Inqilob tanasining hajmini onlayn hisoblang. III Inqilob jismlarining hajmlarini hisoblash. Matematika bo'yicha eng yaxshi beshik. Sifatli. Qo'shimcha hech narsa
Bundan tashqari aniq integral yordamida tekislik figurasining maydonini topish mavzuning eng muhim qo'llanilishi hisoblanadi inqilob jismining hajmini hisoblash. Material oddiy, lekin o'quvchi tayyor bo'lishi kerak: siz hal qila olishingiz kerak noaniq integrallar o'rtacha murakkablik va Nyuton-Leybnits formulasini qo'llang aniq integral . Hududni topish muammosida bo'lgani kabi, sizga ishonchli chizish ko'nikmalari kerak - bu deyarli eng muhim narsa (chunki integrallarning o'zi ko'pincha oson bo'ladi). Uslubiy material yordamida siz malakali va tezkor diagramma usullarini o'zlashtirishingiz mumkin . Lekin, aslida, men darsda bir necha marta chizmalarning ahamiyati haqida gapirganman. .
Umuman olganda, integral hisoblashda juda ko'p qiziqarli ilovalar mavjud; aniq integraldan foydalanib, siz figuraning maydonini, aylanish jismining hajmini, yoy uzunligini, sirt maydonini hisoblashingiz mumkin. tana va boshqalar. Shunday qilib, qiziqarli bo'ladi, iltimos, optimist bo'ling!
Bir oz tasavvur qiling tekis shakl koordinata tekisligida. Tanishtirdi? ... Qiziq, kim nimani taqdim etdi... =))) Biz allaqachon uning maydonini topdik. Ammo, qo'shimcha ravishda, bu raqamni ikki usulda aylantirish va aylantirish mumkin:
– x o'qi atrofida; – ordinata o‘qi atrofida.
Ushbu maqola ikkala holatni ham ko'rib chiqadi. Aylanishning ikkinchi usuli ayniqsa qiziq, u eng ko'p qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi, lekin aslida yechim x o'qi atrofida keng tarqalgan aylanish bilan deyarli bir xil. Bonus sifatida men qaytib kelaman figuraning maydonini topish muammosi , va men sizga maydonni ikkinchi usulda - eksa bo'ylab qanday topishni aytaman. Bu juda ko'p bonus emas, chunki material mavzuga yaxshi mos keladi.
Keling, eng mashhur aylanish turidan boshlaylik.
Yassi figurani o'q atrofida aylantirish natijasida hosil bo'lgan jismning hajmini hisoblash
1-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan figurani eksa atrofida aylantirish natijasida olingan tananing hajmini hisoblang.
Yechim: Hududni topish muammosida bo'lgani kabi, yechim tekis figurani chizish bilan boshlanadi. Ya'ni, tekislikda chiziqlar bilan chegaralangan raqamni qurish kerak va tenglama o'qni ko'rsatishini unutmang. Chizmani qanday qilib samaraliroq va tezroq bajarishni sahifalarda topish mumkin Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari Va Aniq integral. Shaklning maydonini qanday hisoblash mumkin . Bu xitoycha eslatma va bu erda men boshqa to'xtalmayman.
Bu erda rasm chizish juda oddiy:
Kerakli tekis shakl ko'k rangga bo'yalgan, u o'q atrofida aylanadi. Aylanish natijasida, natijada o'qga nisbatan simmetrik bo'lgan bir oz tuxumsimon uchuvchi likopcha paydo bo'ladi. Aslida, tananing matematik nomi bor, lekin men ma'lumotnomaga qarashga dangasaman, shuning uchun biz davom etamiz.
Aylanish jismining hajmini qanday hisoblash mumkin?
Revolyutsiya jismining hajmini quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:
Formulada raqam integraldan oldin bo'lishi kerak. Shunday bo'ldi - hayotda aylanadigan hamma narsa bu doimiy bilan bog'liq.
Menimcha, tugallangan chizmadan "a" va "bo'lish" integratsiyasi chegaralarini qanday belgilashni taxmin qilish oson.
Funksiya... bu funksiya nima? Keling, rasmni ko'rib chiqaylik. Tekislik figurasi yuqoridagi parabola grafigi bilan chegaralangan. Bu formulada nazarda tutilgan funksiya.
Amaliy topshiriqlarda tekis shakl ba'zan eksa ostida joylashgan bo'lishi mumkin. Bu hech narsani o'zgartirmaydi - formuladagi funksiya kvadrat: , shunday qilib inqilob jismining hajmi har doim manfiy emas, bu juda mantiqiy.
Ushbu formuladan foydalanib, aylanish jismining hajmini hisoblaymiz: 
Yuqorida aytib o'tganimdek, integral deyarli har doim oddiy bo'lib chiqadi, asosiysi ehtiyot bo'lishdir.
Javob: 
Javobingizda siz o'lchamni ko'rsatishingiz kerak - kub birliklari. Ya'ni, bizning aylanish tanamizda taxminan 3,35 "kub" mavjud. Nima uchun kub birliklar? Chunki eng universal formula. Kub santimetr bo'lishi mumkin, kub metr bo'lishi mumkin, kub kilometrlar va hokazo bo'lishi mumkin, sizning tasavvuringiz uchib ketadigan likopchaga qancha yashil odam qo'yishi mumkin.
2-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning o'qi atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan jismning hajmini toping, ,
Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. To'liq yechim va javob dars oxirida.
Keling, amaliyotda ham tez-tez uchrab turadigan yana ikkita murakkab muammolarni ko'rib chiqaylik.
3-misol
, va chiziqlar bilan chegaralangan shaklning abscissa o'qi atrofida aylanish natijasida olingan tananing hajmini hisoblang.
Yechim: Chizmada , , , chiziqlari bilan chegaralangan yassi figurani tasvirlaymiz, bu tenglama o‘qni aniqlashini unutmaylik:
Istalgan raqam ko'k rangga bo'yalgan. U o'z o'qi atrofida aylansa, u to'rtta burchakli syurreal donut bo'lib chiqadi.
Aylanish jismining hajmini quyidagicha hisoblaymiz jismlarning hajmlaridagi farq.
Birinchidan, qizil rang bilan aylana chizilgan rasmga qaraylik. U o'q atrofida aylanganda, kesilgan konus olinadi. Bu kesilgan konusning hajmini bilan belgilaymiz.
Aylana chizilgan rasmni ko'rib chiqing yashil. Agar siz bu raqamni o'q atrofida aylantirsangiz, siz kesilgan konusni ham olasiz, faqat biroz kichikroq. Uning hajmini bilan belgilaymiz.
Va, shubhasiz, hajmlardagi farq bizning "donut" ning hajmidir.
Aylanish jismining hajmini topish uchun standart formuladan foydalanamiz:
1) Qizil rang bilan aylana chizilgan rasm yuqorida to'g'ri chiziq bilan chegaralangan, shuning uchun:
2) Yashil rang bilan aylana chizilgan rasm yuqorida to'g'ri chiziq bilan chegaralangan, shuning uchun:
3) Kerakli aylanish jismining hajmi:
Javob:
Qizig'i shundaki, bu holda yechim kesilgan konusning hajmini hisoblash uchun maktab formulasi yordamida tekshirilishi mumkin.
Qarorning o'zi ko'pincha qisqaroq yoziladi, shunga o'xshash narsa:
Keling, bir oz dam olamiz va geometrik illyuziyalar haqida gapiramiz.
Odamlarda ko'pincha kitobda Perelman (bu emas) payqagan jildlar bilan bog'liq illyuziyalar mavjud. Qiziqarli geometriya. Yechilgan masaladagi tekis shaklga qarang - u maydoni kichik bo'lib tuyuladi va inqilob tanasining hajmi 50 kub birlikdan sal ko'proqni tashkil qiladi, bu juda katta ko'rinadi. Aytgancha, o'rtacha odam butun hayoti davomida 18 kvadrat metrlik xonaga teng suyuqlik ichadi, bu esa, aksincha, juda kichik hajmga o'xshaydi.
Umuman olganda, SSSRdagi ta'lim tizimi haqiqatan ham eng yaxshisi edi. 1950 yilda u yozgan Perelmanning o'sha kitobi, hazil muallifi aytganidek, juda yaxshi rivojlanadi, o'ylaydi va muammolarni asl, nostandart echimlarni izlashga o'rgatadi. Men yaqinda ba'zi boblarni katta qiziqish bilan qayta o'qib chiqdim, tavsiya qilaman, bu hatto gumanistlar uchun ham mavjud. Yo'q, men bo'sh vaqt taklif qildim, deb tabassum qilishingiz shart emas, bilim va muloqotda keng ufqlar - bu ajoyib narsa.
Lirik chekinishdan so'ng, ijodiy vazifani hal qilish o'rinli:
4-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan tekis figuraning o'qi atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan jismning hajmini hisoblang, , bu erda.
Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. E'tibor bering, hamma narsa guruhda sodir bo'ladi, boshqacha aytganda, integratsiyaning amalda tayyor chegaralari berilgan. Shuningdek, trigonometrik funktsiyalarning grafiklarini to'g'ri chizishga harakat qiling; agar argument ikkiga bo'lingan bo'lsa: u holda grafiklar o'q bo'ylab ikki marta cho'ziladi. Kamida 3-4 ball topishga harakat qiling trigonometrik jadvallarga muvofiq va chizmani aniqroq to'ldiring. To'liq yechim va javob dars oxirida. Aytgancha, vazifani oqilona hal qilish mumkin va juda oqilona emas.
Revolyutsiya jismining hajmi formula yordamida hisoblanishi mumkin:
Formulada raqam integraldan oldin bo'lishi kerak. Shunday bo'ldi - hayotda aylanadigan hamma narsa bu doimiy bilan bog'liq.
Menimcha, tugallangan chizmadan "a" va "bo'lish" integratsiyasi chegaralarini qanday belgilashni taxmin qilish oson.
Funksiya... bu funksiya nima? Keling, rasmni ko'rib chiqaylik. Yassi figura yuqoridagi parabola grafigi bilan chegaralangan. Bu formulada nazarda tutilgan funksiya.
Amaliy topshiriqlarda tekis shakl ba'zan eksa ostida joylashgan bo'lishi mumkin. Bu hech narsani o'zgartirmaydi - formuladagi integratsiya kvadrat bo'ladi: shunday integral har doim manfiy emas , bu juda mantiqiy.
Ushbu formuladan foydalanib, aylanish jismining hajmini hisoblaymiz: 
Yuqorida aytib o'tganimdek, integral deyarli har doim oddiy bo'lib chiqadi, asosiysi ehtiyot bo'lishdir.
Javob: 
Javobingizda siz o'lchamni ko'rsatishingiz kerak - kub birliklari. Ya'ni, bizning aylanish tanamizda taxminan 3,35 "kub" mavjud. Nima uchun kub birliklar? Chunki eng universal formula. Kub santimetr bo'lishi mumkin, kub metr bo'lishi mumkin, kub kilometrlar va hokazo bo'lishi mumkin, sizning tasavvuringiz uchib ketadigan likopchaga qancha yashil odam qo'yishi mumkin.
2-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning o'qi atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan jismning hajmini toping,
Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. To'liq yechim va javob dars oxirida.
Keling, amaliyotda ham tez-tez uchrab turadigan yana ikkita murakkab muammolarni ko'rib chiqaylik.
3-misol
, va chiziqlar bilan chegaralangan figuraning abscissa o'qi atrofida aylanish natijasida olingan tananing hajmini hisoblang.
Yechim: Keling, chizmada ,,, chiziqlari bilan chegaralangan tekis figurani tasvirlaylik, tenglama o'qni aniqlaydi:
Istalgan raqam ko'k rangga bo'yalgan. U o'z o'qi atrofida aylansa, u to'rtta burchakli syurreal donut bo'lib chiqadi.
Aylanish jismining hajmini quyidagicha hisoblaymiz jismlarning hajmlaridagi farq.
Birinchidan, qizil rang bilan aylana chizilgan rasmga qaraylik. U o'q atrofida aylanganda, kesilgan konus olinadi. Ushbu kesilgan konusning hajmini bilan belgilaymiz.
Yashil rangda aylana chizilgan rasmni ko'rib chiqing. Agar siz bu raqamni o'q atrofida aylantirsangiz, siz kesilgan konusni ham olasiz, faqat biroz kichikroq. Uning hajmini bilan belgilaymiz.
Va, shubhasiz, hajmlardagi farq bizning "donut" ning hajmidir.
Aylanish jismining hajmini topish uchun standart formuladan foydalanamiz:
1) Qizil rang bilan aylana chizilgan rasm yuqorida to'g'ri chiziq bilan chegaralangan, shuning uchun:
2) Yashil rang bilan aylana chizilgan rasm yuqorida to'g'ri chiziq bilan chegaralangan, shuning uchun:
3) Istalgan inqilob tanasining hajmi:
Javob:
Qizig'i shundaki, bu holda yechim kesilgan konusning hajmini hisoblash uchun maktab formulasi yordamida tekshirilishi mumkin.
Qarorning o'zi ko'pincha qisqaroq yoziladi, shunga o'xshash narsa:
Keling, bir oz dam olamiz va geometrik illyuziyalar haqida gapiramiz.
Odamlarda ko'pincha jildlar bilan bog'liq illyuziyalar bor, buni Perelman (boshqa) kitobda payqagan Qiziqarli geometriya. Yechilgan masaladagi tekis shaklga qarang - u maydoni kichik bo'lib tuyuladi va inqilob tanasining hajmi 50 kub birlikdan sal ko'proqni tashkil qiladi, bu juda katta ko'rinadi. Aytgancha, o'rtacha odam butun hayoti davomida 18 kvadrat metrlik xonaga teng suyuqlik ichadi, bu esa, aksincha, juda kichik hajmga o'xshaydi.
Umuman olganda, SSSRdagi ta'lim tizimi haqiqatan ham eng yaxshisi edi. 1950 yilda nashr etilgan Perelmanning o'sha kitobi juda yaxshi rivojlanadi, hazil muallifi aytganidek, o'ylaydi va muammolarni asl, nostandart echimlarni izlashga o'rgatadi. Men yaqinda ba'zi boblarni katta qiziqish bilan qayta o'qib chiqdim, tavsiya qilaman, bu hatto gumanistlar uchun ham mavjud. Yo'q, men bo'sh vaqt taklif qildim, deb tabassum qilishingiz shart emas, bilim va muloqotda keng ufqlar - bu ajoyib narsa.
Lirik chekinishdan so'ng, ijodiy vazifani hal qilish o'rinli:
4-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan tekis figuraning o'qi atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan tananing hajmini hisoblang, bu erda.
Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. E'tibor bering, barcha holatlar bandda sodir bo'ladi, boshqacha aytganda, integratsiyaning tayyor chegaralari aslida berilgan. Trigonometrik funktsiyalarning grafiklarini to'g'ri chizing, sizga dars materialini eslatib o'taman grafiklarni geometrik o'zgartirishlar : agar argument ikkiga bo'lingan bo'lsa: , u holda grafiklar o'q bo'ylab ikki marta cho'ziladi. Kamida 3-4 ball topish maqsadga muvofiqdir trigonometrik jadvallarga muvofiq chizmani aniqroq bajarish uchun. To'liq yechim va javob dars oxirida. Aytgancha, vazifani oqilona hal qilish mumkin va juda oqilona emas.
Chiziq cheklangan bo'lsin. tekislik figurasi qutb koordinata tizimida aniqlanadi.
Misol: Aylanani hisoblang: x 2 +y 2 =R 2
Birinchi kvadrantda joylashgan aylananing 4-qismining uzunligini hisoblang (x≥0, y≥0):
Agar egri chiziq tenglamasi parametr shaklida ko'rsatilgan bo'lsa: 
, x(t), y(t) funksiyalar [a,b] oraliqda hosilalari bilan birga aniqlangan va uzluksizdir. Hosil, keyin formulaga almashtiriladi: 
va shuni hisobga olgan holda 
olamiz 
multiplikator qo'shing 
ildiz belgisi ostida va biz nihoyat olamiz 
Eslatma: Tekislik egri chizig‘i berilgan bo‘lsa, fazoda parametr berilgan funksiyani ham ko‘rib chiqishingiz mumkin, so‘ngra z=z(t) funksiya va formulani qo‘shishingiz mumkin. 
Misol: tenglama bilan berilgan astroid uzunligini hisoblang: x=a*cos 3 (t), y=a*sin 3 (t), a>0
4-qismning uzunligini hisoblang:
formula bo'yicha 
Qutbli koordinatalar tizimida ko'rsatilgan tekislik egri chizig'ining yoy uzunligi:
Egri chiziq tenglamasi qutb koordinata tizimida berilgan bo'lsin: 
- uzluksiz funksiya, [a,b] oraliqdagi hosilasi bilan birga.
Qutb koordinatalaridan o'tish uchun formulalar:
parametrik deb hisoblang:
s - parametr, f-le bo'yicha 
2
Masalan: Egri chiziq uzunligini hisoblang: 
>0
Kontseptsiya: keling, aylananing yarmini hisoblaymiz:
Tananing tasavvurlar maydonidan hisoblangan tananing hajmi.
Yopiq sirt bilan chegaralangan jism berilgan bo'lsin va bu jismning istalgan kesimining maydoni Ox o'qiga perpendikulyar tekislik bilan ma'lum bo'lsin. Bu maydon kesish tekisligining holatiga bog'liq bo'ladi.
Bunday jismning hajmini aniqlash uchun uni Ox o'qiga perpendikulyar va uni nuqtalarda kesib o'tuvchi tekisliklardan foydalangan holda qatlamlarga ajratamiz. Har bir qisman intervalda Aylanish jismining hajmi: Jism y=f(x) funksiya grafigi, Ox o‘qi va x=a, x=b to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning Ox o‘qi atrofida aylanish natijasida hosil bo‘lsin. y=f(x) funksiya aniqlangan va segmentda uzluksiz, unda manfiy bo‘lmagan bo‘lsin, u holda bu jismning Ox ga perpendikulyar tekislik kesimi radiusi R=y(x)=f(x) bo‘lgan aylana bo‘lsin. ). Doira maydoni S(x)=Py 2 (x)=P 2. Formulani almashtirish Agar uzluksiz funksiya grafigi bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoid Oy o'qi atrofida aylansa, bunday aylanish jismining hajmi: Xuddi shu hajmni quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: O'zgaruvchini almashtirish orqali biz quyidagilarni olamiz: Agar chiziq parametrik tenglamalar bilan berilgan bo'lsa: y (a)= c , y (b)= d . y = y (t) ni almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz: Parabola o'qi atrofida aylanish jismlarini hisoblang, 2) y=0 to‘g‘ri chiziq, yoy bilan chegaralangan egri trapesiyaning OX o‘qi atrofida aylanish jismining V ni hisoblang. Aylanma jismning sirt maydoni y =f(x) egri chizig'ini Ox o'qi atrofida aylantirib berilgan sirt hosil bo'lsin. Bu sirtning S ni da aniqlash kerak. y =f(x) funksiya aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin, [a;b] segmentning barcha nuqtalarida g‘ayritabiiy va manfiy bo‘lmagan bo‘lsin. Keling, mos ravishda belgilagan uzunlikdagi akkordlarni chizamiz (n-akkordlar) Lagrange teoremasiga ko'ra: Barcha tasvirlangan singan chiziqning sirt maydoni teng bo'ladi Ta'rif: bu yig'indining chegarasi, agar u cheklangan bo'lsa, singan chiziqning eng katta bo'g'ini max, ko'rib chiqilayotgan inqilob sirtining maydoni deb ataladi. Yig'indi chegarasi p-th uchun integral yig'indining chegarasiga teng ekanligini isbotlash mumkin. Revolyutsiya jismining S yuzasi uchun formula = X=g(x) egri chiziq yoyining Oy o'qi atrofida aylanishi natijasida hosil bo'lgan sirtning S. Uning hosilasi bilan uzluksiz Agar egri chiziq parametrik ravishda ur-mi orqali berilgan bo'lsax=x(t) ,y=
t(t)
f-iix’(t),
y’(t),
x(t),
y(t) oraliqda aniqlanadi [a;
b],
x(a)=
a,
x(b)=
bkeyin o'zgartirish bilan almashtirishni amalga oshiringx=
x(t)
Agar egri chiziq parametrik berilgan bo'lsa, formulaga o'zgartirish kiritib, biz quyidagilarni olamiz: Agar egri chiziq tenglamasi qutbli koordinatalar tizimida berilgan bo'lsa So'qi atrofida aylanish yuzasi teng bo'ladi
Revolyutsiya jismining hajmini quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: Formulada raqam integraldan oldin bo'lishi kerak. Shunday bo'ldi - hayotda aylanadigan hamma narsa bu doimiy bilan bog'liq. Menimcha, tugallangan chizmadan "a" va "bo'lish" integratsiyasi chegaralarini qanday belgilashni taxmin qilish oson. Funksiya... bu funksiya nima? Keling, rasmni ko'rib chiqaylik. Tekislik figurasi yuqoridagi parabola grafigi bilan chegaralangan. Bu formulada nazarda tutilgan funksiya. Amaliy topshiriqlarda tekis shakl ba'zan eksa ostida joylashgan bo'lishi mumkin. Bu hech narsani o'zgartirmaydi - formuladagi funksiya kvadrat: , shunday qilib inqilob jismining hajmi har doim manfiy emas, bu juda mantiqiy. Ushbu formuladan foydalanib, aylanish jismining hajmini hisoblaymiz: Yuqorida aytib o'tganimdek, integral deyarli har doim oddiy bo'lib chiqadi, asosiysi ehtiyot bo'lishdir. Javob: Javobingizda siz o'lchamni ko'rsatishingiz kerak - kub birliklari. Ya'ni, bizning aylanish tanamizda taxminan 3,35 "kub" mavjud. Nima uchun kub birliklar? Chunki eng universal formula. Kub santimetr bo'lishi mumkin, kub metr bo'lishi mumkin, kub kilometrlar va hokazo bo'lishi mumkin, sizning tasavvuringiz uchib ketadigan likopchaga qancha yashil odam qo'yishi mumkin. 2-misol Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning o'qi atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan jismning hajmini toping, , Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. To'liq yechim va javob dars oxirida. Keling, amaliyotda ham tez-tez uchrab turadigan yana ikkita murakkab muammolarni ko'rib chiqaylik. 3-misol , va chiziqlar bilan chegaralangan shaklning abscissa o'qi atrofida aylanish natijasida olingan tananing hajmini hisoblang. Yechim: Chizmada , , , chiziqlari bilan chegaralangan yassi figurani tasvirlaymiz, bu tenglama o‘qni aniqlashini unutmaylik: Istalgan raqam ko'k rangga bo'yalgan. U o'z o'qi atrofida aylansa, u to'rtta burchakli syurreal donut bo'lib chiqadi. Aylanish jismining hajmini quyidagicha hisoblaymiz jismlarning hajmlaridagi farq. Birinchidan, qizil rang bilan aylana chizilgan rasmga qaraylik. U o'q atrofida aylanganda, kesilgan konus olinadi. Bu kesilgan konusning hajmini bilan belgilaymiz. Yashil rangda aylana bilan chizilgan rasmni ko'rib chiqing. Agar siz bu raqamni o'q atrofida aylantirsangiz, siz kesilgan konusni ham olasiz, faqat biroz kichikroq. Uning hajmini bilan belgilaymiz. Va, shubhasiz, hajmlardagi farq bizning "donut" ning hajmidir. Aylanish jismining hajmini topish uchun standart formuladan foydalanamiz: 1) Qizil rang bilan aylana chizilgan rasm yuqorida to'g'ri chiziq bilan chegaralangan, shuning uchun: 2) Yashil rang bilan aylana chizilgan rasm yuqorida to'g'ri chiziq bilan chegaralangan, shuning uchun: 3) Kerakli aylanish jismining hajmi: Javob: Qizig'i shundaki, bu holda yechim kesilgan konusning hajmini hisoblash uchun maktab formulasi yordamida tekshirilishi mumkin. Qarorning o'zi ko'pincha qisqaroq yoziladi, shunga o'xshash narsa: Keling, bir oz dam olamiz va geometrik illyuziyalar haqida gapiramiz. Odamlarda ko'pincha kitobda Perelman (bu emas) payqagan jildlar bilan bog'liq illyuziyalar mavjud. Qiziqarli geometriya. Yechilgan masaladagi tekis shaklga qarang - u kichik maydonga o'xshaydi va inqilob tanasining hajmi 50 kub birlikdan sal ko'proq, bu juda katta ko'rinadi. Aytgancha, o'rtacha odam butun hayoti davomida 18 kvadrat metrlik xonaga teng suyuqlik ichadi, bu esa, aksincha, juda kichik hajmga o'xshaydi. Umuman olganda, SSSRdagi ta'lim tizimi haqiqatan ham eng yaxshisi edi. 1950 yilda u yozgan Perelmanning o'sha kitobi, hazil muallifi aytganidek, juda yaxshi rivojlanadi, o'ylaydi va muammolarni asl, nostandart echimlarni izlashga o'rgatadi. Men yaqinda ba'zi boblarni katta qiziqish bilan qayta o'qib chiqdim, tavsiya qilaman, bu hatto gumanistlar uchun ham mavjud. Yo'q, men bo'sh vaqt taklif qildim, deb tabassum qilishingiz shart emas, bilim va muloqotda keng ufqlar - bu ajoyib narsa. Lirik chekinishdan so'ng, ijodiy vazifani hal qilish o'rinli: 4-misol Chiziqlar bilan chegaralangan tekis figuraning o'qi atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan jismning hajmini hisoblang, , bu erda. Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. E'tibor bering, hamma narsa guruhda sodir bo'ladi, boshqacha aytganda, integratsiyaning amalda tayyor chegaralari berilgan. Shuningdek, trigonometrik funktsiyalarning grafiklarini to'g'ri chizishga harakat qiling; agar argument ikkiga bo'lingan bo'lsa: u holda grafiklar o'q bo'ylab ikki marta cho'ziladi. Kamida 3-4 ball topishga harakat qiling trigonometrik jadvallarga muvofiq va chizmani aniqroq to'ldiring. To'liq yechim va javob dars oxirida. Aytgancha, vazifani oqilona hal qilish mumkin va juda oqilona emas. Aylanish natijasida hosil bo'lgan jismning hajmini hisoblash Ikkinchi xatboshi birinchisidan ham qiziqroq bo'ladi. Ordinata o'qi atrofida aylanish jismining hajmini hisoblash vazifasi ham sinov ishida juda keng tarqalgan mehmon hisoblanadi. Yo'l davomida u ko'rib chiqiladi figuraning maydonini topish muammosi ikkinchi usul - eksa bo'ylab integratsiya, bu sizga nafaqat mahoratingizni oshirishga imkon beradi, balki sizni eng foydali echim yo'lini topishga o'rgatadi. Bunda amaliy hayotiy ma'no ham bor! Matematika o'qitish metodikasi bo'yicha o'qituvchim tabassum bilan eslaganidek, ko'plab bitiruvchilar unga: "Sizning faningiz bizga juda ko'p yordam berdi, endi biz samarali menejermiz va xodimlarni optimal tarzda boshqarmoqdamiz" degan so'zlar bilan minnatdorchilik bildirishdi. Fursatdan foydalanib, men ham unga katta minnatdorchiligimni izhor etaman, ayniqsa, olingan bilimlarimdan maqsadli foydalanayotganim uchun =). 5-misol Chiziqlar bilan chegaralangan tekis shakl berilgan, , . 1) Ushbu chiziqlar bilan chegaralangan tekis figuraning maydonini toping. Diqqat! Agar siz faqat ikkinchi nuqtani o'qishni istasangiz ham, birinchi Majburiy birinchisini o'qing! Yechim: Vazifa ikki qismdan iborat. Kvadrat bilan boshlaylik. 1) Keling, rasm chizamiz: Funksiya parabolaning yuqori tarmog‘ini, funksiya esa parabolaning pastki tarmog‘ini ko‘rsatishini ko‘rish oson. Bizning oldimizda "yon tomonda yotgan" arzimas parabola turibdi. Maydoni topilishi kerak bo'lgan kerakli raqam ko'k rangga bo'yalgan. Shaklning maydonini qanday topish mumkin? Buni sinfda muhokama qilingan "odatiy" usulda topish mumkin Aniq integral. Shaklning maydonini qanday hisoblash mumkin. Bundan tashqari, rasmning maydoni maydonlarning yig'indisi sifatida topiladi: Shunung uchun: Nima uchun bu holatda odatiy yechim yomon? Birinchidan, biz ikkita integral oldik. Ikkinchidan, integrallar ildizdir va integrallardagi ildizlar sovg'a emas va bundan tashqari, siz integratsiya chegaralarini almashtirishda chalkashib ketishingiz mumkin. Aslida, integrallar, albatta, qotil emas, lekin amalda hamma narsa juda achinarli bo'lishi mumkin, men muammo uchun "yaxshiroq" funktsiyalarni tanladim. Yana oqilona yechim bor: u teskari funktsiyalarga o'tish va eksa bo'ylab integratsiyadan iborat. Teskari funktsiyalarga qanday o'tish mumkin? Taxminan aytganda, siz "x" ni "y" orqali ifodalashingiz kerak. Birinchidan, parabolani ko'rib chiqaylik: Bu yetarli, lekin keling, xuddi shu funktsiyani pastki filialdan olish mumkinligiga ishonch hosil qilaylik: To'g'ri chiziq bilan osonroq: Endi o'qga qarang: iltimos, tushuntirayotganingizda vaqti-vaqti bilan boshingizni o'ngga 90 daraja egib turing (bu hazil emas!). Bizga kerak bo'lgan raqam qizil nuqta chiziq bilan ko'rsatilgan segmentda yotadi. Bunday holda, segmentda to'g'ri chiziq parabola ustida joylashgan bo'lib, bu raqamning maydonini sizga allaqachon tanish bo'lgan formuladan foydalanib topish kerakligini anglatadi:. Formulada nima o'zgargan? Faqat xat va boshqa hech narsa. !
Eslatma: eksa bo'ylab integratsiya chegaralari o'rnatilishi kerak qat'iy pastdan yuqoriga!
Hududni topish: Shunday qilib, segmentda: Iltimos, integratsiyani qanday amalga oshirganimga e'tibor bering, bu eng oqilona yo'l va vazifaning keyingi bandida nima uchun aniq bo'ladi. Integratsiyaning to'g'riligiga shubha qiladigan o'quvchilar uchun men lotinlarni topaman: Asl integral funksiyasi olindi, ya'ni integratsiya to'g'ri bajarilgan. Javob: 2) Bu raqamning o'q atrofida aylanishidan hosil bo'lgan jismning hajmini hisoblaymiz. Men rasmni biroz boshqacha dizaynda qayta chizaman: Shunday qilib, ko'k rangga bo'yalgan raqam o'q atrofida aylanadi. Natijada o'z o'qi atrofida aylanadigan "suzuvchi kapalak" paydo bo'ladi. Aylanish jismining hajmini topish uchun biz o'q bo'ylab integrallashamiz. Avval teskari funktsiyalarga o'tishimiz kerak. Bu allaqachon qilingan va avvalgi xatboshida batafsil tavsiflangan. Endi biz boshimizni yana o'ngga egib, figuramizni o'rganamiz. Shubhasiz, aylanish jismining hajmini hajmlar farqi sifatida topish kerak. Qizil rang bilan aylana bo'lgan shaklni eksa atrofida aylantiramiz, natijada kesilgan konus paydo bo'ladi. Bu hajmni bilan belgilaymiz. Yashil rang bilan aylana chizilgan shaklni eksa atrofida aylantiramiz va uni hosil bo'lgan aylanish jismining hajmi bilan belgilaymiz. Bizning kapalakning hajmi hajmlar farqiga teng. Revolyutsiya jismining hajmini topish uchun formuladan foydalanamiz: Oldingi paragrafdagi formuladan qanday farq bor? Faqat xatda. Ammo men yaqinda aytib o'tgan integratsiyaning afzalligi birinchi navbatda integratsiyani 4-chi darajaga ko'tarishdan ko'ra osonroqdir. Javob: Biroq, kasal kapalak emas. E'tibor bering, agar bir xil tekis shakl o'q atrofida aylantirilsa, siz tabiiy ravishda boshqa hajmga ega bo'lgan butunlay boshqa aylanish jismini olasiz. 6-misol Chiziqlar va o'q bilan chegaralangan tekis shakl berilgan. 1) Teskari funktsiyalarga o'ting va o'zgaruvchiga integrallash orqali ushbu chiziqlar bilan chegaralangan tekislik figurasining maydonini toping. Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Qiziqqanlar, shuningdek, figuraning maydonini "odatiy" usulda topishlari mumkin va shu bilan 1) nuqtani tekshirishlari mumkin. Ammo takror aytamanki, siz tekis figurani o'q atrofida aylantirsangiz, siz boshqa hajmga ega bo'lgan butunlay boshqa aylanish jismini olasiz, aytmoqchi, to'g'ri javob (muammolarni hal qilishni yaxshi ko'radiganlar uchun ham). Vazifaning ikkita taklif qilingan nuqtasiga to'liq yechim dars oxirida. Ha, va aylanish jismlarini va integratsiya chegaralarini tushunish uchun boshingizni o'ngga burishni unutmang! Men maqolani tugatmoqchi edim, lekin bugun ular ordinata o'qi atrofida aylanish jismining hajmini topish uchun qiziqarli misol keltirdilar. Yangi: 7-misol va egri chiziqlar bilan chegaralangan figuraning o'qi atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan jismning hajmini hisoblang. Parabolaning foydalanilmagan chap shoxchasi teskari funktsiyaga mos keladi - funksiya grafigi o'qning ustidagi segmentda joylashgan; Revolyutsiya jismining hajmini aylanish jismlari hajmlarining yig'indisi sifatida izlash kerak, deb taxmin qilish mantiqan to'g'ri! Biz formuladan foydalanamiz: Ushbu holatda: Javob: IN figuraning maydonini topish muammosi maydonlarni yig'ish ko'pincha ishlatiladi, lekin aylanish jismlarining hajmlarini yig'ish kamdan-kam uchraydi, chunki bunday xilma-xillik mening ko'rish maydonimdan deyarli chiqib ketdi. Shunga qaramay, biz muhokama qilgan misol o'z vaqtida paydo bo'lgani yaxshi - biz juda ko'p foydali ma'lumotlarni olishga muvaffaq bo'ldik. Raqamlarni muvaffaqiyatli targ'ib qilish! Bundan tashqari Aniq integral yordamida tekislik figurasining maydonini topish (7.2.3.ga qarang). mavzuning eng muhim qo'llanilishi hisoblanadi inqilob jismining hajmini hisoblash. Material oddiy, lekin o'quvchi tayyor bo'lishi kerak: siz hal qila olishingiz kerak noaniq integrallar o'rtacha murakkablik va Nyuton-Leybnits formulasini qo'llang aniq integral, n Bundan tashqari, sizga kuchli chizish qobiliyati kerak. Umuman olganda, integral hisoblashda juda ko'p qiziqarli ilovalar mavjud; aniq integraldan foydalanib, siz figuraning maydonini, aylanish jismining hajmini, yoy uzunligini, tananing sirtini hisoblashingiz mumkin. va yana ko'p narsalar. Koordinata tekisligida qandaydir tekis shaklni tasavvur qiling. Tanishtirdi? ... Endi bu raqamni ikki usulda aylantirish va aylantirish mumkin: - x o'qi atrofida ;
– ordinata o‘qi atrofida .
Keling, ikkala holatni ham ko'rib chiqaylik. Aylanishning ikkinchi usuli ayniqsa qiziq, u eng ko'p qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi, lekin aslida yechim x o'qi atrofida keng tarqalgan aylanish bilan deyarli bir xil. Keling, eng mashhur aylanish turidan boshlaylik. Yassi figurani o'q atrofida aylantirish natijasida hosil bo'lgan jismning hajmini hisoblash OX
1-misol Chiziqlar bilan chegaralangan figurani eksa atrofida aylantirish natijasida olingan tananing hajmini hisoblang. Yechim: Hududni topish muammosida bo'lgani kabi, yechim tekis figurani chizish bilan boshlanadi. Ya'ni, samolyotda XOY chiziqlar bilan chegaralangan raqamni qurish kerak va tenglama o'qni ko'rsatishini unutmang. Bu erda rasm chizish juda oddiy: Kerakli tekis shakl ko'k rangga bo'yalgan, u o'q atrofida aylanadi. Aylanish natijasida o'qda ikkita o'tkir cho'qqisi bo'lgan biroz tuxumsimon uchuvchi likopcha paydo bo'ladi. OX, o'qga nisbatan simmetrik OX. Aslida, tananing matematik nomi bor, ma'lumotnomaga qarang. Aylanish jismining hajmini qanday hisoblash mumkin? Agar tana o'q atrofida aylanish natijasida hosil bo'lsaOX, u aqliy jihatdan kichik qalinlikdagi parallel qatlamlarga bo'linadi dx, ular o'qiga perpendikulyar OX. Butun tananing hajmi, shubhasiz, bunday elementar qatlamlarning hajmlari yig'indisiga teng. Har bir qatlam, dumaloq limon tilim kabi, balandligi past silindrdir dx va tayanch radiusi bilan f(x). U holda bir qatlamning hajmi p asos maydonining mahsulotidir f silindr balandligi uchun 2 ta ( dx), yoki p∙ f 2 (x)∙dx. Va butun aylanish tanasining maydoni elementar hajmlar yig'indisi yoki mos keladigan aniq integraldir. Revolyutsiya jismining hajmini quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: "A" va "bo'lish" integratsiyasi chegaralarini qanday belgilashni tugallangan chizmadan osongina taxmin qilish mumkin. Funksiya... bu funksiya nima? Keling, rasmni ko'rib chiqaylik. Tekislik figurasi yuqoridagi parabola grafigi bilan chegaralangan. Bu formulada nazarda tutilgan funksiya. Amaliy topshiriqlarda tekis shakl ba'zan eksa ostida joylashgan bo'lishi mumkin OX. Bu hech narsani o'zgartirmaydi - formuladagi funktsiya kvadratga teng: f 2 (x), Shunday qilib, inqilob jismining hajmi har doim manfiy emas, bu juda mantiqiy. Ushbu formuladan foydalanib, aylanish jismining hajmini hisoblaymiz: Yuqorida aytib o'tganimizdek, integral deyarli har doim oddiy bo'lib chiqadi, asosiysi ehtiyot bo'lishdir. Javob: Javobingizda siz o'lchamni ko'rsatishingiz kerak - kub birliklari. Ya'ni, bizning aylanish tanamizda taxminan 3,35 "kub" mavjud. Nima uchun kub birliklar? Chunki bu eng universal formuladir. Kub santimetr bo'lishi mumkin, kub metr bo'lishi mumkin, kub kilometrlar va hokazo bo'lishi mumkin, sizning tasavvuringiz uchib ketadigan likopchaga qancha yashil odam qo'yishi mumkin. 2-misol O'q atrofida aylanish natijasida hosil bo'lgan jismning hajmini toping OX chiziqlar bilan chegaralangan raqam , , . Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. To'liq yechim va javob dars oxirida. 3-misol Chiziqlar bilan chegaralangan figurani , va abscissa o'qi atrofida aylantirish natijasida olingan tananing hajmini hisoblang. Yechim: Chizmada , , , chiziqlari bilan chegaralangan yassi figurani tasvirlaymiz, tenglamani unutmaylik. x= 0 o'qni belgilaydi OY: Istalgan raqam ko'k rangga bo'yalgan. U o'q atrofida aylanganda OX natijada tekis, burchakli donut (ikki konusning yuzasi bo'lgan yuvish mashinasi). Aylanish jismining hajmini quyidagicha hisoblaymiz jismlarning hajmlaridagi farq. Birinchidan, qizil rang bilan aylana chizilgan rasmga qaraylik. U o'q atrofida aylanganda OX natijada kesilgan konus hosil bo'ladi. Ushbu kesilgan konusning hajmini bilan belgilaymiz V 1 . Yashil rangda aylana bilan chizilgan rasmni ko'rib chiqing. Agar siz bu raqamni eksa atrofida aylantirsangiz OX, keyin siz bir xil kesilgan konusni olasiz, faqat biroz kichikroq. Uning hajmini bilan belgilaymiz V 2 . Ko'rinib turibdiki, hajmlardagi farq V = V 1 - V 2 - bizning "donut" hajmi. Aylanish jismining hajmini topish uchun standart formuladan foydalanamiz: 1) Qizil rang bilan aylana chizilgan rasm yuqorida to'g'ri chiziq bilan chegaralangan, shuning uchun: 2) Yashil rang bilan aylana chizilgan rasm yuqorida to'g'ri chiziq bilan chegaralangan, shuning uchun: 3) Kerakli aylanish jismining hajmi: Javob: Qizig'i shundaki, bu holda yechim kesilgan konusning hajmini hisoblash uchun maktab formulasi yordamida tekshirilishi mumkin. Qarorning o'zi ko'pincha qisqaroq yoziladi, shunga o'xshash narsa:
butun jism Ox o‘qiga perpendikulyar bo‘lgan, uni x=a, x=b (a) nuqtalarda kesib o‘tuvchi 2 ta tekislik orasiga o‘ralgan bo‘lsin. 
. Keling, tanlaymiz
va har bir qiymat uchun i=1,….,n silindrsimon jismni quramiz, uning generatrisi Ox ga parallel va yo'naltiruvchi jismning x=C i tekislik bo'yicha kesma konturi, hajmi asos maydoni S=C i va balandligi ∆x i bo'lgan shunday elementar silindr. V i =S(C i)∆x i . Barcha bunday elementar tsilindrlarning hajmi bo'ladi 
. Bu yig‘indining chegarasi, agar u mavjud bo‘lsa va max ∆x 0 da cheklangan bo‘lsa, berilgan jismning hajmi deyiladi.
. V n oraliqda uzluksiz S(x) funksiya uchun integral yig‘indi bo‘lgani uchun ko‘rsatilgan chegara mavjud (mavjudlik shartlari) va def bilan ifodalanadi. Integral.
- kesma maydonidan hisoblangan tananing hajmi.
Ox o'qi atrofida aylanish jismining hajmini hisoblash uchun formulani olamiz:
. Agar chiziq parametrik tenglamalar bilan berilgan bo'lsa:
.
(markazi (1;0) nuqtada va radius=1), bilan.
eksa atrofidagi tekis shakl
2) Ushbu chiziqlar bilan chegaralangan tekis figurani o'q atrofida aylantirish natijasida olingan tananing hajmini toping.
- segment bo'yicha;
- segmentda.
2) Ushbu chiziqlar bilan chegaralangan tekis figurani o'q atrofida aylantirish natijasida olingan tananing hajmini hisoblang.
.
.
