Намерете интерполационния полином на Лагранж. Формула за интерполация на Лагранж. Апроксимация на функции, дадени в таблица

n е броят на възлите.

Задачата на интерполацията е да се намери функция, която приема същите стойности в точките.

Предполага се, че нито една от стойностите не е еднаква. Точките се наричат ​​интерполационни възли. Не е необходимо възлите на интерполация да са равномерно разположени върху сегмента [ .

Функцията се нарича функция интерполант.

Ако стойността се търси в интервала [ , тогава тази задача обикновено се нарича задача за интерполация, а ако е извън този интервал, тогава това е задача за екстраполация.

Проблемът има много решения, т.к през дадените точки, i=0, 1,..., n, могат да се начертаят безкрайно много криви, всяка от които ще бъде графика на функция, за която са изпълнени всички условия (1.2).

В зависимост от целта на апроксимацията се използва или интерполация (точкова апроксимация), или апроксимация. Апроксимацията е замяната на таблична функция с функция, която има ограничено отклонение от функцията в разглеждания сегмент.

Условие на интерполация:

(1.2)

Където a е векторът на неизвестните коефициенти.

Обикновено видът се знае предварително. За решаване на проблема с интерполацията е необходим коефициент.

Решаването на проблема с интерполацията означава намиране за дадено и .

IN общ изгледсистемата представлява системата нелинейни уравненияи често няма решения за големи n.

Първият метод за решаване на проблема с интерполацията е методът на Лагранж.

Най-простата и най-често използвана функция е полиномът:

(1.3)

където , , , …, е коефициентът на полинома,

m е степента на апроксимиращия полином.

Интерполацията се състои в приблизителното заместване на функция, дадена в таблица, с функция, която приема същите стойности като функцията.

Всички методи за интерполация могат да бъдат разделени на локални и глобални. В случай на глобална интерполация се намира един полином за целия интервал [ . Методите на глобална интерполация обикновено се използват за функции, дефинирани от малък брой точки, тъй като с увеличаване на броя на точките се увеличава редът на интерполиращия полином, което се отразява негативно на гладкостта на получената функция. Полиномиалното приближение, което използва всички възли на таблицата наведнъж (глобална интерполация), има съществен недостатък - възможността за поява на големи екстремуми в интервалите между възлите на мрежата. Тези. интерполационният полином може да има флуктуации, които не са характерни за оригиналните данни. В допълнение, с увеличаването на степента на полинома има бързо натрупване на грешки при закръгляване. За да се избегнат тези нежелани ефекти, на практика се използва локална интерполация. . В случай на локална интерполация, върху всеки интервал се изгражда отделен полином. За локална интерполация, броят на възлите от голямо значениене притежава.

Нека разгледаме някои видове локална и глобална интерполация.

Локална интерполация:

1. Частично линейна интерполация

2. Интерполация чрез сплайни

Глобална интерполация:

1. Полином на Лагранж

2. Полином на Нютон

ГЛОБАЛНА ИНТЕРПОЛАЦИЯ

Интерполация чрез полином на Лагранж

С глобалната интерполация се изгражда един полином върху целия интервал. Една от формите за запис на интерполационния полином за глобална интерполация е полиномът на Лагранж:

Интерполационният полином на Лагранж от n-та степен е линейна комбинация от основните полиноми на Лагранж:

Тоест полиномът на Лагранж:

(2.3)

Полиномът удовлетворява условието

Това условие означава, че полиномът е равен на нула за всеки освен , т.е. , , … , са корените на този полином. Така степента на полинома е равна на n, а при , всички членове в сумата се равняват на нула, с изключение на члена с номер i=j, равен на .

Той приема стойност 1 в точката и 0 в другите интерполационни възли. Следователно в точката оригиналният полином приема стойността

(2.4)

Израз (2.1) е приложим както за еднакво отдалечени, така и за неравноотдалечени възли.

Полиномът на Лагранж изрично съдържа стойностите на функциите в интерполационните възли, така че е полезен, когато стойностите на функциите се променят, но интерполационните възли са непроменени. Броят на аритметичните операции, необходими за конструиране на полином на Лагранж, е пропорционален и е най-малкият за всички форми на запис. Недостатъците на тази форма на нотация включват факта, че при промяна на броя на възлите цялото изчисление трябва да се извърши отново.

2.2. Полином на Нютон

Нека функцията g(x) е дадена с произволна стъпка и точките от таблицата със стойности са номерирани в произволен ред.

Полиномът на Нютон разчита до голяма степен на концепцията за разделени разлики.

Разделените разлики от нулев ред съвпадат със стойностите на функцията във възлите. Разделените разлики от първи ред се определят от гледна точка на разделените разлики от нулев ред:

Разделените разлики от k-ти ред се определят от гледна точка на разделената разлика в реда:

За да се подобри точността на интерполацията, към сумата могат да се добавят нови членове, което изисква свързването на допълнителни възли. В същото време за формулата на Нютон няма значение в какъв ред са свързани новите възли, докато за полинома на Лагранж, когато се добавят нови възли, всички изчисления трябва да се направят отново.

Да приемем, че е необходимо да увеличим степента на полинома с единица, като добавим още един възел към таблицата. За да се изчисли, е достатъчно да се добави само към един член

ЛОКАЛНА ИНТЕРПОЛАЦИЯ

3.1. Частично линейна интерполация.

Един от най-използваните и най-прости типове локална интерполация е частично линейната интерполация, при която всеки две точки и таблична функция са свързани с прави сегменти (т.е. изчертава се полином от първа степен)

	(3.3)
	(3.4)

Частично линейната интерполация е най-простата и следователно доста често се използва за изчисляване на стойности между интерполационни възли. За да се изгради интерполираща връзка, използвана в по-нататъшни научни и инженерни изчисления, обикновено се използват по-сложни методи за интерполация.

3.2. Сплайн интерполация

Понякога се изисква да се осигури непрекъснатост не само на интерполиращата функция, но и на необходимия брой нейни производни; за това те прибягват до сплайн интерполация.

Сплайн е функция, чиято област на дефиниране е разделена на краен брой сегменти, на всеки от които сплайнът съвпада с алгебричен полином. Максималната степен на използваните полиноми се нарича степен на сплайн.

Предимствата на сплайн интерполацията пред конвенционалните методи за интерполация са в конвергенцията и стабилността на изчислителния процес. В практиката най-често се използват кубични сплайни - сплайнове от трета степен с непрекъсната, поне първа производна. В този случай стойността се нарича наклон на сплайн в точката (възела).

Нека разделим сегмента на N равни сегмента [ , ], където , i=0,1,…,N-1.

Ако възлите , , са зададени на стойностите, които приема кубичният сплайн, тогава на частичния сегмент [ , ] той приема формата:

(3.3)

Наистина е лесно да се провери това чрез изчисляване и в точки,

Може да се докаже, че ако полином от трета степен приема стойностите в точките и има производни съответно в тези точки, тогава той съвпада с полинома (3.3).

По този начин, за да зададете кубичен сплайн на сегмент, е необходимо да зададете стойностите, i=0,1…,N в N+1 във възела.

ГРЕШКА НА ИНТЕРПОЛАЦИЯТА

При интерполиране функциите винаги получават грешка, състояща се от грешката на самия метод и грешки при закръгляване.

Грешка при апроксимиране на функция чрез интерполационен полином n-та степенв точката x се определя от разликата.

Тук е производната (n+1) на реда на функцията в дадена точка и функцията е дефинирана като

тогава следва оценка за интерполационната грешка.

(4.4)

Конкретната стойност на грешката в точката x очевидно зависи от стойността на функцията в тази точка. Качественият характер на зависимостта е показан на фигура 2.

От фигурата се вижда, че грешката на интерполация е толкова по-голяма, колкото по-близо е точката x до краищата на сегмента. Извън интерполационния сегмент (т.е.

когато се екстраполира) нараства бързо, така че грешката се увеличава значително.

Фигура 2

Поради описаното поведение на грешката, глобалната интерполация в някои случаи може да даде напълно незадоволителен резултат.

5. ПРИМЕР ЗА ИНТЕРПОЛАЦИЯ НА ФУНКЦИЯ ЧРЕЗ ПОЛИНОМИ НА ЛАГРАНЖ И НЮТОН

За да намерите полином, който приема желаните стойности в определени точки, може да се използва пакетът Mathcad. Като пример, разгледайте проблема за намиране на полином на Лагранж, който удовлетворява дадените начални данни.

Нека изградим полинома на Лагранж в пакета Mathcad:

Първоначални данни:

В изчислителната практика често трябва да се работи с функции, дефинирани от таблици на техните стойности за някакъв краен набор от стойности х : .

В процеса на решаване на проблема е необходимо да се използват стойностите
за междинни стойности на аргумента. В този случай се изгражда функция Ф(x), която е достатъчно проста за изчисления, които в дадени точки х 0 , х 1 ,...,х н , наречени интерполационни възли, приема стойности и в други точки от сегмента (x 0 ,x n), принадлежащи към домейна на дефиницията
, приблизително представлява функцията
с известна степен на точност.

При решаване на проблема в този случай, вместо функцията
оперират с функцията Ф(x). Задачата за конструиране на такава функция Ф(х) се нарича интерполационна задача. Най-често интерполиращата функция Ф(x) се намира под формата на алгебричен полином.

1. Интерполационен полином

За всяка функция
определен на [ а,б] и всеки набор от възли х 0 , х 1 ,...,х н (х аз
[а,б], х аз х йза аз j) сред алгебрични полиноми със степен най-висока n има единствен интерполационен полином Ф(x), който може да се запише във формата:

, (3.1)

Където
е полином от n-та степен, който има следното свойство:

За интерполационен полином, полиномът
изглежда като:

Този полином (3.1) решава проблема с интерполацията и се нарича интерполационен полином на Лагранж.

Като пример, разгледайте функция на формата
на интервала
дадени в табличен вид.

Необходимо е да се определи стойността на функцията в точката x-2.5. За това използваме полинома на Лагранж. Въз основа на формули (3.1 и 3.3), ние изрично записваме този полином:

(3.4).

След това замествайки във формула (3.4) първоначалните стойности от нашата таблица, получаваме

Полученият резултат отговаря на теорията, т.е. .

1. Интерполационна формула на Лагранж

Интерполационният полином на Лагранж може да бъде записан в друга форма:

(3.5)

Записването на полином във формата (3.5) е по-удобно за програмиране.

При решаване на интерполационния проблем стойността нсе нарича ред на интерполиращия полином. В този случай, както се вижда от формули (3.1) и (3.5), броят на интерполационните възли винаги ще бъде равен на n+1и смисъл х, за които се определя стойността
, трябва да лежи в областта на интерполационните възли тези.

. (3.6)

В някои практически случаи общият известен брой интерполационни възли мможе да бъде по-голям от реда на интерполиращия полином н.

В този случай, преди да се приложи процедурата на интерполация съгласно формула (3.5), е необходимо да се определят тези интерполационни възли, за които е валидно условие (3.6). Трябва да се помни, че най-малката грешка се постига при намиране на стойността х в центъра на областта на интерполация. За да се гарантира това, се предлага следната процедура:

Основната цел на интерполацията е да се изчислят таблични функционални стойности за невъзлови (междинни) стойности на аргументи, поради което интерполацията често се нарича "изкуството да се четат таблици между редовете".

Извадката от експериментални данни е масив от данни, които характеризират процеса на промяна на измерения сигнал през дадено време (или спрямо друга променлива). За да се извърши теоретичен анализ на измерения сигнал, е необходимо да се намери апроксимираща функция, която ще свърже дискретен набор от експериментални данни с непрекъсната функция - интерполационен полиномн -градуси. Един от начините за представяне на даден интерполационен полином от n степен е да се използва полином във формата на Лагранж.

Интерполационен полином във формата наЛагранже математическа функция, която ви позволява да напишете полиномн -степени, които ще свържат всички дадени точки от набор от стойности, получени емпирично или по метод произволна извадкав различни моменти от време с непостоянна времева стъпка на измерванията.

1. Интерполационна формула на Лагранж

Като цяло интерполационният полиномвъв формата на Лагранж се записва, както следва:

Където ˗ степен на полином;

˗ стойността на стойността на интерполиращата функцияв точката ;

˗ основни полиноми (множител на Лагранж), които се определят по формулата:

Например интерполационният полиномвъв формата на Лагранж, преминаваща през три дадени точки, ще бъдат записани в следната форма:

Полиномът на Лагранж изрично съдържа функционалните стойности в интерполационните възли, така че е полезен, когато функционалните стойности се променят, но интерполационните възли остават непроменени. Броят на аритметичните операции, необходими за конструиране на полинома на Лагранж, е пропорционален наи е най-малкият за всички форми на нотация. Недостатъците на тази форма на писане включват факта, че при конструирането на полином от степен n + 1 информацията за предишния полином от степен n се губи напълно, т.е. с промяна в броя на възлите, цялото изчисление трябва да се извърши наново.

2. Грешка на интерполационния полином във формата на Лагранж

Помислете за функцията f(x ), която е непрекъсната и диференцируема на разглеждания сегмент . Интерполационен полиномЛ (x) във формата на Лагранж приема точкифункционални зададени точки. В други точки интерполационният полином L(x) различна от стойността на функцията f(x) по количеството остатъчен член , което определя абсолютната грешка на интерполационната формула на Лагранж:

А Абсолютната грешка на интерполационната формула на Лагранж се определя, както следва:

където n ˗ степен на полином

Променлива представлява горната граница на стойността на модула (n+1)та производна на функцията f(x) на даден интервал

Грешката при интерполация по метода на Лагранж зависи от свойствата на функцията f(x) и също от местоположението на интерполационните възли и точката х. Ако грешката не достигне необходимата точност, тогава трябва да разделите сегмента на части и да интерполирате всяка част поотделно - интерполация на части.

Избор на интерполационни възли

С помощта на правилен избор на възли може да се минимизира стойносттапри оценка на грешката, като по този начин се подобрява точността на интерполацията. Този проблем може да бъде решен с помощта на полинома на Чебишев:

Като възли трябва да вземете корените на този полином, тоест точките:

3. Техника за изчисляване на полином във формата на Лагранж

Алгоритъмът за изчисляване на полином във формата на Лагранж ни позволява да разделим задачите за определяне на коефициентите и изчисляване на стойностите на полинома за различни стойностиаргумент:

1. Образец отн -точки, което включва стойностите на функцията и стойностите на аргумента на функцията.

2. Полином от n степен се изчислява във формата на Лагранж по следната формула:

Алгоритъм за изчисляване на полином във форматаЛагранж показано на фигура 1.

Техника за изчисляване на полином във формата Лагранж

Нека дадена функция е дадена на сегмент в някаква последователност от възли с нейните стойности, където. Проблемът на алгебричната интерполация е да се конструира полином със степен, която удовлетворява условието за интерполация:.

Известно е, че съществува единствен полином със степен не по-висока от , който приема дадените стойности в началните точки. Коефициентите на полинома могат да се определят от системата от уравнения:

Детерминантата на тази система е детерминантата на Вандермонд и следователно системата има уникално решение.

Пример.Постройте интерполационен полином, съвпадащ с функцията по точки.

Решение.Позволявам , така че имаме

Следователно при.

Полином на Лагранж

Ще търсим полином под формата на линейна комбинация от набори от степен :.

В този случай ние изискваме всеки полином във всички интерполационни възли, с изключение на един, където е равен на 1. Лесно е да се провери дали тези условия са изпълнени от полином от вида

.

Наистина ли, . Акумулаторът на израза е 0. По аналогия получаваме:

,

Замествайки тези формули в оригиналния полином, получаваме:

Тази формула се нарича интерполационен полином на Лагранж.

Пример.Постройте интерполационния полином на Лагранж, съвпадащ с функцията в точките

.

Решение.Да направим маса

Замествайки тези стойности във формулата на Лагранж, получаваме:

Ако функцията е непрекъснато диференцируема до ти ред включително, тогава остатъчният член на интерполационния полином във формата на Лагранж има формата

където е вътрешна точка на минималния сегмент, съдържащ интерполационни възли и точка.

Полином на Нютон с крайни разлики

Разгледайте случая на равноотдалечени интерполационни възли, т.е. се нарича стъпка.

Нека въведем понятието крайни разлики. Нека стойностите на функцията във възлите са известни. Съставете разликата между стойностите на функцията:

Тези разлики се наричат ​​разлики от първи ред.

Можем да направим разлики от втори ред:

Разликите от k-тия ред се съставят по подобен начин:

Ние изразяваме крайните разлики директно по отношение на стойността на функцията:

Така за всяко k можем да напишем:

Нека напишем тази формула за стойностите на разликата във възела:

Използвайки крайни разлики, може да се определи

Нека пристъпим към изграждането на интерполационния полином на Нютон. Ще търсим този полином във формата

Полиномиалната графика трябва да минава през дадените възли, т.е. Използваме тези условия, за да намерим коефициентите на полинома:

Нека намерим коефициентите от тук:

Така за всеки -ти коефициент формулата приема формата

.

Замествайки тези формули в израза на полинома на Нютон, получаваме следната му форма:

Получената формула може да бъде написана в друга форма. За да направим това, въвеждаме променлива.

В такъв случай

Като се вземат предвид тези отношения, формулата на полинома на Нютон може да бъде записана като

Полученият израз може да апроксимира дадената функция върху целия сегмент от промяната в аргумента. Въпреки това е по-целесъобразно (от гледна точка на повишаване на точността на изчисленията и намаляване на броя на термините в получената формула) да се ограничим до случая, тоест да използваме тази формула за всички. За други случаи, вместо да приеме, ако при. В този случай интерполационният полином може да бъде записан като

Получената формула се нарича първи интерполационен полином на Нютон за интерполация напред. Тази формула за интерполация обикновено се използва за изчисляване на стойностите на функцията в точките на лявата половина на разглеждания сегмент. Това се обяснява със следното: освен това разликите се изчисляват чрез стойностите на функцията. Поради това, за големи стойности на x, не можем да изчислим по-високи поръчки.

За дясната половина на разглеждания сегмент е по-добре да се изчислят разликите отдясно наляво. В този случай, т.е. интерполационният полином на Нютон може да се получи във формата:

Получената формула се нарича втори полином на обратна интерполация.

Пример.Използвайки интерполационния полином на Нютон, изчислете , където функцията е дадена от таблицата

Решение.Съставете таблица на крайните разлики.

За да изчислим, представяме интерполационния полином на Нютон тогава и

Пример.Таблицата е дадена. Намирам .

При изчисляване поставяме

.

При изчисляване поставяме

.

Нека оценим грешките на формулите на Нютон напред и назад:

Формулите за приблизително диференциране се основават на първата интерполационна формула на Нютон. Интерполационният полином на Нютон има формата

Умножавайки биномите, получаваме

защото , Че

По подобен начин могат да се изчислят производни на функции от всякакъв ред.

В някои случаи се изисква да се намерят производни на функции в точките на основната таблица. Тъй като табличната стойност може да се счита за първоначална стойност, тогава, ако приемем, имаме

За производната на полинома на Нютон от първи ред грешката може да се изчисли по формулата ,

където е броят на крайните разлики в полинома на Нютон.

Пример.Намерете дадена функция в таблица.

Решение.

Изчислявайки грешката, получаваме:

.

Наистина ли, .

Така резултатите съвпадат до четвъртата цифра.

Ще конструираме интерполационен полином във формата

където са полиноми от степен най-много П,притежаващ следното свойство:

Наистина, в този случай полиномът (4.9) във всеки възел xj, j=0,1,…n, е равно на съответната стойност на функцията y j, т.е. е интерполация.

Нека построим такива полиноми. Тъй като за x=x 0 ,x 1 ,…x i -1 ,x i +1 ,…x n , може да се разложи както следва

където c е константа. От условието получаваме това

Интерполационен полином (4.1), записан във формата

се нарича интерполационен полином на Лагранж.

Приблизителна стойност на функция в точка х *, изчислен с помощта на полинома на Лагранж, ще има остатъчна грешка (4.8). Ако стойностите на функцията y iв интерполационни възли x iса дадени приблизително със същата абсолютна грешка, след това вместо точна стойностще бъде изчислена приблизителна стойност и

където е изчислителната абсолютна грешка на интерполационния полином на Лагранж. И накрая, имаме следната оценка на общата грешка на приблизителната стойност.

По-специално, полиномите на Лагранж от първа и втора степен ще имат формата

и техните общи грешки в точката x *

Има и други форми на запис на същия интерполационен полином (4.1), например формулата за интерполация на разделена разлика на Нютон, разгледана по-долу, и нейните варианти. С точни изчисления стойностите Pn(x *), получени чрез различни интерполационни формули, конструирани от едни и същи възли, съвпадат. Наличието на изчислителна грешка води до разлика в стойностите, получени от тези формули. Записването на полином във формата на Лагранж води, като правило, до по-малка изчислителна грешка.

Използването на формули за оценка на грешките, които възникват по време на интерполацията, зависи от постановката на проблема. Например, ако броят на възлите е известен и функцията е дадена с достатъчно голям брой валидни знаци, тогава можем да поставим задачата за изчисляване f(x*)с възможно най-висока точност. Ако, напротив, броят на правилните знаци е малък, а броят на възлите е голям, тогава можем да поставим проблема за изчисляване f(x*)с точността, която позволява табличната стойност на функцията, и за решаването на този проблем може да се наложи както разреждане, така и уплътняване на таблицата.

§4.3. Разделени разлики и техните свойства.

Концепцията за разделена разлика е обобщена концепция за производна. Нека в точките x 0 , x 1 ,…x n стойностите на функциите f(x 0), f(x 1),…,f(x n). Разделените разлики от първи ред се определят от равенствата

разделени разлики от втори ред - равенства,

и разделените различия кред се определят по следната рекурсивна формула:

Разделените разлики обикновено се поставят в таблица по следния начин:

x i	f(x i)	Разделени различия
1-ва поръчка	II ред	III ред	IV ред
х 0	y 0
		f
х 1	y 1		f
		f		f
х 2	y2		f		f
		f		f
х 3	y 3		f
		f
х 4	y 4

Разгледайте следните свойства на разделените разлики.

1. Разделените разлики от всички поръчки са линейни комбинации от стойности f(x i), т.е. важи следната формула:

Нека докажем валидността на тази формула чрез индукция по реда на разликите. За разлики от първи ред

Валидна е формула (4.12). Нека сега приемем, че е валидно за всички разлики в реда.

Тогава, съгласно (4.11) и (4.12), за разликите в реда k=n+1ние имаме

Условия, съдържащи f(x0)И f(x n +1), имат необходимата форма. Разгледайте условията, съдържащи f(x i), i=1, 2, …,n. Има два такива члена - от първата и втората сума:

тези. формула (4.12) е валидна за разликата в поръчката k=n+1, доказателството е пълно.

2. Разделената разлика е симетрична функция на своите аргументи x 0 , x 1 ,…x n (т.е. не се променя с никаква пермутация):

Това свойство следва пряко от равенството (4.12).

3. Просто свързване на разделената разлика fи производна f(n)(x)дава следната теорема.

Нека възлите x 0 , x 1 ,…x n принадлежат на сегмента и функция f(x)има непрекъсната производна на ред П. Тогава има такава точка xО, Какво

Нека първо докажем валидността на връзката

Съгласно (4.12) изразът в квадратни скоби е

f.

От сравнение (4.14) с израз (4.7) за остатъчния член R n (x)=f(x)-L n (x)получаваме (4.13), теоремата е доказана.

От тази теорема следва просто следствие. За полином Пта степен

f(x) = a 0 x n +a 1 x n -1 +...a n

дериват на поръчка Почевидно има

и връзката (4.13) дава стойността на разделената разлика

И така, за всеки полином от степен Празлики в разделени поръчки Пса равни на постоянна стойност - коефициентът при най-високата степен на полинома. Разделени разлики от по-висок порядък
(Повече ▼ П) очевидно са равни на нула. Това заключение обаче е валидно само ако няма изчислителна грешка за разделените разлики.

§4.4. Интерполационен полином на Нютон с разделени разлики

Записваме интерполационния полином на Лагранж в следната форма:

Където L 0 (x) \u003d f (x 0) \u003d y 0, А L k (x)е интерполационният полином на Лагранж от степен к, изграден от възли x 0 , x 1 , …, x k. След това има полином от степен к, чиито корени са точки x 0 , x 1 , …, x k -1. Следователно може да се факторизира

където Ak е константа.

В съответствие с (4.14) получаваме

Сравнявайки (4.16) и (4.17), получаваме, че (4.15) също приема формата

което се нарича интерполационен полином на Нютон с разделени разлики.

Този тип запис на интерполационния полином е по-визуален (добавянето на един възел съответства на появата на един термин) и ви позволява по-добре да проследите аналогията на конструкциите, които се извършват с основните конструкции на математическия анализ.

Остатъчната грешка на интерполационния полином на Нютон се изразява с формула (4.8), но като се вземе предвид (4.13), може да се запише и в друга форма

тези. остатъчната грешка може да се оцени чрез модула на първия изхвърлен член в полинома N n (x *).

Изчислителна грешка Nn(x*)определени от грешките на разделените разлики. Интерполационни възли, най-близки до интерполираната стойност х *, ще има по-голям ефект върху интерполационния полином, лежащ по-нататък - по-малко. Затова е препоръчително, ако е възможно, за x0И х 1приближавам се х *интерполационни възли и първо извършете линейна интерполация върху тези възли. След това постепенно привличайте следните възли, така че да са възможно най-симетрични спрямо х *, докато следващият модулен член е по-малък от абсолютната грешка на разделената разлика, включена в него.