Transformacija afinog koordinatnog sustava. Transformacije koordinatnih prostora Afine transformacije koordinata za lutke

Engleski: Wikipedia čini stranicu sigurnijom. Koristite stari web preglednik koji se u budućnosti neće moći povezati s Wikipedijom. Ažurirajte svoj uređaj ili kontaktirajte svog IT administratora.

中文: 以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。

španjolski: Wikipedia je na sigurnom mjestu. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrator informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipédia va bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus techniques et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: IT情報は以下に英語で提供しています。

Njemački: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

talijanski: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stay usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

mađarski: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipedia je pogledala stranicu više. Vaši drugi web-mjesta su uključeni u traženje Wikipedije u framtiden-u. Updatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer tehnicsk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Uklanjamo podršku za nesigurne verzije TLS protokola, posebno TLSv1.0 i TLSv1.1, na koje se softver vašeg preglednika oslanja za povezivanje s našim stranicama. To je obično uzrokovano zastarjelim preglednicima ili starijim Android pametnim telefonima. Ili to može biti smetnja korporativnog ili osobnog softvera "Web Security", koji zapravo smanjuje sigurnost veze.

Morate nadograditi svoj web preglednik ili na drugi način riješiti ovaj problem da biste pristupili našim stranicama. Ova će poruka ostati do 1. siječnja 2020. Nakon tog datuma vaš preglednik neće moći uspostaviti vezu s našim poslužiteljima.

Prvo, definirajmo što su transformacije? Recimo da imamo model (radi jednostavnosti, neka to bude trokut). I tri koordinatna prostora: prostor objekta (u kojem je ovaj trokut opisan), prostor svijeta i prostor kamere. Dakle, transformacija je izraz koordinata objekta koji se nalazi u jednom koordinatnom sustavu (objekt), koristeći koordinate drugog koordinatnog sustava (prvo svijeta, a zatim komore).

Kao što sam već napisao, korištenje različitih koordinatnih prostora olakšava stvaranje virtualnog svijeta. Objekti se kreiraju u objektnom prostoru, a svaki objekt ima svoj koordinatni prostor. Svjetski prostor povezuje sve objekte virtualnog svijeta i omogućuje vam da vrlo teške stvari učinite vrlo jednostavnima (primjerice pokretne objekte). Nakon što je scena stvorena i svi objekti pomaknuti, svjetske koordinate se pretvaraju u koordinatni prostor kamere. Koristit ćemo samo jednu kameru, ali u stvarnim situacijama moguće je izraditi nekoliko. Nekoliko kamera, primjerice, korišteno je u briljantnoj igri Earth 2150: Escape from the blue planet.

Dakle, o čemu govorim: transformacije su neophodne za korištenje višestrukih koordinatnih prostora.

Prvo, sjetimo se nečega o vektorima. U tome će nam pomoći sljedeća slika:

Što vidimo ovdje: svjetski koordinatni prostor formirana sjekirama x, y, z. Jedinični vektori ja, j, k nazivaju se jedinični vektori ili bazni vektori svjetskog koordinatnog prostora. Koristeći zbroj ovih vektora, možete dobiti bilo koji vektor u svjetskom koordinatnom prostoru.

v- vektor koji povezuje ishodište svjetskih koordinata i ishodište koordinata objekta. Duljina vektora v jednaka je udaljenosti između ishodišta svjetskih koordinata i ishodišta koordinata objekta. Razmotrimo vektorski oblik v=(5,2,5):

v= x* ja+ y* j+ z* k = 5*ja + 2*j + 5*k

Kao što sam gore napisao, uz pomoć baznih vektora možete prikazati bilo koju točku (vektor) zadanog prostora, što ova jednadžba pokazuje.

Vektori str,q,r- bazni vektori prostora objekta. Imajte na umu da ja,j,k neće nužno biti jednaki str,q,r.

Na ovoj slici sam izostavio niz detalja: u koordinatnom prostoru objekta navedene su tri točke koje tvore trokut. Osim toga, nisam označio kameru, koja je usmjerena prema trokutu.

Linearne transformacije koordinata pomoću matrica

Prvo, pogledajmo jedinične vektore ja,j,k, koji se po smjeru podudaraju s koordinatnim osima svjetskog prostora i nazivaju se jedinični vektori ili bazični vektori svjetskog prostora.

Zapišimo ove vektore u koordinatnom obliku kao matrice:

ja= [ i x i y i z ] = [ 1 0 0 ] j= [ j x j y j z ] = [ 0 1 0 ] k= [ k x k y k z ] = [ 0 0 0 ]

Ovdje su vektori predstavljeni 1x3 matricama (redne matrice).

Ove bazne vektore možemo napisati pomoću jedne matrice:

I čak, što je mnogo važnije, možemo napisati ove vektore ovako:

Kao što vidite, rezultat je jedinična matrica veličine 3x3 ili 4x4.

Čini se, što je loše u tome? Zamislite samo, moguće je zapisati neke glupe bazne vektore prostora u jednu matricu. Ali ne, nećete "razmišljati"!!! Tu se krije jedna od najstrašnijih tajni 3D programiranja.

Kao što sam gore napisao, svaka točka koja je prisutna u virtualnom svijetu može se napisati u vektorskom obliku:

v= x* ja+ y* j+ z* k

Gdje v- točka u prostoru, x,y,z - koordinate točke v, A ja,j,k- bazični vektori prostora. Primijetite da ovdje govorimo o točki, ali gledamo vektor. Nadam se da se sjećate da su vektor i točka u biti iste stvari.

Gornja formula se naziva vektorski oblik vektora. Postoji još jedno ime - linearna kombinacija vektora. Ovo je istina, usput.

Sada ponovno pogledajmo vektor v. Zapišimo to u matricu reda: v = [ 5 2 5 ]

Imajte na umu da duljina vektora v je udaljenost od ishodišta svjetskog koordinatnog prostora do ishodišta koordinatnog prostora objekta.

Pokušajmo pomnožiti ovaj vektor s matricom u kojoj su zapisani bazni vektori svjetskog prostora (nadam se da se sjećate formule za množenje matrice):

Kao rezultat toga, dobivamo sljedeću jednadžbu:

v M = [ (xi x + yj x + zk x) (xi y + yj y + zk y) (xi z +yj z + zk z) ]

Imamo vektor. Oni. Rezultat množenja vektora s matricom je vektor. U ovom slučaju vektor se nije promijenio. Ali ako elementi matrice nisu jedinice (na glavnoj dijagonali) i nule (svi ostali elementi), već neki drugi brojevi, tada će se vektor promijeniti. Stoga možemo reći da matrica M vrši transformaciju koordinatnih prostora. Razmotrite opću formulu:

a, b su vektori, M je transformacijska matrica koordinatnih prostora. Formula se može čitati na sljedeći način: "matrica M transformira točku a u točku b."

Radi jasnoće, pogledajmo primjer. Moramo pretvoriti koordinate iz prostora objekta (p,q) u svjetski prostor (i,j):

ja,j- osnovni vektori svjetskog prostora, str,q- bazni vektori prostora objekta. Na slici možete vidjeti da je koordinatni prostor objekta rotiran za -45 stupnjeva oko osi z (ne vidi se na slici). Osim toga, vektori q,str 1,5 puta više vektora ja,j, što znači da će objekti definirani u objektnom prostoru izgledati jedan i pol puta manji u svjetskom prostoru.

Da biste vizualizirali kako će model prostora objekta izgledati nakon transformacije, možete dodati okvir za vektore ja,j:

Možete nacrtati isti okvir za str,q, ali nisam zatrpao crtež.

Sada, recimo da smo nacrtali trokut u prostoru objekta (slika a). U svjetskom prostoru ovaj će se trokut zarotirati za 45 stupnjeva i smanjiti za jednu trećinu (slika b):

Sakupimo sada sve elemente slagalice: kao što znamo, transformacija se može izvesti pomoću matrice. Redovi matrica su bazni vektori. Koordinate baznih vektora svjetskog koordinatnog prostora u objektnom prostoru su sljedeće:

ja = [ 0.473 0.473 ] j = [ -0.473 0.473 ]

Kako smo saznali koordinate? Prvo, znamo da su koordinatni prostori rotirani jedan u odnosu na drugi za 45 stupnjeva. Drugo, objektni svemirski bazični vektori su 1,5 puta duži od svjetskih svemirskih bazičnih vektora. Znajući to, lako smo izračunali koordinate vektora ja,j.

Kao rezultat toga dobivamo sljedeću matricu transformacije (u ovom slučaju rotaciju ili rotaciju):

Ili u trodimenzionalnom prostoru:

Sve vrijednosti su približne.

Ovo je matrica za transformaciju koordinata iz prostora objekta u inercijalni prostor (podsjećam da se bazni vektori inercijalnog prostora poklapaju s baznim vektorima svjetskog prostora). Da biste pretvorili trokut iz prostora objekta u inercijski prostor, trebate pomnožiti sve točke (vektore) trokuta s transformacijskom matricom.

U posljednjem primjeru susreli smo dvije transformacije: rotaciju i skaliranje. Obje ove transformacije su linearne.

Sada kada smo pogledali primjere linearnih transformacija, možemo se upoznati s definicijom:

Linearne transformacije su transformacije koordinata koje ne iskrivljuju prostore. Oni. sve paralelne linije ostaju paralelne (međutim, postoji jedna iznimka). Ili jednostavno: linearnim transformacijama trokut se nikada neće pretvoriti u krug ili kvadrat, nego će uvijek ostati trokut.

Sada kada otprilike razumijemo što su linearne transformacije, pogledajmo specifične formule:

Skala

k 1 ,k 2 ,k 3 - faktori skaliranja. Ako je k 1, objekti se povećavaju.

Rotacija

Rotacija oko x osi:

Rotacija oko y osi:

Rotacija oko osi z:

Usput, upravo smo tu matricu (rotacije oko z osi) koristili gore.

Rotacija može biti ne samo oko osi koje tvore koordinatni prostor, već i oko proizvoljnih ravnih linija. Formula za rotaciju oko proizvoljne ravne linije prilično je složena, nismo je još spremni razmotriti.

Najvažnija stvar koju trebate zapamtiti iz gore navedenog je sljedeća: redovi matrice transformacije sadrže bazne vektore novog koordinatnog prostora, izražene u koordinatama starog koordinatnog prostora. .

Ako razumijete ovu jednostavnu stvar (da matrica sadrži bazne vektore novog prostora), tada gledajući matricu transformacije, možete lako vidjeti novi koordinatni prostor.

I zadnja stvar:
Linearne transformacije ne mogu pomicati objekte. Oni. objekti se mogu povećavati/smanjivati, mogu se rotirati, ali će ostati nepomični.

Afine transformacije

Afine transformacije su linearne transformacije s translacijom. Koristeći afine transformacije možete pomicati objekte.

Formula je vrlo jednostavna:

A = bM + v;

Gdje je b početna točka, M je matrica linearne transformacije, a je točka transformacije, a v je vektor koji povezuje dva prostora. Ili drugim riječima, to je vektor čija je duljina jednaka udaljenosti između dva koordinatna prostora.

Na slici na početku lekcije potrebna je afina transformacija: prvo linearna transformacija iz prostora objekta u inercijalni prostor, a zatim prijenos svih točaka prostora objekta u prostor svijeta pomoću vektora v.

Za pojednostavljenje izračuna u programiranju 3D grafike koriste se 4D vektori, matrice 4x4 i tzv. homogene koordinate. Četvrta dimenzija ne igra nikakvu ulogu, uvedena je samo radi pojednostavljenja izračuna.

Četverodimenzionalni vektor, kao što ste mogli pretpostaviti, koristi četiri komponente: x, y, z i w. Četvrta komponenta vektora naziva se homogena koordinata.

Vrlo je teško geometrijski prikazati homogenu koordinatu. Stoga ćemo razmatrati trodimenzionalni homogeni prostor s koordinatama (x,y,w). Zamislimo da je u točki w=1 definirana dvodimenzionalna ravnina. Prema tome, dvodimenzionalna točka je predstavljena u homogenom prostoru sljedećim koordinatama (x,y,1). Sve točke u prostoru koje nisu u ravnini (nalaze se u ravninama gdje je w != 1) mogu se izračunati projiciranjem na dvodimenzionalnu ravninu. Da biste to učinili, morate podijeliti sve komponente ove točke u homogenu. Oni. ako je w!=1, u “fizičkoj” (gdje radimo i gdje je w=1) ravnini koordinate točke će biti sljedeće: (x/w,y/w,w/w) ili (x/w ,y/w ,1). Pogledaj sliku:

Koordinate vektora su sljedeće:

V 1 = [ 3 3 3 ] v 2 = [ 3 1 0 ] v 3 = [ 3 -2 -2 ]

Ovi vektori su projicirani na "fizičku" ravninu (w=1) kako slijedi:

V 1 = [ 1 1 1 ] v 3 = [ -1,5 1 1 ]

Na slici su prikazana tri vektora. Imajte na umu da kada točka leži u ravnini w=0, tada se ta točka ne može projicirati na fizičku ravninu (vektor v 2).

Za svaku točku na fizičkoj razini postoji beskonačan broj točaka u homogenom prostoru.

U četverodimenzionalnom prostoru sve je potpuno isto. Radimo u fizičkom prostoru gdje je w = 1: (x,y,z,1). Ako je, kao rezultat izračuna, w != 1, tada trebate podijeliti sve koordinate točke u homogenu: (x/w,y/w,z/w,w/w) ili (x/ w,y/w,z/w,1 ). Postoji i poseban slučaj kada je w = 0. To ćemo pogledati kasnije.

Sada prijeđimo na praksu: zašto nam, dovraga, treba homogena koordinata?

Kao što smo već saznali, matrica 3x3 predstavlja linearnu transformaciju, tj. ne sadrži prijenos (kretanje). Za prijenos se koristi poseban vektor (a ovo je afina transformacija):

V = aM + b

Oni. pomnožimo sve točke (vektore) objekta s transformacijskom matricom M za odlazak u inercijalni koordinatni sustav (čiji se bazni vektori poklapaju s baznim vektorima svjetskog koordinatnog sustava), a zatim pomoću vektora b dolazimo do svjetskog prostora . Podsjećam da vektor b povezuje početak prostora objekta i početak prostora svijeta.

Dakle, koristeći četiri dimenzije, možete strpati i linearne transformacije (rotaciju, skaliranje) i translaciju u jednu matricu.

Zamislimo da je četvrta komponenta uvijek jednaka jedinici (iako smo već ustanovili da to nije tako). Sada se linearna transformacija može prikazati pomoću matrice 4x4:

Pogledajmo formulu za množenje vektora matricom transformacije u četverodimenzionalnom prostoru:

V x = (xi x + yj x + zk x + w*0) v y = (xi y + yj y + zk y + w*0) v z = (xi z + yj z + zk z + w*0) v w = (x*0 + y*0 + z*0 + w*1) Kao što vidimo, komponente transformiranog vektora pomoću matrice 4x4 jednake su komponentama transformiranog vektora pomoću matrice 3x3. Četvrta komponenta, kao što smo se dogovorili, uvijek će biti jednaka jedinici, pa se jednostavno može odbaciti. Stoga možemo reći da su transformacije koje provode matrice veličine 3x3 i 3x4 ekvivalentne.

Sada pogledajmo matricu prijenosa:

Pomnožite bilo koji vektor iz prostora objekta (pogledajte sliku na početku lekcije) ovom matricom i možete izraziti ovaj vektor u svjetskom koordinatnom prostoru (ovo je ako su bazni vektori prostora objekta i svijeta jednaki).

Imajte na umu da je ovo također linearna transformacija, samo u četverodimenzionalnom prostoru.

Korištenjem matričnog produkta možemo kombinirati matricu rotacije i matricu translacije:

Ova zadnja matrica je upravo ono što smo trebali od samog početka. Trebali biste dobro razumjeti što točno znače svi njegovi elementi (s izuzetkom 4. stupca).

U homogenim koordinatama točka se piše kao i svaki faktor mjerila. Štoviše, ako je točka prikazana u homogenim koordinatama, tada se njezine dvodimenzionalne kartezijeve koordinate mogu pronaći kao i .

Geometrijsko značenje homogenih koordinata je sljedeće (slika 6). proizvoljna točka na pravcu

Riža. 6. Geometrijska interpretacija homogenih koordinata

Tako se uspostavlja korespondencija jedan na jedan između proizvodne točke s koordinatama (x, y) i skupa trojki brojeva oblika (W×x, W×y, W), W≠0, što omogućuje smatramo brojeve W×x, W×y, W novim koordinatama ove točke. Stoga se homogene koordinate mogu prikazati kao umetanje dvodimenzionalne ravnine skalirane faktorom W u ravninu z = W (ovdje z = 1) u trodimenzionalnom prostoru.

Korištenje homogenih koordinata pokazalo se prikladnim pri rješavanju čak i najjednostavnijih problema.

Ako uređaj za prikaz radi samo s cijelim brojevima (ili ako je potrebno raditi samo s cijelim brojevima), tada za proizvoljnu vrijednost W (na primjer, W=1) ne može biti točka s uniformnim koordinatama (0,5; 0,1; 2,5). zastupao . Međutim, uz razuman izbor W, moguće je osigurati da su koordinate ove točke cijeli brojevi. Konkretno, s W=10 za primjer koji razmatramo imamo (5; 1; 25).

Još jedan slučaj. Kako biste spriječili da rezultati transformacije dovedu do aritmetičkog prekoračenja, za točku s koordinatama (80000; 40000; 1000), možete uzeti, na primjer, W=0,001. Kao rezultat, dobivamo (80; 40; 1).

Međutim, glavna primjena homogenih koordinata su geometrijske transformacije, budući da se uz pomoć tripleta homogenih koordinata i matrica trećeg reda može opisati svaka afina transformacija u ravnini. Slično, koristeći četverostruke homogene koordinate i matrice četvrtog reda, možete opisati bilo koju transformaciju u trodimenzionalnom prostoru.

Kao što je poznato, transformacije translacije, skaliranja i rotacije u matričnom obliku zapisuju se kao

P' = P × S;

Prijevod se provodi odvojeno (pomoću zbrajanja) od skaliranja i rotacije (pomoću množenja). Ako točke izrazimo u homogenim koordinatama, tada se sve tri transformacije mogu ostvariti pomoću množenja. Ovdje ćemo pogledati 2D transformacije.

Jednadžbe transporta napisane su u obliku transformacijske matrice homogenih koordinata kako slijedi:

P' = P × T(dx, dy),

Ponekad se takvi izrazi pišu na sljedeći način:

Razmotrimo, na primjer, dvostruki prijevod. Neka je potrebno pomaknuti točku P do točke P’ na udaljenost (dx1, dy1), a zatim u P’’ na udaljenost (dx2, du2). Ukupni prijenos mora biti jednak udaljenosti (dh1+d2, du1+du2). Zapišimo podatke u obrazac

P’ = P × T (dx1, dy1);

P'' = P' × T (dx2, dy2).

Zamjenom prve formule u drugu dobivamo

P’’ = P × (T (dx1, dy1) × T (dx2, dy2)).

Matrični umnožak T (dx1, dy1) ∙ T (dx2, dy2) je

Dakle, dobiveni prijenos je (dx1+dx2, dy1+dy2), tj. uzastopni prijenosi su aditivni.

Jednadžbe skaliranja u matričnom obliku koristeći homogene koordinate napisane su kao

P’ = P’ × S(Sx, Sy).

Umnožak matrice S(Sx1, Sy1) × S(Sx2, Sy2) je

Stoga su uzastopna skaliranja multiplikativna.

Konačno, jednadžba rotacije (u desnom sustavu) može se prikazati kao

Uzastopne rotacije su aditivne.

Kompozicija 2D transformacija korištenjem homogenih koordinata. Umnožak matrice naziva se u različitim slučajevima unija, veza, ulančanje I sastav. Koristit ćemo posljednji od navedenih pojmova.

Razmotrimo, na primjer, rotaciju objekta u odnosu na neku proizvoljnu točku P1. Budući da znamo samo rotirati oko ishodišta, izvorni problem dijelimo na tri podproblema:

Translacija, u kojoj se točka P1 pomiče u ishodište;

Skretanje;

Translacija u kojoj se točka iz ishodišta vraća u svoj izvorni položaj P1.

Redoslijed ovih transformacija prikazan je na sl. 7.1.

Riža. 7.1. Rotirajte objekt oko neke proizvoljne točke

Dobivena transformacija izgleda

Koristeći sličan pristup, možete skalirati objekt u odnosu na proizvoljnu točku P1: pomaknite P1 u ishodište, skalirajte ga, pomaknite ga natrag u točku P1. Rezultirajuća transformacija u ovom slučaju će izgledati

Razmotrimo složeniju transformaciju. Pretpostavimo da trebamo skalirati, rotirati i pozicionirati objekt na željenu lokaciju (kuća na slici 7.2), gdje je središte rotacije i skaliranja točka P1.

Riža. 7.2. primjer slijeda pretvorbe

Slijed transformacija sastoji se od pomicanja točke P1 u ishodište, skaliranja i rotacije, a zatim prijenosa iz ishodišta u novi položaj P2. Struktura podataka aplikacijskog programa koja sadrži ovu transformaciju može sadržavati faktor(e) razmjera, kut rotacije i iznose translacije ili se rezultirajuća matrica transformacije može napisati:

T (-x1, -y1) × S (Sx, Sy) × R (A) × T (x2, y2).

Općenito, množenje matrice je nekomutativno. Ako M1 i M2 predstavljaju elementarnu translaciju, skaliranje ili rotaciju, komutativnost vrijedi u sljedećim posebnim slučajevima:

M1	M2
Prevedi skaliranje Zakreni skaliranje (na Sx=Sy)	Prevedi Zoom Rotate Rotate

Sastav je najviše opći pogled, sastavljen od operacija R, S i T, ima matricu

Njegov gornji dio 2 × 2 je kombinirana matrica rotacije i skaliranja, dok tx i ty opisuju neto prevođenje. Za izračun P∙M kao produkta vektora i matrice 3 × 3 potrebno je 9 operacija množenja i 6 operacija zbrajanja. Struktura posljednjeg stupca generalizirane matrice omogućuje nam pojednostavljenje stvarnih radnji koje se izvode.

Problem transformacije koordinata je kako slijedi: poznavanje koordinata novog ishodišta i novih koordinatnih vektora u starom sustavu:

, , , (3)

izraziti koordinate x,y bodova M u starom koordinatnom sustavu, kroz koordinate ovu točku u novom sustavu.

Iz formula (3) proizlazi da

; ; . (4)

(prema pravilu trokuta).

Jer , , zatim definicijom koordinata točke , , tj. ; .

Tada pomoću formula (4) dobivamo:

gdje nalazimo:

(5)

;

Tako se izražavaju koordinate x,y proizvoljna točka M u starom sustavu kroz svoje koordinate u novom sustavu .

Formule (5) nazivaju se formule za transformaciju afinog koordinatnog sustava.

Koeficijenti at - koordinate novog vektora u starom sustavu; koeficijenti , kada su koordinate novog vektora u starom sustavu, slobodni članovi , su koordinate novog ishodišta u starom sustavu:

Koordinate točke M

u novom sustavu

Stol naziva se prijelazna matrica od baze , do baze , .

Posebni slučajevi afine transformacije

Koordinatni sustavi

1. Prijenos poč.

Ovom transformacijom , , A (Slika 40).

Nađimo koordinate vektora u starom sustavu, tj. , , i :

Þ Þ , ;

Þ Þ , .

Tada će formule (5) imati oblik:

OKO"

Riža. 40

(7)

Formule (7) nazivaju se formule za zamjenu koordinatnih vektora.

Pojam direkcijskog kuta između vektora.

Pretvaranje pravokutnog koordinatnog sustava

Uvodi se pojam direkcijskog kuta između vektora na usmjerenoj ravnini.

Neka i budu vektori različiti od nule navedeni određenim redoslijedom ( - prvi vektor, - drugi vektor).

Ako || , To direkcijski kut između vektora i vektora nazvao

veličina , ako osnova , - pravo;

veličina , ako je osnova ostala.

Ako , To smjerni kut između njih se smatra jednakim ako , zatim (slika 42).

Promotrimo dva pravokutna kartezijanska koordinatna sustava i . Neka M(x;y) V , V . Budući da je pravokutni koordinatni sustav poseban slučaj afinog, možemo koristiti formule (5) iz §12, ali koeficijenti , , , više ne može biti proizvoljna.

Nađimo koordinate vektora u starom sustavu. Razmotrimo dva slučaja.

1) Baze , i , identično su orijentirane (slika 43).

A 1

U 1

OKO"

Riža. 44

Pravokutni trokuti I jednaki u hipotenuzi i oštrom kutu (
, ), stoga, I .

Iz pronašli smo:

Stoga, .

Stoga, . Tada će formule (5) imati oblik:

Imajte na umu da determinanta matrice prijelaza od baze do baze,

2) Baze , i , su suprotno orijentirane (slika 45).

OKO

OKO"

Riža. 45

OKO

OKO"

U 1

A 1

Riža. 46

Neka

. Dovedimo vektore u zajedničko ishodište OKO(Sl. 46).

Razmišljajući slično slučaju 1), dobivamo:

Stoga, ; .

Tada će formule (5) imati oblik:

Imajte na umu da je determinanta matrice prijelaza iz baze , u bazu , u ovom slučaju

Formule (8) i (9) mogu se kombinirati:

, Gdje

Posebni slučajevi transformacije

Pravokutni koordinatni sustav

1. Prijenos početka: , .

Polarne koordinate

Ako je određeno pravilo po kojem se položaj točaka na ravnini može odrediti pomoću uređenih parova realnih brojeva, onda se kaže da je na ravnini zadan koordinatni sustav. Osim afinog koordinatnog sustava, o kojem je bilo riječi u §10, u matematici se često koristi i polarni koordinatni sustav na ravnini.

Polarni koordinatni sustav uvodi se na orijentiranoj ravnini.

Par koji se sastoji od točke OKO a jedinični vektor se naziva polarni koordinatni sustav a označava se ili . Pravac smjera nazvao polarna os, točka OKO- pol(Slika 48).

Tako, . Ako M poklapa se s OKO, To . Za bilo koju točku M njegov polarni radijus

Ako M poklapa s polom OKO, tada je j nedefiniran. Iz definicije smjernog kuta između vektora (vidi §13) slijedi da je polarni kut

Riža. 51

M 1

Izvedimo formule za prijelaz s polarnih koordinata na pravokutne kartezijeve koordinate i obrnuto.

Neka je polarni koordinatni sustav na orijentiranoj ravnini, , V . Pripojimo polarnom sustavu jedinični vektor okomit na vektor tako da je baza desnokretna (slika 51).