Когато една случайна променлива се подчинява на нормално разпределение. Нормална дистрибуция. Непрекъснати разпределения в MS EXCEL. Двумерни диаграми на нормална плътност

Определение. нормалнонаречено непрекъснато разпределение на вероятностите случайна величина, което се описва от плътността на вероятността

Нормалното разпределение се нарича още Закон на Гаус.

Законът за нормалното разпределение е централен за теорията на вероятностите. Това се дължи на факта, че този закон се проявява във всички случаи, когато една случайна величина е резултат от действието на голям брой различни фактори. Всички други закони за разпределение се доближават до нормалния закон.

Лесно може да се покаже, че параметрите и , включени в плътността на разпределението, са съответно математическото очакване и стандартното отклонение на случайната променлива X.

Намерете функцията на разпределение F(x).

Диаграмата на плътността на нормалното разпределение се нарича нормална криваили Гаусова крива.

Нормалната крива има следните свойства:

1) Функцията е дефинирана върху цялата числова ос.

2) За всички хфункцията на разпределение приема само положителни стойности.

3) Оста OX е хоризонталната асимптота на графиката на плътността на вероятността, тъй като с неограничено нарастване на абсолютната стойност на аргумента х, стойността на функцията клони към нула.

4) Намерете екстремума на функцията.

защото при y' > 0при х< m и да< 0 при x > m, след това в точката x = tфункцията има максимум равен на .

5) Функцията е симетрична спрямо права линия х = а, защото разлика

(х - а) влиза във функцията за плътност на разпределение на квадрат.

6) За да намерим точките на инфлексия на графиката, намираме втората производна на функцията на плътността.

При x = m+ s и x = m- s втората производна е равна на нула и при преминаване през тези точки променя знака, т.е. в тези точки функцията има инфлексия.

В тези точки стойността на функцията е .

Нека изградим графика на функцията на плътността на разпределението.

Графиките са построени за T=0 и три възможни стойности на стандартното отклонение s = 1, s = 2 и s = 7. Както можете да видите, когато стойността на стандартното отклонение се увеличава, графиката става по-плоска и максималната стойност намалява.

Ако а> 0, тогава графиката ще се измести в положителна посока, ако а < 0 – в отрицательном.

При а= 0 и s = 1 се нарича кривата нормализиран. Нормализирано уравнение на кривата:

За краткост казваме, че CV X се подчинява на закона N(m, s), т.е. X ~ N(m, s). Параметрите m и s съвпадат с основните характеристики на разпределението: m = m X , s = s X = . Ако SV X ~ N(0, 1), тогава се извиква стандартизирана нормална стойност. DF се нарича стандартизирана нормална стойност Функция на Лапласи се обозначава като Ф(х). Може да се използва за изчисляване на интервални вероятности за нормалното разпределение N(m, s):

P(x 1 £ X< x 2) = Ф - Ф .

При решаване на проблеми с нормално разпределение често е необходимо да се използват таблични стойности на функцията на Лаплас. Тъй като функцията на Лаплас удовлетворява релацията F(-x) = 1 - F(x), тогава е достатъчно да има таблични стойности на функцията F(x)само за положителни стойности на аргумент.

За вероятността за постигане на интервал, който е симетричен по отношение на математическото очакване, е вярна следната формула: P(|X - m X |< e) = 2×F(e/s) - 1.

Централните моменти на нормалното разпределение удовлетворяват рекурсивната връзка: m n +2 = (n+1)s 2 m n , n = 1, 2, ... . Това означава, че всички централни моменти от нечетен ред са равни на нула (тъй като m 1 = 0).

Намерете вероятността случайна променлива, разпределена според нормалния закон, да попадне в даден интервал.

Обозначете

защото интегралът не е изразен чрез елементарни функции, тогава функцията се въвежда в разглеждане

,

което се нарича Функция на Лапласили вероятностен интеграл.

Стойностите на тази функция при различни стойности хизчислени и представени в специални таблици.

По-долу има графика на функцията на Лаплас.

Функцията на Лаплас има следните свойства:

2) F(- х) = - F( х);

Функцията на Лаплас също се нарича функция за грешкаи обозначават erf х.

Все още се използва нормализиранфункцията на Лаплас, която е свързана с функцията на Лаплас чрез връзката:

По-долу е графика на нормализираната функция на Лаплас.

Когато се разглежда нормалното разпределение, се разграничава важен специален случай, известен като правило три сигма.

Нека запишем вероятността отклонението на нормално разпределена случайна променлива от математическото очакване да е по-малко от дадена стойност D:

Ако приемем D = 3s, тогава получаваме с помощта на таблиците със стойности на функцията на Лаплас:

Тези. вероятността една случайна променлива да се отклони от своето математическо очакване със стойност, по-голяма от три пъти стандартното отклонение, е практически нула.

Това правило се нарича правило три сигма.

На практика се счита, че ако за произволна променлива правилото на трите сигми е изпълнено, тогава тази случайна променлива има нормално разпределение.

Пример.Влакът се състои от 100 вагона. Масата на всеки вагон е случайна променлива, разпределена по нормалния закон с математическо очакване а= 65 т и стандартно отклонение s = 0,9 т. Локомотивът може да превозва влак с тегло не повече от 6600 т, в противен случай е необходимо да се прикачи втори локомотив. Намерете вероятността вторият локомотив да не е необходим.

Вторият локомотив не е необходим, ако отклонението на масата на влака от очакваното (100 × 65 = 6500) не надвишава 6600 - 6500 = 100 тона.

защото масата на всеки вагон има нормално разпределение, тогава масата на целия влак също ще бъде разпределена нормално.

Получаваме:

Пример.Нормално разпределена случайна променлива X се дава от нейните параметри - a \u003d 2 -математическо очакване и s = 1 – стандартно отклонение. Изисква се да се напише плътността на вероятността и да се изгради нейната графика, да се намери вероятността X да вземе стойност от интервала (1; 3), да се намери вероятността X да се отклони (по модул) от математическото очакване с не повече от 2.

Плътността на разпределение има формата:

Нека изградим графика:

Нека намерим вероятността за попадение на случайна променлива в интервала (1; 3).

Намерете вероятността случайната променлива да се отклонява от математическото очакване със стойност не по-голяма от 2.

Същият резултат може да се получи с помощта на нормализираната функция на Лаплас.

Лекция 8 Закон за големите числа(Раздел 2)

План на лекцията

Централна гранична теорема (обща формулировка и частна формулировка за независими еднакво разпределени случайни променливи).

Неравенството на Чебишев.

Законът за големите числа във формата на Чебишев.

Концепцията за честотата на събитията.

Статистическо разбиране на вероятността.

Законът за големите числа във формата на Бернули.

Изследването на статистическите закономерности позволи да се установи, че при определени условия общото поведение на голям брой случайни променливи почти губи своя случаен характер и става редовно (с други думи, случайните отклонения от някакво средно поведение взаимно се компенсират) . По-специално, ако влиянието върху сумата на отделните членове е равномерно малко, законът на разпределение на сумата се доближава до нормалното. Математическата формулировка на това твърдение е дадена в група теореми, наречени закон на големите числа.

ЗАКОН ЗА ГОЛЕМИТЕ ЧИСЛА – общ принцип, по силата на което комбинираното действие на случайни фактори води, при някои много общи условия, до резултат, почти независим от случайността. Първият пример за действието на този принцип може да бъде сближаването на честотата на възникване на случайно събитие с неговата вероятност с увеличаване на броя на опитите (често се използва на практика, например, когато се използва честотата на възникване на всяко качество на респондента в извадката като примерна оценка на съответната вероятност).

Същност закон на големите числае, че при голям брой независими експерименти честотата на възникване на дадено събитие е близка до неговата вероятност.

Централна гранична теорема (CLT) (във формулировката на Ляпунов A.M. за еднакво разпределени RV).Ако по двойки независими RV X 1 , X 2 , ..., X n , ... имат един и същ закон на разпределение с крайни числени характеристики M = m и D = s 2 , тогава за n ® ¥ законът на разпределение на RV неограничено се доближава до нормалния закон N(n×m, ).

Последица.Ако в условието на теоремата CB , тогава когато n ® ¥ законът за разпределение на SW Y се доближава до нормалния закон N(m, s/ ) за неопределено време.

Теорема на Моавр-Лаплас.Нека SV K е броят на "успехите" в n опита според схемата на Бернули. След това, за n ® ¥ и фиксирана стойност на вероятността за „успех“ в един опит p, законът на разпределение на RV K неограничено се доближава до нормалния закон N(n×p, ).

Последица.Ако в условието на теоремата, вместо SV K, вземем предвид SV K/n - честотата на „успехите” в n опити според схемата на Бернули, тогава нейният закон на разпределение за n ® ¥ и фиксирана стойност на p се доближава до нормалния закон N(p, ) неограничено.

Коментирайте.Нека SV K е броят на "успехите" в n опита според схемата на Бернули. Законът за разпределение на такава SW е биномният закон. Тогава, като n ® ¥, биномиалният закон има две гранични разпределения:

n разпределение Поасон(за n ® ¥ и l = n×p = const);

n разпределение Гаус N(n×p, ) (за n ® ¥ и p = const).

Пример.Вероятността за „успех“ в един опит е само p = 0,8. Колко опита трябва да се направят, така че с вероятност най-малко 0,9 да очакваме, че наблюдаваната честота на "успех" в опитите по схемата на Бернули се отклонява от вероятността p с не повече от e = 0,01?

Решение.За сравнение, решаваме проблема по два начина.

Законът за нормалното разпределение на вероятностите на непрекъсната случайна променлива заема специално място сред различните теоретични закони, тъй като е основният в много практически изследвания. Той описва повечето от случайните явления, свързани с производствените процеси.

Случайните явления, които се подчиняват на нормалния закон за разпределение, включват грешки в измерването на производствените параметри, разпределението на технологичните производствени грешки, височината и теглото на повечето биологични обекти и др.

нормално наричаме закон за разпределение на вероятностите на непрекъсната случайна променлива, която се описва от диференциална функция

a - математическо очакване на случайна величина;

Стандартното отклонение на нормалното разпределение.

Графиката на диференциалната функция на нормалното разпределение се нарича нормална крива (крива на Гаус) (фиг. 7).

Ориз. 7 Гаусова крива

Свойства на нормална крива (крива на Гаус):

1. кривата е симетрична спрямо правата x = a;

2. нормалната крива е разположена над оста X, т.е. за всички стойности на X функцията f(x) винаги е положителна;

3. Воловата ос е хоризонталната асимптота на графиката, т.к

4. за x = a функцията f(x) има максимум, равен на

,

в точки A и B при и кривата има инфлексни точки, чиито ординати са равни.

В същото време вероятността абсолютната стойност на отклонението на нормално разпределена случайна променлива от нейното математическо очакване да не надвишава стандартното отклонение е равна на 0,6826.

в точки E и G, за и , стойността на функцията f(x) е равна на

и вероятността абсолютната стойност на отклонението на нормално разпределена случайна променлива от нейното математическо очакване да не надвишава два пъти стандартното отклонение е 0,9544.

Асимптотично приближавайки се до абсцисната ос, кривата на Гаус в точки C и D, при и , се доближава много до абсцисната ос. В тези точки стойността на функцията f(x) е много малка

и вероятността абсолютната стойност на отклонението на нормално разпределена случайна променлива от нейното математическо очакване да не надвишава три пъти стандартното отклонение е 0,9973. Това свойство на кривата на Гаус се нарича " правило три сигма".

Ако една случайна променлива е нормално разпределена, тогава абсолютната стойност на нейното отклонение от математическото очакване не надвишава три пъти стандартното отклонение.

Промяната на стойността на параметъра a (математическото очакване на случайна променлива) не променя формата на нормалната крива, а води само до нейното изместване по оста X: надясно, ако a нараства, и наляво, ако a намалява.

Когато a=0, нормалната крива е симетрична спрямо оста y.

Промяната на стойността на параметъра (стандартно отклонение) променя формата на нормалната крива: с увеличаване на ординатите на нормалната крива намаляват, кривата се разтяга по оста X и се притиска към нея. При намаляване ординатите на нормалната крива се увеличават, кривата се свива по оста Х и става по-"върхова".

В същото време, за всякакви стойности на и, областта, ограничена от нормалната крива и оста X, остава равна на единица (т.е. вероятността случайна променлива, разпределена нормално, да приеме стойност, ограничена от нормалната крива на оста X е равна на 1).

Нормално разпределение с произволни параметри и , т.е. описано от диференциална функция

Наречен общо нормално разпределение.

Нормалното разпределение с параметри и се нарича нормализирано разпределение(фиг. 8). В нормализирано разпределение функцията на диференциалното разпределение е:

Ориз. 8 Нормализирана крива

Интегралната функция на общото нормално разпределение има формата:

Нека една случайна величина X е разпределена по нормалния закон в интервала (c, d). Тогава вероятността X да приеме стойност, принадлежаща на интервала (c, d), е равна на

Пример.Случайната променлива X се разпределя по нормалния закон. Математическото очакване и стандартното отклонение на тази случайна променлива са a=30 и . Намерете вероятността X да приеме стойност в интервала (10, 50).

По условие:. Тогава

Използвайки готови таблици на Лаплас (вижте Приложение 3), имаме.

В теорията на вероятностите се разглеждат доста голям брой различни закони за разпределение. За решаване на проблеми, свързани с изграждането на контролни карти, само някои от тях представляват интерес. Най-важното от тях е нормален закон за разпределение, който се използва за изграждане на контролни диаграми, използвани в количествен контрол, т.е. когато имаме работа с непрекъсната случайна променлива. Нормалният закон за разпределение заема особено място сред другите закони за разпределение. Това се обяснява с факта, че, първо, най-често се среща в практиката, и, второ, това е ограничаващият закон, към който други закони на разпределение се приближават при много често срещани типични условия. Що се отнася до второто обстоятелство, в теорията на вероятностите е доказано, че сумата от достатъчно голям брой независими (или слабо зависими) случайни променливи, подчинени на каквито и да било закони за разпределение (при определени много нестроги ограничения), приблизително се подчинява на нормалния закон , и това се изпълнява толкова по-точно, колкото по-голям е броят на сумираните случайни променливи. Повечето от случайните променливи, срещани в практиката, като например грешките на измерване, могат да бъдат представени като сума от много голям брой относително малки членове - елементарни грешки, всяка от които е причинена от действието на отделна причина, независима от другите. Нормалният закон възниква, когато случайната променлива хе резултат от голям брой различни фактори. Всеки фактор отделно по стойност хвлияе слабо и не може да се уточни кой влияе в по-голяма степен от останалите.

Нормална дистрибуция(Разпределение на Лаплас–Гаус) е вероятностното разпределение на непрекъсната случайна променлива хтака че плътността на разпределение на вероятността при - ¥<х< + ¥ принимает действительное значение:

експ (3)

Тоест нормалното разпределение се характеризира с два параметъра m и s, където m е математическото очакване; s е стандартното отклонение на нормалното разпределение.

s стойност 2 е дисперсията на нормалното разпределение.

Математическото очакване m характеризира положението на разпределителния център, а стандартното отклонение s (RMS) е дисперсионна характеристика (фиг. 3).

f(x) f(x)

Фигура 3 - Функции на плътност на нормалното разпределение с:

а) различни математически очаквания m; б) различни RMS s.

По този начин стойността μ се определя от позицията на кривата на разпределение по оста x. Измерение μ - същото като размерността на случайната променлива х. С нарастването на математическото очакване и двете функции се преместват успоредно надясно. С намаляваща дисперсия s 2 плътността става все по-концентрирана около m, докато функцията на разпределение става все по-стръмна.

Стойността на σ определя формата на кривата на разпределение. Тъй като площта под кривата на разпределение трябва винаги да остава равна на единица, с увеличаване на σ кривата на разпределение става по-плоска. На фиг. 3.1 показва три криви за различни σ: σ1 = 0,5; σ2 = 1,0; σ3 = 2,0.

Фигура 3.1 - Функции на плътност на нормалното разпределение сразлични RMS s.

Функцията на разпределение (интегрална функция) има формата (фиг. 4):

(4)

Фигура 4 - Интегрална (а) и диференциална (б) нормални функции на разпределение

От особено значение е линейната трансформация на нормално разпределена случайна променлива х, след което се получава случайна променлива Зс математическо очакване 0 и дисперсия 1. Такава трансформация се нарича нормализация:

Може да се направи за всяка случайна променлива. Нормализацията позволява всички възможни варианти на нормалното разпределение да бъдат сведени до един случай: m = 0, s = 1.

Нормалното разпределение с m = 0, s = 1 се нарича нормализирано нормално разпределение (стандартизирано).

стандартно нормално разпределение(стандартно разпределение на Лаплас-Гаус или нормализирано нормално разпределение) е вероятностното разпределение на стандартизирана нормална случайна променлива З, чиято плътност на разпределение е равна на:

при - ¥<z< + ¥

Функционални стойности Ф(z)се определя по формулата:

(7)

Функционални стойности Ф(z)и плътност f(z)нормализирано нормално разпределение се изчисляват и обобщават в таблици (табулирани). Таблицата е съставена само за положителни стойности zЕто защо:

F (–z) = 1–Ф (z) (8)

Използвайки тези таблици, можете да определите не само стойностите на функцията и плътността на нормализираното нормално разпределение за дадено z, но също и стойностите на общата функция на нормалното разпределение, тъй като:

; (9)

. 10)

В много проблеми, свързани с нормално разпределени случайни променливи, е необходимо да се определи вероятността за попадение на случайна променлива х, подчинени на нормалния закон с параметри m и s, до определена област. Такъв сайт може да бъде например поле за толеранс за параметър от горната стойност Uдо дъното Л.

Вероятността да попаднете в интервала от х 1 към х 2 може да се определи по формулата:

По този начин вероятността за попадение на случайна променлива (стойност на параметър) хв полето на толеранс се определя по формулата

Нормална дистрибуция ( нормална дистрибуция) - играе важна роля при анализа на данни.

Понякога вместо термина нормално разпространениеизползвайте термина Гаусово разпределениев чест на К. Гаус (по-стари термини, които практически не се използват сега: закон на Гаус, разпределение на Гаус-Лаплас).

Едномерно нормално разпределение

Нормалното разпределение има плътност::

В тази формула фиксираните параметри, - средно аритметично, - стандартен отклонение.

Дадени са графики на плътност за различни параметри.

Характеристичната функция на нормалното разпределение има формата:

Разграничаване на характерната функция и настройка t = 0, получаваме моменти от всякакъв ред.

Нормалната крива на плътност на разпределение е симетрична по отношение на и има единичен максимум в тази точка, равен на

Параметърът на стандартното отклонение варира от 0 до ∞.

Средно аритметично варира от -∞ до +∞.

С увеличаването на параметъра кривата се разпространява по оста х, клоняща към 0, се свива около средната стойност (параметърът характеризира разпространението, разсейването).

Когато се промени кривата се измества по оста х(вижте графиките).

Като променяме параметрите и , получаваме различни модели на случайни променливи, които възникват в телефонията.

Типично приложение на нормалния закон при анализа на например телекомуникационни данни е моделирането на сигнали, описание на шум, смущения, грешки, трафик.

Графики на едномерното нормално разпределение

Фигура 1. График на нормална плътност на разпределение: средната стойност е 0, стандартното отклонение е 1

Фигура 2. Диаграма на плътността на стандартното нормално разпределение с области, съдържащи 68% и 95% от всички наблюдения

Фигура 3. Графики на плътност на нормални разпределения с нулева средна стойност и различни отклонения (=0,5, =1, =2)

Фигура 4 Графики на две нормални разпределения N(-2,2) и N(3,2).

Имайте предвид, че центърът на разпределение се е изместил при промяна на параметъра.

Коментирайте

В програма СТАТИСТИКАобозначението N(3,2) се разбира като нормален или Гаусов закон с параметри: средно = 3 и стандартно отклонение =2.

В литературата понякога вторият параметър се тълкува като дисперсия, т.е. квадратстандартно отклонение.

Нормални изчисления на процентни точки на разпределение с вероятностен калкулатор СТАТИСТИКА

Използване на вероятностен калкулатор СТАТИСТИКАвъзможно е да се изчислят различни характеристики на разпределенията, без да се прибягва до тромавите таблици, използвани в старите книги.

Етап 1.Ние стартираме Анализ / Калкулатор на вероятностите / Разпределения.

В секцията за разпространение изберете нормално.

Фигура 5. Стартиране на калкулатора на вероятностното разпределение

Стъпка 2Посочете параметрите, които ни интересуват.

Например, искаме да изчислим 95% квантил на нормално разпределение със средна стойност 0 и стандартно отклонение 1.

Посочете тези параметри в полетата на калкулатора (вижте полетата на калкулатора средна стойност и стандартно отклонение).

Нека въведем параметъра p=0,95.

Квадратче за отметка „Обратно f.r.“. ще се покаже автоматично. Поставете отметка в квадратчето „Графика“.

Кликнете върху бутона "Изчисли" в горния десен ъгъл.

Фигура 6. Настройка на параметър

Стъпка 3В полето Z получаваме резултата: стойността на квантила е 1,64 (вижте следващия прозорец).

Фигура 7. Преглед на резултата от калкулатора

Фигура 8. Графики на функции на плътност и разпределение. Прав x=1,644485

Фигура 9. Графики на функцията на нормалното разпределение. Вертикални пунктирани линии - x=-1.5, x=-1, x=-0.5, x=0

Фигура 10. Графики на функцията на нормалното разпределение. Вертикални пунктирани линии - x=0.5, x=1, x=1.5, x=2

Оценка на параметрите на нормалното разпределение

Стойностите на нормалното разпределение могат да бъдат изчислени с помощта на интерактивен калкулатор.

Двумерно нормално разпределение

Едномерното нормално разпределение се обобщава естествено до двуизмереннормална дистрибуция.

Например, ако разглеждате сигнал само в една точка, тогава ви е достатъчно едномерно разпределение, в две точки - двумерно разпределение, в три точки - триизмерно разпределение и т.н.

Общата формула за двумерното нормално разпределение е:

Къде е двойната корелация между x1и x2;

x1съответно;

Средно и стандартно отклонение на променлива x2съответно.

Ако случайни променливи X 1и X 2са независими, тогава корелацията е 0, = 0, съответно средният член в експонентата изчезва и имаме:

f(x 1,x 2) = f(x 1)*f(x 2)

За независими величини двумерната плътност се разлага на произведението на две едномерни плътности.

Двумерни диаграми на нормална плътност

Фигура 11. График на плътност на двумерно нормално разпределение (нулев среден вектор, единична ковариационна матрица)

Фигура 12. Разрез на графиката на плътността на двумерното нормално разпределение с равнината z=0.05

Фигура 13. Диаграма на плътността на двумерното нормално разпределение (вектор с нулево очакване, ковариационна матрица с 1 на главния диагонал и 0,5 на страничния диагонал)

Фигура 14. Напречно сечение на 2D диаграма на нормална плътност (нулев вектор на очакване, ковариационна матрица с 1 на главния диагонал и 0,5 на страничния диагонал) от равнината z= 0,05

Фигура 15. График на плътност на двумерно нормално разпределение (вектор с нулево очакване, ковариационна матрица с 1 на главния диагонал и -0,5 на страничния диагонал)

Фигура 16. Напречно сечение на диаграмата на плътността на двумерното нормално разпределение (вектор с нулево очакване, ковариационна матрица с 1 на главния диагонал и -0,5 на страничния диагонал) от равнината z=0,05

Фигура 17. Напречни сечения на графики на 2D нормални плътности на разпределение по равнина z=0,05

За по-добро разбиране на двумерното нормално разпределение опитайте следния проблем.

Задача. Погледнете графиката на двумерното нормално разпределение. Помислете, може ли да се представи като ротация на графика на едномерно нормално разпределение? Кога трябва да приложите техниката на деформация?

На практика повечето случайни променливи, които се влияят от голям брой случайни фактори, се подчиняват на нормалния закон за разпределение на вероятностите. Следователно в различни приложения на теорията на вероятностите този закон е от особено значение.

Случайна променлива $X$ се подчинява на нормалния закон за разпределение на вероятностите, ако нейната плътност на разпределение на вероятностите има следната форма

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

Схематично графиката на функцията $f\left(x\right)$ е показана на фигурата и носи името "крива на Гаус". Вдясно от тази графика е германската банкнота от 10 марки, която е била в употреба още преди въвеждането на еврото. Ако се вгледате внимателно, тогава на тази банкнота можете да видите кривата на Гаус и нейния откривател, най-великият математик Карл Фридрих Гаус.

Нека се върнем към нашата функция за плътност $f\left(x\right)$ и да дадем известно обяснение за параметрите на разпределението $a,\ (\sigma )^2$. Параметърът $a$ характеризира центъра на дисперсия на стойностите на случайната променлива, т.е. има значението на математическото очакване. Когато параметърът $a$ се промени и параметърът $(\sigma )^2$ остане непроменен, можем да наблюдаваме изместване на графиката на функцията $f\left(x\right)$ по абсцисната ос, докато плътността самата графика не променя формата си.

Параметърът $(\sigma )^2$ е дисперсията и характеризира формата на кривата на плътност $f\left(x\right)$. Когато променяме параметъра $(\sigma )^2$ с непроменен параметър $a$, можем да наблюдаваме как графиката на плътността променя формата си, като се свива или разтяга, без да се измества по абсцисата.

Вероятност случайна променлива с нормално разпределение да попадне в даден интервал

Както е известно, вероятността случайна променлива $X$ да попадне в интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ може да се изчисли $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\наляво(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

Тук функцията $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ е Функция на Лаплас. Стойностите на тази функция са взети от. Могат да бъдат отбелязани следните свойства на функцията $\Phi \left(x\right)$.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, т.е. функцията $\Phi \left(x\right)$ е нечетна.

2 . $\Phi \left(x\right)$ е монотонно нарастваща функция.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0,5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ ляво(x\дясно)\ )=-0,5$.

За да изчислите стойностите на функцията $\Phi \left(x\right)$, можете също да използвате съветника за функция $f_x$ на пакета Excel: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left (x;0;1;1\right )-0,5$. Например, нека изчислим стойностите на функцията $\Phi \left(x\right)$ за $x=2$.

Вероятността случайна променлива с нормално разпределение $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ да попадне в интервал, симетричен по отношение на очакването $a$, може да се изчисли по формулата

$$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

Правилото на трите сигми. Практически е сигурно, че нормално разпределена случайна променлива $X$ попада в интервала $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$.

Пример 1 . Случайната променлива $X$ се подчинява на нормалния закон за разпределение на вероятностите с параметри $a=2,\ \sigma =3$. Намерете вероятността $X$ да попадне в интервала $\left(0,5;1\right)$ и вероятността неравенството $\left|X-a\right|< 0,2$.

Използване на формулата

$$P\наляво(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

намери $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0,5-2)\ над (3))\right)=\Phi \left(-0,33\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,5\right)-\Phi \ left(0,33\right) =0,191-0,129=$0,062.

$$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

Пример 2 . Да предположим, че през годината цената на акциите на определена компания е случайна променлива, разпределена по нормалния закон с математическо очакване, равно на 50 конвенционални парични единици, и стандартно отклонение, равно на 10. Каква е вероятността при произволно избрана ден от обсъждания период, цената на акцията ще бъде:

а) повече от 70 конвенционални парични единици?

б) под 50 на акция?

в) между 45 и 58 условни парични единици на акция?

Нека случайната променлива $X$ е цената на акциите на някаква компания. По условие $X$ подлежи на нормално разпределение с параметри $a=50$ - математическо очакване, $\sigma =10$ - стандартно отклонение. Вероятност $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\наляво(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$a)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ над (10))\вдясно)=0,5-\Фи \вляво(2\вдясно)=0,5-0,4772=0,0228.$$

$$b)\ P\left(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$c)\ P\left(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$