Formula za određivanje zbroja kutova mnogokuta. Konveksni poligon. Svojstva pravilnih mnogokuta

svoj poligon. Na primjer, ako trebate pronaći kutove pravilnog mnogokuta s 15 stranica, uključite n=15 u jednadžbu. Dobit ćete S=180⁰(15-2), S=180⁰x13, S=2340⁰.

Zatim podijelite dobiveni zbroj unutarnjih kutova s ​​njihovim brojem. Na primjer, u mnogokutu, broj uglova je broj stranica, odnosno 15. Dakle, dobit ćete da je kut 2340⁰/15=156⁰. Svaki unutarnji kut mnogokuta je 156⁰.

Ako vam je prikladnije izračunati kutove poligona u radijanima, postupite na sljedeći način. Od broja strana oduzmite broj 2 i dobivenu razliku pomnožite s brojem P (Pi). Zatim podijelite proizvod s brojem uglova u poligonu. Na primjer, ako trebate izračunati kutove pravilnog 15-kuta, učinite ovo: P * (15-2) / 15 \u003d 13 / 15P, ili 0,87P, ili 2,72 (ali, kao, broj P ostaje nepromijenjen) . Ili jednostavno podijelite veličinu kuta u stupnjevima s 57,3 - toliko je sadržano u jednom radijanu.

Također možete pokušati izračunati kutove pravilnog mnogokuta u stupnjevima. Da biste to učinili, oduzmite broj 2 od broja stranica, dobiveni broj podijelite s brojem stranica i rezultat pomnožite s 200. Ova mjerna jedinica za kutove danas se gotovo uopće ne koristi, ali ako odlučite izračunati kutove u tuča, ne zaboravite da se tuča dijeli na metričke sekunde i minute (100 sekundi u minuti).

Možda trebate izračunati vanjski kut pravilnog mnogokuta, u kojem slučaju to učinite. Oduzmite unutarnji kut od 180⁰ - kao rezultat dobit ćete vrijednost susjednog, odnosno vanjskog kuta. Može uzeti vrijednost od -180⁰ do +180⁰.

Koristan savjet

Ako ste uspjeli saznati kutove pravilnog poligona, lako ga možete sastaviti. Nacrtajte jednu stranicu određene duljine i kutomjerom odvojite od nje željeni kut. Izmjerite točno jednaku udaljenost (sve stranice pravilnog mnogokuta su jednake) i ponovno odvojite željeni kut. Nastavite dok se strane ne sretnu.

Izvori:

  • kut u pravilnom mnogokutu

Za poligon se kaže da je opisan ako sve njegove stranice dodiruju krug koji mu je upisan. Možete opisati samo pravilan mnogokut, odnosno onaj u kojem su sve stranice jednake. Čak su se i drevni arhitekti suočavali s rješenjem takvog problema kada je bilo potrebno dizajnirati, na primjer, stup. Moderne tehnologije omogućuju vam da to učinite uz minimalno vrijeme, ali princip rada ostaje isti kao u klasičnoj geometriji.

Trebat će vam

  • - kompas;
  • - kutomjer;
  • - vladar;
  • - papir.

Uputa

Nacrtaj krug sa zadanim . Odredite njegovo središte kao O i nacrtajte jedan od radijusa tako da je moguće početi graditi. Da biste opisali poligon oko njega, potreban vam je njegov jedini parametar - broj stranica. Označite ga kao n.

Zapamtite, kut bilo kojeg kruga. To je 360°. Na temelju toga moguće je izračunati kutove sektora čije će strane spajati središte kruga s dodirnim točkama sa stranama poligona. Broj tih sektora jednak je broju stranica poligona, odnosno n. Odredite kut α pomoću formule α = 360°/n.

Koristeći kutomjer, odvojite dobivenu vrijednost kuta od radijusa i nacrtajte drugi radijus kroz njega. Kako bi izračuni bili točni, koristite kalkulator i zaokružite vrijednosti samo u iznimnim slučajevima. Od ovog novog radijusa, ponovno odvojite kut sektora i nacrtajte drugu liniju između središta i kružnice. Izgradite sve uglove na isti način.

Namjena: Izvesti formulu za pronalaženje zbroja kutova konveksnog mnogokuta;

  • istražiti pitanje zbroja vanjskih kutova mnogokuta, uzetih po jedan na svakom vrhu;
  • stvoriti pozitivnu motivaciju kognitivnu aktivnost;
  • razvijati logično razmišljanje;
  • razvijati pažnju, zapažanje, sposobnost analize crteža;
  • formirati sposobnost primjene stečenog znanja za rješavanje problema;
  • razvijati komunikativnu kulturu učenika.

Tijekom nastave

Veliki ruski znanstvenik, ponos ruske zemlje,

Mihailo Vasiljevič Lomonosov je rekao: "Nasilan rad svladava prepreke." Nadam se da će nam danas na lekciji naš rad s vama pomoći da prevladamo sve prepreke.

1. Aktualizacija temeljnih znanja. (Prednja anketa.)

Prezentacija. (Slajdovi 2-4)

- Formulirati definiciju mnogokuta, imenovati njegove glavne elemente.
– Definicija konveksnog mnogokuta.
- Navedite primjere vama poznatih četverokuta koji su konveksni mnogokuti.
Može li se trokut smatrati konveksnim mnogokutom?
Što je vanjski kut konveksnog mnogokuta?

2. Izjava problema (izlaz na temu lekcije).

Usmeni prednji rad.

Odredi zbroj kutova zadanih mnogokuta (Slajdovi 5-6)

- trokut; pravokutnik:
- trapez; proizvoljni sedmerokut.

U slučaju poteškoća, nastavnik postavlja pitanja:

- Formulirajte definiciju trapeza.
Imenuj osnovice trapeza.
- Što se može reći o paru kutova A i D, koje svojstvo imaju?
- Možete li i dalje navesti par unutarnjih jednostranih kvaka na crtežu?
Možete li pronaći zbroj kutova sedmerokuta? Koje je pitanje? (Postoji li formula za pronalaženje zbroja kutova proizvoljnog poligona?)

Dakle, jasno je da naše današnje znanje nije dovoljno za rješavanje ovog problema.

Kako možemo formulirati temu naše lekcije? - Zbroj kutova konveksni poligon.

3. Rješenje Problemi. Kako bismo odgovorili na ovo pitanje, napravimo malo istraživanje.

Već znamo teorem o zbroju trokuta. Možemo li to na bilo koji način primijeniti?

– Što za to treba učiniti? (Podijeli poligon na trokute.)

Kako se mnogokut može podijeliti na trokute? Razmislite o tome, raspravite i ponudite svoje najbolje mogućnosti.

Radi se u grupama, svaka grupa radi na posebnom računalu na kojem je instaliran program „Geo Gebra“.

Na kraju rada nastavnik na ekranu prikazuje rezultate rada grupa. (Slajd 7)

- Analizirajmo predložene opcije i pokušajmo odabrati najoptimalnije za našu studiju.

Definirajmo kriterije odabira: što želimo dobiti kao rezultat cijepanja? (Zbroj svih kutova konstruiranih trokuta mora biti jednak zbroju kutova mnogokuta.)

- Koje se opcije mogu odmah odbaciti? Zašto?

(Opcija 1, budući da zbroj kutova svih trokuta nije jednak zbroju kutova mnogokuta.)

- Koja je opcija najprikladnija? Zašto? (Opcija 3.)

Kako ste dobili ovu opciju? (Povukli smo dijagonale iz jednog vrha poligona

crtanje n je broj vrhova poligona Broj dijagonala povučenih iz jednog vrha Broj primljenih trokuta
4
5
6
7
n

- Pokušajmo uspostaviti vezu između broja vrhova mnogokuta, broja dijagonala koje se mogu povući iz jednog vrha i broja dobivenih trokuta.

Svaka grupa dobiva tablicu koju mora ispuniti tijekom procesa istraživanja.

Nakon rasprave u skupinama, djeca formuliraju svoje zaključke:
iz jednog vrha n-kuta može se povući n - 3 dijagonala (budući da se dijagonala ne može povući na sam odabrani vrh i na dva susjedna). U ovom slučaju dobivamo n - 2 trokuta.

Stoga je zbroj kutova konveksnog mnogokuta 180 0 (n-2).

- Vratimo se na predložene opcije za dijeljenje poligona na trokute.

Je li moguće upotrijebiti varijantu predloženu na slici 4 za dokaz ovog teorema?

Koliko se trokuta dobije takvom pregradom? ( P stvari)
Koja je razlika između zbroja kutova svih trokuta i zbroja kutova mnogokuta? (Na 360 0)
- Kako u ovom slučaju možete izračunati zbroj kutova mnogokuta?

(180P– 360 = 180n - 180x2 \u003d 180 (n -2)) (Clezi 8)

– Zadovoljava li varijanta predložena na slici 2 glavni zahtjev koji smo postavili za particioniranje? (Da.)

- Zašto nije preporučljivo koristiti ga za pronalaženje zbroja kutova mnogokuta? (Teže je izbrojati broj nastalih trokuta.)

E, sad se vratimo na problem koji nismo mogli riješiti na početku lekcije.

(Djeca usmeno broje zbroj kutova sedmerokuta i još dvije slične vježbe.) (Slajdovi 9 i 10)

4. Primjena stečenog znanja .

Izveli smo formulu za određivanje zbroja unutarnjih kutova konveksnog mnogokuta. Sada razgovarajmo o zbroju vanjskih kutova mnogokuta, uzetog po jedan na svakom vrhu.

Dakle, zadatak je: što je veće: zbroj vanjskih kutova, uzet po jedan na svakom vrhu, za konveksni šesterokut ili za trokut? (Slajd 11)

Djeca pogađaju. Učitelj predlaže provođenje istraživanja kako bi se riješio ovaj problem.

Svaka skupina dobiva zadatak koji samostalno rješava.

Grupa 1.

1) Odredite zbroj vanjskih kutova pravilnog trokuta, uzetih po jedan na svakom vrhu.
2) - U trokutu čije su vrijednosti stupnjeva kutova 70 0 , 80 0 i 30 0 .

Grupa 2

1) Pronađite zbroj vanjskih kutova pravokutnika, uzetih po jedan na svakom vrhu.
2) - Kod četverokuta čiji su unutarnji kutovi redom 70 0 , 80 0 i 120 0 i 90 0 .

Grupa 3.

1) Odredite zbroj vanjskih kutova pravilnog šesterokuta, uzet po jedan na svakom vrhu.
2) - Kod šesterokuta čiji su unutarnji kutovi redom 170 0 , 80 0 i 130 0 , 100 0 , 70 0 , 170 0 .

Nakon završetka rada djeca izvješćuju svoje rezultate, nastavnik ih upisuje u tablicu i prikazuje na ekranu. (Slajd 12)

Dakle, kakav se zaključak može izvući iz dobivenih rezultata? (Zbroj vanjskih kutova, uzet po jedan na svakom vrhu, za bilo koji poligon je 360 ​​0.)

Pokušajmo sada dokazati ovu činjenicu za bilo koji n-kut.

Ako se pojave poteškoće, zajednički se raspravlja o planu dokazivanja:

1. Označite unutarnje kutove mnogokuta kao α, β, γ itd.
2. Uvedenim oznakama izrazite stupnjeve mjere vanjskih kutova
3. Napiši izraz za određivanje zbroja vanjskih kutova mnogokuta
4. Transformirajte dobiveni izraz, upotrijebite prethodno dobivenu formulu za zbroj unutarnjih kutova mnogokuta.

Dokaz je napisan na ploči:

(180 - α) + (180 - β) + (180 - γ) + ... = 180 p - (α + β + γ + ...) = 180 p - 180 (p - 2) = 360

5. Konsolidacija proučenog materijala. Rješavanje problema.

Zadatak 1. Postoji li konveksni mnogokut s takvim unutarnjim kutovima: 45 0 , 68 0 , 73 0 i 56 0 ? Objasni svoj odgovor.

Dokažimo kontradikcijom. Ako konveksni mnogokut ima četiri šiljasta unutarnja kuta, onda postoje četiri tupa vanjska kuta, što znači da je zbroj svih vanjskih kutova mnogokuta veći od 4*90 0 = 360 0 . Imamo kontradikciju. Tvrdnja je dokazana.

Konveksni mnogokut ima tri kuta od 80 stupnjeva, a ostali su kutovi od 150 stupnjeva. Koliko uglova ima konveksni mnogokut?

Jer: za konveksni n-kut zbroj kutova je 180°(n – 2) , tada 180(n - 2)=3*80 + x*150, gdje su nam 3 kuta od 80 stupnjeva zadana prema uvjetu zadatka, a broj ostalih kutova nam je još uvijek nepoznat, što znači da njihov broj označimo s x.

Međutim, iz unosa na lijevoj strani odredili smo broj uglova poligona kao n, budući da znamo vrijednosti tri od njih iz uvjeta problema, očito je da je x=n-3.

Dakle, jednadžba će izgledati ovako: 180(n - 2) = 240 + 150(n - 3)

Rješavamo dobivenu jednadžbu

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

Odgovor: 5 vrhova.

6. Sažimanje lekcije.

Tako, sažmimo. Formulirajte svoja pitanja za dečke iz druge grupe na temelju materijala današnje lekcije.

Što mislite koje je najbolje pitanje?

Razgovarajte o stupnju sudjelovanja svakog člana grupe u zajedničkom radu, nazovite najaktivnije.

Čiji je rad u grupi bio najproduktivniji?

7. Domaća zadaća:

1. Zadatak.

Mnogokut ima tri kuta od 113 stupnjeva, a ostali su međusobno jednaki i stupanjska mjera im je cijeli broj. Odredite broj vrhova mnogokuta.

2. točka 114 str. 169–171, Pogorelov A.V. "Geometrija 7–9".

U osnovnom kolegiju geometrije dokazuje se da je zbroj kutova konveksnog n-kuta 180° (n-2). Ispada da ova tvrdnja vrijedi i za nekonveksne poligone.

Teorem 3. Zbroj kutova proizvoljnog n-kuta je 180° (n - 2).

Dokaz. Podijelimo poligon na trokute crtanjem dijagonala (slika 11). Broj takvih trokuta je n-2, au svakom trokutu zbroj kutova je 180°. Budući da su kutovi trokuta kutovi mnogokuta, zbroj kutova mnogokuta je 180° (n - 2).

Razmotrimo sada proizvoljne zatvorene izlomljene linije, moguće sa samosjecištima A1A2…AnA1 (Sl. 12, a). Takve izlomljene linije koje se međusobno sijeku nazvat ćemo poligoni u obliku zvijezde (slika 12, b-d).

Popravimo smjer brojanja kutova u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Imajte na umu da kutovi koje oblikuje zatvorena polilinija ovise o smjeru u kojem je prijeđena. Ako je smjer obilaznice polilinije obrnut, tada će kutovi poligona biti kutovi koji dopunjuju kutove izvornog poligona do 360°.

Ako je M poligon sastavljen od jednostavne zatvorene isprekidane linije koja prolazi u smjeru kazaljke na satu (slika 13, a), tada će zbroj kutova ovog poligona biti jednak 180 ° (n - 2). Ako se isprekidana linija prolazi u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (slika 13, b), tada će zbroj kutova biti jednak 180 ° (n + 2).

Dakle, opća formula za zbroj kutova poligona formiranog jednostavnom zatvorenom polilinijom ima oblik = 180 ° (n 2), gdje je zbroj kutova, n je broj kutova poligona, " Uzima se +" ili "-" ovisno o smjeru zaobilaženja polilinije.

Naš zadatak je izvesti formulu za zbroj kutova proizvoljnog mnogokuta kojeg tvori zatvorena polilinija (po mogućnosti samosijecajuća). Da bismo to učinili, uvodimo koncept stupnja poligona.

Stupanj poligona je broj okretaja koje točka napravi tijekom potpunog uzastopnog obilaženja svojih stranica. Štoviše, zavoji napravljeni u smjeru suprotnom od kazaljke na satu smatraju se znakom "+", a zavoji u smjeru kazaljke na satu - sa znakom "-".

Jasno je da je stupanj poligona koji tvori jednostavna zatvorena izlomljena linija +1 ili -1, ovisno o smjeru prijelaza. Stupanj izlomljene linije na slici 12, a jednak je dva. Stupanj zvjezdanih sedmerokuta (slika 12, c, d) jednak je dva, odnosno tri.

Pojam stupnja definiran je na sličan način za zatvorene krivulje u ravnini. Na primjer, stupanj krivulje prikazane na slici 14 je dva.


Da biste pronašli stupanj poligona ili krivulje, možete postupiti na sljedeći način. Pretpostavimo da smo, krećući se duž krivulje (sl. 15, a), počevši od nekog mjesta A1, napravili puni zaokret i završili u istoj točki A1. Uklonimo odgovarajući dio iz krivulje i nastavimo se kretati duž preostale krivulje (Slika 15b). Ako smo, počevši od nekog mjesta A2, ponovno napravili puni zaokret i došli do iste točke, brišemo odgovarajući dio krivulje i nastavljamo kretanje (slika 15, c). Brojeći broj udaljenih odjeljaka sa znakovima "+" ili "-", ovisno o njihovom smjeru obilaznice, dobivamo željeni stupanj krivulje.

Teorem 4. Za proizvoljni poligon, formula

180° (n+2m),

gdje je zbroj kutova, n je broj kutova, m je stupanj poligona.

Dokaz. Neka poligon M ima stupanj m i konvencionalno je prikazan na slici 16. M1, …, Mk su jednostavne zatvorene izlomljene linije, prolazeći kroz koje točka pravi pune zavoje. A1, …, Ak su odgovarajuće samosječne točke polilinije koje nisu njezini vrhovi. Označimo s n1, …, nk redom broj vrhova mnogokuta M koji ulaze u poligone M1, …, Mk. Budući da su tim poligonima osim vrhova mnogokuta M dodani i vrhovi A1, …, Ak, broj vrhova poligona M1, …, Mk bit će jednak n1+1, …, nk+1, odnosno. Tada će zbroj njihovih kutova biti jednak 180° (n1+12), …, 180° (nk+12). Uzima se plus ili minus ovisno o smjeru zaobilaženja isprekidanih linija. Zbroj kutova mnogokuta M0 koji preostaju od mnogokuta M nakon uklanjanja mnogokuta M1, ..., Mk jednak je 180° (n-n1- ...-nk+k2). Zbrojevi kutova mnogokuta M0, M1, …, Mk daju zbroj kutova mnogokuta M, au svakom vrhu A1, …, Ak dodatno dobivamo 360°. Dakle, imamo jednakost

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1-…-nk+k2)=+360°k.

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

gdje je m stupanj poligona M.


Kao primjer, razmotrite izračun zbroja kutova petokrake zvjezdice (slika 17, a). Stupanj odgovarajuće zatvorene polilinije je -2. Stoga je željeni zbroj kutova 180.

Geometrijski lik sastavljen od odsječaka AB, BC, CD, .., EF, FA na način da susjedni odsječci ne leže na istoj pravoj liniji, a nesusjedni odsječci nemaju zajedničkih točaka, naziva se mnogokut. Krajevi ovih segmenata točke A,B,C, D, …, E,F se nazivaju vrhovi poligon, a sami segmenti AB, BC, CD, .., EF, FA - stranke poligon.

Za poligon se kaže da je konveksan ako se nalazi s jedne strane svakog pravca koji prolazi kroz dva njegova susjedna vrha. Slika ispod prikazuje konveksni mnogokut:

Sljedeća slika ilustrira nekonveksni poligon:

Kut konveksnog mnogokuta pri danom vrhu je kut koji čine stranice tog mnogokuta koje konvergiraju u danom vrhu. Vanjski kut konveksnog mnogokuta na nekom vrhu je kut koji je susjedan unutarnjem kutu mnogokuta na danom vrhu.

Teorem: Zbroj kutova konveksnog n-kuta je 180˚ *(n-2)

Dokaz: razmotrite konveksni n-kut. Da bismo pronašli zbroj svih unutarnjih kutova, spojimo jedan od vrhova mnogokuta s ostalim vrhovima.

Kao rezultat, dobivamo (n-2) trokuta. Znamo da je zbroj kutova trokuta 180 stupnjeva. A budući da je njihov broj u mnogokutu (n-2), zbroj kutova mnogokuta je 180˚ *(n-2). To je trebalo dokazati.

Zadatak:

Odredi zbroj kutova konveksnog a) peterokuta b) šesterokuta c) deseterokuta.

Upotrijebimo formulu za izračun zbroja kutova konveksnog n-kuta.

a) S5 = 180˚*(5-2) = 180˚ *3 = 540˚.

b) S6 180˚*(6-2) = 180˚*4=720˚.

c) S10 = 180˚*(10-2) = 180˚*8 = 1440˚.

Odgovor: a) 540˚. b) 720˚. c) 1440˚.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

  • Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

  • Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
  • S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i komunikaciju.
  • Također možemo koristiti osobne podatke u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
  • Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

  • U slučaju da je potrebno – sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije – otkriti Vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnost, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
  • U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.