변수를 분리할 수 있는 미분방정식을 푸는 방법을 고려합니다. 분리 가능한 변수가 있는 미분 방정식의 세부 솔루션의 예가 제공됩니다.

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정의

하자 (엑스), q (엑스)- 변수 x의 기능;
피 (와이), r (와이)- 변수 y 의 기능.

분리 가능한 변수가 있는 미분 방정식은 다음 형식의 방정식입니다.

분리 가능한 변수를 사용하여 미분 방정식을 푸는 방법

방정식을 고려하십시오.
(나) .
미분으로 도함수 y를 표현합니다.
;
.
dx 를 곱합니다.
(ii)
방정식을 s로 나눕니다. (x)r(y). 이것은 다음과 같은 경우 수행할 수 있습니다. (x) r(y) ≠ 0. s를 위해 (x) r(y) ≠ 0우리는
.
적분하면 구적법에서 일반 적분을 얻습니다.
(iii) .

s로 나누었기 때문에 (x)r(y), 그러면 우리는 s에 대한 방정식의 적분을 얻습니다. (x) ≠ 0그리고 r (y) ≠ 0. 다음으로 방정식을 풀어야 합니다.
아르 자형 (y) = 0.
이 방정식에 근이 있으면 방정식 (i)의 해이기도 합니다. 방정식 r (y) = 0. n개의 근이 있음 a i , r (아이) = 0, 나는 = 1, 2, ... , n. 그러면 상수 y = a i는 방정식(i)의 해입니다. 이러한 솔루션 중 일부는 이미 일반 적분(iii)에 포함되어 있을 수 있습니다.

원래 방정식이 (ii) 형식으로 주어지면 방정식도 풀어야 합니다.
에스 (x) = 0.
그것의 뿌리 b j , s (b j ) = 0, j = 1, 2, ... , m. 솔루션 x = b j 를 제공합니다.

분리 가능한 변수를 사용하여 미분 방정식을 푸는 예

방정식을 풀다

미분으로 미분을 표현합니다.


dx를 곱하고 로 나눕니다. y ≠ 0에 대해 다음을 갖습니다.

통합합시다.

공식을 사용하여 적분을 계산합니다.



대입하면 방정식의 일반 적분을 얻습니다.
.

이제 경우를 고려하십시오. y = 0 .
y = 0 는 원래 방정식의 해입니다. 일반 적분에 포함되지 않습니다.
최종 결과에 추가해 보겠습니다.

; y= 0 .

참조:
N.M. 군터, R.O. Kuzmin, 고등 수학 문제집, Lan, 2003.

변수를 분리할 수 있는 방정식으로 축소하여 미분방정식을 푸는 방법을 고려합니다. 분리 가능한 변수가 있는 방정식으로 축소되는 미분 방정식의 세부 솔루션의 예가 제공됩니다.

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문제의 공식화

미분 방정식을 고려하십시오
(나) ,
여기서 f는 함수, a, b, c는 상수, b ≠ 0 .
이 방정식은 분리 가능한 변수가 있는 방정식으로 축소됩니다.

해결 방법

우리는 다음과 같이 대체합니다.
유 = ax + by + c
여기서 y는 x의 함수입니다. 따라서 u는 x의 함수이기도 합니다.
x에 대해 미분
유' = (ax + by + c)′ = a + by′
대리자 (나)
u′ = a + by′ = a + b f(ax + by + c) = a + b f (유)
또는:
(ii)
변수를 분리합니다. dx를 곱하고 a + b f로 나눕니다. (유). 만약 a + b f (u) ≠ 0, 그 다음에

적분함으로써 우리는 원래 방정식의 일반 적분을 얻습니다 (나)정사각형:
(iii) .

마지막으로 경우를 고려하십시오.
(iv) a + b f (u) = 0.
이 방정식에 n개의 근이 있다고 가정합니다. u = r i , a + b f (r 나는 ) = 0, 나는 = 1, 2, ...n. 함수 u = r i는 일정하므로 x에 대한 도함수는 0과 같습니다. 따라서 u = r i는 방정식의 해입니다. (ii).
그러나 방정식 (ii)원래 방정식과 일치하지 않음 (나)그리고 아마도 변수 x와 y로 표현되는 모든 해 u = ri 가 원래 방정식을 만족하는 것은 아닙니다. (나).

따라서 원래 방정식의 해는 일반 적분입니다. (iii)그리고 방정식의 몇 가지 근 (iv).

분리 가능한 변수가 있는 방정식으로 축소되는 미분 방정식을 푸는 예

방정식을 풀다
(1)

우리는 다음과 같이 대체합니다.
유 = x - y
x에 대해 미분하고 변환을 수행합니다.
;

dx를 곱하고 u로 나눕니다. 2 .

≠ 0이면, 다음을 얻습니다.

우리는 다음을 통합합니다:

적분 표의 공식을 적용합니다.

우리는 적분을 계산합니다

그 다음에
;
, 또는

일반적인 결정:
.

이제 u = 0 또는 u = x - y = 0 , 또는
y=x.
y′ = (x)′ = 1, 그러면 y = x는 원래 방정식의 해입니다. (1) .

;
.

참조:
N.M. 군터, R.O. Kuzmin, 고등 수학 문제집, Lan, 2003.

종종 미분방정식을 언급하는 것만으로도 학생들은 불편함을 느낍니다. 왜 이런 일이 발생합니까? 대부분의 경우 자료의 기초를 연구할 때 지식의 격차가 발생하기 때문에 디퍼에 대한 추가 연구는 단순히 고문이 됩니다. 무엇을 해야 할지, 어디서부터 시작할지 결정하는 방법이 명확하지 않습니까?

그러나 우리는 확산이 보이는 것만큼 어렵지 않다는 것을 보여주려고 노력할 것입니다.

미분방정식 이론의 기본 개념

학교에서 우리는 미지의 x를 찾아야 하는 가장 간단한 방정식을 알고 있습니다. 사실로 미분 방정식그들과 약간 다를 뿐 - 변수 대신 엑스 그들은 기능을 찾아야합니다 y(x) , 방정식을 항등식으로 바꿉니다.

미분 방정식매우 실용적으로 중요합니다. 이것은 우리 주변의 세계와 아무 관련이 없는 추상 수학이 아닙니다. 미분 방정식의 도움으로 많은 실제 자연 과정이 설명됩니다. 예를 들어, 현 진동, 고조파 발진기의 움직임은 역학 문제의 미분 방정식을 통해 물체의 속도와 가속도를 찾습니다. 또한 뒤생물학, 화학, 경제학 및 기타 여러 과학 분야에서 널리 사용됩니다.

미분 방정식 (뒤)는 함수 y(x)의 도함수, 함수 자체, 독립 변수 및 다양한 조합의 기타 매개변수를 포함하는 방정식입니다.

상미분 방정식, 선형 및 비선형, 동차 및 비균일, 1차 이상의 미분 방정식, 편미분 방정식 등 많은 유형의 미분 방정식이 있습니다.

미분 방정식의 해는 이를 항등식으로 바꾸는 함수입니다. 원격 제어의 일반 및 특정 솔루션이 있습니다.

미분 방정식의 일반 솔루션은 방정식을 항등식으로 바꾸는 일반 솔루션 세트입니다. 미분 방정식의 특정 해는 처음에 지정된 추가 조건을 만족하는 해입니다.

미분 방정식의 차수는 포함된 미분 방정식의 최고 차수에 따라 결정됩니다.

상미분 방정식

상미분 방정식하나의 독립 변수를 포함하는 방정식입니다.

1차의 가장 간단한 상미분 방정식을 고려하십시오. 다음과 같습니다.

이 방정식은 우변을 적분하여 간단히 풀 수 있습니다.

이러한 방정식의 예:

분리 가능한 변수 방정식

에 일반보기이 유형의 방정식은 다음과 같습니다.

다음은 예입니다.

이러한 방정식을 풀려면 변수를 분리하여 다음 형식으로 가져와야 합니다.

그 후에는 두 부분을 통합하고 솔루션을 얻는 것이 남아 있습니다.

1차 선형 미분 방정식

이러한 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

여기서 p(x) 및 q(x)는 독립 변수의 일부 함수이고 y=y(x)는 원하는 함수입니다. 다음은 그러한 방정식의 예입니다.

이러한 방정식을 풀 때 대부분 임의 상수의 변형 방법을 사용하거나 원하는 함수를 다른 두 함수 y(x)=u(x)v(x)의 곱으로 나타냅니다.

이러한 방정식을 풀려면 특정 준비가 필요하며 "변덕스럽게" 가져가기가 매우 어려울 것입니다.

분리 가능한 변수로 DE를 푸는 예

그래서 우리는 가장 간단한 유형의 원격 제어를 고려했습니다. 이제 그 중 하나를 살펴보겠습니다. 변수를 분리할 수 있는 방정식이라고 합시다.

먼저 도함수를 보다 친숙한 형식으로 다시 작성합니다.

그런 다음 변수를 분리합니다. 즉, 방정식의 한 부분에서는 모든 "게임"을 수집하고 다른 부분에서는 "xes"를 수집합니다.

이제 두 부분을 통합해야 합니다.

우리는 이 방정식의 일반 솔루션을 통합하고 얻습니다.

물론 미분방정식을 푸는 것은 일종의 예술입니다. 방정식이 어떤 유형에 속하는지 이해할 수 있어야 하며, 미분 및 통합 능력은 말할 것도 없고, 방정식을 한 형식 또는 다른 형식으로 가져오기 위해 방정식을 사용하여 어떤 변환을 수행해야 하는지 알 수 있어야 합니다. 그리고 DE를 푸는 데 성공하려면 (모든 것과 마찬가지로) 연습이 필요합니다. 그리고 당신이 가지고 있다면 이 순간미분 방정식을 푸는 방법을 다룰 시간이 없거나 코시 문제가 목구멍의 뼈처럼 생겼거나 프레젠테이션 형식을 올바르게 지정하는 방법을 모르는 경우 저자에게 문의하십시오. 빠른 시일 내에 고객이 편리한 시간에 상세하게 이해할 수 있는 기성품의 상세한 솔루션을 제공해 드리겠습니다. 그동안 "미분 방정식을 푸는 방법"이라는 주제에 대한 비디오를 시청하는 것이 좋습니다.

1차 미분 방정식. 솔루션 예시.
분리 가능한 변수가 있는 미분 방정식

미분 방정식(DE). 이 두 단어는 보통 일반 평신도를 두렵게 만듭니다. 미분 방정식은 터무니없고 많은 학생들이 마스터하기 어려운 것 같습니다. Uuuuuu… 미분 방정식, 이 모든 것을 어떻게 버틸 수 있을까요?!

그러한 견해와 태도는 근본적으로 잘못된 것이다. 미분 방정식은 간단하고 재미있습니다. 미분방정식을 풀기 위해 무엇을 알아야 하고 배울 수 있습니까? diffures를 성공적으로 연구하려면 통합과 차별화를 잘해야 합니다. 주제를 잘 공부할수록 한 변수의 함수 도함수그리고 무한 적분, 미분방정식을 이해하기가 더 쉬울 것입니다. 나는 더 많이 말할 것입니다. 어느 정도 괜찮은 통합 기술이 있다면 주제는 실제로 마스터됩니다! 풀 수 있는 다양한 유형의 적분은 많을수록 좋습니다. 왜요? 많이 통합해야 합니다. 그리고 차별화하십시오. 또한 강력 추천찾는 법을 배웁니다.

95%의 경우에서 제어 작업 3가지 유형의 1계 미분 방정식이 있습니다. 분리 가능한 방정식, 이 단원에서 다룰 것입니다. 동차 방정식그리고 선형 불균일 방정식. 디퓨저를 공부하는 초보자의 경우 이 순서의 수업을 읽는 것이 좋으며 처음 두 기사를 공부한 후에는 추가 워크샵에서 기술을 통합하는 것이 나쁘지 않을 것입니다. 균질화하는 방정식.

더 희귀한 유형의 미분 방정식이 있습니다: 전체 미분의 방정식, 베르누이 방정식 및 기타. 마지막 두 가지 유형 중 가장 중요한 것은 총 미분의 방정식입니다. 이 DE 외에도 새로운 재료를 고려하고 있기 때문입니다. 부분 통합.

하루나 이틀만 남았다면, 그 다음에 초고속 준비를 위해있다 전격 코스 pdf 형식으로.

이제 랜드마크가 설정되었습니다.

먼저 일반적인 대수 방정식을 기억합시다. 여기에는 변수와 숫자가 포함됩니다. 가장 간단한 예: . 일반 방정식을 푸는 것은 무엇을 의미합니까? 이것은 찾아내는 것을 의미합니다 숫자의 집합이 방정식을 만족시키는 것. 어린이 방정식에 단일 근이 있음을 쉽게 알 수 있습니다. . 재미를 위해 확인을 하고 찾은 근을 방정식에 대입해 보겠습니다.

- 올바른 평등이 얻어지며 이는 솔루션이 올바르게 발견되었음을 의미합니다.

디퓨즈는 거의 같은 방식으로 배열됩니다!

미분 방정식 첫 주문일반적으로 포함:
1) 독립변수 ;
2) 종속변수(함수);
3) 함수의 1차 도함수: .

1차 방정식의 일부에서는 "x" 또는 (및) "y"가 없을 수 있지만 이것이 필수적인 것은 아닙니다. 중요한그래서 DU에서 ~였다 1차 도함수, 하지 않았다고차 파생 상품 - 등

무슨 뜻인가요?미분방정식을 푸는 것은 모든 기능의 집합이 방정식을 만족시키는 것. 이러한 함수 집합은 종종 (임의의 상수) 형식을 가지며, 미분 방정식의 일반 솔루션.

실시예 1

미분방정식 풀기

전체 탄약입니다. 시작 위치 해결책?

먼저 파생상품을 약간 다른 형태로 다시 작성해야 합니다. 우리는 많은 사람들이 우스꽝스럽고 불필요하다고 생각했던 성가신 표기법을 기억합니다. 디퓨저를 지배하는 것입니다!

두 번째 단계에서는 가능한지 확인합니다. 분할 변수?변수를 분리한다는 것은 무엇을 의미합니까? 대충 말하자면, 왼쪽에우리는 떠날 필요가있다 오직 "게임", ㅏ 오른쪽에정리하다 x만. 변수 분리는 "학교"조작의 도움으로 수행됩니다. 괄호, 부호 변경으로 부분에서 부분으로 용어 이전, 비율 규칙에 따라 부분에서 부분으로 요소 이전 등

차별은 완전한 승수이자 적대 행위에 적극적으로 참여합니다. 이 예에서 변수는 비율 규칙에 따라 요인을 뒤집음으로써 쉽게 분리됩니다.

변수가 분리됩니다. 왼쪽에는 "게임"만, 오른쪽에는 "X"만 있습니다.

다음 단계 - 미분 방정식 적분. 간단합니다. 두 부분에 적분을 걸면 됩니다.

물론 적분을 취해야 합니다. 이 경우 표 형식입니다.

우리가 기억하듯이, 상수는 모든 역도함수에 할당됩니다. 여기에 두 개의 적분이 있지만 상수를 한 번 쓰면 충분합니다. (상수 + 상수는 여전히 다른 상수와 동일하기 때문에). 대부분의 경우 오른쪽에 배치됩니다.

엄밀히 말하면 적분을 취한 후 미분방정식을 풀린 것으로 간주됩니다. 유일한 것은 우리의 "y"가 "x"를 통해 표현되지 않는다는 것입니다. 즉, 솔루션이 제시됩니다. 암시적으로형태. 미분방정식의 묵시적 해는 다음과 같다. 미분 방정식의 일반 적분. 즉, 일반 적분입니다.

이 형식의 답변은 상당히 수용 가능하지만 더 나은 옵션이 있습니까? 얻으려고 노력하자 공통의 결정.

제발, 첫 번째 기술을 기억하십시오, 매우 일반적이며 실제 작업에서 자주 사용됩니다. 적분 후 로그가 오른쪽에 나타나면 많은 경우(항상 그런 것은 아님) 로그 아래에도 상수를 쓰는 것이 좋습니다. 그리고 대수만 얻은 경우 항상 작성하십시오(고려 중인 예에서와 같이)..

그건, 대신에기록은 일반적으로 작성됩니다 .

이것이 필요한 이유는 무엇입니까? 그리고 "y"를 더 쉽게 표현하기 위해. 우리는 로그의 속성을 사용합니다 . 이 경우:

이제 로그와 모듈을 제거할 수 있습니다.

기능이 명시적으로 제공됩니다. 이것이 일반적인 솔루션입니다.

대답: 일반적인 결정: .

많은 미분 방정식에 대한 답은 확인하기가 상당히 쉽습니다. 우리의 경우 이것은 매우 간단하게 수행됩니다. 찾은 솔루션을 사용하여 차별화합니다.

그런 다음 도함수를 원래 방정식에 대입합니다.

- 정확한 평등이 얻어지며, 이는 일반 솔루션이 확인해야 하는 방정식을 충족함을 의미합니다.

일정한 주기 다양한 의미, 당신은 무한히 많이 얻을 수 있습니다 개인적인 결정미분 방정식. , 등의 기능이 있음이 분명합니다. 미분 방정식을 만족합니다.

때로는 일반적인 솔루션이 호출됩니다. 함수 패밀리. 이 예에서 일반적인 솔루션 선형 함수의 가족 또는 직접 비례의 가족입니다.

첫 번째 예에 대한 자세한 논의 후에 미분 방정식에 대한 몇 가지 순진한 질문에 답하는 것이 적절합니다.

1)이 예에서는 변수를 분리했습니다. 이것이 항상 가능합니까?항상은 아닙니다. 그리고 훨씬 더 자주 변수를 분리할 수 없습니다. 예를 들어, 균질 1차 방정식먼저 교체해야 합니다. 예를 들어 1차 선형 비균일 방정식과 같은 다른 유형의 방정식에서는 일반적인 솔루션을 찾기 위해 다양한 트릭과 방법을 사용해야 합니다. 첫 번째 수업에서 고려하는 분리 가능한 변수 방정식은 가장 간단한 유형의 미분 방정식입니다.

2) 미분방정식을 적분하는 것이 항상 가능한가?항상은 아닙니다. 적분할 수 없는 "멋진" 방정식을 생각해 내는 것은 매우 쉽습니다. 게다가 취할 수 없는 적분도 있습니다. 그러나 그러한 DE는 특별한 방법을 사용하여 대략적으로 해결할 수 있습니다. D'Alembert와 Cauchy는 보증합니다... ...어, 잠복합니다.지금 막 많이 읽었습니다. 거의 "다른 세계에서"라고 덧붙였습니다.

3) 이 예에서 우리는 일반 적분 형태의 솔루션을 얻었습니다. . 일반 적분, 즉 명시적 형식으로 "y"를 표현하는 일반 솔루션을 찾는 것이 항상 가능합니까?항상은 아닙니다. 예를 들어: . 자, 여기서 "y"를 어떻게 표현할 수 있습니까?! 이러한 경우 답은 일반 적분으로 작성해야 합니다. 또한 때론 일반적인 해법을 찾을 수도 있지만 너무 번거롭고 엉성하게 작성되어 일반 적분 형태로 답을 남겨두는 것이 좋다.

4) ...아마도 지금은 충분할 것입니다. 첫 번째 예에서 우리는 또 다른 중요한 포인트 , 그러나 새로운 정보의 눈사태로 "인형"을 덮지 않기 위해 다음 수업까지 남겨 두겠습니다.

서두르지 맙시다. 또 다른 간단한 원격 제어 및 또 다른 일반적인 솔루션:

실시예 2

초기 조건을 만족하는 미분 방정식의 특정 해 찾기

해결책: 찾는 조건에 따라 개인적인 결정주어진 초기 조건을 만족하는 DE. 이런 질문을 일컬어 코시 문제.

먼저 일반적인 솔루션을 찾습니다. 방정식에 "x" 변수가 없지만 이것은 당황하지 않아야 합니다. 가장 중요한 것은 1차 도함수가 있다는 것입니다.

파생 상품을 필요한 형식으로 다시 작성합니다.

분명히 변수는 왼쪽으로 남자는 오른쪽으로 여자는 나눌 수 있습니다.

방정식을 통합합니다.

일반 적분을 얻습니다. 여기에 악센트 별이있는 상수를 그렸습니다. 사실은 곧 다른 상수로 바뀔 것입니다.

이제 일반 적분을 일반 솔루션으로 변환하려고 합니다(명시적으로 "y"로 표현). 우리는 오래되고 좋은 학교를 기억합니다. . 이 경우:

표시기의 상수는 어떻게 든 정결하지 않은 것처럼 보이므로 일반적으로 하늘에서 땅으로 낮아집니다. 자세히 보면 이렇게 됩니다. 도의 속성을 사용하여 함수를 다음과 같이 다시 작성합니다.

가 상수이면 도 일부 상수이면 다음과 같이 문자로 다시 지정합니다.
- 동시에 모듈을 제거한 후 상수 "ce"는 양수와 음수 값

상수의 "철거"는 두 번째 기술, 미분 방정식을 푸는 과정에서 자주 사용됩니다. 깨끗한 사본에서 즉시 이동할 수 있습니다. 하지만 항상 이 전환을 설명할 준비가 되어 있습니다.

따라서 일반적인 솔루션은 다음과 같습니다. 지수 함수의 멋진 가족입니다.

마지막 단계에서 주어진 초기 조건을 만족하는 특정 솔루션을 찾아야 합니다. 너무 간단합니다.

과제는 무엇입니까? 픽업 필요 그런조건을 만족시키는 상수의 값.

여러 가지 방법으로 배열할 수 있지만 아마도 가장 이해하기 쉬운 방법은 다음과 같습니다. 일반적인 솔루션에서는 "x" 대신 0을 대체하고 "y" 대신 2를 대체합니다.



그건,

표준 디자인 버전:

이제 찾은 상수 값을 일반 솔루션으로 대체합니다.
– 이것이 우리에게 필요한 특정 솔루션입니다.

대답: 개인 솔루션:

확인을 해봅시다. 특정 솔루션의 검증에는 두 단계가 포함됩니다.

먼저, 찾은 특정 해가 초기 조건 ?을 만족하는지 확인해야 합니다. "x" 대신 0을 대체하고 어떤 일이 발생하는지 확인합니다.
- 예, 실제로 듀스를 얻었습니다. 이는 초기 조건이 충족되었음을 의미합니다.

두 번째 단계는 이미 익숙합니다. 결과 특정 솔루션을 사용하여 파생 상품을 찾습니다.

원래 방정식에 대입:

- 정확한 평등이 얻어진다.

결론: 특정 솔루션을 올바르게 찾았습니다.

좀 더 의미 있는 예시로 넘어갑시다.

실시예 3

미분방정식 풀기

해결책:도함수를 필요한 형식으로 다시 작성합니다.

변수를 분리할 수 있는지 여부를 평가합니까? 할 수 있다. 부호 변경으로 두 번째 항을 오른쪽으로 옮깁니다.

그리고 우리는 비율의 규칙에 따라 요소를 뒤집습니다.

변수가 분리되어 있으므로 두 부분을 통합해 보겠습니다.

경고해야 합니다. 심판의 날이 다가오고 있습니다. 잘 배우지 못했다면 무한 적분, 몇 가지 예를 해결하면 갈 곳이 없습니다. 지금 마스터해야합니다.

왼쪽의 적분은 찾기 쉽습니다. 코탄젠트의 적분으로 수업에서 고려한 표준 기술을 다룹니다. 삼각 함수의 통합지난 해:

결과적으로 우리는 로그만 얻었고 나의 첫 번째 기술 권장 사항에 따라 로그 아래에 상수도 정의합니다.

이제 일반 적분을 단순화하려고 합니다. 로그만 있기 때문에 로그를 제거하는 것이 가능하고 필요합니다. 사용하여 알려진 속성로그를 최대로 "포장"합니다. 나는 아주 자세하게 쓸 것이다:

포장은 야만적으로 너덜너덜하게 완료되었습니다.
, 즉시 제공 공통 적분가능한 한 빨리 마음에:

일반적으로 이렇게 할 필요는 없지만 항상 교수님을 기쁘게 하는 것이 유리합니다 ;-)

원칙적으로 이 걸작은 답으로 쓸 수 있지만 여기에서는 두 부분을 모두 제곱하고 상수를 재정의하는 것이 여전히 적절합니다.

대답:일반 적분:

! 메모: 일반 적분은 종종 한 가지 이상의 방식으로 작성될 수 있습니다. 따라서 결과가 이전에 알려진 답과 일치하지 않는다고 해서 방정식을 잘못 풀었다는 의미는 아닙니다.

"y"로 표현할 수 있습니까? 할 수 있다. 일반적인 솔루션을 표현하자면 다음과 같습니다.

물론 얻은 결과는 답에 적합하지만 일반 적분은 더 간결해 보이고 솔루션은 더 짧은 것으로 나타났습니다.

세 번째 기술 팁:일반적인 솔루션을 얻기 위해 상당한 수의 작업을 수행해야 하는 경우 대부분의 경우 이러한 작업을 자제하고 답을 일반 적분 형태로 남겨두는 것이 좋습니다. 역함수를 표현하고, 힘을 키우고, 뿌리를 내리는 등의 작업이 필요할 때 "나쁜" 행동에도 동일하게 적용됩니다.사실 일반적인 솔루션은 큰 뿌리, 기호 및 기타 수학적 쓰레기와 함께 소박하고 성가신 것처럼 보일 것입니다.

확인하는 방법? 확인은 두 가지 방법으로 수행할 수 있습니다. 방법 1: 일반적인 솔루션 사용 , 우리는 파생 상품을 찾습니다 그리고 그것들을 원래 방정식에 대입합니다. 직접 해보십시오!

두 번째 방법은 일반 적분을 미분하는 것입니다. 꽤 쉽습니다. 가장 중요한 것은 찾을 수 있다는 것입니다. 암시적으로 정의된 함수의 도함수:

각 항을 다음으로 나눕니다.

그리고 에:

원래의 미분 방정식이 정확하게 얻어졌으며, 이는 일반 적분을 올바르게 찾았음을 의미합니다.

실시예 4

초기 조건을 만족하는 미분방정식의 특정 해를 구합니다. 검사를 실행합니다.

이것은 직접 만든 예입니다.

알고리즘은 두 단계로 구성되어 있음을 상기시킵니다.
1) 일반적인 해결책을 찾는 것;
2) 필요한 특정 솔루션을 찾는 것.

확인은 또한 두 단계로 수행되며(예제 2의 샘플 참조) 다음이 필요합니다.
1) 발견된 특정 솔루션이 초기 조건을 충족하는지 확인합니다.
2) 특정 해가 일반적으로 미분방정식을 만족하는지 확인한다.

수업이 끝날 때 완전한 솔루션과 답변.

실시예 5

미분 방정식의 특정 해 찾기 , 초기 조건을 만족합니다. 검사를 실행합니다.

해결책:먼저 일반적인 해를 구해보자 이 방정식은 이미 만들어진 미분과 , 즉 해가 단순화되었음을 의미합니다. 변수 분리:

방정식을 통합합니다.

왼쪽의 적분은 표 형식이고 오른쪽의 적분은 취한 것입니다. 미분 부호 아래에서 함수를 합산하는 방법:

일반 적분을 구했는데 일반 솔루션을 성공적으로 표현할 수 있습니까? 할 수 있다. 우리는 양쪽에 로그를 걸었습니다. 양수이므로 모듈로 기호는 중복됩니다.

(변신은 다들 이해하셨으면 하는 바램, 그런건 이미 알고있어야함)

따라서 일반적인 솔루션은 다음과 같습니다.

주어진 초기 조건에 해당하는 특정 솔루션을 찾자.
일반 솔루션에서 "x" 대신 0을, "y" 대신 2의 로그를 대체합니다.

더 친숙한 디자인:

우리는 상수의 발견된 값을 일반 솔루션으로 대체합니다.

대답:개인 솔루션:

확인: 먼저 초기 조건이 충족되는지 확인합니다.
- 모든 좋은.

이제 찾은 특정 해가 미분방정식을 전혀 만족하는지 확인해보자. 파생 상품을 찾습니다.

원래 방정식을 살펴보겠습니다. – 차동으로 표시됩니다. 확인하는 방법은 2가지가 있습니다. 발견된 미분과의 미분을 표현하는 것이 가능합니다:

우리는 발견된 특정 솔루션과 결과 미분을 원래 방정식으로 대체합니다. :

기본 로그 항등을 사용합니다.

올바른 평등이 얻어지며 이는 특정 솔루션이 올바르게 발견되었음을 의미합니다.

확인하는 두 번째 방법은 미러링되고 더 친숙합니다. 방정식에서 이를 위해 우리는 모든 조각을 다음과 같이 나눕니다.

그리고 변환된 DE에서 우리는 얻은 특정 솔루션과 발견된 도함수를 대체합니다. 단순화의 결과로 올바른 평등도 얻어야 합니다.

실시예 6

방정식의 일반 적분을 구하고 답을 로 제시하십시오.

이것은 수업이 끝날 때 자체 해결, 완전한 솔루션 및 답변에 대한 예입니다.

분리 가능한 변수로 미분 방정식을 풀 때 어떤 어려움이 기다리고 있습니까?

1) 변수가 분리될 수 있다는 것이 (특히 찻주전자에 대해) 항상 분명한 것은 아닙니다. 조건부 예를 고려하십시오. . 여기서 대괄호에서 요소를 제거하고 근을 분리해야 합니다. 더 나아가는 방법은 분명합니다.

2) 통합 자체의 어려움. 적분은 종종 가장 간단하지 않고 발생하며, 찾는 기술에 결함이 있는 경우 무한 적분, 그러면 많은 디퓨저에서 어려울 것입니다. 또한 컬렉션 및 매뉴얼의 컴파일러는 "미분 방정식이 간단하기 때문에 적어도 적분은 더 복잡할 것"이라는 논리로 유명합니다.

3) 상수가 있는 변환. 모두가 알아차렸듯이, 미분 방정식의 상수는 매우 자유롭게 다룰 수 있으며 일부 변환은 초보자에게 항상 명확하지 않습니다. 또 다른 가상의 예를 살펴보겠습니다. . 그것에서 모든 항에 2를 곱하는 것이 좋습니다. . 결과 상수는 다음과 같이 나타낼 수 있는 일종의 상수이기도 합니다. . 네, 그리고 동일한 로그를 가지고 있기 때문에 상수를 다른 상수로 다시 작성하는 것이 좋습니다. .

문제는 인덱스에 신경 쓰지 않고 같은 문자를 사용하는 경우가 많다는 것입니다. 결과적으로 결정 레코드는 다음 형식을 취합니다.

이런 젠장?! 다음은 오류입니다! 엄밀히 말하면 그렇습니다. 그러나 실질적인 관점에서는 변수 상수의 변환 결과 등가의 변수 상수가 얻어지기 때문에 오류가 없습니다.

또는 다른 예로, 방정식을 푸는 과정에서 일반 적분을 얻는다고 가정합니다. 이 답변은 보기 흉하므로 각 용어의 부호를 변경하는 것이 좋습니다. . 공식적으로 다시 오류가 발생합니다. 오른쪽에 라고 적어야 합니다. 그러나 "마이너스 ce"는 여전히 동일한 값 집합을 취하는 상수이므로 "마이너스"를 넣는 것은 의미가 없다는 것이 비공식적으로 암시됩니다.

나는 부주의한 접근을 피하려고 노력할 것이고, 그것들을 변환할 때 여전히 상수에 대해 다른 색인을 내려놓을 것입니다. 내가 당신에게 조언하는 것입니다.

실시예 7

미분 방정식을 풉니다. 검사를 실행합니다.

해결책:이 방정식은 변수의 분리를 허용합니다. 변수 분리:

우리는 다음을 통합합니다:

여기서 상수는 로그로 정의할 필요가 없습니다. 좋은 결과가 없기 때문입니다.

대답:일반 적분:

그리고 물론 여기서 "y"를 명시적으로 표현할 필요는 없습니다. 왜냐하면 그것은 쓰레기로 판명될 것이기 때문입니다(세 번째 기술 팁을 기억하십시오).

시험: 답을 미분(암시적 함수):

우리는 분수를 제거합니다. 이를 위해 두 항에 다음을 곱합니다.

원래의 미분 방정식이 얻어졌으며, 이는 일반 적분이 올바르게 발견되었음을 의미합니다.

실시예 8

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