Кубове в космоса. Тесеракт и n-мерните кубове като цяло. Хиперкуб в изкуството

Ако сте фен на филмите за Отмъстителите, първото нещо, което може да ви хрумне, когато чуете думата "Тесеракт", е прозрачният съд с форма на куб на Камъка на безкрайността, съдържащ неограничена сила.

За феновете на Вселената на Марвел, Тесерактът е светещ син куб, който кара хората не само от Земята, но и от други планети да полудяват. Ето защо всички Отмъстители се събраха, за да защитят земляните от изключително разрушителните сили на Тесеракта.

Но трябва да се каже следното: Тесерактът е действителна геометрична концепция или по-точно форма, която съществува в 4D. Това не е просто син куб от Отмъстителите... това е истинска концепция.

Тесерактът е обект в 4 измерения. Но преди да го обясним подробно, нека започнем отначало.

Какво е "измерване"?

Всеки човек е чувал термините 2D и 3D, представляващи съответно двуизмерни или триизмерни обекти в пространството. Но какви са тези?

Измерението е просто посока, в която можете да вървите. Например, ако рисувате линия върху лист хартия, можете да отидете наляво/надясно (ос x) или нагоре/надолу (ос y). Затова казваме, че хартията е двуизмерна, защото можете да вървите само в две посоки.

Има усещане за дълбочина в 3D.

Сега, в реалния свят, освен двете посоки, споменати по-горе (наляво/надясно и нагоре/надолу), можете също да отидете „към/от“. Следователно към 3D пространството се добавя усещане за дълбочина. Затова казваме това Истински живот 3-измерен.

Точка може да представлява 0 измерения (тъй като не се движи в никаква посока), линия представлява 1 измерение (дължина), квадрат представлява 2 измерения (дължина и ширина), а куб представлява 3 измерения (дължина, ширина и височина ).

Вземете 3D куб и заменете всяко от лицата му (които в момента са квадрати) с куб. И така! Формата, която получавате, е тесеракт.

Какво е тесеракт?

Най-просто казано, тесерактът е куб в 4-измерно пространство. Можете също така да кажете, че това е 4D аналог на куб. Това е 4D форма, където всяко лице е куб.

3D проекция на тесеракт, извършващ двойно завъртане около две ортогонални равнини.
Изображение: Джейсън Хийс

Ето един прост начин за концептуализиране на измеренията: квадратът е двуизмерен; следователно всеки от неговите ъгли има 2 линии, простиращи се от него под ъгъл от 90 градуса една спрямо друга. Кубът е 3D, така че всеки от неговите ъгли има 3 линии, идващи от него. По същия начин тесерактът е 4D форма, така че всеки ъгъл има 4 линии, простиращи се от него.

Защо е трудно да си представим тесеракт?

Тъй като ние като хора сме се развили да визуализираме обекти в три измерения, всичко, което влиза в допълнителни измерения като 4D, 5D, 6D и т.н., няма много смисъл за нас, защото изобщо не можем да ги представим. Нашият мозък не може да разбере 4-тото измерение в космоса. Просто не можем да мислим за това.

Веднага след като успях да изнеса лекции след операцията, първият въпрос, който студентите зададоха беше:

Кога ще ни нарисувате 4-измерен куб? Иляс Абдулхаевич ни обеща!

Спомням си, че моите скъпи приятели понякога харесват момент на математически образователни дейности. Затова тук ще напиша част от моята лекция за математици. И ще пробвам без да съм скучен. В някои моменти чета лекцията по-стриктно, разбира се.

Нека първо се споразумеем. 4-измерното и още повече 5-6-7- и изобщо k-измерното пространство не ни е дадено в сетивните усещания.
„Ние сме нещастни, защото сме само триизмерни“, както каза моят учител в неделното училище, който пръв ми каза какво е 4-измерен куб. Неделното училище естествено беше изключително религиозно-математическо. По това време учехме хиперкубове. Седмица преди това математическа индукция, седмица след това Хамилтонови цикли в графики - съответно това е 7 клас.

Не можем да докоснем, помиришем, чуем или видим 4-измерен куб. Какво можем да направим с него? Можем да си го представим! Защото нашият мозък е много по-сложен от нашите очи и ръце.

И така, за да разберем какво е 4-измерен куб, нека първо разберем какво ни е на разположение. Какво е триизмерен куб?

ДОБРЕ ДОБРЕ! Не ви моля за ясна математическа дефиниция. Само си представете най-простия и обикновен триизмерен куб. Въведени?

Глоба.
За да разберем как да обобщим 3-измерен куб в 4-измерно пространство, нека да разберем какво е 2-измерен куб. Толкова е просто - това е квадрат!

Квадратът има 2 координати. Кубът има три. Квадратните точки са точки с две координати. Първата е от 0 до 1. А втората е от 0 до 1. Точките на куба имат три координати. И всяко е произволно число от 0 до 1.

Логично е да си представим, че 4-измерният куб е нещо, което има 4 координати и всичко е от 0 до 1.

/* Веднага е логично да си представим едномерен куб, който не е нищо повече от обикновен сегмент от 0 до 1. */

И така, чакайте, как се начертава 4-измерен куб? В крайна сметка не можем да начертаем 4-измерно пространство на равнина!
Но ние също не рисуваме триизмерно пространство на равнина, ние го рисуваме проекциявърху двуизмерна чертожна равнина. Поставяме третата координата (z) под ъгъл, като си представяме, че оста от чертожната равнина върви „към нас“.

Сега е напълно ясно как да нарисувате 4-измерен куб. По същия начин, по който позиционирахме третата ос под определен ъгъл, нека вземем четвъртата ос и също я позиционираме под определен ъгъл.
И – готово! -- проекция на 4-измерен куб върху равнина.

Какво? Какво е това все пак? Винаги чувам шепот от задните бюра. Нека обясня по-подробно какво представлява тази бъркотия от редове.
Първо погледнете триизмерния куб. какво направихме Взехме квадрата и го плъзнахме по третата ос (z). Това е като много, много хартиени квадрати, залепени заедно в купчина.
Същото е и с 4-измерен куб. Нека наречем четвъртата ос, за удобство и за научна фантастика, „времевата ос“. Трябва да вземем обикновен триизмерен куб и да го преместим през времето от времето „сега“ до времето „след час“.

Имаме куб "сега". На снимката е розово.

И сега го плъзгаме по четвъртата ос - по времевата ос (показах го в зелено). И получаваме куба на бъдещето - син.

Всеки връх на „куба сега“ оставя следа във времето - сегмент. Свързвайки нейното настояще с нейното бъдеще.

Накратко, без текст: начертахме два еднакви триизмерни куба и свързахме съответните върхове.
Точно както направиха с 3-измерен куб (начертайте 2 еднакви 2-измерни куба и свържете върховете).

За да начертаете 5-измерен куб, ще трябва да начертаете две копия на 4-измерен куб (4-измерен куб с пета координата 0 и 4-измерен куб с пета координата 1) и да свържете съответните върхове с ръбове. Вярно е, че в самолета ще има такава бъркотия от ръбове, че ще бъде почти невъзможно да се разбере нищо.

След като сме си представили 4-измерен куб и дори сме успели да го нарисуваме, можем да го изследваме по различни начини. Не забравяйте да го изследвате както в ума си, така и от картината.
Например. Двумерен куб е ограничен от 4 страни с едномерни кубове. Това е логично: за всяка от 2-те координати има както начало, така и край.
Триизмерен куб е ограничен от 6 страни с двуизмерни кубове. За всяка от трите координати има начало и край.
Това означава, че един 4-измерен куб трябва да бъде ограничен от осем 3-измерни куба. За всяка от 4-те координати - от двете страни. На фигурата по-горе ясно виждаме 2 лица, които го ограничават по времевата координата.

Ето два куба (те са леко наклонени, защото имат 2 измерения, проектирани върху равнината под ъгъл), ограничаващи нашия хиперкуб отляво и отдясно.

Също така лесно се забелязват „горни“ и „долни“.

Най-трудното е да разберете визуално къде са „отпред“ и „отзад“. Предният започва от предния ръб на „куба сега“ и до предния ръб на „куба на бъдещето“ - той е червен. Задната е лилава.

Те са най-трудни за забелязване, защото други кубове са заплетени под краката, които ограничават хиперкуба в различна проектирана координата. Но имайте предвид, че кубовете все още са различни! Ето отново снимката, където са осветени „кубът на настоящето“ и „кубът на бъдещето“.

Разбира се, възможно е да проектирате 4-измерен куб в 3-измерно пространство.
Първият възможен пространствен модел е ясен как изглежда: трябва да вземете 2 кубични рамки и да свържете съответните им върхове с нов ръб.
В момента нямам този модел в наличност. На лекцията показвам на студентите малко по-различен триизмерен модел на 4-измерен куб.

Знаете как един куб се проектира върху равнина като тази.
Все едно гледаме куб отгоре.

Близкият ръб, разбира се, е голям. И далечният край изглежда по-малък, виждаме го през близкия.

Ето как можете да проектирате 4-измерен куб. Сега кубът е по-голям, виждаме куба на бъдещето в далечината, така че изглежда по-малък.

От друга страна. От горната страна.

Директно точно от страната на ръба:

От страната на ребрата:

И последният ъгъл, асиметричен. От раздела „кажи ми, че погледнах между ребрата му“.

Е, тогава можете да измислите всичко. Например, точно както има развитие на 3-измерен куб върху равнина (това е като да изрежете лист хартия, така че когато го сгънете, да получите куб), същото се случва с развитието на 4-измерен куб в пространство. Все едно да изрежем парче дърво, така че като го сгънем в 4-измерно пространство, да получим тесеракт.

Можете да изучавате не само 4-измерен куб, но и n-измерни кубове като цяло. Например, вярно ли е, че радиусът на сфера, описана около n-мерен куб, е по-малък от дължината на ръба на този куб? Или ето един по-прост въпрос: колко върха има един n-мерен куб? Колко ръба (едномерни лица)?

В геометрията хиперкуб- Това н-дименсионална аналогия на квадрат ( н= 2) и куб ( н= 3). Това е затворена изпъкнала фигура, състояща се от групи успоредни линии, разположени на противоположните краища на фигурата и свързани една с друга под прав ъгъл.

Тази фигура е известна още като тесеракт(тесеракт). Тесерактът е спрямо куба, както кубът е спрямо квадрата. По-формално, тесерактът може да бъде описан като правилен изпъкнал четириизмерен политоп (многостен), чиято граница се състои от осем кубични клетки.

Според Оксфордския английски речник думата "тесеракт" е измислена през 1888 г. от Чарлз Хауърд Хинтън и е използвана в книгата му "Нова ера на мисълта". Думата произлиза от гръцката "τεσσερες ακτινες" ("четири лъча"), под формата на четири координатни оси. Освен това в някои източници се нарича същата фигура тетракуб(тетракуб).

н-дименсионален хиперкуб се нарича още n-куб.

Точката е хиперкуб с размерност 0. Ако преместите точката с единица дължина, получавате сегмент с единица дължина - хиперкуб с размерност 1. Освен това, ако преместите сегмента с единица дължина в перпендикулярна посока спрямо посоката на сегмента, получавате куб - хиперкуб с размерност 2. Премествайки квадрата с единица дължина в посока, перпендикулярна на равнината на квадрата, се получава куб - хиперкуб с размерност 3. Този процес може да се обобщи за произволен брой измерения. Например, ако преместите куб с една единица дължина в четвъртото измерение, ще получите тесеракт.

Семейството на хиперкубите е един от малкото правилни полиедри, които могат да бъдат представени във всяко измерение.

Елементи на хиперкуб

Измерителен хиперкуб нима 2 н„страни“ (едномерна линия има 2 точки; двумерен квадрат има 4 страни; триизмерен куб има 6 лица; четириизмерен тесеракт има 8 клетки). Броят на върховете (точките) на хиперкуба е 2 н(например за куб - 2 3 върха).

Количество м-мерни хиперкубове на границата н-куб е равен

Например, на границата на хиперкуб има 8 куба, 24 квадрата, 32 ръба и 16 върха.

Елементи на хиперкубове

n-куб	Име	Вертекс (0-лице)	Ръб, край (1 лице)	Ръб, край (2 лица)	клетка (3 лица)	(4 лица)	(5 лица)	(6-странен)	(7 лица)	(8 лица)
0-куб	Точка	1
1-куб	Линеен сегмент	2	1
2-куб	Квадрат	4	4	1
3-куб	куб	8	12	6	1
4-куб	Тесеракт	16	32	24	8	1
5-куб	Пентеракт	32	80	80	40	10	1
6-куб	Хексеракт	64	192	240	160	60	12	1
7-куб	Хептеракт	128	448	672	560	280	84	14	1
8-куб	Октеракт	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-куб	Ененеракт	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Проекция върху равнина

Формирането на хиперкуб може да бъде представено по следния начин:

Две точки A и B могат да бъдат свързани, за да образуват отсечка AB.
Две успоредни отсечки AB и CD могат да бъдат свързани, за да образуват квадрат ABCD.
Два успоредни квадрата ABCD и EFGH могат да бъдат свързани, за да образуват куб ABCDEFGH.
Два успоредни куба ABCDEFGH и IJKLMNOP могат да бъдат свързани, за да образуват хиперкуб ABCDEFGHIJKLMNOP.

Последната структура не е лесна за визуализиране, но е възможно да се изобрази нейната проекция в двуизмерно или триизмерно пространство. Освен това, проекциите върху двуизмерна равнина могат да бъдат по-полезни, като позволяват позициите на проектираните върхове да бъдат пренаредени. В този случай е възможно да се получат изображения, които вече не отразяват пространствените отношения на елементите в рамките на тесеракта, но илюстрират структурата на върховите връзки, както в примерите по-долу.

Първата илюстрация показва как по принцип се образува тесеракт чрез свързване на два куба. Тази схема е подобна на схемата за създаване на куб от два квадрата. Втората диаграма показва, че всички ръбове на тесеракта са с еднаква дължина. Тази схема също ви принуждава да търсите кубчета, свързани помежду си. В третата диаграма върховете на тесеракта са разположени в съответствие с разстоянията по лицата спрямо долната точка. Тази схема е интересна, защото се използва като основна схема за мрежовата топология на свързващите процесори при организиране на паралелни изчисления: разстоянието между всеки два възела не надвишава 4 дължини на ръба и има много различни пътища за балансиране на натоварването.

Хиперкуб в изкуството

Хиперкубът се появява в научнофантастичната литература от 1940 г., когато Робърт Хайнлайн в разказа „И той построи крива къща“ описва къща, построена във формата на тесеракт. В историята, тази Следваща, тази къща се срутва, превръщайки се в четириизмерен тесеракт. След това хиперкубът се появява в много книги и разкази.

Филмът Cube 2: Hypercube е за осем души, хванати в капан в мрежа от хиперкубове.

Картината на Салвадор Дали „Разпятие (Corpus Hypercubus)“, 1954 г., изобразява Исус разпънат на тесеракт. Тази картина може да се види в Музея на изкуствата Метрополитън в Ню Йорк.

Заключение

Хиперкубът е един от най-простите четириизмерни обекти, от който може да се види сложността и необичайността на четвъртото измерение. И това, което изглежда невъзможно в три измерения, е възможно в четири, например, невъзможни фигури. Така например лентите на невъзможен триъгълник в четири измерения ще бъдат свързани под прав ъгъл. И тази фигура ще изглежда така от всички точки на гледане и няма да бъде изкривена, за разлика от реализациите на невъзможен триъгълник в триизмерното пространство (вижте.

Бакаляр Мария

Изучават се методи за въвеждане на понятието четиримерен куб (тесеракт), неговата структура и някои свойства триизмерни обектисе получават чрез пресичане на четириизмерен куб с хиперравнини, успоредни на неговите триизмерни лица, както и хиперравнини, перпендикулярни на главния му диагонал. Разгледан е апаратът на многомерната аналитична геометрия, използван за изследване.

Изтегли:

Преглед:

Въведение………………………………………………………………………………….2

Основна част……………………………………………………………..4

Заключения………….. …………………………………………………………..12

Препратки…………………………………………………………..13

Въведение

Четириизмерното пространство отдавна привлича вниманието както на професионални математици, така и на хора, далеч от изучаването на тази наука. Интересът към четвъртото измерение може да се дължи на предположението, че нашият триизмерен свят е „потопен“ в четириизмерното пространство, точно както равнината е „потопена“ в триизмерното пространство, правата линия е „потопена“ в равнина, а точка е в права линия. Освен това четириизмерното пространство играе важна роля в съвременна теорияотносителността (т.нар. пространство-време или пространство на Минковски), и може да се разглежда и като частен случайразмерно евклидово пространство (с).

Четириизмерният куб (тесеракт) е обект в четириизмерното пространство, който има максимално възможното измерение (точно както обикновеният куб е обект в триизмерното пространство). Обърнете внимание, че той също е от пряк интерес, а именно може да се появи при проблеми с оптимизацията линейно програмиране(като област, в която се намира минимумът или максимумът на линейна функция на четири променливи), а също така се използва в цифровата микроелектроника (при програмиране на работата на дисплей на електронен часовник). В допълнение, самият процес на изучаване на четириизмерен куб допринася за развитието на пространственото мислене и въображение.

Следователно изследването на структурата и специфичните свойства на четириизмерен куб е доста уместно. Заслужава да се отбележи, че по отношение на структурата четириизмерният куб е проучен доста добре. Много по-интересен е характерът на неговите сечения от различни хиперравнини. По този начин основната цел на тази работа е да се изследва структурата на тесеракта, както и да се изясни въпросът какви триизмерни обекти ще се получат, ако четириизмерен куб се разчлени от хиперравнини, успоредни на една от неговите три- размерни лица или чрез хиперравнини, перпендикулярни на главния му диагонал. Хиперравнината в четириизмерното пространство ще се нарича триизмерно подпространство. Можем да кажем, че права линия в равнина е едномерна хиперравнина, равнина в триизмерно пространство е двумерна хиперравнина.

Целта определи целите на изследването:

1) Изучаване на основните факти на многомерната аналитична геометрия;

2) Изучаване на характеристиките на конструирането на кубове с размери от 0 до 3;

3) Изучаване на структурата на четириизмерен куб;

4) Аналитично и геометрично описание на четириизмерен куб;

5) Направете модели на разработки и централни проекции на триизмерни и четириизмерни кубове.

6) Използвайки апарата на многомерната аналитична геометрия, опишете триизмерни обекти, получени в резултат на пресичането на четириизмерен куб с хиперравнини, успоредни на една от неговите триизмерни лица, или хиперравнини, перпендикулярни на основния му диагонал.

Получената по този начин информация ще ни позволи да разберем по-добре структурата на тесеракта, както и да идентифицираме дълбоки аналогии в структурата и свойствата на кубовете с различни размери.

Главна част

Първо, описваме математическия апарат, който ще използваме по време на това изследване.

1) Векторни координати: ако, Че

2) Уравнение на хиперравнина с нормален векторизглежда тук

3) Самолети и са успоредни тогава и само ако

4) Разстоянието между две точки се определя по следния начин: ако, Че

5) Условие за ортогоналност на векторите:

Първо, нека разберем как да опишем четириизмерен куб. Това може да стане по два начина - геометричен и аналитичен.

Ако говорим за геометричния метод на уточняване, тогава е препоръчително да се проследи процесът на конструиране на кубове, като се започне от нулево измерение. Куб с нулево измерение е точка (имайте предвид, между другото, че точка може да играе ролята и на топка с нулево измерение). След това въвеждаме първото измерение (оста x) и на съответната ос отбелязваме две точки (два нулеви куба), разположени на разстояние 1 една от друга. Резултатът е сегмент - едномерен куб. Веднага да отбележим характерна особеност: Границата (краищата) на едномерен куб (сегмент) са два нулевомерни куба (две точки). След това въвеждаме второто измерение (ординатната ос) и в равнинатаНека построим два едномерни куба (два сегмента), краищата на които са на разстояние 1 един от друг (всъщност единият сегмент е ортогонална проекция на другия). Свързвайки съответните краища на сегментите, получаваме квадрат - двуизмерен куб. Отново имайте предвид, че границата на двуизмерен куб (квадрат) е четири едноизмерни куба (четири сегмента). Накрая въвеждаме третото измерение (приложната ос) и конструираме в пространствотодва квадрата по такъв начин, че единият от тях да е ортогонална проекция на другия (съответните върхове на квадратите са на разстояние 1 един от друг). Нека свържем съответните върхове с сегменти - получаваме триизмерен куб. Виждаме, че границата на триизмерен куб е шест двуизмерни куба (шест квадрата). Описаните конструкции ни позволяват да идентифицираме следния модел: на всяка стъпкаразмерният куб се „движи, оставяйки следа“ визмерване на разстояние 1, докато посоката на движение е перпендикулярна на куба. Формалното продължение на този процес ни позволява да стигнем до концепцията за четириизмерен куб. А именно, ще принудим триизмерния куб да се движи в посока на четвъртото измерение (перпендикулярно на куба) на разстояние 1. Действайки подобно на предишния, тоест чрез свързване на съответните върхове на кубовете, ще получим четириизмерен куб. Трябва да се отбележи, че геометрично такава конструкция в нашето пространство е невъзможна (тъй като е триизмерна), но тук не срещаме никакви противоречия от логическа гледна точка. Сега нека преминем към аналитичното описание на четириизмерен куб. Също така се получава формално, чрез аналогия. И така, аналитичната спецификация на единичен куб с нулево измерение има формата:

Аналитичната задача на едномерен единичен куб има формата:

Аналитичната задача на двумерен единичен куб има формата:

Аналитичната задача на тримерен единичен куб има формата:

Сега е много лесно да се даде аналитично представяне на четириизмерен куб, а именно:

Както виждаме, както геометричните, така и аналитичните методи за дефиниране на четириизмерен куб използват метода на аналогиите.

Сега, използвайки апарата на аналитичната геометрия, ще разберем каква е структурата на четириизмерен куб. Първо, нека разберем какви елементи включва. Тук отново можем да използваме аналогия (да изложим хипотеза). Границите на едномерен куб са точки (нулеви кубове), на двумерен куб - сегменти (едномерни кубове), на тримерен куб - квадрати (двумерни лица). Може да се приеме, че границите на тесеракта са триизмерни кубове. За да докажем това, нека изясним какво се разбира под върхове, ръбове и лица. Върховете на куб са неговите ъглови точки. Тоест координатите на върховете могат да бъдат нули или единици. Така се разкрива връзка между размера на куба и броя на неговите върхове. Нека приложим правилото за комбинаторно произведение - тъй като върхаизмерен куб има точнокоординати, всяка от които е равна на нула или единица (независимо от всички останали), тогава общо имавърхове По този начин за всеки връх всички координати са фиксирани и могат да бъдат равни наили . Ако фиксираме всички координати (поставяйки всяка от тях еднакваили , независимо от останалите), с изключение на една, получаваме прави линии, съдържащи ръбовете на куба. Подобно на предишния, можете да преброите, че има точнонеща. И ако сега фиксираме всички координати (поставяйки всяка от тях еднакваили , независимо от останалите), с изключение на някои две, получаваме равнини, съдържащи двумерни лица на куба. Използвайки правилото на комбинаториката, намираме, че има точнонеща. След това по същия начин - фиксиране на всички координати (поставяне на всяка от тях равнаили , независимо от останалите), с изключение на някои три, получаваме хиперравнини, съдържащи триизмерни лица на куба. По същото правило изчисляваме броя им - точнои т.н. Това ще бъде достатъчно за нашите изследвания. Нека приложим получените резултати към структурата на четириизмерен куб, а именно във всички получени формули, които поставяме. Следователно четириизмерният куб има: 16 върха, 32 ръба, 24 двуизмерни лица и 8 триизмерни лица. За по-голяма яснота нека дефинираме аналитично всички негови елементи.

Върхове на четириизмерен куб:

Ръбове на четириизмерен куб ():

Двуизмерни лица на четириизмерен куб (подобни ограничения):

Триизмерни лица на четириизмерен куб (подобни ограничения):

Сега, след като структурата на четириизмерния куб и методите за дефинирането му са описани достатъчно подробно, нека преминем към изпълнението на основната цел - да изясним природата на различните секции на куба. Да започнем с елементарния случай, когато сеченията на куба са успоредни на една от неговите триизмерни стени. Например, разгледайте неговите сечения с хиперравнини, успоредни на лицетоОт аналитичната геометрия е известно, че всяко такова сечение ще бъде дадено от уравнениетоНека дефинираме аналитично съответните секции:

Както виждаме, получихме аналитична спецификация за триизмерен единичен куб, лежащ в хиперравнина

За да установим аналогия, нека напишем сечението на триизмерен куб с равнинаПолучаваме:

Това е квадрат, разположен в равнина. Аналогията е очевидна.

Сечения на четиримерен куб с хиперравнинидават напълно сходни резултати. Това също ще бъдат единични триизмерни кубове, разположени в хиперравнинисъответно.

Сега нека разгледаме разрези на четириизмерен куб с хиперравнини, перпендикулярни на главния му диагонал. Първо, нека решим тази задача за триизмерен куб. Използвайки описания по-горе метод за определяне на единичен триизмерен куб, той заключава, че като главен диагонал може да се вземе например сегмент с краищаИ . Това означава, че векторът на главния диагонал ще има координати. Следователно уравнението на всяка равнина, перпендикулярна на главния диагонал, ще бъде:

Нека да определим границите на промяна на параметъра. защото , тогава, добавяйки тези неравенства член по член, получаваме:

Или .

Ако , тогава (поради ограничения). По същия начин - ако, Че . И така, кога и кога режещата равнина и кубът имат точно една обща точка (И съответно). Сега нека отбележим следното. Ако(отново поради променливи ограничения). Съответните равнини пресичат едновременно три лица, тъй като в противен случай сечащата равнина би била успоредна на една от тях, което не се случва според условието. Ако, тогава равнината пресича всички лица на куба. Ако, тогава равнината пресича лицата. Нека представим съответните изчисления.

Позволявам След това самолетътпресича линиятапо права линия и. Освен това ръбът. Ръб, край равнината се пресича по права линия, и

Позволявам След това самолетътпреминава границата:

ръб в права линия и .

Този път получаваме шест сегмента, които имат последователно общи краища:

Позволявам След това самолетътпресича линиятапо права линия и . Ръб, край равнината се пресича по права линия, и . Ръб, край равнината се пресича по права линия, и . Тоест получаваме три сегмента, които имат по двойки общи краища:По този начин за посочените стойности на параметъраравнината ще пресича куба по правилен триъгълник с върхове

И така, ето изчерпателно описание на равнинните фигури, получени, когато кубът е пресечен от равнина, перпендикулярна на главния му диагонал. Основната идея беше следната. Необходимо е да се разбере кои лица пресича равнината, по кои множества ги пресича и как тези множества са свързани помежду си. Например, ако се окаже, че равнината пресича точно три стени по сегменти, които имат по двойки общи краища, тогава сечението е равностранен триъгълник (което се доказва чрез директно изчисляване на дължините на сегментите), чиито върхове са тези краища на сегментите.

Използвайки същия апарат и същата идея за изучаване на раздели, следните факти могат да бъдат изведени по напълно аналогичен начин:

1) Векторът на един от главните диагонали на четиримерен единичен куб има координатите

2) Всяка хиперравнина, перпендикулярна на главния диагонал на четириизмерен куб, може да бъде записана във формата.

3) В уравнението на секуща хиперравнина, параметърътможе да варира от 0 до 4;

4) Когато и секуща хиперравнина и четириизмерен куб имат една обща точка (И съответно);

5) Кога напречното сечение ще създаде правилен тетраедър;

6) Кога в напречно сечение резултатът ще бъде октаедър;

7) Кога напречното сечение ще произведе правилен тетраедър.

Съответно, тук хиперравнината пресича тесеракта по равнина, върху която поради ограниченията на променливите е разпределена триъгълна област (аналогия - равнината пресича куба по права линия, върху която поради ограниченията на променливи, беше разпределен сегмент). В случай 5) хиперравнината пресича точно четири триизмерни лица на тесеракта, т.е. получават се четири триъгълника, които имат по двойки общи страни, с други думи, образуват тетраедър (как може да се изчисли е правилно). В случай 6) хиперравнината пресича точно осем триизмерни лица на тесеракта, т.е. получават се осем триъгълника, които имат последователно общи страни, с други думи, образувайки октаедър. Случай 7) е напълно подобен на случай 5).

Нека илюстрираме казаното конкретен пример. А именно, изучаваме сечението на четиримерен куб с хиперравнинаПоради променливи ограничения, тази хиперравнина пресича следните триизмерни лица:Ръб, край се пресича по равнинаПоради ограниченията на променливите имаме:Получаваме триъгълна област с върховеОсвен това,получаваме триъгълникКогато хиперравнина пресича лицеполучаваме триъгълникКогато хиперравнина пресича лицеполучаваме триъгълникПо този начин върховете на тетраедъра имат следните координати. Както е лесно да се изчисли, този тетраедър наистина е правилен.

заключения

И така, в процеса на това изследване бяха проучени основните факти на многомерната аналитична геометрия, бяха проучени характеристиките на конструиране на кубове с размери от 0 до 3, структурата на четириизмерен куб беше проучена, четириизмерен куб беше проучен аналитично и геометрично описани, направени са модели на разработки и централни проекции на триизмерни и четириизмерни кубове, триизмерни кубове са аналитично описани обекти, получени в резултат на пресичането на четириизмерен куб с хиперравнини, успоредни на една от неговите три- размерни лица или с хиперравнини, перпендикулярни на главния му диагонал.

Проведеното изследване позволи да се идентифицират дълбоки аналогии в структурата и свойствата на кубчета с различни размери. Използваната техника на аналогия може да се приложи в изследванията, напр.дименсионална сфера илиразмерен симплекс. а именноедна размерна сфера може да се дефинира като набор от точкипространствено измерение, равноотдалечено от дадена точка, което се нарича център на сферата. Освен това,размерен симплекс може да се дефинира като частпространствено пространство, ограничено от минималния бройразмерни хиперравнини. Например, едномерен симплекс е сегмент (част от едномерно пространство, ограничено от две точки), двумерен симплекс е триъгълник (част от двумерно пространство, ограничено от три линии), a триизмерният симплекс е тетраедър (част от триизмерното пространство, ограничено от четири равнини). накраяние дефинираме размерния симплекс като частпространствено пространство, ограниченохиперравнина на измерение.

Имайте предвид, че въпреки многобройните приложения на тесеракта в някои области на науката, това изследване все още е до голяма степен математическо изследване.

Библиография

1) Бугров Я.С., Николски С.М.Висша математика, том 1 – М.: Дропа, 2005 – 284 с.

2) Квантов. Четириизмерен куб / Дужин С., Рубцов В., № 6, 1986 г.

3) Квантов. Как да рисувам размерен куб / Демидович Н.Б., № 8, 1974 г.

Тесерактът е четириизмерен хиперкуб - куб в четириизмерното пространство.
Според Оксфордския речник думата тесеракт е измислена и използвана през 1888 г. от Чарлз Хауърд Хинтън (1853-1907) в книгата му „Нова ера на мисълта“. По-късно някои наричат същата фигура тетракуб (на гръцки τετρα - четири) - четириизмерен куб.
Един обикновен тесеракт в евклидовото четириизмерно пространство се определя като изпъкнала обвивка от точки (±1, ±1, ±1, ±1). С други думи, той може да бъде представен като следния набор:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Тесерактът е ограничен от осем хиперравнини x_i= +- 1, i=1,2,3,4, пресечната точка на които като самият тесеракт го определя триизмерни лица (които са обикновени кубове) Всяка двойка непаралелни триизмерни лица се пресичат, за да образуват двуизмерни лица (квадрати) и т.н. И накрая, тесерактът има 8 триизмерни лица, 24 двуизмерни лица, 32 ръба и 16 върха.
Популярно описание
Нека се опитаме да си представим как ще изглежда един хиперкуб, без да напускаме триизмерното пространство.
В едномерно „пространство“ - на линия - избираме сегмент AB с дължина L. На двумерна равнина на разстояние L от AB, начертаваме успореден на него сегмент DC и свързваме краищата им. Резултатът е квадратна CDBA. Повтаряйки тази операция с равнината, получаваме триизмерен куб CDBAGHFE. И като изместим куба в четвъртото измерение (перпендикулярно на първите три) с разстояние L, получаваме хиперкуба CDBAGHFEKLJIOPNM.
Едномерният сегмент AB служи като страна на двумерния квадрат CDBA, квадратът - като страна на куба CDBAGHFE, който от своя страна ще бъде страната на четиримерния хиперкуб. Отсечката с права линия има две гранични точки, квадратът има четири върха, кубът има осем. Така в четириизмерен хиперкуб ще има 16 върха: 8 върха на оригиналния куб и 8 на изместения в четвъртото измерение. Той има 32 ръба - по 12 дават началната и крайната позиция на оригиналния куб, а други 8 ръба "начертават" неговите осем върха, които са се преместили в четвъртото измерение. Същото разсъждение може да се направи за лицата на хиперкуб. В двумерното пространство има само едно (самият квадрат), кубът има 6 от тях (две лица от преместения квадрат и още четири, които описват страните му). Четиримерен хиперкуб има 24 квадратни лица - 12 квадрата от оригиналния куб в две позиции и 12 квадрата от неговите дванадесет ръба.
Точно както страните на квадрата са 4 едномерни сегмента, а страните (лицата) на куба са 6 двуизмерни квадрата, така и за „четириизмерния куб“ (тесеракт) страните са 8 триизмерни куба . Пространствата на противоположните двойки тесерактни кубове (т.е. триизмерните пространства, към които принадлежат тези кубове) са успоредни. На фигурата това са кубовете: CDBAGHFE и KLJIOPNM, CDBAKLJI и GHFEOPNM, EFBAMNJI и GHDCOPLK, CKIAGOME и DLJBHPNF.
По подобен начин можем да продължим разсъжденията си за хиперкубове с по-голям брой измерения, но е много по-интересно да видим как четириизмерният хиперкуб ще изглежда за нас, жителите на триизмерното пространство. За целта ще използваме вече познатия метод на аналогиите.
Нека вземем теления куб ABCDHEFG и го погледнем с едно око от страната на ръба. Ще видим и можем да начертаем два квадрата на равнината (нейните близки и далечни ръбове), свързани с четири линии - странични ръбове. По същия начин, четириизмерен хиперкуб в триизмерното пространство ще изглежда като две кубични „кутии“, вмъкнати една в друга и свързани с осем ръба. В този случай самите „кутии“ - триизмерни лица - ще бъдат проектирани върху „нашето“ пространство, а линиите, които ги свързват, ще се простират по посока на четвъртата ос. Можете също да опитате да си представите куба не в проекция, а в пространствено изображение.
Точно както триизмерният куб се формира от квадрат, изместен по дължината на лицето си, куб, изместен в четвъртото измерение, ще образува хиперкуб. Той е ограничен от осем куба, които в перспектива ще изглеждат като доста сложна фигура. Самият четириизмерен хиперкуб се състои от безкраен брой кубове, точно както триизмерният куб може да бъде „нарязан“ на безкраен брой плоски квадрати.
Като разрежете шестте лица на триизмерен куб, можете да го разложите на плоска фигура- сканиране. Той ще има квадрат от всяка страна на оригиналното лице плюс още един - лицето срещу него. И триизмерното развитие на четириизмерен хиперкуб ще се състои от оригиналния куб, шест куба, „израстващи“ от него, плюс още един - окончателното „хиперлице“.
Свойствата на тесеракта са продължение на свойствата геометрични формипо-малко измерение в четириизмерно пространство.