Neka je funkcija definirana u domeni

Definicija. Izraz

nazvao funkcionalni blizu.

Primjer.

Za neke vrijednosti, niz može konvergirati, za druge vrijednosti može divergirati.

Primjer.

Pronađite područje konvergencije niza. Ovaj niz je definiran za vrijednosti

Ako je tada , niz divergira, budući da nužni kriterij za konvergenciju niza nije zadovoljen; ako se serija razilazi; ako je beskonačno padajuća geometrijska progresija.

Usporedba ovog niza s konvergentnim nizom pri daje područje konvergencije proučavanog niza.

S vrijednostima iz funkcionalnog niza dobiva se numerički niz

Ako za niz brojeva konvergira, tada se točka naziva točka konvergencije funkcionalni red.

Skup svih točaka konvergencije niza čini područje njegove konvergencije. Područje konvergencije obično je neki interval osi.

Ako u svakoj točki niz brojeva konvergira, tada se naziva funkcionalni niz konvergentan u području .

Zbroj funkcionalnog niza neka je funkcija varijable definirane u području konvergencije niza

Koja svojstva imaju funkcije ako su svojstva poznata kao član niza, tj.

Kontinuitet funkcija nije dovoljan za zaključak o kontinuitetu.

Konvergencija niza kontinuiranih funkcija kontinuiranoj funkciji osigurava se dodatnim uvjetom koji izražava jednu važnu značajku konvergencije funkcionalnog niza.

Definicija. Funkcionalni niz se naziva konvergentnim u domeni ako postoji limit parcijalnih suma tog niza, tj.

Definicija. Funkcionalni niz se naziva uniformno konvergentnim u regiji ako za bilo koji pozitivan , postoji takav broj da nejednakost vrijedi za sve.

Geometrijsko značenje uniformne konvergencije

Ako graf funkcije okružimo trakom, definiranom relacijom tada grafovi svi značajke počevši s dovoljno od velike važnosti , u cijelosti leže u ovoj "- traci" koja okružuje graf granične funkcije.

Svojstva uniformno konvergentnog niza .

1. Zbroj uniformno konvergentnog niza u nekom području, sastavljen od kontinuiranih funkcija, je kontinuirana funkcija u tom području.

2. Takav niz može se razlikovati po pojmovima

3. Niz se može integrirati termin po termin

Kako bismo odredili je li funkcionalni niz uniformno konvergentan, moramo koristiti Weierstrassov test dovoljne konvergencije.

Definicija. Funkcionalni niz se naziva dominirao u nekom području promjene ako postoji takav konvergentni numerički niz s pozitivnim članovima da nejednakosti vrijede za cijelo ovo područje.

Weierstrassov znak(jednolika konvergencija funkcionalnog niza).

Funkcionalni raspon jednolično konvergira u domeni konvergencije ako je u ovoj domeni dominantna.

Drugim riječima, ako funkcije u nekom području ne prelaze odgovarajuće pozitivne brojeve u apsolutnoj vrijednosti i ako niz brojeva konvergira, tada funkcionalni niz konvergira uniformno u tom području.

Primjer. Dokažite uniformnu konvergenciju funkcionalnog niza.

Riješenje. . Zamijenimo zajednički član ovog niza zajedničkim članom numeričkog niza, ali premašujući svaki član niza u apsolutnoj vrijednosti. Da biste to učinili, potrebno je odrediti na kojem će zajedničkom terminu niza biti maksimalno.

Rezultirajući numerički niz konvergira, što znači da funkcionalni niz konvergira uniformno prema Weierstrassovom kriteriju.

Primjer. Nađi zbroj niza.

Da bismo pronašli zbroj niza, koristimo se dobro poznatom formulom za zbroj geometrijske progresije

Razlikujući lijevi i desni dio formule (1), dobivamo sukcesivno

U zbroju koji treba izračunati izdvajamo članove proporcionalne prvoj i drugoj derivaciji:

Izračunajmo derivacije:

Redovi potencija.

Među funkcionalnim redovima postoji klasa potencijskih i trigonometrijskih redova.

Definicija. Funkcionalni niz oblika

zove se moć u moćima. Izrazi su konstantni brojevi.

Ako je serija potencijska serija u potencijama .

Područje konvergencije potencijskog niza. Abelov teorem.

Teorema. Ako niz potencija konvergira u točki, onda on konvergira i, štoviše, apsolutno za svaku vrijednost koja je manja u apsolutnoj vrijednosti, odnosno ili u intervalu.

Dokaz.

Zbog konvergencije rada, njegov zajednički član mora težiti nuli, tako da su svi članovi ovog niza uniformno ograničeni: postoji konstantan pozitivan broj , takav da za bilo koji nejednakost vrijedi ., što za sve sa središtem u točka

Područje konvergencije Funkcionalni raspon naziva se niz čiji su članovi funkcije / definirane na nekom skupu E realne osi. Na primjer, članovi niza definirani su na intervalu, a članovi niza definirani su na segmentu. Kaže se da funkcionalni niz (1) konvergira u točki Xo € E ako konvergira u svakoj točki x skup D ⊂ E i divergira u svakoj točki koja ne pripada skupu D, tada se za niz kaže da konvergira na skupu D, a D se naziva područjem konvergencije niza. Niz (1) nazivamo apsolutno konvergentnim na skupu D ako niz konvergira na tom skupu.U slučaju konvergencije niza (1) na skupu D, njegov zbroj S bit će funkcija definirana na D. Područje konvergencija nekih funkcionalnih nizova može se naći pomoću poznatih dovoljnih kriterija, uspostavljenih za nizove s pozitivnim članovima, na primjer, Dapamberov znak, Cauchyjev znak. Primjer 1. Odredite područje konvergencije niza M Budući da numerički niz konvergira za p > 1 i divergira za p > 1, tada, uz pretpostavku p - Igx, dobivamo ovaj niz. koji će konvergirati za Igx > T, tj. ako je x > 10, a divergiraju kada je Igx ^ 1, tj. na 0< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х >0 niz divergira, jer je L =. Divergencija niza pri x = 0 je očita. Primjer 3. Odredite područje konvergencije niza Članovi ovog niza definirani su i kontinuirani na skupu. Primjenjujući znak Kosh i, nalazimo za bilo koji. Stoga, niz divergira za sve vrijednosti x. Označimo sa Sn(x) n-ti parcijalni zbroj funkcionalnog niza (1). Ako ovaj niz konvergira na skupu D i njegov zbroj je jednak 5(g), tada se može prikazati kao gdje je zbroj niza koji konvergira na skupu D koji se naziva n-ti ostatak funkcionalni niz (1). Za sve vrijednosti x € D vrijedi relacija i stoga. tj. ostatak Rn(x) konvergentnog niza teži nuli kao n oo, bez obzira na x 6 D. Uniformna konvergencija Među svim konvergentnim nizovima funkcija, takozvani uniformno konvergentni nizovi igraju važnu ulogu. Neka je dan funkcionalni niz koji konvergira na skupu D, čiji je zbroj jednak S(x). Uzmi njegov n-ti djelomični zbroj Definicija. Funkcionalni niz FUNKCIONALNI NIZ Područje konvergencije Uniformna konvergencija Weierstrassov kriterij Za svojstvo uniformno konvergentnih funkcionalnih nizova kaže se da su uniformno konvergentni na skupu PS1) ako za bilo koji broj ε > 0 postoji broj λ > 0 takav da vrijedi nejednakost x iz skupa fI. Komentar. Ovdje je broj N isti za sve x ∈ 10, tj. ne ovisi o z, ali ovisi o izboru broja e, pa pišemo N = N(e). Uniformna konvergencija funkcionalnog niza £ /n(®) funkciji S(x) na skupu ft često se označava na sljedeći način: Definicija uniformne konvergencije niza /n(x) na skupu ft može se napisano kraće pomoću logičkih simbola: funkcionalni red. Uzmimo segment [a, 6] kao skup ft i iscrtajmo grafove funkcija. Nejednakost |, koja vrijedi za brojeve n > N i za sve a; G [a, b] i y = 5(g) + e (slika 1). Primjer 1 ravnomjerno konvergira na segmentu Ovaj niz je izmjeničan, zadovoljava uvjete Leibnizova testa za bilo koji x € [-1,1] i, prema tome, konvergira na segmentu (-1,1]. Neka je S(x) njegov zbroj, a Sn (x) - njegov n-ti djelomični iznos. Ostatak niza ne premašuje apsolutnom vrijednošću apsolutnu vrijednost svog prvog člana: a budući da Uzmimo bilo koji e. Tada vrijedi nejednadžba | izvršit će se ako. Odavde nalazimo da je n > \. Ako uzmemo broj (ovdje [a] označava najveći cijeli broj koji ne prelazi a), tada vrijedi nejednakost | e će vrijediti za sve brojeve n > N i za sve x € [-1,1). To znači da ovaj niz uniformno konvergira na segmentu [-1,1). I. Nije svaki funkcionalni niz koji konvergira na skupu D uniformno konvergentan na primjeru 2. Pokažimo da red konvergira na intervalu, ali ne uniformno. 4 Izračunajmo n-ti djelomični zbroj £n(*) niza. Imamo Odakle Ovaj niz konvergira na segment i njegov zbroj ako je Apsolutna vrijednost razlike S (x) - 5„ (x) (ostatak niza) jednaka. Uzmimo broj e takav da. Riješimo nejednadžbu s obzirom na n. Imamo, odakle (jer, i kod dijeljenja s Inx, znak nejednakosti je obrnut). Nejednakost će vrijediti za . Dakle, takav broj N(e) koji ne ovisi o x, tako da nejednakost vrijedi za svaki) odmah za sve x iz segmenta. , ne postoji. Ako se, međutim, segment 0 zamijeni manjim segmentom, gdje će na potonjem ovaj niz uniformno konvergirati funkciji S0. Doista, za, i stoga za sve x odjednom §3. Weierstrassov kriterij Dovoljan kriterij za uniformnu konvergenciju funkcionalnog niza dan je Weierstrassovim teoremom. Teorem 1 (Weierstrassov test). Neka za sve x iz skupa Q članovi funkcionalnog niza u apsolutnoj vrijednosti ne prelaze odgovarajuće članove konvergentnog numeričkog niza P=1 s pozitivnim članovima, tj. za sve x ∈ Q. Tada funkcionalni niz ( 1) na skupu P konvergira apsolutno i uniformno . A Tek, budući da, prema uvjetu teorema, članovi niza (1) zadovoljavaju uvjet (3) na cijelom skupu Q, tada, prema kriteriju usporedbe, niz 2 \fn(x)\ konvergira za bilo koji x ∈ H i, prema tome, niz (1) apsolutno konvergira na P. Dokažimo uniformnu konvergenciju niza (1). Označimo sa Sn(x) i an parcijalne zbrojeve nizova (1) odnosno (2). Imamo. Uzmimo bilo koji (proizvoljno mali) broj e > 0. Tada konvergencija numeričkog niza (2) implicira postojanje broja N = N(e) tako da, prema tome, -e za sve brojeve n > N(e ) i za sve x6n , tj. niz (1) konvergira uniformno na skupu P. Napomena. Niz brojeva (2) često se naziva majorizirajući ili majorantni za funkcionalni niz (1). Primjer 1. Istražite red na uniformnu konvergenciju. Nejednakost vrijedi za sve. i za svakoga. Niz brojeva konvergira. Na temelju Weierstrassovog testa, razmatrani funkcionalni niz konvergira apsolutno i ravnomjerno na cijeloj osi. Primjer 2. Ispitajte niz za ravnomjernu konvergenciju Članovi niza definirani su i kontinuirani na segmentu [-2,2|. Budući da na segmentu [-2,2) za bilo koji prirodni n, onda Dakle, nejednakost vrijedi za. Budući da niz brojeva konvergira, tada, prema Weierstrassovom testu, izvorni funkcionalni niz konvergira apsolutno i uniformno na segmentu. Komentar. Funkcionalni niz (1) može uniformno konvergirati na skupu Piv u slučaju kada ne postoji numerički majorantni niz (2), tj. Weierstrassov kriterij je samo dovoljan kriterij za uniformnu konvergenciju, ali nije nužan. Primjer. Kao što je prikazano gore (primjer), serija konvergira uniformno na segmentu 1-1,1]. Međutim, za njega ne postoji majorantni konvergentni niz brojeva (2). Doista, za sve prirodne brojeve n i za sve x ∈ [-1,1) nejednakost vrijedi, a jednakost se postiže na. Stoga, članovi željenog majorantnog niza (2) moraju nužno zadovoljiti uvjet, ali numerički niz FUNKCIONALNI NIZ Područje konvergencije Uniformna konvergencija Weierstrassov test Svojstva uniformno konvergentnih funkcionalnih nizova se razlikuju. To znači da će niz £ op također divergirati. Svojstva uniformno konvergentnih nizova funkcija Jednoliko konvergentni nizovi funkcija imaju niz važnih svojstava. Teorem 2. Ako se svi članovi niza koji uniformno konvergiraju na segmentu [a, b] pomnože s istom funkcijom q(x) ograničenom na [a, 6], tada će rezultirajući funkcionalni niz uniformno konvergirati na. Neka niz £ fn(x) uniformno konvergira funkciji S(x) na intervalu [a, b\] i neka je funkcija g(x) ograničena, tj. postoji konstanta C > 0 takva da je prema definicija uniformne konvergencije niza za bilo koji broj e > 0 postoji broj N takav da će za sve n > N i za sve x ∈ [a, b] vrijediti nejednakost gdje je 5n(ar) djelomični zbroj serije koja se razmatra. Stoga ćemo imati za bilo koga. red konvergira uniformno na [a, b| na funkciju Teorem 3. Neka su svi članovi fn(x) funkcionalnog niza kontinuirani i niz uniformno konvergira na segmentu [a, b\. Tada je zbroj S(x) niza neprekidan na tom intervalu. M Uzmimo na intervalu [o, b] dvije proizvoljne točke zr + Ax. Budući da ovaj niz uniformno konvergira na segmentu [a, b], tada za bilo koji broj e > 0 postoji broj N = N(e) takav da će za sve n > N vrijediti nejednakosti gdje su 5n(x) djelomični zbrojevi niz fn (x). Ovi parcijalni zbrojevi Sn(x) su kontinuirani na intervalu [a, 6] kao zbroj konačnog broja funkcija fn(x) koje su kontinuirane na [a, 6). Prema tome, za fiksni broj no > N(e) i zadani broj e, postoji broj 6 = 6(e) > 0 takav da nejednadžba Ax koja zadovoljava uvjet | oblik: odakle. Uzimajući u obzir nejednadžbe (1) i (2), za inkremente Ax koji zadovoljavaju uvjet |, dobivamo To znači da je zbroj Six) neprekidan u točki x. Kako je x proizvoljna točka segmenta [a, 6], slijedi da je 5(x) kontinuirano na |a, 6|. Komentar. Funkcionalni niz čiji su članovi kontinuirani na intervalu [a, 6), ali koji neuniformno konvergira na (a, 6], može imati diskontinuiranu funkciju kao zbroj. Primjer 1. Razmotrimo funkcionalni niz na intervalu |0,1 ). Izračunajmo njegov n-ti djelomični zbroj, dakle, on je diskontinuiran na segmentu , iako su članovi niza na njemu kontinuirani. Na temelju dokazanog teorema, ovaj niz nije uniformno konvergentan na intervalu . Primjer 2. Razmotrimo niz Kao što je prikazano gore, ovaj niz konvergira u, niz će konvergirati uniformno prema Weierstrassovom kriteriju, budući da 1 i numerički niz konvergiraju. Prema tome, za svaki x > 1, zbroj ovog niza je neprekidan. Komentar. Funkcija se naziva Riemannova funkcija on (ova funkcija ima veliku ulogu u teoriji brojeva). Teorem 4 (o članskoj integraciji funkcionalnog niza). Neka su svi članovi niza fn(x) kontinuirani i neka red konvergira uniformno na segmentu [a, b] na funkciju S(x). Tada vrijedi sljedeća jednakost: Zbog neprekidnosti funkcija fn(x) i uniformne konvergencije zadanog niza na intervalu [a, 6], njegov zbroj 5(x) je kontinuiran i stoga integrabilan na . Razmotrimo razliku. Iz uniformne konvergencije niza na [o, b] slijedi da za bilo koji e > 0 postoji broj N(e) > 0 takav da za sve brojeve n > N(e) i za sve x € [a, 6] nejednakost će vrijediti. Ako niz fn(0 nije uniformno konvergentan, tada se, općenito govoreći, ne može integrirati član po član, tj. Teorem 5 (o članu po članu diferencijacije funkcionalnog niza) Neka svi članovi konvergentnog niza 00 imaju kontinuirane derivacije i niz sastavljen od tih derivacija, konvergira uniformno na intervalu [a, b]. Tada je u bilo kojoj točki jednakost istinita, tj. dani niz može biti diferencirani član po član. M Uzmimo bilo koje dvije točke. Tada, temeljem teorema 4, imamo. Funkcija o-(x) je kontinuirana kao zbroj uniformno konvergentnog niza kontinuiranih funkcija. Stoga, diferenciranjem jednakosti imamo dobiti

funkcionalni redovi. Redovi potencija.
Raspon konvergencije niza

Smijeh bez razloga znak je d'Alemberta

Dakle, kucnuo je čas funkcionalnih redova. Da biste uspješno svladali temu, a posebno ovu lekciju, morate dobro poznavati uobičajene nizove brojeva. Trebali biste dobro razumjeti što je niz, moći primijeniti znakove usporedbe da proučavate niz radi konvergencije. Dakle, ako ste tek počeli proučavati temu ili ste čajnik u višoj matematici, potrebno obradite tri lekcije u nizu: Redovi za čajnike,Znak d'Alemberta. Cauchyjevi znakovi I Naizmjenični redovi. Leibnizov znak. Definitivno sva tri! Ako imate osnovna znanja i vještine rješavanja zadataka s brojevnim nizovima, tada će vam biti prilično lako baratati funkcionalnim nizovima, budući da nema previše novog gradiva.

U ovoj lekciji razmotrit ćemo pojam funkcionalnog niza (što je to uopće), upoznati se s redovima potencija koji se nalaze u 90% praktičnih zadataka i naučiti kako riješiti uobičajeni tipični problem pronalaženja konvergencije polumjer, interval konvergencije i područje konvergencije potencijskog niza. Nadalje, preporučujem da razmotrite materijal proširenje funkcija u potencijske redove, a početniku će biti osigurana i ambulanta. Nakon malog odmora, prelazimo na sljedeću razinu:

Također u odjeljku funkcionalnih serija postoje njihovi brojni aplikacije za približne izračune, i Fourierovi nizovi, kojima se u obrazovnoj literaturi u pravilu dodjeljuje zasebno poglavlje, malo se razlikuju. Imam samo jedan članak, ali je dug i ima mnogo, mnogo dodatnih primjera!

Dakle, orijentiri su postavljeni, idemo:

Pojam funkcionalnih redova i redova potencija

Ako se u limitu dobije beskonačnost, tada i algoritam rješenja završava svoj posao, a mi dajemo konačan odgovor na zadatak: “Niz konvergira u” (ili u jednom”). Vidi slučaj #3 prethodnog paragrafa.

Ako se u limitu ispostavi da nije nula i da nije beskonačno, tada imamo najčešći slučaj u praksi br. 1 - niz konvergira na određenom intervalu.

U ovom slučaju, granica je. Kako pronaći interval konvergencije niza? Pravimo nejednakost:

U BILO KOJI zadatak ove vrste na lijevoj strani nejednakosti treba biti granični rezultat izračuna, a na desnoj strani nejednakosti strogo jedinica. Neću objašnjavati zašto baš ta nejednakost i zašto postoji jedna na desnoj strani. Odjeća za nastavu praktična usmjerenost, i već je jako dobro da se nastavno osoblje nije objesilo na moje priče, neki su teoremi postali jasniji.

Tehnika rada s modulom i rješavanje dvostrukih nejednadžbi detaljno je razmotrena u prvoj godini u članku Opseg funkcije, ali radi praktičnosti, pokušat ću komentirati sve radnje što je moguće detaljnije. Nejednakost otkrivamo s modulom školsko pravilo . U ovom slučaju:

Na pola puta iza.

U drugoj fazi potrebno je istražiti konvergenciju niza na krajevima pronađenog intervala.

Prvo, uzmemo lijevi kraj intervala i zamijenimo ga u naš niz potencija:

Na

Numerički niz je primljen i trebamo ga ispitati na konvergenciju (zadatak već poznat iz prethodnih lekcija).

1) Serija je predznakovizmjenična.
2) – članovi niza opadaju modulo. Štoviše, svaki sljedeći član niza manji je od prethodnog po modulu: , pa je smanjenje monotono.
Zaključak: niz konvergira.

Uz pomoć serije sastavljene od modula saznat ćemo točno kako:
– konvergira (“referentni” niz iz obitelji generaliziranih harmonijskih nizova).

Dakle, rezultirajući niz brojeva apsolutno konvergira.

na - konvergira.

! podsjećam da je svaki konvergentan pozitivan niz također apsolutno konvergentan.

Dakle, red potencija konvergira, i to apsolutno, na oba kraja pronađenog intervala.

Odgovor: područje konvergencije proučavanog niza snaga:

Ima pravo na život i drugi dizajn odgovora: Serija konvergira ako

Ponekad je u uvjetu problema potrebno navesti radijus konvergencije. Očito je da u razmatranom primjeru .

Primjer 2

Odredite područje konvergencije potencijskog reda

Riješenje: nalazimo interval konvergencije niza pomoću znak d'Alemberta (ali ne prema atributu! - za funkcionalne serije takav atribut ne postoji):

Serija konvergira na

Lijevo moramo otići samo, pa obje strane nejednakosti množimo s 3:

– Serija je znakovno-izmjenična.
– – članovi niza opadaju modulo. Svaki sljedeći član niza manji je od prethodnog u apsolutnoj vrijednosti: , pa je smanjenje monotono.

Zaključak: niz konvergira.

Ispitujemo prirodu konvergencije:

Usporedite ovaj niz s divergentnim nizom.
Koristimo granični znak usporedbe:

Dobije se konačan broj različit od nule, što znači da niz divergira zajedno s nizom.

Dakle, niz uvjetno konvergira.

2) Kada – divergira (kako je dokazano).

Odgovor: Područje konvergencije proučavanog niza snaga: . Za , niz konvergira uvjetno.

U razmatranom primjeru područje konvergencije reda potencija je poluinterval, au svim točkama intervala red potencija apsolutno konvergira, a na točki , kako se pokazalo, uvjetno.

Primjer 3

Odredite interval konvergencije reda potencija i istražite njegovu konvergenciju na krajevima pronađenog intervala

Ovo je primjer "uradi sam".

Razmotrite nekoliko primjera koji su rijetki, ali se događaju.

Primjer 4

Pronađite područje konvergencije niza:

Riješenje: koristeći d'Alembertov test, nalazimo interval konvergencije ovog niza:

(1) Sastavite omjer sljedećeg člana niza prema prethodnom.

(2) Riješite se četverokatnice.

(3) Kocke i, prema pravilu operacija s potencijama, zbrajaju se pod jedan stupanj. U brojniku lukavo rastavljamo stupanj, t.j. proširiti na način da u sljedećem koraku razlomak smanjimo za . Faktorijeli su detaljno opisani.

(4) Pod kockom dijelimo brojnik s nazivnikom član po član, što znači da . U razlomku reduciramo sve što se reducirati može. Množitelj je izvučen iz graničnog predznaka, može se izvaditi, budući da u njemu nema ničega što ovisi o "dinamičkoj" varijabli "en". Imajte na umu da znak modula nije nacrtan - iz razloga što uzima nenegativne vrijednosti za bilo koji "x".

U limitu se dobiva nula, što znači da možemo dati konačan odgovor:

Odgovor: Serija konvergira na

I isprva se činilo da će se ovaj spor sa “strašnim nadjevom” teško riješiti. Nula ili beskonačnost u limitu je gotovo dar, jer je rješenje osjetno smanjeno!

Primjer 5

Pronađite područje konvergencije niza

Ovo je primjer "uradi sam". Budite oprezni ;-) Potpuno rješenje je odgovor na kraju lekcije.

Razmotrimo još nekoliko primjera koji sadrže element novine u smislu korištenja tehnika.

Primjer 6

Odredite interval konvergencije niza i istražite njegovu konvergenciju na krajevima pronađenog intervala

Riješenje: Uobičajeni član reda potencija uključuje faktor , koji osigurava alternaciju. Algoritam rješenja je u potpunosti sačuvan, ali pri sastavljanju limita zanemarujemo (ne pišemo) ovaj faktor, budući da modul uništava sve "minuse".

Interval konvergencije niza nalazimo koristeći d'Alembertov test:

Sastavljamo standardnu ​​nejednadžbu:
Serija konvergira na
Lijevo moramo otići samo modul, pa obje strane nejednakosti množimo s 5:

Sada proširujemo modul na poznati način:

U sredini dvostruke nejednakosti treba ostaviti samo "x", u tu svrhu oduzmite 2 od svakog dijela nejednakosti:

je interval konvergencije proučavanog reda potencija.

Istražujemo konvergenciju niza na krajevima pronađenog intervala:

1) Zamijenite vrijednost u našem nizu potencija :

Budite izuzetno oprezni, množitelj ne daje izmjenu, za bilo koji prirodni "en". Rezultirajući minus uzimamo izvan niza i zaboravljamo na njega, budući da on (kao ni svaki stalni množitelj) ni na koji način ne utječe na konvergenciju ili divergenciju numeričkog niza.

Ponovno primijetite da smo tijekom zamjene vrijednosti u zajednički član niza potencija smanjili faktor . Ako se to ne dogodi, onda bi to značilo da smo ili pogrešno izračunali limit ili da smo pogrešno proširili modul.

Dakle, potrebno je istražiti konvergenciju numeričkog niza. Ovdje je najlakše koristiti granični kriterij usporedbe i usporediti ovaj niz s divergentnim harmoničkim nizom. Ali, da budem iskren, bio sam užasno umoran od krajnjeg znaka usporedbe, pa ću dodati malo raznolikosti u rješenje.

Dakle, serija konvergira kada

Pomnožite obje strane nejednakosti s 9:

Izvlačimo korijen iz oba dijela, prisjećajući se starog vica:


Proširenje modula:

i dodajte jedan svim dijelovima:

je interval konvergencije proučavanog reda potencija.

Istražujemo konvergenciju reda potencija na krajevima pronađenog intervala:

1) Ako je , tada se dobiva sljedeći niz brojeva:

Množitelj je nestao bez traga, jer za bilo koju prirodnu vrijednost "en" .

Funkcionalni raspon naziva se formalno pisani izraz

u1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + ... + u n ( x) + ... , (1)

Gdje u1 (x), u 2 (x), u 3 (x), ..., u n ( x), ... - niz funkcija iz nezavisne varijable x.

Skraćeni zapis funkcionalnog niza sa sigmom:.

Primjeri funkcionalnih serija su :

(2)

(3)

Davanje nezavisne varijable x neku vrijednost x0 a supstituirajući ga u funkcijski niz (1), dobivamo numerički niz

u1 (x 0 ) + u 2 (x 0 ) + u 3 (x 0 ) + ... + u n ( x 0 ) + ...

Ako dobiveni numerički niz konvergira, tada se kaže da funkcionalni niz (1) konvergira za x = x0 ; ako divergira, za što se kaže da serija (1) divergira na x = x0 .

Primjer 1. Istražite konvergenciju funkcionalnog niza(2) za vrijednosti x= 1 i x = - 1 .
Riješenje. Na x= 1 dobivamo niz brojeva

koji konvergira prema Leibnizovom testu. Na x= - 1 dobivamo niz brojeva

,

koji divergira kao produkt divergentnog harmonijskog niza za – 1. Dakle, niz (2) konvergira na x= 1 i divergira na x = - 1 .

Ako se takav test konvergencije funkcionalnog niza (1) provede u odnosu na sve vrijednosti nezavisne varijable iz domene definiranja njezinih članova, tada će se točke ove domene podijeliti u dva skupa: s vrijednostima x uzet u jednom od njih niz (1) konvergira, a u drugom divergira.

Skup vrijednosti nezavisne varijable za koji funkcionalni niz konvergira naziva se njegov regija konvergencije .

Primjer 2. Pronađite područje konvergencije funkcionalnog niza

Riješenje. Članovi niza definirani su na cijelom brojevnom pravcu i tvore geometrijsku progresiju s nazivnikom q= grijeh x. Dakle, niz konvergira ako

a divergira ako

(vrijednosti nisu moguće). Ali za vrijednosti i za druge vrijednosti x. Stoga niz konvergira za sve vrijednosti x, osim . Područje njegove konvergencije je cijeli brojevni pravac, s izuzetkom ovih točaka.

Primjer 3. Odredite područje konvergencije funkcionalnog niza

Riješenje. Članovi niza čine geometrijsku progresiju s nazivnikom q=ln x. Stoga niz konvergira ako , ili , odakle . Ovo je područje konvergencije ove serije.

Primjer 4. Istražite konvergenciju funkcionalnog niza

Riješenje. Uzmimo proizvoljnu vrijednost. S ovom vrijednošću dobivamo niz brojeva

(*)

Pronađite granicu njegovog zajedničkog člana

Posljedično, niz (*) divergira za proizvoljno odabranu, tj. za bilo koju vrijednost x. Domena njegove konvergencije je prazan skup.

Uniformna konvergencija funkcionalnog niza i njezina svojstva

Prijeđimo na koncept uniformna konvergencija funkcionalnog niza . Neka s(x) je zbroj ovog niza, i sn ( x) - zbroj n prvi članovi ove serije. Funkcionalni raspon u1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + ... + u n ( x) + ... naziva se uniformno konvergentnim na intervalu [ a, b] , ako je za bilo koji proizvoljno mali broj ε > 0 postoji takav broj N, to za sve n ≥ N nejednakost će biti zadovoljena

|s(x) − s n ( x)| < ε

za bilo koga x iz segmenta [ a, b] .

Gore navedeno svojstvo može se geometrijski ilustrirati na sljedeći način.

Razmotrite graf funkcije g = s(x) . Konstruiramo traku širine 2 oko ove krivulje. ε n, odnosno konstruiramo krivulje g = s(x) + ε n I g = s(x) − ε n(zeleni su na slici ispod).

Zatim za bilo koji ε n graf funkcije sn ( x) će u potpunosti ležati u bendu koji se razmatra. Isti pojas će sadržavati grafove svih sljedećih parcijalnih zbrojeva.

Svaki konvergentni funkcionalni niz koji nema gore opisanu značajku je neuniformno konvergentan.

Razmotrimo još jedno svojstvo uniformno konvergentnih funkcionalnih nizova:

zbroj niza kontinuiranih funkcija koji ravnomjerno konvergira na nekom intervalu [ a, b] , postoji funkcija koja je kontinuirana na ovom segmentu.

Primjer 5 Odredite je li zbroj funkcionalnog niza kontinuiran

Riješenje. Nađimo zbroj n prvi članovi ove serije:

Ako x> 0, dakle

,

Ako x < 0 , то

Ako x= 0, tada

I stoga .

Naša je studija pokazala da je zbroj ovog niza diskontinuirana funkcija. Njegov graf prikazan je na donjoj slici.

Weierstrassov test uniformne konvergencije funkcionalnih nizova

Približimo se Weierstrassovom kriteriju kroz koncept većina funkcionalnih serija . Funkcionalni raspon

u1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + ... + u n ( x) + ...

4.1. Funkcijski nizovi: osnovni pojmovi, područje konvergencije

Definicija 1. Niz čiji su članovi funkcije jednog ili
nekoliko nezavisnih varijabli definiranih na nekom skupu naziva se funkcionalni raspon.

Promotrimo funkcionalni niz čiji su članovi funkcije jedne nezavisne varijable x. Zbroj prvog nČlanovi niza je djelomični zbroj zadanog funkcionalnog niza. Zajednički član postoji funkcija iz x definirana u nekom području. Razmotrimo funkcionalni niz u točki . Ako odgovarajuća brojčana serija konvergira, tj. postoji ograničenje parcijalnih suma ove serije
(Gdje − zbroj niza brojeva), tada se točka zove točka konvergencije funkcionalni raspon . Ako brojevni pravac divergira, tada se točka zove divergentna točka funkcionalni red.

Definicija 2. Područje konvergencije funkcionalni raspon naziva se skup svih takvih vrijednosti x, za koje funkcionalni niz konvergira. Označeno je područje konvergencije koje se sastoji od svih točaka konvergencije . Imajte na umu da R.

Funkcionalni niz konvergira u regiji , ako postoji konvergira kao niz brojeva, dok će njegov zbroj biti neka funkcija . Ovaj tzv granična funkcija sekvence : .

Kako pronaći područje konvergencije funkcionalnog niza ? Možete koristiti znak sličan d'Alembertovom znaku. Za broj sastaviti i razmotrite ograničenje na fiksnom x:
. Zatim je rješenje nejednadžbe i rješavanje jednadžbe (uzimamo samo ona rješenja jednadžbe, u
kojima konvergiraju odgovarajući numerički nizovi).

Primjer 1. Nađite područje konvergencije niza.

Riješenje. Označiti , . Sastavi i izračunaj granicu
, tada je područje konvergencije niza određeno nejednakošću i jednadžba . Istražimo dodatno konvergenciju izvornog niza u točkama koje su korijeni jednadžbe:

i ako , , tada dobivamo divergentni niz ;

b) ako , , zatim red konvergira uvjetno (po

Leibnizov test, primjer 1, predavanje 3, sec. 3.1).

Dakle, područje konvergencije redak izgleda ovako: .

4.2. Redovi potencija: osnovni pojmovi, Abelov teorem

Razmotrimo poseban slučaj funkcionalne serije, tzv potencijski nizovi , Gdje
.

Definicija 3. vlast sljedeći naziva se funkcionalni niz oblika ,

Gdje − stalni brojevi, tzv koeficijenti serije.

Niz potencija je "beskonačni polinom" raspoređen u rastuće potencije . Bilo koji brojevni pravac je
poseban slučaj potencije za .

Razmotrimo poseban slučaj niza potencija za :
. Saznajte kakvu
područje konvergencije zadanog niza .

Teorem 1 (Abelov teorem). 1) Ako je red potencije konvergira u točki , onda konvergira apsolutno za bilo koji x, za koje vrijedi nejednakost .

2) Ako red potencije divergira na , onda se razilazi za bilo koji x, za koji .

Dokaz. 1) Prema uvjetu, red potencija konvergira u točki ,

tj. brojevni niz konvergira

(1)

i, prema nužnom kriteriju konvergencije, njegov zajednički član teži 0, tj. . Stoga postoji broj da su svi članovi serije ograničeni na ovaj broj:
.

Razmotrite sada bilo koji x, za koji , i sastavite niz apsolutnih vrijednosti: .
Zapišimo ovaj niz u drugom obliku: budući da , zatim (2).

Od nejednakosti
dobivamo, tj. red

sastoji se od članova koji su veći od odgovarajućih članova niza (2). Red je konvergentni niz geometrijske progresije s nazivnikom , štoviše , jer . Stoga red (2) konvergira za . Dakle, niz potencija apsolutno konvergira.

2) Neka red razilazi se na , drugim riječima,

brojevni pravac divergira . Dokažimo to za bilo koju x () niz se razilazi. Dokaz je kontradikcijom. Neka za neke

fiksno ( ) niz konvergira, tada konvergira za sve (vidi prvi dio ovog teorema), posebno za , što je u suprotnosti s uvjetom 2) teorema 1. Teorem je dokazan.

Posljedica. Abelov teorem omogućuje prosuđivanje položaja točke konvergencije niza potencija. Ako točka je točka konvergencije reda potencija, zatim interval ispunjena točkama konvergencije; ako je točka divergencije točka , To
beskonačnim intervalima ispunjen točkama divergencije (slika 1).

Riža. 1. Intervali konvergencije i divergencije niza

Može se pokazati da postoji takav broj , to za sve
potencijski nizovi apsolutno konvergira, i − divergira. Pretpostavit ćemo da ako niz konvergira samo u jednoj točki 0, tada , a ako niz konvergira za sve , To .

Definicija 4. Interval konvergencije potencijski nizovi taj se interval naziva , to za sve ova serija konvergira apsolutno i za sve x leži izvan ovog intervala, niz se razilazi. Broj R nazvao radijus konvergencije potencijski nizovi.

Komentar. Na krajevima intervala pitanje konvergencije ili divergencije niza potencija rješava se posebno za svaki pojedini niz.

Pokažimo jednu od metoda za određivanje intervala i polumjera konvergencije reda potencija.

Razmotrimo red potencije i označavaju .

Napravimo niz apsolutnih vrijednosti njegovih članova:

i na to primijeniti d'Alembertov test.

Neka postoji

.

Prema d'Alembertovom testu, niz konvergira ako , a divergira ako . Odavde niz konvergira na , zatim interval konvergencije: . Na , niz se razilazi jer .
Koristeći notni zapis , dobivamo formulu za određivanje polumjera konvergencije reda potencija:

,

Gdje su koeficijenti reda snaga.

Ako se pokaže da granica , tada pretpostavljamo .

Za određivanje intervala i polumjera konvergencije niza potencija također se može koristiti radikalni Cauchyjev kriterij, polumjer konvergencije niza se određuje iz relacije .

Definicija 5. Generalizirani redovi potencija naziva se serija

. Također se naziva sljedeći po stupnjevima .
Za takav niz, interval konvergencije ima oblik: , Gdje − radijus konvergencije.

Pokažimo kako se radijus konvergencije nalazi za generalizirani red potencije.

oni. , Gdje .

Ako , To , i područje konvergencije R; Ako , To i područje konvergencije .

Primjer 2. Pronađite područje konvergencije niza .

Riješenje. Označiti . Napravimo granicu

Rješavamo nejednadžbu: , , dakle interval

konvergencija ima oblik: , štoviše R= 5. Dodatno, proučavamo krajeve intervala konvergencije:
A) , , dobivamo seriju , koji se razilazi;
b) , , dobivamo seriju , koji konvergira
uvjetno. Dakle, područje konvergencije je: , .

Odgovor: regija konvergencije .

Primjer 3 Red divergentan za sve , jer na , radijus konvergencije .

Primjer 4 Niz konvergira za sve R, radijus konvergencije .