다각형의 각의 합을 결정하는 공식. 볼록 다각형. 정다각형의 속성

당신의 다각형. 예를 들어, 변이 15개인 정다각형의 각도를 찾아야 하는 경우 방정식에 n=15를 대입합니다. S=180⁰(15-2), S=180⁰x13, S=2340⁰이 됩니다.

다음으로 내부 각도의 결과 합을 숫자로 나눕니다. 예를 들어, 다각형에서 모서리의 수는 변의 수, 즉 15입니다. 따라서 각도는 2340⁰/15=156⁰입니다. 다각형의 각 내각은 156⁰입니다.

다각형의 각도를 라디안 단위로 계산하는 것이 더 편리하다면 다음과 같이 진행하십시오. 변의 수에서 숫자 2를 빼고 결과 차이에 숫자 P(Pi)를 곱합니다. 그런 다음 곱을 다각형의 모서리 수로 나눕니다. 예를 들어, 일반 15각형의 각도를 계산해야 하는 경우 다음과 같이 진행합니다. P * (15-2) / 15 \u003d 13 / 15P, 또는 0.87P 또는 2.72(그러나 숫자 P 변경되지 않은 상태로 유지됨) . 또는 각도의 크기를 도 단위로 57.3으로 나누십시오. 이는 1라디안에 포함된 양입니다.

정다각형의 각도를 도 단위로 계산할 수도 있습니다. 이렇게하려면 측면 수에서 숫자 2를 빼고 결과 수를 측면 수로 나눈 다음 결과에 200을 곱하십시오.이 각도 측정 단위는 오늘날 거의 사용되지 않지만 각도를 계산하기로 결정한 경우 우박, 우박은 미터법 초와 분(분당 100초)으로 구분된다는 것을 잊지 마십시오.

정다각형의 외각을 계산해야 할 수도 있습니다. 이 경우에는 이렇게 하십시오. 180⁰에서 내부 각도를 뺍니다. 결과적으로 인접한 값, 즉 외부 각도를 얻습니다. -180⁰에서 +180⁰ 사이의 값을 가질 수 있습니다.

유용한 조언

정다각형의 각도를 알아내면 쉽게 만들 수 있습니다. 특정 길이의 한면을 그리고 각도기를 사용하여 원하는 각도를 따로 설정하십시오. 정확히 같은 거리를 측정하고(정다각형의 모든 변이 동일함) 원하는 각도를 다시 따로 설정합니다. 측면이 만날 때까지 계속하십시오.

출처:

• 정다각형의 각도

다각형의 모든면이 내접하는 원에 접하는 경우 다각형을 외접한다고합니다. 정다각형, 즉 모든 변이 동일한 다각형만 기술할 수 있습니다. 고대 건축가조차도 예를 들어 기둥을 설계해야 할 때 이러한 문제의 해결책에 직면했습니다. 현대 기술을 사용하면 최소한의 시간 비용으로 이를 수행할 수 있지만 작동 원리는 고전 기하학에서와 동일하게 유지됩니다.

필요할 것이예요

• - 나침반;
• - 각도기;
• - 자;
• - 종이.

지침

주어진 원을 그립니다. 중심을 O로 정의하고 반지름 중 하나를 그려 건물을 시작할 수 있습니다. 주변의 폴리곤을 설명하려면 유일한 매개변수인 면의 수가 필요합니다. n으로 지정합니다.

모든 원의 각도를 기억하십시오. 360°입니다. 이를 기반으로 측면이 원의 중심과 다각형 측면과의 접촉점을 연결하는 섹터의 각도를 계산할 수 있습니다. 이 섹터의 ​​수는 다각형의 측면 수, 즉 n과 같습니다. 공식 α = 360°/n을 사용하여 각도 α를 찾습니다.

각도기를 사용하여 반지름에서 결과 각도 값을 따로 설정하고 이를 통해 다른 반지름을 그립니다. 정확한 계산을 위해 계산기를 사용하고 예외적인 경우에만 값을 반올림하십시오. 이 새로운 반경에서 섹터의 모서리를 다시 놓고 원의 중심과 선 사이에 다른 선을 그립니다. 같은 방법으로 모든 모서리를 만듭니다.

목적: 볼록 다각형의 각의 합을 구하는 공식을 도출합니다.

• 각 꼭짓점에서 하나를 취한 다각형의 외각의 합에 대한 질문을 조사합니다.
• 인지 활동에 대한 긍정적인 동기를 형성하기 위해;
• 논리적 사고를 개발하십시오.
• 주의력, 관찰력, 그림 분석 능력을 개발하십시오.
• 문제를 해결하기 위해 획득한 지식을 적용하는 능력을 형성합니다.
• 학생들의 소통 문화를 발전시키기 위해

수업 중

위대한 러시아 과학자, 러시아 땅의 자부심,

Mikhailo Vasilyevich Lomonosov는 "폭력적인 노동은 장애물을 극복합니다."라고 말했습니다. 오늘 수업에서 당신과의 작업이 모든 장애물을 극복하는 데 도움이되기를 바랍니다.

1. 기초지식의 실현. (전면 투표.)

프레젠테이션. (슬라이드 2-4)

- 다각형의 정의를 공식화하고 주요 요소의 이름을 지정합니다.
– 볼록 다각형의 정의.
- 볼록 다각형인 당신이 알고 있는 사변형의 예를 들어 보십시오.
삼각형을 볼록 다각형으로 간주할 수 있습니까?
볼록 다각형의 외각은 얼마입니까?

2. 문제 진술(공과 주제에 대한 출력).

구강 전면 작업.

주어진 다각형의 각도의 합 찾기 (슬라이드 5-6)

- 삼각형; 직사각형:
- 사다리꼴; 임의의 칠각형.

어려운 경우 교사는 다음과 같이 질문합니다.

- 사다리꼴의 정의를 공식화하십시오.
사다리꼴 밑면의 이름을 지정하십시오.
- 한 쌍의 각 A와 D에 대해 무엇을 말할 수 있습니까? 그들은 어떤 속성을 가지고 있습니까?
- 여전히 도면에서 내부 단면 캐치 쌍의 이름을 지정할 수 있습니까?
칠각형의 각의 합을 구할 수 있습니까? 질문이 무엇입니까? (임의의 다각형의 각의 합을 구하는 공식이 있습니까?)

따라서 오늘날 우리의 지식으로는 이 문제를 해결하기에 충분하지 않습니다.

공과의 주제를 어떻게 공식화할 수 있습니까? - 각도의 합볼록 다각형.

3. 솔루션 문제. 이 질문에 답하기 위해 약간의 조사를 해보자.

우리는 이미 삼각형 합 정리를 알고 있습니다. 어떤 식으로든 적용할 수 있습니까?

– 이를 위해 무엇을 해야 합니까? (다각형을 삼각형으로 나눕니다.)

다각형은 어떻게 삼각형으로 나눌 수 있습니까? 그것에 대해 생각하고 토론하고 최상의 옵션을 제공하십시오.

그룹 작업이 있으며 각 그룹은 "Geo Gebra" 프로그램이 설치된 별도의 컴퓨터에서 작업합니다.

작업이 끝나면 교사는 그룹의 작업 결과를 화면에 표시합니다. (슬라이드 7)

- 제안된 옵션을 분석하고 연구에 가장 적합한 옵션을 선택하도록 합시다.

선택 기준을 정의해 보겠습니다. 분할의 결과로 무엇을 얻고자 할까요? (구성된 삼각형의 모든 각도의 합은 다각형의 각의 합과 같아야 합니다.)

- 즉시 폐기할 수 있는 옵션은 무엇입니까? 왜요?

(옵션 1, 모든 삼각형의 각의 합이 다각형의 각의 합과 같지 않기 때문입니다.)

- 가장 적합한 옵션은 무엇입니까? 왜요? (옵션 3.)

이 옵션을 어떻게 얻었습니까? (다각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 그렸습니다.

그림	n은 다각형 꼭짓점의 수입니다.	한 꼭짓점에서 그린 대각선의 수	수신된 삼각형의 수
	4
	5
	6
	7
	N

- 다각형 꼭짓점의 개수, 한 꼭짓점에서 그릴 수 있는 대각선의 개수, 얻은 삼각형의 개수 사이의 관계를 설정해 봅시다.

각 그룹은 조사 과정에서 완료해야 하는 표를 받습니다.

그룹으로 토론한 후 아이들은 결론을 내립니다.
n-gon의 한 꼭짓점에서 n - 3개의 대각선을 그릴 수 있습니다(대각선은 선택한 꼭짓점 자체와 두 개의 인접한 꼭짓점에 그릴 수 없기 때문에). 이 경우 n - 2개의 삼각형을 얻습니다.

따라서 볼록 다각형의 각도의 합은 180°(n-2)입니다.

- 다각형을 삼각형으로 분할하기 위해 제안된 옵션으로 돌아가 보겠습니다.

이 정리를 증명하기 위해 그림 4에서 제안한 변형을 사용할 수 있습니까?

이러한 파티션으로 몇 개의 삼각형을 얻을 수 있습니까? ( 피것들)
모든 삼각형의 각의 합과 다각형의 각의 합은 어떻게 다른가? (360 0에서)
- 이 경우 다각형의 각의 합을 어떻게 계산할 수 있습니까?

(180피– 360 = 180n - 180x2 \u003d 180 (n -2)) (C누워 8)

– 그림 2에서 제안한 변형이 파티셔닝을 위해 만든 주요 요구 사항을 충족합니까? (예.)

- 다각형의 각의 합을 구하는 데 사용하지 않는 이유는 무엇입니까? (결과 삼각형의 수를 계산하기가 더 어렵습니다.)

자, 이제 수업 초반에 풀지 못했던 문제로 돌아가 봅시다.

(아이들은 칠각형의 각과 두 가지 유사한 운동의 합을 구두로 계산합니다.) (슬라이드 9 및 10)

4. 습득한 지식의 적용 .

볼록 다각형의 내각의 합을 구하는 공식을 도출했습니다. 이제 각 꼭짓점에서 하나씩 취한 다각형의 외부 각도의 합에 대해 이야기해 보겠습니다.

따라서 작업은 다음과 같습니다. 볼록 육각형 또는 삼각형에 대해 각 꼭짓점에서 하나씩 취한 외각의 합은 어느 것이 더 큽니까? (슬라이드 11)

아이들은 추측을 합니다. 교사는 이 문제를 해결하기 위해 연구를 수행할 것을 제안합니다.

각 그룹에는 독립적으로 해결해야 하는 과제가 주어집니다.

그룹 1.

1) 정삼각형의 각 꼭짓점에서 1씩 취한 외각의 합을 구합니다.
2) - 삼각형에서 각도 값은 각각 70 0 , 80 0 및 30 0 입니다.

그룹 2

1) 직사각형의 각 꼭짓점에서 하나씩 취한 외부 모서리의 합을 구합니다.
2) - 내각이 각각 70 0 , 80 0 및 120 0 및 90 0 인 사변형에서.

그룹 3.

1) 정육각형의 각 꼭짓점에서 하나씩 취한 외각의 합을 구하십시오.
2) - 육각형에서 내각은 각각 170 0 , 80 0 및 130 0 , 100 0 , 70 0 , 170 0 입니다.

작업이 끝나면 아이들이 결과를 보고하고, 교사는 이를 표에 입력하고 화면에 표시합니다. (슬라이드 12)

그렇다면 얻은 결과로부터 어떤 결론을 내릴 수 있습니까? (모든 다각형에 대해 각 꼭짓점에서 하나를 취한 외부 각도의 합은 360°입니다.)

이제 모든 n-gon에 대해 이 사실을 증명해 보겠습니다.

어려움이 발생하면 증명 계획이 집합적으로 논의됩니다.

1. 다각형의 내각을 α, β, γ 등으로 지정합니다.
2. 도입된 표기법으로 외각의 정도를 표현
3. 다각형의 외각의 합을 구하는 식을 쓰십시오.
4. 결과 표현식을 변환하고 이전에 얻은 공식을 사용하여 다각형의 내각 합계를 구하십시오.

그 증거는 칠판에 다음과 같이 쓰여 있습니다.

(180 - α) + (180 - β) + (180 - γ) + ... = 180 p - (α + β + γ + ...) = 180 p - 180 (p - 2) = 360

5. 연구 자료의 통합. 문제 해결.

문제 1. 내각이 45 0 , 68 0 , 73 0 및 56 0 인 볼록 다각형이 있습니까? 당신의 대답을 설명하십시오.

모순으로 증명해 보자. 볼록 다각형에 4개의 예각이 있는 경우 4개의 둔각 외각이 있습니다. 이는 다각형의 모든 외각의 합이 4*90 0 = 360 0 보다 크다는 것을 의미합니다. 우리는 모순이 있습니다. 주장이 입증되었습니다.

볼록 다각형의 세 각은 80도이고 나머지는 150도입니다. 볼록 다각형에는 몇 개의 모서리가 있습니까?

왜냐하면: 볼록 n각형의 경우 각도의 합은 180°(n – 2)입니다. , 그러면 180(n - 2)=3*80 + x*150, 여기서 문제의 조건에 따라 80도의 3개의 각도가 주어지고 다른 각도의 수는 여전히 우리에게 알려지지 않았습니다. 그들의 수를 x로 표시하십시오.

그러나 왼쪽 항목에서 우리는 다각형의 모서리 수를 n으로 결정했습니다. 문제의 조건에서 그 중 3개의 값을 알고 있으므로 x=n-3인 것은 자명합니다.

따라서 방정식은 다음과 같습니다. 180(n - 2) = 240 + 150(n - 3)

결과 방정식을 풉니 다.

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

답: 5개의 봉우리.

6. 수업을 요약합니다.

그래서, 요약해보자. 오늘 수업의 자료를 기반으로 다른 그룹의 사람들을 위해 질문을 공식화하십시오.

가장 좋은 질문은 무엇이라고 생각합니까?

그룹의 각 구성원이 집단 작업에 참여하는 정도에 대해 토론하고 가장 활동적인 이름을 지정하십시오.

그룹에서 누구의 작업이 가장 생산적이었습니까?

7. 숙제:

1. 임무.

다각형은 113도의 세 각도를 가지며 나머지는 서로 같고 각도 측정값은 정수입니다. 다각형의 꼭짓점 수를 구합니다.

2. 항목 114 pp. 169–171, Pogorelov A.V. "기하학 7-9".

기본기하학 과정에서는 볼록한 n각형의 각의 합이 180°(n-2)임을 증명합니다. 이 진술은 볼록하지 않은 다각형에도 해당됩니다.

정리 3. 임의의 n각형의 각도의 합은 180°(n - 2)입니다.

증거. 대각선을 그려 다각형을 삼각형으로 나눕니다(그림 11). 이러한 삼각형의 수는 n-2이고 각 삼각형에서 각의 합은 180°입니다. 삼각형의 각도는 다각형의 각도이므로 다각형의 각도의 합은 180°(n - 2)입니다.

이제 자체 교차점 A1A2…AnA1이 있는 임의의 닫힌 파선을 고려합시다(그림 12, a). 이러한 자체 교차 파선을 별 모양의 다각형이라고 합니다(그림 12, b-d).

각도를 세는 방향을 시계 반대 방향으로 고정합시다. 닫힌 폴리라인이 이루는 각도는 폴리라인이 이동하는 방향에 따라 달라집니다. 폴리라인 순회 방향이 반대인 경우 폴리곤의 각도는 최대 360°까지 원래 폴리곤의 각도를 보완하는 각도가 됩니다.

M이 시계 방향으로 지나가는 단순한 닫힌 파선에 의해 형성된 다각형인 경우(그림 13, a), 이 다각형의 각도의 합은 180°(n - 2)와 같습니다. 파선이 시계 반대 방향으로 통과하면(그림 13, b) 각도의 합은 180°(n + 2)와 같습니다.

따라서 단순한 닫힌 폴리선에 의해 형성된 다각형의 각도의 합에 대한 일반 공식은 = 180 ° (n 2) 형식을 가지며, 여기서 각도의 합, n은 다각형의 각도 수, " +" 또는 "-"는 폴리라인을 우회하는 방향에 따라 취합니다.

우리의 임무는 닫힌(자체 교차할 수 있는) 폴리라인에 의해 형성된 임의의 다각형 각도의 합에 대한 공식을 도출하는 것입니다. 이를 위해 우리는 다각형의 차수 개념을 도입합니다.

다각형의 정도는 측면을 완전히 순차적으로 우회하는 동안 한 점이 만든 회전 수입니다. 또한 시계 반대 방향으로 회전하면 "+" 기호로, 시계 방향으로 회전하면 "-" 기호로 회전합니다.

단순한 닫힌 파선으로 형성되는 다각형의 정도는 순회 방향에 따라 +1 또는 -1임이 분명합니다. 도 12에서 파선의 정도, a는 2와 같다. 별 칠각형의 정도(그림 12, c, d)는 각각 2와 3입니다.

차수의 개념은 평면의 닫힌 곡선에 대해 유사하게 정의됩니다. 예를 들어, 도 14에 도시된 곡선의 차수는 2이다.

다각형이나 곡선의 정도를 찾으려면 다음과 같이 진행할 수 있습니다. 곡선을 따라 이동하면서(그림 15, a) A1 지점에서 시작하여 완전히 회전하여 같은 지점 A1에 도달했다고 가정합니다. 곡선에서 해당 섹션을 제거하고 나머지 곡선을 따라 계속 이동합시다(그림 15b). A2 위치에서 시작하여 다시 한 번 완전히 회전하여 같은 지점에 도달하면 곡선의 해당 섹션을 삭제하고 계속 이동합니다(그림 15, c). 바이 패스 방향에 따라 "+"또는 "-"기호가있는 원격 섹션의 수를 계산하면 원하는 곡선 정도를 얻습니다.

정리 4. 임의의 다각형의 경우 공식

180°(n+2m),

여기서 는 각도의 합, n은 각도의 수, m은 다각형의 각도입니다.

증거. 다각형 M의 차수가 m이고 일반적으로 그림 16에 나와 있습니다. M1, ..., Mk는 점이 완전히 회전하는 지점을 통과하는 단순한 닫힌 파선입니다. A1, ..., Ak는 정점이 아닌 폴리라인의 해당 자체 교차점입니다. 다각형 M1, …, Mk에 포함된 다각형 M의 꼭짓점의 수를 각각 n1, … 다각형 M의 정점 외에도 정점 A1, ..., Ak가 이 다각형에 추가되므로 다각형 M1, ..., Mk의 정점 수는 n1+1, ..., nk+1, 각기. 그러면 각의 합은 180°(n1+12), …, 180°(nk+12)와 같습니다. 파선을 우회하는 방향에 따라 플러스 또는 마이너스를 취합니다. 다각형 M1, ..., Mk를 제거한 후 다각형 M에서 나머지 다각형 M0의 각도의 합은 180°(n-n1-...-nk+k2)와 같습니다. 다각형 M0, M1, … 그러므로 우리는 평등

180°(n1+12)+…+180°(nk+12)+180°(n-n1-…-nk+k2)=+360°k.

180°(n2…2) = 180°(n+2m),

여기서 m은 다각형 M의 차수입니다.

예를 들어, 5개 별표의 각도 합 계산을 고려하십시오(그림 17, a). 해당 닫힌 폴리라인의 차수는 -2입니다. 따라서 원하는 각도의 합은 180입니다.

인접한 세그먼트가 하나의 직선에 있지 않고 인접하지 않은 세그먼트에 공통점이 없는 방식으로 세그먼트 AB, BC, CD, .., EF, FA로 구성된 기하학적 도형을 다각형이라고 합니다. 이 세그먼트의 끝점 A, B, C, D, ..., E, F는 봉우리다각형 및 세그먼트 자체 AB, BC, CD, .., EF, FA - 파티다각형.

다각형은 인접한 두 꼭짓점을 통과하는 모든 선의 한 면에 있는 경우 볼록하다고 합니다. 아래 그림은 볼록 다각형을 보여줍니다.

다음 그림은 볼록하지 않은 다각형을 보여줍니다.

주어진 꼭짓점에서 볼록 다각형의 각도는 주어진 꼭짓점에서 수렴하는 이 다각형의 변에 의해 형성된 각도입니다. 어떤 정점에서 볼록 다각형의 외각은 주어진 정점에서 다각형의 내각에 인접한 각도입니다.

정리: 볼록한 n각형의 각의 합은 180˚ *(n-2)

증명: 볼록한 n각형을 고려하십시오. 모든 내각의 합을 찾기 위해 다각형의 정점 중 하나를 다른 정점에 연결합니다.

결과적으로 (n-2)개의 삼각형을 얻습니다. 삼각형의 내각의 합은 180도라는 것을 우리는 알고 있습니다. 그리고 다각형의 숫자는 (n-2)이므로 다각형의 각도의 합은 180˚ *(n-2)입니다. 이것이 입증되어야 했던 것입니다.

작업:

볼록 a) 오각형 b) 육각형 c) 십이각형의 각의 합을 구하십시오.

수식을 사용하여 볼록한 n각형의 각도의 합을 계산해 보겠습니다.

a) S5 = 180˚*(5-2) = 180˚ *3 = 540˚.

b) S6 180˚*(6-2) = 180˚*4=720˚.

c) S10 = 180˚*(10-2) = 180˚*8 = 1440˚.

답: a) 540˚. b) 720˚. 다) 1440˚.

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