Welche dieser Formeln ist Herons Formel? Fläche eines Dreiecks. Beispiele für Problemlösungen
Girona-Formel Heldenformel
drückt den Bereich aus S Dreieck hinsichtlich der Länge seiner drei Seiten A, B Und Mit und Halbumfang R = (A + B + Mit)/2: . Benannt nach Heron von Alexandria.
HERONA-FORMELHERON-FORMEL, drückt die Fläche aus S Dreieck hinsichtlich der Länge seiner drei Seiten A, B Und C und Halbumfang P = (A + B + C)/2
Benannt nach Heron von Alexandria.
Enzyklopädisches Wörterbuch . 2009 .
Sehen Sie, was die „Geron-Formel“ in anderen Wörterbüchern lautet:
Drückt die Fläche S eines Dreiecks anhand der Längen seiner drei Seiten a, b und c und des Halbumfangs P = (a + b + c) / 2 aus. Benannt nach Heron von Alexandria ... Großes enzyklopädisches Wörterbuch
Formel, die die Fläche eines Dreiecks anhand seiner drei Seiten ausdrückt. Wenn nämlich a, b, c die Längen der Seiten des Dreiecks sind und a S seine Fläche ist, dann ist G. f. hat die Form: wobei p den Halbumfang des Dreiecks G bezeichnet. f. ... ...
Die Formel, die die Fläche eines Dreiecks anhand seiner Seiten a, b, c ausdrückt: wobei Benannt nach Heron (ca. 1. Jahrhundert n. Chr.), A. B. Ivanov ... Mathematische Enzyklopädie
Drückt die Fläche 5 eines Dreiecks durch die Längen seiner drei Seiten a, b und c und den Halbumfang p = (a + b + c) / 2 aus: s = Quadrat. Wurzel p(p a)(p b)(p c). Benannt nach Heron von Alexandria... Naturwissenschaft. Enzyklopädisches Wörterbuch
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Ermöglicht die Berechnung der Fläche eines Dreiecks (S) auf seinen Seiten a, b, c: wobei p der Halbumfang des Dreiecks ist: . Beweis, wo der Winkel dreieckig ist ... Wikipedia
Drückt die Fläche eines in einen Kreis eingeschriebenen Vierecks als Funktion der Länge seiner Seiten aus. Wenn ein beschriftetes Viereck Seitenlängen und einen Halbumfang hat, dann beträgt seine Fläche ... Wikipedia
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- (Heronus Alexandrinus) (Geburts- und Sterbejahr unbekannt, wahrscheinlich 1. Jahrhundert), ein antiker griechischer Wissenschaftler, der in Alexandria arbeitete. Der Autor von Werken, in denen er systematisch die wichtigsten Errungenschaften der Antike auf dem Gebiet der angewandten Mechanik darlegte, V ... ... Große sowjetische Enzyklopädie
Alexandrian (Heronus Alexandrinus) (Geburts- und Sterbejahr unbekannt, wahrscheinlich 1. Jahrhundert), ein antiker griechischer Wissenschaftler, der in Alexandria arbeitete. Der Autor von Werken, in denen er systematisch die wichtigsten Errungenschaften der Antike auf dem Gebiet der ... ... darlegte Große sowjetische Enzyklopädie
Fähigkeit, mathematisch zu denken eine der edelsten menschlichen Fähigkeiten.
Der irische Dramatiker Bernard Shaw
Herons Formel
In der Schulmathematik ist die Heron-Formel sehr beliebt, mit deren Hilfe Sie die Fläche eines Dreiecks entlang seiner drei Seiten berechnen können. Gleichzeitig wissen nur wenige Schüler, dass es eine ähnliche Formel zur Berechnung der Fläche von in einen Kreis eingeschriebenen Vierecken gibt. Eine solche Formel wird Brahmagupta-Formel genannt. Es gibt auch eine wenig bekannte Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks aus seinen drei Höhen, deren Ableitung aus der Heron-Formel folgt.
Berechnung der Fläche von Dreiecken
Lassen Sie ein Dreieck ein Seiten, und . Dann ist der folgende Satz (Herons Formel) gültig.
Satz 1.
Wo .
Nachweisen. Bei der Ableitung der Formel (1) verwenden wir die bekannten Geometrien Trinische Formeln
, (2)
. (3)
Aus den Formeln (2) und (3) erhalten wir und . Seit damals
. (4)
Wenn wir benennen dann folgt Formel (1) aus Gleichheit (4). Der Satz ist bewiesen.
Betrachten Sie nun die Frage der Berechnung der Fläche eines Dreiecks Angesichts dessen, dass seine drei Höhen bekannt sind, Und .
Satz 2. Die Fläche wird nach der Formel berechnet
. (5)
Nachweisen. Seit , und , dann
In diesem Fall erhalten wir aus Formel (1).
oder
Daraus folgt Formel (5). Der Satz ist bewiesen.
Berechnung der Fläche von Vierecken
Betrachten Sie eine Verallgemeinerung der Heron-Formel für den Fall der Berechnung der Fläche von Vierecken. Es sollte jedoch sofort darauf hingewiesen werden, dass eine solche Verallgemeinerung nur für Vierecke möglich ist, die in einen Kreis eingeschrieben sind.
Lassen Sie das Viereck hat die Seiten , und .
Wenn ist ein Viereck, in einen Kreis eingeschrieben, dann gilt Satz 3 (Brahmaguptas Formel).
Satz 3. Quadrat nach der Formel berechnet
Wo .
Nachweisen. Zeichne eine Diagonale in ein Viereck und erhalte zwei Dreiecke und . Wenn wir auf diese Dreiecke den Kosinussatz anwenden, der der Formel (3) entspricht, können wir schreiben
Da das Viereck in einen Kreis eingeschrieben ist, beträgt die Summe seiner entgegengesetzten Winkel, d. h. .
Weil oder dann erhalten wir aus (7).
Oder
. (8)
Seit damals . Allerdings und deshalb
Da bedeuten die Formeln (8) und (9).
Wenn wir sagen, dann erhalten wir von hier aus die Formel (6). Der Satz ist bewiesen.
Wenn das beschriftete Viereckwird zugleich beschrieben, dann wird Formel (6) stark vereinfacht.
Satz 4. Die Fläche eines Vierecks, das in einen Kreis eingeschrieben und um den anderen herum beschrieben wird, wird nach der Formel berechnet
. (10)
Nachweisen. Da ein Kreis in ein Viereck eingeschrieben ist, gelten die Gleichheiten
In diesem Fall lässt sich Formel (6) leicht in Formel (10) umwandeln. Der Satz ist bewiesen.
Kommen wir zur Betrachtung von Beispielen für Geometrieprobleme, deren Lösung auf der Grundlage der Anwendung der bewährten Theoreme erfolgt.
Beispiele für Problemlösungen
Beispiel 1. Bereich finden, Wenn .
Lösung. Denn hier erhalten wir nach Satz 1
Antworten: .
Notiz, wenn die Seiten des Dreiecksnehmen irrationale Bedeutungen an, dann die Berechnung seiner Flächeunter Verwendung der Formel (1), allgemein , ist wirkungslos. In diesem Fall ist es sinnvoll, die Formeln (2) und (3) direkt anzuwenden.
Beispiel 2 Finden Sie den Bereich, wenn , und .
Lösung. Unter Berücksichtigung der Formeln (2) und (3) erhalten wir
Seitdem, dann oder.
Antworten: .
Beispiel 3 Finden Sie den Bereich, wenn , und .
Lösung. Weil das ,
dann folgt aus Satz 2, dass .
Antworten: .
Beispiel 4 Das Dreieck hat die Seiten , und . Finden Sie und , wo die Radien der umschriebenen bzw. eingeschriebenen Kreise sind.
Lösung. Berechnen wir zunächst die Fläche. Da erhalten wir aus Formel (1).
Es ist bekannt, dass und . Deshalb .
Beispiel 5 Finden Sie die Fläche eines Vierecks, das in einen Kreis eingeschrieben ist, wenn , , und .
Lösung. Aus den Bedingungen des Beispiels folgt, dass . Dann erhalten wir nach Satz 3.
Beispiel 6 Finden Sie die Fläche eines Vierecks, das in einen Kreis mit den Seiten , und eingeschrieben ist.
Lösung. Da und gilt die Gleichheit im Viereck. Es ist jedoch bekannt, dass die Existenz einer solchen Gleichheit eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür ist, dass ein Kreis in ein gegebenes Viereck eingeschrieben werden kann. In diesem Zusammenhang kann die Formel (10) zur Berechnung der Fläche verwendet werden, woraus folgt.
Zur eigenständigen und qualitativ hochwertigen Vorbereitung auf Aufnahmetests im Bereich der Lösung von Problemen der Schulgeometrie können Sie Lehrbücher effektiv nutzen, in der Liste der empfohlenen Lektüre aufgeführt.
1. Gotman E.G. Probleme der Planimetrie und Methoden zu ihrer Lösung. – M.: Aufklärung, 1996. – 240 S.
2. Kulagin E.D. , Fedin S.N. Dreiecksgeometrie in Problemen. - M.: KD "Librocom" / URSS, 2009. - 208 S.
3. Aufgabensammlung der Mathematik für Hochschulbewerber / Ed. M.I. Scanavi. - M.: Welt und Bildung, 2013. - 608 S.
4. Suprun V.P. Mathematik für Gymnasiasten: zusätzliche Abschnitte Lehrplan. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 S.
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kann durch Wissen gefunden werden Base Und Höhe. Die ganze Einfachheit des Schemas liegt darin, dass die Höhe die Basis a in zwei Teile a 1 und a 2 und das Dreieck selbst in zwei Teile teilt rechtwinkliges Dreieck, dessen Fläche erhalten wird und . Dann ist die Fläche des gesamten Dreiecks die Summe der beiden angegebenen Flächen, und wenn wir die Hälfte der Höhe aus der Klammer nehmen, erhalten wir insgesamt die Basis zurück:
Eine schwierigere Berechnungsmethode ist die Heron-Formel, für die Sie alle drei Seiten kennen müssen. Für diese Formel müssen Sie zunächst berechnen Halbumfang eines Dreiecks :
Herons Formel selbst impliziert Quadratwurzel vom Halbumfang, wiederum multipliziert mit seiner Differenz auf jeder Seite.
Die folgende Methode, die auch für jedes Dreieck relevant ist, ermöglicht es Ihnen, die Fläche eines Dreiecks durch zwei Seiten zu ermitteln und Ecke zwischen ihnen. Der Beweis dafür folgt aus der Formel mit der Höhe – wir zeichnen die Höhe zu einer der bekannten Seiten und durch Sinus des Winkels α Das verstehen wir h=a⋅sinα. Um die Fläche zu berechnen, multiplizieren Sie die halbe Höhe mit der zweiten Seite.
Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Fläche eines Dreiecks mit zwei Winkeln und der dazwischen liegenden Seite zu ermitteln. Der Beweis dieser Formel ist recht einfach und aus dem Diagramm deutlich ersichtlich.
Wir verringern die Höhe von der Oberseite der dritten Ecke zur bekannten Seite und nennen die resultierenden Segmente jeweils x. Aus rechtwinklige Dreiecke Es ist ersichtlich, dass das erste Segment x gleich dem Produkt ist
Vorabinformationen
Zunächst stellen wir Informationen und Notationen vor, die im Folgenden benötigt werden.
Wir betrachten das Dreieck $ABC$ mit den spitzen Winkeln $A$ und $C$. Zeichnen Sie darin eine Höhe $BH$ ein. Führen wir die folgende Notation ein: $AB=c,\ BC=a,\ $$AC=b,\ AH=x,\ BH=h\ $ (Abb. 1).
Bild 1.
Wir führen den Dreiecksflächensatz ohne Beweis ein.
Satz 1
Die Fläche eines Dreiecks ist definiert als das halbe Produkt aus der Länge seiner Seite und der darauf bezogenen Höhe
Herons Formel
Wir führen einen Satz zum Ermitteln der Fläche eines Dreiecks mit drei bekannten Seiten ein und beweisen ihn. Diese Formel heißt Herons Formeln.
Satz 2
Gegeben seien drei Seiten eines Dreiecks $a,\b\ und\c$. Dann wird die Fläche dieses Dreiecks wie folgt ausgedrückt
wobei $p$ der halbe Umfang des gegebenen Dreiecks ist.
Nachweisen.
Wir verwenden die in Abbildung 1 eingeführte Notation.
Betrachten Sie das Dreieck $ABH$. Nach dem Satz des Pythagoras erhalten wir
Es ist offensichtlich, dass $HC=AC-AH=b-x$
Betrachten Sie das Dreieck $\CBH$. Nach dem Satz des Pythagoras erhalten wir
\ \ \
Setzen Sie die Werte der quadrierten Höhe aus den beiden erhaltenen Beziehungen gleich
\ \ \
Aus der ersten Gleichung ermitteln wir die Höhe
\ \ \ \ \ \
Da der Halbumfang gleich $p=\frac(a+b+c)(2)$ ist, also $a+b+c=2p$, dann
\ \ \ \
Nach Satz 1 erhalten wir
Der Satz ist bewiesen.
Beispiele für Aufgaben zur Verwendung der Heron-Formel
Beispiel 1
Finden Sie die Fläche eines Dreiecks, wenn seine Seiten $3$ cm, $6$ cm und $7$ cm betragen.
Lösung.
Lassen Sie uns zunächst den Halbumfang dieses Dreiecks ermitteln
Nach Satz 2 erhalten wir
Antworten:$4\sqrt(5)$.