הנוסחה לנפח של פריזמה מרובעת קטומה. נוסחאות לנפח של פירמידה מלאה וקטומה. נפח הפירמידה של צ'אופס. שטח פנים ונפח של פירמידה קטומה
פִּירָמִידָהנקרא פולידרון, שאחד מהפנים שלו הוא מצולע ( בסיס ), וכל שאר הפנים הם משולשים עם קודקוד משותף ( פני צד ) (איור 15). לפירמידה קוראים נכון , אם הבסיס שלו הוא מצולע רגיל וראש הפירמידה מוקרן למרכז הבסיס (איור 16). נקראת פירמידה משולשת שבה כל הקצוות שווים אַרְבָּעוֹן .
צלע צדפירמידה נקראת הצד של פני הצד שאינו שייך לבסיס גוֹבַה פירמידה היא המרחק מהחלק העליון שלה למישור הבסיס. כל קצוות הצדדיים של פירמידה רגילה שווים זה לזה, כל פני הצדדים הם משולשים שווה שוקיים. גובה פני הצד של פירמידה רגילה הנמשכת מהקודקוד נקרא אפותמה . חתך אלכסוני קטע של פירמידה נקרא מישור העובר דרך שני קצוות צדדיים שאינם שייכים לאותו פנים.
שטח פנים צדדיפירמידה נקראת סכום השטחים של כל פני הצד. שטח פנים מלא הוא סכום השטחים של כל פני הצד והבסיס.
משפטים
1. אם בפירמידה כל קצוות הצד נוטים באותה מידה למישור הבסיס, אז החלק העליון של הפירמידה מוקרן למרכז המעגל המוקף ליד הבסיס.
2. אם בפירמידה לכל הקצוות הצדדיים יש אורכים שווים, אז החלק העליון של הפירמידה מוקרן למרכז המעגל המוקף ליד הבסיס.
3. אם בפירמידה כל הפנים נוטים במידה שווה למישור הבסיס, אזי החלק העליון של הפירמידה מוקרן למרכז המעגל החתום בבסיס.
כדי לחשב את הנפח של פירמידה שרירותית, הנוסחה נכונה:
איפה V- כרך;
S עיקרי- שטח בסיס;
חהוא גובה הפירמידה.
עבור פירמידה רגילה, הנוסחאות הבאות נכונות:
איפה ע- היקף הבסיס;
ח א- אפוטם;
ח- גובה;
S מלא
צד S
S עיקרי- שטח בסיס;
Vהוא נפח של פירמידה רגילה.
פירמידה קטומהנקרא החלק של הפירמידה הכלוא בין הבסיס למישור החיתוך המקביל לבסיס הפירמידה (איור 17). תקן פירמידה קטומה נקרא חלק של פירמידה רגילה, הכלוא בין הבסיס למישור חיתוך המקביל לבסיס הפירמידה.
יסודותפירמידה קטומה - מצולעים דומים. פרצופים מהצד - טרפז. גוֹבַה פירמידה קטומה נקראת המרחק בין הבסיסים שלה. אֲלַכסוֹנִי פירמידה קטומה היא קטע המחבר את קודקודיו שאינם מונחים על אותו פנים. חתך אלכסוני קטע של פירמידה קטומה נקרא מישור העובר דרך שני קצוות צדדיים שאינם שייכים לאותו פנים.
עבור פירמידה קטומה, הנוסחאות תקפות:
(4)
איפה ס 1 , ס 2 - אזורים של הבסיסים העליונים והתחתונים;
S מלאהוא שטח הפנים הכולל;
צד Sהוא שטח הפנים לרוחב;
ח- גובה;
Vהוא נפח הפירמידה הקטומה.
עבור פירמידה קטומה רגילה, הנוסחה הבאה נכונה:
איפה ע 1 , ע 2 - היקפי בסיס;
ח א- המילה של פירמידה קטומה רגילה.
דוגמה 1בפירמידה משולשת רגילה, הזווית הדו-הדרלית בבסיס היא 60º. מצא את הטנגנס של זווית הנטייה של קצה הצד למישור הבסיס.
פִּתָרוֹן.בואו נעשה ציור (איור 18).
 |
הפירמידה רגילה, כלומר הבסיס הוא משולש שווה צלעות וכל פני הצלעות הם משולשים שווה שוקיים. הזווית הדו-הדרלית בבסיס היא זווית הנטייה של פני הצד של הפירמידה למישור הבסיס. הזווית הליניארית תהיה הזווית אבין שני ניצבים: כלומר. החלק העליון של הפירמידה מוקרן במרכז המשולש (מרכז המעגל המוקף והמעגל הכתוב במשולש א ב ג). זווית הנטייה של הצלע הצדדית (לדוגמה SB) היא הזווית בין הקצה עצמו לבין ההקרנה שלו על מישור הבסיס. לצלע SBזווית זו תהיה הזווית SBD. כדי למצוא את המשיק צריך להכיר את הרגליים כךו OB. תן את אורך הקטע BDהוא 3 א. נְקוּדָה Oקטע קו BDמתחלק לחלקים: ומן אנו מוצאים כך: 
מתוך אנו מוצאים: 
תשובה:
דוגמה 2מצא את הנפח של פירמידה מרובעת קטומה רגילה אם האלכסונים של הבסיסים שלה הם ס"מ וס"מ והגובה הוא 4 ס"מ.
פִּתָרוֹן.כדי למצוא את הנפח של פירמידה קטומה, אנו משתמשים בנוסחה (4). כדי למצוא את שטחי הבסיסים, עליך למצוא את צלעות ריבועי הבסיס, לדעת את האלכסונים שלהם. צלעות הבסיסים הן 2 ס"מ ו-8 ס"מ, בהתאמה. זה אומר שטחי הבסיסים והחלפת כל הנתונים בנוסחה, אנו מחשבים את נפח הפירמידה הקטומה:
תשובה: 112 סמ"ק.
דוגמה 3מצא את שטח הפנים לרוחב של פירמידה קטומה משולשת רגילה שצלעות הבסיסים שלה הן 10 ס"מ ו-4 ס"מ, וגובה הפירמידה הוא 2 ס"מ.
פִּתָרוֹן.בואו נעשה ציור (איור 19).
הפן הצדדי של פירמידה זו הוא טרפז שווה שוקיים. כדי לחשב את השטח של טרפז, אתה צריך לדעת את הבסיסים ואת הגובה. הבסיסים ניתנים לפי תנאי, רק הגובה נותר לא ידוע. מצא את זה מאיפה אבל 1 המאונך מנקודה אבל 1 במישור הבסיס התחתון, א 1 ד- מאונך מ אבל 1 על AC. אבל 1 ה\u003d 2 ס"מ, מכיוון שזהו גובה הפירמידה. בשביל למצוא DEנכין ציור נוסף, שבו נצייר מבט מלמעלה (איור 20). נְקוּדָה O- הקרנה של מרכזי הבסיסים העליונים והתחתונים. מאז (ראה איור 20) ומצד שני בסדרהוא רדיוס המעגל הכתוב ו 
OMהוא רדיוס המעגל הכתוב:
MK=DE.
לפי משפט פיתגורס מ
אזור הפנים בצד: 
תשובה:
דוגמה 4בבסיס הפירמידה שוכן טרפז שווה שוקיים, שבסיסיו או ב (א> ב). כל פנים צד יוצר זווית השווה למישור בסיס הפירמידה י. מצא את שטח הפנים הכולל של הפירמידה.
פִּתָרוֹן.בואו נעשה ציור (איור 21). שטח הפנים הכולל של הפירמידה SABCDשווה לסכום השטחים ושטח הטרפז א ב ג ד.
הבה נשתמש במשפט שאם כל פני הפירמידה נוטים באותה מידה למישור הבסיס, אז הקודקוד מוקרן למרכז המעגל החתום בבסיס. נְקוּדָה O- הקרנת קודקוד סבבסיס הפירמידה. משולש טִפֵּשׁהוא ההשלכה האורתוגונלית של המשולש CSDלמישור הבסיס. לפי משפט שטח ההקרנה האורתוגונלית דמות שטוחהאנחנו מקבלים:
באופן דומה, זה אומר 
לפיכך, הבעיה הצטמצמה למציאת אזור הטרפז א ב ג ד. צייר טרפז א ב ג דבנפרד (איור 22). נְקוּדָה Oהוא מרכז מעגל הכתוב בטרפז.
מכיוון שניתן לרשום מעגל בטרפז, אז או לפי משפט פיתגורס יש לנו
פירמידה קטומהנקרא פולידרון שקודקודיו הם קודקודי הבסיס וקודקודי החתך שלו במישור המקביל לבסיס.
תכונות פירמידה קטומות:
- הבסיסים של פירמידה קטומה הם מצולעים דומים.
- פני הצד של פירמידה קטומה הם טרפזים.
- הקצוות הצדדיים של פירמידה קטומה רגילה שווים ונוטים באותה מידה לכיוון בסיס הפירמידה.
- פני הצד של פירמידה קטומה רגילה הם טרפזים שווה שוקיים השווים זה לזה ונוטים באותה מידה לכיוון בסיס הפירמידה.
- הזוויות הדו-הדרליות בקצוות הרוחביים של פירמידה קטומה רגילה שוות.
שטח פנים ונפח של פירמידה קטומה
תנו - גובה הפירמידה הקטומה, ו- היקפי בסיסי הפירמידה הקטומה, ו- שטחי הבסיסים של הפירמידה הקטומה, - שטח פני השטח הצדדיים של הפירמידה הקטומה, - השטח של מלוא פני השטח של הפירמידה הקטומה, - נפח הפירמידה הקטומה. אז מתקיימים היחסים הבאים:
.
אם כל הזוויות הדו-הדרליות בבסיס פירמידה קטומות שוות, והגבהים של כל פני הצד של הפירמידה שווים, אז
HA13118 הינו מגבר מסוג AB המכיל מספר מינימלי של אלמנטים חיצוניים ובעל הספק גבוה במתח אספקה נמוך יחסית, למגבר יש גם הגבר גבוה של 55 dB, מה שמייתר את הצורך בהגברה מוקדמת של האות. רָאשִׁי מפרטים: הספק פלט 18W (מקסימום) לתוך 4 אוהם 10W ...
כל המיקרו-מעגלים המפורטים עשויים בחבילת SIP1 עם 11 פינים והם מגברי בס סטריאו דו-ערוציים ובעלי אותו חיבור של אלמנטים חיצוניים. *TDA2005 תוכנן במיוחד עבור יישומי גשר. פרמטרים: TDA2004A(TDA2004S) מתח אספקה 8...18V זרם שקט 65mA טווח תדרים 40...20000Hz Rn -2 Ohm הספק פלט 10 W ל...
מעגל אספקת החשמל המווסת בשליטה דיגיטלית מורכב מווסת מתח חיובי ב-KM317, מונה עשור CD4017 KPOM, טיימר NE555, ווסת מתח שלילי ב-LM7912. מתח הרשת מופחת על ידי השנאי למתח של +/-12V בזרם של 1A בפיתול המשני, ואז הוא מתוקן. מסנן מתח קבוע קיבולי C1-C5. LED1 מציין …
האיור מציג תרשים של ממסר זמן בן 8 ערוצים, ממסר הזמן משתמש ב-Arduino Nano, שעון זמן אמת DS3231 (מודול), מחוון בן שבע מקטעים ארבע ספרות המבוסס על דרייבר TM1637 (מודול TM1637) וארבעה. כפתורי שליטה. בכל ערוץ ניתן להגדיר את הזמן להפעלה וכיבוי של הממסר, כל ערכי הזמן להפעלה וכיבוי של הממסר מאוחסנים ב...
מנוע אסינכרוני תלת פאזי רגיל יכול ליצור מומנט ללא אמצעים מיוחדים כאשר הוא מופעל מרשת חד פאזי. נניח שהמעגל של אחד החוטים של מנוע פועל המחובר לרשת תלת פאזית פתוח (לדוגמה, עקב נתיך שפוצץ). מכונה שנמצאת במצב חד פאזי עם חיבור סדרתי או מקביל לסדרה של פיתולי הסטטור ...
ומישור חיתוך המקביל לבסיסו.
או במילים אחרות: פירמידה קטומה- זהו פולידרון כזה, שנוצר על ידי פירמידה והחתך שלה מקביל לבסיס.
קטע המקביל לבסיס הפירמידה מחלק את הפירמידה ל-2 חלקים. החלק של הפירמידה בין הבסיס שלה לקטע הוא פירמידה קטומה.
קטע זה לפירמידה קטומה מסתבר כאחד הבסיסים של הפירמידה הזו.
המרחק בין הבסיסים של פירמידה קטומה הוא גובה פירמידה קטומה.
הפירמידה הקטומה תהיה נכוןכאשר גם הפירמידה ממנה היא נגזרה הייתה נכונה.
גובה פני הצד הטרפז של פירמידה קטומה רגילה הוא אפותמהפירמידה קטומה רגילה.
תכונות של פירמידה קטומה.
1. כל פני צד של פירמידה קטומה רגילה הם טרפז שווה שוקיים באותו גודל.
2. הבסיסים של הפירמידה הקטומה הם מצולעים דומים.
3. הקצוות הצדדיים של פירמידה קטומה רגילה הם בגודל שווה ואחד נוטה ביחס לבסיס הפירמידה.
4. פני הצד של פירמידה קטומה הם טרפזים.
5. הזוויות הדו-הדרליות בקצוות הרוחביים של פירמידה קטומה רגילה שוות בגודלן.
6. היחס בין שטחי הבסיסים: S 2 /S 1 \u003d k 2.
נוסחאות לפירמידה קטומה.
עבור פירמידה שרירותית:
נפחה של פירמידה קטומה שווה ל-1/3 ממכפלת הגובה ח (מערכת הפעלה) לפי סכום שטחי הבסיס העליון S1 (אבגדה), הבסיס התחתון של הפירמידה הקטומה S2 (אבגדה) והפרופורציונלי הממוצע ביניהם.
נפח הפירמידה:
איפה S1, S2- שטח בסיס,
חהוא גובה הפירמידה הקטומה.
שטח פנים לרוחב 
שווה לסכום השטחים של הפנים הצדדיות של הפירמידה הקטומה.
עבור פירמידה קטומה רגילה:
תקן פירמידה קטומה- פולידרון, שנוצר על ידי פירמידה רגילה והחתך שלה, המקביל לבסיס.
השטח של פני השטח לרוחב של פירמידה קטומה רגילה הוא ½ מכפלה של סכום היקפי הבסיסים שלה והאפוטם.
איפה S1, S2- שטח בסיס,
φ היא הזווית הדו-הדרלית בבסיס הפירמידה.
CHהוא גובה הפירמידה הקטומה, P1ו P2- היקפי הבסיסים, S1ו S2- שטחי בסיס, צד S- שטח פנים צדדי, S מלא- שטח פנים כולל:
חתך של פירמידה על ידי מישור מקביל לבסיס.
חתך הפירמידה על ידי מישור המקביל לבסיסה (מאונך לגובה) מחלק את הגובה והקצוות של הפירמידה לקטעים פרופורציונליים.
חתך הפירמידה במישור המקביל לבסיסה (מאונך לגובה) הוא מצולע הדומה לבסיס הפירמידה, בעוד שמקדם הדמיון של מצולעים אלו מתאים ליחס המרחקים שלהם מלמעלה של הפירמידה.
שטחי החתכים המקבילים לבסיס הפירמידה קשורים כריבועי המרחקים שלהם מראש הפירמידה.
היכולת לחשב נפח של דמויות מרחביות חשובה בפתרון מספר בעיות מעשיות בגיאומטריה. אחת הצורות הנפוצות ביותר היא הפירמידה. במאמר זה נשקול את הפירמידות, הן מלאות והן קטומות.
פירמידה כדמות תלת מימדית
כולם יודעים על הפירמידות המצריות, אז יש להם מושג טוב באיזו דמות תידון. עם זאת, מבני אבן מצריים הם רק מקרה מיוחד של מעמד ענק של פירמידות.
העצם הגיאומטרי הנדון במקרה הכללי הוא בסיס מצולע, שכל קודקוד שלו מחובר לנקודה כלשהי במרחב שאינה שייכת למישור הבסיס. הגדרה זו מובילה לדמות המורכבת מ-n-גון אחד ו-n משולשים.
כל פירמידה מורכבת מ-n+1 פרצופים, 2*n קצוות ו-n+1 קודקודים. מכיוון שהדמות הנבדקת היא פולידרון מושלם, מספרי היסודות המסומנים מצייתים למשוואת אוילר:
2*n = (n+1) + (n+1) - 2.
המצולע הממוקם בבסיס נותן את שם הפירמידה, למשל, משולש, מחומש וכו'. קבוצה של פירמידות עם בסיסים שונים מוצגת בתמונה למטה.
הנקודה שבה n משולשים של הדמות מחוברים נקראת החלק העליון של הפירמידה. אם מורידים ממנו מאונך לבסיס והוא חוצה אותו במרכז הגיאומטרי, אזי דמות כזו תיקרא קו ישר. אם תנאי זה לא מתקיים, אז יש פירמידה נוטה.
דמות ישרה, שבסיסה נוצר על ידי n-גון שווה צלעות (שווה זווית), נקראת רגילה.
נוסחת נפח הפירמידה
כדי לחשב את נפח הפירמידה, אנו משתמשים בחשבון האינטגרלי. לשם כך, אנו מחלקים את הדמות על ידי מטוסי סתימה מקבילים לבסיס למספר אינסופי של שכבות דקות. האיור שלהלן מציג פירמידה מרובעת עם גובה h ואורך צד L, שבה מסומנת שכבת חתך דקה במרובע.
ניתן לחשב את השטח של כל שכבה כזו על ידי הנוסחה:
A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .
כאן A 0 הוא שטח הבסיס, z הוא הערך של הקואורדינטה האנכית. ניתן לראות שאם z = 0, אז הנוסחה נותנת את הערך A 0 .
כדי לקבל את הנוסחה לנפח הפירמידה, עליך לחשב את האינטגרל על פני כל גובה הדמות, כלומר:
V = ∫ h 0 (A(z)*dz).
בהחלפת התלות A(z) וחישוב האנטי-נגזרת, נגיע לביטוי:
V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.
קיבלנו את הנוסחה לנפח של פירמידה. כדי למצוא את הערך של V, זה מספיק כדי להכפיל את גובה הדמות בשטח הבסיס, ולאחר מכן לחלק את התוצאה בשלוש.
שימו לב שהביטוי המתקבל תקף לחישוב נפח של פירמידה מסוג שרירותי. כלומר, הוא יכול להיות נוטה, והבסיס שלו יכול להיות n-גון שרירותי.
והנפח שלו
ניתן לחדד את הנוסחה הכללית לנפח שהתקבלה בפסקה לעיל במקרה של פירמידה עם בסיס קבוע. השטח של בסיס כזה מחושב על ידי הנוסחה הבאה:
A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).
כאן L הוא אורך הצלע של מצולע רגיל עם n קודקודים. הסמל pi הוא המספר pi.
החלפת הביטוי עבור A 0 בנוסחה הכללית, נקבל את הנפח של פירמידה רגילה:
V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).
לדוגמה, עבור פירמידה משולשת, נוסחה זו מובילה לביטוי הבא:
V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.
עבור פירמידה מרובעת רגילה, נוסחת הנפח לובשת את הצורה:
V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.
קביעת הנפחים של פירמידות רגילות דורשת לדעת את צד הבסיס שלהן ואת גובה הדמות.
פירמידה קטומה
נניח שלקחנו פירמידה שרירותית וחתכנו חלק מהמשטח הרוחבי שלה המכיל את הקודקוד. הדמות הנותרת נקראת פירמידה קטומה. הוא כבר מורכב משני בסיסים n-גונליים ו-n טרפזים המחברים ביניהם. אם מישור החיתוך היה מקביל לבסיס הדמות, נוצרת פירמידה קטומה עם בסיסים דומים מקבילים. כלומר, ניתן לקבל את אורכי הצלעות של אחת מהן על ידי הכפלת אורכיה של השנייה במקדם k כלשהו.
באיור למעלה נראה רגיל קטום ניתן לראות שהבסיס העליון שלו, כמו התחתון, נוצר על ידי משושה רגיל.
הנוסחה שניתן לגזור באמצעות חשבון אינטגרלי הדומה לאמור לעיל היא:
V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).
כאשר A 0 ו-A 1 הם השטחים של הבסיס התחתון (הגדול) והעליון (הקטן), בהתאמה. המשתנה h מציין את גובה הפירמידה הקטומה.
נפח הפירמידה של צ'אופס
מעניין לפתור את בעיית קביעת הנפח שמכילה הפירמידה המצרית הגדולה ביותר.
בשנת 1984, האגיפטולוגים הבריטים מארק להנר וג'ון גודמן קבעו את הממדים המדויקים של פירמידת צ'אופס. גובהו המקורי היה 146.50 מטר (כיום כ-137 מטר). האורך הממוצע של כל אחת מארבע צלעות המבנה היה 230.363 מטר. בסיס הפירמידה מרובע עם דיוק גבוה.
בואו נשתמש בדמויות הנתונות כדי לקבוע את נפח ענק האבן הזה. מכיוון שהפירמידה היא מרובע רגיל, אז הנוסחה תקפה עבורה:
אם נחבר את המספרים, נקבל:
V 4 \u003d 1/3 * (230.363) 2 * 146.5 ≈ 2591444 מ' 3.
נפח הפירמידה של צ'אופס הוא כמעט 2.6 מיליון מ"ר. לשם השוואה, נציין שלבריכה האולימפית נפח של 2.5 אלף מ"ר. כלומר, כדי למלא את כל פירמידת צ'אופס, יהיה צורך ביותר מ-1000 בריכות כאלה!