확률변수가 정규분포를 따르는 경우. 정규 분포. MS EXCEL의 연속 배포. 이변량 정규 분포의 밀도 도표
정의. 정상연속적인 확률 분포라고 불린다. 무작위 변수, 이는 확률 밀도로 설명됩니다.
정규분포법칙이라고도 함 가우스의 법칙.
정규분포 법칙은 확률 이론에서 중심 위치를 차지합니다. 이는 이 법칙이 무작위 변수가 다양한 요인의 작용 결과인 모든 경우에 나타나기 때문입니다. 다른 모든 유통법은 정규법에 접근합니다.
분포 밀도에 포함된 모수와 는 각각 확률 변수 X의 수학적 기대값과 표준 편차임을 쉽게 알 수 있습니다.
분포함수를 구해보자 에프엑스(F(x)).
정규분포의 밀도 그래프는 다음과 같습니다. 정규곡선또는 가우스 곡선.
정규곡선에는 다음과 같은 속성이 있습니다.
1) 함수는 수직선 전체에 정의됩니다.
2) 모든 사람 앞에서 엑스분포 함수는 양수 값만 취합니다.
3) OX 축은 확률 밀도 그래프의 수평 점근선입니다. 인수의 절대값이 무제한으로 증가합니다. 엑스, 함수의 값은 0이 되는 경향이 있습니다.
4) 함수의 극값을 구합니다.
왜냐하면 ~에 와이' > 0~에 엑스< m 그리고 와이'< 0 ~에 x > m, 그러면 그 시점에서 x = 티함수의 최대값은 와 같습니다.
5) 함수는 직선을 기준으로 대칭입니다. x = 에이, 왜냐하면 차이점
(엑스 – 에이)는 제곱 분포 밀도 함수에 포함됩니다.
6) 그래프의 변곡점을 찾기 위해 밀도 함수의 2차 도함수를 구하겠습니다.
~에 x = m+ 및 x = m- 2차 도함수는 0과 같고, 이 점들을 통과할 때 부호가 변경됩니다. 이 지점에서 함수에는 변곡점이 있습니다.
이 지점에서 함수의 값은 입니다.
분포밀도함수를 그려봅시다.
그래프는 다음을 위해 만들어졌습니다. 티=0이고 표준편차는 s=1, s=2, s=7의 세 가지 값이 가능합니다. 보시다시피, 표준편차 값이 커질수록 그래프는 평평해지고 최대값도 작아집니다.
만약에 ㅏ> 0이면 그래프가 양의 방향으로 이동합니다. ㅏ < 0 – в отрицательном.
~에 ㅏ= 0 및 s = 1 곡선이 호출됩니다. 표준화된. 정규화된 곡선 방정식: 
간결하게 하기 위해 그들은 CB X가 N(m, s) 법칙을 따른다고 말합니다. X ~ N(m, s). 매개변수 m과 s는 분포의 주요 특성(m = m X, s = s X =)과 일치합니다. CB X ~ N(0, 1)이면 호출됩니다. 표준화된 정상값. DF 표준화 정규값을 이라고 합니다. 라플라스 함수그리고 다음과 같이 표시된다. Ф(x). 이를 사용하여 정규 분포 N(m, s)에 대한 구간 확률을 계산할 수 있습니다.
P(x 1 £ X< x 2) = Ф - Ф .
정규분포 문제를 풀 때 라플라스 함수의 표 형식 값을 사용해야 하는 경우가 많습니다. 라플라스 함수는 관계를 유지하므로 F(-x) = 1 - 에프엑스(F(x)), 그러면 함수의 테이블 값만 있으면 충분합니다. 에프엑스(F(x))양수 인수 값에만 해당됩니다.
수학적 기대와 관련하여 대칭 구간에 속할 확률의 경우 공식은 유효합니다. P(|X - m X |< e) = 2×Ф(e/s) - 1.
정규 분포의 중심 적률은 다음 관계를 충족합니다. m n +2 = (n+1)s 2 m n , n = 1, 2, ... . 홀수차의 모든 중심 모멘트는 0과 같습니다(m 1 = 0이므로).
정규법칙에 따라 분포된 확률변수가 주어진 구간에 포함될 확률을 구해보겠습니다.
나타내자 
왜냐하면 적분은 기본 함수로 표현되지 않으며 함수가 고려됩니다.
,
라고 불리는 라플라스 함수또는 확률적분.
이 함수의 값은 다른 의미 엑스특별 테이블에 계산되어 표시됩니다.
아래는 라플라스 함수의 그래프입니다.
라플라스 함수에는 다음과 같은 속성이 있습니다.
2) 에프(- 엑스) = - Ф( 엑스);
라플라스 함수라고도 합니다. 오류 기능 erf를 표시하고 엑스.
아직 사용 중 표준화된라플라스 함수는 다음과 같은 관계로 라플라스 함수와 관련됩니다.
아래는 정규화된 라플라스 함수의 그래프입니다.
정규분배법칙을 고려할 때 다음과 같은 중요한 특별한 경우가 두드러집니다. 3시그마 법칙.
수학적 기대값에서 정규 분포 확률 변수의 편차가 주어진 값 D보다 작을 확률을 적어 보겠습니다.
D = 3s를 취하면 Laplace 함수 값 테이블을 사용하여 다음을 얻습니다.
저것들. 확률 변수가 표준 편차의 3배보다 큰 양만큼 수학적 기대에서 벗어날 확률은 사실상 0입니다.
이 규칙은 3시그마 법칙.
실제로 임의 변수에 대해 3시그마 규칙이 충족되면 이 확률 변수는 정규 분포를 갖는다고 믿어집니다.
예.열차는 100량의 차량으로 구성됩니다. 각 자동차의 질량은 수학적 기대치를 갖는 정규 법칙에 따라 분포된 확률 변수입니다. ㅏ= 65 t 및 표준 편차 s = 0.9 t 기관차는 6600 t 이하의 열차를 운반할 수 있으며, 그렇지 않으면 두 번째 기관차를 연결해야 합니다. 두 번째 기관차가 필요하지 않을 확률을 구하십시오.
예상되는 열차 질량의 편차(100 × 65 = 6500)가 6600 – 6500 = 100톤을 초과하지 않으면 두 번째 기관차가 필요하지 않습니다.
왜냐하면 각 차량의 질량은 정규분포를 따르므로 전체 열차의 질량도 정규분포를 따릅니다.
우리는 다음을 얻습니다:
예.정규 분포 확률 변수 X는 해당 매개변수로 지정됩니다. a =2 –수학적 기대값 및 s = 1 – 표준 편차. 확률 밀도를 작성하고 플롯하고, X가 구간(1; 3)에서 값을 취할 확률을 찾고, X가 수학적 기대치에서 2 이하로 (절대 값으로) 벗어날 확률을 찾아야 합니다. .
분포 밀도의 형식은 다음과 같습니다.
그래프를 만들어 봅시다:
확률 변수가 구간 (1; 3)에 포함될 확률을 찾아보겠습니다.
수학적 기대값에서 2보다 크지 않은 양만큼 랜덤 변수가 벗어날 확률을 찾아보겠습니다.
정규화된 Laplace 함수를 사용하여 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.
8강 대수의 법칙(섹션 2)
강의개요
중심 극한 정리(독립적으로 동일하게 분포된 확률 변수에 대한 일반 공식 및 특정 공식).
체비쇼프 부등식.
체비쇼프 형식의 대수의 법칙.
이벤트 빈도의 개념.
확률에 대한 통계적 이해.
베르누이 형식의 대수의 법칙.
통계적 패턴에 대한 연구를 통해 특정 조건에서 다수의 무작위 변수의 전체 행동이 무작위성을 거의 상실하고 자연스러워진다는 사실이 입증되었습니다. 즉, 일부 평균 행동에서 무작위로 벗어난 편차가 서로를 상쇄합니다. ). 특히, 개별항의 합에 대한 영향이 균일하게 작을 경우, 합의 분포법칙은 정규분포에 가까워집니다. 이 진술의 수학적 공식은 다음과 같은 정리 그룹으로 제공됩니다. 큰 수의 법칙.
대수의 법칙 – 일반 원칙, 이로 인해 매우 일반적인 특정 조건 하에서 무작위 요인의 공동 작용으로 인해 거의 우연과 무관한 결과가 발생합니다. 이 원리의 첫 번째 예는 시행 횟수가 증가함에 따라 무작위 사건의 발생 빈도와 확률의 수렴입니다(예를 들어 응답자의 품질에 대한 발생 빈도를 사용할 때 실제로 자주 사용됨). 해당 확률의 샘플 추정치로 샘플링).
본질 큰 수의 법칙즉, 다수의 독립적인 실험을 통해 사건의 발생 빈도가 확률에 가깝다는 것입니다.
중심 극한 정리(CLT)(동일하게 분포된 SV에 대한 Lyapunov A.M.의 공식화).쌍별 독립 SV X 1 , X 2 , ..., X n , ...이 유한한 수치 특성 M = m 및 D = s 2 를 갖는 동일한 분포 법칙을 갖는 경우 n ® \에 대해 SV의 분포 법칙은 무제한으로 접근합니다. 정규법칙 N(n×m, ).
결과. SV 정리의 조건에 있는 경우 
, 그러면 n ® ¥이므로 SV Y의 분포 법칙은 정규 법칙 N(m, s/ )에 무한히 접근합니다.
드 무아브르-라플라스 정리. SV K를 베르누이 계획에 따른 n번의 시행에서 "성공" 횟수라고 가정합니다. 그런 다음 n ≧ ∈ 및 한 번의 시행 p에서 "성공" 확률의 고정 값을 사용하여 SV K의 분포 법칙은 정규 법칙 N(n×p, )에 무기한 접근합니다.
결과.정리 조건에서 SV K 대신 SV K/n(베르누이 방식에 따른 n번 시행의 "성공" 빈도)을 고려하면 n ® \에 대한 분포 법칙과 p의 고정 값이 무기한으로 적용됩니다. 정규법칙 N(p, )에 접근합니다.
논평. SV K를 베르누이 계획에 따른 n번의 시행에서 "성공" 횟수라고 가정합니다. 이러한 SV의 분배법칙은 이항법칙입니다. 그런 다음 n ® ¥의 경우 이항법칙에는 두 가지 극한 분포가 있습니다.
n 분포 푸아송(n ® ¥ 및 l = n×p = const의 경우);
n 분포 가우스 N(n×p, )(n ® ¥ 및 p = const의 경우).
예.한 번의 시도에서 "성공"할 확률은 p = 0.8에 불과합니다. 최소 0.9의 확률로 베르누이 방식에 따른 테스트에서 관찰된 "성공" 빈도가 확률 p에서 e = 0.01 이하로 벗어날 것이라고 예상할 수 있으려면 몇 번의 테스트를 수행해야 합니까?
해결책.비교를 위해 두 가지 방법으로 문제를 해결해 보겠습니다.
연속 확률 변수의 정규 확률 분포 법칙은 많은 실제 연구에서 기본이기 때문에 다양한 이론 법칙 중에서 특별한 위치를 차지합니다. 이는 생산 공정과 관련된 대부분의 무작위 현상을 설명합니다.
정규 분포 법칙을 따르는 무작위 현상에는 생산 매개변수의 측정 오류, 기술적 제조 오류의 분포, 대부분의 생물학적 물체의 높이와 무게 등이 포함됩니다.
정상 연속 확률 변수의 확률 분포 법칙으로, 미분 함수로 설명됩니다.
a - 무작위 변수의 수학적 기대;
정규 분포의 표준 편차입니다.
정규분포의 미분함수 그래프를 정규곡선(가우스곡선)이라 한다(그림 7).
쌀. 7 가우스 곡선
정규 곡선(가우스 곡선)의 속성:
1. 곡선은 직선 x = a에 대해 대칭입니다.
2. 정규 곡선은 X 축 위에 위치합니다. 즉, X의 모든 값에 대해 함수 f(x)는 항상 양수입니다.
3. 황소 축은 그래프의 수평 점근선입니다. 왜냐하면
4. x = a에 대해 함수 f(x)의 최대값은 다음과 같습니다.
,
점 A와 B에서 및 곡선에는 세로 좌표가 동일한 변곡점이 있습니다.
동시에, 정규 분포 확률 변수의 수학적 기대치 편차의 절대값이 표준 편차를 초과하지 않을 확률은 0.6826입니다.
점 E와 G에서 및 에 대해 함수 f(x)의 값은 다음과 같습니다.
정규 분포 확률 변수의 수학적 기대치 편차의 절대값이 표준 편차의 두 배를 초과하지 않을 확률은 0.9544입니다.
x축에 점근적으로 접근하는 점 C와 D의 가우스 곡선은 x축에 매우 가깝게 접근합니다. 이 지점에서 함수 f(x)의 값은 매우 작습니다.
정규 분포 확률 변수의 수학적 기대치 편차의 절대값이 표준 편차의 3배를 초과하지 않을 확률은 0.9973입니다. 가우시안 곡선의 이러한 특성을 " 3시그마 법칙".
확률 변수가 정규 분포를 따르는 경우 수학적 기대치로부터의 편차의 절대값은 표준 편차의 3배를 초과하지 않습니다.
매개변수 a(무작위 변수의 수학적 기대치)의 값을 변경해도 정규 곡선의 모양은 변경되지 않지만 X축을 따라 변위만 발생합니다. a가 증가하면 오른쪽으로, a가 증가하면 왼쪽으로 이동합니다. 감소합니다.
a=0일 때, 정규곡선은 세로좌표를 기준으로 대칭입니다.
매개변수 값(표준 편차)을 변경하면 일반 곡선의 모양이 변경됩니다. 일반 곡선의 세로 좌표가 증가하면 값이 감소하고 곡선은 X축을 따라 늘어나고 이에 대해 눌려집니다. 감소함에 따라 일반 곡선의 세로 좌표가 증가하고 곡선은 X축을 따라 수축되어 더욱 "뾰족"해집니다.
동시에, 임의의 값에 대해 정규 곡선과 X축으로 둘러싸인 영역은 1로 유지됩니다(즉, 정규 분포 확률 변수가 정규 곡선의 X축에 한정된 값을 취할 확률) 1)과 같습니다.
임의의 매개변수가 있는 정규 분포, 즉 미분 함수로 설명됨
~라고 불리는 일반 정규 분포.
매개변수가 있는 정규 분포를 다음과 같이 부릅니다. 정규화된 분포(그림 8). 정규화된 분포에서 미분 분포 함수는 다음과 같습니다.
쌀. 8 정규화된 곡선
일반 정규 분포의 누적 함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
확률 변수 X가 구간 (c, d)에서 정규 법칙에 따라 분포된다고 가정합니다. 그러면 X가 구간 (c, d)에 속하는 값을 취할 확률은 다음과 같습니다.
예.확률변수 X는 정규법칙에 따라 분포됩니다. 이 확률변수의 수학적 기대값과 표준편차는 a=30 및 입니다. X가 구간 (10, 50)의 값을 가질 확률을 구합니다.
조건별: . 그 다음에
기성품 Laplace 테이블(부록 3 참조)을 사용하여 다음을 수행했습니다.
확률 이론은 상당히 많은 수의 다양한 분포 법칙을 고려합니다. 관리도 구성과 관련된 문제를 해결하려면 그 중 몇 가지만 관심이 있습니다. 그중 가장 중요한 것은 정규분포의 법칙, 이는 다음에서 사용되는 관리 차트를 구성하는 데 사용됩니다. 정량적 통제, 즉. 연속확률변수를 다룰 때 정규배분법은 다른 배분법 중에서 특별한 위치를 차지합니다. 이는 첫째, 실제로 가장 자주 발생하고, 둘째, 매우 일반적인 일반적인 조건에서 다른 배포 법칙이 접근하는 제한법이라는 사실로 설명됩니다. 두 번째 상황의 경우, 분포 법칙에 따라(매우 느슨한 제한에 따라) 충분히 많은 수의 독립(또는 약한 종속) 확률 변수의 합이 대략 정규 법칙을 따른다는 것이 확률 이론에서 입증되었습니다. , 그리고 이는 더 많은 무작위 변수가 추가되면 더욱 정확하게 사실입니다. 예를 들어 측정 오류와 같이 실제로 발생하는 대부분의 확률 변수는 매우 많은 수의 상대적으로 작은 항(기본 오류)의 합으로 표시될 수 있으며, 각 오류는 개별 원인에 관계없이 발생합니다. 다른 사람. 정규법칙은 확률변수가 있는 경우에 나타납니다. 엑스다양한 요인의 결과입니다. 각 요소는 개별적으로 가치가 있습니다. 엑스약간의 영향을 미치며 어느 것이 다른 것보다 더 많은 영향을 미치는지 나타내는 것은 불가능합니다.
정규 분포(라플라스-가우스 분포) – 연속 확률 변수의 확률 분포 엑스- 에 대한 확률 분포 밀도<х< + ¥ принимает действительное значение:
경험치 
(3)
즉, 정규 분포는 두 개의 매개변수 m과 s로 특징지어집니다. 여기서 m은 수학적 기대값입니다. s는 정규 분포의 표준 편차입니다.
값 2 정규분포의 분산이다.
수학적 기대값 m은 유통센터의 위치를 나타내며, 표준편차 s(SD)는 분산의 특성을 나타냅니다(그림 3).
에프(엑스) 에프(엑스)
 |
그림 3 - 정규 분포 밀도 함수:
a) 다양한 수학적 기대치 m; b) 다른 표준 편차 s.
따라서 값은 μ 가로축의 분포 곡선 위치에 따라 결정됩니다. 치수 μ - 확률변수의 차원과 동일 엑스. 수학적 기대 m이 증가함에 따라 두 함수 모두 오른쪽으로 평행하게 이동합니다. 감소하는 분산 s 2 밀도는 m 주위에 점점 더 집중되는 반면 분포 함수는 점점 더 가파르게 됩니다.
σ 값은 분포 곡선의 모양을 결정합니다. 분포 곡선 아래의 면적은 항상 1과 동일하게 유지되어야 하므로 σ가 증가할수록 분포 곡선은 더 평평해집니다. 그림에서. 그림 3.1은 서로 다른 σ에 대한 세 가지 곡선을 보여줍니다. σ1 = 0.5; σ2 = 1.0; σ3 = 2.0.
그림 3.1 - 정규분포의 밀도함수다양한 표준편차 s.
분포 함수(적분 함수)는 다음과 같은 형식을 갖습니다(그림 4).
(4)
그림 4 - 적분(a) 및 미분(b) 정규 분포 함수
특히 중요한 것은 정규 분포 확률 변수의 선형 변환입니다. 엑스, 그 후 랜덤 변수가 얻어집니다. 지수학적 기대치는 0이고 분산은 1입니다. 이 변환을 정규화라고 합니다.
각 확률변수에 대해 수행할 수 있습니다. 정규화를 사용하면 정규 분포의 가능한 모든 변형을 하나의 경우(m = 0, s = 1)로 줄일 수 있습니다.
m = 0, s = 1인 정규 분포를 다음과 같이 부릅니다. 정규화된 정규 분포(표준화).
표준정규분포(표준 라플라스-가우스 분포 또는 정규화된 정규 분포)는 표준화된 정규 확률 변수의 확률 분포입니다. 지, 분포 밀도는 다음과 같습니다.
~에 - ¥<지< + ¥
기능 값 Ф(z)다음 공식에 의해 결정됩니다.
(7)
기능 값 Ф(z)밀도 f(z)정규화된 정규 분포가 계산되고 표로 작성됩니다. 테이블은 양수 값에 대해서만 컴파일됩니다. 지그 이유는 다음과 같습니다.
에프(–z) = 1–Ф(z) (8)
이 테이블을 사용하면 주어진 정규화 정규 분포의 함수 값과 밀도를 결정할 수 있습니다. 지, 그러나 일반 정규 분포 함수의 값도 다음과 같습니다.
; (9)
. 10)
정규분포 확률변수를 포함하는 많은 문제에서는 확률변수의 발생 확률을 결정하는 것이 필요합니다. 엑스, 특정 영역에 대해 매개변수 m과 s를 사용하는 일반 법칙이 적용됩니다. 예를 들어 이러한 섹션은 상위 값의 매개변수에 대한 공차 필드일 수 있습니다. 유맨 아래로 엘.
다음 간격 내에 속할 확률 엑스 1 ~ 엑스 2는 다음 공식으로 결정될 수 있습니다.
따라서 랜덤변수(매개변수 값)에 부딪힐 확률은 엑스공차 필드의 공식은 다음과 같습니다.
정규 분포 ( 정규 분포) - 데이터 분석에서 중요한 역할을 합니다.
때로는 용어 대신 정상 분포용어를 사용하다 가우스 분포 K. Gauss를 기리기 위한 것입니다(요즘 거의 사용되지 않는 오래된 용어: 가우스의 법칙, 가우스-라플라스 분포).
일변량 정규분포
정규 분포의 밀도는 다음과 같습니다.
이 공식에서 고정 매개변수는 다음과 같습니다. 평균, - 기준 편차.
다양한 매개변수에 대한 밀도 그래프가 제공됩니다.
정규 분포의 특성 함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
특징적인 기능과 설정의 차별화 티 = 0, 우리는 어떤 순서의 순간도 얻습니다.
정규 분포 밀도 곡선은 에 대해 대칭이며 이 지점에서 다음과 같은 단일 최대값을 갖습니다.
표준편차 매개변수는 0에서 무한대까지 다양합니다.
평균 -무한대에서 +무한대까지 다양합니다.
매개변수가 증가하면 곡선이 축을 따라 퍼집니다. 엑스, 0에 가까워지면 평균값 주위로 축소됩니다(매개변수는 확산, 산란을 특징으로 함).
바뀔 때 곡선이 축을 따라 이동합니다. 엑스(그래프 참조).
매개변수와 를 변경하여 전화 통신에서 발생하는 다양한 확률 변수 모델을 얻습니다.
예를 들어 통신 데이터 분석에서 일반법칙을 적용하는 일반적인 방법은 신호를 모델링하고 소음, 간섭, 오류 및 트래픽을 설명하는 것입니다.
일변량 정규 분포 도표
그림 1. 정규 분포의 밀도 도표: 평균은 0, 표준 편차는 1
그림 2. 모든 관측치의 68%와 95%를 포함하는 영역이 있는 표준 정규 분포의 밀도 도표
그림 3. 평균이 0이고 편차가 다른 정규 분포의 밀도 그래프(=0.5, =1, =2)
그림 4 두 정규 분포 N(-2,2)와 N(3,2)의 그래프.
모수를 변경하면 분포의 중심이 이동되었습니다.
논평
프로그램에서 통계 N(3,2) 지정은 매개변수가 평균 = 3이고 표준 편차 = 2인 정규 법칙 또는 가우스 법칙을 나타냅니다.
문헌에서는 때때로 두 번째 매개변수가 다음과 같이 해석됩니다. 분산, 즉. 정사각형표준 편차.
확률 계산기를 사용하여 정규 분포 백분율 계산 통계
확률 계산기 사용 통계오래된 책에서 사용하는 번거로운 표에 의존하지 않고도 분포의 다양한 특성을 계산할 수 있습니다.
1 단계.발사하자 분석 / 확률 계산기 / 배포판.
배포 섹션에서 정상.
그림 5. 확률 분포 계산기 실행
2 단계.관심 있는 매개변수를 표시합니다.
예를 들어, 평균이 0이고 표준 편차가 1인 정규 분포의 95% 분위수를 계산하려고 합니다.
계산기 필드에 이러한 매개변수를 표시해 보겠습니다(계산기 필드의 평균 및 표준 편차 참조).
매개변수 p=0.95를 입력해 보겠습니다.
"역방향 f.r." 확인란을 선택하세요. 자동으로 나타납니다. “일정” 박스를 체크하세요.
오른쪽 상단에 있는 "계산" 버튼을 클릭하세요.
그림 6. 매개변수 설정
3단계. Z 필드에서 결과를 얻습니다. 분위수 값은 1.64입니다(다음 창 참조).
그림 7. 계산기 결과 보기
그림 8. 밀도 도표 및 분포 함수. 직선 x=1.644485
그림 9. 정규분포함수의 그래프. 수직 점선 - x=-1.5, x=-1, x=-0.5, x=0
그림 10. 정규분포함수의 그래프. 수직 점선 - x=0.5, x=1, x=1.5, x=2
정규분포 모수 추정
정규 분포 값은 다음을 사용하여 계산할 수 있습니다. 대화형 계산기.
이변량 정규분포
1차원 정규 분포는 자연스럽게 다음과 같이 일반화됩니다. 2차원정규 분포.
예를 들어, 한 지점에서만 신호를 고려하는 경우 두 지점(2차원, 세 지점-3차원 등)에서는 1차원 분포로 충분합니다.
이변량 정규 분포의 일반 공식은 다음과 같습니다.
사이의 쌍별 상관 관계는 어디에 있습니까? × 1그리고 X 2;
× 1각기;
변수의 평균 및 표준편차 X 2각기.
확률변수인 경우 × 1그리고 X 2독립인 경우 상관 관계는 각각 0, = 0이고 지수의 중간 항은 사라지며 다음을 얻습니다.
f(x 1 ,x 2) = f(x 1)*f(x 2)
독립된 수량의 경우 2차원 밀도는 2개의 1차원 밀도의 곱으로 분해됩니다.
이변량 정규 분포의 밀도 도표
그림 11. 이변량 정규 분포의 밀도 도표(평균의 0 벡터, 단위 공분산 행렬)
그림 12. 평면 z=0.05인 2차원 정규 분포의 밀도 그래프 섹션
그림 13. 2차원 정규 분포의 밀도 도표(기대값의 0 벡터, 주 대각선에 1, 측면 대각선에 0.5가 있는 공분산 행렬)
그림 14. 평면 z= 0.05에 따른 2차원 정규 분포(수학적 기대값의 0 벡터, 주 대각선에 1이 있고 측면 대각선에 0.5가 있는 공분산 행렬)의 밀도 그래프 섹션
그림 15. 2차원 정규 분포의 밀도 플롯(기대값의 0 벡터, 주 대각선에 1이 있고 측면 대각선에 -0.5가 있는 공분산 행렬)
그림 16. 평면 z=0.05에 따른 2차원 정규 분포(수학적 기대값의 0 벡터, 주 대각선에 1이 있고 측면 대각선에 -0.5가 있는 공분산 행렬)의 밀도 그래프 섹션
그림 17. 평면 z=0.05인 2차원 정규 분포의 밀도 그래프 섹션
이변량 정규 분포를 더 잘 이해하려면 다음 문제를 풀어보세요.
일. 이변량 정규분포의 그래프를 살펴보세요. 생각해 보세요. 1차원 정규분포의 그래프를 회전시키는 것으로 표현될 수 있을까요? 언제 변형 기술을 사용해야 합니까?
실제로 다수의 확률 요인의 영향을 받는 대부분의 확률 변수는 정규 확률 분포 법칙을 따릅니다. 따라서 확률 이론의 다양한 적용에서 이 법칙은 특히 중요합니다.
확률변수 $X$는 확률분포밀도가 다음과 같은 형태를 가질 경우 정규확률분포법칙을 따른다.
$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\시그마 )^2)))$$
$f\left(x\right)$ 함수의 그래프가 그림에 개략적으로 표시되어 있으며 "가우스 곡선"이라고 합니다. 이 그래프의 오른쪽에는 유로가 도입되기 전에 사용되었던 독일의 10마르크 지폐가 있습니다. 자세히 살펴보면 이 지폐에서 가우스 곡선과 그 발견자인 가장 위대한 수학자 칼 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)를 볼 수 있습니다.
밀도 함수 $f\left(x\right)$로 돌아가서 분포 모수 $a,\ (\sigma )^2$에 대해 몇 가지 설명을 해보겠습니다. $a$ 매개변수는 확률 변수 값의 분산 중심을 나타냅니다. 즉, 수학적 기대의 의미를 갖습니다. 매개변수 $a$가 변경되고 매개변수 $(\sigma )^2$가 변경되지 않은 경우, 함수 $f\left(x\right)$의 그래프가 가로좌표를 따라 이동하는 것을 관찰할 수 있습니다. 그 자체로는 모양이 변하지 않습니다.
$(\sigma )^2$ 매개변수는 분산이며 밀도 그래프 곡선 $f\left(x\right)$의 모양을 나타냅니다. $a$ 매개변수를 변경하지 않고 $(\sigma )^2$ 매개변수를 변경하면 가로축을 따라 이동하지 않고도 밀도 그래프의 모양이 압축되거나 늘어나는 방식을 관찰할 수 있습니다.
주어진 구간에 정규 분포된 확률 변수가 포함될 확률
알려진 바와 같이, 확률 변수 $X$가 $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ 구간에 포함될 확률은 $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:
$$P\왼쪽(\알파< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$
여기서 $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ 함수는 다음과 같습니다. 라플라스 함수 . 이 함수의 값은 에서 가져옵니다. $\Phi \left(x\right)$ 함수의 다음 속성을 확인할 수 있습니다.
1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, 즉 $\Phi \left(x\right)$ 함수는 홀수입니다.
2 . $\Phi \left(x\right)$는 단조 증가 함수입니다.
3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ 왼쪽(x\오른쪽)\ )=-0.5$.
$\Phi \left(x\right)$ 함수의 값을 계산하려면 Excel에서 $f_x$ 마법사 함수를 사용할 수도 있습니다: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left(x ;0;1;1\right )-0.5$. 예를 들어 $x=2$에 대해 $\Phi\left(x\right)$ 함수의 값을 계산해 보겠습니다.
정규 분포 확률 변수 $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$가 수학적 기대값 $a$에 대해 대칭 구간에 포함될 확률은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.
$$P\왼쪽(\왼쪽|X-a\오른쪽|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$
3시그마 법칙. 정규 분포 확률 변수 $X$가 $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$ 구간에 속한다는 것은 거의 확실합니다.
실시예 1 . 확률 변수 $X$는 매개변수 $a=2,\ \sigma =3$를 사용하는 정규 확률 분포 법칙을 따릅니다. $X$가 $\left(0.5;1\right)$ 구간에 포함될 확률과 부등식 $\left|X-a\right|를 만족할 확률을 구합니다.< 0,2$.
수식 사용
$$P\왼쪽(\알파< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$
우리는 $P\left(0.5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0.5-2)\ over (3 ))\right)=\Phi \left(-0.33\right)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi \left(0.5\right)-\Phi \ left(0.33\right)=0.191- 0.129=$0.062.
$$P\왼쪽(\왼쪽|X-a\오른쪽|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$
실시예 2 . 한 해 동안 특정 회사의 주식 가격이 50의 기존 통화 단위와 동일한 수학적 기대값과 10의 표준 편차를 갖는 정규 법칙에 따라 분포된 무작위 변수라고 가정합니다. 무작위로 선택한 확률은 얼마입니까? 논의 중인 기간의 날짜에 프로모션 가격은 다음과 같습니다.
a) 70개 이상의 기존 화폐 단위가 있습니까?
b) 주당 50 미만인가요?
c) 주당 기존 화폐 단위가 45~58개입니까?
임의 변수 $X$를 어떤 회사의 주식 가격이라고 가정합니다. 조건에 따라 $X$는 매개변수 $a=50$ - 수학적 기대값, $\sigma =10$ - 표준 편차를 갖는 정규 분포를 따릅니다. 확률 $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:
$$P\왼쪽(\알파< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$
$$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ 이상 (10))\right)=0.5-\Phi \left(2\right)=0.5-0.4772=0.0228.$$
$$b)\P\왼쪽(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$
$$in)\ P\left(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$