانیم از نتیجه قضیه رول استفاده کنیم که طبق آن همیشه حداقل یک نقطه ثابت بین یک جفت ریشه وجود دارد. الگوریتم حل مسئله در این مورد به صورت زیر خواهد بود:
یک ابزار مفید برای جداسازی ریشه ها نیز استفاده از قضیه استورم است.
حل مسئله سوم با روش های مختلف تکراری (عددی) انجام می شود: روش دوگانگی، روش تکرار ساده، روش نیوتن، روش وتر و غیره.
مثالبیایید معادله را حل کنیم 
روش تکرار ساده. بیایید تنظیم کنیم 
. بیایید یک نمودار از تابع بسازیم.
نمودار نشان می دهد که ریشه معادله ما متعلق به بخش است 
، یعنی 
بخش جداسازی ریشه معادله ما است. اجازه دهید این را به صورت تحلیلی بررسی کنیم، یعنی احراز شرایط (2):
به یاد بیاورید که معادله اصلی (1) در روش تکرار ساده به شکل تبدیل می شود 
و تکرارها طبق فرمول انجام می شود:
(3)
انجام محاسبات طبق فرمول (3) یک تکرار نامیده می شود. با برآورده شدن شرط، تکرارها متوقف می شوند 
، جایی که 
خطای مطلق در یافتن ریشه یا 
، جایی که 
-خطای مربوطه.
در صورت شرط، روش تکرار ساده همگرا می شود 
برای 
. انتخاب تابع 
در فرمول (3) برای تکرارها، می توان بر همگرایی روش تأثیر گذاشت. در ساده ترین حالت 
با علامت مثبت یا منفی
در عمل اغلب بیان می شود 
مستقیماً از معادله (1). اگر شرط همگرایی برقرار نباشد به فرم (3) تبدیل می شود و انتخاب می شود. معادله خود را به شکل نمایش می دهیم 
(x را از معادله بیان می کنیم). بیایید شرایط همگرایی روش را بررسی کنیم:
برای 
. توجه داشته باشید که شرط همگرایی برقرار نیست 
، بنابراین بخش جداسازی ریشه را می گیریم 
. در گذر، توجه می کنیم که وقتی معادله خود را به شکل نمایش می دهیم 
، شرط همگرایی روش برآورده نمی شود: 
در بخش 
. نمودار نشان می دهد که 
سریعتر از عملکرد افزایش می یابد 
(|tg| زاویه تمایل مماس به 
در بخش 
)
بیایید انتخاب کنیم 
. ما تکرارها را طبق فرمول سازماندهی می کنیم:
ما فرآیند تکرارها را با دقت معین به صورت برنامه‌ریزی سازماندهی می‌کنیم:
> fv:=proc(f1,x0,eps)
> k:=0:
x:=x1+1:
در حالی که abs(x1-x)> eps انجام می دهد
x1:=f1(x):
print(evalf(x1,8)):
print(abs(x1-x)):
:printf("تعداد تکرار=%d ",k):
پایان:
در تکرار 19، ما ریشه معادله خود را بدست آوردیم 
با خطای مطلق 
بیایید معادله خود را حل کنیم روش نیوتن. تکرارها در روش نیوتن طبق فرمول انجام می شود:
روش نیوتن را می توان روشی برای تکرار ساده با یک تابع در نظر گرفت، سپس شرط همگرایی روش نیوتن را می توان به صورت زیر نوشت:
.
در تعیین ما 
و شرط همگرایی در بازه برآورده می شود 
که در نمودار قابل مشاهده است:
به یاد بیاورید که روش نیوتن با نرخ درجه دوم همگرا می شود و تقریب اولیه باید به اندازه کافی نزدیک به ریشه انتخاب شود. بیایید محاسبات را انجام دهیم: 
، تقریب اولیه، . ما تکرارها را طبق فرمول سازماندهی می کنیم:
ما فرآیند تکرارها را با دقت مشخصی به صورت برنامه‌ریزی سازماندهی می‌کنیم. در 4 تکرار، ریشه معادله را بدست می آوریم 
با 
روش هایی را برای حل معادلات غیرخطی با استفاده از معادلات مکعبی به عنوان مثال در نظر گرفته ایم که طبیعتا انواع مختلفی از معادلات غیرخطی با این روش ها حل می شوند. مثلا حل معادله
روش نیوتن با 
، ریشه معادله را در [-1.5;-1] پیدا می کنیم:
ورزش: معادلات غیر خطی را با دقت حل کنید 
0.
تقسیم یک قطعه (دوگانگی)
تکرار ساده
نیوتن (مماس)
مقطع - وتر.
گزینه های کار به شرح زیر محاسبه می شوند: تعداد لیست بر 5 تقسیم می شود ( 
)، قسمت صحیح مربوط به عدد معادله است، باقیمانده مربوط به عدد روش است.
وزارت آموزش و پرورش و علوم اوکراین
دانشگاه ایالتی سامی
گروه انفورماتیک
کار دوره
توسط دوره:
روشهای عددی
"روش های تکراری برای حل سیستم های معادلات غیرخطی"
1. روش های حل سیستم های معادلات غیر خطی. اطلاعات کلی
2.1 روش تکرارهای ساده
2.2 تبدیل آیتکن
2.3 روش نیوتن
2.3.1 اصلاحات روش نیوتن
2.3.2 روش های شبه نیوتنی
2.4 سایر روش های تکراری برای حل سیستم های معادلات غیر خطی
2.4.1 روش پیکارد
2.4.2 روش نزول گرادیان
2.4.3 روش آرامش
3. پیاده سازی روش های تکرار شونده به صورت برنامه نویسی و با استفاده از بسته ریاضی Maple
3.1 روش تکرار ساده
3.2 روش نزول گرادیان
3.3 روش نیوتن
3.4 روش نیوتن اصلاح شده
فهرست ادبیات استفاده شده
1. روش های حل معادلات غیر خطی. اطلاعات کلی.
اجازه دهید به ما یک سیستم معادلات داده شود، جایی که
- برخی از عملگرهای غیر خطی: (1.1)همچنین می توان آن را به صورت ماتریسی نشان داد:
(1.1)راه حل آن چنین مقداری نامیده می شود
، برای کداممشکل محاسباتی یافتن برخی یا همه راه حل های سیستم (1.1) از یک مشکل بسیار رایج است nمعادلات غیرخطی جبری یا ماورایی با nناشناس.
با نشان دادن ایکسبردار ستون ( ایکس 1 ، ایکس 2 ،...، x n)تیو سیستم معادلات را به صورت فرمول (1.2) بنویسید: اف(ایکس) = 0، کجا F=(f 1 ، اف 2 ،...، fn)تی.
چنین سیستم‌هایی از معادلات می‌توانند به طور مستقیم، به عنوان مثال، هنگام طراحی سیستم‌های فیزیکی یا غیرمستقیم ایجاد شوند. بنابراین، برای مثال، هنگام حل مشکل به حداقل رساندن یک تابع خاص جی(ایکس) اغلب لازم است نقاطی را تعیین کرد که گرادیان این تابع برابر با صفر است. با فرض اینکه F=درجه gما یک سیستم غیر خطی دریافت می کنیم.
بر خلاف سیستم های معادلات جبری خطی که با استفاده از هر دو قابل حل است سر راست(یا دقیق) و تکرار شونده(یا تقریبی) روش ها، حل سیستم های معادلات غیر خطی را می توان تنها با روش های تقریبی و تکراری به دست آورد. آنها به فرد اجازه می دهند تا دنباله ای از تقریب ها را به دست آورد
. اگر فرآیند تکرار شونده همگرا شود، آنگاه مقدار مرزی حل سیستم معادلات داده شده است.برای درک کامل روش های یافتن راه حل برای سیستم، لازم است مفهومی به عنوان «نرخ همگرایی» توضیح داده شود. اگر برای دنباله x n، همگرا به حد ایکس *، فرمول صحیح است
(کیک عدد واقعی مثبت است)، پس کنرخ همگرایی دنباله داده شده نامیده می شود.
2. روش های تکراری برای حل سیستم های معادلات غیر خطی
2.1 روش تکرارهای ساده
روش تکرارهای ساده (تقریب های متوالی) یکی از روش های اصلی در ریاضیات محاسباتی است و برای حل رده وسیعی از معادلات استفاده می شود. اجازه دهید این روش را برای سیستم های معادلات غیرخطی شکل توصیف و توجیه کنیم
f i (x 1 , x 2 ,...x n) = 0, من=1,2,..n;
ما سیستم معادلات را به شکل خاصی می آوریم:
(2.1)یا به صورت برداری
. (2.2)علاوه بر این، انتقال به این سیستم باید تنها به شرطی باشد که
یک نقشه انقباضی است.با استفاده از تقریب اولیه X(0) = (x 1 (0) , x 2 (0) ,...x n (0))
یک فرآیند تکراری X (k+1) = (X (k)) بسازید. محاسبات تا زمانی که شرط برآورده شود ادامه دارد
. سپس حل سیستم معادلات نقطه ثابت نقشه برداری است.اجازه دهید روش را در یک هنجار خاص توجیه کنیم
فضاهابیایید قضیه ای در مورد همگرایی ارائه کنیم که تحقق شرایط آن منجر به یافتن راه حلی برای سیستم می شود.
قضیه (در مورد همگرایی).اجازه دهید
یک). تابع برداری Ф(х) در دامنه تعریف شده است
; شرایط3). نابرابری منصفانه
سپس در یک فرآیند تکراری:
, – حل سیستم معادلات; ،اظهار نظر. نابرابری شرط 2) شرط Lipschitz برای تابع برداری Ф(х) در دامنه است. اسبا یک ثابت
(شرایط فشرده سازی). این را نشان می دهد افعملگر انقباض در دامنه است اس، یعنی معادله (2.2) تابع اصل نگاشت انقباض است. گزاره های قضیه به این معنی است که معادله (2.2) در منطقه راه حل دارد اس، و تقریب های متوالی با سرعت یک دنباله هندسی با مخرج به این راه حل همگرا می شوند. q.اثبات. از آنجا که
، سپس برای تقریب، با توجه به فرض 3)، ما داریم. معنیش اینه که . اجازه دهید نشان دهیم که k=2,3,… و برای تقریب های همسایه نابرابری (2.3) برآورده شده است.ما با استقرا استدلال خواهیم کرد. در
گفته درست است، زیرا و . فرض کنید که تقریب ها متعلق به S هستند و نابرابری (2.3) برای . از آنجا که ، پس برای در نظر گرفتن شرط 2) از قضیه ما .با فرضیه استقرایی