1차 표면이란 무엇입니까? 1차 대수 표면. 이 참조 자료와 유사 자료의 차이점은 무엇입니까

§7. 1차 표면으로서의 평면. 비행기의 일반 방정식. 주어진 벡터에 수직인 주어진 점을 통과하는 평면의 방정식 공간에서 직사각형 데카르트 좌표계 Oxyz를 도입하고 x, y, z에 대한 1차 방정식(또는 선형 방정식)을 고려하십시오: (7.1) Ax  By  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0 . 정리 7.1. 모든 평면은 (7.1) 형식의 방정식에 의해 임의의 직사각형 데카르트 좌표계에서 정의할 수 있습니다. 평면 위의 직선의 경우와 마찬가지로 정리 7.1의 역 정리가 유효합니다. 정리 7.2. (7.1) 형식의 방정식은 공간에서 평면을 정의합니다. 정리 7.1과 7.2의 증명은 정리 2.1, 2.2의 증명과 유사하게 수행할 수 있다. 정리 7.1과 7.2에서 평면과 그것만이 1차 표면이라는 것을 알 수 있습니다. 방정식 (7.1)을 평면의 일반 방정식이라고 합니다.  계수 A, B, C는 이 방정식으로 정의된 평면에 수직인 벡터 n의 좌표로 기하학적으로 해석됩니다. 이 벡터  n(A, B, C)는 주어진 평면에 대한 법선 벡터라고 합니다. 방정식 (7.2) A(x  x0)  B(y  y0)  C (z  z0)  계수 A, B, C의 모든 가능한 값에 대해 점을 통과하는 모든 평면을 정의합니다. 남 0 ( x0 , y0 ,z0) . 평면 다발의 방정식이라고 합니다. 선택 특정 값 (7.2)에서 A, B, C는 주어진 벡터 n(A, B, C)에 대해 에 수직인 점 남 0을 통과하는 연결에서 평면 P의 선택을 의미합니다(그림 7.1). 예 7.1. 벡터 a  (1, 2,–1), b  (2, 0, 1)에 평행한 점   А(1, 2, 0)을 통과하는 평면 Р의 방정식을 씁니다.    법선 벡터 n에서 P는 주어진 벡터 a와 b에 직교합니다(그림 7.2).  1 2  1  i  j 2 1  k 12 0  0 1 2 0 1 n   a    b 2i  3 j  4k . 좌표를 대입하십시오. Fig. 7.2. 예를 들어 7.1 P M0  점 M 0 및 방정식 (7.2)의 벡터 n, 우리는 Fig. 7.1. 평면 다발 방정식의 방정식에 P: 2(x  1)  3(y  2)  4z  0 또는 P: 2x  3y  4z  4  0 .◄ 1 계수 A, B 중 두 개이면 , 방정식 (7.1)의 C는 0과 같으며 좌표 평면 중 하나에 평행한 평면을 정의합니다. 예를 들어, A  B  0, C  0 - 평면 P1: Cz  D  0 또는 P1: z   D/C(그림 7.3). 법선 벡터  n1(0, 0, C)가 이 평면에 수직이기 때문에 Oxy 평면에 평행합니다. A  C 0 , B  0 또는 B  C  0 , A  0 에 대해 방정식 (7.1)은 평면 P2를 정의합니다. By  D 0 및 P3: 좌표 평면 Oxz 및 Oyz, 그래서   그들의 법선 벡터 n2(0, B, 0) 및 n3(A, 0, 0)은 그들에 수직입니다(그림 7.3). 방정식 (7.1)의 계수 A, B, C 중 하나만 0이면 좌표 축 중 하나에 평행한 평면을 정의합니다(또는 D  0인 경우 이를 포함함). 따라서 평면 P: Ax  By  D  0은 축 Oz, z z  n1  n  n2 P1 L P O  n3 x y O P2 y P3 x에 평행합니다. 7.4. 평면 P: Ax  B y  D  0 , Oz 축에 평행 Fig. 7.3. 법선 벡터 n(A, B, 0)이 Oz 축에 수직이기 때문에 평면은 좌표 의 평면에 평행합니다. L: Ax  By  D  0 , Oxy 평면에 놓여 있습니다(그림 7.4). D  0 방정식(7.1)은 원점을 통과하는 평면을 정의할 때. 예 7.2. 방정식 x  (2  2) y  (2    2)z    3  0은 평면 P를 정의합니다. 좌표평면; b) 좌표축 중 하나에 평행하다. c) 좌표 원점을 통과합니다. 이 방정식을 다음과 같은 형식으로 작성해 봅시다. (7.3) 임의의  값에 대해 방정식 (7.3)은 (7.3)에서 x, y, z의 계수가 동시에 사라지지 않기 때문에 특정 평면을 결정합니다. a)   0 방정식 (7. 3) 평면 Oxy에 평행한 평면 P를 정의하고, P: z  3 / 2 이고,   2로 평면 Oyz에 평행한 평면 P 2를 정의합니다. P: x  5/ 2 . 의 값이 없기 때문에 (7.3)에서 x, z의 계수가 동시에 사라지지 않기 때문에 평면 Oxz에 평행한 방정식 (7.3)에 의해 정의된 평면 P입니다. b)   1에서 방정식(7.3)은 축 Oz에 평행한 평면 P를 정의합니다. P: x  3y  2  0 . 매개 변수 의 다른 값의 경우 좌표축 중 하나에만 평행한 평면을 정의하지 않습니다. c)   3에 대해 방정식(7.3)은 원점을 통과하는 평면 P를 정의합니다. P: 3x  15 y  10 z  0 . ◄ 예 7.3. 통과하는 평면 P의 방정식을 작성하십시오. a) 평면 축 Oxy에 평행 한 점 M (1,  3, 2); b) 0x 축 및 점 M(2, -1, 3) .   a) 여기서 Р에 대한 법선 벡터 n에 대해 벡터 k(0, 0,1) - Ox 축의 단위 벡터를 취할 수 있습니다. 왜냐하면 그것이 Oxy 평면에 수직이기 때문입니다. 점  M (1,  3, 2)의 좌표와 벡터 n을 방정식 (7.2)에 대입하면 평면 P의 방정식을 얻습니다. z 3  0.   b) 법선 벡터 n P는 벡터 i(1, 0, 0) 및 OM(2,  1, 3) 에 직교하므로 벡터 곱은 n: 01   3 j  k로 취할 수 있습니다. 2  1 3 

1.7.1. 비행기.

데카르트 기반의 임의 평면 P와 이에 대한 법선 벡터(수직) `n(A, B, C)을 고려하십시오. 이 평면에서 임의의 고정점 M0(x0, y0, z0)과 현재점 M(x, y, z)을 가져옵니다.

분명히 ?`n = 0 (1.53)

(j = p /2에 대해서는 (1.20) 참조). 이것은 벡터 형식의 평면 방정식입니다. 좌표를 전달하면 평면의 일반 방정식을 얻습니다.

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 ?Ax + Vy + Cz + D = 0 (1.54).

(D = –Ах0 – Ву0 – Сz0; А2 + В2 + С2 ? 0).

데카르트 좌표에서 모든 평면은 1차 방정식으로 정의되고 반대로 모든 1차 방정식은 평면을 정의한다는 것을 알 수 있습니다(즉, 평면은 1차 표면이고 1차 표면은 평면입니다).

일반 방정식에 의해 주어진 평면 위치의 몇 가지 특수한 경우를 고려하십시오.

A \u003d 0 - Ox 축과 평행; B \u003d 0 - Oy 축에 평행; C \u003d 0 -Oz 축과 평행합니다. (좌표 평면 중 하나에 수직인 이러한 평면을 투영이라고 합니다.) D = 0 - 원점을 통과합니다. A = B = 0 - Oz 축에 수직(xOy 평면에 평행); A = B = D = 0 - xOy 평면과 일치합니다(z = 0). 다른 모든 경우도 유사하게 분석됩니다.

D라면? 0, 그런 다음 (1.54)의 두 부분을 -D로 나누면 평면 방정식을 (1.55) 형식으로 가져올 수 있습니다.

a \u003d-D / A, b \u003d-D / B, c \u003d-D / C 관계(1.55)는 세그먼트의 평면 방정식이라고 합니다. a, b, c는 축 Ox, Oy, Oz 및 |a|, |b|, |c|와 평면의 교차점의 가로 좌표, 세로 좌표 및 적용점입니다. 원점에서 해당 축의 평면에 의해 잘린 세그먼트의 길이입니다.

(1.54)의 양쪽에 정규화 계수(mD xcosa + ycosb + zcosg – p = 0(1.56))를 곱합니다.

여기서 cosa \u003d Am, cosb \u003d Bm, cosg \u003d Cm은 평면에 대한 법선의 방향 코사인이고 p는 원점에서 평면까지의 거리입니다.

계산에 사용되는 주요 비율을 고려해 보겠습니다. 평면 A1x + B1y + C1z + D1 = 0 및 A2x + B2y + C2z + D2 = 0 사이의 각도는 이러한 평면 `n1(A1, B1, C1) 및

`n2(A2, B2, C2): (1.57)

(1.57)에서 직각도 조건을 쉽게 구할 수 있습니다.

A1A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 (1.58)

병렬 처리 (1.59) 평면과 법선.

임의의 점 M0(x0, y0, z0)에서 평면까지의 거리(1.54)

다음 식으로 정의됩니다. (1.60)

주어진 세 점 M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3)을 지나는 평면의 방정식은 벡터의 상보 조건(1.25)을 사용하여 가장 편리하게 작성됩니다. 여기서 M(x, y , z)는 평면의 현재 지점입니다.

(1.61)

평면 묶음에 대한 방정식을 제시합니다(즉,

하나의 직선을 통과하는 평면 세트) - 여러 문제에서 사용하는 것이 편리합니다.

(A1x + B1y + C1z + D1) + l(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (1.62)

여기서 l Δ R, 괄호 안은 빔의 두 평면에 대한 방정식입니다.

제어 질문.

1) 주어진 점이 주어진 방정식에 의해 주어진 표면에 있는지 어떻게 확인합니까?

2) 데카르트 좌표계에서 평면의 방정식과 다른 면의 방정식을 구별하는 특징은 무엇인가?

3) 방정식에 다음이 포함되지 않은 경우 평면은 좌표계와 관련이 있습니다. a) 자유 항; b) 좌표 중 하나; c) 두 좌표; d) 좌표와 자유 용어 중 하나; e) 두 개의 좌표와 자유항?

1) 포인트 М1(0,-1,3) 및 М2(1,3,5)가 주어진다. 점 M1을 통과하고 벡터에 수직인 평면의 방정식을 작성하십시오. 정답을 선택하세요.

ㅏ) ; b) .

2) 평면과 사이의 각도를 찾으십시오. 정답을 선택하세요.

가) 135도, 나) 45도

1.7.2. 똑바로. 법선이 동일선상에 있지 않은 평면 또는 교차, 선을 교차 선으로 고유하게 정의하며 다음과 같이 작성됩니다.

이 선을 통해 좌표 평면에 투영하는 평면을 포함하여 무한히 많은 평면(평면의 연필(1.62))을 그릴 수 있습니다. 방정식을 얻으려면 변환(1.63)으로 충분하며 각 방정식에서 미지수 하나를 제거하고 예를 들어 다음 형식으로 줄입니다. (1.63`).

작업을 설정해 보겠습니다. 점 M0(x0, y0, z0)을 통해 벡터 `S(l, m, n)에 평행한 직선을 그립니다(가이드라고 함). 원하는 선에서 임의의 점 M(x, y, z)를 취합니다. 벡터 및 공선상에 있어야 하며, 여기서 우리는 선의 정식 방정식을 얻습니다.

(1.64) 또는 (1.64`)

여기서 cosa, cosb, cosg는 벡터 `S의 방향 코사인입니다. (1.64)에서 주어진 점 M1(x1, y1, z1) 및 M2(x2, y2, z2)를 통과하는 직선의 방정식을 쉽게 얻을 수 있습니다. )

또는 (1.64``)

((1.64)의 분수 값은 선의 각 점에 대해 동일하며 t로 표시될 수 있습니다. 여기서 t R. 직선의 파라메트릭 방정식을 입력할 수 있습니다.

매개 변수 t의 각 값은 선상의 한 점의 좌표 x, y, z 집합 또는 (그렇지 않으면) 선의 방정식을 만족시키는 미지수의 값)에 해당합니다.

이미 사용 중 알려진 속성벡터와 그에 대한 연산 및 직선의 정식 방정식을 사용하면 다음 공식을 쉽게 얻을 수 있습니다.

선 사이의 각도: (1.65)

평행성 조건(1.66).

직각도 l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1.67) 라인.

선과 평면 사이의 각도(원하는 p/2가 되는 선과 평면의 법선 사이의 각도를 찾아 쉽게 구할 수 있음)

(1.68)

(1.66)에서 병렬 조건 Al + Bm + Cn = 0(1.69)을 얻습니다.

선과 면의 직각도(1.70). 두 직선이 같은 평면에 있어야 하는 필요충분조건은 상보조건(1.25)에서 쉽게 구할 수 있다.

(1.71)

제어 질문.

1) 공간에서 직선을 설정하는 방법은 무엇입니까?

1) 점 A(4,3,0)를 지나 벡터에 평행한 직선의 방정식을 쓴다. 정답을 지정하십시오.

ㅏ) ; 비) .

2) 점 A(2,-1,3)과 B(2,3,3)를 지나는 직선의 방정식을 쓰시오. 정답을 표시하십시오.

ㅏ) ; b) .

3) 평면과 선의 교차점 찾기: , . 정답을 지정하십시오.

가) (6,4,5); b) (6, -4.5).

1.7.3. 2차 표면. 3차원 데카르트 기반의 선형 방정식이 평면을 고유하게 정의하는 경우 비선형 방정식, x, y, z를 포함하는 다른 표면을 설명합니다. 방정식이 다음과 같은 경우

Ax2 + Vy2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0이면 2차 곡면을 기술한다(일반적인 2차 곡면 방정식). 데카르트 좌표를 선택하거나 변환하면 방정식이 최대한 단순화되어 해당 표면을 설명하는 다음 형식 중 하나가 됩니다.

1. 생성기가 Oz 축에 평행한 2차 실린더의 정식 방정식과 xOy 평면에 있는 해당 2차 곡선이 가이드 역할을 합니다.

(1.72), (1.73), y2 = 2px(1.74)

타원형, 쌍곡선 및 포물선 실린더.

(원통형 표면은 모선이라고 하는 직선을 자신과 평행하게 이동하여 얻은 표면이라고 합니다. 모선에 수직인 평면과 이 표면의 교차선을 가이드라고 합니다. 모양을 결정합니다. 표면의).

유사하게 Oy 축과 Ox 축에 평행한 생성기를 사용하여 동일한 원통형 표면의 방정식을 작성할 수 있습니다. 가이드는 실린더 표면과 해당 좌표 평면의 교차선으로 정의할 수 있습니다. 다음 형식의 방정식 시스템:

2. 정점이 원점인 2차 원뿔의 방정식:

(1.75)

(원뿔의 축은 각각 축 Oz, Oy 및 Ox입니다)

3. 타원체의 표준 방정식: (1.76);

특별한 경우는 예를 들어 회전 타원체입니다. - 타원을 회전시켜 얻은 표면 오즈 축 주위(언제

а > с 타원체가 압축됩니다. x2 + y2+ z2 + = r2는 반지름이 r인 구의 방정식이 원점을 중심으로 하기 때문입니다.

4. 한 장 쌍곡면의 정식 방정식

("-" 기호는 왼쪽에 있는 세 용어 중 하나 앞에 올 수 있습니다. 이것은 공간에서 표면의 위치만 변경합니다). 특별한 경우는 예를 들어 한 장의 회전 쌍곡면입니다. 는 쌍곡선을 회전시켜 얻은 표면입니다. Oz 축(쌍곡선의 가상 축)을 기준으로 합니다.

5. 두 장 쌍곡면의 정규 방정식

("-" 기호는 왼쪽에 있는 세 용어 앞에 놓일 수 있습니다.)

특별한 경우는 쌍곡선을 Oz 축(쌍곡선의 실제 축)을 중심으로 회전시켜 얻은 표면과 같이 두 장으로 구성된 회전 쌍곡면입니다.

6. 타원 포물면의 정식 방정식

(p >0, q >0) (1.79)

7. 쌍곡선 포물면의 정식 방정식

(p >0, q >0) (1.80)

(변수 z는 변수 x 및 y와 함께 위치를 변경할 수 있습니다. 공간에서 표면의 위치가 변경됩니다).

좌표축에 수직인 평면으로 이러한 표면의 단면을 고려하면 이러한 표면의 특징(모양)에 대한 아이디어를 쉽게 얻을 수 있습니다.

제어 질문.

1) 방정식을 정의하는 공간의 점 집합은 무엇입니까?

2) 2차 실린더의 표준 방정식은 무엇입니까? 2차 콘; 타원체; 한 장 쌍곡면; 두 장 쌍곡면; 타원형 포물면; 쌍곡선 포물면?

1) 구의 중심과 반경을 찾아 정답을 표시하십시오.

a) C(1.5; -2.5; 2), ; b) С(1.5;2.5;2), ;

2) 다음 방정식으로 주어진 표면 유형을 결정합니다. . 정답을 지정하십시오.

a) 한 장 쌍곡면; 쌍곡포물면; 타원형 포물면; 원뿔.

b) 두 장 쌍곡면; 쌍곡포물면; 타원형 포물면; 원뿔.

강의 2. 1차 표면으로서의 평면. 평면 방정식과 그 연구. 공간 속의 선, 공간 속의 선, 공간 속의 평면과 선의 상호 배열. 평면 위의 선, 평면 위의 선 방정식, 한 점에서 평면 위의 선까지의 거리. 2차 곡선; 정식 방정식의 유도, 방정식 연구 및 곡선 구성. 2차 표면, 표면의 정규 방정식 연구. 섹션 방법. 1

분석 기하학의 요소 § 1. 평면. 우리는 OXYZ와 약간의 표면 S F(x, y, z) = 0 z x (S) O y 정의 1: 세 개의 변수가 있는 방정식을 공간에서 표면 S의 방정식이라고 합니다. 만약 이 방정식이 각각의 좌표에 의해 만족된다면 표면에 있는 점이 좌표가 아니라 표면에 있는 점입니다. 2

예. 방정식 (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0)는 점 C(a, b, c)와 반지름 R을 중심으로 하는 구를 정의합니다. M M( x , y, z)는 가변점 M ϵ (S) |CM| = RC 3

정의 2: 표면 S는 일부 데카르트 좌표계에서 n차 대수 방정식으로 주어지는 경우 n차 표면이라고 합니다. F(x, y, z) = 0 (1) 예(S)에서 - 원, 2차 표면 . S가 n차 표면이면 F(x, y, z)는 (x, y, z)에 대한 n차 다항식입니다. 1차 표면인 평면만 고려하십시오. 법선 벡터 4를 사용하여 점 M(x, y, z)을 통과하는 평면의 방정식을 작성해 보겠습니다.

M(x, y, z)를 평면의 임의의(현재) 점으로 둡니다. M M 0 О α 또는 좌표 형식: (2) 방정식 (2) - 점 M을 통과하는 평면의 방정식과 주어진 법선 벡터. 5

D (*) (3) - 평면의 완전한 방정식 평면의 불완전한 방정식. 방정식 (3)에서 여러 계수(동시에 A, B, C는 아님) = 0인 경우 방정식을 불완전이라고 하고 평면 α는 위치에 특이점이 있습니다. 예를 들어, D = 0이면 α는 원점을 통과합니다. 6

점 M 1에서 평면 α M 1까지의 거리 α M 1 (x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0은 점 M 0 K 7에 적용됩니다.

- 점에서 거리 미디엄 1 평면 α 평면 "세그먼트"의 방정식 C(0, 0, c) 값을 사용하여 좌표축에서 0이 아닌 세그먼트를 절단하는 평면의 방정식을 만들어 봅시다. 나, 다. B(0, b, 0)을 A(a, 0, 0) 8이 있는 점 A에 대한 방정식으로 봅시다.

- 평면 α "세그먼트"의 방정식 - 법선 벡터 9에 수직인 점 A를 통과하는 평면의 방정식

§ 2. 직선의 일반 방정식. 공간에서 직선은 두 평면의 교차점으로 정의할 수 있습니다. (1) 직선의 방정식 계수 A 1, B 1, C 1이 동시에 A 2, B 2, C 2에 비례하지 않는 경우 형식 (1)의 시스템은 공간에서 직선을 정의합니다. 10

라인의 파라메트릭 및 표준 방정식 - 임의 포인트 라인 포인트 M M 0 파라메트릭 방정식 t - 매개변수 11

우리가 얻는 t 제거: - 정식 방정식시스템(3)은 벡터 방향의 속도로 초기 위치 M 0(x 0, y 0, z 0)에서 직선적이고 균일한 재료 점의 움직임을 결정합니다. 12

공간에서 선 사이의 각도. 평행도와 직각도의 조건. 공간에 있는 두 직선 L 1, L 2를 표준 방정식으로 지정하면 이 직선 사이의 각도를 결정하는 문제는 각도를 결정하는 것으로 축소됩니다.

그들의 방향 벡터: 스칼라 곱의 정의와 지정된 스칼라 곱의 좌표 표현과 벡터 q 1 및 q 2의 길이를 사용하여 다음을 찾습니다. 15

선 l 1 및 l 2의 평행 조건은 q 1 및 q 2의 공선성에 해당하며, 이러한 벡터 좌표의 비례로 구성됩니다. 곱과 0과의 동등성(cos = 0에서) 형식: l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16

선과 평면 사이의 각도: 선과 평면의 평행도와 직각도에 대한 조건 일반 방정식 Ax + By + Cz + D = 0으로 주어지는 평면 P와 정규식으로 주어지는 선 L을 고려하십시오. 방정식: 17

선 L과 평면 P 사이의 각도는 선 q = (l, m, n)의 방향 벡터와 평면 n = (A, B, C)의 법선 벡터 사이의 각도에 상보적이므로, 스칼라 곱 q n = q n cos 및 등식 cos = sin(= 90 -)의 정의에서 다음을 얻습니다. 18

선 L과 평면 P의 평행 조건(L이 P에 속한다는 사실 포함)은 벡터 q와 n의 수직 조건과 동일하며 다음 벡터의 스칼라 곱의 = 0으로 표현됩니다. q n = 0: Al + Bm + Cn = 0. 선 L과 평면 P의 수직 조건은 벡터 n과 q의 평행 조건과 동일하며 다음 벡터 좌표의 비례로 표현됩니다. 19

두 선이 같은 평면에 속하기 위한 조건 공간 L 1과 L 2의 두 선은 다음과 같을 수 있습니다. 1) 교차합니다. 2) 병렬이어야 한다. 3) 이종 교배. 처음 두 경우에서 선 L 1과 L 2는 같은 평면에 있습니다. 정식 방정식에 의해 주어진 두 직선의 동일한 평면에 속하는 조건을 설정합시다: 20

분명히 두 개의 표시된 선이 동일한 평면에 속하려면 세 벡터 = (x2 - x1, y2 - y1, z 2 - z 1); q 1 = (l 1, m 1, n 1) 및 q 2 = (l 2, m 2, n 2)는 동일 평면에 있으며, 이를 위해 이 세 벡터의 혼합 제품이 필요하고 충분합니다. = 0. 21

표시된 벡터의 혼합 곱을 좌표에 쓰면 두 선 L 1과 L 2가 같은 평면에 속하기 위해 필요하고 충분한 조건을 얻습니다. 22

직선이 평면에 속하기 위한 조건 직선과 평면이 있다고 하자 Ax + Vy + Cz + D = 0. 이러한 조건의 형식은 Ax1 + Vy1 + Cz 1 + D = 0 및 Al + Bm + Cn = 0, 그 중 첫 번째는 직선이 통과하는 점 M1(x1, y1, z1)이 평면에 속한다는 것을 의미하고, 두 번째는 직선과 평면의 평행도 조건이다. 23

2차 곡선. § 1. 평면 위의 선 방정식의 개념. 방정식 f (x, y) = 0은 선에 있지 않은 점의 좌표가 아니라 선에 있는 임의의 점의 좌표에 의해 충족되는 경우 선택한 좌표계에서 선 L의 방정식이라고 합니다. 24

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="예: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}

직교 좌표계에서 x와 y에 대해 n차 대수 방정식으로 주어지는 선 L을 n차 선이라고 합니다. 우리는 1차의 유일한 직선인 직선을 알고 있습니다: Ax + By + D = 0 2차 곡선인 타원, 쌍곡선, 포물선을 고려할 것입니다. 2차 라인의 일반 방정식은 다음과 같습니다. Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26

타원(E) 정의. 타원 - 초점이라고하는 평면 F 1 및 F 2의 두 고정 점까지의 거리의 합이 일정하고 초점 사이의 거리보다 큰 평면의 모든 점 집합입니다. 상수 2a, 초점 사이의 거리 2c를 표시하고 초점을 통과하는 X축을 그립니다(a > c, a > 0, c > 0). 초점 거리의 중간점을 통과하는 Y축. M을 타원의 임의의 점이라고 하자. 즉, M ϵ E r 1 + r 2 = 2 a (1), 여기서 r 1, r 2는 E의 초점 반경 27입니다.

좌표 형식으로 (1)을 씁니다. (2) 이것은 선택한 좌표계에서 타원의 방정식입니다. 단순화 (2) 우리는 다음을 얻습니다. b 2 = a 2 - c 2 (3)은 타원의 정식 방정식입니다. (2)와 (3)이 동등하다는 것을 보여줄 수 있습니다: 28

정식 방정식에 따른 타원의 모양 연구 1) 타원은 2 차 곡선입니다. 2) 타원 대칭. x와 y는 짝수 거듭제곱으로만 (3)에 포함되기 때문에 타원은 2개의 축과 1개의 대칭 중심을 가지며 선택한 좌표계에서 선택한 좌표축 및 점 O와 일치합니다. 29

3) 타원의 위치 즉, 전체 E는 한 변이 x=±a, y=±b인 직사각형 안에 위치한다. 4) 축과의 교차점. A1(-a; 0); A2(a;0); C OX: 타원의 정점 C OC: B 1(0; b); B2(0; -b); 타원의 대칭으로 인해 1/4 분기에만 동작(↓)을 고려합니다. 서른

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt="y에 대해 (3)을 풀면 다음을 얻습니다. 제1사분면에서 x > 0이고 타원이 감소하고 있습니다."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}

쌍곡선(G) 정의: G는 평면의 모든 점의 집합이며, 평면의 2개의 고정된 점까지의 거리 차이 계수 F 1 , F 2는 상수 값이고

단순화 (1): (2)는 G의 표준 방정식입니다. (1)과 (2)는 동등합니다. 정식 방정식에 따른 쌍곡선 조사 1) 2차 Г-선 2) Г는 2개의 축과 1개의 대칭 중심을 가지며, 우리의 경우 좌표축 및 원점과 일치합니다. 3) 쌍곡선의 위치. 34

쌍곡선은 선 x = a, x = -a 사이의 스트립 외부에 있습니다. 4) 축과의 교차점. OX: OY: 해가 없음 A 1(-a; 0); A 2(a; 0) – Г B 1(0; b)의 실수 정점; B 2(0; -b) - 가상 꼭지점 Г 2 a - 실제 축 Г 2 b - 가상 축 Г 35

5) 쌍곡선의 점근선. Γ의 대칭성 덕분에 1/4 분기에서 그 역할을 고려해 봅시다. y에 대해 (2)를 해결하면 다음을 얻습니다. I 분기 x ≥ 0 대응 점 Γ의 방정식 Г, 즉 1분기 Γ가 이 선 아래에 있습니다. 모든 Г는 변이 36인 수직각 안에 있습니다.

6) 첫 번째 부분에서 G가 증가한다는 것을 보여줄 수 있습니다. 7) G를 구성하기 위한 계획

포물선(P) 평면에서 d(준선)와 F(초점)를 고려하십시오. 정의. P - 선 d와 점 F(초점)에서 등거리에 있는 평면의 모든 점 집합 39

d-directrix F-포커스 XOY 포인트 M P then |MF| = |MN| (1) 좌표계에서 선택된 P 방정식 단순화 (1) 우리는 y 2 = 2 px를 얻습니다. (2) – P 표준 방정식.

정식 방정식 x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41에 따라 P를 조사합니다.

§ 4. 실린더. 좌표축에 평행한 생성기가 있는 원통형 표면 선 L의 점 x를 통해 축 OZ에 평행한 직선을 그립니다. 이러한 선에 의해 형성된 표면을 원통형 표면 또는 실린더(C)라고 합니다. OZ 축에 평행한 모든 선을 모선이라고 합니다. l - XOY 평면의 원통형 표면 가이드. 지(x,y) = 0 (1) 42

M(x, y, z)를 원통형 표면의 임의의 점이라고 합니다. L에 투영합니다. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ц y = y 0 M ϵL 0, 즉 즉, 좌표 M은 (1)을 충족합니다. M이 C이면 점 M 0 ϵ L에 투영되지 않으므로 M의 좌표는 방정식 (1)을 충족하지 않습니다. 공간에서 축 OZ에 평행한 모선. 유사하게 우리는 다음을 보여줄 수 있습니다: Ц || 공간에서 Ф(x, z) = 0 OY 43 (y, z) = 0은 공간 Ц || 황소

좌표 평면에 공간선 투영 공간의 선은 매개변수로 그리고 표면의 교차점에 의해 지정될 수 있습니다. 하나의 동일한 선이 ∩ 다른 표면에 의해 주어질 수 있습니다. 두 면 α의 ∩에 의해 공간선 L이 주어진다고 하자: S 1: Ф 1(x, y, z) = 0 S 2: Ф 2(x, y, z) = 0 방정식 L Ф 1(x, y , z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 방정식 (1)에서 Z를 제외한 평면 XOY에 대한 L의 투영을 찾아봅시다. 우리는 방정식을 얻습니다: Z(x, y) = 0 – 공간에서 이것은 발전기 ||가 있는 방정식 Ц입니다. 오즈와 가이드 L.46

투영: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 2차 표면 타원체 – 표면의 표준 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 1) 타원체 – 2차 표면. 2) X, Y, Z는 짝수의 거듭제곱으로만 방정식을 입력합니다 => 표면에는 3개의 평면과 1개의 대칭 중심이 있으며 선택한 좌표계에서 좌표 평면 및 원점과 일치합니다. 47

3) 타원체의 위치 표면은 || 방정식 x = a, x = -a가 있는 평면. 유사하게, 즉 전체 표면이 직육면체 안에 둘러싸여 있습니다. x = ±a, y = ±b, z = ±c. 우리는 섹션의 방법으로 표면을 탐색할 것입니다 - 좌표 평면으로 표면을 교차 || 동등 어구. 섹션에서 우리는 표면의 모양을 판단할 모양으로 선을 얻을 것입니다. 48

표면을 XOY 평면과 교차시킵니다. 섹션에서 우리는 줄을 얻습니다. - 타원 a 및 b - 반축 YOZ 평면과 유사 - 반축 b 및 c가 있는 타원 평면 || XOY h(0, c)이면 타원의 축이 a와 b에서 0으로 감소합니다. 49

a = b = c - 구형 포물면 a) 쌍곡선 포물면은 정준 방정식이 있는 표면입니다. 1) 2차 표면 2) x, y는 짝수 거듭제곱으로만 방정식에 입력되므로 표면은 a와 일치하는 대칭 평면을 갖습니다. 50개 평면 XOZ, YOZ로 좌표를 선택했습니다.

3) 섹션 안장 pl의 방법으로 표면을 검사합니다. XOZ 횡단면에서 오름차순으로 OZ 축에 대칭인 포물선. 제곱 요즈 51

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt="pl. ||h > 0 쌍곡선에 대한 XOY, OX를 따라 실제 반축, h에 대해"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}

b) 두 장 쌍곡면 1) 2차 곡면 2) 3개의 평면과 1개의 대칭 중심 3) 곡면의 위치 x 2 ≥ a 2 ; |엑스| ≥ ; (a, b, c > 0) 표면은 x = a, x = -a 방정식을 사용하여 평면 사이의 스트립 외부에 위치한 두 부분으로 구성됩니다. 4) 단면 방법으로 연구합니다(독립적으로!) 57

2차 원뿔 2차 원뿔은 표준 방정식의 형식이 다음과 같은 표면입니다. 1) 2차 표면 2) 3개의 평면과 1개의 대칭 중심 3) 섹션 pl의 방법을 연구합니다. 엑소이 58

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt="sq. ||XOY |h| –>∞ 0에서 ∞ sq. YOZ 라인 쌍 , 통과"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}

60

공간에서 분석 기하학은 직교 데카르트 좌표에서 첫 번째, 두 번째 등의 대수 방정식에 의해 결정되는 표면을 연구합니다. X,Y,Z에 상대적인 각도:

Ax+By+Cz+D=0 (1)

ㅏx²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Mx+2Ny+2Lz+K=0 (2)

등등. 방정식의 차수는 방정식이 정의하는 표면의 차수라고 합니다. 우리는 이미 방정식 첫 주문(선형) (1) 항상 설정 비행기첫 번째 순서의 유일한 표면입니다. 이미 많은 2차 표면이 있습니다. 그들 중 가장 중요한 것을 고려해 봅시다.

§2. 좌표축 중 하나에 평행한 생성기가 있는 원통형 표면.

예를 들어 방정식이 F(x,y)=0 (1) 이라고 가정합니다. 그런 다음 축 oz(제너레이터)에 평행하고 L의 점을 통과하는 일련의 선은 표면 S를 형성합니다. 원통형 표면.

변수 z를 포함하지 않는 방정식 (1)이 이 원통형 표면 S의 방정식임을 보여줍시다. S에 속하는 임의의 점 M(x, y, z)을 취하십시오. M을 지나는 모선을, 점 N에서 L을 교차합니다. 점 N은 좌표 N(x,y,0)을 가지며 식 (1)을 만족합니다. ( )N은 L에 속합니다. 그러나 좌표 (x,y,z,)도 (1)을 만족합니다. z를 포함하지 않습니다. 따라서 원통면 S의 임의의 점 좌표는 식 (1)을 만족한다. 따라서 F(x,y)=0은 이 원통형 표면의 방정식입니다. 곡선 L은 가이드(곡선)원통형 표면. 공간 시스템에서 L은 사실상 두 방정식 F(x,y)=0 , z=0으로 교차선으로 지정되어야 합니다.

예:

How 평면의 안내선은 타원, 포물선, 쌍곡선입니다. 분명히 방정식 F=(y,z)=0 및 F(x,z)=0은 각각 생성기가 축 OX 및 OY에 평행한 원통형 표면을 정의합니다. 그들의 가이드는 각각 YOZ 및 XOZ 평면에 있습니다.

논평.원통형 표면이 반드시 2차 표면일 필요는 없습니다. 예를 들어, 3차 원통 표면이 있고 방정식 y=sin(x)는 차수가 없는 정현파 원통을 정의합니다. 이는 대수 표면이 아닙니다.

§삼. 회전면의 방정식.

일부 2차 표면은 회전 표면입니다. 일부 곡선 L F(y,z)=0(1)이 YOZ 평면에 놓이도록 합니다. oz 축을 중심으로 한 곡선 (1)의 회전에 의해 형성된 표면 S의 방정식이 무엇인지 알아봅시다.

표면 S에서 임의의 점 M(x,y,z)를 취합니다. L에 속하는 (.) N에서 얻은 것으로 간주할 수 있으며, 점 M과 N의 적용은 (=z)와 같습니다. 여기서 점 N의 세로 좌표는 회전 반경이므로 C(0,0, z)이므로 . 그러나 점 N은 곡선 위에 있으므로 그 좌표가 이를 만족합니다. 수단 (2) . 방정식 (2)는 회전면의 좌표 S에 의해 만족됩니다. 따라서 (2)는 회전면의 방정식입니다. YOZ 평면의 어느 부분에 곡선(1)이 있는지에 따라 부호 "+" 또는 "-"가 표시됩니다. 여기서 y>0 또는 .

따라서 규칙은 다음과 같습니다. 축 OZ를 중심으로 한 곡선 L의 회전에 의해 형성된 표면의 방정식을 찾으려면 곡선 방정식에서 변수 y를 대체해야 합니다.

축 OX 및 OY 주위의 회전 표면 방정식은 유사하게 형성됩니다.

표면

주어진 좌표계에서 어떤 방정식에 의해 정의된 표면은 좌표가 주어진 방정식 F(x; y; z) = 0을 만족하는 점들의 자취입니다.

공간에 선

방정식 F(x; y; z) = 0 및 Ф (x; y; z) = 0이 일부 표면을 정의하는 경우 선 L(x; y; z) = 0은 공통 점의 자취로 정의할 수 있습니다. 두 표면에(표면의 교차선)

1차 표면으로서의 평면

평면에는 최소한 세 가지 정의가 있습니다.

1) 평면은 평면이다. 충분히두 점을 연결하는 모든 선.

2) 평면은 주어진 두 점에서 등거리에 있는 공간상의 점들의 집합입니다.

그리고 이제 평면 방정식의 형태 중 하나에 대해.

첫째, 학창 시절부터 알려져 있습니다. "일치하지 않고 하나의 직선에 있지 않은 세 점은 평면을 정의하며 오직 하나만 정의합니다." 다리가 3개인 의자가 절대적으로 안정적이고(즉, "흔들리지 않음") 다리가 2개 이상인 의자가 안정적이지 않은("바위") 것은 우연이 아닙니다. 둘째, 평면에 대한 법선 벡터는 공간에서 방향을 지정합니다(그림 31 참조).

원하는 평면 p가 벡터에 수직인 점 M 0을 통과하도록 하고,

첫째, 벡터는 벡터 M 0 M 2와 벡터 M 0 M 1의 외적 결과입니다.

둘째, 벡터는 M 0 M 2 벡터와 M 1 M 2 벡터 모두에 수직입니다. 어디서부터 벡터 직교 조건우리는 벡터 M 0 M 2(또는 벡터 M 0 M 1)에 대한 스칼라 곱이 0과 같다는 것을 얻습니다. 점 M 2에 좌표(x; y; z)가 있는 경우 벡터와 벡터 M 0 M 2의 스칼라 곱은 0과 같아야 합니다. 벡터 M 0 M 2가 다음과 같이 정의된다는 사실을 고려하면

우리는 그것을 얻는다

주어진 점을 통과하고 주어진 벡터에 수직인 평면의 방정식

실시예 30(평면 방정식 구하기)

점을 통과하는 평면의 방정식 찾기 M 0 (1; 1; 1) 벡터에 수직

해결책

우리의 경우

A=1, B=1 및 C=1;

x 0 = 2, y 0 = 2, z 0 = 3,

따라서 평면의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

또는 마지막으로

답변

원하는 평면은 방정식에 의해 결정됩니다.

평면의 일반 방정식

일반적으로 다음 형식의 방정식

A x + B y + C z + D = 0

평면을 정의합니다(여기서 A, B 및 C는 평면에 대한 법선 벡터의 좌표입니다). 이러한 평면 방정식의 형태를 "평면 일반 방정식"이라고 합니다.

불완전한 평면 방정식

비행기를 일반 방정식으로 지정하십시오.

A x + B y + C z + D = 0, (*)

1) D = 0이면 (*)는 원점을 통과하는 평면을 정의합니다.

2) A \u003d 0이면 B y + C z + D \u003d 0이고 평면이 있습니다. Ox 축에 평행(왜냐하면);

3) B \u003d 0이면 A x + C z + D \u003d 0이고 평면이 있습니다. 축에 평행 Oy(왜냐하면);

4) C = 0이면 A x + B y + D = 0이고 평면이 있습니다. 오즈 축에 평행(왜냐하면);

5) A = 0; B \u003d 0, C z + D \u003d 0이고 Oxy 평면과 평행한 평면이 있습니다.

6) A = 0; C \u003d 0, B y + D \u003d 0이고 평면 Oxz와 평행 한 평면이 있습니다.

7) B = 0; C = 0, A x + D = 0 그리고 평면 Oyz에 평행한 평면이 있습니다.

8) A \u003d 0, B \u003d 0, D \u003d 0, C z \u003d 0은 Oxy 평면입니다.

9) A = 0, C = 0, D = 0이면 B y = 0은 Oxz 평면입니다.

10) B = 0, C = 0, D = 0이면 A z = 0은 평면 Oyz입니다.

예전과 마찬가지로 평면 위의 직선의 일반 방정식, 일반 방정식에서 다른 형태의 평면 방정식을 얻을 수 있습니다. 이러한 형식 중 하나는 세그먼트의 평면 방정식입니다.

비행기의 일반 방정식에서

A x + B y + C z + D = 0

세그먼트의 평면 방정식이 밝혀졌습니다.

마지막 표현은 "세그먼트의 평면 방정식"입니다.

세그먼트의 평면 방정식

여기서 a, b 및 c - 수량각각 축 Ox, Oy 및 Oz의 평면에 의해 절단된 세그먼트.

일반 방정식으로 두 평면을 지정하십시오.

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 및

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

즉, 법선 벡터에는 좌표가 있습니다.

비행기용

비행기용

평면이 일치하지 않고 평행하지 않도록하십시오 (그림 32 참조)

두 평면 사이의 각도

평면 사이의 각도는 법선 벡터 사이의 각도에 의해 결정되지만 찾는 방법 벡터 사이의 각도우리는 이미 알고 있습니다:

c가 벡터 사이의 각도이면 이것은 평면 p 1과 p 2 사이의 각도입니다.

두 가지 중요한 결과(조건)

두 평면의 직각도 조건

두 평면은 다음과 같은 경우 수직입니다.

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0.