תבנית ערכת הבדלים מפורשת. סכמות הבדלים: סכמות מפורשות ומרומזות. פתרון הבעיה המעורבת עבור משוואת הגלים בשיטת הרשת

באמצעות תבנית עבור כל צומת פנימי של אזור הפתרון, משוואת החום משוערת

מכאן אנו מוצאים:

באמצעות תנאי ההתחלה והגבול, הערכים של פונקציית הרשת נמצאים בכל הצמתים ברמת זמן אפס.

לאחר מכן, באמצעות היחסים

הערכים של פונקציות אלו נמצאים בכל הצמתים הפנימיים ברמת הזמן הראשונה, ולאחר מכן אנו מוצאים את הערך בצמתי הגבול

כתוצאה מכך, אנו מוצאים את הערך של הפונקציות בכל הצמתים ברמת הזמן הראשונה. לאחר מכן, באמצעות היחסים הללו, אנו מוצאים את כל הערכים האחרים וכו'.

בסכימת ההבדלים הנחשבת, הערכים של הפונקציה הרצויה ברמת הזמן הבאה נמצאים ישירות, במפורש באמצעות הנוסחה

לכן, סכימת ההבדלים הנחשבת באמצעות תבנית זו נקראת ערכת הבדלים מפורשת . הדיוק שלו בסדר.

ערכת הבדלים זו קלה לשימוש, אך יש לה חיסרון משמעותי. מסתבר שתכנית ההבדלים המפורשת יש פתרון יציב רק במקרה ש, אם התנאי מתקיים :

ערכת הבדלים מפורשת יציב מותנה . אם התנאי אינו מתקיים, שגיאות חישוב קטנות, למשל, הקשורות לעיגול נתוני מחשב, מובילות לשינוי חד בפתרון. הפתרון הופך לבלתי שמיש. מצב זה מטיל הגבלות חמורות מאוד על שלב הזמן, אשר עשויות להיות בלתי מתקבלות על הדעת עקב עלייה משמעותית בזמן החישוב לפתרון בעיה זו.

שקול סכימת הבדלים באמצעות דפוס שונה

שיטה 36

ערכת הבדלים מרומזת עבור משוואת החום.

תחליף לתוך משוואת החום:

יחס זה נכתב עבור כל צומת פנימי ברמת הזמן ומוסיפים לו שני יחסים הקובעים את הערכים בצמתי הגבול. התוצאה היא מערכת משוואות לקביעת הערכים הלא ידועים של הפונקציה ברמת הזמן.

התוכנית לפתרון הבעיה היא כדלקמן:

באמצעות תנאי ההתחלה והגבול, ערך הפונקציה נמצא ברמת זמן אפס. לאחר מכן, באמצעות יחסים ותנאי גבול אלו, נבנית מערכת של משוואות אלגבריות ליניאריות כדי למצוא את ערך הפונקציה ברמת הזמן הראשונה, ולאחר מכן המערכת נבנית שוב באמצעות יחסים אלו, והערכים נמצאים ב- רמת פעם שניה וכו'.

הבדל מסכימה מפורשת- הערכים ברמת הזמן הבאה אינם מחושבים ישירות באמצעות נוסחה מוכנה, אלא נמצאים על ידי פתרון מערכת משוואות, כלומר. הערכים של הלא ידועים נמצאים במרומז על ידי פתרון ה-SLAE. לכן, סכימת ההבדל נקראת מרומזת. שלא כמו המפורש, המרומז הוא יציב לחלוטין.

נושא מס' 9

בעיות אופטימיזציה.

בעיות אלו הן בין הבעיות החשובות ביותר במתמטיקה יישומית. אופטימיזציה פירושו בחירת האפשרות הטובה ביותר מבין כל הפתרונות האפשריים לבעיה נתונה. לשם כך, יש צורך לנסח את הבעיה הנפתרת כמתמטית, תוך מתן משמעות כמותית למושגים טוב יותר או רע. בדרך כלל, בתהליך הפתרון, יש צורך למצוא ערכי פרמטרים אופטימליים. אפשרויות אלה נקראות לְעַצֵב. ומספר פרמטרי העיצוב קובע ממד משימה.

הפתרון מכומת באמצעות פונקציה כלשהי שתלויה בפרמטרי התכנון. פונקציה זו נקראת יַעַד . הוא בנוי בצורה כזו שהערך האופטימלי ביותר מתאים למקסימום (מינימום).

- תפקוד מטרה.

המקרים הפשוטים ביותר הם כאשר פונקציית המטרה תלויה בפרמטר אחד וניתנת על ידי נוסחה מפורשת. עשויות להיות מספר פונקציות יעד.

כך למשל, בעת תכנון מטוס נדרש להבטיח בו זמנית אמינות מקסימלית, מינימום משקל ועלות וכו'. במקרים כאלה, הכנס מערכת עדיפות . לכל פונקציית יעד מוקצה מכפיל יעד מסוים, כתוצאה מכך מתקבלת פונקציית יעד מוכללת (פונקציית פשרה).

בדרך כלל הפתרון האופטימלי מוגבל על ידי מספר תנאים הקשורים לתפקוד הפיזי של הבעיה. תנאים אלה יכולים ללבוש צורה של שוויון או אי שוויון

התיאוריה והשיטות לפתרון בעיות אופטימיזציה בנוכחות הגבלות הן נושא למחקר באחד הסעיפים של מתמטיקה יישומית - תכנות מתמטי.

אם פונקציית המטרה היא ליניארית ביחס לפרמטרי התכנון והאילוצים המוטלים על הפרמטרים גם הם ליניאריים, אז משימה תכנות לינארי . שקול שיטות לפתרון בעיית אופטימיזציה חד מימדית.

נדרש למצוא ערכים שבהם לפונקציית המטרה יש ערך מרבי. אם הפונקציה האובייקטיבית ניתנת בצורה אנליטית וניתן למצוא ביטוי לנגזרותיה, אזי הפתרון האופטימלי יושג או בקצות הקטע, או בנקודות שבהן הנגזרת נעלמת. אלו הנקודות הקריטיות ו. יש צורך למצוא את ערכי הפונקציה האובייקטיבית בכל הנקודות הקריטיות ולבחור את המקסימום.

במקרה הכללי, נעשה שימוש בשיטות חיפוש שונות כדי למצוא פתרון. כתוצאה מכך, הקטע המכיל את הפתרון האופטימלי מצטמצם.

בואו נסתכל על כמה משיטות החיפוש. הבה נניח שלפונקציית המטרה יש מקסימום אחד במרווח. במקרה זה, פיצול לפי נקודות צמתים, שמספרן הוא , הפונקציה האובייקטיבית מחושבת בנקודות הצמתים הללו. נניח שהערך המקסימלי של פונקציית המטרה יהיה בצומת, אז נוכל להניח שהפתרון האופטימלי הוא על המרווח. כתוצאה מכך, הקטע המכיל את הפתרון האופטימלי מצטמצם. הקטע החדש שנוצר מחולק שוב לחלקים וכו'. עם כל מחיצה, הקטע המכיל את הפתרון האופטימלי מצטמצם בפקטור.

נניח שמייצרים שלבי הצרה. ואז הקטע המקורי מצטמצם בפקטור.

כלומר, לעשות תוך כדי ריצה (*)

במקרה זה, פונקציית המטרה מחושבת.

נדרש למצוא ערך כזה שהביטוי (*) מתקבל עם המינימום

מספר חישובים.

שיטה 37

שיטת חצי חלוקה.

שקול את שיטת החיפוש עבור . היא נקראת שיטת חלוקה לחצי, שכן בכל שלב מצמצמים את הקטע המכיל את הפתרון האופטימלי.

ניתן להגביר את יעילות החיפוש על ידי בחירה מיוחדת של נקודות שבהן פונקציית המטרה מחושבת בשלב צמצום מסוים.

שיטה 38

שיטת חתך הזהב.

אחד מ דרכים יעילותהיא שיטת חתך הזהב. חתך הזהב של קטע הוא נקודה שעבורה מתקיים התנאי

ישנן שתי נקודות כאלה: =0.382 +0.618

0,618 +0,382 .

הקטע מחולק בנקודות ואחרי זה יש נקודה שבה פונקציית המטרה היא מקסימלית. כתוצאה מכך, נמצא קטע שונה באורך של 0.618 (-).

ערך אחד של חתך הזהב עבור המקטע המצומצם כבר ידוע, לכן, בכל שלב עוקב, חישוב הפונקציה האובייקטיבית נדרש רק בנקודה אחת (הנקודה השנייה של חתך הזהב).

שיטה 39

שיטת עלייה (ירידה) תיאום.

נעבור לשיקול של בעיית האופטימיזציה במקרה שבו פונקציית המטרה תלויה במספר ערכי פרמטרים. שיטת החיפוש הפשוטה ביותר היא שיטת העלייה (ירידה) בקואורדינטות.

תצורה של צמתים, הערכים של פונקציית הרשת שבה קובעים את צורת משוואות ההפרש בנקודות פנימיות (לא גבוליות) של הרשת. ככלל, באיורים עם תמונות של תבניות, הנקודות המעורבות בחישוב נגזרים מחוברות בקווים.

תכנית קורנט-איסקסון-ריז(KIR), שלעיתים מזוהה גם עם שמו של ש.ק. גודונוב, מסתבר ב, . סדר הקירוב שלו. ערכת KIR יציבה מותנית, כלומר. בתנאי Courant . הבה נציג את משוואות ההפרש עבור ערכת Courant-Isakson-Ries בנקודות פנימיות של התחום החישובי:

סכימות אלו, שגם להן יש את השם upwind difference scheme (בספרות האנגלית - upwind) ניתן לכתוב בשם

היתרון שלהם טמון בשיקול המדויק יותר של תחום התלות של הפתרון. אם נציג את הסימון

אז ניתן לכתוב את שתי הסכמות בצורות הבאות:

(צורת זרימה של משוואת ההפרש);

(כאן, המונח עם ההבדל השני מובחן במפורש, מה שנותן יציבות לתכנית);

(משוואה במרווחים סופיים).

קחו בחשבון גם שיטה של ​​מקדמים בלתי מוגדריםלבנות סכימת הבדלים, הפינה הימנית של סדר הדיוק הראשון של משוואת התחבורה

ניתן לייצג את הסכימה כ

תכנית Courant-Isakson-Ries קשורה קשר הדוק לשיטות המספריות של מאפיינים. בואו ניתן תיאור קצררעיונות לשיטות כאלה.

שתי התוכניות האחרונות שהתקבלו (עם סימנים שוניםקצב העברה) ניתן לפרש כדלקמן. בואו נבנה מאפיין העובר דרך הצומת (t n + 1 , x m ), את הערך שבו יש לקבוע, וחוצה את השכבה t n בנקודה . למען הבירור, אנו מניחים שקצב ההעברה c חיובי.

לאחר ביצוע אינטרפולציה ליניארית בין הצמתים x m - 1 ו- x m בשכבת הזמן התחתונה, אנו מקבלים

לאחר מכן, נעביר את הערך u n (x") לאורך המאפיין ללא שינוי לשכבה העליונה t n + 1, כלומר אנו קובעים . טבעי לשקול את הערך האחרון כפתרון משוער משוואה הומוגניתלְהַעֲבִיר. במקרה הזה

או, מעבר ממספר ה-Courant שוב לפרמטרי הרשת,

הָהֵן. בדרך אחרת הגענו לתכנית ה"פינה השמאלית" הידועה שיציבה בשעה. כאשר נקודת החיתוך של המאפיין היוצא מהצומת (t n + 1, x m, עם השכבה n -ה בזמן ממוקמת משמאל לצומת (t n, x m - 1). כך, למצוא פתרון , לא נעשה שימוש באינטרפולציה, אלא באקסטרפולציה, שמתבררת כלא יציבה.

גם חוסר היציבות של ערכת "הפינה הימנית" עבור c > 0 ברורה. כדי להוכיח זאת, אפשר להשתמש בקריטריון הספקטרלי או בתנאי קוראנט, פרידריכס ולוי. נימוק דומה יכול להתבצע במקרה ג< 0 и схемы "правый уголок".

לֹא יַצִיב ערכת ארבע נקודותשהושג מתי , סדר הקירוב שלו הוא . משוואות הרשת עבור ערכת ההפרשים יהיו בטופס הבא:

תכנית לאקס-ונדרוףמתרחש כאשר . סדר הקירוב של ערכת לאקס-ונדרוף הוא . התוכנית יציבה בתנאי Courant .

ניתן להשיג סכימה זו או על ידי השיטה של ​​מקדמים בלתי מוגדרים, או על ידי התחשבות במונח המוביל של שגיאת הקירוב בצורה מדויקת יותר. הבה נבחן את התהליך של גזירת ערכת Lax-Wendroff ביתר פירוט. ביצוע המחקר של סכימת ארבע הנקודות הקודמת לקירוב (ומחקר זה הוא די אלמנטרי ומצטמצם לפירוק פונקציית ההשלכה על גבי הרשת של הפתרון המדויק של הבעיה הדיפרנציאלית בסדרת טיילור), אנו מקבלים עבור המונח העיקרי של השגיאה

בעת גזירת הביטוי עבור המונח העיקרי של שגיאת הקירוב, נעשה שימוש בתוצאה של משוואת התחבורה הדיפרנציאלית המקורית

מה שמתקבל על ידי הבדלה של המשוואה המקורית (3.3) תחילה ביחס לזמן t, לאחר מכן ביחס לקואורדינטת x והפחתת אחד היחסים המתקבלים מהאחר.

לאחר מכן, החלפה נגזרת שנייהבמונח השני בצד ימין עד O(h 2) , אנו מקבלים סכימת הבדלים חדשה המקרבת את המקור משוואה דיפרנציאליתעם דיוק . משוואות הרשת עבור ערכת Lax-Wendroff בצמתים הפנימיים של הרשתות החישוביות הן

תכנית מרומזת של שש נקודותמתרחש ב-q = 0; עם סדר הקירוב שלו , ב .

1. במערכת הקואורדינטות xOtלבנות רשת מלבנית עם מדרגה חלאורך הציר אהועם צעד τ לאורך הציר מ:

א) איקס אני = אה, אני= אני, נ , n=L/h;

ב) ט ק =קτ, k= אני,M , M=T/τ;

ב) ו אני , ק = u(איקס אני ,ט ק) = u(אה,קτ).

2. חשב את ערכי הפונקציה u(איקס אני , ט ק) בצמתים השוכבים על קווים x= 0 ו x=L:

3. חשבו u אני ,0 =ו(אה),i= 1, נ .

4. באמצעות (1.16) או (1.23), נמצא פתרון לכל הצמתים הפנימיים: u אני , ק + נ , i= אני,נ -ל, k= 0, M -ל.

1.3. פתרון הבעיה המעורבת עבור משוואת הגלים בשיטת הרשת

1.3.1. ניסוח הבעיה. אלגוריתם שיטה

שקול בעיה מעורבת (כלומר, בהינתן תנאי התחלה וגבול) עבור משוואת הגלים

באזור של ד=(0≤x≤ ל, 0≤t≤T) עם תנאים ראשוניים

ותנאי גבול

אנו נניח זאת ו(איקס),ז(איקס) הן פונקציות חלקות מספיק, ותנאי ההתאמה מתקיימים בשתי פינות של הדומיין ד(איקס=0, ט=0), (x=L, ט=0), המבטיחים את קיומו וייחודו של הפתרון u(איקס, ט).

כדי להבחין בבעיה המקורית, אנו בונים את התחום

רשת מלבנית

איפה ח – מרווח רשת בכיוון איקס, τ הוא צעד הרשת בכיוון ט,

באמצעות הבדלים מרכזיים מסדר שני (1.10) לקירוב נגזרות חלקיות, עבור כל צומת רשת פנימי נקבל מערכת של משוואות הבדלים

שמקרוב את משוואת הגלים (1.24) בצומת ( איקס אני , ט ק) עם שגיאה O(ח 2 + τ2).

כאן u אני , קהוא הערך המשוער של הפונקציה ו(איקס,ט) בצומת ( איקס אני ,ט ק).

נותן λ = aτ/ ח, אנו מקבלים סכמת הבדלים בת שלוש שכבות:

סכימה (1.28) נקראת תלת-שכבתית מכיוון שהיא מחברת את הערכים u אני , קפונקציות ו(איקס,ט) על שלוש שכבות זמן עם מספרים ( ק-ל), ק, (ק+1).

ערכת ההבדלים (1.28) מתאימה לתבנית שלוש שכבות בת חמש נקודות מסוג "צלב" (איור 1.2).

תכנית (1.28) מתייחסת לערכים u אני , ק =u(אה, kτ) על שלוש שכבות בזמן, וללכת לרמה ( ק+1), צריך לדעת איך u אני , ק, ו u אני , ק-1 , שהיא תוצאה של העובדה שמשוואת הדיפרנציאל (1.24) מכילה את נגזרת הזמן השנייה. הפתרון המספרי של הבעיה (1.24) - (1.26) מורכב בחישוב הערכים המשוערים u אני , ק פתרונות u(איקס, ט) בצמתים ( איקס אני ,ט) בשעה אני = 1, נ , ק=1, M . סכימת החישוב לפי (1.28) היא מפורשת; היא מאפשרת לחשב בערך את ערכי הפונקציה בצמתים ( ק+1)-שכבה לפי הערכים הידועים שלה בשתי השכבות הקודמות. בשתי השכבות הראשונות, ערכי הפונקציה נקבעים מהתנאים ההתחלתיים (1.25). אנו מאמינים

עבור נגזרת הזמן, אנו משתמשים בקירוב (1.5)

סדר הקירוב (1.30) הוא O(τ).

שימו לב ש-(1.29), (1.31) נותנים פתרונות עבור שתי השורות הראשונות: ק=0, ק=1. מחליף k= 1 אינץ' (1.28), נקבל:

כל האיברים בצד ימין של המשוואה (1.32) כוללים את הערכים ו אני , קרק משתי השורות הראשונות של הרשת; אבל כל הערכים האלה ידועים מהתנאים ההתחלתיים.

לאחר מכן, לדעת את הפתרונות ו אני ,1 ,ו אני,2 , נוכל להשתמש (1.28) כדי לחשב את ערכי הפונקציה ו אני , קעל שכבת הזמן השלישית, הרביעית וכו'.

סכימת החישוב (1.28) – (1.31) שתוארה לעיל מקיפה את הבעיה (1.24) – (1.26) בדיוק O(τ+ ח 2). סדר הקירוב הנמוך ביחס ל-τ מוסבר על ידי שימוש בקירוב גס מדי עבור הנגזרת ביחס ל ט בנוסחה (1. 30).

הבה נבחן כעת את סוגיות ההתכנסות והיציבות. מבלי להציג כאן הוכחות, אנו מסתפקים בניסוח התוצאות הסופיות. ערכת החישוב תהיה יציבה אם מתקיים תנאי ה-Courant

המשמעות היא שכאשר (1.33) מסופק, השגיאות הקטנות שעולות, למשל, בחישוב בשכבה הראשונה, לא יגדלו ללא הגבלת זמן במעבר לכל שכבת זמן חדשה. אם תנאי ה-Courant מתקיים, סכימת ההפרשים (1.28) מתכנסת באופן אחיד, כלומר עבור ח→0 ו-τ→0 פתרון בעיית ההבדל (1.28) – (1.31) נוטה באופן אחיד לפתרון הבעיה המקורית (1.24) – (1.26).

תנאי (1.33) מספיק להתכנסות, אך אינו הכרחי. במילים אחרות, יש משוואות וערכים של מרווחים שעבורם (1.33) לא מתקיים, אבל עדיין מתקבלת התוצאה הנכונה. העניין הוא שאז אי אפשר להבטיח התכנסות. במקרה הכללי, כמובן, רצוי להבטיח התכנסות בוודאות, ולכן יש לעמוד בתנאי (1.33).

כך, ברגע שנבחר גודל הצעד חבכיוון איקס, אז יש הגבלה על גודל הצעד τ בזמן. מאפיין ייחודי של כל השיטות המפורשות הוא שבשימוש בהן יש להקפיד על תנאי מסוים מהסוג (1.33), המבטיח את ההתכנסות והיציבות של השיטה.

רשת ותבנית. עבור רוב סכימות ההבדלים, צמתי רשת נמצאים בצומת של כמה קווים ישרים (בבעיות רב-ממדיות, היפר-מטוסים) המצוירים במערכת קואורדינטות טבעית או באזור שנבחר במיוחד G.

אם לאחד המשתנים יש משמעות פיזיקלית של זמן ט, אז הרשת בנויה בדרך כלל כך שבין הקווים (או היפר-מטוסים) שלה יש קווים ט = ט M. קבוצת צמתי הרשת השוכבת על קו או מישור כזה נקראת שכבה.

בכל שכבה מובחנים כיוונים שלאורכם רק קואורדינטה מרחבית אחת משתנה. למשל, עבור משתנים איקס, y, טיש כיוונים איקס (ט = const, y = const) וכיוון y (ט = const, איקס = const).

הידור של סכימות הבדלים (26.2) ו- (26.4), השתמשנו באותו קירוב הבדלים מסוג של נגזרות בכל הצמתים הפנימיים של האזור. במילים אחרות, בעת כתיבת כל משוואת הבדלים, אותו מספר של צמתים נלקח ליד צומת רשת מסוים, ויצרו תצורה מוגדרת בקפדנות, אותה קראנו לתבנית של ערכת הבדלים זו (ראה איור 26.2).

הַגדָרָה. הצמתים שבהם כתובה סכימת ההבדלים בתבנית נקראים רגילים, והשאר נקראים לא סדירים.

לא סדירים הם בדרך כלל צמתים גבול, ולפעמים גם צמתים השוכנים ליד הגבול (כגון שהתבנית שנלקחה ליד צומת זה חורגת מגבולות האזור).

הידור של ערכת הבדלים מתחיל בבחירת התבנית. התבנית לא תמיד מגדירה באופן ייחודי את ערכת ההבדלים, אך היא משפיעה באופן משמעותי על המאפיינים שלה; לדוגמה, נראה בהמשך שבתבנית של איור. 26.2 באי אפשר להרכיב ערכת הבדלים טובה לבעיית הולכת החום (26.1). כל סוג של משוואות ובעיות ערכי גבול דורש תבנית משלו.

סכימות הבדלים מפורשות ומרומזות

הבה נדון בשאלת החישוב בפועל של פתרון ההפרש. רובבעיות פיזיות מובילות למשוואות המכילות זמן כאחד המשתנים. עבור משוואות כאלה, בדרך כלל מוצעת בעיה של ערך גבול מעורב, המקרה האופייני שלה הוא בעיית הולכת חום (26.1).

עבור בעיות כאלה, נעשה שימוש באלגוריתם שכבות של חישובים. הבה נשקול זאת בדוגמה של תוכניות (26.2) ו- (26.4).

בסכימה (26.4) בשכבה הראשונית M= 0 הפתרון ידוע עקב המצב ההתחלתי. בוא נשים M= 0 במשוואות (26.4). לאחר מכן עבור כל ערך של המדד נהמשוואה מכילה אחד לא ידוע ; מכאן אתה יכול לקבוע בְּ-
ערכים ו נקבעים לפי תנאי הגבול (26.3). לפיכך, הערכים בשכבה הראשונה מחושבים. על בסיסם, הפתרון בשכבה השנייה מחושב בצורה דומה, וכן הלאה.

Scheme (26.4) בכל משוואה מכילה רק ערך אחד של הפונקציה בשכבה הבאה; ערך זה יכול לבוא לידי ביטוי בקלות במפורש במונחים של הערכים הידועים של הפונקציה בשכבה הראשונית; לכן, סכמות כאלה נקראות מפורשות.

Scheme (26.2) מכילה בכל משוואה מספר ערכים לא ידועים של הפונקציה בשכבה חדשה; תוכניות כאלה נקראות מרומזות. כדי לחשב את הפתרון בפועל, נשכתב את הסכמה (26.2) תוך התחשבות בתנאי הגבול (26.3) בצורה הבאה

(26.5)

על כל שכבה, סכימה (26.5) היא מערכת של משוואות ליניאריות לקביעת הכמויות
; צד ימין של משוואות אלו ידועות מכיוון שהן מכילות את ערכי הפתרון מהשכבה הקודמת. המטריצה ​​של מערכת לינארית היא תלת אלכסונית, וניתן לחשב את הפתרון על ידי סוויפ אלגברי.

האלגוריתם שנחשב כעת הוא אופייני למדי. הוא משמש בסכימות הבדלים מרומזות רבות לבעיות חד-ממדיות ורב-ממדיות. הבא נעשה במקום המדד Mלעתים קרובות משתמשים בקיצורים

בסימונים אלה, סכימות ההבדלים המפורשות והמרומזות לובשות את הצורה הבאה, בהתאמה:

אִי הַתְאָמָה. שקול משוואת דיפרנציאלית אופרטור כללית (לא בהכרח לינארית)

Au = ו, או Au – ו = 0.

החלפת המפעיל אבלמפעיל הבדלים א ח, צד ימין ו- פונקציית רשת כלשהי , והפתרון המדויק u- פתרון הבדל y, אנו כותבים את ערכת ההבדלים

אוֹ
. (26.6)

אם נחליף את הפתרון המדויק uלתוך יחס (26.6), אז הפתרון, באופן כללי, לא יספק יחס זה
. הערך

נקרא שיורית.

השארית מוערכת בדרך כלל באמצעות הרחבת סדרת טיילור. לדוגמה, הבה נמצא את הפער של סכימת ההבדלים המפורשת (26.4) עבור משוואת החום (26.1a). אנו כותבים את המשוואה הזו בצורה הקנונית

כי במקרה הזה
לאחר מכן

הבה נרחיב את הפתרון על ידי נוסחת טיילור ליד הצומת ( איקס נ , ט M), בהנחה קיומן של נגזרות רביעיות רציפות ביחס ל איקסוהשני פנימה ט

(26.7)

איפה

החלפת הרחבות אלו בביטוי השיורי והזנחה, עקב המשכיות הנגזרות, של ההבדל בין הכמויות
מ ( איקס נ , ט M) למצוא

(26.8)

לפיכך, שיורי (26.8) שואף לאפס כ
ו
הקרבה של סכימת ההבדלים לבעיה המקורית נקבעת על פי גודל השארית. אם השארית שואפת לאפס ב חו נוטה לאפס, אז אנו אומרים שסכימת הבדלים כזו מקרוב לבעיה דיפרנציאלית. לקירוב יש רהסדר אם
.

ביטוי (26.8) נותן את הפער רק בצמתי רשת רגילים. בהשוואה בין (26.3) ו-(26.1ב), נוכל למצוא בקלות את הפער בקשרים לא סדירים

הערה 1.הפתרון של בעיית הולכת החום עם מקדם קבוע (26.1) בתחום ניתן להבדיל ברציפות אינסוף פעמים. עם זאת, התחשבות בנגזרת החמישית ויותר בהרחבת סדרת טיילור (26.7) תוסיף לאי ההתאמה (26.8) רק מונחים של סדר קטן יותר ב ו ח, כלומר למעשה אינו משנה את המראה של השארית.

הערה 2.תן, מסיבה כלשהי, את פתרון הבעיה המקורית ניתן להבדיל מספר קטן של פעמים; לדוגמה, בבעיות עם מוליכות תרמית משתנה שהיא חלקה אך אין לה נגזרת שנייה, לפתרון יש רק נגזרות רציפות שלישיות. ואז בהרחבת סדרת טיילור (26.7) המונחים האחרונים הם
לא בדיוק מקזזים אחד את השני. זה יוביל להופעה בשארית (26.8) של חבר מהסוג
הָהֵן. לאי ההתאמה יהיה סדר קטן יותר של קטנות מאשר עבור פתרונות הניתנים להבדלה מתמשכת פי ארבעה.

הערה 3.על ידי הפיכת הביטוי השיורי, תוך התחשבות בעובדה שהפונקציה הכלולה בו u(איקס,ט) הוא פתרון מדויק של המשוואה המקורית והיחסים

החלפת ביטוי זה ב-(26.8), נקבל

אם נבחר צעדים במרחב ובזמן כך
לאחר מכן חבר ראשיהשאריות ייעלמו ורק מונחים מסדר קטן יותר במונחים של ו ח(ששמטנו). טכניקה זו משמשת בבניית תוכניות הבדלים של דיוק מוגבר.

ערכת הבדלים

ערכת הבדליםהיא מערכת סופית של משוואות אלגבריות הקשורות לבעיה דיפרנציאלית כלשהי המכילה משוואת דיפרנציאלית ותנאים נוספים (לדוגמה, תנאי גבול ו/או התפלגות ראשונית). לפיכך, נעשה שימוש בסכימות הבדלים כדי לצמצם בעיה דיפרנציאלית, בעלת אופי מתמשך, למערכת סופית של משוואות, פתרון מספרימה שבבסיסו אפשרי במחשבים. משוואות אלגבריות הקשורות למשוואה דיפרנציאלית מתקבלות בשיטת ההפרש, המבדילה את תורת סכמות ההבדלים משיטות מספריות אחרות לפתרון בעיות דיפרנציאליות (לדוגמה, שיטות השלכה, כמו שיטת גלרקין).

הפתרון של סכימת ההבדלים נקרא הפתרון המשוער של הבעיה הדיפרנציאלית.

למרות שההגדרה הפורמלית אינה מטילה הגבלות משמעותיות על צורתן של משוואות אלגבריות, בפועל זה הגיוני לשקול רק את הסכמות המתאימות איכשהו לבעיה דיפרנציאלית. מושגים חשובים של תורת סכמות ההבדלים הם המושגים של התכנסות, קירוב, יציבות ושמרנות.

אוּמדָן

נאמר כי אופרטור דיפרנציאלי המוגדר על פונקציות המוגדרות בתחום מוערך על מחלקה מסוימת של פונקציות על ידי אופרטור הבדל סופי המוגדר על פונקציות המוגדרות ברשת בהתאם לשלב אם

בקירוב אומרים שיש סדר אם

איפה הוא קבוע שתלוי בפונקציה הספציפית, אך אינו תלוי בשלב. הנורמה המשמשת לעיל יכולה להיות שונה, ומושג הקירוב תלוי בבחירתה. לעתים קרובות נעשה שימוש באנלוג בדיד של הנורמה של המשכיות אחידה:

לפעמים נעשה שימוש באנלוגים בדידים של נורמות אינטגרליות.

דוגמא. קירוב של אופרטור על ידי אופרטור הבדל סופי

על מרווח מוגבל הוא מסדר שני במחלקה של פונקציות חלקות.

בעיית הבדל סופי מתקרבת לבעיה דיפרנציאלית, והקירוב הוא בסדר , אם גם משוואת ההפרש עצמו וגם תנאי הגבול (וההתחלתיים) מקורבים על ידי אופרטורי ההפרש הסופי המתאימים, והקירובים הם בסדר .

מצב קוראנט

תנאי ה-Courant (בספרות באנגלית, Eng. מצב קוראנט-פרידריך-לוי , CFL) - מהירות ההתפשטות של הפרעות בבעיית ההפרש לא צריכה להיות פחותה מאשר בבעיית הדיפרנציאלית. אם תנאי זה לא מתקיים, ייתכן שהתוצאה של סכימת ההפרשים לא תטוה לפתור את המשוואה הדיפרנציאלית. במילים אחרות, בשלב זמן אחד החלקיק לא צריך "לעבור" יותר מתא אחד.

במקרה של מעגלים שהמקדמים שלהם אינם תלויים בפתרון המשוואה הדיפרנציאלית, תנאי ה-Courant נובע מיציבות.

ערכות על רשתות מוטות

בסכימות רשת אלה, שבהן התוצאה מוגדרת והנתונים מתקזזים זה מזה. לדוגמה, נקודות התוצאה נמצאות באמצע בין נקודות הנתונים. במקרים מסוימים, זה מאפשר שימוש בתנאי גבול פשוטים יותר.

ראה גם

קישורים

• "סכימות הבדלים" - פרק בוויקיפדיות בנושא "סכימות הבדלים למשוואות היפרבוליות"
• דמיאנוב א.יו., צ'יז'יקוב ד.ו.ערכת הבדלים מונוטונית היברידית מרומזת מסדר הדיוק השני
• V. S. Ryaben'kii, A. F. Filippov.על יציבות משוואות הפרש. - מ.: גוסטכיזדאט, 1956.
• S. K. Godunov, V. S. Ryabenky.מבוא לתיאוריית סכמות ההבדלים. - מ.: Fizmatgiz, 1962.
• ק אי בבנקו.יסודות הניתוח הנומרי. - מ.: נאוקה, 1986.
• Berezin I.S., Zhidkov N.P.שיטות חישוב, - כל מהדורה.
• Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M.שיטות מספריות, - כל מהדורה.
• G. I. Marchuk.שיטות של מתמטיקה חישובית. - מ.: נאוקה, 1977.

הערות

קרן ויקימדיה. 2010 .

ראה מה זה "תכנית הבדלים" במילונים אחרים:

מערכת של משוואות הבדלים המקרבות משוואה דיפרנציאלית ותנאים נוספים (התחלתיים, גבול וכו'). קירוב לבעיה הדיפרנציאלית המקורית R. s. זו אחת הדרכים לדיסקרטיזציה משוערת של הבעיה המקורית... אנציקלופדיה מתמטית

ערכת הבדלים של אלמנטים סופיים- שיטת האלמנטים הסופיים - [א.ש. גולדברג. מילון אנרגיה רוסי אנגלי. 2006] נושאים אנרגיה באופן כללי מילים נרדפות שיטת אלמנטים סופיים EN לוח זמנים להפרשי נפח סופי …

סכימת הבדלים היא מערכת סופית של משוואות אלגבריות, הקשורות לכל בעיה דיפרנציאלית המכילה משוואת דיפרנציאלית ותנאים נוספים (לדוגמה, תנאי גבול ו/או ראשוני ... ... ויקיפדיה

ערכת חישוב הבדלים סופיים המבוססת על נפחי בקרה- (למשל העברת חום ומסה, מוליכות תרמית) [A.S. Goldberg. מילון אנרגיה רוסי אנגלי. 2006] נושאי אנרגיה באופן כללי EN בקרת נפח מבוסס לוח זמנים סופי של הבדלים … מדריך מתרגם טכני

ערכת: מסמך גרפי; מצגת, תמונה, הצגה של משהו במונחים כלליים ביותר, מפושטת (לדוגמה, ערכת דיווח); מכשיר חשמלי, המכיל רכיבים רבים (מעגל משולב). מסמך גרפי ... ... ויקיפדיה

סכימת הבדלים המבוססת על בעיית וריאציה התואמת לבעיית ערך גבול עבור משוואת דיפרנציאלית. הרעיון המרכזי של בניית R. in. עם. הוא שעם בחירה מיוחדת של פונקציות קואורדינטות בשיטת ריץ ... ... אנציקלופדיה מתמטית

שיטות מספריות לפתרון שיטות לפתרון משוואות גירבולצ'. סוג המבוסס על אלגוריתמים חישוביים. מתמטיים שונים מודלים מובילים במקרים רבים למשוואות דיפרנציאליות היפרבוליות. סוּג. למשוואות כאלה יש אייליטיקה מדויקת. ... ... אנציקלופדיה מתמטית

ענף של מתמטיקה חישובית החוקר שיטות לפתרון משוער משוואות דיפרנציאליותעל ידי החלפתן במשוואות הבדלים סופיות (סכימות הבדלים). ר' ס. לומד שיטות לבניית סכמות הבדלים, ... ... אנציקלופדיה מתמטית

שיטות מספריות לפתרון משוואות דיפרנציאליות חלקיות הן שיטות פתרון משוערות, כתוצאה מכך פתרון הבעיה מיוצג על ידי טבלת מספרים. בדיוק פתרונות (בצורה של נוסחאות מפורשות, סדרות וכו') ניתן לבנות רק במקרים נדירים ... ... אנציקלופדיה מתמטית

שיטות לפתרון בעיות של דינמיקה של גזים על בסיס אלגוריתמים חישוביים. הבה נבחן את ההיבטים העיקריים של התיאוריה של שיטות מספריות לפתרון בעיות של דינמיקת גז, כתיבת משוואות דינמיקת הגז בצורה של חוקי שימור באינרציה ... ... אנציקלופדיה מתמטית ספר אלקטרוני