Kako pronaći promjer opisane kružnice šesterokuta. Što je pravilan šesterokut i koji se zadaci mogu povezati s njim? Upute korak po korak izgledat će ovako

Najpoznatiji lik s više od četiri kuta je pravilni šesterokut. U geometriji se često koristi u problemima. A u životu upravo to ima saće na rezu.

Kako se razlikuje od pogrešnog?

Prvo, šesterokut je lik sa 6 vrhova. Drugo, može biti konveksan ili konkavan. Prvi se razlikuje po tome što četiri vrha leže s jedne strane ravne linije povučene kroz druga dva.

Treće, pravilan šesterokut karakterizira činjenica da su mu sve strane jednake. Štoviše, svaki kut figure također ima ista vrijednost. Da biste odredili zbroj svih njegovih kutova, morat ćete upotrijebiti formulu: 180º * (n - 2). Ovdje je n broj vrhova figure, to jest 6. Jednostavan izračun daje vrijednost od 720º. Dakle, svaki kut je 120 stupnjeva.

U svakodnevnim aktivnostima pravilni šesterokut nalazimo u pahuljici i orahu. Kemičari ga vide čak iu molekuli benzena.

Koja svojstva morate znati pri rješavanju problema?

Gore navedenom treba dodati:

  • dijagonale figure, povučene kroz središte, dijele je na šest trokuta, koji su jednakostranični;
  • stranica pravilnog šesterokuta ima vrijednost koja se podudara s polumjerom opisane kružnice oko njega;
  • koristeći takvu figuru, moguće je ispuniti ravninu, a između njih neće biti praznina i preklapanja.

Uvedena notacija

Tradicionalno, strana pravilne geometrijske figure označava se latiničnim slovom "a". Za rješavanje problema također su potrebni površina i perimetar, to su S i P, redom. Kružnica je upisana u pravilan šesterokut ili oko njega opisana. Zatim se unose vrijednosti za njihove radijuse. Označavaju se redom slovima r i R.

U nekim se formulama pojavljuju unutarnji kut, poluopseg i apotem (koji je okomica na sredinu bilo koje stranice iz središta mnogokuta). Za njih se koriste slova: α, p, m.

Formule koje opisuju oblik

Za izračunavanje polumjera upisane kružnice potrebno vam je sljedeće: r= (a * √3) / 2, i r = m. To jest, ista će formula biti za apotemu.

Budući da je opseg šesterokuta zbroj svih stranica, odredit ćemo ga na sljedeći način: P = 6 * a. S obzirom da je strana jednaka polumjeru opisane kružnice, za opseg postoji takva formula za pravilan šesterokut: P \u003d 6 * R. Od one dane za polumjer upisane kružnice, odnos između a i r je izvedeno. Tada formula ima sljedeći oblik: R = 4 r * √3.

Za površinu pravilnog šesterokuta ovo bi moglo dobro doći: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.

Zadaci

Broj 1. Stanje. Postoji pravilna šesterokutna prizma čiji je svaki brid jednak 4 cm.U nju je upisan cilindar čiji volumen treba odrediti.

Riješenje. Volumen cilindra definiran je kao umnožak površine baze i visine. Potonji se poklapa s rubom prizme. I jednak je stranici pravilnog šesterokuta. Odnosno, visina cilindra je također 4 cm.

Da biste saznali površinu njegove baze, morate izračunati polumjer kruga upisanog u šesterokut. Formula za to prikazana je gore. Dakle, r = 2√3 (cm). Tada je površina kruga: S \u003d π * r 2 \u003d 3,14 * (2√3) 2 \u003d 37,68 (cm 2).

Odgovor. V \u003d 150,72 cm 3.

Broj 2. Stanje. Izračunaj polumjer kružnice upisane u pravilan šesterokut. Poznato je da mu je stranica √3 cm.Koliki će mu biti opseg?

Riješenje. Ovaj zadatak zahtijeva korištenje dvije od gornjih formula. Štoviše, moraju se primijeniti čak i bez modificiranja, samo zamijenite vrijednost strane i izračunajte.

Dakle, radijus upisane kružnice ispada 1,5 cm, a za opseg se ispostavlja točna vrijednost: 6√3 cm.

Odgovor. r = 1,5 cm, R = 6√3 cm.

Broj 3. Stanje. Polumjer opisane kružnice je 6 cm.Koju će vrijednost u tom slučaju imati stranica pravilnog šesterokuta?

Riješenje. Iz formule za polumjer kružnice upisane u šesterokut lako se dobije ona po kojoj treba izračunati stranicu. Jasno je da je polumjer pomnožen s dva i podijeljen s korijenom iz tri. Potrebno je osloboditi se iracionalnosti u nazivniku. Stoga rezultat radnji ima sljedeći oblik: (12 √3) / (√3 * √3), odnosno 4√3.

Odgovor. a = 4√3 cm.

Konstrukcija pravilnog šesterokuta upisanog u krug. Konstrukcija šesterokuta temelji se na činjenici da je njegova stranica jednaka polumjeru opisane kružnice. Stoga je za izgradnju dovoljno podijeliti krug na šest jednakih dijelova i spojiti pronađene točke jedna s drugom (slika 60, a).

Pravilni šesterokut može se konstruirati pomoću T-kvadrata i kvadrata 30X60°. Da bismo izvršili ovu konstrukciju, uzimamo horizontalni promjer kruga kao simetralu kutova 1 i 4 (slika 60, b), gradimo strane 1-6, 4-3, 4-5 i 7-2, nakon čega smo nacrtati strane 5-6 i 3-2.

Konstrukcija jednakostraničnog trokuta upisanog u krug. Vrhovi takvog trokuta mogu se konstruirati pomoću šestara i kvadrata s kutovima od 30 i 60 ° ili samo jednim šestarom.

Razmotrimo dva načina konstruiranja jednakostraničnog trokuta upisanog u krug.

Prvi način(Sl. 61, a) temelji se na činjenici da sva tri kuta trokuta 7, 2, 3 sadrže svaki po 60 °, a okomita crta povučena kroz točku 7 je i visina i simetrala kuta 1. Budući da kut 0-1- 2 jednak je 30°, zatim za pronalaženje stranice

1-2, dovoljno je izgraditi kut od 30 ° u točki 1 i strani 0-1. Da biste to učinili, postavite T-kvadrat i kvadrat kao što je prikazano na slici, nacrtajte liniju 1-2, koja će biti jedna od strana željenog trokuta. Za izradu stranice 2-3, postavite T-kvadrat na položaj prikazan isprekidanim linijama i nacrtajte ravnu liniju kroz točku 2, koja će definirati treći vrh trokuta.

Drugi način temelji se na činjenici da ako izgradite pravilan šesterokut upisan u krug, a zatim spojite njegove vrhove kroz jedan, dobit ćete jednakostranični trokut.

Da bismo konstruirali trokut (slika 61, b), označimo vrh-točku 1 na promjeru i nacrtamo dijametralnu liniju 1-4. Nadalje, od točke 4 s polumjerom jednakim D / 2, opisujemo luk dok se ne presijeca s krugom u točkama 3 i 2. Rezultirajuće točke bit će dva druga vrha željenog trokuta.

Konstrukcija kvadrata upisanog u krug. Ova se konstrukcija može izvesti pomoću kvadrata i šestara.

Prva metoda temelji se na činjenici da se dijagonale kvadrata sijeku u središtu opisane kružnice i da su nagnute prema njezinoj osi pod kutom od 45°. Na temelju toga postavljamo T-kvadrat i kvadrat s kutovima od 45 ° kao što je prikazano na sl. 62, a, i označite točke 1 i 3. Nadalje, kroz ove točke, nacrtamo vodoravne strane kvadrata 4-1 i 3-2 uz pomoć T-kvadrata. Zatim pomoću T-kvadrata duž kraka kvadrata nacrtamo okomite stranice kvadrata 1-2 i 4-3.

Druga metoda temelji se na činjenici da vrhovi kvadrata dijele lukove kruga zatvorene između krajeva promjera (slika 62, b). Označimo točke A, B i C na krajevima dvaju međusobno okomitih promjera i iz njih polumjerom y opisujemo lukove dok se ne sijeku.

Nadalje, kroz točke sjecišta lukova, crtamo pomoćne linije, označene na slici punim linijama. Njihove točke presjeka s kružnicom definirat će vrhove 1 i 3; 4 i 2. Tako dobiveni vrhovi željenog kvadrata spojeni su u seriju jedan s drugim.

Konstrukcija pravilnog peterokuta upisanog u krug.

Za upisivanje pravilnog peterokuta u krug (slika 63) napravimo sljedeće konstrukcije.

Označimo točku 1 na kružnici i uzmemo je kao jedan od vrhova peterokuta. Podijelite segment AO na pola. Da bismo to učinili, polumjerom AO iz točke A opišemo luk do sjecišta s kružnicom u točkama M i B. Spajanjem ovih točaka ravnom linijom dobivamo točku K, koju potom povezujemo s točkom 1. S radijusom jednakim segmentu A7, opisujemo luk od točke K do sjecišta s dijametralnom linijom AO ​​u točki H. Spajajući točku 1 s točkom H, dobivamo stranu peterokuta. Zatim, s otvorom šestara jednakim segmentu 1H, koji opisuje luk od vrha 1 do sjecišta s kružnicom, nalazimo vrhove 2 i 5. Napravivši zareze iz vrhova 2 i 5 s istim otvorom šestara, dobivamo preostali vrhovi 3 i 4. Pronađene točke povezujemo sekvencijalno jednu s drugom.

Konstrukcija pravilnog peterokuta s obzirom na njegovu stranicu.

Da bismo konstruirali pravilan peterokut duž njegove zadane stranice (sl. 64), segment AB podijelimo na šest jednakih dijelova. Iz točaka A i B polumjera AB opišemo lukove čiji će presjek dati točku K. Kroz tu točku i razdjelnik 3 na pravcu AB povučemo okomitu crtu.

Dobivamo točku 1-vrh peterokuta. Zatim polumjerom jednakim AB iz točke 1 opišemo luk do sjecišta s lukovima prethodno povučenim iz točaka A i B. Sjecišta lukova određuju vrhove peterokuta 2 i 5. Spojimo pronađene vrhovi u seriji jedan s drugim.

Konstrukcija pravilnog sedmerokuta upisanog u krug.

Neka je dan krug promjera D; u nju trebate upisati pravilan sedmerokut (slika 65). Podijelite okomiti promjer kruga na sedam jednakih dijelova. Iz točke 7 polumjerom jednakim promjeru kružnice D opisujemo luk dok se ne siječe s nastavkom horizontalnog promjera u točki F. Točka F naziva se polom mnogokuta. Uzimajući točku VII kao jedan od vrhova sedmerokuta, povučemo zrake iz pola F kroz parne podjele okomitog promjera, čiji će presjek s kružnicom odrediti vrhove VI, V i IV sedmerokuta. Da bismo dobili vrhove / - // - /// iz točaka IV, V i VI, povlačimo vodoravne linije dok se ne sijeku s kružnicom. Pronađene vrhove povezujemo u nizu jedan s drugim. Sedmerokut se može konstruirati povlačenjem zraka od F pola i kroz neparne podjele okomitog promjera.

Gornja metoda prikladna je za konstruiranje pravilnih poligona s bilo kojim brojem stranica.

Podjela kruga na proizvoljan broj jednakih dijelova može se izvršiti i pomoću podataka u tablici. 2, na kojoj su prikazani koeficijenti koji omogućuju određivanje dimenzija stranica pravilnih upisanih mnogokuta.

Ima li olovka u tvojoj blizini? Pogledajte njegov presjek - to je pravilan šesterokut ili, kako ga još zovu, šesterokut. Presjek oraha, šesterokutno šahovsko polje, neke složene molekule ugljika (na primjer, grafit), pahuljica, saće i drugi predmeti također imaju ovaj oblik. Nedavno je otkriven gigantski pravilan šesterokut. Ne čini li se čudno da priroda tako često koristi strukture ovog posebnog oblika za svoje kreacije? Pogledajmo pobliže.

Pravilni šesterokut je mnogokut sa šest jednakih stranica i jednakih kutova. Iz školski tečaj znamo da ima sljedeća svojstva:

  • Duljina njegovih stranica odgovara polumjeru opisane kružnice. Od svih, samo pravilan šesterokut ima ovo svojstvo.
  • Kutovi su međusobno jednaki, a veličina svakog od njih je 120 °.
  • Opseg šesterokuta može se pronaći pomoću formule R=6*R ako je poznat polumjer kružnice koja je oko njega opisana ili R=4*√(3)*r ako je kružnica upisana u nju. R i r su polumjeri opisane i upisane kružnice.
  • Površina koju zauzima pravilan šesterokut određena je na sljedeći način: S=(3*√(3)*R 2)/2. Ako je polumjer nepoznat, umjesto njega zamijenimo duljinu jedne od stranica - kao što znate, ona odgovara duljini polumjera opisane kružnice.

Pravilni šesterokut ima jedan zanimljiva značajka zahvaljujući čemu je dobio tako široku rasprostranjenost u prirodi - sposoban je ispuniti bilo koju površinu ravnine bez preklapanja i praznina. Postoji čak i tzv. Palova lema prema kojoj je pravilan šesterokut čija je stranica jednaka 1/√(3) univerzalna guma, odnosno može pokriti bilo koji skup promjera jedne jedinice.

Sada razmotrite konstrukciju pravilnog šesterokuta. Postoji nekoliko načina, od kojih je najlakši korištenje šestara, olovke i ravnala. Najprije šestarom nacrtamo proizvoljnu kružnicu, zatim na proizvoljnom mjestu na toj kružnici napravimo točku. Bez mijenjanja rješenja kompasa, stavljamo vrh na ovu točku, označavamo sljedeći zarez na krugu, nastavljamo na ovaj način dok ne dobijemo svih 6 točaka. Sada ostaje samo da ih međusobno povežete ravnim segmentima i ispast će željena figura.

U praksi, postoje trenuci kada želite nacrtati šesterokut velika veličina. Na primjer, na dvoslojnom stropu od gipsanih ploča, oko mjesta pričvršćivanja središnjeg lustera, trebate instalirati šest malih svjetiljki na donjoj razini. Bit će vrlo, vrlo teško pronaći kompas ove veličine. Kako postupiti u ovom slučaju? Kako nacrtati veliki krug? Jako jednostavno. Morate uzeti jaku nit željene duljine i vezati jedan od njegovih krajeva nasuprot olovke. Sada ostaje samo pronaći pomoćnika koji bi pritisnuo drugi kraj konca na strop na pravoj točki. Naravno, u ovom slučaju moguće su manje pogreške, ali malo je vjerojatno da će ih uopće primijetiti autsajder.


Matematička svojstva


Značajka pravilnog šesterokuta je jednakost njegove stranice i polumjera opisane kružnice, jer

Svi kutovi su 120°.

Polumjer upisane kružnice je:

Opseg pravilnog šesterokuta je:


Površina pravilnog šesterokuta izračunava se po formulama:

Heksagoni popločavaju ravninu, odnosno mogu ispuniti ravninu bez praznina i preklapanja, tvoreći takozvani parket.

Šestougaoni parket (šestougaoni parket)- teselacija ravnine s jednakim pravilnim šesterokutima koji se nalaze jedna uz drugu.

Heksagonalni parket je dvojak trokutastom parketu: ako spojite središta susjednih šesterokuta, tada će iscrtani segmenti dati trokutasti parket. Schläfli simbol šesterokutnog parketa je (6,3), što znači da tri šesterokuta konvergiraju na svakom vrhu parketa.

Heksagonalni parket je najgušće slaganje krugova u ravnini. U dvodimenzionalnom euklidskom prostoru najbolja ispuna je smjestiti središta krugova u vrhove parketa koji čine pravilni šesterokuti, u kojem je svaki krug okružen sa šest drugih. Gustoća ovog pakiranja je. Godine 1940. dokazano je da je ovo pakiranje najgušće.

Pravilni šesterokut sa stranicom je univerzalni pokrov, odnosno bilo koji skup promjera može biti pokriven pravilnim šesterokutom sa stranicom (Palova lema).

Pravilni šesterokut može se konstruirati pomoću šestara i ravnala. Ispod je metoda konstrukcije koju je predložio Euclid u Elementima, knjiga IV, teorem 15.

Pravilni šesterokut u prirodi, tehnologiji i kulturi


prikazati podjelu ravnine na pravilne šesterokute. Šesterokutni oblik više od ostalih omogućuje vam uštedu na zidovima, odnosno manje će se voska potrošiti na saće s takvim stanicama.

Neki složeni kristali i molekule, kao što je grafit, imaju heksagonalnu kristalnu rešetku.

Nastaju kada mikroskopske kapljice vode u oblacima privuku čestice prašine i smrznu se. Kristali leda koji se pritom pojavljuju, a koji isprva ne prelaze 0,1 mm u promjeru, padaju i rastu uslijed kondenzacije vlage iz zraka na njima. U tom slučaju nastaju šesterokraki kristalni oblici. Zbog strukture molekula vode mogući su samo kutovi od 60° i 120° između zraka kristala. Glavni kristal vode ima oblik pravilnog šesterokuta u ravnini. Na vrhove takvog šesterokuta tada se talože novi kristali, na njih se talože novi i tako se dobivaju razni oblici zvijezda pahuljica.

Znanstvenici sa Sveučilišta Oxford uspjeli su u laboratoriju simulirati nastanak takvog šesterokuta. Kako bi saznali kako nastaje takva formacija, istraživači su postavili bocu od 30 litara vode na okretni tanjur. Modelirala je atmosferu Saturna i njegovu uobičajenu rotaciju. Unutra su znanstvenici postavili male prstenove koji se okreću brže od posude. To je generiralo minijaturne vrtloge i mlazove, koje su eksperimentatori vizualizirali zelenom bojom. Što se prsten brže okretao, vrtlozi su postajali veći, uzrokujući da obližnji potok odstupi od kružnog oblika. Tako su autori eksperimenta uspjeli dobiti razne oblike - ovale, trokute, kvadrate i, naravno, željeni šesterokut.

Spomenik prirode od oko 40 000 međusobno povezanih bazaltnih (rjeđe andezitskih) stupova, nastalih kao rezultat drevne vulkanske erupcije. Smješten na sjeveroistoku Sjeverne Irske, 3 km sjeverno od grada Bushmills.

Vrhovi stupova čine svojevrsnu odskočnu dasku, koja počinje u podnožju litice i nestaje ispod površine mora. Većina stupova je šesterokutna, iako neki imaju četiri, pet, sedam ili osam kutova. Najviši stup visok je oko 12 metara.

Prije otprilike 50-60 milijuna godina, tijekom razdoblja paleogena, nalazište Antrim bilo je izloženo intenzivnoj vulkanskoj aktivnosti kada je rastaljeni bazalt prodirao kroz naslage, tvoreći opsežne visoravni lave. S brzim hlađenjem, volumen tvari se smanjio (to se opaža kada se blato osuši). Horizontalna kompresija rezultirala je karakterističnom strukturom šesterokutnih stupova.

Poprečni presjek matice ima oblik pravilnog šesterokuta.

Pravilni šesterokut Šesterokut je mnogokut sa šest uglova. Svaki predmet ovog oblika naziva se i šesterokut. Zbroj unutarnjih kutova konveksnog šesterokuta p ... Wikipedia

Saturnov šesterokut- Heksagonalna stabilna atmosferska formacija na sjevernom polu Saturna, koju je otkrio Voyager 1 i ponovno opažena 2006. i ... Wikipedia

pravilan poligon- Pravilni sedmerokut Pravilni mnogokut je konveksni mnogokut kojemu su sve stranice i kutovi jednaki. Definicija pravilnog poligona može ovisiti o definiciji ... Wikipedije

Pravilni sedmerokut Pravilni sedmokut je pravilan mnogokut sa sedam stranica. Sadržaj ... Wikipedia

pravokutni trokut- Pravokutni trokut. Pravilni (ili jednakostranični) trokut je pravilan mnogokut s tri stranice, prva od pravilni poligoni. Sve strane ... Wikipedia

Pravilni jednokut je pravilan mnogokut s devet stranica. Pravilo svojstava ... Wikipedia

Obični 17-gon- Običnih sedamnaest geometrijski lik koji pripadaju skupini pravilnih poligona. Ima sedamnaest strana i sedamnaest kutova, svi su mu kutovi i stranice međusobno jednaki, svi vrhovi leže na jednoj kružnici. Sadržaj 1 ... ... Wikipedia

Običnih sedamnaest- geometrijski lik koji pripada skupini pravilnih poligona. Ima sedamnaest strana i sedamnaest kutova, svi su mu kutovi i stranice međusobno jednaki, svi vrhovi leže na jednoj kružnici. Sadržaj ... Wikipedia

Pravilni osmerokut- (osmerokut) geometrijski lik iz skupine pravilnih mnogokuta. Ima osam stranica i osam kutova i svi kutovi i stranice su međusobno jednaki ... Wikipedia

Ispravno 65537-gon- 65537 kvadrat ili krug? Pravilni 65537 poligon (sixty-five ̀syachfivesòthirty-sevengon) je geometrijska figura iz grupe pravilnih mnogokuta, koja se sastoji od 65537 ... Wikipedia

knjige

  • Setovi "Magic Edges" br. 25,. Set za sastavljanje 3 kocke sa dijelovima. Svaka kocka ima pomične dijelove gdje presjek prolazi. To vam omogućuje da vidite kocku kao cjelinu iu presjeku. Sastavljene tri kocke omogućuju vam rješavanje problema ...