Bei einem rechteckigen Trapez liegen die Diagonalen gegenseitig. Trapezdiagonale. Formeln zum Finden der Diagonalen eines Trapezes
- Das Segment, das die Mittelpunkte der Diagonalen eines Trapezes verbindet, ist gleich der Hälfte der Differenz der Basen
- Die Dreiecke, die von den Basen des Trapezes und den Segmenten der Diagonalen bis zu ihrem Schnittpunkt gebildet werden, sind ähnlich
- Dreiecke, die durch Segmente der Diagonalen eines Trapezes gebildet werden, dessen Seiten auf den Seiten des Trapezes liegen - gleiche Fläche (haben die gleiche Fläche)
- Wenn wir die Seiten des Trapezes in Richtung der kleineren Basis verlängern, schneiden sie sich in einem Punkt mit der geraden Linie, die die Mittelpunkte der Basen verbindet
- Das Segment, das die Basen des Trapezes verbindet und durch den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes verläuft, wird durch diesen Punkt in einem Verhältnis geteilt, das dem Verhältnis der Längen der Basen des Trapezes entspricht
- Ein Segment, das parallel zu den Basen des Trapezes verläuft und durch den Schnittpunkt der Diagonalen gezogen wird, wird durch diesen Punkt halbiert und seine Länge beträgt 2ab / (a + b), wobei a und b die Basen des Trapezes sind
Eigenschaften eines Segments, das die Mittelpunkte der Diagonalen eines Trapezes verbindet
Verbinden Sie die Mittelpunkte der Diagonalen des Trapezes ABCD, wodurch wir ein Segment LM erhalten.
Ein Liniensegment, das die Mittelpunkte der Diagonalen eines Trapezes verbindet liegt auf der Mittellinie des Trapezes.
Dieses Segment parallel zu den Basen des Trapezes.
Die Länge des Segments, das die Mittelpunkte der Diagonalen eines Trapezes verbindet, ist gleich der halben Differenz seiner Basen.
LM = (AD - BC)/2
oder
LM = (a-b)/2
Eigenschaften von Dreiecken, die durch die Diagonalen eines Trapezes gebildet werden
Die Dreiecke, die durch die Basen des Trapezes und den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes gebildet werden - sind ähnlich.
Die Dreiecke BOC und AOD sind ähnlich. Da die Winkel BOC und AOD vertikal sind, sind sie gleich.
Die Winkel OCB und OAD sind innere, kreuzweise auf parallelen Linien AD und BC (die Basen des Trapezes sind parallel zueinander) und der Sekantenlinie AC liegende, daher sind sie gleich.
Die Winkel OBC und ODA sind aus demselben Grund gleich (innere Kreuzlage).
Da alle drei Winkel eines Dreiecks gleich den entsprechenden Winkeln eines anderen Dreiecks sind, sind diese Dreiecke ähnlich.
Was folgt daraus?
Um Probleme in der Geometrie zu lösen, wird die Ähnlichkeit von Dreiecken wie folgt verwendet. Wenn wir die Längen der beiden korrespondierenden Elemente ähnlicher Dreiecke kennen, finden wir den Ähnlichkeitskoeffizienten (wir dividieren eines durch das andere). Von wo aus die Längen aller anderen Elemente um genau den gleichen Wert zueinander in Beziehung stehen.
Eigenschaften von seitlich liegenden Dreiecken und Diagonalen eines Trapezes
Stellen Sie sich zwei Dreiecke vor, die auf den Seiten des Trapezes AB und CD liegen. Dies sind die Dreiecke AOB und COD. Trotz der Tatsache, dass die Größen einzelner Seiten dieser Dreiecke völlig unterschiedlich sein können, aber die Flächen der von den Seiten gebildeten Dreiecke und der Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes sind, das heißt, die Dreiecke sind gleich.
Wenn die Seiten des Trapezes zur kleineren Basis verlängert werden, ist der Schnittpunkt der Seiten mit einer geraden Linie zusammenfallen, die durch die Mittelpunkte der Basen verläuft.
Somit kann jedes Trapez zu einem Dreieck erweitert werden. Dabei:
- Die Dreiecke, die durch die Basen eines Trapezes mit einer gemeinsamen Spitze am Schnittpunkt der verlängerten Seiten gebildet werden, sind ähnlich
- Die Gerade, die die Mittelpunkte der Basen des Trapezes verbindet, ist gleichzeitig die Seitenhalbierende des konstruierten Dreiecks
Eigenschaften eines Segments, das die Basen eines Trapezes verbindet
Wenn Sie ein Segment zeichnen, dessen Enden auf den Basen des Trapezes liegen, das am Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes (KN) liegt, dann ist das Verhältnis seiner konstituierenden Segmente von der Seite der Basis zum Schnittpunkt des Diagonalen (KO / ON) wird gleich dem Verhältnis der Basen des Trapezes sein(v. Chr./n. Chr.).
KO/ON=BC/AD
Diese Eigenschaft folgt aus der Ähnlichkeit der entsprechenden Dreiecke (siehe oben).
Eigenschaften eines Segments parallel zu den Basen eines Trapezes
Wenn Sie ein Segment parallel zu den Basen des Trapezes zeichnen und durch den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes verlaufen, hat es die folgenden Eigenschaften:
- Voreingestellte Entfernung (KM) halbiert den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes
- Schnittlänge, die durch den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes verläuft und parallel zu den Basen verläuft, gleich ist KM = 2ab/(a + b)
Formeln zum Finden der Diagonalen eines Trapezes
ein, b- Basen eines Trapezes
CD- Seiten des Trapezes
d1 d2- Diagonalen eines Trapezes
α β - Winkel mit einer größeren Basis des Trapezes
Formeln zum Ermitteln der Diagonalen eines Trapezes durch die Grundflächen, Seiten und Winkel an der Grundfläche
Die erste Gruppe von Formeln (1-3) spiegelt eine der Haupteigenschaften der Trapezdiagonalen wider:
1. Die Summe der Quadrate der Diagonalen eines Trapezes ist gleich der Summe der Quadrate der Seiten plus das Doppelte des Produkts seiner Basen. Diese Eigenschaft der Diagonalen eines Trapezes kann als eigener Satz bewiesen werden
2 . Diese Formel erhalten durch Transformation der vorherigen Formel. Das Quadrat der zweiten Diagonale wird über das Gleichheitszeichen geworfen, wonach die Quadratwurzel aus der linken und rechten Seite des Ausdrucks gezogen wird.
3 . Diese Formel zum Ermitteln der Länge der Diagonalen eines Trapezes ähnelt der vorherigen, mit dem Unterschied, dass auf der linken Seite des Ausdrucks eine weitere Diagonale verbleibt
Die nächste Gruppe von Formeln (4-5) hat eine ähnliche Bedeutung und drückt eine ähnliche Beziehung aus.
Die Gruppe der Formeln (6-7) ermöglicht es Ihnen, die Diagonale eines Trapezes zu finden, wenn Sie die größere Basis des Trapezes, eine Seite und den Winkel an der Basis kennen.
Formeln zum Ermitteln der Diagonalen eines Trapezes in Bezug auf die Höhe
Eine Aufgabe.
Die Diagonalen des Trapezes ABCD (AD | | BC) schneiden sich im Punkt O. Finde die Länge der Basis BC des Trapezes, wenn die Basis AD = 24 cm, Länge AO = 9 cm, Länge OS = 6 cm ist.
Lösung.
Die Lösung dieser Aufgabe ist ideologisch absolut identisch mit den vorherigen Aufgaben.
Die Dreiecke AOD und BOC sind in drei Winkeln ähnlich - AOD und BOC sind vertikal und die verbleibenden Winkel sind paarweise gleich, da sie durch den Schnittpunkt einer Linie und zweier paralleler Linien gebildet werden.
Da die Dreiecke ähnlich sind, stehen alle ihre geometrischen Dimensionen in Beziehung zueinander, wie die geometrischen Dimensionen der Segmente AO und OC, die uns durch die Problemstellung bekannt sind. Also
AO/OC=AD/BC
9 / 6 = 24 / v. Chr.
BC = 24 * 6 / 9 = 16
Antworten: 16cm
Eine Aufgabe .
Im Trapez ABCD ist bekannt, dass AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Finden Sie die Fläche des Trapezes. 
Lösung .
Um die Höhe eines Trapezes von den Eckpunkten der kleineren Basis B und C zu ermitteln, senken wir zwei Höhen auf die größere Basis ab. Da das Trapez ungleich ist, bezeichnen wir die Länge AM = a, die Länge KD = b ( nicht mit den Symbolen in der Formel verwechseln Finden der Fläche eines Trapezes). Da die Grundflächen des Trapezes parallel sind und wir zwei Höhen senkrecht zur größeren Grundfläche weggelassen haben, ist MBCK ein Rechteck.
Meint
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
Die Dreiecke DBM und ACK sind rechtwinklig, ihre rechten Winkel werden also durch die Höhen des Trapezes gebildet. Lassen Sie uns die Höhe des Trapezes mit h bezeichnen. Dann nach dem Satz des Pythagoras
H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
und
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2
Bedenken Sie, dass a \u003d 16 - b, dann in der ersten Gleichung
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2
Setzen Sie den Wert des Quadrats der Höhe in die zweite Gleichung ein, die Sie mit dem Satz des Pythagoras erhalten. Wir bekommen:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b2 + 576 - 48b + b2 = -256
-64b = -768
b = 12
Somit ist KD = 12
Wo
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5
Ermitteln Sie die Fläche eines Trapezes anhand seiner Höhe und der halben Summe der Basen
, wobei a b - die Basen des Trapezes, h - die Höhe des Trapezes
S \u003d (24 + 8) * 5 / 2 \u003d 80 cm 2
Antworten: Die Fläche eines Trapezes beträgt 80 cm2.
Wenn die Diagonalen in einem gleichschenkligen Trapez senkrecht zueinander stehen, ist das folgende theoretische Material zur Lösung des Problems hilfreich.
1. Wenn die Diagonalen in einem gleichschenkligen Trapez senkrecht stehen, ist die Höhe des Trapezes die Hälfte der Summe der Basen.
Lassen Sie uns die Linie CF durch den Punkt C parallel zu BD ziehen und die Linie AD verlängern, bis sie CF schneidet.
Das Viereck BCFD ist ein Parallelogramm (BC∥ DF als Basis eines Trapezes, BD∥ CF per Konstruktion). Also CF=BD, DF=BC und AF=AD+BC.
Das Dreieck ACF ist rechtwinklig (wenn eine Linie senkrecht zu einer von zwei parallelen Linien steht, dann steht sie auch senkrecht zur anderen Linie). Da die Diagonalen in einem gleichschenkligen Trapez gleich sind und CF = BD, dann CF = AC, d. h. das Dreieck ACF ist gleichschenklig mit der Basis AF. Daher ist seine Höhe CN auch der Median. Und da der Median eines zur Hypotenuse gezogenen rechtwinkligen Dreiecks gleich der Hälfte davon ist, dann
was in Gesamtansicht kann geschrieben werden als
wobei h die Höhe des Trapezes ist, a und b seine Basen sind.
2. Wenn in einem gleichschenkligen Trapez die Diagonalen senkrecht sind, dann ist seine Höhe gleich der Mittellinie.
Da die Mittellinie des Trapezes m gleich der Hälfte der Summe der Basen ist, dann
3. Wenn die Diagonalen in einem gleichschenkligen Trapez senkrecht stehen, ist die Fläche des Trapezes gleich dem Quadrat der Höhe des Trapezes (oder dem Quadrat der Halbsumme der Basen oder dem Quadrat der Mittellinie ).
Da die Fläche eines Trapezes durch die Formel gefunden wird
und die Höhe, die halbe Summe der Basen und die Mittellinie eines gleichschenkligen Trapezes mit rechtwinkligen Diagonalen sind einander gleich:
4. Wenn in einem gleichschenkligen Trapez die Diagonalen senkrecht stehen, dann ist das Quadrat seiner Diagonale gleich dem halben Quadrat der Summe der Basen sowie dem doppelten Quadrat der Höhe und dem doppelten Quadrat der Mittellinie.
Da die Fläche eines konvexen Vierecks durch seine Diagonalen und den Winkel zwischen ihnen mithilfe der Formel ermittelt werden kann
Wieder das pythagoreische Dreieck :))) Wenn ein Stück der großen Diagonale von der großen Basis zum Schnittpunkt mit x bezeichnet wird, dann folgt aus der offensichtlichen Ähnlichkeit rechtwinkliger Dreiecke mit gleichen Winkeln x / 64 = 36 / x, also x = 48; 48/64 = 3 / 4, also sind ALLE rechtwinkligen Dreiecke, die aus Basen, Diagonalen und einer zur Basis senkrechten Seite gebildet werden, einem Dreieck mit den Seiten 3,4,5 ähnlich. Die einzige Ausnahme ist ein Dreieck, das aus Diagonalen und einer schrägen Seite besteht, aber das interessiert uns nicht :). (Um klar zu sein, die fragliche Ähnlichkeit ist nur eine ANDERE NAMED trigonometrische Funktion von Winkeln :) Wir kennen bereits den Tangens des Winkels zwischen der großen Diagonale und der großen Basis, er ist 3/4, also ist der Sinus 3/5, und der Kosinus ist 4/5 :)) Sie können sofort schreiben
Antworten. Die untere Basis ist 80, die Höhe des Trapezes 60 und die obere 45. (36*5/4 = 45, 64*5/4 = 80, 100*3/5 = 60)
Verwandte Aufgaben:
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1. In einem Trapez ABCD mit den Seiten AB und CD schneiden sich die Diagonalen im Punkt O
a) Vergleichen Sie die Flächen der Dreiecke ABD und ACD
b) Vergleichen Sie die Flächen der Dreiecke ABO und CDO
c) Beweisen Sie, dass OA*OB=OC*OD
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3. Linie AM - Tangente an den Kreis, AB-Akkord dieses Kreises. Beweisen Sie, dass der Winkel MAB durch die Hälfte des Bogens AB gemessen wird, der sich innerhalb des Winkels MAB befindet.