Разглежда се метод за решаване на диференциални уравнения с разделими променливи. Даден е пример за подробно решение на диференциално уравнение с разделими променливи.

Съдържание

Определение

Нека да (х), q (х)- функции на променливата x ;
стр (y), r (y)- функции на променливата y .

Диференциално уравнение с разделими променливи е уравнение на формата

Метод за решаване на диференциално уравнение с разделими променливи

Разгледайте уравнението:
(i) .
Изразяваме производната y чрез диференциали.
;
.
Умножете по dx.
(ii)
Разделете уравнението на s (x)r(y). Това може да стане, ако s (x) r(y) ≠ 0. За s (x) r(y) ≠ 0ние имаме
.
Интегрирайки, получаваме общия интеграл в квадратури
(iii) .

Тъй като разделихме на s (x)r(y), тогава получаваме интеграла на уравнението за s (x) ≠ 0и r (y) ≠ 0. След това трябва да решите уравнението
r (y) = 0.
Ако това уравнение има корени, тогава те също са решения на уравнение (i). Нека уравнението r (y) = 0. има n корена a i , r (a i ) = 0, i = 1, 2, ... , н. Тогава константите y = a i са решения на уравнение (i). Някои от тези решения може вече да се съдържат в общия интеграл (iii).

Обърнете внимание, че ако първоначалното уравнение е дадено във формата (ii), то уравнението също трябва да бъде решено
с (x) = 0.
Неговите корени b j , s (b j ) = 0, j = 1, 2, ... , м. дават решения x = b j .

Пример за решаване на диференциално уравнение с разделими променливи

реши уравнението

Изразяваме производната чрез диференциали:


Умножете по dx и разделете на . За y ≠ 0 имаме:

Да се ​​интегрираме.

Изчисляваме интегралите по формулата.



Замествайки, получаваме общия интеграл на уравнението
.

Сега разгледайте случая, y = 0 .
Очевидно е, че y = 0 е решение на първоначалното уравнение. Не се включва в общия интеграл.
Така че нека го добавим към крайния резултат.

; y= 0 .

Препратки:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузмин, Сборник задачи по висша математика, Lan, 2003.

Разглежда се метод за решаване на диференциални уравнения, свеждащ се до уравнения с разделими променливи. Даден е пример за подробно решение на диференциално уравнение, което се свежда до уравнение с разделими променливи.

Съдържание

Формулиране на проблема

Разгледайте диференциалното уравнение
(i) ,
където f е функция, a, b, c са константи, b ≠ 0 .
Това уравнение се свежда до уравнение с разделими променливи.

Метод на решение

Правим замяна:
u = брадва + by + c
Тук y е функция на x. Следователно u също е функция на x.
Разграничете по отношение на x
u′ = (ax + by + c)′ = a + by′
Заместител (i)
u′ = a + by′ = a + b f(ax + by + c) = a + b f (ф)
Или:
(ii)
Отделни променливи. Умножете по dx и разделете на a + b f (ф). Ако a + b f (u) ≠ 0, Че

Чрез интегриране получаваме общия интеграл на първоначалното уравнение (i)в квадрати:
(iii) .

И накрая, разгледайте случая
(iv) a + b f (u) = 0.
Да предположим, че това уравнение има n корена u = r i , a + b f (r i ) = 0, i = 1, 2, ...н. Тъй като функцията u = r i е постоянна, нейната производна по x е равна на нула. Следователно u = r i е решение на уравнението (ii).
Въпреки това, уравнението (ii)не съвпада с оригиналното уравнение (i)и може би не всички решения u = r i , изразени чрез променливите x и y , удовлетворяват първоначалното уравнение (i).

По този начин решението на първоначалното уравнение е общият интеграл (iii)и някои корени на уравнението (iv).

Пример за решаване на диференциално уравнение, което се свежда до уравнение с разделими променливи

реши уравнението
(1)

Правим замяна:
u = x - y
Диференцирайте по отношение на x и извършете трансформации:
;

Умножете по dx и разделете на u 2 .

Ако u ≠ 0, тогава получаваме:

Ние интегрираме:

Прилагаме формулата от таблицата на интегралите:

Изчисляваме интеграла

Тогава
;
, или

Общо решение:
.

Сега разгледайте случая u = 0 , или u = x - y = 0 , или
y=x.
Тъй като y′ = (x)′ = 1, тогава y = x е решение на първоначалното уравнение (1) .

;
.

Препратки:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузмин, Сборник задачи по висша математика, Lan, 2003.

Често самото споменаване на диференциални уравнения кара учениците да се чувстват неудобно. Защо се случва това? Най-често, защото при изучаване на основите на материала възниква празнина в знанията, поради което по-нататъшното изучаване на разликите става просто мъчение. Нищо не е ясно какво да правя, как да реша откъде да започна?

Ние обаче ще се опитаме да ви покажем, че дифузите не са толкова трудни, колкото изглеждат.

Основни понятия от теорията на диференциалните уравнения

От училище знаем най-простите уравнения, в които трябва да намерим неизвестното x. Всъщност диференциални уравнениясамо малко по-различен от тях - вместо променлива х те трябва да намерят функция y(x) , което ще превърне уравнението в идентичност.

Диференциални уравненияимат голямо практическо значение. Това не е абстрактна математика, която няма нищо общо със света около нас. С помощта на диференциални уравнения се описват много реални природни процеси. Например вибрациите на струните, движението на хармоничен осцилатор, с помощта на диференциални уравнения в задачите на механиката намират скоростта и ускорението на тялото. Също DUнамират широко приложение в биологията, химията, икономиката и много други науки.

Диференциално уравнение (DU) е уравнение, съдържащо производните на функцията y(x), самата функция, независими променливи и други параметри в различни комбинации.

Има много видове диференциални уравнения: обикновени диференциални уравнения, линейни и нелинейни, хомогенни и нехомогенни, диференциални уравнения от първи и по-висок ред, частични диференциални уравнения и т.н.

Решението на диференциално уравнение е функция, която го превръща в идентичност. Има общи и специални решения за дистанционно управление.

Общото решение на диференциалното уравнение е общото множество от решения, които превръщат уравнението в идентичност. Конкретно решение на диференциално уравнение е решение, което отговаря на допълнителни условия, определени първоначално.

Редът на диференциалното уравнение се определя от най-високия ред на производните, включени в него.

Обикновени диференциални уравнения

Обикновени диференциални уравненияса уравнения, съдържащи една независима променлива.

Разгледайте най-простото обикновено диференциално уравнение от първи ред. Изглежда като:

Това уравнение може да бъде решено чрез просто интегриране на дясната му страна.

Примери за такива уравнения:

Уравнения с разделими променливи

IN общ изгледтози тип уравнение изглежда така:

Ето един пример:

Решавайки такова уравнение, трябва да разделите променливите, като ги приведете във формата:

След това остава да интегрираме двете части и да получим решение.

Линейни диференциални уравнения от първи ред

Такива уравнения приемат формата:

Тук p(x) и q(x) са някои функции на независимата променлива, а y=y(x) е желаната функция. Ето пример за такова уравнение:

При решаването на такова уравнение най-често използват метода на вариация на произволна константа или представят желаната функция като произведение на две други функции y(x)=u(x)v(x).

За решаването на такива уравнения е необходима определена подготовка и ще бъде доста трудно да ги вземете „на прищявка“.

Пример за решаване на DE с разделими променливи

Така че разгледахме най-простите видове дистанционно управление. Сега нека да разгледаме един от тях. Нека е уравнение с разделими променливи.

Първо, пренаписваме производната в по-позната форма:

След това ще разделим променливите, тоест в едната част на уравнението ще съберем всички „игри“, а в другата - „xes“:

Сега остава да интегрираме и двете части:

Ние интегрираме и получаваме общото решение на това уравнение:

Разбира се, решаването на диференциални уравнения е вид изкуство. Трябва да можете да разберете към какъв тип принадлежи дадено уравнение и също така да се научите да виждате какви трансформации трябва да направите с него, за да го доведете до една или друга форма, да не говорим само за способността да диференцирате и интегрирате. И е необходима практика (както с всичко), за да успеете да решите DE. И ако имате този моментняма време да се занимавате с това как се решават диференциалните уравнения или проблемът на Коши се е надигнал като кост в гърлото или не знаете как правилно да форматирате презентация, свържете се с нашите автори. В кратки срокове ще Ви предоставим готово и детайлно решение, с чиито подробности можете да се запознаете по всяко удобно за Вас време. Междувременно предлагаме да гледате видеоклип на тема "Как да решаваме диференциални уравнения":

Диференциални уравнения от първи ред. Примери за решения.
Диференциални уравнения с разделими променливи

Диференциални уравнения (DE). Тези две думи обикновено ужасяват средния лаик. Диференциалните уравнения изглеждат нещо скандално и трудно за овладяване за много ученици. Уууууу… диференциални уравнения, как щях да преживея всичко това?!

Такова мнение и такова отношение е коренно погрешно, тъй като в действителност ДИФЕРЕНЦИАЛНИТЕ УРАВНЕНИЯ СА ПРОСТИ И ДОРИ ЗАБАВНИ. Какво трябва да знаете и да можете да научите за решаване на диференциални уравнения? За да изучавате успешно различията, трябва да сте добри в интегрирането и диференцирането. Колкото по-добре се изучават темите Производна на функция на една променливаИ Неопределен интеграл, толкова по-лесно ще бъде разбирането на диференциалните уравнения. Ще кажа повече, ако имате повече или по-малко прилични умения за интеграция, тогава темата е практически овладяна! Колкото повече интеграли от различни видове можете да решите, толкова по-добре. Защо? Трябва да интегрирате много. И разграничете. Също горещо препоръчвамнаучете се да намирате.

В 95% от случаите в контролна работаима 3 вида диференциални уравнения от първи ред: разделими уравнения, които ще разгледаме в този урок; хомогенни уравненияИ линейни нееднородни уравнения. За начинаещи да изучавате дифузори, съветвам ви да прочетете уроците в тази последователност и след като изучите първите две статии, няма да ви навреди да консолидирате уменията си в допълнителен семинар - уравнения, които се свеждат до хомогенни.

Има още по-редки видове диференциални уравнения: уравнения в тотални диференциали, уравнения на Бернули и някои други. От последните два типа най-важните са уравненията в общите диференциали, защото в допълнение към този DE, обмислям нов материал - частична интеграция.

Ако ви остават само ден-два, Че за ултра бързо приготвянеИма блиц курсв pdf формат.

И така, ориентирите са поставени - да тръгваме:

Нека първо си припомним обичайните алгебрични уравнения. Те съдържат променливи и числа. Най-простият пример:. Какво означава да решиш обикновено уравнение? Това означава да намериш набор от числакоито удовлетворяват това уравнение. Лесно е да се види, че уравнението на децата има един корен: . За забавление, нека направим проверка, замествайки намерения корен в нашето уравнение:

- получава се правилното равенство, което означава, че решението е намерено правилно.

Дифузите са подредени почти по същия начин!

Диференциално уравнение първа поръчкаобщо взето съдържа:
1) независима променлива;
2) зависима променлива (функция);
3) първата производна на функцията: .

В някои уравнения от първи ред може да няма "x" или (и) "y", но това не е от съществено значение - важнотака че в DU бешепърва производна и не са ималипроизводни от по-високи разряди - и др.

Какво означава ?Да се ​​реши диференциално уравнение означава да се намери набор от всички функциикоито удовлетворяват това уравнение. Такъв набор от функции често има формата ( е произволна константа), която се нарича общо решение на диференциалното уравнение.

Пример 1

Решете диференциално уравнение

Пълни боеприпаси. Откъде да започна решение?

Първо, трябва да пренапишете производната в малко по-различна форма. Припомняме тромавата нотация, която сигурно мнозина от вас смятаха за нелепа и ненужна. Именно то властва в дифузьорите!

Във втората стъпка нека да видим дали е възможно разделяне на променливи?Какво означава да се разделят променливите? Грубо казано, отлявотрябва да си тръгваме само "игри", А от дясната странаорганизирам само х-ове. Разделянето на променливите се извършва с помощта на „училищни“ манипулации: скоби, прехвърляне на термини от част към част с промяна на знака, прехвърляне на фактори от част към част според правилото за пропорцията и др.

Диференциали и са пълни умножители и активни участници във военните действия. В този пример променливите лесно се разделят чрез обръщане на коефициенти според правилото за пропорцията:

Променливите са разделени. От лявата страна - само "Игра", от дясната страна - само "X".

Следващ етап - интегриране на диференциално уравнение. Просто е, окачваме интеграли на двете части:

Разбира се, трябва да се вземат интеграли. В този случай те са таблични:

Както си спомняме, константа се присвоява на всяка антипроизводна. Тук има два интеграла, но е достатъчно да напишете константата веднъж (тъй като константа + константа все още е равна на друга константа). В повечето случаи се поставя от дясната страна.

Строго погледнато, след като се вземат интегралите, диференциалното уравнение се счита за решено. Единственото нещо е, че нашето "y" не се изразява чрез "x", тоест решението е представено в имплицитнотоформа. Неявното решение на диференциално уравнение се нарича общ интеграл на диференциалното уравнение. Това е общият интеграл.

Отговор в тази форма е напълно приемлив, но има ли по-добър вариант? Нека се опитаме да получим общо решение.

Моля те, запомнете първата техника, той е много разпространен и често се използва в практически задачи: ако след интегриране от дясната страна се появи логаритъм, тогава в много случаи (но в никакъв случай не винаги!) е препоръчително да напишете константата също под логаритъма. И пишете ВИНАГИ, ако се получават само логаритми (както в разглеждания пример).

Това е, ВМЕСТОобикновено се записват записи .

Защо е необходимо това? И за да се изрази по-лесно "у". Използваме свойството на логаритмите . В такъв случай:

Сега логаритмите и модулите могат да бъдат премахнати:

Функцията е представена изрично. Това е общото решение.

Отговор: общо решение: .

Отговорите на много диференциални уравнения са доста лесни за проверка. В нашия случай това се прави съвсем просто, ние вземаме намереното решение и го диференцираме:

След това заместваме производната в оригиналното уравнение:

- получено е правилното равенство, което означава, че общото решение удовлетворява уравнението, което трябваше да се провери.

Даване на константа различни значения, можете да получите безкрайно много частни решениядиференциално уравнение. Ясно е, че всяка от функциите , и т.н. удовлетворява диференциалното уравнение.

Понякога се извиква общото решение семейство от функции. В този пример общото решение е семейство от линейни функции или по-скоро семейство от преки пропорционалности.

След подробно обсъждане на първия пример е подходящо да отговорим на няколко наивни въпроса относно диференциалните уравнения:

1)В този пример успяхме да разделим променливите. Винаги ли е възможно да се направи това?Не винаги. И още по-често променливите не могат да бъдат разделени. Например в хомогенни уравнения от първи редпърво трябва да се смени. В други видове уравнения, например в линейно нехомогенно уравнение от първи ред, трябва да използвате различни трикове и методи, за да намерите общо решение. Уравненията с отделими променливи, които разглеждаме в първия урок, са най-простият тип диференциални уравнения.

2) Винаги ли е възможно да се интегрира диференциално уравнение?Не винаги. Много е лесно да се излезе с "фантастично" уравнение, което не може да бъде интегрирано, освен това има интеграли, които не могат да бъдат взети. Но такива DE могат да бъдат решени приблизително с помощта на специални методи. Д'Аламбер и Коши гарантират... ...уф, lurkmore.to Току що четох много, почти добавих "от онзи свят."

3) В този пример получихме решение под формата на общ интеграл . Винаги ли е възможно да се намери общо решение от общия интеграл, тоест да се изрази "y" в ясна форма?Не винаги. Например: . Е, как мога да изразя "у" тук?! В такива случаи отговорът трябва да се запише като общ интеграл. Освен това понякога може да се намери общо решение, но то е написано толкова тромаво и тромаво, че е по-добре да оставим отговора под формата на общ интеграл

4) ...може би достатъчно за сега. В първия пример се срещнахме Друг важен момент , но за да не покривам "манекените" с лавина от нова информация, ще го оставя за следващия урок.

Да не бързаме. Друго просто дистанционно управление и друго типично решение:

Пример 2

Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, което удовлетворява началното условие

Решение: според състоянието, което се изисква да се намери частно решение DE, който отговаря на дадено начално условие. Този вид разпит се нарича още Проблем с Коши.

Първо намираме общо решение. В уравнението няма променлива „x“, но това не трябва да е смущаващо, основното е, че има първата производна.

Пренаписваме производната в необходимата форма:

Очевидно променливите могат да бъдат разделени, момчета отляво, момичета отдясно:

Интегрираме уравнението:

Получава се общият интеграл. Тук нарисувах константа с акцентираща звезда, факт е, че много скоро тя ще се превърне в друга константа.

Сега се опитваме да преобразуваме общия интеграл в общо решение (изразете "y" изрично). Спомняме си старото, добро училище: . В такъв случай:

Константата в индикатора изглежда някак не кошерна, така че обикновено се спуска от небето на земята. В детайли това се случва така. Използвайки свойството на степените, пренаписваме функцията, както следва:

Ако е константа, тогава е и някаква константа, преозначете я с буквата:
- в същото време премахваме модула, след което константата "ce" ще може да вземе както положителни, така и отрицателни стойности

Не забравяйте, че "разрушаването" на константа е втора техника, който често се използва в хода на решаване на диференциални уравнения. На чисто копие можете веднага да преминете от до , но винаги бъдете готови да обясните този преход.

Така че общото решение е: Толкова хубаво семейство от експоненциални функции.

На последния етап трябва да намерите конкретно решение, което да отговаря на даденото начално условие. Също така е просто.

Каква е задачата? Трябва да вземете такивастойността на константата да отговаря на условието.

Можете да го подредите по различни начини, но най-разбираемият може би ще бъде така. В общото решение вместо "x" заместваме нула, а вместо "y" две:



Това е,

Стандартна версия на дизайна:

Сега заместваме намерената стойност на константата в общото решение:
– това е конкретното решение, от което се нуждаем.

Отговор: лично решение:

Да направим проверка. Проверката на конкретно решение включва два етапа:

Първо, необходимо е да се провери дали намереното конкретно решение наистина удовлетворява първоначалното условие? Вместо "x" заместваме нула и вижте какво се случва:
- да, наистина се получи двойка, което означава, че първоначалното условие е изпълнено.

Вторият етап вече е познат. Взимаме полученото конкретно решение и намираме производната:

Заместете в оригиналното уравнение:

- получава се правилното равенство.

Заключение: конкретното решение е намерено правилно.

Да преминем към по-смислени примери.

Пример 3

Решете диференциално уравнение

Решение:Пренаписваме производната във формата, от която се нуждаем:

Оценяване дали променливите могат да бъдат разделени? Мога. Прехвърляме втория член от дясната страна с промяна на знака:

И обръщаме факторите според правилото на пропорцията:

Променливите са разделени, нека интегрираме двете части:

Трябва да ви предупредя, денят на страшния съд идва. Ако не сте научили добре неопределени интеграли, решени няколко примера, тогава няма къде да отидете - трябва да ги овладеете сега.

Интегралът на лявата страна е лесен за намиране, с интеграла на котангенса се занимаваме със стандартната техника, която разгледахме в урока Интегриране на тригонометрични функцииминалата година:

В резултат на това получихме само логаритми и, според първата ми техническа препоръка, ние също определяме константата под логаритъм.

Сега се опитваме да опростим общия интеграл. Тъй като имаме само логаритми, е напълно възможно (и необходимо) да се отървем от тях. Като се използва известни свойствамаксимално "пакетирайте" логаритмите. Ще пиша много подробно:

Опаковката е пълна, за да бъде варварски оръфана:
, и веднага-незабавно давам общ интегрална ума, възможно най-скоро:

Най-общо казано, не е необходимо да се прави това, но винаги е полезно да се угоди на професора ;-)

По принцип този шедьовър може да се напише като отговор, но тук все пак е уместно да поставим на квадрат двете части и да предефинираме константата:

Отговор:общ интеграл:

! Забележка: общият интеграл често може да бъде написан по повече от един начин. По този начин, ако вашият резултат не съвпада с предварително известен отговор, това не означава, че сте решили уравнението неправилно.

Може ли да се изрази "y"? Мога. Нека изразим общото решение:

Разбира се, полученият резултат е подходящ за отговор, но имайте предвид, че общият интеграл изглежда по-компактен, а решението се оказа по-кратко.

Трети технически съвет:ако трябва да се извършат значителен брой действия, за да се получи общо решение, тогава в повечето случаи е по-добре да се въздържате от тези действия и да оставите отговора под формата на общ интеграл. Същото важи и за „лошите“ действия, когато се изисква да се изрази обратна функция, да се повдигне на степен, да се вземе корен и т.н.Факт е, че общото решение ще изглежда претенциозно и тромаво - с големи корени, знаци и други математически боклуци.

Как да проверя? Проверката може да се извърши по два начина. Първи метод: вземете общото решение , намираме производната и ги заместете в първоначалното уравнение. Опитайте сами!

Вторият начин е да се диференцира общият интеграл. Това е доста лесно, основното е да можете да намерите производна на функция, дефинирана имплицитно:

разделете всеки член на:

и на:

Оригиналното диференциално уравнение е получено точно, което означава, че общият интеграл е намерен правилно.

Пример 4

Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, което удовлетворява началното условие. Пуснете проверка.

Това е пример за „направи си сам“.

Напомням ви, че алгоритъмът се състои от два етапа:
1) намиране на общо решение;
2) намиране на необходимото конкретно решение.

Проверката също се извършва на две стъпки (вижте примера в Пример № 2), трябва:
1) уверете се, че конкретното намерено решение отговаря на първоначалното условие;
2) проверете дали определено решение като цяло удовлетворява диференциалното уравнение.

Пълно решение и отговор в края на урока.

Пример 5

Намерете конкретно решение на диференциално уравнение , удовлетворяващи началното условие . Пуснете проверка.

Решение:Първо, нека намерим общо решение.Това уравнение вече съдържа готови диференциали и , което означава, че решението е опростено. Разделяне на променливи:

Интегрираме уравнението:

Интегралът отляво е табличен, интегралът отдясно е взет методът за сумиране на функцията под знака на диференциала:

Общият интеграл е получен, възможно ли е успешно да се изрази общото решение? Мога. Закачаме логаритми от двете страни. Тъй като са положителни, модулните знаци са излишни:

(Надявам се всички да разберат трансформацията, такива неща вече трябва да се знаят)

Така че общото решение е:

Нека намерим конкретно решение, съответстващо на даденото начално условие.
В общото решение вместо "x" заместваме нулата, а вместо "y" логаритъма от две:

По-познат дизайн:

Заместваме намерената стойност на константата в общото решение.

Отговор:лично решение:

Проверка: Първо проверете дали е изпълнено първоначалното условие:
- всичко е наред.

Сега нека проверим дали намереното конкретно решение изобщо удовлетворява диференциалното уравнение. Намираме производната:

Нека да разгледаме оригиналното уравнение: – представя се в диференциали. Има два начина за проверка. Възможно е да се изрази диференциала от намерената производна:

Заместваме намереното конкретно решение и получения диференциал в оригиналното уравнение :

Използваме основната логаритмична идентичност:

Получава се правилното равенство, което означава, че конкретното решение е намерено правилно.

Вторият начин за проверка е огледален и по-познат: от уравнението изразяваме производната, за това разделяме всички части на:

И в преобразуваното DE заместваме полученото частно решение и намерената производна. В резултат на опростявания трябва да се получи и правилното равенство.

Пример 6

Намерете общия интеграл на уравнението, представете отговора като.

Това е пример за самостоятелно решаване, пълно решение и отговор в края на урока.

Какви трудности очакват при решаването на диференциални уравнения с разделими променливи?

1) Не винаги е очевидно (особено за чайник), че променливите могат да бъдат разделени. Помислете за условен пример: . Тук трябва да извадите факторите от скоби: и да разделите корените:. Как да продължим е ясно.

2) Трудности при самата интеграция. Интегралите често възникват не от най-простите и ако има недостатъци в уменията за намиране неопределен интеграл, тогава ще е трудно с много дифузори. В допълнение, компилаторите на колекции и ръководства са популярни с логиката „тъй като диференциалното уравнение е просто, тогава поне интегралите ще бъдат по-сложни“.

3) Трансформации с константа. Както всички са забелязали, с константа в диференциалните уравнения може да се работи доста свободно и някои трансформации не винаги са ясни за начинаещ. Нека да разгледаме друг хипотетичен пример: . В него е препоръчително да умножите всички термини по 2: . Получената константа също е някакъв вид константа, която може да бъде означена с: . Да, и тъй като имаме еднакви логаритми, препоръчително е да пренапишем константата като друга константа: .

Проблемът е, че те често не се занимават с индекси и използват една и съща буква. В резултат на това записът на решението приема следната форма:

Какво за Бога?! Ето ги грешките! Строго погледнато, да. Но от гледна точка на съдържанието грешки няма, тъй като в резултат на трансформацията на променлива константа се получава еквивалентна променлива константа.

Или друг пример, да предположим, че в хода на решаването на уравнението се получава общ интеграл. Този отговор изглежда грозен, така че е препоръчително да промените знака на всеки термин: . Формално пак има грешка - вдясно трябва да пише . Но неофициално се подразбира, че „минус ce“ все още е константа, която също така приема същия набор от стойности и следователно поставянето на „минус“ няма смисъл.

Ще се опитам да избегна небрежния подход и все пак ще поставя различни индекси за константи, когато ги конвертирам. Което ви съветвам да направите.

Пример 7

Решете диференциалното уравнение. Пуснете проверка.

Решение:Това уравнение допуска разделяне на променливи. Разделяне на променливи:

Ние интегрираме:

Константата тук не трябва да се дефинира под логаритъм, тъй като нищо добро няма да излезе от това.

Отговор:общ интеграл:

И, разбира се, тук НЕ Е НЕОБХОДИМО да изразявате изрично „y“, защото ще се окаже боклук (запомнете третия технически съвет).

Преглед: Диференцирайте отговора (имплицитна функция):

Отърваваме се от дроби, за това умножаваме двата члена по:

Получено е оригиналното диференциално уравнение, което означава, че общият интеграл е намерен правилно.

Пример 8

Намерете конкретно решение на DE.
,

Английски: Wikipedia прави сайта по-сигурен. Използвате стар уеб браузър, който няма да може да се свързва с Wikipedia в бъдеще. Моля, актуализирайте вашето устройство или се свържете с вашия ИТ администратор.

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器，这在将来无法连接维基百科。请新您的设备或联络您的IT管理员。以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语).

испански: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrator informático. Más abajo hay una actualizacion más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

френски: Wikipedia va bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplementaires плюс техники et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: .ンが古く。るか、IT管理者にご相談ください。技術面の詳しい更新情報は以下に英語で提供しています。

Немски: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät or sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

италиански: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

маджарски: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

Швеция: Wikipedia отидете на тази страница. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia in framtiden. Актуализирайте din enhet или contacta din IT-administrator. Det finns en längre och mer tehnicsk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Премахваме поддръжката за несигурни версии на протокол TLS, по-специално TLSv1.0 и TLSv1.1, на които софтуерът на вашия браузър разчита, за да се свърже с нашите сайтове. Това обикновено се причинява от остарели браузъри или по-стари смартфони с Android. Или може да е намеса от корпоративен или личен софтуер за „Уеб сигурност“, който всъщност намалява сигурността на връзката.

Трябва да надстроите вашия уеб браузър или по друг начин да коригирате този проблем, за да получите достъп до нашите сайтове. Това съобщение ще остане до 1 януари 2020 г. След тази дата вашият браузър няма да може да установи връзка с нашите сървъри.