Комбинативно свойство на примери за добавяне. Свойства на добавянето. Закони за добавяне. Свойството за изваждане на сбор от число. Свойството за изваждане на число от сбор
Могат да се отбележат редица резултати, присъщи на това действие. Тези резултати се наричат допълнителни свойства естествени числа . В тази статия ще анализираме подробно свойствата на добавянето на естествени числа, ще ги напишем с букви и ще дадем обяснителни примери.
Навигация в страницата.
Комбинативно свойство на събиране на естествени числа.
Сега нека дадем пример, илюстриращ асоциативното свойство на добавяне на естествени числа.
Нека си представим ситуация: 1 ябълка падна от първото ябълково дърво, а 2 ябълки и още 4 ябълки паднаха от второто ябълково дърво. Сега разгледайте тази ситуация: 1 ябълка и още 2 ябълки паднаха от първото ябълково дърво, а 4 ябълки паднаха от второто ябълково дърво. Ясно е, че както в първия, така и във втория случай ще има еднакъв брой ябълки на земята (което може да се провери чрез преизчисляване). Тоест резултатът от събирането на числото 1 със сбора на числата 2 и 4 е равен на резултата от събирането на сбора на числата 1 и 2 с числото 4.
Разгледаният пример ни позволява да формулираме комбинаторното свойство на добавяне на естествени числа: за да добавим даден сбор от две числа към дадено число, можем да добавим първия член на дадения сбор към това число и да добавим втория член на дадена сума към получения резултат. Това свойство може да бъде написано с помощта на букви като тази: a+(b+c)=(a+b)+c, където a, b и c са произволни естествени числа.
Моля, обърнете внимание, че равенството a+(b+c)=(a+b)+c съдържа скоби “(” и “)”. Скобите се използват в изрази, за да укажат реда, в който се изпълняват действията - действията в скоби се изпълняват първи (повече за това е написано в раздела). С други думи, изрази, чиито стойности се оценяват първи, се поставят в скоби.
В заключение на този параграф отбелязваме, че комбинаторното свойство на събирането ни позволява да определим еднозначно събирането на три, четири или повече естествени числа.
Свойство събиране на нула и естествено число, свойство събиране на нула и нула.
Знаем, че нулата НЕ е естествено число. И така, защо решихме да разгледаме свойството на събиране на нула и естествено число в тази статия? Има три причини за това. Първо: това свойство се използва при добавяне на естествени числа в колона. Второ: това свойство се използва при изваждане на естествени числа. Трето: ако приемем, че нулата означава липса на нещо, тогава значението на събирането на нула и естествено число съвпада със значението на събирането на две естествени числа.
Нека направим някои разсъждения, които ще ни помогнат да формулираме свойството за събиране на нула и естествено число. Нека си представим, че в кутията няма обекти (с други думи в кутията има 0 обекта) и в нея са поставени обекти a, където a е произволно естествено число. Тоест добавихме 0 и a обекти. Ясно е, че след това действие има обекти в кутията. Следователно равенството 0+a=a е вярно.
По същия начин, ако кутия съдържа елементи и към нея са добавени 0 елемента (т.е. не са добавени никакви елементи), тогава след това действие ще има елементи в кутията. Така че a+0=a.
Сега можем да дадем формулировката на свойството за добавяне на нула и естествено число: сумата от две числа, едното от които е нула, е равна на второто число. Математически това свойство може да се запише като следното равенство: 0+a=aили а+0=а, където a е произволно естествено число.
Отделно, нека обърнем внимание на факта, че при събиране на естествено число и нула комутативността на събирането остава вярна, тоест a+0=0+a.
И накрая, нека формулираме свойството за добавяне на нула към нула (това е съвсем очевидно и не се нуждае от допълнителни коментари): сумата от две числа, всяко равно на нула, е равна на нула. Това е, 0+0=0 .
Сега е време да разберете как да събирате естествени числа.
Библиография.
- Математика. Всякакви учебници за 1, 2, 3, 4 клас на общообразователните институции.
- Математика. Всякакви учебници за 5 клас на общообразователните институции.
Свойствата на събирането са първата стъпка към ускоряване на броенето. Ученик, който знае всички техники за бързо добавяне, има повече време за сложни задачи и проверка на решенията си. Следователно има смисъл отново да разгледаме свойствата на добавянето, за да ги приложим правилно на практика.
Какво е добавяне?
Първо, нека си спомним какво е добавяне? Събирането е една от първите операции, които се изучават в училище, а понякога дори и в детска градина. По правило добавянето се обяснява с помощта на плодове като пример.
Ако вземете 3 круши и 2 ябълки и ги сложите в кошница, тогава крушите са първият член, ябълките са вторият, а общият брой плодове в кошницата е сумата. Това определение не е неправилно, но учениците растат, както и използваните числа. Трудно е да си представим подреждането на стотици хиляди плодове.
Следователно в математиката те използват друга дефиниция, която гласи, че събирането е преместване на точка от числовата ос надясно.
Много знания стават по-сложни с времето. Така че, ако в начално училищена учениците се казва, че отрицателният резултат от събирането е грешка, след това в 5 клас вече всички знаят, че такъв отговор е възможен. Така е и с дефиницията на свойствата на събирането. Обикновените плодове просто не са достатъчни, за да представят големи числа. Затова в гимназията се обръщат към теоретичните определения.
Свойства на добавянето
Има комутативни и асоциативни свойства. Комутативното свойство ни казва, че смяната на местата на членовете не променя сумата.
Комбиниращото свойство гласи, че в примери, където има два или повече фактора, добавянето може да се извърши в произволен ред. Основното нещо в този случай е правилно да групирате условията, за да ускорите изчисленията, а не да ги усложнявате още повече. Най-простият вариант е да разгледате броя на единиците в число. На първо място, трябва да добавите онези числа, чиито единици дават 10, например 29 и 31 дават 60.
След това се добавят цели десетици и едва след това всичко останало. Това е най-лесният и бърз начин за решаване на примери със събиране.
Всъщност дори не всеки професор ще може да разграничи използването на координативно свойство от комутативно. Те са изключително сходни, някои математици дори смятат, че асоциативното свойство е продължение на комутативното свойство. По същата причина учителите рядко искат да разграничат използването на едно свойство от друго в даден проблем. Просто трябва да можете да използвате и двете.
Пример
Примери за асоциативното свойство на добавянето не са трудни за намиране. Почти всеки пример използва това свойство.
15*3+5-13-17-2-16-2 - първо, нека направим умножението.
45+5-13-17-2-16-2 - сега нека групираме членовете, така че да изчислим резултата възможно най-бързо. За да направите това, трябва да запомните, че разликата може да бъде представена като сбор от отрицателни числа. В нашия случай просто преместваме знака минус извън скобите.
45+5-13-17-2-16-2=(45+5)-(13+17)-(2+2+16) - сега нека направим изчисленията в скоби и да намерим крайния резултат
45+5-13-17-2-16-2=(45+5)-(13+17)-(2+2+16)=50-30-0=0
Това е отговорът за един доста голям пример. Не се плашете от прости отговори като 0 или 1. Понякога авторите на примери объркват учениците по този начин.
Какво научихме?
Говорихме за събирането, подчертахме асоциативните и комутативните свойства на събирането. Говорихме за разликите между тези свойства, както и за правилното използване на асоциативното свойство на добавянето. Решихме с малък пример да покажем използването на комбинираното свойство на практика.
Тест по темата
Рейтинг на статията
Среден рейтинг: 4.6. Общо получени оценки: 111.
Въз основа на събирането на 2 естествени числа. Събирането на 3 или повече числа изглежда като последователно събиране на 2 числа. Освен това, поради комутативени , добавените числа могат да бъдат разменени и всяко 2 от добавените числа може да бъде заменено с тяхната сума.
Комбинативно свойство на събиранетодоказва, че резултатът от събирането на 3 числа а, бИ ° Сне зависи от поставянето на скобите. Така сумите a+(b+c)И (a+b)+cможе да се напише като a+b+c. Този израз се нарича количество, и числата а, бИ ° С - условия.
По същия начин поради асоциативни свойства на добавянето, са равни на сумите (a+b)+(c+d), (a+(b+c))+d, ((a+b)+c)+d, a+(b+(c+d))И a+((b+c)+d).Тоест резултатът от събирането на 4 естествени числа a, b, cИ дне зависи от местоположението на скобите. В този случай сумата се записва така: a+b+c+d.
Ако в израза няма скоби, но той се състои от повече от два термина, можете да подредите скобите както желаете и да добавите последователно по 2 числа, за да получите отговора. Тоест процесът на добавяне на 3 или повече числа се свежда до последователна замяна на 2 съседни члена с тяхната сума.
Например, нека изчислим сумата 1+3+2+1+5 . Нека разгледаме 2 метода от голям брой съществуващи.
Първи начин.На всяка стъпка заместваме първите 2 члена със сумата.
защото сбор от числа 1 И 3 равна на 4 , означава:
1+3+2+1+5=4+2+1+5 (заменихме сбора 1+3 с числото 4).
защото сумата от 4 + 2 е 6, тогава:
4+2+1+5=6+1+5.
защото сумата от числата 6 и 1 е 7, тогава:
6+1+5=7+5
И последната стъпка, 7+5=12 . Че.:
1+3+2+1+5=12
Извършихме добавянето, като подредихме скобите, както следва: (((1+3)+2)+1)+5.
Втори начин.Нека подредим скобите така: ((1+3)+(2+1))+5 .
защото 1+3=4 , А 2+1=3 , Че:
((1+3)+(2+1))+5=(4+3)+5
Сборът от 4 и 3 е 7, което означава:
(4+3)+5=7+5.
И последната стъпка: 7+5=12.
Резултатът от събирането на 2, 3, 4 и т.н. числата не се влияят не само от поставянето на скоби, но и от реда, в който са написани термините. Така, когато сумирате естествени числа, можете да промените местата на членовете. Понякога това води до по-рационален процес на вземане на решения.
Свойства на събиране на естествени числа.
- За да получите число, следващо естествено число, трябва да добавите единица към него.
Например: 3 + 1 = 4; 39 + 1 = 40.
- При пренареждане на местата на членовете сумата не се променя:
3 + 4 = 4 + 3 = 7 .
Това свойство на добавяне се нарича закон за пътуване.
- Сумата от 3 или повече члена няма да се промени в зависимост от реда, в който се добавят числата.
Например: 3 + (7 + 2) = (3 + 7) + 2 = 12 ;
Средства: a + (b + c) = (a + b) + c.
Следователно, вместо 3 + (7 + 2) пишете 3 + 7 + 2 и съберете числата по ред, отляво надясно.
Това свойство на добавяне се нарича асоциативен закон за събиране.
- При добавяне 0 към число, сборът е равен на самото число.
3 + 0 = 3 .
Обратно, когато число се добави към нула, сборът е равен на числото.
0 + 3 = 3;
Средства: a + 0 = a ; 0 + а = а.
- Ако точката ° Сразделя сегмент AB, след това сумата от дължините на отсечките A.C.И C.B.равна на дължината на отсечката AB.
AB = AC + CB.
Ако AC = 2 cmА CB = 3 см,
Че AB = 2 + 3 = 5 cm.
Добавянето на едно число към друго е доста просто. Нека да разгледаме пример, 4+3=7. Този израз означава, че три единици са добавени към четири единици и резултатът е седем единици.
Числата 3 и 4, които добавихме, се наричат условия. И резултатът от събирането на числото 7 се нарича количество.
Сумае събирането на числа. Знак плюс „+“. 
В буквална форма този пример ще изглежда така:
а+b=° С
Допълнителни компоненти:
а- срок, b- условия, ° С- сума.
Ако добавим 4 единици към 3 единици, тогава в резултат на събирането ще получим същия резултат; той ще бъде равен на 7. 
От този пример заключаваме, че независимо как разменяме термините, отговорът остава същият:
Това свойство на термините се нарича комутативен закон за събиране.
Комутативен закон на събиране.
Смяната на местата на членовете не променя сумата.
В буквална нотация комутативният закон изглежда така:
а+b=b+а
Ако разгледаме три члена, например, вземем числата 1, 2 и 4. И извършваме добавянето в този ред, първо добавяме 1 + 2 и след това добавяме към получената сума 4, получаваме израза:
(1+2)+4=7
Можем да направим обратното, първо да съберем 2+4 и след това към получената сума да добавим 1. Нашият пример ще изглежда така:
1+(2+4)=7
Отговорът остава същият. И двата вида събиране за един и същ пример имат един и същ отговор. Заключаваме:
(1+2)+4=1+(2+4)
Това свойство на добавяне се нарича асоциативен закон за събиране.
Комутативният и асоциативният закон за събиране работи за всички неотрицателни числа.
Комбинационен закон за събиране.
За да добавите трето число към сумата от две числа, можете да добавите сумата от второто и третото число към първото число.
(а+б)+c=а+(b+° С)
Комбинационният закон работи за произволен брой членове. Използваме този закон, когато трябва да събираме числа в удобен ред. Например, нека добавим три числа 12, 6, 8 и 4. Ще бъде по-удобно първо да добавите 12 и 8 и след това да добавите сумата от две числа 6 и 4 към получената сума.
(12+8)+(6+4)=30
Свойство на събиране с нула.
Когато добавите число с нула, полученият сбор ще бъде същото число.
3+0=3
0+3=3
3+0=0+3
В буквален израз добавянето с нула ще изглежда така:
а+0=а
0+
а=а
Въпроси по темата за събиране на естествени числа:
Направете допълнителна таблица и вижте как работи свойството на комутативния закон?
Таблица за добавяне от 1 до 10 може да изглежда така:
Втора версия на таблицата за добавяне.
Ако погледнем таблиците на събиране, можем да видим как работи комутативният закон.
Какъв ще бъде сборът в израза a+b=c?
Отговор: сборът е резултат от събирането на членовете. a+b и c.
Какво ще бъде в израза a+b=c членове?
Отговор: а и б. Събираемите са числа, които събираме.
Какво се случва с едно число, ако добавите 0 към него?
Отговор: нищо, номерът няма да се промени. При събиране с нула числото остава същото, защото нулата е липса на единици.
Колко члена трябва да има в примера, за да може да се приложи комбинираният закон за събиране?
Отговор: от три термина или повече.
Запишете комутативния закон буквално?
Отговор: a+b=b+a
Примери за задачи.
Пример #1:
Запишете отговора на дадените изрази: а) 15+7 б) 7+15
Отговор: а) 22 б) 22
Пример #2:
Приложете комбинирания закон към членовете: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
Отговор: 20.
Пример #3:
Решете израза:
а) 5921+0 б) 0+5921
Решение:
а) 5921+0 =5921
б) 0+5921=5921
Предмет.„Комбинативно свойство на събирането. Скоби".
цели.Въвеждане на асоциативното свойство на събирането, с нов математически знак – скоби; подобряват устните и писмените изчислителни умения при таблично събиране и изваждане на едноцифрени числа в рамките на 20 с преход през стойност на място.
Учебен материал.Учебник „Математика. 2 клас” (автор Н. Б. Истомина); печатни тетрадки: “Тетрадка по математика 1”, “Учим се да решаваме комбинаторни задачи”; индивидуални карти върху кленови листа; 15 ленти с изрази за групова работа; игра „Разплитане на плетеница”; опорни диаграми; Индивидуални паравани за писане.
ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА
I. Организационен момент
Учител.Вдигнете ръце онези от вас, които обичат да пътуват. Днес ще се отправим на математическо пътешествие из есенната гора, която е пълна с мистерии и чудеса. И пътешествениците са пионери. Днес ще се опитате сами да направите откритие. Нашето мото: „Справяйте се с всяка задача умело.“
II. Актуализиране на знанията
U.Да вървим по горската пътека, за да не безпокоим обитателите на гората - просто ще ги наблюдаваме отстрани.
Играта "Разплитане на плетеница"
На дъската са написани равенства, в които някои от числата са покрити с геометрични фигури:
По команда на учителя децата записват липсващото число на отделни екрани и дават обяснение за своите действия.
U.Откъде ще започнем да разплитаме плетеницата? Защо?
деца.Да започнем с израза 15 – 8, тъй като са известни две числа.
U.внимание! Напишете разликата между 15 и 8 на екраните си.
Децата написаха 7 и всички вдигнаха екраните си едновременно..
– Сега на какво равенство трябва да обърнем внимание?
Д.На първия. Там, освен числото 12, е изобразен същият триъгълник, което означава, че трябва да има число 7.
U.вярно Намалете 12 на 7.
Децата изписаха цифрата 5 на екраните.
Д.Нека да разгледаме четвъртото равенство, тъй като там освен числото 9 е изобразен същият квадрат като в първото равенство. Това означава, че числото 5 трябва да бъде написано върху него.
U.вярно Намерете стойността на сбора от числата 5 и 9.
Децата изписаха на екраните числото 14.
Д.Да вземем второто равенство, тъй като освен числото 8 има същата окръжност като в четвъртото равенство. Това означава, че числото 14 трябва да бъде написано върху него.
U.вярно Намерете разликата между 14 и 8.
Децата изписаха цифрата 6 на екраните.
Д.Да вземем петото равенство, тъй като освен числото 40 има същия правоъгълник като във второто равенство. Това означава, че числото 6 трябва да бъде написано върху него.
U.вярно Намерете разликата между числата 40 и 6.
Децата изписаха на екраните числото 34.
III. Запознаване с нов материал
U.Горската пътека ни изведе до една поляна. Да се огледаме. Близо до дърветата има килим от цветни листа. На масата на всеки от вас има кленови листа със задача. Двама ученици ще работят върху задачите на гърба на дъската.
Познайте кое правило се използва за записване на равенства отляво и отдясно и вмъкнете числата в „полетата“.
Учениците изпълняват задачата самостоятелно.
|
– Да видим как момчетата, работещи на дъската, изпълниха задачата. Какво можете да кажете за съдържанието на задачите?
Д.Всички имат еднакви задачи.
U.Как са ги постигнали?
Д.различно.
U.Защо се случи това?
Д.Не всеки е разбрал правилото: единият знае повече, а другият по-малко. За първи път изпълняваме подобна задача.
IV. Формулиране на темата на урока
U.Нека анализираме уравненията и да разберем кой е изпълнил задачата правилно. Нека сравним левите части на равенствата на първата и втората колона.
Д.Те са идентични. Съберете три числа.
U.Нека сравним десните страни на равенствата от първата и втората колона.
Д.
– Във втората колона първо съберете второто и третото число и добавете резултата към първото число.
U.Какви числа трябва да вмъкнем в „прозорците“?
Д. 8 + 2 + 5 = 10 + 5
9 + 1 + 7 = 10 + 7
8 + 2 + 5 = 8 + 7
9 + 1 + 7 = 9 + 8
U.Кой позна и може да формулира темата на урока?
Д.Ще съберем три числа по различни начини.
U.Ще се запознаем с още едно свойство на събирането. Повторете как добавихте три числа?
Д.В първата колона първо събрахме първите две числа и след това добавихме третото.
– Във втората колона първо бяха добавени второто и третото число и резултатът беше добавен към първото число.
U.Как може да се запише всичко това? Може би трябва да има някакъв знак?
Д.Това са скоби.
U.Какво показват скобите?
Д.Какво действие трябва да се извърши първо?
На дъската се отваря бележка.
|
U.Какво още забелязахте?
Д.Три числа бяха добавени по различен начин, но стойността на сбора беше същата. Не зависи от реда, в който се извършват действията.
U.Да проверим дали си прав. Отворете учебника на стр. 47, прочетете правилото. Вече открихте асоциативното свойство на събирането.
V. Физкултурна минутка
VI. Първична консолидация на материала
U.Прочетете задача 127 на стр. 48.
Д. "Използвайте скоби, за да покажете кои два термина ще замените със стойността на сумата и намерете значението на всеки израз.“
U.Обяснете защо в някои изрази първо са намерили сбора на първото и второто число и са добавили третото, а в други са добавили сбора на второто и третото число към първото число. Вдигнете ръка тези, които са искали сами да изпълнят тази задача. Ще работите чрез опции. Първата колона е за ученици от 1-ви вариант, втората колона е за 2-ри вариант, а третата колона е допълнителна за тези, които бързо изпълняват задачата.
Двама ученика пишат на дъската. Децата изпълняват задачата. Всички примери са проверени.
– Прочетете израза, чието значение е „кръгло число“.
Д. 30 + (4 + 6) = 40
60 + (24 + 6) = 90
40 + (37 + 3) = 80
U.Прочетете израза, чиято стойност е със 7 по-малка от най-голямото двуцифрено число.
Д.(20 + 70) + 2 = 92
U.Прочетете израза, чиято стойност е число, състоящо се от еднакъв брой десетици и единици.
Д.(30 + 40) + 7 = 77
U.Прочетете израза, чиято стойност е числото преди 50.
Д. 40 + (6 + 3) = 49
U.Най-внимателните ще назоват изрази, чиито значения още не сме проверили. Обяснете защо в някои изрази първо намерихме сбора на първото и второто число и добавихме третото, а в други добавихме сбора на второто и третото число към първото число.
Д.За нас е по-удобно да добавяме числа, добавянето на които води до „кръгло“ число - това прави изчисленията по-бързи.
U.За да запомните ново свойство на добавяне и бързо да го запомните, ако го забравите, трябва да изберете схема, състояща се от букви или знаци. Тези диаграми са на стените на класната стая. Разгледайте ги, изберете един и обяснете избора си.
(* + *) + * = * + (* + *) |
Д.Всички диаграми са подходящи. В математиката използват латински букви, така че ще изберем схемата ( А + V) +с = А + (V + с).
VII. Самостоятелна работав групи
Учениците се разделят на групи и им се дават задачи върху ленти с различни цветове. Необходимо е да се намерят и запишат значенията на тези изрази, като се използва асоциативното свойство на събирането, след което да се прикрепи лента с израза към магнитната дъска по съответната формула:
U.браво на всички! Продължаваме по горската пътека. Познайте гатанката за горското животно:
Не е птица, а лети от дърво на дърво.
Д.Това е катерица.
U.вярно Помогнете на катеричката да постави запасите си за зимата в три хралупи. Работим в печатни тетрадки „Учим се да решаваме комбинаторни задачи“. Изпълняваме задача 20 на стр. 20 сами.
Преглед:
– Прочетете задача 21 на стр. 20.
Д. "Подредете буквите О , н , с в клетките по различен начин.”
U.Изпълнете тази задача сами.
Детски групови букви.
- Какво направи?
Д.Имаше шест варианта.
U.Оградете опциите, които съдържат думи, които имат смисъл.
Д.Това мечтаИ нос.
U.Назовете животните, които спят зимен сън през зимата.
Д.Мечка, таралеж, вече.
U.Коя зимна птица се нарича „горски лекар“?
Д.Кълвач. С клюна си изважда насекоми изпод кората на дърветата, като по този начин ги спасява от вредители.
VIII. Обобщение на урока
U.Нашето пътуване през есенната гора приключи. Какво откритие направи днес в клас?
Д.За да добавите трето число към сумата от две числа, можете да добавите сумата от второто и третото число към първото число. Това е асоциативното свойство на събирането.
U.Ако ви е харесало пътуването, аплодирайте го.
Децата ръкопляскат.
IX. Домашна работа
В „Тетрадка по математика 1” – стр. 33, № 81.
Статията е публикувана с подкрепата на компанията Eurocontract, един от основните производители на блокове от пяна, стенни блокове, тротоарни плочи, плочи с перо и бразда, бордюри и други съвременни строителни материали. В момента едно от първите места по популярност сред строителните материали е здраво закрепено в пенобетон. И трябва да кажа, че е напълно заслужено. В редица страни пенобетонните блокове дори се наричат „биоблокове“, тъй като се състоят само от естествени компоненти и са екологично чист строителен материал, безопасен за хората и околната среда. В допълнение, пенобетонът, в сравнение с конвенционалния бетон, тежи значително по-малко и следователно е много по-лесен за транспортиране, а големите му размери и правилна формапенобетонните блокове значително опростяват тяхното полагане. Информация за многото други предимства на пенобетонните блокове и техните цени можете да намерите подробно на уебсайта evrocontract.ru.