제곱근의 4가지 속성에 대한 준비 버전입니다. 뿌리의 속성, 공식, 증명, 예. 이제 완전히 나 혼자

\(\sqrt(a)=b\), if \(b^2=a\), 여기서 \(a≥0,b≥0\)

예:

\(\sqrt(49)=7\), \(7^2=49\) 이후
\(\sqrt(0.04)=0.2\), \(0.2^2=0.04\) 이후

숫자의 제곱근을 추출하는 방법은 무엇입니까?

숫자의 제곱근을 추출하려면 다음과 같은 질문을 스스로에게 물어봐야 합니다. 어떤 숫자를 제곱하면 근 아래에 표현이 될까요?

예를 들어. 루트 추출: a)\(\sqrt(2500)\); b) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); c) \(\sqrt(0.001)\); d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

a) 어떤 수를 제곱하면 \(2500\)이 될까요?

\(\sqrt(2500)=50\)

b) 어떤 숫자를 제곱하면 \(\frac(4)(9)\) 가 될까요?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

c) 어떤 수를 제곱하면 \(0.0001\)이 될까요?

\(\sqrt(0.0001)=0.01\)

d) 어떤 숫자를 제곱하면 \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)이 될까요? 질문에 답하려면 잘못된 질문으로 변환해야 합니다.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

논평: \(-50\), \(-\frac(2)(3)\), \(-0.01\),\(- \frac(7)(6)\)도 질문에 답하지만, 그러나 제곱근은 항상 양수이기 때문에 고려되지 않습니다.

루트의 주요 속성

아시다시피 수학에서는 모든 행동에 반대가 있습니다. 더하기에는 빼기가 있고, 곱하기에는 나누기가 있습니다. 제곱의 역수는 제곱근을 취하는 것입니다. 따라서 이러한 작업은 서로를 보상합니다.

\((\sqrt(a))^2=a\)

이것은 가장 자주 사용되는 루트의 주요 속성입니다(OGE 포함).

예 . (OGE의 할당). \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\) 표현식의 값을 구합니다.

해결책 :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

예 . (OGE의 할당). \((\sqrt(85)-1)^2\) 표현식의 값을 구합니다.

해결책:

답변: \(86-2\sqrt(85)\)

물론 제곱근으로 작업할 때는 다른 것을 사용해야 합니다.

예 . (OGE의 할당). 표현식 \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)의 값을 찾습니다.
해결책:

답변: \(220\)

사람들이 항상 잊어버리는 4가지 규칙

뿌리가 항상 추출되는 것은 아닙니다

예: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) 등 – 숫자의 근을 추출하는 것이 항상 가능한 것은 아니며 이는 정상입니다!

숫자의 루트(또한 숫자)

\(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\)를 특별한 방법으로 처리할 필요는 없습니다. 이것은 숫자이지만 정수는 아닙니다. 하지만 우리 세계의 모든 것이 정수로 측정되는 것은 아닙니다.

루트는 음수가 아닌 숫자에서만 가져옵니다.

따라서 교과서에는 \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\) 등의 항목이 표시되지 않습니다.

간판을 다시 보니... 그리고, 가자!

간단한 것부터 시작해 보겠습니다.

잠시만요. 이는 다음과 같이 작성할 수 있음을 의미합니다.

알았어요? 다음은 다음과 같습니다.

결과 숫자의 근이 정확하게 추출되지 않았습니까? 문제 없습니다. 다음은 몇 가지 예입니다.

두 개가 아니라 더 많은 승수가 있다면 어떨까요? 똑같다! 근을 곱하는 공식은 다양한 요인에 적용됩니다.

이제 완전히 스스로:

답변:잘하셨어요! 동의하세요, 모든 것이 매우 쉽습니다. 가장 중요한 것은 구구단을 아는 것입니다!

뿌리 나누기

근의 곱셈을 정리했으니 이제 나눗셈의 속성으로 넘어가겠습니다.

다음의 공식을 상기시켜 드리겠습니다. 일반적인 견해다음과 같습니다:

의미하는 것은 몫의 근은 근의 몫과 같습니다.

몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

그것이 과학의 전부입니다. 예는 다음과 같습니다.

첫 번째 예만큼 모든 것이 순조롭지는 않지만 보시다시피 복잡한 것은 없습니다.

이런 표현을 접하게 된다면 어떨까요?

공식을 반대 방향으로 적용하면 됩니다.

예를 들면 다음과 같습니다.

다음과 같은 표현도 접할 수 있습니다.

모든 것이 동일합니다. 여기서만 분수를 번역하는 방법을 기억하면 됩니다(기억이 나지 않으면 주제를 보고 다시 돌아오세요!). 기억 나니? 이제 결정하자!

나는 당신이 모든 것에 대처했다고 확신합니다. 이제 뿌리를 어느 정도 높이려고 노력합시다.

지수화

제곱근을 제곱하면 어떻게 되나요? 간단합니다. 숫자의 제곱근의 의미를 기억하세요. 이것은 제곱근이 같은 숫자입니다.

그렇다면 제곱근이 같은 숫자를 제곱하면 무엇을 얻게 될까요?

물론이죠!

예를 살펴보겠습니다:

간단하죠? 뿌리의 정도가 다르다면 어떨까요? 괜찮아요!

동일한 논리를 따르고 속성과 가능한 동작을 각도별로 기억하세요.

""주제에 대한 이론을 읽으면 모든 것이 매우 명확해질 것입니다.

예를 들어 다음과 같은 표현식이 있습니다.

이 예에서는 차수는 짝수이지만 홀수이면 어떨까요? 다시, 지수의 속성을 적용하고 모든 것을 인수분해합니다.

이것으로 모든 것이 명확해 보이지만 숫자의 근을 거듭제곱으로 추출하는 방법은 무엇입니까? 예를 들면 다음과 같습니다.

아주 간단하죠? 학위가 2보다 크면 어떻게 되나요? 우리는 도의 속성을 사용하여 동일한 논리를 따릅니다.

글쎄, 모든 것이 명확합니까? 그런 다음 예제를 직접 풀어보세요.

답변은 다음과 같습니다.

루트 기호 아래에 입력

우리는 뿌리를 다루는 법을 아직 배우지 못했습니다! 남은 것은 루트 기호 아래에 숫자를 입력하는 연습을 하는 것뿐입니다!

정말 쉽습니다!

숫자를 적어 놓았다고 가정해 봅시다.

우리는 그것으로 무엇을 할 수 있나요? 물론, 3이 의 제곱근이라는 것을 기억하면서 루트 아래에 3을 숨기세요!

왜 이것이 필요합니까? 예, 예제를 풀 때 우리의 능력을 확장하기 위해서입니다:

이 뿌리 속성이 마음에 드시나요? 삶이 훨씬 쉬워지나요? 저에게는 그게 딱 맞습니다! 오직 제곱근 기호 아래에는 양수만 입력할 수 있다는 점을 기억해야 합니다.

이 예를 직접 풀어보세요 -
당신은 관리 했습니까? 당신이 무엇을 얻어야하는지 보자 :

잘하셨어요! 루트 기호 아래에 숫자를 입력했습니다! 똑같이 중요한 것으로 넘어가겠습니다. 제곱근이 포함된 숫자를 비교하는 방법을 살펴보겠습니다!

뿌리의 비교

제곱근이 포함된 숫자를 비교하는 방법을 배워야 하는 이유는 무엇입니까?

매우 간단합니다. 시험장에서 마주하게 되는 크고 긴 표현에서 우리는 종종 비합리적인 대답을 듣게 됩니다. (이것이 무엇인지 기억하시나요? 오늘 이미 이에 대해 이야기했습니다!)

예를 들어 방정식을 푸는 데 적합한 간격을 결정하려면 수신된 답변을 좌표선에 배치해야 합니다. 그리고 여기서 문제가 발생합니다. 시험에는 계산기가 없으며 계산기 없이는 어떤 숫자가 더 크고 어떤 숫자가 더 작은지 어떻게 상상할 수 있습니까? 그게 다야!

예를 들어, 어느 것이 더 큰지 결정하십시오: 또는?

당장 알 수는 없습니다. 자, 루트 기호 아래에 숫자를 입력하는 디스어셈블된 속성을 사용해 볼까요?

그런 다음 계속하십시오.

음, 분명히 루트 기호 아래의 숫자가 클수록 루트 자체도 커집니다!

저것들. 그렇다면, .

이것으로부터 우리는 다음과 같이 확고히 결론을 내렸습니다. 그렇지 않으면 아무도 우리를 설득하지 못할 것입니다!

큰 숫자에서 뿌리 추출

그 전에는 루트 기호 아래에 승수를 입력했는데 이를 제거하는 방법은 무엇입니까? 요인별로 고려하여 추출한 내용만 추출하면 됩니다!

다른 경로를 택하고 다른 요소로 확장하는 것이 가능했습니다.

나쁘지 않죠? 이러한 접근 방식은 모두 정확합니다. 원하는 대로 결정하세요.

인수분해는 다음과 같은 비표준 문제를 해결할 때 매우 유용합니다.

두려워하지 말고 행동합시다! 루트 아래의 각 요소를 별도의 요소로 분해해 보겠습니다.

이제 직접 시도해 보세요(계산기 없이! 시험에 나오지 않습니다):

여기가 끝인가요? 중간에 멈추지 말자!

그게 다야 그다지 무섭지 않죠?

일어난? 잘했어요, 그렇죠!

이제 다음 예를 시도해 보세요.

하지만 이 예는 깨기 어려운 문제이므로 어떻게 접근해야 할지 즉시 알 수 없습니다. 하지만 물론 우리는 그것을 처리할 수 있습니다.

자, 인수분해를 시작해볼까요? 숫자를 다음과 같이 나눌 수 있다는 점을 즉시 알아두겠습니다(나누기의 기호를 기억하세요).

이제 직접 시도해 보세요(계산기 없이 다시 한번!).

글쎄요, 효과가 있었나요? 잘했어요, 그렇죠!

요약하자면

음수가 아닌 숫자의 제곱근(산술 제곱근)은 제곱이 동일한 음수가 아닌 숫자입니다.
.
단순히 어떤 것의 제곱근을 취하면 항상 음수가 아닌 하나의 결과를 얻습니다.
산술근의 속성:
제곱근을 비교할 때, 근 기호 아래의 숫자가 클수록 근 자체도 커진다는 것을 기억할 필요가 있습니다.

제곱근은 어때요? 공습 경보 신호?

우리는 시험에서 제곱근에 대해 알아야 할 모든 것을 소란없이 설명하려고 노력했습니다.

네 차례 야. 이 주제가 당신에게 어려운지 여부를 알려주십시오.

새로운 것을 배웠나요, 아니면 모든 것이 이미 명확해졌나요?

댓글을 작성하고 시험에 행운을 빕니다!

제목: 독립과 시험지 8학년 대수학과 기하학.

매뉴얼에는 8학년 대수학 및 기하학 과정의 가장 중요한 모든 주제에 대한 독립적인 테스트 작업이 포함되어 있습니다.

작품은 세 가지 난이도의 6가지 옵션으로 구성됩니다. 교훈적인 자료는 학생들의 차별화된 독립적 작업을 구성하기 위한 것입니다.

콘텐츠
대수학 4
C-1 유리식. 분수 4 줄이기
C-2 분수 덧셈과 뺄셈 5
K-1 유리 분수. 분수 덧셈과 뺄셈 7
C-3 분수의 곱셈과 나눗셈. 분수를 10제곱으로 올리기
C-4 유리식의 변환 12
C-5 역비례와 그 그래프 14
K-2 유리분수 16
C-6 산술 제곱근 18
C-7 방정식 x2 = a. 함수 y = y[x 20
C-8 곱의 제곱근, 분수, 22의 거듭제곱
K-3 산술제곱근과 그 성질 24
C-9 제곱근의 승수 더하기와 빼기 27
C-10 제곱근을 포함하는 식의 변환 28
K-4 산술제곱근 30의 성질의 응용
S-11 불완전한 이차방정식 32
S-12 이차방정식 33의 근에 대한 공식
C-13 이차 방정식을 사용하여 문제를 해결합니다. 비에타의 정리 34
K-5 이차 방정식 36
S-14 분수 유리 방정식 38
P-15 분수 유리 방정식의 적용. 문제 해결 39
K-6 분수 유리 방정식 40
C-16 수치부등식의 성질 43
K-7 수치 부등식과 그 속성 44
S-17 변수가 하나인 선형 부등식 47
S-18 선형 부등식 시스템 48
K-8 일차부등식과 변수가 하나인 부등식 50
C-19도 C 부정적인 지표 52
통합 점수 54점의 K-9 학위
K-10 연례 시험 56
기하학 (Pogorelov에 따르면) 58
C-1 평행사변형의 성질과 특징." 58
C-2 직사각형. 마름모. 스퀘어 60
K-1 평행사변형 62
C-3 탈레스의 정리. 삼각형의 중간선 63
S-4 사다리꼴. 사다리꼴의 정중선 66
K-2 사다리꼴. 삼각형과 사다리꼴의 정중선....68
C-5 피타고라스의 정리 70
C-6 피타고라스 정리의 역정리. 수직 및 경사 71
C-7 삼각형 부등식 73
K-3 피타고라스 정리 74
C-8 직각삼각형 풀기 76
C-9 삼각함수 속성 78
K-4 직각삼각형(일반시험) 80
C-10 세그먼트 중앙의 좌표. 점 사이의 거리. 원 방정식 82
S-11 직선의 방정식 84
K-5 데카르트 좌표 86
S-12 무브먼트 및 그 특성. 중앙 및 축 대칭. 88턴
S-13. 병렬 전송 90
S-14 벡터의 개념입니다. 벡터의 평등 92
C-15 좌표 형식의 벡터를 사용한 동작. 동일선상 벡터 94
S-16 기하학적 형태의 벡터를 사용한 동작 95
C-17 내적 98
K-6 벡터 99
K-7 연례 시험 102
기하학 (Atanasyan에 따르면) 104
C-1 평행사변형의 성질과 특징 104
C-2 직사각형. 마름모. 스퀘어 106
K-1 사각형 108
C-3 직사각형의 면적, 정사각형 109
C-4 평행사변형, 마름모, 삼각형의 넓이 111
S-5 사다리꼴 영역 113
C-6 피타고라스의 정리 114
K-2 스퀘어. 피타고라스의 정리 116
C-7 유사한 삼각형 결정. 삼각형의 이등분선의 성질 118
S-8 삼각형의 유사성 징후 120
K-3 삼각형의 유사성 122
C-9 문제 해결에 유사성을 적용 124
C-10 변과 각의 관계 정삼각형 126
K-4 문제 해결에 유사성을 적용합니다. 직각삼각형의 변과 각의 관계 128
C-11 원 130에 접함
C-12 중앙 및 내접각 132
C-13 교차하는 화음 부분의 곱에 관한 정리. 삼각형의 주목할만한 점 134
C-14 내접원과 외접원 136
K-5 서클 137
S-15 벡터의 덧셈과 뺄셈 139
C-16 벡터에 숫자 곱하기 141
S-17 사다리꼴의 중심선 142
K-6 벡터. 문제 해결을 위한 벡터의 적용 144
K-7 연례 시험 146
답변 148
문학 157

머리말 .
1. 비교적 작은 책 한 권에 완전한 세트가 들어 있습니다. 검증작업(기말고사 포함) 8학년 대수학, 기하학 전과목을 수강할 수 있어 수업당 한 세트의 책을 구매하기에 충분합니다.
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2. 작업이 세 가지 복잡성 수준 A, B, C로 분산되므로 컬렉션을 통해 지식을 차별화하여 제어할 수 있습니다. 수준 A는 필수 프로그램 요구 사항에 해당하며 B는 평균 수준의 복잡성, 수준 C의 작업을 의미합니다. 수학에 대한 관심이 증가한 학생들을 위해, 또한 교실, 학교, 체육관 및 lyceums에서 사용하기 위해 심층 연구수학. 각 레벨에는 서로 옆에 2개의 동등한 옵션이 있으므로(일반적으로 칠판에 기록되어 있음) 책상 위에 책 한 권이면 수업에 충분합니다.

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이번 글에서는 주요 내용을 살펴보겠습니다. 뿌리의 성질. 산술 제곱근의 속성부터 시작하여 공식을 제시하고 증명을 제시해 보겠습니다. 그 다음에는 n차 근의 성질을 다루겠습니다.

페이지 탐색.

제곱근의 성질

이 단락에서는 다음과 같은 기본 사항을 다루겠습니다. 산술 제곱근의 성질:

작성된 각 등식에서 왼쪽과 오른쪽은 서로 바뀔 수 있습니다. 예를 들어 등식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다. . 이 "역" 형식에서는 산술 제곱근의 속성이 적용됩니다. 표현식 단순화"직접" 형태만큼이나 자주.

처음 두 속성의 증명은 산술 제곱근의 정의와 에 기초합니다. 그리고 산술 제곱근의 마지막 속성을 정당화하려면 기억해야 할 것입니다.

그럼 시작해보자 음수가 아닌 두 숫자의 곱의 산술 제곱근 속성 증명: . 이를 위해서는 산술 제곱근의 정의에 따라 제곱이 a·b와 동일한 음수가 아닌 숫자임을 보여주는 것으로 충분합니다. 해보자. 표현식의 값은 음수가 아닌 숫자의 곱이므로 음수가 아닙니다. 두 숫자의 곱의 거듭제곱의 속성을 통해 우리는 평등을 쓸 수 있습니다. , 그리고 산술 제곱근의 정의에 따라 그리고 이후 , 그리고 .

k개의 음이 아닌 요소 a 1 , a 2 , ..., a k 의 곱의 산술 제곱근이 이러한 요소의 산술 제곱근의 곱과 동일하다는 것도 유사하게 입증되었습니다. 정말, . 이 평등으로부터 다음과 같은 결과가 나옵니다.

예를 들어 보겠습니다.

이제 증명해보자 몫의 산술 제곱근의 속성: . 자연적인 정도에 대한 몫의 속성을 통해 우리는 다음과 같은 평등을 쓸 수 있습니다. , ㅏ , 음수가 아닌 숫자가 있습니다. 이것이 증거입니다.

예를 들어, .

이제 정리할 시간이다 숫자의 제곱의 산술 제곱근의 속성, 평등의 형태로 다음과 같이 작성됩니다. 이를 증명하려면 a≥0과 a의 두 가지 경우를 고려하십시오.<0 .

분명히, a≥0의 경우 평등은 사실입니다. 또한 그것을 쉽게 볼 수 있습니다.<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 및 (-a) 2 =a 2 . 따라서, , 이는 입증이 필요한 것이었습니다.

여기 몇 가지 예가 있어요. 그리고 .

방금 입증된 제곱근의 속성을 통해 다음 결과를 정당화할 수 있습니다. 여기서 a는 임의의 실수이고 m은 임의의 입니다. 실제로, 거듭제곱을 1제곱으로 높이는 속성을 사용하면 a 2m의 거듭제곱을 (am) 2라는 표현으로 대체할 수 있습니다. .

예: 그리고 .

n번째 루트의 속성

먼저 주요 내용을 나열하자면 n번째 근의 속성:

모든 서면 평등은 왼쪽과 오른쪽이 바뀌어도 유효합니다. 주로 표현을 단순화하고 변형할 때 이 형식으로도 자주 사용됩니다.

발표된 근의 모든 속성에 대한 증명은 n차 산술근의 정의, 차수의 속성 및 숫자의 모듈러스 정의에 기반합니다. 우선순위에 따라 증명하겠습니다.

증명부터 시작해보자 제품의 n번째 루트의 속성 . 음수가 아닌 a와 b의 경우 표현식의 값도 음수가 아닌 숫자의 곱과 같이 음수가 아닙니다. 자연력에 대한 제품의 속성을 통해 우리는 평등을 쓸 수 있습니다. . n차 산술근의 정의에 따르면, . 이는 고려중인 뿌리의 속성을 증명합니다.

이 속성은 k 인수의 곱에 대해 유사하게 입증되었습니다. 음수가 아닌 숫자의 경우 a 1, a 2, …, an n, 그리고 .

다음은 제품의 n번째 루트 속성을 사용하는 예입니다. 그리고 .

증명해보자 몫의 근의 속성. a≥0이고 b>0이면 조건이 충족되고, .

예를 보여드리겠습니다: 그리고 .

계속 진행합시다. 증명해보자 숫자의 n제곱근의 속성. 즉, 우리는 그것을 증명할 것입니다 실제 a와 자연 m에 대해. a≥0에 대해 우리는 평등을 증명하는 및 를 가지며, 평등을 증명합니다. 확실히. 언제<0 имеем и (마지막 전이는 지수가 짝수인 차수의 속성으로 인해 유효합니다.) 이는 동등성을 증명합니다. 홀수차수에 대해 이야기할 때 우리가 받아들인 사실 때문에 이는 사실입니다. 음수가 아닌 숫자의 경우 c.

다음은 구문 분석된 루트 속성을 사용하는 예입니다. .

우리는 뿌리의 속성에 대한 증명을 진행합니다. 오른쪽과 왼쪽을 바꾸자, 즉 평등의 타당성을 증명하게 되며 이는 원래의 평등의 타당성을 의미하게 됩니다. 음수가 아닌 숫자 a의 경우 형식의 루트는 음수가 아닌 숫자입니다. 도를 거듭제곱하는 속성을 상기하고 근의 정의를 사용하여 다음 형식의 등식 체인을 작성할 수 있습니다. . 이는 고려중인 뿌리의 속성을 증명합니다.

뿌리의 뿌리의 성질 등도 비슷한 방식으로 증명된다. 정말, .

예를 들어, 그리고 .

다음을 증명해보자 근 지수 수축 속성. 이를 위해서는 근의 정의 덕분에 n·m의 거듭제곱이 m과 같은 음수가 아닌 숫자가 있다는 것을 보여주는 것으로 충분합니다. 해보자. 숫자 a가 음수가 아닌 경우 숫자 a의 n번째 루트는 음수가 아닌 숫자임이 분명합니다. 여기서 , 증명이 완료됩니다.

다음은 구문 분석된 루트 속성을 사용하는 예입니다.

다음 속성을 증명해 보겠습니다. 형식의 근의 속성입니다. . 분명히, a≥0일 때 정도는 음수가 아닌 숫자입니다. 더욱이, 그것의 n제곱은 m과 같습니다. 실제로, . 이는 고려중인 학위의 속성을 증명합니다.

예를 들어, .

계속 진행합시다. 조건 a가 만족되는 임의의 양수 a와 b에 대해 다음을 증명해 보겠습니다. 즉, a≥b이다. 그리고 이는 조건 a와 모순됩니다.

예를 들어, 올바른 부등식을 제시해 보겠습니다. .

마지막으로 n번째 루트의 마지막 속성을 증명하는 일이 남았습니다. 먼저 이 속성의 첫 번째 부분을 증명해 보겠습니다. 즉, m>n이고 0에 대해 증명하겠습니다. . 그러면 자연지수를 갖는 도의 속성으로 인해 부등식은 즉, a n ≤a m 입니다. 그리고 m>n 및 0에 대한 결과 부등식은 다음과 같습니다.
마찬가지로, 모순에 의해 m>n이고 a>1인 경우 조건이 충족된다는 것이 증명됩니다.

특정 숫자로 입증된 루트 속성을 적용한 예를 들어 보겠습니다. 예를 들어, 불평등과 true입니다.

서지.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. 대수학: 8학년 교과서. 교육 기관.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. 및 기타 대수학 및 분석의 시작: 일반 교육 기관의 10~11학년을 위한 교과서.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. 수학(전문학교 입학을 위한 매뉴얼).