온라인 회전체의 부피 계산. III 회전체의 부피 계산. 수학 최고의 유아용 침대. 질적. 추가 사항 없음
와는 별개로 명확한 적분을 사용하여 평평한 그림의 면적 찾기 테마의 가장 중요한 적용은 회전체의 체적 계산. 자료는 간단하지만 독자가 준비해야 합니다. 문제를 풀 수 있어야 합니다. 부정 적분 중간 복잡도에 Newton-Leibniz 공식을 적용합니다. 정적분 . 영역을 찾는 문제와 마찬가지로 자신감 있는 그리기 기술이 필요합니다. 이것은 거의 가장 중요한 것입니다(적분 자체가 종종 쉬울 것이기 때문에). 방법론 자료의 도움으로 그래프를 그리는 유능하고 빠른 기술을 습득할 수 있습니다. . 하지만 사실 저는 수업에서 그림의 중요성에 대해 반복해서 이야기했습니다. .
일반적으로 적분학에는 흥미로운 응용 프로그램이 많이 있습니다; 명확한 적분을 사용하여 그림의 면적, 회전체의 부피, 호의 길이, 표면적을 계산할 수 있습니다 신체, 그리고 훨씬 더. 재미있을 테니 기대해주세요!
상상해봐 평면도좌표평면에서. 대표? ... 누가 무엇을 제시했는지 궁금합니다 ... =))) 이미 그 영역을 찾았습니다. 그러나 또한 이 그림은 회전할 수 있으며 두 가지 방법으로 회전할 수 있습니다.
– x축 주위; - y축 주위.
이 기사에서는 두 경우 모두에 대해 설명합니다. 회전의 두 번째 방법은 특히 흥미롭고 가장 큰 어려움을 야기하지만 실제로 솔루션은 x축 주위의 일반적인 회전과 거의 동일합니다. 보너스로 다시 돌아오겠습니다 그림의 영역을 찾는 문제 , 축을 따라 두 번째 방법으로 영역을 찾는 방법을 알려줍니다. 재료가 테마에 잘 맞기 때문에 그다지 보너스는 아닙니다.
가장 인기 있는 회전 유형부터 시작하겠습니다.
평면 도형이 축을 중심으로 회전하여 형성되는 물체의 부피 계산
예 1
축을 중심으로 선으로 둘러싸인 그림을 회전시켜 얻은 몸체의 부피를 계산하십시오.
해결책:영역을 찾는 문제에서와 같이, 솔루션은 평평한 그림을 그리는 것으로 시작됩니다.. 즉, 비행기에서 방정식이 축을 정의한다는 것을 잊지 않고 선으로 둘러싸인 그림을 만들어야 합니다. 도면을 보다 합리적이고 빠르게 만드는 방법은 페이지에서 찾을 수 있습니다. 기본 함수의 그래프 및 속성 그리고 확실한 적분. 그림의 면적을 계산하는 방법 . 이것은 중국 알림이며 저는 이 시점에서 멈추지 않습니다.
그림은 매우 간단합니다.
원하는 평면 그림은 파란색으로 음영 처리되며 축을 중심으로 회전하는 것은 그녀입니다. 회전의 결과 축에 대해 대칭인 이 약간 계란 모양의 비행접시가 얻어집니다. 사실 몸에는 수학적인 이름이 있는데, 참고서에 있는 것을 보기에는 너무 게을러서 다음으로 넘어갑니다.
회전체의 부피를 계산하는 방법은 무엇입니까?
회전체의 부피는 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.
수식에서 적분 앞에 숫자가 있어야 합니다. 그렇게 일어났습니다. 인생에서 회전하는 모든 것이이 상수와 연결되어 있습니다.
통합 "a"와 "be"의 한계를 설정하는 방법은 완성 된 그림에서 쉽게 추측 할 수 있다고 생각합니다.
기능... 이 기능은 무엇입니까? 그림을 봅시다. 평평한 그림은 위의 포물선 그래프로 둘러싸여 있습니다. 이것은 수식에 포함된 함수입니다.
실제 작업에서 평평한 그림이 축 아래에 위치할 수 있습니다. 이것은 아무 것도 변경하지 않습니다. 공식의 함수는 제곱됩니다. 따라서 회전체의 부피는 항상 음수가 아니다, 이것은 매우 논리적입니다.
다음 공식을 사용하여 회전체의 부피를 계산합니다. 
이미 언급했듯이 적분은 거의 항상 간단한 것으로 판명되며 가장 중요한 것은 조심하는 것입니다.
답변: 
대답에서 치수 - 입방 단위를 표시해야합니다. 즉, 우리의 회전체에는 약 3.35개의 "큐브"가 있습니다. 왜 정확히 입방체 단위? 가장 보편적인 제형이기 때문입니다. 입방 센티미터, 입방 미터, 입방 킬로미터 등이 있을 수 있습니다. 상상으로 비행접시에 얼마나 많은 작은 녹색 인간이 들어갈 수 있는지입니다.
예 2
선으로 둘러싸인 도형의 축을 중심으로 회전하여 형성된 몸체의 부피를 구하십시오.
이것은 DIY 예제입니다. 수업이 끝날 때 전체 솔루션 및 답변.
실제로도 자주 발생하는 두 가지 더 복잡한 문제를 고려해 보겠습니다.
예 3
선으로 둘러싸인 그림의 가로축을 중심으로 회전하여 얻은 몸체의 부피를 계산하십시오.
해결책:방정식이 축을 정의한다는 것을 잊지 않고 선 , , , 로 경계가 지정된 평면 그림을 그림에 묘사해 봅시다.
원하는 그림은 파란색 음영으로 표시됩니다. 축을 중심으로 회전하면 네 모서리가 있는 초현실적인 도넛을 얻을 수 있습니다.
회전체의 부피는 다음과 같이 계산됩니다. 체적 차이.
먼저 빨간색으로 동그라미 친 그림을 보자. 축을 중심으로 회전하면 잘린 원뿔이 얻어집니다. 이 잘린 원뿔의 부피를 로 표시해 봅시다.
동그라미 친 도형을 생각해보세요 녹색으로. 이 그림을 축을 중심으로 회전시키면 약간 더 작은 잘린 원뿔도 얻게 됩니다. 볼륨을 .
그리고 분명히 볼륨의 차이는 정확히 "도넛"의 볼륨입니다.
우리는 회전체의 부피를 찾기 위해 표준 공식을 사용합니다.
1) 빨간색 원으로 표시된 그림은 위에서부터 직선으로 경계가 지정되므로 다음과 같습니다.
2) 녹색 원으로 표시된 그림은 위에서부터 직선으로 경계가 지정되므로 다음과 같습니다.
3) 원하는 회전체의 부피:
답변:
이 경우 잘린 원뿔의 부피를 계산하는 학교 공식을 사용하여 솔루션을 확인할 수 있다는 것이 궁금합니다.
결정 자체는 종종 다음과 같이 더 짧아집니다.
이제 휴식을 취하고 기하학적 환상에 대해 이야기합시다.
사람들은 종종 책에서 Perelman(동일하지 않음)이 알아차린 볼륨과 관련된 환상을 가지고 있습니다. 흥미로운 기하학. 해결된 문제의 평평한 그림을 보십시오. 면적이 작은 것 같고 회전체의 부피가 50 입방 단위를 조금 넘는데 너무 커 보입니다. 그건 그렇고, 평생 동안 평범한 사람은 18 평방 미터의 방 부피를 가진 액체를 마신다. 반대로 부피는 너무 작은 것 같습니다.
일반적으로 소련의 교육 시스템은 정말 최고였습니다. 1950 년에 그가 쓴 Perelman의 같은 책은 유머리스트가 말했듯이 매우 잘 발전하여 문제에 대한 원래의 비표준 솔루션을 찾도록 추론하고 가르칩니다. 최근에 나는 큰 관심을 가지고 몇 장을 다시 읽었고 추천합니다. 인도 주의자들도 접근 할 수 있습니다. 아니요, 내가 제안한 취미 활동, 학식 및 의사 소통에 대한 넓은 전망이 좋은 것이라고 웃을 필요가 없습니다.
서정적 여담 후에 창의적인 작업을 해결하는 것이 적절합니다.
예 4
선으로 둘러싸인 평면 도형의 축을 중심으로 회전하여 형성된 물체의 부피를 계산합니다.
이것은 DIY 예제입니다. 모든 일이 대역에서 일어난다는 것, 즉 거의 기성 통합 한계가 주어진다는 점에 유의하십시오. 또한 인수를 2로 나눈 경우 삼각 함수의 그래프를 올바르게 그리십시오. 그러면 그래프가 축을 따라 두 번 늘어납니다. 적어도 3-4개의 지점을 찾으십시오. 삼각법 테이블에 따르면 도면을 더 정확하게 만듭니다. 수업이 끝날 때 전체 솔루션 및 답변. 그건 그렇고, 작업은 합리적이지 않고 합리적으로 해결할 수 있습니다.
회전체의 부피는 공식으로 계산할 수 있습니다.:
수식에서 적분 앞에 숫자가 있어야 합니다. 그렇게 일어났습니다. 인생에서 회전하는 모든 것이이 상수와 연결되어 있습니다.
통합 "a"와 "be"의 한계를 설정하는 방법은 완성 된 그림에서 쉽게 추측 할 수 있다고 생각합니다.
기능... 이 기능은 무엇입니까? 그림을 봅시다. 평평한 그림은 상단의 포물선 그래프로 둘러싸여 있습니다. 이것은 수식에 포함된 함수입니다.
실제 작업에서 평평한 그림이 축 아래에 위치할 수 있습니다. 이것은 아무 것도 변경하지 않습니다. 공식의 피적분은 제곱됩니다. 따라서 적분은 항상 음수가 아닙니다. , 이것은 매우 논리적입니다.
다음 공식을 사용하여 회전체의 부피를 계산합니다. 
이미 언급했듯이 적분은 거의 항상 간단한 것으로 판명되며 가장 중요한 것은 조심하는 것입니다.
답변: 
대답에서 치수 - 입방 단위를 표시해야합니다. 즉, 우리의 회전체에는 약 3.35개의 "큐브"가 있습니다. 왜 정확히 입방체 단위? 가장 보편적인 제형이기 때문입니다. 입방 센티미터, 입방 미터, 입방 킬로미터 등이 있을 수 있습니다. 상상으로 비행접시에 얼마나 많은 작은 녹색 인간이 들어갈 수 있는지입니다.
예 2
선으로 둘러싸인 도형의 축을 중심으로 회전하여 형성된 몸체의 부피를 구하십시오.
이것은 DIY 예제입니다. 수업이 끝날 때 전체 솔루션 및 답변.
실제로도 자주 발생하는 두 가지 더 복잡한 문제를 고려해 보겠습니다.
예 3
선으로 둘러싸인 그림의 가로축을 중심으로 회전하여 얻은 몸체의 부피를 계산합니다.
해결책: 방정식이 축을 설정한다는 것을 잊지 않고 선 ,,,으로 둘러싸인 그림에 평평한 그림을 그려 봅시다.
원하는 그림은 파란색 음영으로 표시됩니다. 축을 중심으로 회전하면 네 모서리가 있는 초현실적인 도넛을 얻을 수 있습니다.
회전체의 부피는 다음과 같이 계산됩니다. 체적 차이.
먼저 빨간색으로 동그라미 친 그림을 보자. 축을 중심으로 회전하면 잘린 원뿔이 얻어집니다. 이 잘린 원뿔의 부피를 나타냅니다.
녹색 원으로 표시된 그림을 고려하십시오. 이 그림을 축을 중심으로 회전시키면 약간 더 작은 잘린 원뿔도 얻게 됩니다. 볼륨을 .
그리고 분명히 볼륨의 차이는 정확히 "도넛"의 볼륨입니다.
우리는 회전체의 부피를 찾기 위해 표준 공식을 사용합니다.
1) 빨간색 원으로 표시된 그림은 위에서부터 직선으로 경계가 지정되므로 다음과 같습니다.
2) 녹색 원으로 표시된 그림은 위에서부터 직선으로 경계가 지정되므로 다음과 같습니다.
3) 원하는 회전체의 부피:
답변:
이 경우 잘린 원뿔의 부피를 계산하는 학교 공식을 사용하여 솔루션을 확인할 수 있다는 것이 궁금합니다.
결정 자체는 종종 다음과 같이 더 짧아집니다.
이제 휴식을 취하고 기하학적 환상에 대해 이야기합시다.
사람들은 종종 책에서 Perelman(또 다른 사람)이 알아차린 볼륨과 관련된 환상을 가지고 있습니다. 흥미로운 기하학. 해결된 문제의 평평한 그림을 보십시오. 면적이 작은 것 같고 회전체의 부피가 50 입방 단위를 조금 넘는데 너무 커 보입니다. 그건 그렇고, 평생 동안 평범한 사람은 18 평방 미터의 방 부피를 가진 액체를 마신다. 반대로 부피는 너무 작은 것 같습니다.
일반적으로 소련의 교육 시스템은 정말 최고였습니다. 1950 년에 출판 된 Perelman의 동일한 책은 유머리스트가 말했듯이 매우 잘 발전하여 문제에 대한 원래의 비표준 솔루션을 찾도록 추론하고 가르칩니다. 최근에 나는 큰 관심을 가지고 몇 장을 다시 읽었고 추천합니다. 인도 주의자들도 접근 할 수 있습니다. 아니요, 내가 제안한 취미 활동, 학식 및 의사 소통에 대한 넓은 전망이 좋은 것이라고 웃을 필요가 없습니다.
서정적 여담 후에 창의적인 작업을 해결하는 것이 적절합니다.
예 4
선으로 둘러싸인 평평한 도형의 축을 중심으로 회전하여 형성된 몸체의 부피를 계산합니다.
이것은 DIY 예제입니다. 모든 일이 대역에서 발생한다는 점에 유의하십시오. 즉, 기성 적분 한계가 실제로 주어집니다. 삼각 함수의 그래프를 올바르게 그립니다. 수업 자료를 상기시켜 드리겠습니다. 그래프의 기하 변환 : 인수가 2로 나누어지면: , 그래프는 축을 따라 두 번 늘어납니다. 최소 3~4개 지점을 찾는 것이 바람직합니다. 삼각법 테이블에 따르면 도면을 보다 정확하게 완성합니다. 수업이 끝날 때 전체 솔루션 및 답변. 그건 그렇고, 작업은 합리적이지 않고 합리적으로 해결할 수 있습니다.
선을 제한하십시오. 평면도는 극좌표계로 주어진다.
예: 둘레 계산: x 2 +y 2 =R 2
I 사분면에 위치한 원의 네 번째 부분의 길이를 계산합니다(х≥0, y≥0).
곡선의 방정식이 param-th 형식으로 제공되는 경우: 
, 함수 x(t), y(t)는 세그먼트 [α,β]에서 해당 도함수와 함께 정의되고 연속적입니다. 미분, 그런 다음 수식에서 대체합니다. 
그리고 주어진 
우리는 얻는다 
승수 추가 
루트 기호 아래에서 우리는 마침내 
참고: 평면 곡선이 주어집니다. 공간에서 매개변수로 주어진 함수를 고려할 수도 있습니다. 그런 다음 함수 z=z(t)가 추가되고 공식이 
예: x=a*cos 3 (t), y=a*sin 3 (t), a>0 방정식으로 주어진 천체의 길이를 계산합니다.
네 번째 부분의 길이를 계산합니다.
공식에 따르면 
극좌표계에서 주어진 평면 곡선의 호 길이:
극좌표계에서 곡선의 방정식을 다음과 같이 지정합니다. 
세그먼트 [α,β]에 대한 도함수와 함께 연속 함수입니다.
극좌표에서 천이하는 공식:
파라메트릭으로 간주:
φ - f-le에 따른 매개변수 
2
예: 곡선 길이 계산: 
>0
Z-tion: 원주의 절반 계산:
신체의 단면적에서 계산된 신체의 부피.
닫힌 표면으로 둘러싸인 물체가 주어지고, 이 물체의 어떤 부분의 면적이 Ox 축에 수직인 평면에 의해 알려지도록 하십시오. 이 영역은 절단 평면의 위치에 따라 달라집니다.
이러한 몸체의 부피를 결정하기 위해 Ox 축에 수직이고 점에서 교차하는 절단면을 사용하여 레이어로 나눕니다. 각 부분 간격에서 회전체의 체적: 함수 y=f(x), Ox 축 및 직선 x=a, x=b의 그래프로 둘러싸인 곡선 사다리꼴의 Ox 축을 중심으로 한 회전에 의해 몸체가 형성된다고 가정합니다. 함수 y=f(x)가 정의되고 세그먼트에서 연속적이고 음수가 아닌 경우 Ox에 수직인 평면에 의한 이 몸체의 섹션은 반지름 R=y(x)=f(x를 갖는 원입니다. ) . 원의 면적 S (x) \u003d Py 2 (x) \u003d P 2. 공식 대체 그러나 곡선 사다리꼴이 함수에서 연속적인 그래프로 경계가 지정된 Oy 축을 중심으로 회전하는 경우 이러한 회전체의 부피는 다음과 같습니다. 다음 공식을 사용하여 동일한 볼륨을 계산할 수 있습니다. 변수를 변경하면 다음을 얻을 수 있습니다. 선이 파라메트릭 방정식으로 제공되는 경우: y(α)=c , y(β)=d . y = y (t)를 변경하면 다음을 얻습니다. 포물선의 y축을 중심으로 회전체를 계산합니다. 2) 직선 y \u003d 0, 호로 둘러싸인 곡선 사다리꼴의 OX 축을 중심으로 회전체의 V를 계산합니다. 회전체의 표면적 x축 주위의 곡선 y=f(x)의 회전에 의해 주어진 표면이 형성된다고 하자. 에서 이 표면의 S를 결정하는 것이 필요합니다. 함수 y \u003d f (x)를 명확하고 연속적이며 세그먼트 [a; c]의 모든 지점에서 음수가 아니고 음수가 아닙니다. 길이를 각각 나타내는 코드(n-코드)를 그려봅시다. 라그랑주 정리에 따르면: 전체 외접 파선의 표면적은 정의: 이 합계의 한계는 폴리라인 최대 링크가 유한한 경우 고려되는 회전 표면의 영역이라고 합니다. 합의 100 극한은 p번째에 대한 적분 합의 극한과 같다는 것을 증명할 수 있습니다. 회전체의 S면 공식 = 에서 Oy 축을 중심으로 곡선 x=g(x)의 호 회전에 의해 형성된 표면의 S 그것의 미분과 연속 곡선이 ur-mi에 의해 파라메트릭하게 주어진 경우엑스=x(t) ,와이=
티(티)
기능엑스’(티),
와이’(티),
엑스(티),
와이(티)는 간격 [ㅏ;
비],
엑스(ㅏ)=
ㅏ,
엑스(비)=
비그런 다음 대체 변경엑스=
엑스(티)
곡선이 파라메트릭 방식으로 주어지면 공식을 변경하면 다음과 같은 결과를 얻습니다. 극좌표계에서 곡선의 방정식이 주어지면 에스축 주위의 회전 표면은
회전체의 부피는 다음 공식으로 계산할 수 있습니다. 수식에서 적분 앞에 숫자가 있어야 합니다. 그렇게 일어났습니다. 인생에서 회전하는 모든 것이이 상수와 연결되어 있습니다. 통합 "a"와 "be"의 한계를 설정하는 방법은 완성 된 그림에서 쉽게 추측 할 수 있다고 생각합니다. 기능... 이 기능은 무엇입니까? 그림을 봅시다. 평평한 그림은 위의 포물선 그래프로 둘러싸여 있습니다. 이것은 수식에 포함된 함수입니다. 실제 작업에서 평평한 그림이 축 아래에 위치할 수 있습니다. 이것은 아무 것도 변경하지 않습니다. 공식의 함수는 제곱됩니다. 따라서 회전체의 부피는 항상 음수가 아니다, 이것은 매우 논리적입니다. 다음 공식을 사용하여 회전체의 부피를 계산합니다. 이미 언급했듯이 적분은 거의 항상 간단한 것으로 판명되며 가장 중요한 것은 조심하는 것입니다. 답변: 대답에서 치수 - 입방 단위를 표시해야합니다. 즉, 우리의 회전체에는 약 3.35개의 "큐브"가 있습니다. 왜 정확히 입방체 단위? 가장 보편적인 제형이기 때문입니다. 입방 센티미터, 입방 미터, 입방 킬로미터 등이 있을 수 있습니다. 상상으로 비행접시에 얼마나 많은 작은 녹색 인간이 들어갈 수 있는지입니다. 예 2 선으로 둘러싸인 도형의 축을 중심으로 회전하여 형성된 몸체의 부피를 구하십시오. 이것은 DIY 예제입니다. 수업이 끝날 때 전체 솔루션 및 답변. 실제로도 자주 발생하는 두 가지 더 복잡한 문제를 고려해 보겠습니다. 예 3 선으로 둘러싸인 그림의 가로축을 중심으로 회전하여 얻은 몸체의 부피를 계산하십시오. 해결책:방정식이 축을 정의한다는 것을 잊지 않고 선 , , , 로 경계가 지정된 평면 그림을 그림에 묘사해 봅시다. 원하는 그림은 파란색 음영으로 표시됩니다. 축을 중심으로 회전하면 네 모서리가 있는 초현실적인 도넛을 얻을 수 있습니다. 회전체의 부피는 다음과 같이 계산됩니다. 체적 차이. 먼저 빨간색으로 동그라미 친 그림을 보자. 축을 중심으로 회전하면 잘린 원뿔이 얻어집니다. 이 잘린 원뿔의 부피를 로 표시해 봅시다. 녹색 원으로 표시된 그림을 고려하십시오. 이 그림을 축을 중심으로 회전시키면 약간 더 작은 잘린 원뿔도 얻게 됩니다. 볼륨을 . 그리고 분명히 볼륨의 차이는 정확히 "도넛"의 볼륨입니다. 우리는 회전체의 부피를 찾기 위해 표준 공식을 사용합니다. 1) 빨간색 원으로 표시된 그림은 위에서부터 직선으로 경계가 지정되므로 다음과 같습니다. 2) 녹색 원으로 표시된 그림은 위에서부터 직선으로 경계가 지정되므로 다음과 같습니다. 3) 원하는 회전체의 부피: 답변: 이 경우 잘린 원뿔의 부피를 계산하는 학교 공식을 사용하여 솔루션을 확인할 수 있다는 것이 궁금합니다. 결정 자체는 종종 다음과 같이 더 짧아집니다. 이제 휴식을 취하고 기하학적 환상에 대해 이야기합시다. 사람들은 종종 책에서 Perelman(동일하지 않음)이 알아차린 볼륨과 관련된 환상을 가지고 있습니다. 흥미로운 기하학. 해결된 문제의 평평한 그림을 보십시오. 면적이 작은 것 같고 회전체의 부피가 50 입방 단위를 조금 넘는데 너무 커 보입니다. 그건 그렇고, 평생 동안 평범한 사람은 18 평방 미터의 방 부피를 가진 액체를 마신다. 반대로 부피는 너무 작은 것 같습니다. 일반적으로 소련의 교육 시스템은 정말 최고였습니다. 1950 년에 그가 쓴 Perelman의 같은 책은 유머리스트가 말했듯이 매우 잘 발전하여 문제에 대한 원래의 비표준 솔루션을 찾도록 추론하고 가르칩니다. 최근에 나는 큰 관심을 가지고 몇 장을 다시 읽었고 추천합니다. 인도 주의자들도 접근 할 수 있습니다. 아니요, 내가 제안한 취미 활동, 학식 및 의사 소통에 대한 넓은 전망이 좋은 것이라고 웃을 필요가 없습니다. 서정적 여담 후에 창의적인 작업을 해결하는 것이 적절합니다. 예 4 선으로 둘러싸인 평면 도형의 축을 중심으로 회전하여 형성된 물체의 부피를 계산합니다. 이것은 DIY 예제입니다. 모든 일이 대역에서 일어난다는 것, 즉 거의 기성 통합 한계가 주어진다는 점에 유의하십시오. 또한 인수를 2로 나눈 경우 삼각 함수의 그래프를 올바르게 그리십시오. 그러면 그래프가 축을 따라 두 번 늘어납니다. 적어도 3-4개의 지점을 찾으십시오. 삼각법 테이블에 따르면도면을 더 정확하게 만듭니다. 수업이 끝날 때 전체 솔루션 및 답변. 그건 그렇고, 작업은 합리적이지 않고 합리적으로 해결할 수 있습니다. 회전에 의해 형성된 신체의 부피 계산 두 번째 단락은 첫 번째 단락보다 훨씬 더 흥미로울 것입니다. y축 주위의 회전체의 체적을 계산하는 작업도 테스트에서 상당히 빈번한 방문자입니다. 통과로 간주됩니다 그림의 영역을 찾는 문제두 번째 방법 - 축을 따라 통합하면 기술을 향상시킬 수 있을 뿐만 아니라 가장 수익성 있는 솔루션을 찾는 방법을 알려줍니다. 실용적인 의미도 있습니다! 수학 교수법 선생님이 미소를 지으며 회상했듯이 많은 졸업생들은 "당신의 과목이 우리에게 많은 도움이되었습니다. 이제 우리는 효과적인 관리자이며 직원을 최적으로 관리합니다." 이 기회를 빌어 특히 습득 한 지식을 의도 한 목적에 사용하기 때문에 그녀에게도 큰 감사를 표합니다 =). 실시예 5 선 , , 로 둘러싸인 평평한 그림이 주어집니다. 1) 이 선으로 둘러싸인 평면 도형의 면적을 구합니다. 주목!두 번째 단락만 읽고 싶어도 먼저 반드시첫 번째 것을 읽으십시오! 해결책:작업은 두 부분으로 구성됩니다. 광장부터 시작합시다. 1) 그림을 실행해 봅시다. 함수가 포물선의 위쪽 가지를 정의하고 함수가 포물선의 아래쪽 가지를 정의한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 우리 앞에는 "옆으로 눕는" 사소한 포물선이 있습니다. 찾을 영역의 원하는 그림은 파란색으로 음영 처리됩니다. 그림의 면적을 찾는 방법은 무엇입니까? 수업에서 고려한 "일반적인"방식으로 찾을 수 있습니다. 확실한 적분. 그림의 면적을 계산하는 방법. 또한 그림의 면적은 면적의 합으로 구합니다. 그 이유는 다음과 같습니다. 이 경우 일반적인 솔루션에 어떤 문제가 있습니까? 첫째, 두 가지 통합이 있습니다. 둘째, 적분 아래의 근과 적분의 근은 선물이 아니며, 더욱이 적분의 극한을 대체하는 데 혼란을 줄 수 있습니다. 사실 적분은 물론 치명적이지는 않지만 실제로는 모든 것이 훨씬 더 슬프고 방금 작업에 "더 나은"기능을 선택했습니다. 보다 합리적인 솔루션이 있습니다. 역함수로의 전환과 축을 따른 적분으로 구성됩니다. 역함수에 전달하는 방법? 대략적으로 말하면 "x"부터 "y"까지 표현해야 합니다. 먼저 포물선을 다루겠습니다. 이 정도면 충분하지만 동일한 함수가 아래쪽 분기에서 파생될 수 있는지 확인하겠습니다. 직선을 사용하면 모든 것이 더 쉽습니다. 이제 축을 보십시오. 설명할 때 주기적으로 머리를 오른쪽으로 90도 기울이십시오(농담이 아닙니다!). 필요한 그림은 빨간색 점선으로 표시된 세그먼트에 있습니다. 동시에 세그먼트에서 직선은 포물선 위에 위치하므로 이미 익숙한 공식을 사용하여 그림의 영역을 찾아야합니다. 수식에서 변경된 사항은 무엇입니까? 편지만 있고 그 이상은 없습니다. !
참고: 축을 따라 통합 한계를 설정해야 합니다. 철저하게 아래에서 위로!
지역 찾기: 따라서 세그먼트에서: 내가 통합을 어떻게 수행했는지 주목하십시오. 이것이 가장 합리적인 방법이며 과제의 다음 단락에서 그 이유가 분명해질 것입니다. 통합의 정확성을 의심하는 독자를 위해 파생 상품을 찾을 것입니다. 적분이 올바르게 수행되었음을 의미하는 원래 피적분 함수가 얻어집니다. 답변: 2) 이 도형이 축을 중심으로 회전하여 형성되는 몸체의 부피를 계산하십시오. 그림을 약간 다른 디자인으로 다시 그립니다. 따라서 파란색으로 음영 처리된 도형은 축을 중심으로 회전합니다. 결과는 축을 중심으로 회전하는 "호버링 나비"입니다. 회전체의 부피를 찾기 위해 축을 따라 통합합니다. 먼저 역함수로 넘어갈 필요가 있습니다. 이것은 이미 수행되었으며 이전 단락에서 자세히 설명했습니다. 이제 우리는 머리를 다시 오른쪽으로 기울이고 우리의 모습을 연구합니다. 당연히 회전체의 체적은 체적의 차이로 구해야 한다. 축을 중심으로 빨간색 원으로 표시된 그림을 회전시켜 잘린 원뿔을 만듭니다. 이 볼륨을 로 표시해 보겠습니다. 축을 중심으로 녹색 원으로 표시된 그림을 회전시키고 결과 회전체의 부피를 통해 표시합니다. 우리 나비의 부피는 부피의 차이와 같습니다. 우리는 공식을 사용하여 회전체의 부피를 찾습니다. 이전 단락의 공식과 어떻게 다릅니 까? 편지로만. 그리고 제가 최근에 말씀드린 적분의 장점은 먼저 피적분을 4제곱으로 올리는 것보다 찾기가 훨씬 쉽습니다. 답변: 그러나 병든 나비. 동일한 평면 그림이 축을 중심으로 회전하면 완전히 다른 회전체가 자연스럽게 다른 볼륨으로 나타납니다. 실시예 6 선과 축으로 둘러싸인 평평한 그림이 주어집니다. 1) 역함수로 이동하여 변수를 적분하여 이 선으로 둘러싸인 평면 도형의 면적을 찾습니다. 이것은 DIY 예제입니다. 원하는 사람은 "일반적인"방식으로 그림의 영역을 찾을 수도 있으므로 포인트 1)의 테스트를 완료합니다. 그러나 반복하면 축을 중심으로 평평한 그림을 회전하면 정답이 다른 볼륨으로 완전히 다른 회전체를 얻습니다 (해결을 원하는 사람들에게도 해당). 수업이 끝날 때 작업의 두 가지 제안 항목에 대한 완전한 솔루션입니다. 아, 회전체와 통합 내에서 이해하려면 머리를 오른쪽으로 기울이는 것을 잊지 마십시오! 이미 기사를 끝내고 싶었지만 오늘 그들은 y축 주위의 회전체의 부피를 찾는 흥미로운 예를 가져왔습니다. 신선한: 실시예 7 곡선으로 둘러싸인 그림의 축을 중심으로 회전하여 형성된 몸체의 부피를 계산하십시오. 포물선의 왼쪽 미사용 지점은 역함수에 해당합니다. 함수 그래프는 축 위의 세그먼트에 있습니다. 회전체의 부피는 이미 회전체 부피의 합으로 구해야 한다고 가정하는 것이 논리적입니다! 다음 공식을 사용합니다. 이 경우: 답변: 안에 그림의 영역을 찾는 문제영역의 합산이 자주 사용되며, 그러한 다양성이 내 시야에서 거의 떨어졌기 때문에 회전체의 양의 합산은 분명히 드뭅니다. 그래도 고려한 예가 적시에 나타났습니다. 우리는 많은 유용한 것을 뽑아 냈습니다. 성공적인 피규어 홍보! 제외하고 명확한 적분을 사용하여 평평한 그림의 면적 찾기(7.2.3 참조)테마의 가장 중요한 적용은 회전체의 체적 계산. 자료는 간단하지만 독자가 준비해야 합니다. 문제를 풀 수 있어야 합니다. 부정 적분중간 복잡도에 Newton-Leibniz 공식을 적용합니다. 정적분, n강력한 제도 기술도 필요합니다. 일반적으로 적분학에는 흥미로운 응용 프로그램이 많이 있습니다. 정적분을 사용하여 그림의 면적, 회전체의 부피, 호의 길이, 표면적을 계산할 수 있습니다. 몸, 그리고 훨씬 더. 좌표평면에 평평한 도형을 상상해보세요. 대표? ... 이제 이 그림도 회전할 수 있으며 두 가지 방법으로 회전할 수 있습니다. - x축 주위 ;
- y축 주위 .
두 가지 경우를 모두 살펴보겠습니다. 회전의 두 번째 방법은 특히 흥미롭고 가장 큰 어려움을 야기하지만 실제로 솔루션은 x축 주위의 일반적인 회전과 거의 동일합니다. 가장 인기 있는 회전 유형부터 시작하겠습니다. 평면 도형이 축을 중심으로 회전하여 형성되는 물체의 부피 계산 황소
예 1 축을 중심으로 선으로 둘러싸인 그림을 회전시켜 얻은 몸체의 부피를 계산하십시오. 해결책:영역을 찾는 문제에서와 같이, 솔루션은 평평한 그림을 그리는 것으로 시작됩니다.. 즉, 비행기에서 XOY방정식이 축을 정의한다는 사실을 잊지 않으면서 선으로 둘러싸인 도형을 구성하는 것이 필요합니다. 그림은 매우 간단합니다. 원하는 평면 그림은 파란색으로 음영 처리되며 축을 중심으로 회전하는 것은 그녀입니다. 회전의 결과 축에 두 개의 날카로운 봉우리가 있는 약간 달걀 모양의 비행접시가 얻어집니다. 황소, 축에 대해 대칭 황소. 사실, 몸에는 수학적 이름이 있습니다. 참고서를 보십시오. 회전체의 부피를 계산하는 방법은 무엇입니까? 축을 중심으로 한 회전의 결과로 몸체가 형성되는 경우황소, 그것은 정신적으로 작은 두께의 병렬 레이어로 나뉩니다. dx축에 수직인 황소. 몸 전체의 체적은 분명히 그러한 기본 층의 체적의 합과 같습니다. 각 층은 레몬의 둥근 조각처럼 높이가 낮은 실린더입니다. dx기본 반지름 에프(엑스). 그러면 한 층의 부피는 기본 면적 π의 곱입니다. 에프 2 ~ 실린더 높이( dx) 또는 π∙ 에프 2 (엑스)∙dx. 그리고 전체 회전체의 면적은 기본 체적의 합 또는 해당 정적분입니다. 회전체의 부피는 다음 공식으로 계산할 수 있습니다. 적분 한계 "a"와 "be"를 설정하는 방법은 완성된 도면에서 쉽게 추측할 수 있습니다. 기능... 이 기능은 무엇입니까? 그림을 봅시다. 평평한 그림은 위의 포물선 그래프로 둘러싸여 있습니다. 이것은 수식에 포함된 함수입니다. 실제 작업에서 평면 그림은 때때로 축 아래에 위치할 수 있습니다. 황소. 이것은 아무 것도 변경하지 않습니다. 공식의 함수는 제곱됩니다. 에프 2 (엑스), 따라서, 회전체의 부피는 항상 음수가 아니다, 이것은 매우 논리적입니다. 다음 공식을 사용하여 회전체의 부피를 계산합니다. 이미 언급했듯이 적분은 거의 항상 간단한 것으로 판명되며 가장 중요한 것은 조심하는 것입니다. 답변: 대답에서 치수 - 입방 단위를 표시해야합니다. 즉, 우리의 회전체에는 약 3.35개의 "큐브"가 있습니다. 왜 정확히 입방체 단위? 가장 보편적인 공식이기 때문입니다. 입방 센티미터, 입방 미터, 입방 킬로미터 등이 있을 수 있습니다. 상상으로 비행접시에 얼마나 많은 작은 녹색 인간이 들어갈 수 있는지입니다. 예 2 축을 중심으로 회전하여 형성된 물체의 부피 찾기 황소선으로 둘러싸인 도형 , , . 이것은 DIY 예제입니다. 수업이 끝날 때 전체 솔루션 및 답변. 예 3 선 , 및 로 둘러싸인 도형의 가로축을 중심으로 회전하여 얻은 몸체의 부피를 계산합니다. 해결책:방정식을 잊지 않고 선으로 둘러싸인 평평한 그림을 그림에 묘사합시다 엑스= 0은 축을 지정합니다. 오이: 원하는 그림은 파란색 음영으로 표시됩니다. 축을 중심으로 회전할 때 황소평평한 각진 베이글 (두 개의 원추형 표면이있는 와셔)이 나옵니다. 회전체의 부피는 다음과 같이 계산됩니다. 체적 차이. 먼저 빨간색으로 동그라미 친 그림을 보자. 축을 중심으로 회전할 때 황소잘린 원뿔이 생깁니다. 이 잘린 원뿔의 부피를 다음과 같이 나타내자. V 1 . 녹색 원으로 표시된 그림을 고려하십시오. 이 그림을 축을 중심으로 회전시키면 황소, 그런 다음 약간 작은 잘린 원뿔도 얻습니다. 그 부피를 다음과 같이 나타내자. V 2 . 확연히 볼륨차이가 V = V 1 - V 2는 "도넛"의 부피입니다. 우리는 회전체의 부피를 찾기 위해 표준 공식을 사용합니다. 1) 빨간색 원으로 표시된 그림은 위에서부터 직선으로 경계가 지정되므로 다음과 같습니다. 2) 녹색 원으로 표시된 그림은 위에서부터 직선으로 경계가 지정되므로 다음과 같습니다. 3) 원하는 회전체의 부피: 답변: 이 경우 잘린 원뿔의 부피를 계산하는 학교 공식을 사용하여 솔루션을 확인할 수 있다는 것이 궁금합니다. 결정 자체는 종종 다음과 같이 더 짧아집니다.
몸 전체가 x축에 수직인 2개의 평면 사이에 둘러싸여 있고 x=a, x=b(a 
. 선택하자
그리고 각 값 i=1,….,n에 대해 모선이 Ox에 평행한 원통형 본체를 구성하고 가이드는 평면 x=С i에 의한 본체 단면의 윤곽이며 부피는 기본 면적이 S=C i이고 높이가 ∆х i인 기본 실린더. V i =S(C i)∆x i . 이러한 기본 실린더의 부피는 
. 이 합계의 한계가 존재하고 최대 ∆х 0에서 유한한 경우 주어진 몸체의 부피라고 합니다.
. V n은 세그먼트에서 연속적인 함수 S(x)에 대한 적분 합계이므로 지정된 한계가 존재하고(존재의 t-ma) def로 표현됩니다. 완전한.
- 단면적에서 계산된 몸체의 체적.
우리는 Ox 축 주위의 회전체의 부피를 계산하는 공식을 얻습니다.
. 선이 파라메트릭 방정식으로 제공되는 경우:
.
(점(1;0)에 중심을 두고 반지름=1), .
축 주위의 평면 도형
2) 이 선으로 둘러싸인 평평한 도형을 축 주위로 회전시켜 얻은 몸체의 부피를 찾습니다.
- 세그먼트에서;
- 세그먼트에서.
2) 이 선으로 둘러싸인 평평한 도형을 축 주위로 회전시켜 얻은 몸체의 부피를 계산하십시오.
.
.
