육각형의 외접원의 지름을 찾는 방법. 정육각형이란 무엇이며 어떤 작업을 연관시킬 수 있습니까? 단계별 지침은 다음과 같습니다.
모서리가 네 개 이상인 가장 유명한 도형은 정육각형입니다. 기하학에서는 종종 문제에 사용됩니다. 그리고 인생에서 이것은 정확히 벌집이 자르는 것입니다.
잘못된 것과 어떻게 다른가요?
먼저 육각형은 꼭지점이 6개인 도형입니다. 둘째, 볼록하거나 오목할 수 있습니다. 첫 번째는 4개의 정점이 다른 2개를 통과하는 직선의 한쪽에 있다는 점에서 다릅니다.
셋째, 정육각형은 모든 변이 같다는 특징이 있습니다. 또한 그림의 각 모서리에는 같은 값. 모든 각도의 합을 결정하려면 180º * (n - 2) 공식을 사용해야 합니다. 여기서 n은 그림의 정점 수, 즉 6입니다. 간단한 계산은 720º의 값을 제공합니다. 따라서 각 각은 120도입니다.
일상 활동에서 정육각형은 눈송이와 너트에서 발견됩니다. 화학자들은 벤젠 분자에서도 그것을 봅니다.
문제를 풀 때 알아야 할 속성은 무엇입니까?
위에서 언급한 내용에 다음을 추가해야 합니다.
- 중심을 통해 그려진 그림의 대각선은 정삼각형인 6개의 삼각형으로 나눕니다.
- 정육각형의 측면은 주변의 외접원의 반지름과 일치하는 값을 갖습니다.
- 이러한 그림을 사용하면 평면을 채울 수 있으며 그 사이에는 간격과 겹침이 없습니다.
도입된 표기법
전통적으로 규칙적인 기하학적 도형의 측면은 라틴 문자 "a"로 표시됩니다. 문제를 해결하려면 면적과 둘레도 필요하며 각각 S와 P입니다. 원은 정육각형에 새겨지거나 주위에 외접됩니다. 그런 다음 반경 값이 입력됩니다. 그들은 각각 문자 r과 R로 표시됩니다.
어떤 수식에서는 내각, 반원주, apothem(다각형의 중심에서 어떤 변의 중간에 수직인 것)이 나타납니다. 문자는 α, p, m으로 사용됩니다.
모양을 설명하는 공식
내접원의 반지름을 계산하려면 다음이 필요합니다. 아르= (a * √3) / 2, 그리고 r = m. 즉, apothem에 대해서도 동일한 공식이 적용됩니다.
육각형의 둘레는 모든 면의 합이므로 다음과 같이 결정됩니다. P = 6 * a. 측면이 외접원의 반지름과 같다는 점을 감안할 때 둘레의 경우 정육각형에 대한 공식이 있습니다. P \u003d 6 * R. 내접원의 반지름에 대해 주어진 것에서 a 사이의 관계 그리고 r이 유도된다. 그런 다음 공식은 다음 형식을 취합니다. Р = 4 r * √3.
정육각형의 면적의 경우 S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2가 유용할 수 있습니다.
작업
1번. 조건.각 모서리가 4cm 인 정육각형 프리즘이 있으며 그 안에 부피를 결정해야하는 실린더가 새겨 져 있습니다.
해결책.원기둥의 부피는 밑면과 높이의 곱으로 정의됩니다. 후자는 프리즘의 가장자리와 일치합니다. 그리고 정육각형의 변과 같습니다. 즉, 실린더의 높이도 4cm입니다.
바닥 면적을 찾으려면 육각형에 새겨진 원의 반지름을 계산해야 합니다. 이에 대한 공식은 위에 나와 있습니다. 따라서 r = 2√3(cm)입니다. 그런 다음 원의 면적 : S \u003d π * r 2 \u003d 3.14 * (2√3) 2 \u003d 37.68 (cm 2).
답변. V \u003d 150.72cm 3.
2번. 조건.정육각형에 새겨진 원의 반지름을 계산합니다. 한 변의 길이가 √3 cm인 것으로 알려져 있는데 둘레는 어떻게 될까요?
해결책.이 작업에는 위 공식 중 두 가지를 사용해야 합니다. 더군다나 수정도 하지 않고 그대로 적용해야 하며, 변의 값을 대입하여 계산하면 됩니다.
따라서 내접원의 반지름은 1.5cm이고 둘레의 경우 다음 값이 올바른 것으로 밝혀졌습니다: 6√3cm.
답변. r = 1.5cm, Р = 6√3cm.
3번. 조건.외접원의 반지름은 6cm인데 정육각형의 한 변의 값은?
해결책.육각형에 내접하는 원의 반지름 공식에서 변을 계산해야 하는 반지름을 쉽게 구할 수 있습니다. 반지름에 2를 곱하고 3의 루트로 나눈 것이 분명합니다. 분모의 불합리성을 없애는 것이 필요하다. 따라서 조치 결과는 (12 √3) / (√3 * √3), 즉 4√3의 형식을 취합니다.
답변. a = 4√3cm.
원에 새겨진 정육각형의 구조.육각형의 구성은 그 변이 외접원의 반지름과 같다는 사실에 근거합니다. 따라서 빌드하려면 원을 6 등분으로 나누고 찾은 점을 서로 연결하면 충분합니다 (그림 60, a).
정육각형은 T자형과 30X60° 정사각형을 사용하여 만들 수 있습니다. 이 구성을 수행하기 위해 원의 수평 지름을 각도 1과 4의 이등분선(그림 60, b)으로 취하고 측면 1-6, 4-3, 4-5 및 7-2를 만든 다음 면 5-6과 3-2를 그립니다.
원에 새겨진 정삼각형의 구성. 이러한 삼각형의 정점은 나침반과 각이 30°와 60°인 정사각형을 사용하거나 나침반 하나만 사용하여 구성할 수 있습니다.
원에 내접하는 정삼각형을 구성하는 두 가지 방법을 고려하십시오.
첫 번째 방법(그림 61, a)는 삼각형 7, 2, 3의 세 각이 모두 60°를 포함하고 점 7을 지나는 수직선이 높이와 각도 1의 이등분선이라는 사실에 근거합니다. 각도 0-1- 2는 30°와 같고 측면을 찾으려면
1-2, 점 1과 측면 0-1에서 30 °의 각도를 만드는 것으로 충분합니다. 이렇게하려면 그림과 같이 T-square와 square를 설정하고 원하는 삼각형의 변 중 하나가 될 선 1-2를 그립니다. 면 2-3을 만들려면 점선으로 표시된 위치에 T-square를 설정하고 삼각형의 세 번째 꼭지점을 정의하는 점 2를 통과하는 직선을 그립니다.
두 번째 방법원에 새겨진 정육각형을 만든 다음 꼭지점을 하나로 연결하면 정삼각형이된다는 사실에 근거합니다.
삼각형 (그림 61, b)을 구성하려면 지름에 꼭지점 1을 표시하고 지름 선 1-4를 그립니다. 또한 반지름이 D / 2 인 점 4에서 점 3과 2에서 원과 교차 할 때까지 호를 설명합니다. 결과 점은 원하는 삼각형의 다른 두 꼭지점입니다.
원에 새겨진 사각형의 건설. 이 구성은 정사각형과 나침반을 사용하여 수행할 수 있습니다.
첫 번째 방법은 정사각형의 대각선이 외접원의 중심에서 교차하고 축에 대해 45° 각도로 기울어져 있다는 사실에 기반합니다. 이를 바탕으로 그림과 같이 T자형과 각도 45°의 정사각형을 설치한다. 62, a, 점 1과 3을 표시합니다. 또한 이러한 점을 통해 T-square를 사용하여 정사각형 4-1과 3-2의 수평면을 그립니다. 그런 다음 정사각형의 다리를 따라 T자형을 사용하여 정사각형 1-2 및 4-3의 세로 변을 그립니다.
두 번째 방법은 정사각형의 정점이 직경의 끝 사이에 둘러싸인 원의 호를 이등분한다는 사실에 기반합니다(그림 62, b). 서로 수직인 두 직경의 끝에 점 A, B 및 C를 표시하고 반경 y를 사용하여 교차할 때까지 호를 설명합니다.
또한 호의 교차점을 통해 그림에 실선으로 표시된 보조선을 그립니다. 원과의 교차점은 정점 1과 3을 정의합니다. 4와 2. 이렇게 구한 원하는 사각형의 꼭지점들은 서로 직렬로 연결된다.
원에 새겨진 정오각형의 건설.
원에 정오각형을 새기기 위해 (그림 63) 다음과 같이 구성합니다.
원에 점 1을 표시하고 오각형의 꼭지점 중 하나로 가져옵니다. 세그먼트 AO를 반으로 나눕니다. 이를 위해 점 A에서 반경 AO를 사용하여 점 M과 B에서 원과 교차하는 호를 설명합니다. 이 점을 직선으로 연결하면 점 K를 얻은 다음 점 1에 연결합니다. 반경이 세그먼트 A7과 같으면 점 K에서 점 H에서 직경선 AO와의 교차점까지의 호를 설명합니다. 점 1과 점 H를 연결하면 오각형의 측면을 얻습니다. 그런 다음 꼭지점 1에서 원과의 교차점까지의 호를 설명하는 세그먼트 1H와 같은 나침반 개구부를 사용하여 꼭지점 2와 5를 찾습니다. 동일한 나침반 개구부로 꼭지점 2와 5에서 노치를 만든 후 나머지를 얻습니다. 정점 3과 4. 찾은 점을 서로 순차적으로 연결합니다.
측면이 주어진 일반 오각형의 건설.
주어진 면을 따라 정오각형을 만들기 위해(그림 64) 세그먼트 AB를 6개의 동일한 부분으로 나눕니다. 반경 AB를 가진 점 A와 B에서 우리는 호를 묘사하고 그 교차점은 점 K를 제공합니다. 이 점과 선 AB의 분할 3을 통해 수직선을 그립니다.
오각형의 꼭지점 1을 얻습니다. 그런 다음 AB와 같은 반경을 사용하여 점 1에서 점 A와 B에서 이전에 그린 호와의 교차점까지 호를 설명합니다. 호의 교차점은 오각형 2와 5의 꼭지점을 결정합니다. 찾은 것을 연결합니다. 정점이 서로 직렬로 연결됩니다.
원에 새겨진 정칠각형의 구성.
지름이 D인 원이 주어진다고 하자. 정칠각형을 새겨야합니다 (그림 65). 원의 세로 지름을 7등분으로 나눕니다. 반지름이 원 D의 지름과 같은 점 7에서 점 F에서 수평 지름의 연속과 교차할 때까지 호를 설명합니다. 점 F를 다각형의 극이라고 합니다. 점 VII를 칠각형의 꼭지점 중 하나로 사용하여 수직 직경의 짝수 분할을 통해 극 F에서 광선을 그립니다. 원과의 교차점은 칠각형의 정점 VI, V 및 IV를 결정합니다. 점 IV, V 및 VI에서 정점 / - // - ///을 얻기 위해 원과 교차할 때까지 수평선을 그립니다. 찾은 정점을 서로 직렬로 연결합니다. 7각형은 F 극에서 광선을 그리고 수직 직경의 홀수 분할을 통해 구성할 수 있습니다.
위의 방법은 면의 수에 관계없이 정다각형을 구성하는 데 적합합니다.
표의 데이터를 사용하여 원을 여러 개의 동일한 부분으로 나눌 수도 있습니다. 2는 규칙적으로 내접하는 다각형의 변의 크기를 결정할 수 있게 해주는 계수를 보여줍니다.
근처에 연필이 있습니까? 섹션을 살펴보십시오. 정육각형 또는 육각형이라고도합니다. 너트의 단면, 육각형 체스의 필드, 일부 복잡한 탄소 분자(예: 흑연), 눈송이, 벌집 및 기타 물체도 이 모양을 갖습니다. 거대한 정육각형이 최근에 발견되었습니다. 자연이 창조물을 위해이 특정 모양의 구조를 자주 사용하는 것이 이상하지 않습니까? 자세히 살펴보겠습니다.
정육각형은 6개의 변과 각이 같은 다각형입니다. 에서 학교 과정다음과 같은 속성이 있음을 알고 있습니다.
- 변의 길이는 외접원의 반지름에 해당합니다. 무엇보다 정육각형만이 이런 성질을 가지고 있다.
- 각도는 서로 같고 각각의 크기는 120 °입니다.
- 육각형의 둘레는 주위에 외접하는 원의 반지름을 알면 Р=6*R 공식을 사용하거나 원이 내접하는 경우 Р=4*√(3)*r 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다. R과 r은 외접원과 내접원의 반지름입니다.
- 정육각형이 차지하는 면적은 다음과 같이 결정됩니다. S=(3*√(3)*R 2)/2. 반지름을 알 수 없는 경우 변 중 하나의 길이 대신 변의 길이를 대체합니다. 아시다시피 외접원의 반지름 길이에 해당합니다.
정육각형은 하나 흥미로운 기능덕분에 자연계에 널리 분포되어 있습니다. 겹치거나 틈 없이 평면의 모든 표면을 채울 수 있습니다. 측면이 1/√(3)인 정육각형이 범용 타이어라는 소위 팔 보조정리(Pal lemma)도 있습니다. 즉, 지름이 1단위인 모든 세트를 덮을 수 있습니다.
이제 정육각형의 구성을 고려하십시오. 여러 가지 방법이 있는데 가장 쉬운 방법은 나침반, 연필, 자를 사용하는 것입니다. 먼저 나침반으로 임의의 원을 그린 다음 이 원의 임의 위치에 점을 만듭니다. 나침반의 솔루션을 변경하지 않고 팁을 이 지점에 놓고 원의 다음 노치를 표시하고 6포인트를 모두 얻을 때까지 계속합니다. 이제 직선 세그먼트로 서로 연결하는 것만 남아 있으며 원하는 그림이 나타납니다.
실전에서 육각형을 그리고 싶을때가 있습니다. 큰 사이즈. 예를 들어, 중앙 샹들리에의 부착 지점 주변에 있는 2층 석고보드 천장에서 낮은 층에 6개의 작은 램프를 설치해야 합니다. 이 크기의 나침반을 찾는 것은 매우 매우 어려울 것입니다. 이 경우 어떻게 진행하나요? 큰 원은 어떻게 그리나요? 매우 간단합니다. 원하는 길이의 강한 실을 가져 와서 끝 중 하나를 연필 반대편에 묶어야합니다. 이제 스레드의 두 번째 끝을 올바른 지점에서 천장으로 누르는 조수를 찾는 것만 남아 있습니다. 물론 이 경우 사소한 오류가 있을 수 있지만 외부인에게는 전혀 눈에 띄지 않을 것입니다.
수학적 속성
정육각형의 특징은 외접원의 반지름과 측면의 동일성입니다.
모든 각도는 120°입니다.
내접원의 반지름은 다음과 같습니다.
정육각형의 둘레는 다음과 같습니다.
정육각형의 면적은 다음 공식으로 계산됩니다.
평면을 타일링하는 육각형, 즉 간격과 겹침 없이 평면을 채울 수 있어 이른바 쪽모이 세공을 형성합니다.
Hexagonal parquet (육각 쪽모이 세공)- 좌우로 동일한 정육각형이 있는 평면의 테셀레이션.
육각형 쪽모이 세공 마루는 이중 삼각형 마루입니다. 인접한 육각형의 중심을 연결하면 그려진 세그먼트가 삼각형 쪽모이 세공이 됩니다. 육각형 쪽모이 세공 마루의 Schläfli 기호는 (6,3)이며, 이는 세 개의 육각형이 마루의 각 정점에서 수렴한다는 것을 의미합니다.
육각형 쪽모이 세공 마루는 비행기에서 가장 밀집된 원의 패킹입니다. 2차원 유클리드 공간에서 가장 좋은 채우기는 각 원이 6개의 다른 원으로 둘러싸인 정육각형으로 형성된 마루의 꼭지점에 원의 중심을 배치하는 것입니다. 이 패킹의 밀도는 . 1940년에 이 패킹이 가장 밀도가 높다는 것이 증명되었습니다.
측면이 있는 정육각형은 보편적인 덮개입니다. 즉, 모든 직경 세트는 측면이 있는 정육각형으로 덮을 수 있습니다(Pal의 보조 정리).
컴퍼스와 직선자를 사용하여 정육각형을 만들 수 있습니다. 아래는 Euclid가 Elements, Book IV, Theorem 15에서 제안한 구성 방법입니다.
자연, 기술, 문화 속 정육각형
정육각형으로 평면의 분할을 보여줍니다. 다른 것보다 더 많은 육각형 모양을 사용하면 벽을 절약할 수 있습니다. 즉, 그러한 셀이 있는 벌집에 더 적은 왁스가 소비됩니다.
일부 복잡한 결정 및 분자, 흑연과 같은 육각형 결정 격자를 가지고 있습니다.
구름 속의 미세한 물방울이 먼지 입자에 달라붙어 얼면서 형성됩니다. 이 경우 처음에는 직경이 0.1mm를 초과하지 않는 얼음 결정이 떨어지고 공기 중의 수분이 응축되어 자랍니다. 이 경우 여섯 개의 뾰족한 결정 형태가 형성됩니다. 물 분자의 구조로 인해 결정 광선 사이의 각도는 60°와 120°만 가능합니다. 주요 물 결정은 평면에서 정육각형의 모양을 가지고 있습니다. 그런 다음 이러한 육각형의 꼭대기에 새로운 결정이 쌓이고, 그 위에 새로운 결정이 쌓이면서 다양한 형태의 눈송이 별이 얻어진다.
옥스포드 대학의 과학자들은 실험실에서 그러한 육각형의 출현을 시뮬레이션할 수 있었습니다. 이러한 형성이 어떻게 발생하는지 알아보기 위해 연구원들은 30리터짜리 물병을 턴테이블 위에 올려 놓았습니다. 그녀는 토성의 대기와 일반적인 회전을 모델로 삼았습니다. 내부에 과학자들은 용기보다 빠르게 회전하는 작은 고리를 배치했습니다. 이것은 실험자들이 녹색 페인트로 시각화한 작은 소용돌이와 제트를 생성했습니다. 고리가 더 빨리 회전할수록 소용돌이가 더 커져 근처의 흐름이 원형에서 벗어나게 됩니다. 따라서 실험 작성자는 타원형, 삼각형, 사각형 및 물론 원하는 육각형과 같은 다양한 모양을 얻었습니다.
고대 화산 폭발의 결과로 형성된 약 40,000개의 상호 연결된 현무암(드문 안산암) 기둥의 천연 기념물입니다. Bushmills시에서 북쪽으로 3km 떨어진 북 아일랜드 북동쪽에 위치하고 있습니다.
기둥의 꼭대기는 절벽 아래에서 시작하여 해수면 아래로 사라지는 일종의 발판을 형성합니다. 대부분의 기둥은 육각형이지만 일부는 모서리가 4개, 5개, 7개 또는 8개 있습니다. 가장 높은 기둥의 높이는 약 12미터입니다.
약 5,000만~6,000만 년 전, 구석기 시대에 앤트림(Antrim) 유적지는 녹은 현무암이 퇴적물을 통해 스며들어 광범위한 용암 고원을 형성하면서 격렬한 화산 활동을 겪었습니다. 급속 냉각으로 물질의 부피가 감소했습니다(진흙이 마르면 관찰됨). 수평 압축으로 인해 육각형 기둥의 특징적인 구조가 생겼습니다.
너트의 단면은 정육각형 형태입니다.
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