חישוב נפח גוף המהפכה באינטרנט. III חישוב נפחים של גופי מהפכה. העריסה הטובה ביותר במתמטיקה. אֵיכוּתִי. שום דבר נוסף

חוץ מ מציאת השטח של דמות שטוחה באמצעות אינטגרל מוגדר היישום החשוב ביותר של הנושא הוא חישוב נפח גוף מהפכה. החומר פשוט, אבל הקורא חייב להיות מוכן: יש צורך להיות מסוגל לפתור אינטגרלים בלתי מוגדרים מורכבות בינונית וליישם את הנוסחה של ניוטון-לייבניץ ב אינטגרל מובהק . כמו בבעיה של מציאת השטח, אתה צריך כישורי ציור בטוחים - זה כמעט הדבר החשוב ביותר (מכיוון שהאינטגרלים עצמם לרוב יהיו קלים). אתה יכול לשלוט בטכניקה המוכשרת והמהירה של התווים גרפים בעזרת חומר מתודולוגי . אבל, למעשה, דיברתי שוב ושוב על החשיבות של ציורים בשיעור. .

באופן כללי, יש הרבה יישומים מעניינים בחשבון אינטגרלי; באמצעות אינטגרל מוגדר, אתה יכול לחשב את שטח הדמות, נפח גוף המהפכה, אורך קשת, שטח פנים של הגוף, ועוד הרבה יותר. אז זה יהיה כיף, בבקשה תהיו אופטימיים!

דמיינו איזו דמות שטוחה במישור הקואורדינטות. מיוצג? ... מעניין מי הציג מה ... =))) כבר מצאנו את השטח שלו. אבל, בנוסף, ניתן לסובב את הדמות הזו ולסובב אותה בשתי דרכים:

– סביב ציר ה-x; - סביב ציר ה-y.

במאמר זה יידונו שני המקרים. שיטת הסיבוב השנייה מעניינת במיוחד, היא גורמת לקשיים הגדולים ביותר, אך למעשה הפתרון כמעט זהה לסיבוב הנפוץ יותר סביב ציר ה-X. כבונוס, אחזור אליו הבעיה של מציאת השטח של דמות , ויגיד לך איך למצוא את השטח בדרך השנייה - לאורך הציר. אפילו לא כל כך בונוס מכיוון שהחומר מתאים היטב לנושא.

נתחיל עם סוג הסיבוב הפופולרי ביותר.

חישוב נפח גוף שנוצר מסיבוב של דמות שטוחה סביב ציר

דוגמה 1

חשב את נפח הגוף המתקבל על ידי סיבוב הדמות התחום בקווים סביב הציר.

פִּתָרוֹן:כמו בבעיה של מציאת האזור, הפתרון מתחיל בציור של דמות שטוחה. כלומר, על המישור יש צורך לבנות דמות תחומה בקווים , , תוך לא לשכוח שהמשוואה מגדירה את הציר . איך לעשות ציור בצורה יותר רציונלית ומהירה יותר ניתן למצוא בדפים גרפים ומאפיינים של פונקציות יסודיות ו אינטגרל מובהק. כיצד לחשב שטח של דמות . זו תזכורת סינית ואני לא מפסיק בשלב זה.

הציור כאן די פשוט:

הדמות השטוחה הרצויה מוצללת בכחול, היא זו שמסתובבת סביב הציר. כתוצאה מהסיבוב, מתקבלת צלחת מעופפת בצורת ביצה מעט זו, שהיא סימטרית על הציר. למעשה, לגוף יש שם מתמטי, אבל זה עצלן מדי להסתכל על משהו בספר העיון, אז אנחנו ממשיכים הלאה.

כיצד לחשב את נפח גוף המהפכה?

ניתן לחשב את נפח גוף המהפכה על ידי הנוסחה:

בנוסחה חייב להיות מספר לפני האינטגרל. זה פשוט קרה - כל מה שמסתובב בחיים קשור לקבוע הזה.

איך להגדיר את גבולות האינטגרציה "א" ו"להיות", אני חושב, קל לנחש מהציור שהושלם.

פונקציה... מה זאת הפונקציה הזו? בואו נסתכל על הציור. הדמות השטוחה תחומה על ידי גרף הפרבולות מלמעלה. זו הפונקציה שמשתמעת בנוסחה.

במשימות מעשיות, דמות שטוחה יכולה לפעמים להיות ממוקמת מתחת לציר. זה לא משנה כלום - הפונקציה בנוסחה בריבוע: , כך הנפח של גוף מהפכה הוא תמיד לא שלילי, וזה די הגיוני.

חשב את נפח גוף המהפכה באמצעות נוסחה זו:

כפי שכבר ציינתי, האינטגרל כמעט תמיד מתברר כפשוט, העיקר להיזהר.

תשובה:

בתשובה יש צורך לציין את הממד - יחידות מעוקבות. כלומר, בגוף הסיבוב שלנו יש כ-3.35 "קוביות". למה בדיוק מעוקב יחידות? כי הניסוח האוניברסלי ביותר. יכול להיות שיש סנטימטר מעוקב, יכול להיות קוב, יכול להיות קילומטרים מעוקבים וכו', זה כמה גברים ירוקים קטנים הדמיון שלך יכול להכניס לתוך צלחת מעופפת.

דוגמה 2

מצא את נפח הגוף נוצר על ידי סיבובמסביב לציר הדמות התחום בקווים , ,

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור.

הבה נבחן עוד שתי בעיות מורכבות, שגם נתקלות בהן לעתים קרובות בפועל.

דוגמה 3

חשב את נפח הגוף המתקבל על ידי סיבוב סביב ציר האבססיס של הדמות התחום בקווים , , ו

פִּתָרוֹן:בואו נתאר בשרטוט דמות שטוחה תחומה בקווים , , , , מבלי לשכוח שהמשוואה מגדירה את הציר:

הדמות הרצויה מוצללת בכחול. כשהיא מסתובבת סביב הציר, מתקבלת סופגניה סוריאליסטית כזו עם ארבע פינות.

נפח גוף המהפכה מחושב כ הבדל בנפח הגוף.

ראשית, בואו נסתכל על הדמות המוקפת באדום. כאשר הוא מסתובב סביב הציר, מתקבל חרוט קטום. הבה נסמן את נפח החרוט הקטום הזה בתור .

קחו בחשבון את הדמות שמוקפת בירוק. אם תסובב את הדמות הזו סביב הציר, תקבל גם חרוט קטום, רק קצת יותר קטן. נסמן את נפחו ב-.

וכמובן, ההבדל בנפחים הוא בדיוק הנפח של ה"סופגנייה" שלנו.

אנו משתמשים בנוסחה הסטנדרטית למציאת נפח גוף המהפכה:

1) הדמות המוקפת באדום תחומה מלמעלה בקו ישר, לכן:

2) הדמות המוקפת בירוק תחומה מלמעלה בקו ישר, לכן:

3) נפח גוף המהפכה הרצוי:

תשובה:

זה מוזר שבמקרה זה ניתן לבדוק את הפתרון באמצעות נוסחת בית הספר לחישוב נפח של חרוט קטום.

ההחלטה עצמה נעשית לעתים קרובות יותר, משהו כמו זה:

עכשיו בואו ניקח הפסקה ונדבר על אשליות גיאומטריות.

לעתים קרובות יש לאנשים אשליות הקשורות לכרכים, שפרלמן (לא אותו הדבר) שם לב בספר גיאומטריה מעניינת. תסתכל על הדמות השטוחה בבעיה שנפתרה - נראה שהוא קטן בשטחו, ונפח גוף המהפכה הוא קצת יותר מ-50 יחידות מעוקבות, מה שנראה גדול מדי. אגב, אדם ממוצע בכל חייו שותה נוזל בנפח של חדר של 18 מ"ר, שלהפך, נראה שהוא נפח קטן מדי.

באופן כללי, מערכת החינוך בברית המועצות באמת הייתה הטובה ביותר. אותו ספר של פרלמן, שנכתב על ידו עוד ב-1950, מתפתח היטב, כפי שאמר ההומוריסט, מנמק ומלמד אותך לחפש פתרונות מקוריים לא סטנדרטיים לבעיות. לאחרונה קראתי שוב כמה פרקים בעניין רב, אני ממליץ על זה, זה נגיש אפילו לאנשי הומניטרי. לא, אתה לא צריך לחייך שהצעתי בילוי ספונטובי, למדנות והשקפה רחבה בתקשורת זה דבר נהדר.

לאחר סטייה לירית, זה בדיוק מתאים לפתור משימה יצירתית:

דוגמה 4

חשב את נפח הגוף שנוצר על ידי סיבוב סביב ציר של דמות שטוחה התחום בקווים , , שבו .

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. שימו לב שכל הדברים קורים בלהקה, במילים אחרות, ניתנות מגבלות אינטגרציה כמעט מוכנות. נסה גם לצייר נכון את הגרפים של פונקציות טריגונומטריות, אם הארגומנט מחולק לשניים: אז הגרפים נמתחים לאורך הציר פעמיים. נסו למצוא לפחות 3-4 נקודות לפי טבלאות טריגונומטריות ולהפוך את הציור למדויק יותר. פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור. אגב, את המשימה אפשר לפתור בצורה רציונלית ולא מאוד רציונלית.

ניתן לחשב את נפח גוף המהפכה על ידי הנוסחה:

בנוסחה חייב להיות מספר לפני האינטגרל. זה פשוט קרה - כל מה שמסתובב בחיים קשור לקבוע הזה.

איך להגדיר את גבולות האינטגרציה "א" ו"להיות", אני חושב, קל לנחש מהציור שהושלם.

פונקציה... מה זאת הפונקציה הזו? בואו נסתכל על הציור. הדמות השטוחה תחומה על ידי הגרף הפרבולי בחלק העליון. זו הפונקציה שמשתמעת בנוסחה.

במשימות מעשיות, דמות שטוחה יכולה לפעמים להיות ממוקמת מתחת לציר. זה לא משנה כלום - האינטגרנד בנוסחה בריבוע:, כך אינטגרל הוא תמיד לא שלילי , וזה די הגיוני.

חשב את נפח גוף המהפכה באמצעות נוסחה זו:

כפי שכבר ציינתי, האינטגרל כמעט תמיד מתברר כפשוט, העיקר להיזהר.

תשובה:

דוגמה 2

מצא את נפח הגוף שנוצר מסיבוב סביב ציר הדמות התחום בקווים,,

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור.

הבה נבחן עוד שתי בעיות מורכבות, שגם נתקלות בהן לעתים קרובות בפועל.

דוגמה 3

חשב את נפח הגוף המתקבל על ידי סיבוב סביב ציר האבשיסה של הדמות התחום בקווים ,, ו

פִּתָרוֹן: בואו נצייר דמות שטוחה בציור, תחומה בקווים ,,,, מבלי לשכוח שהמשוואה קובעת את הציר:

הדמות הרצויה מוצללת בכחול. כשהיא מסתובבת סביב הציר, מתקבלת סופגניה סוריאליסטית כזו עם ארבע פינות.

נפח גוף המהפכה מחושב כ הבדל בנפח הגוף.

ראשית, בואו נסתכל על הדמות המוקפת באדום. כאשר הוא מסתובב סביב הציר, מתקבל חרוט קטום. סמן את נפח החרוט הקטום הזה ב.

וכמובן, ההבדל בנפחים הוא בדיוק הנפח של ה"סופגנייה" שלנו.

אנו משתמשים בנוסחה הסטנדרטית למציאת נפח גוף המהפכה:

1) הדמות המוקפת באדום תחומה מלמעלה בקו ישר, לכן:

2) הדמות המוקפת בירוק תחומה מלמעלה בקו ישר, לכן:

3) נפח גוף המהפכה הרצוי:

תשובה:

זה מוזר שבמקרה זה ניתן לבדוק את הפתרון באמצעות נוסחת בית הספר לחישוב נפח של חרוט קטום.

ההחלטה עצמה נעשית לעתים קרובות יותר, משהו כמו זה:

עכשיו בואו ניקח הפסקה ונדבר על אשליות גיאומטריות.

לעתים קרובות יש לאנשים אשליות הקשורות לכרכים, שפרלמן (אחר) הבחין בהם בספר גיאומטריה מעניינת. תסתכל על הדמות השטוחה בבעיה שנפתרה - נראה שהוא קטן בשטחו, ונפח גוף המהפכה הוא קצת יותר מ-50 יחידות מעוקבות, מה שנראה גדול מדי. אגב, אדם ממוצע בכל חייו שותה נוזל בנפח של חדר של 18 מ"ר, שלהפך, נראה שהוא נפח קטן מדי.

באופן כללי, מערכת החינוך בברית המועצות באמת הייתה הטובה ביותר. אותו ספר של פרלמן, שיצא לאור ב-1950, מתפתח היטב, כפי שאמר ההומוריסט, מנמק ומלמד אותך לחפש פתרונות מקוריים לא סטנדרטיים לבעיות. לאחרונה קראתי שוב כמה פרקים בעניין רב, אני ממליץ על זה, זה נגיש אפילו לאנשי הומניטרי. לא, אתה לא צריך לחייך שהצעתי בילוי ספונטובי, למדנות והשקפה רחבה בתקשורת זה דבר נהדר.

לאחר סטייה לירית, זה בדיוק מתאים לפתור משימה יצירתית:

דוגמה 4

חשב את נפח הגוף שנוצר על ידי סיבוב סביב ציר של דמות שטוחה התחום בקווים,, איפה.

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. שימו לב שכל הדברים קורים בלהקה, במילים אחרות, למעשה ניתנות מגבלות אינטגרציה מוכנות. צייר נכון גרפים של פונקציות טריגונומטריות, אני אזכיר לך את החומר של השיעור על טרנספורמציות גיאומטריות של גרפים : אם הארגומנט מתחלק בשניים: , אז הגרפים נמתחים לאורך הציר פעמיים. רצוי למצוא לפחות 3-4 נקודות לפי טבלאות טריגונומטריות להשלמת הציור בצורה מדויקת יותר. פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור. אגב, את המשימה אפשר לפתור בצורה רציונלית ולא מאוד רציונלית.

תן לקו להיות מוגבל. דמות המישור ניתנת במערכת הקואורדינטות הקוטבית.

דוגמא: חשב היקף: x 2 +y 2 =R 2

חשב את אורך החלק הרביעי של המעגל הממוקם ברביע I (х≥0, y≥0):

אם משוואת העקומה ניתנת בצורת ה-param-th:
, הפונקציות x(t), y(t) מוגדרות ורציפות יחד עם הנגזרות שלהן על הקטע [α,β]. נגזרת, ואז ביצוע החלפה בנוסחה:
ובהתחשב בכך

אנחנו מקבלים
להוסיף מכפיל
מתחת לסימן השורש וסוף סוף נקבל

הערה: ניתנת עקומה מישורית, ניתן לשקול גם פונקציה הניתנת על ידי פרמטרים במרחב, ואז תתווסף הפונקציה z=z(t) והנוסחה

דוגמה: חשב את אורך האסטרואיד שניתן במשוואה: x=a*cos 3 (t), y=a*sin 3 (t), a>0

חשב את אורך החלק הרביעי:

לפי הנוסחה

אורך הקשת של עקומת מישור, נתון במערכת הקואורדינטות הקוטבית:

תן את משוואת העקומה במערכת הקואורדינטות הקוטבית:
היא פונקציה רציפה, יחד עם הנגזרת שלה על המקטע [α,β].

נוסחאות למעבר מקואורדינטות קוטביות:

להיחשב כפרמטרי:

ϕ - פרמטר, לפי ה-f-le

לדוגמה: חשב את אורך העקומה:
>0

Z-tion: חשב חצי מההיקף:

נפח הגוף, מחושב משטח החתך של הגוף.

תן גוף התחום על ידי משטח סגור, ותנו לשטח של כל קטע של הגוף הזה להיות ידוע על ידי מישור מאונך לציר השור. אזור זה יהיה תלוי במיקום מישור החיתוך.

תן לכל הגוף להיות מוקף בין 2 מישורים מאונכים לציר ה-x, חותכים אותו בנקודות x=a, x=b (a

כדי לקבוע את נפחו של גוף כזה, אנו מחלקים אותו לשכבות באמצעות מישורי גזרה המאונכים לציר השור וחוצים אותו בנקודות. בכל מרווח חלקי
. בואו לבחור

ולכל ערך i=1,…., אנו בונים גוף גלילי, שהגנרטיקס שלו מקביל ל-Ox, והמנחה הוא קו המתאר של חתך הגוף במישור x=С i, נפחו של גליל אלמנטרי כזה עם שטח בסיס S=C i וגובה ∆х i . V i =S(C i)∆x i . הנפח של כל הצילינדרים היסודיים האלה יהיה
. הגבול של סכום זה, אם הוא קיים והוא סופי במקסימום ∆х  0, נקרא נפח הגוף הנתון.

. מכיוון ש-V n הוא הסכום האינטגרלי של פונקציה S(x) רציפה על קטע, אז הגבול שצוין קיים (t-ma של קיום) והוא מבוטא על ידי def. בלתי נפרד.

- נפח הגוף, מחושב משטח החתך.

נפח גוף המהפכה:

תנו לגוף להיווצר על ידי סיבוב סביב ציר השור של טרפז עקום התחום על ידי גרף הפונקציה y=f(x), ציר השור והקווים הישרים x=a, x=b.

תן לפונקציה y=f(x) להיות מוגדרת ורציפה על הקטע ולא שלילית עליו, אז החתך של הגוף הזה במישור מאונך ל-Ox הוא מעגל עם רדיוס R=y(x)=f(x) ). שטח המעגל S (x) \u003d Py 2 (x) \u003d P 2. החלפת הנוסחה
אנו מקבלים נוסחה לחישוב נפח גוף הסיבוב סביב ציר השור:

עם זאת, אם טרפז עקום מסתובב סביב ציר Oy, תחום על ידי גרף רציף על הפונקציה, אז הנפח של גוף מהפכה כזה:

ניתן לחשב את אותו נפח באמצעות הנוסחה:
. אם הישר ניתן במשוואות פרמטריות:

על ידי שינוי המשתנה נקבל:

אם הישר ניתן במשוואות פרמטריות:

y (α)= c , y (β)= d . ביצוע השינוי y = y (t) נקבל:

חשב גופי מהפכה סביב ציר ה-y של הפרבולה, .

2) חשב את V של גוף הסיבוב סביב ציר OX של טרפז עקום התחום על ידי קו ישר y \u003d 0, קשת (עם מרכז בנקודה(1;0), ורדיוס=1), עם .

שטח פנים של גוף מהפכה

תנו למשטח הנתון להיווצר על ידי סיבוב העקומה y=f(x) סביב ציר ה-x. יש צורך לקבוע את S של משטח זה ב.

תן לפונקציה y \u003d f (x) להיות מוגדרת ורציפה, בעלת לא שלילי ולא שלילי בכל נקודות הקטע [a; c]

הבה נצייר אקורדים שאת אורכם אנו מציינים בהתאמה (n-אקורדים)

לפי משפט לגראנז':

שטח הפנים של כל הקו השבור המוקף יהיה שווה ל

הגדרה: הגבול של סכום זה, אם הוא סופי, כאשר הקישור הגדול ביותר של הפוליליין max , נקרא שטח משטח המהפכה הנחשב.

ניתן להוכיח שגבול מאה מהסכום שווה לגבול הסכום המשולב עבור p-th

נוסחה למשטח S של גוף מהפכה =

S של המשטח שנוצר על ידי סיבוב קשת העקומה x=g(x) סביב ציר Oy ב

מתמשך עם הנגזרת שלו

אם העקומה ניתנת באופן פרמטרי על ידי ur-miאיקס=x(t) ,y= ט(ט) פונקציותאיקס’(ט), y’(ט), איקס(ט), y(ט) מוגדרים על המרווח [א; ב], איקס(א)= א, איקס(ב)= בואז לבצע את שינוי ההחלפהאיקס= איקס(ט)

אם העקומה ניתנת פרמטרית, תוך שינוי בנוסחה, נקבל:

אם משוואת העקומה ניתנת במערכת הקואורדינטות הקוטבית

סמשטח הסיבוב סביב הציר יהיה שווה ל

ניתן לחשב את נפח גוף המהפכה על ידי הנוסחה:

בנוסחה חייב להיות מספר לפני האינטגרל. זה פשוט קרה - כל מה שמסתובב בחיים קשור לקבוע הזה.

איך להגדיר את גבולות האינטגרציה "א" ו"להיות", אני חושב, קל לנחש מהציור שהושלם.

חשב את נפח גוף המהפכה באמצעות נוסחה זו:

כפי שכבר ציינתי, האינטגרל כמעט תמיד מתברר כפשוט, העיקר להיזהר.

תשובה:

דוגמה 2

מצא את נפח הגוף שנוצר על ידי סיבוב סביב ציר הדמות התחום בקווים , ,

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור.

הבה נבחן עוד שתי בעיות מורכבות, שגם נתקלות בהן לעתים קרובות בפועל.

דוגמה 3

חשב את נפח הגוף המתקבל על ידי סיבוב סביב ציר האבססיס של הדמות התחום בקווים , , ו

פִּתָרוֹן:בואו נתאר בשרטוט דמות שטוחה תחומה בקווים , , , , מבלי לשכוח שהמשוואה מגדירה את הציר:

הדמות הרצויה מוצללת בכחול. כשהיא מסתובבת סביב הציר, מתקבלת סופגניה סוריאליסטית כזו עם ארבע פינות.

נפח גוף המהפכה מחושב כ הבדל בנפח הגוף.

וכמובן, ההבדל בנפחים הוא בדיוק הנפח של ה"סופגנייה" שלנו.

אנו משתמשים בנוסחה הסטנדרטית למציאת נפח גוף המהפכה:

1) הדמות המוקפת באדום תחומה מלמעלה בקו ישר, לכן:

2) הדמות המוקפת בירוק תחומה מלמעלה בקו ישר, לכן:

3) נפח גוף המהפכה הרצוי:

תשובה:

זה מוזר שבמקרה זה ניתן לבדוק את הפתרון באמצעות נוסחת בית הספר לחישוב נפח של חרוט קטום.

ההחלטה עצמה נעשית לעתים קרובות יותר, משהו כמו זה:

עכשיו בואו ניקח הפסקה ונדבר על אשליות גיאומטריות.

לאחר סטייה לירית, זה בדיוק מתאים לפתור משימה יצירתית:

דוגמה 4

חשב את נפח הגוף שנוצר על ידי סיבוב סביב ציר של דמות שטוחה התחום בקווים , , שבו .

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. שימו לב שכל הדברים קורים בלהקה, במילים אחרות, ניתנות מגבלות אינטגרציה כמעט מוכנות. נסה גם לצייר נכון את הגרפים של פונקציות טריגונומטריות, אם הארגומנט מחולק לשניים: , אז הגרפים נמתחים לאורך הציר פעמיים. נסו למצוא לפחות 3-4 נקודות לפי טבלאות טריגונומטריותולהפוך את הציור למדויק יותר. פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור. אגב, את המשימה אפשר לפתור בצורה רציונלית ולא מאוד רציונלית.

חישוב נפח הגוף שנוצר בסיבוב
דמות שטוחה סביב ציר

הפסקה השנייה תהיה אפילו יותר מעניינת מהראשונה. גם המשימה של חישוב נפח של גוף מהפכה סביב ציר ה-y היא מבקר תדיר למדי בבדיקות. בדרך אגב יישקל בעיה של מציאת השטח של דמותהדרך השנייה - אינטגרציה לאורך הציר, זה יאפשר לך לא רק לשפר את הכישורים שלך, אלא גם ללמד אותך איך למצוא את הפתרון הרווחי ביותר. יש לזה גם משמעות מעשית! כפי שזכרה המורה שלי לשיטות הוראת מתמטיקה בחיוך, בוגרים רבים הודו לה במילים: "המקצוע שלך עזר לנו מאוד, עכשיו אנחנו מנהלים אפקטיביים ומנהלים את הצוות שלנו בצורה מיטבית". בהזדמנות זו אני גם מביע לה את תודתי הרבה, במיוחד שאני משתמש בידע הנרכש למטרה המיועדת לו =).

דוגמה 5

נתון דמות שטוחה תחום בקווים , , .

1) מצא את השטח של דמות שטוחה התחום בקווים אלה.
2) מצא את נפח הגוף המתקבל על ידי סיבוב של דמות שטוחה התחום בקווים אלו סביב הציר.

תשומת הלב!גם אם אתה רוצה לקרוא רק את הפסקה השנייה, ראשית בהכרחקרא את הראשון!

פִּתָרוֹן:המשימה מורכבת משני חלקים. נתחיל בריבוע.

1) בואו נבצע את הציור:

קל לראות שהפונקציה מגדירה את הענף העליון של הפרבולה, והפונקציה מגדירה את הענף התחתון של הפרבולה. לפנינו פרבולה טריוויאלית, ש"שוכבת על צדה".

הדמות הרצויה, ששטחה נמצא, מוצללת בכחול.

איך למצוא את השטח של דמות? ניתן למצוא אותו בדרך ה"רגילה", שנחשבה בשיעור. אינטגרל מובהק. כיצד לחשב שטח של דמות. יתר על כן, השטח של הדמות נמצא כסכום השטחים:
- על הקטע;
- על הקטע.

זו הסיבה:

מה רע בפתרון הרגיל במקרה זה? ראשית, ישנם שני אינטגרלים. שנית, שורשים מתחת לאינטגרלים, ושורשים באינטגרלים אינם מתנה, יתר על כן, אפשר להתבלבל בהחלפת גבולות האינטגרציה. למעשה, האינטגרלים, כמובן, אינם קטלניים, אבל בפועל הכל הרבה יותר עצוב, פשוט קלטתי פונקציות "טובות יותר" עבור המשימה.

יש פתרון רציונלי יותר: הוא מורכב במעבר לפונקציות הפוכות ואינטגרציה לאורך הציר.

איך עוברים לפונקציות הפוכות? באופן גס, אתה צריך להביע "x" עד "y". ראשית, נעסוק בפרבולה:

זה מספיק, אבל בואו נוודא שאפשר לגזור את אותה פונקציה מהענף התחתון:

עם קו ישר, הכל קל יותר:

עכשיו תסתכל על הציר: אנא הטה מעת לעת את ראשך ל-90 מעלות ימינה כפי שאתה מסביר (זו לא בדיחה!). הדמות שאנו צריכים נמצאת על הקטע, המסומן על ידי הקו המקווקו האדום. במקביל, על הקטע, הקו הישר ממוקם מעל הפרבולה, מה שאומר שיש למצוא את השטח של הדמות באמצעות הנוסחה שכבר מוכרת לך:. מה השתנה בנוסחה? רק מכתב, ותו לא.

! הערה: יש להגדיר את גבולות האינטגרציה לאורך הציר אך ורק מלמטה למעלה!

מציאת האזור:

על הקטע, לפיכך:

שימו לב איך ביצעתי את האינטגרציה, זו הדרך הכי רציונלית, ובפסקה הבאה של המשימה יתברר למה.

לקוראים המפקפקים בנכונות האינטגרציה, אמצא נגזרות:

מתקבל האינטגרנד המקורי, כלומר האינטגרציה מתבצעת בצורה נכונה.

תשובה:

2) חשב את נפח הגוף שנוצר מסיבוב הדמות הזו סביב הציר.

אני אצייר מחדש את הציור בעיצוב קצת שונה:

אז, הדמות המוצללת בכחול מסתובבת סביב הציר. התוצאה היא "פרפר מרחף" שמסתובב סביב צירו.

כדי למצוא את נפח גוף המהפכה, נשלב לאורך הציר. ראשית עלינו לעבור לפונקציות הפוכות. זה כבר נעשה ותואר בפירוט בפסקה הקודמת.

כעת אנו מטים שוב את ראשנו ימינה ולומדים את הדמות שלנו. ברור שצריך למצוא את נפח גוף המהפכה כהבדל בין הנפחים.

אנו מסובבים את הדמות המעוגלת באדום סביב הציר, וכתוצאה מכך נוצר חרוט קטום. הבה נסמן כרך זה ב- .

אנו מסובבים את הדמות, מוקפת בירוק, סביב הציר ומציינים אותה דרך נפח גוף המהפכה שנוצר.

נפח הפרפר שלנו שווה להפרש הנפחים.

אנו משתמשים בנוסחה כדי למצוא את הנפח של גוף מהפכה:

במה זה שונה מהנוסחה של הפסקה הקודמת? רק באותיות.

והנה היתרון של אינטגרציה, עליו דיברתי לאחרונה, הרבה יותר קל למצוא מאשר להעלות את האינטגרנד לחזקה 4 תחילה.

תשובה:

עם זאת, פרפר חולני.

שימו לב שאם אותה דמות שטוחה מסובבת סביב הציר, אז יתברר גוף מהפכה שונה לחלוטין, בעל נפח שונה, באופן טבעי.

דוגמה 6

נתון דמות שטוחה תחומה בקווים , וציר .

1) עבור לפונקציות הפוכות ומצא את השטח של דמות שטוחה התחום בקווים אלה על ידי אינטגרציה מעל המשתנה .
2) חשב את נפח הגוף המתקבל על ידי סיבוב דמות שטוחה התחום בקווים אלו סביב הציר.

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. מי שרוצה יכול גם למצוא את שטח הדמות בצורה ה"רגילה", ובכך להשלים את המבחן של נקודה 1). אבל אם, אני חוזר, מסובבים דמות שטוחה סביב הציר, אז מקבלים גוף סיבוב אחר לגמרי עם נפח אחר, אגב, התשובה הנכונה (גם למי שאוהב לפתור).

הפתרון המלא של שני הפריטים המוצעים במשימה בסוף השיעור.

אה, ואל תשכחו להטות את הראש ימינה כדי להבין גופי רוטציה ובתוך אינטגרציה!

רציתי, זה כבר, לסיים את המאמר, אבל היום הם הביאו דוגמה מעניינת רק בשביל למצוא את הנפח של גוף מהפכה סביב ציר ה-y. טָרִי:

דוגמה 7

חשב את נפח הגוף שנוצר על ידי סיבוב סביב ציר הדמות התחום על ידי עקומות ו. הענף השמאלי שאינו בשימוש של הפרבולה מתאים לפונקציה ההפוכה - גרף הפונקציה ממוקם על הקטע שמעל הציר;

הגיוני להניח שיש לחפש את נפחו של גוף מהפכה כבר כסכום נפחי גופי המהפכה!

אנו משתמשים בנוסחה:

במקרה הזה:

תשובה:

בְּ הבעיה של מציאת השטח של דמותסיכום האזורים משמש לעתים קרובות, וסיכום הנפחים של גופי המהפכה הוא כנראה נדיר, שכן מגוון כזה כמעט נפל משדה הראייה שלי. ובכל זאת, טוב שהדוגמה הנחשבת הופיעה בזמן - הצלחנו להוציא הרבה דברים שימושיים.

קידום מוצלח של דמויות!

מלבד מציאת השטח של דמות שטוחה באמצעות אינטגרל מוגדר (ראה 7.2.3.)היישום החשוב ביותר של הנושא הוא חישוב נפח גוף מהפכה. החומר פשוט, אבל הקורא חייב להיות מוכן: יש צורך להיות מסוגל לפתור אינטגרלים בלתי מוגדריםמורכבות בינונית וליישם את הנוסחה של ניוטון-לייבניץ ב אינטגרל מובהק, ננדרשים גם כישורי ניסוח גבוהים. באופן כללי, ישנם יישומים מעניינים רבים בחשבון אינטגרלי; באמצעות אינטגרל מוגדר, אתה יכול לחשב את שטח הדמות, נפח גוף המהפכה, אורך קשת, שטח פנים של הגוף, ועוד הרבה יותר. דמיינו איזו דמות שטוחה במישור הקואורדינטות. מיוצג? ... כעת ניתן גם לסובב את הדמות הזו, ולסובב בשתי דרכים:

- סביב ציר ה-x ;

- סביב ציר ה-y .

בואו נסתכל על שני המקרים. שיטת הסיבוב השנייה מעניינת במיוחד, היא גורמת לקשיים הגדולים ביותר, אך למעשה הפתרון כמעט זהה לסיבוב הנפוץ יותר סביב ציר ה-X. נתחיל עם סוג הסיבוב הפופולרי ביותר.

חישוב נפח גוף שנוצר מסיבוב של דמות שטוחה סביב ציר שׁוֹר

דוגמה 1

חשב את נפח הגוף המתקבל על ידי סיבוב הדמות התחום בקווים סביב הציר.

פִּתָרוֹן:כמו בבעיה של מציאת האזור, הפתרון מתחיל בציור של דמות שטוחה. כלומר במטוס XOYיש צורך לבנות דמות תחומה בקווים, מבלי לשכוח שהמשוואה מגדירה את הציר. הציור כאן די פשוט:

הדמות השטוחה הרצויה מוצללת בכחול, היא זו שמסתובבת סביב הציר. כתוצאה מהסיבוב מתקבלת צלחת מעופפת כזו בצורת ביצה עם שתי פסגות חדות על הציר. שׁוֹר, סימטרי על הציר שׁוֹר. למעשה, לגוף יש שם מתמטי, עיין בספר העיון.

כיצד לחשב את נפח גוף המהפכה? אם הגוף נוצר כתוצאה מסיבוב סביב צירשׁוֹר, הוא מחולק נפשית לשכבות מקבילות בעובי קטן dxשהם מאונכים לציר שׁוֹר. נפח הגוף כולו שווה כמובן לסכום הנפחים של שכבות יסוד כאלה. כל שכבה, כמו פרוסת לימון עגולה, היא גליל נמוך גבוה dxועם רדיוס בסיס ו(איקס). אז הנפח של שכבה אחת הוא המכפלה של שטח הבסיס π ו 2 לגובה הגליל ( dx), או π∙ ו 2 (איקס)∙dx. והשטח של כל גוף המהפכה הוא סכום הנפחים היסודיים, או האינטגרל המובהק המתאים. ניתן לחשב את נפח גוף המהפכה על ידי הנוסחה:

איך להגדיר את גבולות האינטגרציה "a" ו-"be" קל לנחש מהציור שהושלם. פונקציה... מה זאת הפונקציה הזו? בואו נסתכל על הציור. הדמות השטוחה תחומה על ידי גרף הפרבולות מלמעלה. זו הפונקציה שמשתמעת בנוסחה. במשימות מעשיות, דמות שטוחה יכולה לפעמים להיות ממוקמת מתחת לציר שׁוֹר. זה לא משנה כלום - הפונקציה בנוסחה היא בריבוע: ו 2 (איקס), לכן, הנפח של גוף מהפכה הוא תמיד לא שלילי, וזה די הגיוני. חשב את נפח גוף המהפכה באמצעות נוסחה זו:

כפי שכבר ציינו, האינטגרל כמעט תמיד מתברר כפשוט, העיקר להיזהר.

תשובה:

בתשובה יש צורך לציין את הממד - יחידות מעוקבות. כלומר, בגוף הסיבוב שלנו יש כ-3.35 "קוביות". למה בדיוק מעוקב יחידות? כי זה הניסוח האוניברסלי ביותר. יכול להיות שיש סנטימטר מעוקב, יכול להיות קוב, יכול להיות קילומטרים מעוקבים וכו', זה כמה גברים ירוקים קטנים הדמיון שלך יכול להכניס לתוך צלחת מעופפת.

דוגמה 2

מצא את נפח הגוף שנוצר על ידי סיבוב סביב ציר שׁוֹרדמות תחום בקווים , , .

זו דוגמה של עשה זאת בעצמך. פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור.

דוגמה 3

חשב את נפח הגוף המתקבל על ידי סיבוב סביב ציר האבססיס של הדמות התחום בקווים , , ו .

פִּתָרוֹן:הבה נתאר בשרטוט דמות שטוחה תחומה בקווים , , , , מבלי לשכוח שהמשוואה איקס= 0 מציין את הציר OY:

הדמות הרצויה מוצללת בכחול. כאשר הוא מסתובב סביב הציר שׁוֹרמתברר בייגל זוויתי שטוח (מכונת כביסה עם שני משטחים חרוטיים).

נפח גוף המהפכה מחושב כ הבדל בנפח הגוף. ראשית, בואו נסתכל על הדמות המוקפת באדום. כאשר הוא מסתובב סביב הציר שׁוֹרוכתוצאה מכך חרוט קטום. הבה נסמן את נפח החרוט הקטום הזה כ V 1 .

קחו בחשבון את הדמות שמוקפת בירוק. אם נסובב את הדמות הזו סביב הציר שׁוֹר, אז אתה מקבל גם חרוט קטום, רק קצת יותר קטן. הבה נסמן את נפחו ב V 2 .

ברור, ההבדל בנפח V = V 1 - V 2 הוא נפח ה"סופגנייה" שלנו.

אנו משתמשים בנוסחה הסטנדרטית למציאת נפח גוף המהפכה:

1) הדמות המוקפת באדום תחומה מלמעלה בקו ישר, לכן:

2) הדמות המוקפת בירוק תחומה מלמעלה בקו ישר, לכן:

3) נפח גוף המהפכה הרצוי:

תשובה:

זה מוזר שבמקרה זה ניתן לבדוק את הפתרון באמצעות נוסחת בית הספר לחישוב נפח של חרוט קטום.

ההחלטה עצמה נעשית לעתים קרובות יותר, משהו כמו זה: