Što je površina prvog reda. Algebarske plohe prvog reda. Koja je razlika između ovog referentnog materijala i analoga

§7. Ravnina kao ploha prvog reda. Opća jednadžba ravnine. Jednadžba ravnine koja prolazi kroz zadanu točku okomito na zadani vektor Uvedimo pravokutni Kartezijev koordinatni sustav Oxyz u prostoru i razmotrimo jednadžbu prvog stupnja (ili linearnu jednadžbu) za x, y, z: (7.1) Ax  Po  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0 . Teorem 7.1. Bilo koja ravnina može se definirati u proizvoljnom pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu jednadžbom oblika (7.1). Kao iu slučaju pravca na ravnini, vrijedi teorem obrnut od teorema 7.1. Teorem 7.2. Svaka jednadžba oblika (7.1) definira ravninu u prostoru. Dokaz teorema 7.1 i 7.2 može se provesti slično kao i dokaz teorema 2.1, 2.2. Iz teorema 7.1 i 7.2 slijedi da je ravnina i samo ona ploha prvog reda. Jednadžba (7.1) naziva se općom jednadžbom ravnine. Njegovi  koeficijenti A, B, C geometrijski se interpretiraju kao koordinate vektora n okomitog na ravninu definiranu ovom jednadžbom. Ovaj vektor  n(A, B, C) naziva se vektor normale na zadanu ravninu. Jednadžba (7.2) A(x  x0)  B(y  y0)  C (z  z0)  0 za sve moguće vrijednosti koeficijenata A, B, C definira sve ravnine koje prolaze točkom M 0 ( x0 , y0 ,z0) . To se zove jednadžba hrpe ravnina. Izbor specifične vrijednosti A, B, C u (7.2) označavaju izbor ravnine P iz spojnice koja prolazi točkom M 0 okomito na  na zadani vektor n(A, B, C) (sl. 7.1). Primjer 7.1. Napišite jednadžbu ravnine R koja prolazi točkom   A(1, 2, 0) paralelno s vektorima a  (1, 2,–1), b  (2, 0, 1) .    Normalni vektor n na P je okomit na zadane vektore a i b (sl. 7.2),   pa za n možete uzeti njihov vektorski n produkt: A    R i j k 2 n  a  b  1 2  1  i  j 2 1  k 12 0  0 1 2 0 1 n   a    b 2i  3 j  4k . Zamijenite koordinate sl. 7.2. Na primjer 7.1 P M0  točka M 0 i vektor n u jednadžbi (7.2), dobivamo Sl. 7.1. Na jednadžbu ravninskog snopa P: 2(x  1)  3(y  2)  4z  0 ili P: 2x  3y  4z  4  0 .◄ 1 Ako su dva od koeficijenata A, B , C jednadžbe (7.1) jednake nuli, ona definira ravninu paralelnu s jednom od koordinatnih ravnina. Na primjer, kada je A  B  0, C  0 - ravnina P1: Cz  D  0 ili P1: z   D / C (sl. 7.3). Paralelna je s ravninom Oxy jer je njen vektor normale  n1(0, 0, C) okomit na tu ravninu. Za A  C  0 , B  0 ili B  C  0 , A  0 jednadžba (7.1) definira ravnine P2: Po  D  0 i P3: Ax  D  0 paralelno s koordinatnim ravninama Oxz i Oyz , pa kako je   njihovi normalni vektori n2(0, B, 0) i n3(A, 0, 0) okomiti su na njih (sl. 7.3). Ako je samo jedan od koeficijenata A, B, C jednadžbe (7.1) jednak nuli, tada on definira ravninu paralelnu s jednom od koordinatnih osi (ili je sadrži, ako je D  0). Dakle, ravnina P: Ax  Po  D  0 je paralelna s osi Oz, z z  n1  n  n2 P1 L P O  n3 x y O P2 y P3 x 7.4. Ravnina P: Ax  B y  D  0 , paralelna s osi Oz Sl. 7.3. Ravnine paralelne s ravninama koordinata  jer je njen vektor normale n(A, B, 0) okomit na os Oz. Imajte na umu da prolazi kroz pravac L: Ax  By  D  0 , koji leži u ravnini Oxy (slika 7.4). Kada je D  0 jednadžba (7.1) definira ravninu koja prolazi kroz ishodište. Primjer 7.2. Odredite vrijednosti parametra  pri kojima jednadžba x  (2  2) y  (2    2)z    3  0 određuje ravninu P: a) paralelnu s jednom koordinatnih ravnina; b) paralelno s jednom od koordinatnih osi; c) prolaz kroz ishodište koordinata. Zapišimo ovu jednadžbu u obliku (7.3) Za bilo koju vrijednost , jednadžba (7.3) određuje određenu ravninu, budući da koeficijenti pri x, y, z u (7.3) ne nestaju istovremeno. a) Na   0 jednadžba (7. 3) određuje ravninu P paralelnu s ravninom Oxy , P: z  3 / 2 , a s   2 određuje ravninu P 2 paralelnu s ravninom Oyz , P: x  5/ 2 . Ni za jednu vrijednost  ravnina P definirana jednadžbom (7.3) nije paralelna s ravninom Oxz, budući da koeficijenti pri x, z u (7.3) ne nestaju istovremeno. b) Pri   1 jednadžba (7.3) definira ravninu P , paralelnu s osi Oz , P: x  3y  2  0 . Za ostale vrijednosti parametra , on ne definira ravninu paralelnu samo s jednom od koordinatnih osi. c) Za   3 jednadžba (7.3) definira ravninu P koja prolazi ishodištem, P: 3x  15 y  10 z  0 . ◄ Primjer 7.3. Napišite jednadžbu ravnine P koja prolazi kroz: a) točku M (1,  3, 2) paralelnu s osi ravnine Oxy; b) Ox os i točka M (2, - 1, 3) .   a) Za normalni vektor n na R ovdje možemo uzeti vektor k (0, 0,1) - jedinični vektor osi Oz, budući da je okomit na Oxy ravninu. Zamijenimo koordinate točke  M (1,  3, 2) i vektor n u jednadžbu (7.2), dobivamo jednadžbu ravnine P: z 3  0.   b) Vektor normale n na P je ortogonalna na vektore i (1, 0, 0) i OM (2,  1, 3) ,  pa se njihov vektorski produkt može uzeti kao n: 01   3 j  k . 2  1 3 

1.7.1. Avion.

Promotrimo proizvoljnu ravninu P u kartezijevoj bazi i normalni vektor (okomit) na nju `n (A, B, C). Uzmimo u ovoj ravnini proizvoljnu fiksnu točku M0(x0, y0, z0) i trenutnu točku M(x, y, z).

Očito je ?`n = 0 (1,53)

(vidi (1.20) za j = p /2). Ovo je jednadžba ravnine u vektorskom obliku. Prelaskom na koordinate dobivamo opću jednadžbu ravnine

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 ?Ax + Vy + Cz + D = 0 (1.54).

(D = –Ah0 – Vu0 – Sz0; A2 + V2 + S2 ? 0).

Može se pokazati da je u Kartezijevim koordinatama svaka ravnina definirana jednadžbom prvog stupnja i obratno, svaka jednadžba prvog stupnja definira ravninu (tj. ravnina je površina prvog reda, a površina prvog reda je ravnina).

Razmotrimo neke posebne slučajeve položaja ravnine dane općom jednadžbom:

A \u003d 0 - paralelno s osi Ox; B \u003d 0 - paralelno s osi Oy; C \u003d 0 - paralelno s osi Oz. (Takve ravnine okomite na jednu od koordinatnih ravnina nazivamo projiciranjem); D = 0 - prolazi kroz ishodište; A = B = 0 - okomito na os Oz (paralelno s ravninom xOy); A = B = D = 0 - poklapa se s ravninom xOy (z = 0). Svi ostali slučajevi se analiziraju na sličan način.

Ako D? 0, tada, dijeleći oba dijela (1.54) s -D, možemo dovesti jednadžbu ravnine do oblika: (1.55),

a \u003d - D / A, b \u003d - D / B, c \u003d - D / C. Relacija (1.55) naziva se jednadžba ravnine u segmentima; a, b, c su apscisa, ordinata i aplikata presječnih točaka ravnine s osi Ox, Oy, Oz, te |a|, |b|, |c| su duljine odsječaka koje ravnina odsijeca na odgovarajućim osima od ishodišta.

Množenje obje strane (1.54) normalizirajućim faktorom (mD xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (1.56)

gdje su cosa \u003d Am, cosb \u003d Bm, cosg \u003d Cm kosinusi smjera normale na ravninu, p je udaljenost do ravnine od ishodišta.

Razmotrimo glavne omjere koji se koriste u izračunima. Kut između ravnina A1x + B1y + C1z + D1 = 0 i A2x + B2y + C2z + D2 = 0 može se lako definirati kao kut između normala ovih ravnina `n1 (A1, B1, C1) i

`n2 (A2, B2, C2): (1.57)

Iz (1.57) lako je dobiti uvjet okomitosti

A1A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 (1,58)

i paralelizam (1.59) ravnine i njihove normale.

Udaljenost od proizvoljne točke M0(x0, y0, z0) do ravnine (1.54)

definiran je izrazom: (1.60)

Jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) najprikladnije je napisati korištenjem uvjeta komplanarnosti (1.25) vektora gdje je M(x, y, z) trenutna točka ravnine.

(1.61)

Predstavljamo jednadžbu za skup ravnina (tj.

Skupovi ravnina koje prolaze kroz jednu ravnu liniju) - prikladno ga je koristiti u nizu problema.

(A1x + B1y + C1z + D1) + l(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (1,62)

Gdje je l Î R, a u zagradi su jednadžbe bilo koje dvije ravnine grede.

Kontrolna pitanja.

1) Kako provjeriti leži li zadana točka na površini zadanoj zadanom jednadžbom?

2) Koja je karakteristična značajka koja razlikuje jednadžbu ravnine u Kartezijevom koordinatnom sustavu od jednadžbe drugih površina?

3) Kako je ravnina u odnosu na koordinatni sustav, ako njena jednadžba ne sadrži: a) slobodni član; b) jedna od koordinata; c) dvije koordinate; d) jednu od koordinata i slobodni termin; e) dvije koordinate i slobodni član?

1) Zadane su točke M1(0,-1,3) i M2(1,3,5). Napišite jednadžbu ravnine koja prolazi točkom M1 i okomita je na vektor Izaberi točan odgovor:

A) ; b) .

2) Odredite kut između ravnina i . Izaberi točan odgovor:

a) 135o, b) 45o

1.7.2. Ravno. Ravnine čije normale nisu kolinearne ili se sijeku, jedinstveno definirajući liniju kao liniju njihovog sjecišta, koja se piše na sljedeći način:

Kroz ovu liniju može se povući beskonačno mnogo ravnina (olovka ravnina (1.62)), uključujući i one koje je projiciraju na koordinatne ravnine. Da bi se dobile njihove jednadžbe, dovoljno je transformirati (1.63), eliminirajući jednu nepoznanicu iz svake jednadžbe i reducirajući ih, na primjer, na oblik (1.63`).

Postavimo zadatak - povući ravnu liniju kroz točku M0 (x0, y0, z0) paralelnu s vektorom `S (l, m, n) (naziva se vodilica). Uzmimo proizvoljnu točku M(x, y, z) na željenom pravcu. Vektori i mora biti kolinearan, odakle dobivamo kanonske jednadžbe pravca.

(1,64) ili (1.64`)

gdje su cosa, cosb, cosg kosinusi smjera vektora `S. Iz (1.64) lako je dobiti jednadžbu pravca koji prolazi kroz zadane točke M1(x1, y1, z1) i M2(x2, y2, z2) (paralelan je )

Ili (1,64``)

(Vrijednosti razlomaka u (1.64) jednake su za svaku točku pravca i mogu se označiti s t, gdje je t R. Ovo vam omogućuje unos parametarskih jednadžbi ravne linije

Svaka vrijednost parametra t odgovara skupu koordinata x, y, z točke na liniji ili (inače) - vrijednostima nepoznanica koje zadovoljavaju jednadžbe linije).

Već se koristi poznata svojstva vektora i operacija na njima te kanonskih jednadžbi pravca, lako je dobiti sljedeće formule:

Kut između linija: (1.65)

Uvjet paralelnosti (1.66).

okomitost l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1.67) pravaca.

Kut između pravca i ravnine (lako se dobiva pronalaženjem kuta između pravca i normale na ravninu, što daje traženi p / 2)

(1.68)

Iz (1.66) dobivamo uvjet paralelnosti Al + Bm + Cn = 0 (1.69)

i okomitost (1.70) pravca i ravnine. Potreban i dovoljan uvjet da dva pravca budu u istoj ravnini može se lako dobiti iz uvjeta komplanarnosti (1.25).

(1.71)

Kontrolna pitanja.

1) Koji su načini postavljanja ravne linije u prostoru?

1) Napišite jednadžbe pravca koji prolazi točkom A (4,3,0) i paralelan je s vektorom Navedite točan odgovor:

A) ; b) .

2) Napišite jednadžbe pravca koji prolazi kroz točke A(2,-1,3) i B(2,3,3). Označite točan odgovor.

A) ; b) .

3) Nađi točku presjeka pravca s ravninom: , . Navedite točan odgovor:

a) (6,4,5); b) (6, -4,5).

1.7.3. Plohe drugog reda. Ako linearna jednadžba u trodimenzionalnoj kartezijanskoj bazi jedinstveno definira ravninu, bilo koja nelinearna jednadžba, koji sadrži x, y, z opisuje neku drugu površinu. Ako jednadžba izgleda

Ax2 + Vy2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, tada opisuje površinu drugog reda (opća jednadžba površine drugog reda). Odabirom ili transformacijom Kartezijevih koordinata, jednadžba se može maksimalno pojednostaviti, što dovodi do jednog od sljedećih oblika koji opisuju odgovarajuću površinu.

1. Kanonske jednadžbe cilindara drugog reda, čiji su generatori paralelni s osi Oz, i odgovarajuće krivulje drugog reda koje leže u ravnini xOy služe kao vodiči:

(1.72), (1,73), y2 = 2px (1,74)

eliptični, hiperbolički i parabolični cilindar.

(Podsjetimo se da se cilindrična površina naziva površina dobivena pomicanjem ravne linije, koja se naziva generatrix, paralelna sa samom sobom. Linija presjeka ove površine s ravninom okomitom na generatrix naziva se vodič - ona određuje oblik površine).

Analogno se mogu napisati jednadžbe istih cilindričnih ploha s generatorima paralelnim s osi Oy i osi Ox. Vodilica se može definirati kao linija presjeka površine cilindra i odgovarajuće koordinatne ravnine, tj. sustav jednadžbi oblika:

2. Jednadžbe stošca drugog reda s vrhom u ishodištu:

(1.75)

(osi stošca su osi Oz, Oy odnosno Ox)

3. Kanonska jednadžba elipsoida: (1.76);

Posebni slučajevi su, na primjer, elipsoidi revolucije - površina dobivena rotacijom elipse oko osi Oz (Kada

a > s elipsoid je komprimiran, jer je a x2 + y2+ z2 + = r2 jednadžba sfere polumjera r sa središtem u ishodištu).

4. Kanonska jednadžba jednolistnog hiperboloida

(znak “-” može stajati ispred bilo kojeg od tri pojma s lijeve strane - time se samo mijenja položaj plohe u prostoru). Posebni slučajevi su jednolistni hiperboloidi revolucije, na primjer je površina dobivena rotacijom hiperbole oko osi Oz (zamišljene osi hiperbole).

5. Kanonska jednadžba dvolisnog hiperboloida

(znak “-” može se staviti ispred bilo kojeg od tri pojma s lijeve strane).

Posebni slučajevi su dvolisni hiperboloidi rotacije, npr. ploha dobivena rotacijom hiperbole oko osi Oz (prave osi hiperbole).

6. Kanonska jednadžba eliptičkog paraboloida

(p >0, q >0) (1,79)

7. Kanonska jednadžba hiperboličkog paraboloida

(p >0, q >0) (1,80)

(varijabla z može promijeniti mjesto s bilo kojom od varijabli x i y - promijenit će se položaj plohe u prostoru).

Imajte na umu da je lako dobiti ideju o značajkama (obliku) ovih površina razmatranjem presjeka ovih površina ravninama okomitim na koordinatne osi.

Kontrolna pitanja.

1) Koji skup točaka u prostoru definira jednadžbu?

2) Koje su kanonske jednadžbe cilindara drugog reda; čunjevi drugog reda; elipsoid; jednolistni hiperboloid; dvolisni hiperboloid; eliptični paraboloid; hiperbolički paraboloid?

1) Odredi središte i polumjer kugle i označi točan odgovor:

a) C (1,5; -2,5; 2), ; b) S(1,5;2,5;2), ;

2) Odredite vrstu površine zadane jednadžbama: . Navedite točan odgovor:

a) jednolistni hiperboloid; hiperbolički paraboloid; eliptični paraboloid; konus.

b) dvolisni hiperboloid; hiperbolički paraboloid; eliptični paraboloid; konus.

Predavanje 2. Ravnina kao ploha I. reda. Jednadžbe ravnine i njihovo proučavanje. Pravac u prostoru, međusobni raspored pravaca u prostoru, ravnina i pravac u prostoru. Pravac na ravnini, jednadžbe pravca na ravnini, udaljenost od točke do pravca na ravnini. Krivulje drugog reda; izvođenje kanoničkih jednadžbi, proučavanje jednadžbi i konstrukcija krivulja. Plohe drugog reda, proučavanje kanoničkih jednadžbi površina. Metoda presjeka. 1

Elementi analitičke geometrije § 1. Ravnina. Imamo OXYZ i neku površinu S F(x, y, z) = 0 z x (S) O y Definicija 1: jednadžba s tri varijable naziva se jednadžba površine S u prostoru ako ovu jednadžbu zadovoljavaju koordinate svake točka koja leži na površini, a ne koordinatama nijedna točka koja na njoj leži. 2

Primjer. Jednadžba (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) definira sferu sa središtem u točki C(a, b, c) i polumjerom R. M M( x , y, z) je promjenljiva točka M ϵ (S) |CM| = RC 3

Definicija 2: Površina S naziva se plohom n-tog reda ako je u nekom Kartezijevom koordinatnom sustavu dana algebarskom jednadžbom n-tog stupnja F(x, y, z) = 0 (1) U primjeru ( S) - krug, površina drugog reda. Ako je S ploha n-tog reda, tada je F(x, y, z) polinom n-tog stupnja u odnosu na (x, y, z). Promotrimo jedinu plohu 1. reda - ravninu. Sastavimo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točku M (x, y, z), s normalnim vektorom 4

Neka je M(x, y, z) proizvoljna (trenutna) točka ravnine. M M 0 O α ili u koordinatnom obliku: (2) Jednadžba (2) - jednadžba ravnine koja prolazi točkom M sa zadanim normalnim vektorom. 5

D (*) (3) - potpuna jednadžba ravnine Nepotpuna jednadžba ravnine. Ako je u jednadžbi (3) nekoliko koeficijenata (ali ne i A, B, C u isto vrijeme) = 0, tada se jednadžba naziva nepotpunom i ravnina α ima singularnosti u položaju. Na primjer, ako je D = 0, tada α prolazi kroz ishodište. 6

Udaljenost od točke M 1 do ravnine α M 1 (x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 primjenjuje se na točku M 0 K 7

- udaljenost od točke M 1 do ravnine α Jednadžba ravnine "u segmentima" Napravimo jednadžbu ravnine koja odsijeca segmente koji nisu nula na koordinatnim osima s C(0, 0, c) vrijednostima a, b, c. Uzmimo B(0, b, 0) kao jednadžbu za točku A s A(a, 0, 0) 8

- jednadžba ravnine α "u segmentima" - jednadžba ravnine koja prolazi točkom A, okomita na vektor normale 9

§ 2. Opća jednadžba pravca. Pravac u prostoru može se definirati sjecištem 2 ravnine. (1) jednadžba ravne linije Sustav oblika (1) definira ravnu liniju u prostoru ako su koeficijenti A 1, B 1, C 1 istovremeno neproporcionalni s A 2, B 2, C 2. 10

Parametarske i kanoničke jednadžbe pravca - proizvoljna točka pravac točka M M 0 Parametarska jednadžba t - parametar 11

Eliminiranjem t dobivamo: - kanonska jednadžba Sustav (3) određuje gibanje materijalne točke, pravocrtno i jednoliko iz početnog položaja M 0 (x 0, y 0, z 0) brzinom u smjeru vektora. 12

Kut između pravaca u prostoru. Uvjeti paralelnosti i okomitosti. Neka su dva pravca L1, L2 u prostoru zadana svojim kanonskim jednadžbama: Tada se problem određivanja kuta između tih pravaca svodi na određivanje kuta

njihovi vektori smjera: Koristeći definiciju skalarnog umnoška i izraz u koordinatama navedenog skalarnog umnoška i duljinama vektora q 1 i q 2, dobivamo: 15

Uvjet paralelnosti pravaca l 1 i l 2 odgovara kolinearnosti q 1 i q 2, sastoji se u proporcionalnosti koordinata ovih vektora, tj. ima oblik: Uvjet okomitosti slijedi iz definicije skalara umnožak i njegova jednakost nuli (pri cos = 0) i ima oblik : l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16

Kut između pravca i ravnine: uvjeti paralelnosti i okomitosti pravca i ravnine. Razmotrimo ravninu P, zadanu općom jednadžbom: Ax + By + Cz + D = 0, i pravac L, zadan kanonskom jednadžba: 17

Kako je kut između pravca L i ravnine P komplementaran kutu između vektora smjernice pravca q = (l, m, n) i vektora normale ravnine n = (A, B, C), tada iz definicije skalarnog produkta q n = q n cos i jednakosti cos = sin (= 90 -), dobivamo: 18

Uvjet paralelnosti pravca L i ravnine P (koji uključuje činjenicu da L pripada P) ekvivalentan je uvjetu okomitosti vektora q i n i izražava se = 0 skalarnog umnoška ovih vektora: q n = 0: Al + Bm + Cn = 0. Uvjet okomitosti pravca L i ravnine P ekvivalentan je uvjetu paralelnosti vektora n i q i izražava se proporcionalnošću koordinata tih vektora: 19

Uvjeti da dva pravca pripadaju istoj ravnini Dva pravca u prostoru L 1 i L 2 mogu se: 1) sijeći; 2) biti paralelan; 3) križati se. U prva dva slučaja, pravci L 1 i L 2 leže u istoj ravnini. Ustanovimo uvjet pripadnosti istoj ravnini dviju ravnih linija danih kanonskim jednadžbama: 20

Očigledno, da bi dva navedena pravca pripadala istoj ravnini, potrebno je i dovoljno da su tri vektora = (x2 - x1, y2 - y1, z 2 - z 1); q 1 = (l 1, m 1, n 1) i q 2 = (l 2, m 2, n 2), bili komplanarni, za što je pak potrebno i dovoljno da mješoviti umnožak ova tri vektora = 0. 21

Zapisivanjem mješovitih umnožaka navedenih vektora u koordinate dobivamo potreban i dovoljan uvjet da dva pravca L 1 i L 2 pripadaju istoj ravnini: 22

Uvjet da pravac pripada ravnini Neka postoji pravac i ravnina Ax + Vy + Cz + D = 0. Ovi uvjeti imaju oblik: Ax1 + Vy1 + Cz 1 + D = 0 i Al + Bm + Cn = 0, od kojih prvi znači da točka M 1 (x1, y1, z 1), kroz koju pravac prolazi, pripada ravnini, a drugi je uvjet paralelnosti pravca i ravnine. 23

Krivulje drugog reda. § 1. Pojam jednadžbe pravca na ravnini. Jednadžba f (x, y) = 0 zove se jednadžba pravca L u odabranom koordinatnom sustavu ako je zadovoljavaju koordinate bilo koje točke koja leži na pravcu, a ne koordinate bilo koje točke koja ne leži na njemu. 24

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="Primjer: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}

Pravac L naziva se pravac n-tog reda ako je u nekom Kartezijevom koordinatnom sustavu zadan algebarskom jednadžbom n-tog stupnja s obzirom na x i y. Poznata nam je jedina linija 1. reda - pravac: Ax + By + D = 0 Razmotrit ćemo krivulje 2. reda: elipsu, hiperbolu, parabolu. Opća jednadžba linija 2. reda je: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26

Elipsa (E) Definicija. Elipsa - skup svih točaka ravnine, čiji je zbroj udaljenosti do dviju fiksnih točaka ravnine F 1 i F 2, zvanih žarišta, konstanta i veća od udaljenosti između žarišta. Označimo konstantu 2 a, udaljenost između žarišta 2 c. Kroz žarišta povucimo os X, (a > c, a > 0, c > 0). Y-os kroz središnje točke žarišne duljine. Neka je M proizvoljna točka elipse, tj. M ϵ E r 1 + r 2 = 2 a (1), gdje su r 1, r 2 žarišnih 27 radijusa E.

(1) zapisujemo u koordinatnom obliku: (2) Ovo je jednadžba elipse u odabranom koordinatnom sustavu. Pojednostavljenjem (2) dobivamo: b 2 = a 2 - c 2 (3) je kanonska jednadžba elipse. Može se pokazati da su (2) i (3) ekvivalentni: 28

Proučavanje oblika elipse prema kanonskoj jednadžbi 1) Elipsa je krivulja 2. reda 2) Simetrija elipse. budući da su x i y uključeni u (3) samo u parnim potencijama, tada elipsa ima 2 osi i 1 centar simetrije koji se u odabranom koordinatnom sustavu podudaraju s odabranim koordinatnim osima i točkom O. 29

3) Položaj elipse To jest, cijeli E nalazi se unutar pravokutnika čije su stranice x = ± a i y = ± b. 4) Sjecište s osima. A 1(-a; 0); A 2(a; 0); C OX: vrhovi elipse C OC: B 1(0; b); B2(0; -b); Zbog simetričnosti elipse razmatrat ćemo njezino ponašanje (↓) samo u prvoj četvrtini. trideset

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt="Rješavanje (3) s obzirom na y, dobivamo: u prvom kvadrantu x > 0 i elipsa se smanjuje."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}

Hiperbola (G) Definicija: G je skup svih točaka ravnine, čiji je modul razlike udaljenosti do 2 fiksne točke ravnine F 1 , F 2 konstantna vrijednost i

Pojednostavljenje (1): (2) je kanonska jednadžba G. (1) i (2) su ekvivalentni. Istraživanje hiperbole prema kanonskoj jednadžbi 1) G-pravac 2. reda 2) G ima dvije osi i jedno središte simetrije, koji se u našem slučaju poklapaju s koordinatnim osima i ishodištem. 3) Mjesto hiperbole. 34

Hiperbola se nalazi izvan trake između pravaca x = a, x = -a. 4) Točke sjecišta s osima. OX: OY: nema rješenja A 1(-a; 0); A 2(a; 0) – realni vrhovi G B 1(0; b); B 2(0; -b) - imaginarni vrhovi G 2 a - realna os G 2 b - imaginarna os G 35

5) Asimptote hiperbole. Zbog simetričnosti Γ, razmotrimo njegov dio u prvoj četvrtini. Rješavanjem (2) u odnosu na y dobivamo: jednadžba G u I četvrtini x ≥ 0 odgovarajućoj točki Γ, tj. u prvoj četvrtini Γ leži ispod ove crte. Svi G leže unutar okomitog kuta sa stranicama 36

6) Može se pokazati da u prvom dijelu G raste 7) Plan konstruiranja G

Parabola (P) Razmotrite d (direktrisu) i F (fokus) na ravnini. Definicija. P - skup svih točaka ravnine jednako udaljenih od pravca d i točke F (žižište) 39

d-direktrisa F-fokus XOY točka MP P zatim |MF| = |MN| (1) P jednadžba odabrana u koordinatnom sustavu Pojednostavljenjem (1) dobivamo y 2 = 2 px (2) – P kanonska jednadžba.

Istražite P prema kanonskoj jednadžbi x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41

§ 4. Cilindri. Cilindrične plohe s generatorima paralelnim s koordinatnim osima Kroz točku x pravca L povučemo pravac paralelan s osi OZ. Ploha koju tvore te linije naziva se cilindrična ploha ili cilindar (C). Svaki pravac paralelan s osi OZ naziva se generatrisa. l - vodilica cilindrične površine ravnine XOY. Z(x, y) = 0 (1) 42

Neka je M(x, y, z) proizvoljna točka na cilindričnoj površini. Projiciramo ga na L. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ C y = y 0 M ϵL 0, tj. je, koordinate M zadovoljavaju (1) očito je da ako M je C, onda nije projiciran na točku M 0 ϵ L i, prema tome, koordinate M neće zadovoljiti jednadžbu (1), koja definira C s generatrisa paralelna s osi OZ u prostoru. Slično, možemo pokazati da je: F(x, z) = 0 u prostoru C || OY 43 (y, z) = 0 definira u prostoru C || VOL

Projekcija prostornog pravca na koordinatnu ravninu Pravac u prostoru može se zadati parametarski i presjekom ploha. Jednu te istu liniju može zadati ∩ različitih ploha. Neka je prostorni pravac L zadan pomoću ∩ dviju površina α: S 1: F 1(x, y, z) = 0 S 2: F 2(x, y, z) = 0 jednadžba L F 1(x, y) , z) = 0 (1) F 2(x, y, z) = 0 Nađimo projekciju L na ravninu XOY iz jednadžbe (1) isključimo Z. Dobivamo jednadžbu: Z(x, y) = 0 – u prostoru je to jednadžba C s generatorom || OZ i vodič L. 46

Projekcija: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 Plohe drugog reda Elipsoid – kanonska jednadžba plohe ima oblik: 1) Elipsoid – ploha drugog reda. 2) X, Y, Z ulaze u jednadžbu samo u parnim potencijama => površina ima 3 ravnine i 1 centar simetrije koji se u odabranom koordinatnom sustavu poklapaju s koordinatnim ravninama i ishodištem. 47

3) Položaj elipsoida Površina je zatvorena između || ravnine s jednadžbama x = a, x = -a. Slično, tj. cijela površina je zatvorena unutar pravokutnog paralelopipeda. x = ± a, y = ± b, z = ± c. Istražit ćemo plohu metodom presjeka – prelaskom plohe koordinatnim ravninama || Koordinirati. U presjeku ćemo dobiti crte, po čijem ćemo obliku prosuditi oblik plohe. 48

Plohu siječemo ravninom XOY. U odjeljku dobivamo liniju. - elipsa a i b - poluosi Slično s ravninom YOZ - elipsa s poluosima b i c Ravnina || XOY Ako je h(0, c), tada se osi elipse smanjuju od a i b do 0. 49

a = b = c - sfera Paraboloidi a) Hiperbolički paraboloid je površina s kanonskom jednadžbom: 1) Površina drugog reda 2) Budući da x, y ulaze u jednadžbu samo u parnim potencijama, površina ima ravnine simetrije koje se podudaraju s a dan izbor koordinata s 50 ravnina XOZ, YOZ.

3) ispitujemo površinu metodom presjeka sedla pl. XOZ U presjeku parabola simetrična na os OZ, uzlazna. kvadrat YOZ 51

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt="pl. ||XOY za h > 0 hiperbola, sa stvarnom poluosi duž OX, za h"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}

b) Dvolisni hiperboloid 1) ploha drugog reda 2) ima 3 ravnine i 1 centar simetrije 3) mjesto plohe x 2 ≥ a 2 ; |x| ≥ a ; (a, b, c > 0) Ploha se sastoji od dva dijela smještena izvan trake između ravnina s jednadžbama x = a, x = -a 4) proučavamo metodom presjeka (Samostalno!) 57

Stožac drugog reda Stožac drugog reda je ploha čija kanonska jednadžba ima oblik: 1) ploha drugog reda 2) ima 3 ravnine i 1 centar simetrije 3) proučavamo metodom presjeka pl. XOY 58

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt="sq. ||XOY |h| –>∞ od 0 do ∞ sq. YOZ par linija , prolazeći kroz"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}

U prostoru analitička geometrija proučava površine, koje su u pravokutnim kartezijevim koordinatama određene algebarskim jednadžbama prve, druge itd. stupnjevi u odnosu na X,Y,Z:

Ax+By+Cz+D=0 (1)

Ax²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Mx+2Ny+2Lz+K=0 (2)

i tako dalje. Red jednadžbe naziva se redom površine koju definira. Već smo vidjeli da jednadžba prva narudžba(linearni) (1) uvijek postavlja avion je jedina površina prvog reda. Postoje već mnoge površine drugog reda. Razmotrimo najvažnije od njih.

§2. Cilindrične plohe s generatorima paralelnim s jednom od koordinatnih osi.

Neka je neki pravac L dan u ravnini XOY, na primjer, njegova jednadžba je F(x,y)=0 (1) . Tada skup pravaca paralelnih s osi oz (generatora) koji prolaze kroz točke na L čine plohu S tzv. cilindrična površina.

Pokažimo da je jednadžba (1), koja ne sadrži varijablu z, jednadžba ove cilindrične plohe S. Uzmimo proizvoljnu točku M(x, y, z) koja pripada S. Neka generatrisa, koja prolazi kroz M, sijeku L u točki N. Točka N ima koordinate N(x,y,0), one zadovoljavaju jednadžbu (1), jer ( )N pripada L. Ali tada koordinate (x,y,z,) također zadovoljavaju (1), jer ne sadrži z. Dakle, koordinate bilo koje točke cilindrične površine S zadovoljavaju jednadžbu (1). Dakle, F(x,y)=0 je jednadžba ove cilindrične površine. Krivulja L se zove vodič (krivulja) cilindrična površina. Imajte na umu da bi u prostornom sustavu L trebala biti dana, zapravo, s dvije jednadžbe F(x,y)=0, z=0, kao linija presjeka.

Primjeri:

Vodilice u ravnini su elipse, parabole, hiperbole. Očito, jednadžbe F=(y,z)=0 odnosno F(x,z)=0 definiraju cilindrične površine s generatorima paralelnim s osi OX i OY. Njihove vodilice leže u YOZ odnosno XOZ ravninama.

Komentar. Cilindrična površina nije nužno površina drugog reda. Na primjer, postoji cilindrična ploha 3. reda, a jednadžba y=sin(x) definira sinusoidni cilindar, kojemu se ne pripisuje nikakav red, to uopće nije algebarska ploha.

§3. Jednadžba rotacijske površine.

Neke površine 2. reda su rotacijske površine. Neka neka krivulja L F(y,z)=0(1) leži u YOZ ravnini. Saznajmo kakva će biti jednadžba plohe S nastale rotacijom krivulje (1) oko osi oz.

Uzmimo proizvoljnu točku M(x,y,z) na površini S. Može se smatrati dobivenim iz (.) N koji pripada L, tada su aplikate točaka M i N jednake (=z). Ordinata točke N je ovdje radijus rotacije, dakle. Ali C (0,0, z) i stoga . Ali točka N leži na krivulji i stoga je njezine koordinate zadovoljavaju. Sredstva (2) . Jednadžbu (2) zadovoljavaju koordinate rotacijske površine S. Stoga je (2) jednadžba rotacijske plohe. Predznaci "+" ili "-" uzimaju se ovisno o tome u kojem dijelu ravnine YOZ se nalazi krivulja (1), gdje je y>0 ili .

Dakle, pravilo je: Da biste pronašli jednadžbu plohe nastale rotacijom krivulje L oko osi OZ, trebate zamijeniti varijablu y u jednadžbi krivulje

Jednadžbe rotacijskih površina oko osi OX i OY nastaju slično.

Površinski

Površina definirana nekom jednadžbom u zadanom koordinatnom sustavu je geometrijsko mjesto točaka čije koordinate zadovoljavaju zadanu jednadžbu F(x; y; z) = 0.

linija u prostoru

Ako jednadžbe F(x; y; z) = 0 i F (x; y; z) = 0 definiraju neku površinu, tada se pravac L (x; y; z) = 0 može definirati kao geometrijsko mjesto zajedničkih točaka na obje površine (linija presjeka površina)

Ravnina kao ploha prvog reda

Postoje najmanje tri definicije ravnine:

1) Ravnina je ploha koja potpuno svaki pravac koji povezuje bilo koje dvije njegove točke.

2) Ravnina je skup točaka u prostoru jednako udaljenih od zadane dvije točke.

A sada o jednom od oblika jednadžbe ravnine.

Prvo, od školskih dana se zna; "Bilo koje tri točke koje se ne poklapaju i ne leže na jednoj ravnoj liniji određuju ravninu, i to samo jednu." Nije slučajno da je stolac s tri noge apsolutno stabilan (odnosno, „ne ljulja se“), a stolac s dvije ili više od tri noge nije stabilan („ljulja se“). Drugo, vektor normale na ravninu je orijentira u prostoru (vidi sl.31)

Neka željena ravnina p prolazi kroz točku M 0 okomito na vektor, tada

Prvo, vektor je rezultat umnoška vektora M 0 M 2 i vektora M 0 M 1

Drugo, vektor je okomit i na vektor M 0 M 2 i na vektor M 1 M 2 . Odakle, odakle uvjeti ortogonalnosti vektora dobivamo da je skalarni produkt na vektoru M 0 M 2 (ili na vektoru M 0 M 1) jednak nuli. Ako točka M 2 ima koordinate (x; y; z), tada skalarni umnožak vektora i vektora M 0 M 2 mora biti jednak nuli. Uzimajući u obzir činjenicu da je vektor M 0 M 2 definiran kao

shvaćamo to

Jednadžba ravnine koja prolazi kroz zadanu točku i okomita je na zadani vektor

Primjer 30 (dobivanje jednadžbe ravnine)

Nađite jednadžbu ravnine koja prolazi točkom M 0 (1; 1; 1) okomito na vektor

Riješenje

U našem slučaju

A=1, B=1 i C=1;

x 0 = 2, y 0 = 2, z 0 = 3,

dakle, jednadžba ravnine ima oblik

Ili, konačno,

Odgovor

Željena ravnina određena je jednadžbom

Opća jednadžba ravnine

Općenito, svaka jednadžba oblika

A x + B y + C z + D = 0

definira ravninu (gdje su A, B i C koordinate vektora normale na ravninu). Ovakav oblik jednadžbe ravnine naziva se "opća jednadžba ravnine".

Jednadžbe nepotpune ravnine

Neka je ravnina dana svojom općom jednadžbom

A x + B y + C z + D = 0, (*)

1) ako je D = 0, tada (*) definira ravninu koja prolazi kroz ishodište;

2) ako je A \u003d 0, tada je B y + C z + D \u003d 0 i imamo ravninu, paralelno s osi Ox(jer);

3) ako je B \u003d 0, tada je A x + C z + D \u003d 0 i imamo ravninu, paralelna s osi Oy(jer);

4) ako je C = 0, tada je A x + B y + D = 0 i imamo ravninu, paralelno s osi Oz(jer);

5) A = 0; B \u003d 0, zatim C z + D \u003d 0 i imamo ravninu paralelnu s ravninom Oxy;

6) A = 0; C \u003d 0, zatim B y + D \u003d 0 i imamo ravninu paralelnu s ravninom Oxz;

7) B = 0; C = 0, tada je A x + D = 0 i imamo ravninu paralelnu s ravninom Oyz;

8) A \u003d 0, B \u003d 0, D \u003d 0, tada je C z = 0 Oxy ravnina;

9) A = 0, C = 0, D = 0, tada je B y = 0 ravnina Oxz;

10) B = 0, C = 0, D = 0, tada je A z = 0 ravnina Oyz.

Baš kao što je bilo prije s opća jednadžba pravca na ravnini, drugi oblici jednadžbe ravnine mogu se dobiti iz opće jednadžbe. Jedan od tih oblika je jednadžba ravnine u segmentima.

Iz opće jednadžbe ravnine

A x + B y + C z + D = 0

Ispada jednadžba ravnine u segmentima