Wenn eine Zufallsvariable einer Normalverteilung folgt. Normalverteilung. Kontinuierliche Verteilungen in MS EXCEL. Bivariate Normaldichtediagramme
Definition. Normal wird als kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet zufällige Variable, die durch die Wahrscheinlichkeitsdichte beschrieben wird
Die Normalverteilung wird auch genannt Gaußsches Gesetz.
Das Normalverteilungsgesetz steht im Mittelpunkt der Wahrscheinlichkeitstheorie. Dies liegt daran, dass sich dieses Gesetz in allen Fällen manifestiert, in denen eine Zufallsvariable das Ergebnis der Wirkung einer großen Anzahl verschiedener Faktoren ist. Alle anderen Verteilungsgesetze nähern sich dem Normalgesetz an.
Es lässt sich leicht zeigen, dass die in der Verteilungsdichte enthaltenen Parameter und jeweils der mathematische Erwartungswert und die Standardabweichung der Zufallsvariablen X sind.
Finden Sie die Verteilungsfunktion F(x).
Der Normalverteilungsdichteplot wird aufgerufen normale Kurve oder Gaußsche Kurve.
Eine Normalkurve hat folgende Eigenschaften:
1) Die Funktion wird auf der gesamten Zahlenachse definiert.
2) Für alle X die Verteilungsfunktion nimmt nur positive Werte an.
3) Die OX-Achse ist die horizontale Asymptote des Wahrscheinlichkeitsdichtediagramms, da mit einer unbegrenzten Steigerung des absoluten Werts des Arguments X, geht der Wert der Funktion gegen Null.
4) Finden Sie das Extremum der Funktion.
Da bei y' > 0 bei x< m und du< 0 bei x > m, dann an der Stelle x = t Die Funktion hat ein Maximum gleich .
5) Die Funktion ist symmetrisch zu einer Geraden x = a, Weil Unterschied
(x-a) gibt die quadrierte Verteilungsdichtefunktion ein.
6) Um die Wendepunkte des Graphen zu finden, finden wir die zweite Ableitung der Dichtefunktion.
Bei x = m+ s und x = m- s die zweite Ableitung gleich Null ist und beim Durchgang durch diese Punkte das Vorzeichen ändert, d.h. an diesen Stellen hat die Funktion eine Beugung.
An diesen Stellen ist der Wert der Funktion .
Lassen Sie uns einen Graphen der Verteilungsdichtefunktion erstellen.
Graphen wurden für gebaut t=0 und drei mögliche Werte der Standardabweichung s = 1, s = 2 und s = 7. Wie Sie sehen können, wird der Graph mit zunehmendem Wert der Standardabweichung flacher und der Maximalwert nimmt ab.
Wenn ein a> 0, dann verschiebt sich der Graph in die positive Richtung, wenn a < 0 – в отрицательном.
Bei a= 0 und s = 1 heißt die Kurve normalisiert. Normalisierte Kurvengleichung: 
Der Kürze halber sagen wir, dass CV X dem Gesetz N(m, s) gehorcht, d.h. X ~ N(m, s). Die Parameter m und s stimmen mit den Hauptmerkmalen der Verteilung überein: m = m X , s = s X = . Wenn SV X ~ N(0, 1), dann wird es aufgerufen standardisierter Normalwert. DF wird als standardisierter Normalwert bezeichnet Laplace-Funktion und wird bezeichnet als Ф(x). Damit können Intervallwahrscheinlichkeiten für die Normalverteilung N(m, s) berechnet werden:
P(x 1 £ X< x 2) = Ф - Ф .
Bei der Lösung von Problemen auf einer Normalverteilung ist es oft notwendig, tabellarische Werte der Laplace-Funktion zu verwenden. Da die Laplace-Funktion die Beziehung erfüllt F(-x) = 1 - F(x), dann genügt es, Tabellenwerte der Funktion zu haben F(x) nur für positive Argumentwerte.
Für die Wahrscheinlichkeit, ein zum mathematischen Erwartungswert symmetrisches Intervall zu treffen, gilt folgende Formel: P(|X - m X |< e) = 2×F(e/s) - 1.
Die zentralen Momente der Normalverteilung erfüllen die rekursive Beziehung: m n +2 = (n+1)s 2 m n , n = 1, 2, ... . Dies impliziert, dass alle zentralen Momente ungerader Ordnung gleich Null sind (da m 1 = 0).
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine nach dem Normalgesetz verteilte Zufallsvariable in ein gegebenes Intervall fällt.
Bezeichnen 
Da Integral nicht in Form von elementaren Funktionen ausgedrückt wird, dann wird die Funktion in Betracht gezogen
,
Was heisst Laplace-Funktion oder Wahrscheinlichkeitsintegral.
Die Werte dieser Funktion bei verschiedene Werte X berechnet und in speziellen Tabellen dargestellt.
Unten ist ein Diagramm der Laplace-Funktion.
Die Laplace-Funktion hat folgende Eigenschaften:
2) F(- X) = -F( X);
Die Laplace-Funktion wird auch aufgerufen Fehlerfunktion und bezeichnen erf x.
Noch im Einsatz normalisiert die Laplace-Funktion, die mit der Laplace-Funktion durch die Beziehung verbunden ist:
Unten ist ein Diagramm der normalisierten Laplace-Funktion.
Bei der Betrachtung der Normalverteilung wird ein wichtiger Spezialfall unterschieden, der als bekannt ist Drei-Sigma-Regel.
Schreiben wir die Wahrscheinlichkeit auf, dass die Abweichung einer normalverteilten Zufallsvariablen von der mathematischen Erwartung kleiner als ein gegebener Wert D ist:
Wenn wir D = 3s akzeptieren, erhalten wir mit Hilfe der Wertetabellen der Laplace-Funktion:
Diese. die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable um mehr als das Dreifache der Standardabweichung von ihrer mathematischen Erwartung abweicht, ist praktisch null.
Diese Regel heißt Drei-Sigma-Regel.
In der Praxis wird angenommen, dass, wenn für irgendeine Zufallsvariable die Drei-Sigma-Regel erfüllt ist, diese Zufallsvariable eine Normalverteilung hat.
Beispiel. Der Zug besteht aus 100 Waggons. Die Masse jedes Waggons ist eine nach dem Normalgesetz verteilte Zufallsvariable mit mathematischer Erwartung a= 65 t und Standardabweichung s = 0,9 t. Die Lokomotive kann einen Zug von maximal 6600 t befördern, ansonsten muss eine zweite Lokomotive angehängt werden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Lokomotive nicht benötigt wird.
Die zweite Lokomotive wird nicht benötigt, wenn die Abweichung der Masse des Zuges von der erwarteten (100 × 65 = 6500) 6600 - 6500 = 100 Tonnen nicht überschreitet.
Da die Masse jedes Waggons normalverteilt ist, dann ist auch die Masse des gesamten Zuges normalverteilt.
Wir bekommen:
Beispiel. Eine normalverteilte Zufallsvariable X ist durch ihre Parameter gegeben - a \u003d 2 - mathematischer Erwartungswert und s = 1 – Standardabweichung. Es ist erforderlich, die Wahrscheinlichkeitsdichte zu schreiben und zu zeichnen, die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass X einen Wert aus dem Intervall (1; 3) annimmt, die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass X (modulo) von der mathematischen Erwartung um nicht mehr als 2 abweicht.
Die Verteilungsdichte hat die Form:
Lassen Sie uns ein Diagramm erstellen:
Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit ermitteln, eine Zufallsvariable im Intervall (1; 3) zu treffen.
Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable um einen Wert nicht größer als 2 von der mathematischen Erwartung abweicht.
Dasselbe Ergebnis kann mit der normalisierten Laplace-Funktion erhalten werden.
Vorlesung 8 Gesetz der großen Zahlen(Sektion 2)
Vorlesungsplan
Zentraler Grenzwertsatz (allgemeine Formulierung und besondere Formulierung für unabhängige gleichverteilte Zufallsvariablen).
Chebyshevs Ungleichung.
Das Gesetz der großen Zahlen in Form von Tschebyscheff.
Das Konzept der Ereignishäufigkeit.
Statistisches Verständnis der Wahrscheinlichkeit.
Das Gesetz der großen Zahlen in Bernoulli-Form.
Durch die Untersuchung statistischer Regelmäßigkeiten konnte festgestellt werden, dass das Gesamtverhalten einer großen Zahl von Zufallsvariablen unter bestimmten Bedingungen fast seinen zufälligen Charakter verliert und regelmäßig wird (mit anderen Worten, zufällige Abweichungen von einem durchschnittlichen Verhalten heben sich gegenseitig auf). Insbesondere wenn der Einfluss auf die Summe einzelner Terme gleichmäßig gering ist, nähert sich das Verteilungsgesetz der Summe der Normalität an. Die mathematische Formulierung dieser Aussage ist in einer Gruppe von Sätzen genannt gegeben Gesetz der großen Zahlen.
GESETZ DER GROßEN ZAHLEN – allgemeines Prinzip, wodurch das Zusammenwirken zufälliger Faktoren unter sehr allgemeinen Bedingungen zu einem vom Zufall nahezu unabhängigen Ergebnis führt. Das erste Beispiel für die Funktionsweise dieses Prinzips ist die Konvergenz der Häufigkeit des Auftretens eines zufälligen Ereignisses mit seiner Wahrscheinlichkeit bei einer Erhöhung der Anzahl der Versuche (in der Praxis häufig verwendet, z. B. bei Verwendung der Häufigkeit des Auftretens einer beliebigen Qualität des Befragten in der Stichprobe als Stichprobenschätzung der entsprechenden Wahrscheinlichkeit).
Wesen Gesetz der großen Zahlen ist, dass bei einer großen Anzahl unabhängiger Experimente die Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses nahe an seiner Wahrscheinlichkeit liegt.
Zentraler Grenzwertsatz (CLT) (in der Formulierung von Lyapunov A.M. für identisch verteilte RVs). Wenn paarweise unabhängige RVs X 1 , X 2 , ..., X n , ... dasselbe Verteilungsgesetz mit endlichen numerischen Eigenschaften M = m und D = s 2 haben, dann gilt für n ® ¥ das Verteilungsgesetz des RV unendlich nähert sich dem Normalgesetz N(n×m, ).
Folge. Wenn in der Bedingung des CB-Theorems 
, dann nähert sich das Verteilungsgesetz von SW Y für n ® ¥ dem Normalgesetz N(m, s/ ) auf unbestimmte Zeit.
Satz von De Moivre-Laplace. Sei SV K die Anzahl der „Erfolge“ in n Versuchen nach dem Bernoulli-Schema. Dann nähert sich für n ® ¥ und einem festen Wert der „Erfolgswahrscheinlichkeit“ in einem Versuch p das Verteilungsgesetz von RV K auf unbestimmte Zeit dem Normalgesetz N(n×p, ).
Folge. Wenn wir in der Bedingung des Theorems anstelle von SV K SV K/n betrachten - die Häufigkeit von „Erfolgen“ in n Versuchen gemäß dem Bernoulli-Schema, dann nähert sich sein Verteilungsgesetz für n ® ¥ und einem festen Wert von p das Normalgesetz N(p, ) auf unbestimmte Zeit.
Kommentar. Sei SV K die Anzahl der „Erfolge“ in n Versuchen nach dem Bernoulli-Schema. Das Verteilungsgesetz solcher SW ist das Binomialgesetz. Dann hat das Binomialgesetz für n ® ¥ zwei Grenzverteilungen:
n-Verteilung Poisson(für n ® ¥ und l = n×p = const);
n-Verteilung Gauß N(n×p, ) (für n ® ¥ und p = const).
Beispiel. Die Wahrscheinlichkeit des „Erfolgs“ in einem Versuch beträgt nur p = 0,8. Wie viele Versuche müssen durchgeführt werden, damit wir mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,9 erwarten können, dass die beobachtete „Erfolgshäufigkeit“ bei Versuchen nach dem Bernoulli-Schema um nicht mehr als e = 0,01 von der Wahrscheinlichkeit p abweicht?
Lösung. Zum Vergleich lösen wir das Problem auf zwei Arten.
Das Gesetz der Normalverteilung der Wahrscheinlichkeiten einer kontinuierlichen Zufallsvariablen nimmt unter verschiedenen theoretischen Gesetzen einen besonderen Platz ein, da es in vielen praktischen Studien das wichtigste ist. Er beschreibt die meisten Zufallsphänomene, die mit Produktionsprozessen verbunden sind.
Zufällige Phänomene, die dem Normalverteilungsgesetz gehorchen, umfassen Messfehler von Produktionsparametern, die Verteilung von technologischen Herstellungsfehlern, die Größe und das Gewicht der meisten biologischen Objekte usw.
Normal nennen das Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen, die durch eine Differentialfunktion beschrieben wird
a - mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen;
Die Standardabweichung der Normalverteilung.
Der Graph der Differentialfunktion der Normalverteilung wird als Normalkurve (Gauß-Kurve) bezeichnet (Abb. 7).
Reis. 7 Gaußsche Kurve
Eigenschaften einer Normalkurve (Gaußkurve):
1. die Kurve ist symmetrisch zur Geraden x = a;
2. die Normalkurve befindet sich oberhalb der X-Achse, d.h. für alle Werte von X ist die Funktion f(x) immer positiv;
3. Die Ox-Achse ist die horizontale Asymptote des Graphen, weil
4. Für x = a hat die Funktion f(x) ein Maximum gleich
,
an den Punkten A und B an und die Kurve hat Wendepunkte, deren Ordinaten gleich sind.
Gleichzeitig ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Absolutwert der Abweichung einer normalverteilten Zufallsvariablen von ihrer mathematischen Erwartung die Standardabweichung nicht überschreitet, gleich 0,6826.
an den Punkten E und G ist für und der Wert der Funktion f(x) gleich
und die Wahrscheinlichkeit, dass der Absolutwert der Abweichung einer normalverteilten Zufallsvariablen von ihrer mathematischen Erwartung das Doppelte der Standardabweichung nicht überschreitet, beträgt 0,9544.
Asymptotisch nähernd an der Abszissenachse kommt die Gaußsche Kurve an den Punkten C und D, bei und sehr nahe an die Abszissenachse. An diesen Stellen ist der Wert der Funktion f(x) sehr klein
und die Wahrscheinlichkeit, dass der Absolutwert der Abweichung einer normalverteilten Zufallsvariablen von ihrer mathematischen Erwartung das Dreifache der Standardabweichung nicht überschreitet, beträgt 0,9973. Diese Eigenschaft der Gaußschen Kurve heißt " Drei-Sigma-Regel".
Ist eine Zufallsvariable normalverteilt, dann überschreitet der Betrag ihrer Abweichung von der mathematischen Erwartung nicht das Dreifache der Standardabweichung.
Die Änderung des Wertes des Parameters a (der mathematische Erwartungswert einer Zufallsvariablen) ändert nicht die Form der Normalkurve, sondern führt nur zu ihrer Verschiebung entlang der X-Achse: nach rechts, wenn a zunimmt, und nach links, wenn a zunimmt sinkt.
Bei a=0 ist die Normalkurve symmetrisch zur y-Achse.
Das Ändern des Werts des Parameters (Standardabweichung) ändert die Form der Normalkurve: Wenn die Ordinaten der Normalkurve ansteigen, nehmen sie ab, die Kurve dehnt sich entlang der X-Achse aus und drückt gegen sie. Beim Abnehmen nehmen die Ordinaten der Normalkurve zu, die Kurve schrumpft entlang der X-Achse und wird "spitzer".
Gleichzeitig bleibt für beliebige Werte von und die von der Normalkurve und der X-Achse begrenzte Fläche gleich eins (d. h. die Wahrscheinlichkeit, dass eine normalverteilte Zufallsvariable einen von der Normalkurve begrenzten Wert annimmt die X-Achse ist gleich 1).
Normalverteilung mit beliebigen Parametern und , d. h. beschrieben durch eine Differentialfunktion
genannt Allgemeine Normalverteilung.
Die Normalverteilung mit Parametern und heißt normalisierte Verteilung(Abb. 8). Bei einer normalisierten Verteilung lautet die Differentialverteilungsfunktion:
Reis. 8 Normalisierte Kurve
Die Integralfunktion der allgemeinen Normalverteilung hat die Form:
Eine Zufallsvariable X sei nach dem Normalgesetz im Intervall (c, d) verteilt. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert annimmt, der zum Intervall (c, d) gehört, gleich
Beispiel. Die Zufallsvariable X ist nach dem Normalgesetz verteilt. Der mathematische Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Zufallsvariablen sind a=30 und . Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert im Intervall (10, 50) annimmt.
Nach Bedingung: . Dann
Unter Verwendung fertiger Laplace-Tabellen (siehe Anhang 3) haben wir.
In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird eine ziemlich große Anzahl verschiedener Verteilungsgesetze betrachtet. Für die Lösung von Problemen im Zusammenhang mit der Erstellung von Regelkarten sind nur einige von Interesse. Der wichtigste von ihnen ist Normalverteilungsrecht, das zum Erstellen von Regelkarten verwendet wird, die in verwendet werden quantitative Kontrolle, d.h. wenn wir es mit einer kontinuierlichen Zufallsvariablen zu tun haben. Das Normalverteilungsgesetz nimmt unter anderen Verteilungsgesetzen eine Sonderstellung ein. Dies erklärt sich daraus, dass es erstens in der Praxis am häufigsten anzutreffen ist und zweitens das Grenzgesetz ist, an das sich andere Verteilungsgesetze unter sehr oft anzutreffenden typischen Bedingungen annähern. Was den zweiten Umstand betrifft, so wurde in der Wahrscheinlichkeitstheorie bewiesen, dass die Summe einer ausreichend großen Anzahl unabhängiger (oder schwach abhängiger) Zufallsvariablen, die beliebigen Verteilungsgesetzen unterliegen (vorbehaltlich bestimmter sehr nicht starrer Einschränkungen), ungefähr dem normalen Gesetz gehorcht , und zwar um so genauer, je mehr Zufallsvariablen aufsummiert werden. Die meisten der in der Praxis anzutreffenden Zufallsvariablen, wie beispielsweise Messfehler, lassen sich als Summe einer sehr großen Zahl relativ kleiner Terme darstellen – Elementarfehler, die jeweils durch die Einwirkung einer separaten Ursache unabhängig voneinander verursacht werden der anderen. Das normale Gesetz tritt auf, wenn die Zufallsvariable X ist das Ergebnis einer Vielzahl unterschiedlicher Faktoren. Jeder Faktor separat nach dem Wert X leicht beeinflusst, und es ist unmöglich zu spezifizieren, welcher stärker beeinflusst wird als die anderen.
Normalverteilung(Laplace-Gauß-Verteilung) ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X so dass die Wahrbei - ¥<х< + ¥ принимает действительное значение:
exp 
(3)
Das heißt, die Normalverteilung ist durch zwei Parameter m und s gekennzeichnet, wobei m die mathematische Erwartung ist; s ist die Standardabweichung der Normalverteilung.
s-Wert 2 ist die Varianz der Normalverteilung.
Der mathematische Erwartungswert m charakterisiert die Lage des Verteilungszentrums, und die Standardabweichung s (RMS) ist ein Streuungsmerkmal (Abb. 3).
f(x) f(x)
 |
Abbildung 3 - Dichtefunktionen der Normalverteilung mit:
a) unterschiedliche mathematische Erwartungen m; b) unterschiedliche Effektivwerte.
Also der Wert μ wird durch die Position der Verteilungskurve auf der x-Achse bestimmt. Abmessungen μ - gleich der Dimension der Zufallsvariablen X. Mit zunehmender mathematischer Erwartung bewegen sich beide Funktionen parallel nach rechts. Mit abnehmender Varianz s 2 die Dichte konzentriert sich immer mehr um m herum, während die Verteilungsfunktion immer steiler wird.
Der Wert von σ bestimmt die Form der Verteilungskurve. Da die Fläche unter der Verteilungskurve immer gleich eins bleiben muss, wird die Verteilungskurve mit zunehmendem σ flacher. Auf Abb. 3.1 zeigt drei Kurven für verschiedene σ: σ1 = 0,5; σ2 = 1,0; σ3 = 2,0.
Abbildung 3.1 - Dichtefunktionen der Normalverteilung mit verschiedene RMS s .
Die Verteilungsfunktion (Integralfunktion) hat die Form (Abb. 4):
(4)
Abbildung 4 - Integrale (a) und differentielle (b) Normalverteilungsfunktionen
Von besonderer Bedeutung ist die lineare Transformation einer normalverteilten Zufallsvariablen X, wonach eine Zufallsvariable erhalten wird Z mit mathematischem Erwartungswert 0 und Varianz 1. Eine solche Transformation nennt man Normalisierung:
Dies kann für jede Zufallsvariable durchgeführt werden. Durch die Normalisierung lassen sich alle möglichen Varianten der Normalverteilung auf einen Fall reduzieren: m = 0, s = 1.
Die Normalverteilung mit m = 0, s = 1 heißt normalisierte Normalverteilung (standardisiert).
Standardnormalverteilung(Standard-Laplace-Gauß-Verteilung oder normalisierte Normalverteilung) ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer standardisierten normalen Zufallsvariablen Z, deren Verteilungsdichte gleich ist:
bei - ¥<z< + ¥
Funktionswerte Ф(z) wird durch die Formel bestimmt:
(7)
Funktionswerte Ф(z) und Dichte f(z) normalisierte Normalverteilung werden berechnet und tabellarisch zusammengefasst (tabulated). Die Tabelle wird nur für positive Werte erstellt z deshalb:
F (–z) = 1–Ô (z) (8)
Anhand dieser Tabellen kann man nicht nur die Werte der Funktion und Dichte der normalisierten Normalverteilung für eine gegebene bestimmen z, sondern auch die Werte der allgemeinen Normalverteilungsfunktion, denn:
; (9)
. 10)
Bei vielen Problemen im Zusammenhang mit normalverteilten Zufallsvariablen ist es notwendig, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, eine Zufallsvariable zu treffen X, vorbehaltlich des Normalgesetzes mit den Parametern m und s, auf einen bestimmten Bereich. Eine solche Stelle kann beispielsweise ein Toleranzfeld für einen Parameter ab dem oberen Wert sein U zum Boden L.
Die Wahrscheinlichkeit fällt in das Intervall aus X 1 zu X 2 kann durch die Formel bestimmt werden:
Also die Wahrscheinlichkeit, eine Zufallsvariable zu treffen (Parameterwert) X im Toleranzfeld wird durch die Formel bestimmt
Normalverteilung ( Normalverteilung) - spielt eine wichtige Rolle bei der Datenanalyse.
Manchmal anstelle des Begriffs normal Verteilung den Begriff verwenden Gaußsche Verteilung zu Ehren von K. Gauss (ältere Begriffe, die heute praktisch nicht mehr verwendet werden: Gaußsches Gesetz, Gauß-Laplace-Verteilung).
Univariate Normalverteilung
Die Normalverteilung hat eine Dichte:
In dieser Formel feste Parameter, - Durchschnitt, - Standard Abweichung.
Dichtediagramme für verschiedene Parameter sind angegeben.
Die charakteristische Funktion der Normalverteilung hat die Form:
Unterscheidung der charakteristischen Funktion und Einstellung t = 0, erhalten wir Momente beliebiger Ordnung.
Die Normalverteilungsdichtekurve ist symmetrisch in Bezug auf und hat an diesem Punkt ein einzelnes Maximum, das gleich ist
Der Standardabweichungsparameter variiert von 0 bis ∞.
Durchschnitt variiert von -∞ bis +∞.
Wenn der Parameter zunimmt, breitet sich die Kurve entlang der Achse aus X, gegen 0 tendierend, schrumpft um den Mittelwert (der Parameter charakterisiert die Streuung, Streuung).
Wenn es sich ändert die Kurve wird entlang der Achse verschoben X(siehe Grafiken).
Durch Variation der Parameter und erhält man verschiedene Modelle von Zufallsvariablen, die in der Telefonie auftreten.
Eine typische Anwendung des Normalgesetzes bei der Analyse von beispielsweise Telekommunikationsdaten ist die Signalmodellierung, Beschreibung von Rauschen, Interferenzen, Fehlern, Verkehr.
Diagramme der univariaten Normalverteilung
Abbildung 1. Dichtediagramm der Normalverteilung: Mittelwert ist 0, Standardabweichung ist 1
Abbildung 2. Dichtediagramm der Standardnormalverteilung mit Bereichen, die 68 % und 95 % aller Beobachtungen enthalten
Abbildung 3. Dichtediagramme von Normalverteilungen mit Nullmittelwert und unterschiedlichen Abweichungen (=0,5, =1, =2)
Abbildung 4 Diagramme zweier Normalverteilungen N(-2,2) und N(3,2).
Beachten Sie, dass sich das Verteilungszentrum beim Ändern des Parameters verschoben hat.
Kommentar
In einem Programm STATISTIKEN die Bezeichnung N(3,2) wird als normales oder gaußsches Gesetz mit Parametern verstanden: Mittelwert = 3 und Standardabweichung = 2.
In der Literatur wird manchmal der zweite Parameter als interpretiert Streuung, d.h. Quadrat Standardabweichung.
Normalverteilungs-Prozentpunktberechnungen mit einem Wahrscheinlichkeitsrechner STATISTIKEN
Mit einem Wahrscheinlichkeitsrechner STATISTIKEN Es ist möglich, verschiedene Eigenschaften von Verteilungen zu berechnen, ohne auf die umständlichen Tabellen alter Bücher zurückgreifen zu müssen.
Schritt 1. Wir starten Analyse / Wahrscheinlichkeitsrechner / Ausschüttungen.
Wählen Sie im Verteilerbereich aus normal.
Abbildung 5. Starten des Wahrscheinlichkeitsverteilungsrechners
Schritt 2 Geben Sie die Parameter an, an denen wir interessiert sind.
Wir wollen beispielsweise das 95 %-Quantil einer Normalverteilung mit einem Mittelwert von 0 und einer Standardabweichung von 1 berechnen.
Geben Sie diese Parameter in den Feldern des Rechners an (siehe Felder des Rechners Mittelwert und Standardabweichung).
Lassen Sie uns den Parameter p=0,95 einführen.
Checkbox "Umgekehrt v.r.". wird automatisch angezeigt. Aktivieren Sie das Kontrollkästchen "Grafik".
Klicken Sie oben rechts auf die Schaltfläche „Berechnen“.
Abbildung 6. Parametereinstellung
Schritt 3 Im Z-Feld erhalten wir das Ergebnis: Der Quantilwert ist 1,64 (siehe nächstes Fenster).
Abbildung 7. Anzeigen des Ergebnisses des Rechners
Abbildung 8. Diagramme der Dichte- und Verteilungsfunktionen. Gerade x=1,644485
Abbildung 9. Graphen der Normalverteilungsfunktion. Vertikale gepunktete Linien - x=-1,5, x=-1, x=-0,5, x=0
Abbildung 10. Graphen der Normalverteilungsfunktion. Vertikale gepunktete Linien - x=0,5, x=1, x=1,5, x=2
Schätzung von Normalverteilungsparametern
Normalverteilungswerte können mit berechnet werden interaktiver Rechner.
Bivariate Normalverteilung
Die univariate Normalverteilung verallgemeinert sich natürlich zu zweidimensional Normalverteilung.
Wenn Sie beispielsweise ein Signal nur an einem Punkt betrachten, dann reicht Ihnen eine eindimensionale Verteilung, an zwei Punkten eine zweidimensionale Verteilung, an drei Punkten eine dreidimensionale Verteilung und so weiter.
Die allgemeine Formel für die bivariate Normalverteilung lautet:
Wo ist die paarweise Korrelation zwischen x1 und x2;
x1 beziehungsweise;
Mittelwert und Standardabweichung einer Variablen x2 beziehungsweise.
Wenn Zufallsvariablen X1 und X2 unabhängig sind, dann ist die Korrelation 0 bzw. = 0, der Mittelterm im Exponenten verschwindet, und es gilt:
f(x 1 ,x 2) = f(x 1)*f(x 2)
Für unabhängige Größen zerfällt die zweidimensionale Dichte in das Produkt zweier eindimensionaler Dichten.
Bivariate Normaldichtediagramme
Abbildung 11. Dichtediagramm einer bivariaten Normalverteilung (Null-Mittelwert-Vektor, Einheitskovarianzmatrix)
Abbildung 12. Ausschnitt des Dichteplots der zweidimensionalen Normalverteilung durch die Ebene z=0.05
Abbildung 13. Dichtediagramm der bivariaten Normalverteilung (Null-Erwartungsvektor, Kovarianzmatrix mit 1 auf der Hauptdiagonale und 0,5 auf der Seitendiagonalen)
Abbildung 14. Querschnitt des 2D-Normalverteilungsdichteplots (Erwartungsvektor Null, Kovarianzmatrix mit 1 auf der Hauptdiagonale und 0,5 auf der Seitendiagonale) durch die Ebene z= 0,05
Abbildung 15. Dichtediagramm einer bivariaten Normalverteilung (Null-Erwartungsvektor, Kovarianzmatrix mit 1 auf der Hauptdiagonale und -0,5 auf der Seitendiagonale)
Abbildung 16. Schnitt des Dichteplots der zweidimensionalen Normalverteilung (Null-Erwartungsvektor, Kovarianzmatrix mit 1 auf der Hauptdiagonale und -0,5 auf der Seitendiagonalen) durch die Ebene z=0,05
Abbildung 17. Querschnitte von Diagrammen der 2D-Normalverteilungsdichten nach Ebene z = 0,05
Versuchen Sie zum besseren Verständnis der bivariaten Normalverteilung das folgende Problem.
Eine Aufgabe. Sehen Sie sich den Graphen der bivariaten Normalverteilung an. Denken Sie darüber nach, kann es als Rotation eines Graphen einer eindimensionalen Normalverteilung dargestellt werden? Wann müssen Sie die Deformationstechnik anwenden?
In der Praxis gehorchen die meisten Zufallsvariablen, die von einer großen Anzahl von Zufallsfaktoren beeinflusst werden, dem Normalgesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Daher ist dieses Gesetz in verschiedenen Anwendungen der Wahrscheinlichkeitstheorie von besonderer Bedeutung.
Eine Zufallsvariable $X$ gehorcht dem Normalverteilungsgesetz, wenn ihre Wahrdie folgende Form hat
$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma)^2)))$$
Schematisch ist der Graph der Funktion $f\left(x\right)$ in der Abbildung dargestellt und hat den Namen "Gaußsche Kurve". Rechts neben dieser Grafik befindet sich der deutsche 10-Mark-Schein, der bereits vor der Einführung des Euro verwendet wurde. Wenn Sie genau hinsehen, dann sehen Sie auf dieser Banknote die Gaußsche Kurve und ihren Entdecker, den größten Mathematiker Carl Friedrich Gauß.
Gehen wir zurück zu unserer Dichtefunktion $f\left(x\right)$ und geben einige Erläuterungen zu den Verteilungsparametern $a,\ (\sigma )^2$. Der Parameter $a$ charakterisiert das Streuzentrum der Werte der Zufallsvariablen, hat also die Bedeutung der mathematischen Erwartung. Wenn sich der Parameter $a$ ändert und der Parameter $(\sigma )^2$ unverändert bleibt, können wir die Verschiebung des Graphen der Funktion $f\left(x\right)$ entlang der Abszissenachse beobachten, während die Dichte Der Graph selbst ändert seine Form nicht.
Der Parameter $(\sigma )^2$ ist die Varianz und charakterisiert die Form der Kurve des $f\left(x\right)$-Dichteplots. Wenn wir den Parameter $(\sigma )^2$ bei unverändertem Parameter $a$ ändern, können wir beobachten, wie der Dichtegraph seine Form ändert, schrumpft oder dehnt, ohne sich entlang der Abszisse zu verschieben.
Wahrscheinlichkeit, dass eine normalverteilte Zufallsvariable in ein bestimmtes Intervall fällt
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable $X$ in das Intervall $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ fällt, lässt sich bekanntlich aus $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:
$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$
Hier ist die Funktion $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ die Laplace-Funktion . Die Werte dieser Funktion stammen aus . Folgende Eigenschaften der Funktion $\Phi \left(x\right)$ sind festzuhalten.
1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, d.h. die Funktion $\Phi \left(x\right)$ ist ungerade.
2 . $\Phi \left(x\right)$ ist eine monoton steigende Funktion.
3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ links(x\rechts)\ )=-0,5$.
Um die Werte der Funktion $\Phi \left(x\right)$ zu berechnen, können Sie auch den Funktionsassistenten $f_x$ des Excel-Pakets verwenden: $\Phi \left(x\right)=NORMVERT\left (x;0;1;1\right )-0,5$. Lassen Sie uns zum Beispiel die Werte der Funktion $\Phi \left(x\right)$ für $x=2$ berechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine normalverteilte Zufallsvariable $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ in ein zum Erwartungswert $a$ symmetrisches Intervall fällt, lässt sich mit der Formel berechnen
$$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$
Drei-Sigma-Regel. Es ist praktisch sicher, dass eine normalverteilte Zufallsvariable $X$ in das Intervall $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$ fällt.
Beispiel 1 . Die Zufallsvariable $X$ unterliegt dem Normalverteilungsgesetz mit den Parametern $a=2,\ \sigma =3$. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ in das Intervall $\left(0,5;1\right)$ fällt und die Wahrscheinlichkeit, dass die Ungleichung $\left|X-a\right|< 0,2$.
Mit der Formel
$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$
find $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0,5-2)\ über (3))\right)=\Phi \left(-0.33\right)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi \left(0.5\right)-\Phi \ left(0.33\right) =0,191-0,129=$0,062.
$$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$
Beispiel 2 . Angenommen, der Aktienkurs eines bestimmten Unternehmens ist im Laufe des Jahres eine Zufallsvariable, die nach dem normalen Gesetz mit einer mathematischen Erwartung von 50 konventionellen Geldeinheiten und einer Standardabweichung von 10 verteilt wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf eine zufällig gewählten Tag des Diskussionszeitraums beträgt der Preis für die Aktie:
a) mehr als 70 konventionelle Geldeinheiten?
b) unter 50 pro Aktie?
c) zwischen 45 und 58 konventionelle Geldeinheiten je Aktie?
Die Zufallsvariable $X$ sei der Aktienkurs eines Unternehmens. Durch die Bedingung unterliegt $X$ einer Normalverteilung mit den Parametern $a=50$ - mathematischer Erwartungswert, $\sigma =10$ - Standardabweichung. Wahrscheinlichkeit $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:
$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$
$$a)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ über (10))\right)=0.5-\Phi \left(2\right)=0.5-0.4772=0.0228.$$
$$b)\P\links(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$
$$c)\P\links(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$