구간 0 1은 연속체의 힘을 가집니다. 연속체(집합 이론). 이 프로세스의 연속성에 대한 몇 가지 질문

요소의 번호를 다시 매길 수 없는 무한 집합이 있습니다. 이러한 집합을 호출합니다. 셀 수 없는.

칸토어의 정리.세그먼트의 모든 포인트 집합은 셀 수 없습니다.

증거.

세그먼트의 포인트 집합을 셀 수 있도록 합니다. 즉, 이러한 점의 번호를 다시 매길 수 있습니다. 즉, 시퀀스 형식으로 배열할 수 있습니다. 엑스 1 , 엑스 2 ...xn, … .

세그먼트를 세 개의 동일한 부분으로 나눕니다. 어디든 포인트 엑스 1 , 모든 세그먼트에 속할 수는 없습니다 , , . 따라서 그 중에는 점을 포함하지 않는 세그먼트 D 1이 있습니다. 엑스 1 (그림 1.7). 이 세그먼트 D 1을 가져 와서 세 개의 동일한 부분으로 나눕니다. 그 중에는 점을 포함하지 않는 세그먼트 D 2가 항상 있습니다. 엑스 2. 우리는 이 세그먼트를 3개의 동일한 부분으로 나누는 식으로 일련의 세그먼트 D 1 É D 2 É D 3 É… ÉD를 얻습니다. N이자형…. Cantor의 공리 덕분에 어떤 점으로 수렴됩니다. 엑스~에 N® ¥. 공사로 이 점은 엑스각 세그먼트 D 1 , D 2 , D 3 ,…, D에 속함 N, …, 즉, 어떤 점과도 일치할 수 없습니다. 엑스 1 , 엑스 2 ,...xn, …, 즉 시퀀스 엑스 1 , 엑스 2 ...xn, … 세그먼트의 모든 지점을 소진하지 않아 초기 가정과 모순됩니다. 정리가 입증되었습니다.

세그먼트의 모든 포인트 집합에 해당하는 집합을 호출합니다. 전력 연속체 세트.

간격, 세그먼트 및 전체 선의 점 집합은 서로 동일하므로 모두 연속체의 힘을 갖습니다.

주어진 집합이 연속체의 카디널리티를 가지고 있음을 증명하려면 주어진 집합과 세그먼트, 간격 또는 전체 선의 점 집합 사이의 일대일 대응을 나타내는 것으로 충분합니다.

예 1.24.

무화과에서. 1.8 포물선의 점 집합 와이= 엑스 2는 선의 점 집합 –¥에 해당합니다.< 엑스 < ¥ и, следовательно, имеет мощность континуума.

다음을 사용하여 연속체의 힘을 설정할 수도 있습니다. 연속체의 거듭제곱 집합에 대한 정리(증거 없이 주어진).

정리 1.셀 수 있는 집합의 모든 부분 집합의 집합은 셀 수 있습니다.

정리 2.무리수의 집합은 연속체의 카디널리티를 갖습니다.

정리 3.모든 포인트의 집합 N-어떤 차원 공간 N연속체의 힘이 있다.

정리 4.모든 복소수의 집합은 연속체의 카디널리티를 갖습니다.

정리 5.세그먼트 [ ㅏ, 비] 연속체의 카디널리티가 있습니다.

따라서 무한 집합의 카디널리티는 다를 수 있습니다. 연속체의 카디널리티는 셀 수 있는 집합의 카디널리티보다 큽니다. 연속체의 카디널리티보다 더 높은 카디널리티 세트가 있는지 여부에 대한 질문에 대한 대답은 다음 정리에 의해 제공됩니다(증거 없이 제공됨).

더 높은 카디널리티 세트에 대한 정리.주어진 집합의 모든 하위 집합 집합은 주어진 집합보다 더 높은 카디널리티를 갖습니다.

이 정리에 따르면 가장 큰 카디널리티를 가진 집합은 없습니다.

주제 2. 관계. 기능

연속체 전원

정리 1. 세그먼트는 셀 수 없습니다.

증거

그 반대라고 가정해 봅시다.

세그먼트를 셀 수 있는 집합으로 둡니다. 그런 다음 모든 포인트를 시퀀스로 정렬할 수 있습니다.

해보자, 즉 모든 포인트는 시퀀스(1)에 있습니다.

점과 (그림 1)로 3 등분으로 나눕니다. 포인트는 세 세그먼트 모두에 속할 수 없으며 세그먼트 중 적어도 하나는 해당 세그먼트를 포함하지 않습니다. 포함하지 않는 세그먼트로 표시합니다(해당 세그먼트가 두 개 있는 경우 그 중 하나라고 함).

이제 세그먼트를 3개의 동일한 세그먼트로 나누고 점이 포함되지 않은 새 세그먼트 중 하나로 표시합니다.

그런 다음 세그먼트를 세 개의 동일한 세그먼트로 나누고 점을 포함하지 않는 세그먼트 등으로 표시합니다.

결과적으로 다음과 같은 속성을 가진 중첩된 세그먼트의 무한 시퀀스를 얻습니다.

세그먼트의 길이는 증가함에 따라 0이 되는 경향이 있으므로 Cantor 중첩 세그먼트 정리에 따르면 모든 세그먼트에 공통적인 점이 있습니다.

이후 포인트는 시퀀스(1)에 포함되어야 합니다. 그러나 이것은 불가능하다. 따라서 우리는 점이 수열(1)의 어떤 점과도 일치할 수 없다는 것을 알게 됩니다.

입증된 정리

정의 1. 세트 A가 세그먼트와 동일하면 A는 연속체의 카디널리티, 간단히 말해 카디널리티 c를 갖는다고 합니다.

정리 2. 모든 세그먼트, 모든 간격 및 모든 반구간 또는 카디널리티가 있음 c.

증거

세트 사이에 일대일 대응을 설정하고 A가 연속체의 카디널리티를 갖는다는 결론이 나옵니다.

무한 세트에서 하나 또는 두 개의 요소를 제거하면 원래 세트와 동일한 세트가 생성되므로 간격은 세그먼트와 동일한 카디널리티를 갖습니다. 힘 s.

정리가 입증되었습니다.

정리 3. 카디널리티 c의 쌍방향 분리 집합의 유한한 수의 합은 카디널리티 c를 가집니다.

증거

반구간을 점으로 반구간으로 분해하고,

각 반구간은 카디널리티 c를 가지므로 세트와 반구간을 일대일 대응으로 연결할 수 있습니다. 이런 식으로 합계와 반음 사이에 일대일 대응이 성립되었음을 쉽게 알 수 있습니다.

정리가 입증되었습니다.

정리 4. 카디널리티 c의 쌍별 분리 집합의 셀 수 있는 집합의 합은 카디널리티 c를 갖습니다.

증거

여기서 각 집합에는 카디널리티가 있습니다. c.

단조롭게 증가하는 시퀀스와 포인트를 반 간격으로 가져옵니다.

집합과 모든 집합 사이에 일대일 대응을 설정함으로써 and 사이에 일대일 대응을 설정합니다.

정리가 입증되었습니다.

결론 1. 모든 실수 집합에는 기수가 있습니다. c.

결론 2. 모든 무리수의 집합에는 기수가 있습니다. c.

결과 3. 초월(비대수) 숫자가 있습니다.

정리 5. 모든 자연수의 집합

힘이 있다.

증거

두 가지 방법으로 정리를 증명해 봅시다.

1) 연속분수 이론에 기초함.

연속된 분수 확장이

대응의 가능성은 정리를 증명합니다.

2) 이진 분수 이론에 기초.

이 이론의 몇 가지 사실을 고려하십시오.

1. 이진 분수는 시리즈의 합입니다.

지정된 금액은 기호로 표시됩니다.

2. 모든 숫자는 다음 형식으로 나타낼 수 있습니다.

이 표현은 x가 다음 형식의 분수가 아닌 경우 고유합니다. 숫자 0과 1은 (고유하게) 분수로 확장됩니다.

그렇다면 두 가지 분해를 허용합니다. 이 확장에서 ...의 부호는 일치하고 그 중 하나의 부호는 1이고 다른 하나는 0입니다. 첫 번째 확장의 다른 모든 부호는 0(기간에 0)이고 두 번째 확장( 기간 중 1).

예를 들어

3. 모든 이진 분수는 어떤 숫자와 같습니다.

이 분수가 기간에 0 또는 1을 포함하는 경우, 즉 형식의 숫자는 예외이며 원래 분수와 함께 하나 이상의 이진 확장이 있습니다.

이진 분수가 마침표에 숫자 0 또는 1을 포함하지 않으면 다른 이진 확장이 없습니다.

정리의 증명으로 돌아가 보자.

기간에 단위를 포함하는 분수를 사용하지 않는 데 동의합시다. 그런 다음 반 간격의 각 숫자는 다음 형식으로 고유한 표현을 갖습니다.

그리고 어떤 숫자를 선택하든지 간에 다음과 같은 것들이 있습니다.

반대로 이 속성을 가진 모든 분수(1)는 점에 해당합니다. 그러나 다음을 지정하여 분수(1)를 지정할 수 있습니다.

이들은 증가하는 자연수의 수열을 형성합니다.

이러한 각 시퀀스는 분수(1)에 해당합니다. 따라서 시퀀스 집합(2)에는 카디널리티가 있습니다. 그러나 세트 간에는 일대일 대응을 설정하기 쉽습니다. 이렇게 하려면 시퀀스(2)를 시퀀스와 연관시키는 것으로 충분합니다.

에서, ...

정리가 입증되었습니다.

정리 6. 세트 A의 요소가 아이콘으로 정의되는 경우, 각 아이콘은 다른 아이콘에 관계없이 카디널리티가 있는 값 세트를 취합니다.

세트 A에는 카디널리티가 있습니다.

증거

인수가 일반적인 성격이기 때문에 세 가지 아이콘의 경우를 고려하는 것으로 충분합니다.

각 아이콘은 다른 아이콘과 독립적으로 변경되며 각 세트에는 카디널리티가 있습니다.

각 집합과 자연수의 모든 시퀀스 집합 사이에 일대일 대응을 설정해 봅시다. 이렇게 하면 and 사이에 동일한 관계가 설정됩니다.

하자, 어디, .

및 요소 사이의 대응에서 일부 요소에 해당합니다.

요소는 시퀀스에 해당합니다.

요소는 시퀀스에 해당합니다.

에 분명히 포함된 시퀀스를 요소에 할당해 보겠습니다.

이것으로 우리는 A와 P 사이에 일대일 대응을 얻었습니다. 즉, 세트 A는 카디널리티를 가집니다.

정리가 입증되었습니다.

추론 1. 평면의 모든 점 집합에는 카디널리티가 있습니다.

결론 2. 3차원 공간에 있는 모든 점의 집합에는 카디널리티가 있습니다.

결과 3. 카디널리티 c의 쌍으로 분리된 집합의 합 c는 카디널리티 c를 가집니다.

정리 7. 세트 A의 요소가 셀 수 있는 아이콘 세트를 사용하여 정의되고 각 아이콘은 다른 아이콘과 관계없이 카디널리티 값 세트를 취하면 세트 A는 카디널리티 c를 갖습니다.

증거

일련의 아이콘 값이 있다고 가정합니다.

모든 자연수 시퀀스의 집합 P와 일대일 대응으로 연결합니다.

이 서신을 표시하십시오.

이 작업을 마치면 임의의 요소를 선택합니다.

그럼 어디.

시퀀스가 아이콘의 값에 해당하도록 하십시오.

그런 다음 요소는 무한 정수 행렬에 해당합니다.

A와 행렬 집합(*) 간의 대응 관계가 일대일임을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 세트에 카디널리티 c가 있음을 찾는 것이 남아 있습니다. 그러나 이것은 행렬(*)을 시퀀스와 연관시킴으로써 명백합니다.

우리는 즉시 and 사이의 일대일 대응을 얻습니다.

따라서 집합 A에는 카디널리티가 있습니다.

정리가 입증되었습니다.

정리 8. 서로 독립적으로 값 0과 1을 취하는 형식의 모든 시퀀스 집합은 카디널리티 c를 갖습니다.

증거

어떤 위치에서 시작하여 모든 것이 1인 시퀀스의 집합이라고 하자.

에 포함된 각 시퀀스는 이진 확장이 있는 숫자와 연관될 수 있습니다. 이 숫자는 1이 될 것이며, 또한 표시된 유형의 숫자 ​​집합 사이의 결과 대응은 분명히 일대일이므로 집합이 셀 수 있다는 것을 따릅니다.

반면에 숫자를 이진 확장과 연관시키면 와 반구간의 일대일 대응을 얻습니다.

정리: 구간 (0,1)에 있는 실수 집합은 셀 수 없습니다.

증거:

어떤 식으로든 실수 집합과 자연수 집합 사이에 일대일 대응이 성립될 수 없음을 증명해야 합니다. 우리는 모순으로 정리를 증명할 것입니다.

이 일대일 대응이 어떤 식으로든 설정되었다고 가정합니다. 각 실수는 오직 하나에 해당합니다. 자연수, 그리고 그 반대의 경우에도 각각의 자연수는 오직 하나의 실수에 해당합니다. 따라서 일부 실수는 숫자 1에 해당합니다. 소수 0, α 1 α 2 ... α n . 일부 실수는 숫자 2에 해당합니다. 이 분수는 0, β 1 β 2 β 3 ...β n 등으로 표시됩니다.

이제 실수를 순서대로 적어 봅시다. 먼저 1에 해당하는 숫자를 쓰고 2에 해당하는 숫자를 쓰고 3에 해당하는 숫자를 씁니다.

0, α 1 α 2 ... α n 0, β 1 β 2 β 3 ... β n 0, γ 1 γ 2 .... γ n

따라서 각 실수는 일부 자연수에 해당하므로 모든 실수가 기록됩니다. 맨 위 줄에는 간격 (0,1)의 모든 실수가 포함되고 맨 아래 줄에는 모든 자연수가 포함됩니다.

이제 다음 법칙을 사용하여 숫자 0, m 1 m 2 ..m n …을 구성해 보겠습니다. m1≠α1,0

m1 ≠α1 , m2 ≠β2 , m3 ≠γ3 ,…

0

숫자 0, m 1 m 2 … m n ..은 숫자 0, α 1 α 2 ... α n ..과 같지 않습니다. 구조상 소수점 첫째 자리까지 다르기 때문입니다. 숫자 0, m 1 m 2 …m n ...은 숫자 0, β 1 β 2 β 3 ...β n과 소수점 둘째 자리까지 다릅니다. 숫자 0, m 1 m 2 …m n ...은 숫자 0, γ 1 γ 2 ....γ n과 소수점 셋째 자리 등이 다릅니다. 일반적으로 숫자 0, m 1 m 2 …m n ...은 윗줄의 각 숫자와 다르기 때문에 윗줄의 숫자에 속하지 않는 구조를 따른다. 반면, 숫자 0, m 1 m 2 … m n ...은 (0,1) 구간의 실수이며, 이 구간의 모든 실수는 맨 윗줄에 있습니다. 이것은 숫자 0, m 1 m 2 … m n ...도 맨 위 행에 있어야 함을 의미합니다.

우리는 모순에 도달했습니다. 따라서 구간 (0,1)의 실수 집합과 자연수 집합 간에는 일대일 대응이 성립할 수 없으며, 이는 구간 (0.1)의 실수 집합이 셀 수 없음을 의미합니다. .

정의: 간격(0,1)에 있는 실수 집합과 동일한 모든 집합은 연속체 카디널리티 집합입니다.

구간 (0,1)의 각 숫자는 이 구간의 단 하나의 점에 해당하고, 반대로 구간 (0,1)의 각 점은 이 구간의 단 하나의 숫자에 해당합니다. 따라서 간격 (0,1)에 있는 점 집합은 연속체의 카디널리티를 갖습니다.

우리는 서로 다른 길이의 간격에 있는 점들의 집합 사이에 일대일 대응이 성립될 수 있음을 증명했습니다. 따라서 모든 간격의 점 집합은 연속체의 카디널리티를 갖습니다.

우리는 전체 선의 점 집합과 모든 구간의 점 집합이 동일하다는 것을 증명했습니다. 따라서 전체 직선의 점 집합은 연속체의 카디널리티를 가지며, 이로부터 모든 실수 집합이 연속체의 카디널리티를 갖습니다.

집합 이론은 연속체의 카디널리티 집합과 셀 수 있는 집합을 강조하여 무한 집합을 질적으로 구분할 수 있게 했습니다.

실수 집합의 카디널리티 아르 자형 특별한 표기가 있습니다. 이러한 힘을 가진 집합을 연속체(영어에서 계속하다 - 계속하다)라고 합니다.

연속체의 힘 개념의 도입은 두 가지 질문을 제기합니다.

1. c보다 큰 거듭제곱을 가진 집합이 있습니까?

2. 셀 수 있는 것과 연속체 사이에 일련의 중간 거듭제곱이 있습니까?

언뜻 보기에 모든 평면 도형, 예를 들어 정사각형은 c보다 큰 카디널리티 집합입니다. 그러나 이는 사실이 아니며,

정리. 평면에서 열린 단위 사각형은 카디널리티를 가집니다. c.

증거. 정사각형의 점들의 지도 f를 그 변에 구성해 봅시다. 좌표 (x, y)를 사용하여 사각형 내부의 아무 점이나 가져옵니다. 십진수 표현 x = 0,a 1 a 2 a 3 ... 및 y = 0,b 1 b 2 b 3 ... . 우리는 숫자 z = f(x, y) = = 0,a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ...을 형성합니다. 이것은 사각형 측면에 있는 점의 좌표입니다. 따라서 사각형의 점을 측면에 매핑합니다. 이 매핑이 단사적이라는 것은 분명합니다. A ¹ B와 같이 점 A \u003d (x 1, y 1) 및 B \u003d (x 2, y 2)를 취하고 z A \u003d f (A)를 정의하면 z B \u003d f (B ), z A ¹ z B , 즉 사각형의 서로 다른 두 점 A와 B는 선분의 ​​서로 다른 두 점에 매핑됩니다. 실제로 A ¹ B라고 하자. 따라서 x 1 ¹ x 2 또는 y 1 ¹ y 2이면 이 숫자는 소수점 이하 한 자리 이상 차이가 나므로 z A ¹ z B 입니다.

주입성은 세그먼트보다 정사각형에 더 이상 점이 없다는 것을 의미합니다. 반면에 세그먼트는 사각형의 하위 집합이므로 더 적을 수 없습니다. 결과적으로 구성된 매핑 f는 일대일입니다.

그럼에도 불구하고 연속체 위에 카디널리티 세트가 존재합니다.

정리. 집합 A에 대해 더 큰 카디널리티 집합 B가 있습니다.

증거. 집합 A가 있다고 하자. 집합 A의 지점에서 정의되고 이 지점에서 0 또는 1과 같은 모든 함수의 집합인 집합 B를 고려하십시오. 세트 B의 카디널리티가 A의 카디널리티보다 크다는 것을 보여줍시다.

집합 A에서 규칙에 의해 정의된 B의 함수를 고려하십시오.

여기서 aОА. 각 점 aОА를 함수 f a (x)ОВ에 대응시키고 결과 집합을 고려해 봅시다.

B 1 = ( f a (x)ОB | aОA )М B.

분명히 우리는 일대일 매핑 А « В 1 을 설정했습니다. 따라서 | A | = | B 1 |, 따라서 | A | £ | 비 1 |.

그것을 보여줍시다 | A | ¹ | 비 1 |. 이것은 모든 B에 대한 A의 일대일 매핑이 없다는 사실과 동일합니다. 반대로 전단사 매핑 j가 있다고 가정합니다: A ® B, 각 aОA에 요소 bОВ를 할당하고 집합 A의 요소인 B의 함수. j(a) = f (a) (x)를 나타내고 다음 함수를 고려하십시오.

g(x) = 1 – f(а)(x).

세트 B의 요소 속성에 따르면 f(a)(x)의 값이 0 또는 1과 같고 이 속성은 함수 g(x)에 대해서도 충족됩니다. 따라서 g(x)ОВ입니다. 따라서 가정에 의해 g(x)가 고유하게 대응하는 점 bОА가 존재합니다. 즉, 지(엑스) = 에프(비)(엑스). x = b를 취하면 다음을 얻습니다.

지(비) = 1 – 에프(비)(비) = 에프(비)(비).

따라서 f(b)(b)=1/2이며, 이는 함수 f(b)(x)가 집합 B에 속한다는 조건과 모순됩니다. 따라서 이러한 매핑 j는 존재하지 않습니다. 따라서 B의 거듭제곱은 엄격하게 A의 거듭제곱보다 큽니다.

정리에서 가장 큰 카디널리티 집합이 없다는 결론이 나옵니다.

집합 A의 모든 가능한 부분집합을 요소로 하는 집합으로 B를 정의하면 더 큰 카디널리티 집합을 구성하는 동등한 방법을 얻을 수 있습니다. 일부 집합 A의 모든 부분집합 집합을 부울(Boolean)이라고 하고 2A(2 A =( C | C Í A)). 그러면 m(2A) = 2 | A | .

카디널리티가 2c인 집합을 하이퍼연속 카디널리티 집합이라고 합니다.

중간 크기 집합의 존재 문제에 관해서는 이 진술이 집합론의 공리에 기초하여 증명될 수 없다는 것이 밝혀졌지만 모순되지도 않습니다.

제어 질문 및 작업

1. 다음 세트의 카디널리티를 결정합니다.

a) 정점 좌표가 유리수로 표현되는 평면의 모든 삼각형 집합

b) 정수 계수를 갖는 다항식의 근 집합;

c) 0에서 1까지의 실수 집합, 7이 3번째 자리에 있는 십진법 표현(즉, 0.ab7cd... 형식의 숫자).

2. 무한한 셀 수 있는 집합 E가 실선에 주어집니다. 실수 z가 항상 존재한다는 것을 증명하고 집합 E를 z만큼 오른쪽으로 이동하여 빈 교차점을 갖는 새로운 집합 E 1을 얻습니다. 이자형.

삼*. 간격에 있는 모든 연속 함수 집합이 연속체의 카디널리티를 가짐을 증명하십시오.

4. 세그먼트에 정의되고 이 세그먼트의 적어도 한 지점에서 불연속적인 모든 기능 세트의 카디널리티는 무엇입니까?

5. 세그먼트에 정의된 모든 엄격하게 증가하는 연속 함수 세트의 카디널리티는 무엇입니까?

6. 간격에서 모든 단조 함수 집합의 카디널리티는 무엇입니까?

7. 자연 계열의 모든 순열 집합이 N 연속체의 힘이 있다.

8. 엄격하게 증가하는 모든 자연수의 집합의 카디널리티는 무엇입니까?

9. 자연수의 모든 시퀀스 집합의 카디널리티는 무엇입니까?

솔루션 예시

임의로 번호가 매겨진 세그먼트의 모든 합리적인 점의 세트 Q를 고려하십시오. Q= = (r 1 , r 2 , ...). 함수 f 실수의 시퀀스 f(r 1), f(r 2), ... 연속 함수 및 모든 실수 시퀀스 집합의 일부에 대한 각 연속에 할당합시다. 따라서 문제 11-13, 항목 4의 결과에 의해 모든 연속 함수 집합의 기수는 연속체의 기수보다 크지 않습니다. 다른 한편으로, 그것은 연속체의 카디널리티보다 작을 수 없습니다. 왜냐하면 상수인 모든 함수는 이미 연속체의 카디널리티 집합을 형성하기 때문입니다. 증명을 완성하려면 Cantor-Bernstein 정리를 적용해야 합니다.

퍼지 세트. 기본 개념

고전 집합론은 20세기 초 Kantor의 저서에서 시작되었으며, 1965년 캘리포니아 대학(Berkeley)의 Lotfi A. Zadeh 교수는 "Fuzzy Sets"라는 작품을 발표했습니다. 사람의 지적 활동을 모델링하기 위한 토대를 마련하고 마련했습니다.

집합 이론을 사용하여 해결되는 많은 응용 문제에서 주어진 집합에 속하는 요소 집합을 고유하고 명확하게 제한하는 것은 어렵습니다. 수학의 형식적 특성과 불명확하고 모호한 개념으로 생각하는 인간의 습관 사이에 모순이 발생합니다. (돌 한 다발은 몇 조각인가? 코끼리 5마리는 많다, 개미 10마리는 부족하다 등). Zade는 이러한 모순을 어느 정도 극복했습니다.

L. Zadeh 교수와 그의 추종자들의 추가 작업은 새로운 이론을 위한 견고한 토대를 마련했으며 엔지니어링 실무에 퍼지 제어 방법을 도입하기 위한 전제 조건을 만들었습니다. 1990년까지 이 주제에 관한 10,000편 이상의 논문이 발표되었고 연구자 수는 10,000명에 달했으며, 미국, 유럽 및 소련에서는 200-300명, 일본에서는 약 1,000명, 인도에서는 약 2,000-3,000명, 그리고 약 5,000명입니다. 중국의 연구원. 지난 5~7년 동안 업계에서 새로운 방법과 모델을 사용하기 시작했습니다. 그리고 퍼지 제어 시스템의 첫 번째 응용 프로그램이 유럽에서 발생했지만 이러한 시스템은 일본에서 가장 집중적으로 구현됩니다. 적용 범위는 지하철의 출발 및 정차 프로세스 제어, 화물 엘리베이터 및 용광로 제어에서 세탁기, 진공 청소기 및 전자 레인지에 이르기까지 광범위합니다. 동시에 퍼지 시스템은 자원과 에너지 비용을 줄이면서 제품 품질을 개선하고 기존 자동 제어 시스템에 비해 간섭 요인에 대한 저항력을 높일 수 있습니다.

즉, 새로운 접근 방식을 통해 고전 이론의 적용 범위를 넘어 자동화 시스템의 적용 범위를 확장할 수 있습니다. 이와 관련하여 L. Zadeh의 관점이 궁금합니다. “과도한 정확성에 대한 욕구가 제어이론과 시스템이론을 무효화시키는 효과를 내기 시작했다고 생각합니다. 이는 이 분야의 연구가 정확하게 풀릴 수 있는 문제에만 집중하는 결과로 이어지기 때문입니다. 결과적으로 , 데이터, 목표 및 제약 조건이 너무 복잡하거나 잘못 정의되어 정확한 수학적 분석을 허용하지 않는 중요한 문제의 많은 클래스가 수학적 처리에 적합하지 않다는 이유로 제외되었습니다. 따라서 우리는 정확성에 대한 요구를 포기하고 다소 불분명하거나 불확실한 결과를 허용해야 합니다."

퍼지 시스템 연구의 중심이 실제 응용으로 이동함에 따라 퍼지 컴퓨팅을 위한 새로운 컴퓨터 아키텍처, 퍼지 컴퓨터 및 컨트롤러의 요소 기반, 개발 도구, 계산 및 개발을 위한 엔지니어링 방법과 같은 많은 문제가 공식화되었습니다. 퍼지 제어 시스템 등.

E를 전체 집합, x를 E의 요소, P를 일부 속성이라고 합니다. 속성 Р를 만족하는 요소를 포함하는 보편 집합 E의 일반(명확한) 부분 집합 A는 순서쌍 A의 집합으로 정의됩니다. = (m·A(엑스) / 엑스 } , 여기서 m A(x)는 x가 속성 Р를 만족하는 경우 값 1을 갖는 특성 함수입니다. , 그렇지 않으면 0입니다.

퍼지 부분 집합은 E에서 요소 x에 대해 속성 Р에 대해 모호하지 않은 "예-아니오" 대답이 없다는 점에서 일반적인 것과 다릅니다. 이와 관련하여 범용 집합 E의 퍼지 부분 집합 A는 순서 쌍의 집합으로 정의됩니다. ㅏ = (m A (х) /х), 여기서 m A (х)는 특징적인 소속 함수(또는 단순히 소속 함수)이며, 일부 잘 정렬된 집합 M(예: M = [ 0,1] ). 소속 함수는 부분 집합 A에서 요소 x의 소속 정도(또는 수준)를 나타냅니다. 집합 M을 소속 집합이라고 합니다. 만약 M = { 0,1} , 그런 다음 퍼지 하위 집합 ㅏ일반 또는 파삭 파삭 한 세트로 간주 될 수 있습니다.

퍼지 집합 작성의 예

E= (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ), M = [ 0,1] ; A는 m A( 엑스 1)=0.3; mA( 엑스 2)=0; mA( 엑스 3)=1; mA( 엑스 4)=0.5; mA( 엑스 5)=0.9. 그러면 A는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
A= { 0.3/x1; 0/x2; 1/x3; 0.5/x4; 0.9/x5 } 또는
ㅏ = 0.3/x 1 È 0/x 2 È 1/x 3 È 0.5/x 4 È 0.9/x 5 또는

A=	엑스 1 엑스 2 엑스 3 엑스 4 엑스 5 0,3 0,5 0,9