Zu 4 Eigenschaften der Quadratwurzeln Vorbereitungsversion. Eigenschaften von Wurzeln, Formulierungen, Beweise, Beispiele. Jetzt ganz alleine

\(\sqrt(a)=b\) wenn \(b^2=a\), wobei \(a≥0,b≥0\)

Beispiele:

\(\sqrt(49)=7\) weil \(7^2=49\)
\(\sqrt(0.04)=0.2\), weil \(0.2^2=0.04\)

Wie zieht man die Quadratwurzel einer Zahl?

Um die Quadratwurzel einer Zahl zu ziehen, müssen Sie sich die Frage stellen: Welche Zahl zum Quadrat ergibt den Ausdruck unter der Wurzel?

Zum Beispiel. Extrahieren Sie die Wurzel: a)\(\sqrt(2500)\); b) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); c) \(\sqrt(0.001)\); d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

a) Welche Zahl zum Quadrat ergibt \(2500\)?

\(\sqrt(2500)=50\)

b) Welche Zahl zum Quadrat ergibt \(\frac(4)(9)\) ?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

c) Welche Zahl zum Quadrat ergibt \(0.0001\)?

\(\sqrt(0.0001)=0.01\)

d) Welche Quadratzahl ergibt \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)? Um eine Antwort auf die Frage zu geben, müssen Sie in die falsche übersetzen.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

Kommentar: Obwohl \(-50\), \(-\frac(2)(3)\) , \(-0,01\),\(- \frac(7)(6)\) auch die gegebenen Fragen beantworten , werden aber nicht berücksichtigt, da die Quadratwurzel immer positiv ist.

Die Haupteigenschaft der Wurzel

Wie Sie wissen, hat in der Mathematik jede Aktion eine Umkehrung. Addition hat Subtraktion, Multiplikation hat Division. Das Gegenteil vom Quadrieren ist das Ziehen der Quadratwurzel. Daher heben sich diese Aktionen gegenseitig auf:

\((\sqrt(a))^2=a\)

Dies ist die Haupteigenschaft der Wurzel, die am häufigsten verwendet wird (einschließlich in der OGE).

Beispiel . (Aufgabe der OGE). Finden Sie den Wert des Ausdrucks \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)

Lösung :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

Beispiel . (Aufgabe der OGE). Finden Sie den Wert des Ausdrucks \((\sqrt(85)-1)^2\)

Lösung:

Antworten: \(86-2\sqrt(85)\)

Wenn Sie mit einer Quadratwurzel arbeiten, müssen Sie natürlich andere verwenden.

Beispiel . (Aufgabe der OGE). Finden Sie den Wert des Ausdrucks \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
Lösung:

Antworten: \(220\)

4 Regeln, die immer vergessen werden

Die Wurzel wird nicht immer extrahiert

Beispiel: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) usw. - das Ziehen einer Wurzel aus einer Zahl ist nicht immer möglich und das ist normal!

Wurzel einer Zahl, auch eine Zahl

\(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\) müssen nicht besonders behandelt werden. Das sind Zahlen, aber keine ganzen Zahlen, ja, aber nicht alles in unserer Welt wird in ganzen Zahlen gemessen.

Die Wurzel wird nur aus nicht negativen Zahlen gezogen

Daher werden Sie in Lehrbüchern solche Einträge nicht sehen \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\) usw.

Ich schaute noch einmal auf den Teller ... Und los geht's!

Beginnen wir mit einem einfachen:

Warten Sie eine Minute. dies, was bedeutet, dass wir es so schreiben können:

Ich habs? Hier ist das nächste für dich:

Die Wurzeln der resultierenden Zahlen werden nicht genau gezogen? Keine Sorge, hier sind einige Beispiele:

Was aber, wenn es nicht zwei Multiplikatoren gibt, sondern mehr? Das selbe! Die Wurzelmultiplikationsformel funktioniert mit einer beliebigen Anzahl von Faktoren:

Jetzt völlig unabhängig:

Antworten: Gut erledigt! Stimmen Sie zu, alles ist sehr einfach, die Hauptsache ist, das Einmaleins zu kennen!

Wurzelteilung

Wir haben die Multiplikation der Wurzeln herausgefunden, jetzt gehen wir zur Eigenschaft der Division über.

Daran erinnern, dass die Formel Gesamtansicht sieht so aus:

Und das bedeutet das die Wurzel des Quotienten ist gleich dem Quotienten der Wurzeln.

Nun, schauen wir uns Beispiele an:

Das ist alles Wissenschaft. Und hier ist ein Beispiel:

Alles ist nicht so glatt wie im ersten Beispiel, aber wie Sie sehen können, gibt es nichts Kompliziertes.

Was ist, wenn der Ausdruck so aussieht:

Sie müssen nur die Formel in umgekehrter Reihenfolge anwenden:

Und hier ist ein Beispiel:

Sie können auch diesen Ausdruck sehen:

Alles ist gleich, nur hier müssen Sie sich daran erinnern, wie Brüche übersetzt werden (wenn Sie sich nicht erinnern, schauen Sie sich das Thema an und kommen Sie zurück!). Fiel ein? Jetzt entscheiden wir!

Ich bin mir sicher, dass Sie alles, alles gemeistert haben, jetzt versuchen wir, in einem Grad Wurzeln zu schlagen.

Potenzierung

Was passiert, wenn die Quadratwurzel quadriert wird? Es ist ganz einfach, erinnern Sie sich an die Bedeutung der Quadratwurzel einer Zahl - dies ist eine Zahl, deren Quadratwurzel gleich ist.

Wenn wir also eine Zahl quadrieren, deren Quadratwurzel gleich ist, was bekommen wir dann?

Nun, natürlich, !

Schauen wir uns Beispiele an:

Alles ist einfach, oder? Und wenn die Wurzel in einem anderen Grad ist? Macht nichts!

Halten Sie sich an die gleiche Logik und merken Sie sich die Eigenschaften und möglichen Aktionen mit Abstufungen.

Lesen Sie die Theorie zum Thema "" und alles wird Ihnen sehr klar werden.

Hier ist zum Beispiel ein Ausdruck:

In diesem Beispiel ist der Grad gerade, aber was ist, wenn er ungerade ist? Wenden Sie erneut die Leistungseigenschaften an und berücksichtigen Sie alles:

Damit scheint alles klar zu sein, aber wie zieht man die Wurzel aus einer Zahl in Grad? Hier ist zum Beispiel das:

Ziemlich einfach, oder? Was ist, wenn der Abschluss größer als zwei ist? Wir folgen der gleichen Logik, indem wir die Eigenschaften von Graden verwenden:

Na, ist alles klar? Dann lösen Sie Ihre eigenen Beispiele:

Und hier sind die Antworten:

Einführung unter dem Zeichen der Wurzel

Was wir mit den Wurzeln einfach nicht gelernt haben! Es bleibt nur die Eingabe der Nummer unter dem Wurzelzeichen zu üben!

Es ist sehr leicht!

Nehmen wir an, wir haben eine Nummer

Was können wir damit machen? Verstecken Sie das Tripel natürlich unter der Wurzel, und denken Sie daran, dass das Tripel die Quadratwurzel von ist!

Warum brauchen wir es? Ja, nur um unsere Fähigkeiten beim Lösen von Beispielen zu erweitern:

Wie gefällt Ihnen diese Eigenschaft von Wurzeln? Macht das Leben viel einfacher? Für mich ist das richtig! Nur Wir müssen bedenken, dass wir unter dem Quadratwurzelzeichen nur positive Zahlen eingeben können.

Probieren Sie dieses Beispiel selbst aus:
Hast du es geschafft? Mal sehen, was Sie bekommen sollten:

Gut erledigt! Sie haben es geschafft, eine Zahl unter dem Wurzelzeichen einzugeben! Kommen wir zu etwas ebenso Wichtigem - überlegen Sie, wie man Zahlen vergleicht, die eine Quadratwurzel enthalten!

Root-Vergleich

Warum sollten wir lernen, Zahlen zu vergleichen, die eine Quadratwurzel enthalten?

Sehr einfach. Oft erhalten wir bei großen und langen Ausdrücken, denen wir in der Prüfung begegnen, eine irrationale Antwort (erinnern Sie sich, was das ist? Wir haben heute schon darüber gesprochen!)

Wir müssen die erhaltenen Antworten zum Beispiel auf der Koordinatenlinie platzieren, um zu bestimmen, welches Intervall zum Lösen der Gleichung geeignet ist. Und hier entsteht der Haken: Es gibt keinen Taschenrechner in der Prüfung, und wie soll man sich ohne ihn vorstellen, welche Zahl größer und welche kleiner ist? Das ist es!

Bestimmen Sie zum Beispiel, was größer ist: oder?

Sie werden nicht sofort sagen. Nun, lassen Sie uns die parsed-Eigenschaft verwenden, um eine Zahl unter dem Wurzelzeichen hinzuzufügen?

Dann weiterleiten:

Nun, je größer die Zahl unter dem Zeichen der Wurzel, desto größer die Wurzel selbst!

Diese. wenn bedeutet .

Daraus schließen wir fest Und niemand wird uns vom Gegenteil überzeugen!

Aus großen Zahlen Wurzeln ziehen

Zuvor haben wir einen Faktor unter dem Zeichen der Wurzel eingeführt, aber wie kann man ihn entfernen? Sie müssen es nur herausrechnen und extrahieren, was extrahiert wird!

Es war möglich, den anderen Weg zu gehen und in andere Faktoren zu zerlegen:

Nicht schlecht, oder? Jeder dieser Ansätze ist richtig, entscheiden Sie, wie Sie sich wohl fühlen.

Factoring ist sehr nützlich bei der Lösung von nicht standardmäßigen Aufgaben wie dieser:

Wir haben keine Angst, wir handeln! Wir zerlegen jeden Faktor unter der Wurzel in separate Faktoren:

Und jetzt versuchen Sie es selbst (ohne Taschenrechner! Es wird nicht auf der Prüfung stehen):

Ist das das Ende? Wir hören nicht auf halbem Weg auf!

Das ist alles, es ist nicht so beängstigend, oder?

Passiert? Gut gemacht, du hast recht!

Versuchen Sie nun dieses Beispiel:

Und ein Beispiel ist eine harte Nuss, die es zu knacken gilt, sodass Sie nicht sofort herausfinden können, wie Sie es angehen sollen. Aber wir sind natürlich in den Zähnen.

Fangen wir mit Factoring an, ja? Wir stellen sofort fest, dass Sie eine Zahl teilen können durch (erinnern Sie sich an die Zeichen der Teilbarkeit):

Und jetzt versuchen Sie es selbst (wieder ohne Taschenrechner!):

Na, hat es geklappt? Gut gemacht, du hast Recht!

Zusammenfassen

Die Quadratwurzel (arithmetische Quadratwurzel) einer nicht negativen Zahl ist eine nicht negative Zahl, deren Quadrat gleich ist.
.
Wenn wir nur die Quadratwurzel von etwas ziehen, erhalten wir immer ein nicht negatives Ergebnis.
Arithmetische Wurzeleigenschaften:
Beim Vergleich von Quadratwurzeln muss beachtet werden, dass je größer die Zahl unter dem Zeichen der Wurzel ist, desto größer die Wurzel selbst ist.

Wie gefällt dir die Quadratwurzel? Alles klar?

Wir haben versucht, dir ohne Wasser alles zu erklären, was du in der Klausur über die Quadratwurzel wissen musst.

Jetzt bist du dran. Schreiben Sie uns, ob dieses Thema für Sie schwierig ist oder nicht.

Hast du etwas Neues gelernt oder war alles schon so klar.

Schreib in die Kommentare und viel Glück bei den Prüfungen!

Titel: Unabhängig und Prüfungsunterlagen in Algebra und Geometrie für Klasse 8.

Das Handbuch enthält selbstständiges und kontrolliertes Arbeiten zu allen wichtigen Themen des Algebra- und Geometriekurses der 8. Klasse.

Die Werke bestehen aus 6 Varianten in drei Schwierigkeitsgraden. Didaktische Materialien sollen ein differenziertes selbstständiges Arbeiten der Studierenden organisieren.

INHALT
ALGEBRA 4
C-1 Rationeller Ausdruck. Fraktionsreduktion 4
C-2 Brüche addieren und subtrahieren 5
K-1 Rationale Brüche. Brüche addieren und subtrahieren 7
C-3 Multiplikation und Division von Brüchen. Erhöhen eines Bruchs auf die Potenz von 10
C-4 Transformation rationaler Ausdrücke 12
C-5 Inverse Proportionalität und ihr Diagramm 14
K-2 Rationale Brüche 16
C-6 Arithmetische Quadratwurzel 18
C-7 Gleichung x2 = a. Funktion y = y[x 20
C-8 Quadratwurzel des Produkts, Bruch, Potenz von 22
K-3 Arithmetische Quadratwurzel und ihre Eigenschaften 24
C-9 Einfügen und Multiplizieren mit Quadratwurzeln 27
C-10 Umrechnung von Ausdrücken mit Quadratwurzeln 28
K-4 Anwendung der Eigenschaften der arithmetischen Quadratwurzel 30
C-11 Unvollständige quadratische Gleichungen 32
C-12 Quadratwurzelformel 33
С-13 Problemlösung mit quadratischen Gleichungen. Satz von Vieta 34
K-5 Quadratische Gleichungen 36
C-14 Bruchrationale Gleichungen 38
C-15 Anwendung gebrochener rationaler Gleichungen. Problemlösung 39
K-6 Bruchrationale Gleichungen 40
C-16 Eigenschaften numerischer Ungleichungen 43
K-7 Numerische Ungleichungen und ihre Eigenschaften 44
С-17 Lineare Ungleichungen mit einer Variablen 47
С-18 Systeme linearer Ungleichungen 48
K-8 Lineare Ungleichungen und Ungleichungssysteme mit einer Variablen 50
C-19 Grad c negativer Indikator 52
K-9 Grad mit ganzzahligem Exponenten 54
K-10 Jährlicher Test 56
GEOMETRIE (nach Pogorelov) 58
C-1 Eigenschaften und Merkmale eines Parallelogramms". 58
C-2 Rechteck. Rhombus. Platz 60
K-1 Parallelogramm 62
C-3 Satz von Thales. Mittellinie des Dreiecks 63
C-4 Trapez. Mittellinie des Trapezes 66
K-2 Trapez. Mittellinien eines Dreiecks und eines Trapezes .... 68
C-5 Satz des Pythagoras 70
Satz С-6, Umkehrung des Satzes des Pythagoras. Senkrecht und Schräg 71
C-7 Dreiecksungleichung 73
K-3 Satz des Pythagoras 74
C-8 Rechtwinklige Dreiecke lösen 76
C-9 Eigenschaften trigonometrischer Funktionen 78
K-4 Rechtwinkliges Dreieck (Zusammenfassungstest) 80
С-10 Koordinaten der Segmentmitte. Abstand zwischen Punkten. Kreisgleichung 82
C-11 Geradengleichung 84
K-5 Kartesische Koordinaten 86
С-12 Bewegung und ihre Eigenschaften. Zentrale und axiale Symmetrie. 88 werden
C-13. Parallelübertragung 90
C-14 Das Konzept eines Vektors. Vektorgleichheit 92
C-15 Operationen mit Vektoren in Koordinatenform. Kollineare Vektoren 94
C-16 Operationen mit Vektoren in geometrischer Form 95
C-17 Punktprodukt 98
K-6 Vektoren 99
K-7 Jährlicher Test 102
GEOMETRIE (nach Atanasyan) 104
C-1 Eigenschaften und Merkmale eines Parallelogramms 104
C-2 Rechteck. Rhombus. Platz 106
K-1-Vierecke 108
C-3 Fläche eines Rechtecks, Quadrat 109
C-4 Fläche von Parallelogramm, Raute, Dreieck 111
C-5 Trapezbereich 113
C-6 Satz des Pythagoras 114
K-2 Quadrate. Satz des Pythagoras 116
C-7 Definition ähnlicher Dreiecke. Winkelhalbierende Eigenschaft eines Dreiecks 118
С-8 Zeichen der Ähnlichkeit von Dreiecken 120
K-3 Ähnlichkeit von Dreiecken 122
C-9 Anwenden von Ähnlichkeit auf die Problemlösung 124
C-10 Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln rechtwinkliges Dreieck 126
K-4 Anwendung der Ähnlichkeit zur Problemlösung. Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln eines rechtwinkligen Dreiecks 128
C-11 Tangente an Kreis 130
C-12 Zentrale und eingeschriebene Winkel 132
C-13 Satz über das Produkt von Segmenten sich schneidender Akkorde. Bemerkenswerte Dreieckspunkte 134
C-14 In- und umschriebene Kreise 136
K-5 Kreis 137
C-15 Vektoraddition und -subtraktion 139
C-16 Vektormultiplikation mit der Zahl 141
C-17 Mittellinie des Trapezes 142
K-6-Vektoren. Anwendung von Vektoren zur Problemlösung 144
K-7 Jährlicher Test 146
ANTWORTEN 148
LITERATUR 157

VORWORT .
1. Ein relativ kleines Buch enthält einen kompletten Satz Überprüfungsarbeit(inklusive Abschlussprüfungen) für den gesamten Kurs Algebra und Geometrie der 8. Klasse, es reicht also die Anschaffung eines Büchersatzes pro Klasse.
Prüfungen sind für den Unterricht konzipiert, unabhängige Arbeit- 20-35 Minuten, je nach Thema. Um die Nutzung des Buches zu vereinfachen, spiegelt der Titel jedes unabhängigen und kontrollierten Werks sein Thema wider.

2. Die Sammlung ermöglicht Ihnen eine differenzierte Wissenssteuerung, da die Aufgaben in drei Schwierigkeitsstufen A, B und C unterteilt sind. Stufe A entspricht den obligatorischen Programmanforderungen, B - der durchschnittlichen Komplexitätsstufe, Stufe C Aufgaben sind für Schülerinnen und Schüler gedacht, die ein gesteigertes Interesse an Mathematik zeigen, sowie für den Einsatz in Klassenzimmern, Schulen, Gymnasien und Lyzeen mit vertieftes Studium Mathematik. Für jedes Niveau werden 2 gleichwertige Optionen nebeneinander gegeben (wie sie normalerweise an der Tafel geschrieben sind), sodass ein Buch pro Tisch für den Unterricht ausreicht.

Kostenloser E-Book-Download in einem praktischen Format, ansehen und lesen:
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In diesem Artikel werden wir die wichtigsten analysieren Root-Eigenschaften. Beginnen wir mit den Eigenschaften der arithmetischen Quadratwurzel, geben ihre Formulierungen an und geben Beweise. Danach beschäftigen wir uns mit den Eigenschaften der Rechenwurzel n-ten Grades.

Seitennavigation.

Eigenschaften der Quadratwurzel

In diesem Abschnitt werden wir uns mit den folgenden Hauptaufgaben befassen Eigenschaften der arithmetischen Quadratwurzel:

In jeder der geschriebenen Gleichheiten können der linke und der rechte Teil vertauscht werden, zum Beispiel kann Gleichheit umgeschrieben werden als . In dieser „umgekehrten“ Form werden die Eigenschaften der arithmetischen Quadratwurzel angewendet Vereinfachung von Ausdrücken genauso oft wie in der "direkten" Form.

Der Beweis der ersten beiden Eigenschaften basiert auf der Definition der arithmetischen Quadratwurzel und auf . Und um die letzte Eigenschaft der arithmetischen Quadratwurzel zu rechtfertigen, müssen Sie sich daran erinnern.

Beginnen wir also mit Beweis der Eigenschaft der arithmetischen Quadratwurzel des Produkts zweier nicht negativer Zahlen: . Dazu genügt es nach der Definition der arithmetischen Quadratwurzel zu zeigen, dass eine nicht negative Zahl ist, deren Quadrat gleich a b ist. Machen wir das. Der Wert des Ausdrucks ist als Produkt nicht negativer Zahlen nicht negativ. Die Eigenschaft des Grades des Produkts zweier Zahlen erlaubt es uns, die Gleichheit zu schreiben , und da durch die Definition der arithmetischen Quadratwurzel und , dann .

Ebenso wird bewiesen, dass die arithmetische Quadratwurzel des Produkts von k nicht negativen Faktoren a 1 , a 2 , …, a k gleich dem Produkt der arithmetischen Quadratwurzeln dieser Faktoren ist. Wirklich, . Aus dieser Gleichheit folgt .

Hier sind einige Beispiele: und .

Jetzt beweisen wir es Eigenschaft der arithmetischen Quadratwurzel eines Quotienten: . Die Eigenschaft des natürlichen Potenzquotienten erlaubt es uns, die Gleichheit zu schreiben , a , während es eine nicht negative Zahl gibt. Dies ist der Beweis.

Zum Beispiel und .

Es ist Zeit zu zerlegen Eigenschaft der arithmetischen Quadratwurzel des Quadrats einer Zahl, in der Form der Gleichheit wird es geschrieben als . Betrachten Sie zum Beweis zwei Fälle: für a≥0 und für a<0 .

Es ist offensichtlich, dass für a≥0 die Gleichheit gilt. Es ist auch leicht zu sehen, dass für a<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 und (−a) 2 =a 2 . Auf diese Weise, , was zu beweisen war.

Hier sind einige Beispiele: und .

Die gerade bewiesene Eigenschaft der Quadratwurzel erlaubt es uns, das folgende Ergebnis zu rechtfertigen, wobei a eine beliebige reelle Zahl und m eine beliebige ist. Tatsächlich erlaubt uns die Potenzierungseigenschaft, den Grad a 2 m dann durch den Ausdruck (am) 2 zu ersetzen .

Z.B, und .

Eigenschaften der n-ten Wurzel

Lassen Sie uns zuerst die wichtigsten auflisten Eigenschaften der n-ten Wurzeln:

Alle geschriebenen Gleichheiten bleiben gültig, wenn darin linke und rechte Seite vertauscht sind. In dieser Form werden sie auch häufig verwendet, hauptsächlich beim Vereinfachen und Umwandeln von Ausdrücken.

Der Beweis aller stimmhaften Eigenschaften der Wurzel basiert auf der Definition der arithmetischen Wurzel des n-ten Grades, auf den Eigenschaften der Stufe und auf der Definition des Moduls der Zahl. Lassen Sie uns sie in der Reihenfolge ihrer Priorität beweisen.

Beginnen wir mit dem Beweis Eigenschaften der n-ten Wurzel eines Produkts . Für nicht-negative a und b ist der Wert des Ausdrucks ebenso nicht-negativ wie das Produkt von nicht-negativen Zahlen. Die Produkteigenschaft der Naturkräfte erlaubt es uns, die Gleichheit zu schreiben . Per Definition der Rechenwurzel n-ten Grades und damit . Dies beweist die betrachtete Eigenschaft der Wurzel.

Diese Eigenschaft wird ähnlich für das Produkt von k Faktoren bewiesen: für nicht-negative Zahlen a 1 , a 2 , …, a n und .

Hier sind Beispiele für die Verwendung der Eigenschaft der Wurzel des n-ten Grades des Produkts: und .

Lassen Sie uns beweisen Wurzeleigenschaft des Quotienten. Für a≥0 und b>0 ist die Bedingung erfüllt, und .

Lassen Sie uns Beispiele zeigen: und .

Wir fahren fort. Lassen Sie uns beweisen Eigenschaft der n-ten Wurzel einer Zahl hoch n. Das heißt, wir werden das beweisen für jedes echte a und natürliche m . Für a≥0 haben wir und , was die Gleichheit beweist, und die Gleichheit offensichtlich. Für ein<0 имеем и (der letzte Übergang gilt wegen der Potenzeigenschaft mit geradem Exponenten), was die Gleichheit , und beweist ist wahr aufgrund der Tatsache, dass wir, wenn wir über die Wurzel eines ungeraden Grads sprechen, genommen haben für jede nicht negative Zahl c .

Hier sind Beispiele für die Verwendung der geparsten Stammeigenschaft: and .

Wir gehen von der Wurzel zum Beweis der Eigenschaft der Wurzel über. Lassen Sie uns den rechten und den linken Teil vertauschen, das heißt, wir werden die Gültigkeit der Gleichheit beweisen, was die Gültigkeit der ursprünglichen Gleichheit bedeutet. Für eine nicht negative Zahl a ist die Quadratwurzel der Form eine nicht negative Zahl. Wenn wir uns an die Eigenschaft erinnern, eine Potenz zu einer Potenz zu erheben, und die Definition der Wurzel verwenden, können wir eine Kette von Gleichheiten der Form schreiben . Dies beweist die betrachtete Eigenschaft einer Wurzel von einer Wurzel.

Die Eigenschaft einer Wurzel von einer Wurzel von einer Wurzel wird auf ähnliche Weise bewiesen, und so weiter. Wirklich, .

Zum Beispiel, und .

Lassen Sie uns folgendes beweisen Wurzelexponentenreduktionseigenschaft. Dazu genügt es aufgrund der Definition der Wurzel zu zeigen, dass es eine nicht negative Zahl gibt, die, wenn sie mit n m potenziert wird, gleich a m ist. Machen wir das. Es ist klar, dass, wenn die Zahl a nicht negativ ist, die n-te Wurzel der Zahl a eine nicht negative Zahl ist. Dabei , was den Beweis vervollständigt.

Hier ist ein Beispiel für die Verwendung der geparsten Stammeigenschaft: .

Beweisen wir die folgende Eigenschaft, die Eigenschaft der Wurzel des Grades der Form . Es ist offensichtlich, dass für a≥0 der Grad eine nicht negative Zahl ist. Außerdem ist seine n-te Potenz gleich a m , tatsächlich . Dies beweist die betrachtete Eigenschaft des Grades.

Zum Beispiel, .

Lass uns weitermachen. Beweisen wir das für alle positiven Zahlen a und b, für die die Bedingung a gilt , also a≥b . Und dies widerspricht der Bedingung a

Zum Beispiel geben wir die richtige Ungleichung an .

Schließlich bleibt noch die letzte Eigenschaft der n-ten Wurzel zu beweisen. Lassen Sie uns zuerst den ersten Teil dieser Eigenschaft beweisen, das heißt, wir werden das für m > n und 0 beweisen . Dann, aufgrund der Eigenschaften eines Grades mit natürlichem Exponenten, die Ungleichung , das heißt, ein n ≤ ein m . Und die daraus resultierende Ungleichung für m>n und 0
Ebenso wird durch Widerspruch bewiesen, dass für m > n und a > 1 die Bedingung erfüllt ist.

Geben wir Beispiele für die Anwendung der bewiesenen Eigenschaft der Wurzel in konkreten Zahlen. Zum Beispiel sind die Ungleichungen und wahr.

Referenzliste.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Bildungsinstitutionen.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere Algebra und die Anfänge der Analysis: Ein Lehrbuch für die Klassen 10-11 allgemeiner Bildungseinrichtungen.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen).