Pripremna verzija 4 svojstva kvadratnih korijena. Svojstva korijena, formulacije, dokazi, primjeri. Sada potpuno sam

\(\sqrt(a)=b\) ako \(b^2=a\), gdje \(a≥0,b≥0\)


Primjeri:

\(\sqrt(49)=7\) jer \(7^2=49\)
\(\sqrt(0,04)=0,2\),jer \(0,2^2=0,04\)

Kako izvući kvadratni korijen broja?

Da biste izvukli kvadratni korijen broja, trebate si postaviti pitanje: koji će broj na kvadrat dati izraz pod korijenom?

Na primjer. Ekstrahirajte korijen: a)\(\sqrt(2500)\); b) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); c) \(\sqrt(0,001)\); d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

a) Koji će broj na kvadrat dati \(2500\)?

\(\sqrt(2500)=50\)

b) Koji će broj na kvadrat dati \(\frac(4)(9)\) ?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

c) Koji će broj na kvadrat dati \(0,0001\)?

\(\sqrt(0,0001)=0,01\)

d) Koji će kvadrat broja biti \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)? Da biste dali odgovor na pitanje, morate ga prevesti na pogrešan.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

Komentar: Iako \(-50\), \(-\frac(2)(3)\) , \(-0,01\),\(- \frac(7)(6)\) također odgovaraju na zadana pitanja , ali se ne uzimaju u obzir jer je kvadratni korijen uvijek pozitivan.

Glavno svojstvo korijena

Kao što znate, u matematici svaka radnja ima inverziju. Zbrajanje ima oduzimanje, množenje ima dijeljenje. Suprotno od kvadriranja je vađenje kvadratnog korijena. Stoga se ove radnje međusobno poništavaju:

\((\sqrt(a))^2=a\)

Ovo je glavno svojstvo korijena, koje se najčešće koristi (uključujući i OGE)

Primjer . (zadatak iz OGE). Pronađite vrijednost izraza \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)

Riješenje :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

Primjer . (zadatak iz OGE). Pronađite vrijednost izraza \((\sqrt(85)-1)^2\)

Riješenje:

Odgovor: \(86-2\sqrt(85)\)

Naravno, kada radite s kvadratnim korijenom, morate koristiti druge.

Primjer . (zadatak iz OGE). Pronađite vrijednost izraza \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
Riješenje:

Odgovor: \(220\)

4 pravila koja se uvijek zaboravljaju

Korijen se ne vadi uvijek


Primjer: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) itd. - izvlačenje korijena iz broja nije uvijek moguće i to je normalno!


Korijen broja, također i broj

Nema potrebe tretirati \(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\) na neki poseban način. To su brojevi, ali ne cijeli brojevi, da, ali ne mjeri se sve u našem svijetu cijelim brojevima.


Korijen se uzima samo iz nenegativnih brojeva

Stoga u udžbenicima nećete vidjeti takve unose \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\) itd.

Opet sam pogledao u tanjur... I, idemo!

Počnimo s jednim jednostavnim:

Pričekaj minutu. ovo, što znači da to možemo napisati ovako:

kužiš Evo sljedećeg za vas:

Korijeni dobivenih brojeva nisu točno izvučeni? Ne brinite, evo nekoliko primjera:

Ali što ako nema dva množitelja, nego više? Isti! Formula množenja korijena radi s bilo kojim brojem faktora:

Sada potpuno neovisni:

odgovori: Dobro napravljeno! Slažem se, sve je vrlo jednostavno, glavna stvar je znati tablicu množenja!

Podjela korijena

Shvatili smo množenje korijena, a sada prijeđimo na svojstvo dijeljenja.

Podsjetimo se da formula opći pogled izgleda ovako:

A to znači da korijen kvocijenta jednak je kvocijentu korijena.

Pa, pogledajmo primjere:

To je sva znanost. Evo primjera:

Nije sve tako glatko kao u prvom primjeru, ali kao što vidite, nema ništa komplicirano.

Što ako izraz izgleda ovako:

Samo trebate primijeniti formulu obrnuto:

Evo primjera:

Također možete vidjeti ovaj izraz:

Sve je isto, samo ovdje morate zapamtiti kako prevesti razlomke (ako se ne sjećate, pogledajte temu i vratite se!). Sjetio se? Sada odlučujemo!

Siguran sam da ste se nosili sa svime, svime, sada pokušajmo ukorijeniti diplomu.

Potenciranje

Što se događa ako se kvadratni korijen kvadrira? Jednostavno je, zapamtite značenje kvadratnog korijena broja - ovo je broj čiji je kvadratni korijen jednak.

Dakle, ako kvadriramo broj čiji je kvadratni korijen jednak, što ćemo onda dobiti?

Pa naravno, !

Pogledajmo primjere:

Sve je jednostavno, zar ne? A ako je korijen u drugom stupnju? U redu je!

Držite se iste logike i zapamtite svojstva i moguće akcije s ovlastima.

Pročitaj teoriju na temu "" i sve će ti biti krajnje jasno.

Na primjer, evo izraza:

U ovom primjeru stupanj je paran, ali što ako je neparan? Opet, primijenite svojstva snage i faktorizirajte sve:

S ovim se čini da je sve jasno, ali kako izvući korijen iz broja u stupnju? Evo, na primjer, ovo:

Prilično jednostavno, zar ne? Što ako je stupanj veći od dva? Slijedimo istu logiku koristeći svojstva stupnjeva:

Pa, je li sve jasno? Zatim sami riješite svoje primjere:

A evo i odgovora:

Uvod pod znakom korijena

Što samo nismo naučili raditi s korijenima! Ostaje samo vježbati unos broja ispod znaka korijena!

Vrlo je jednostavno!

Recimo da imamo broj

Što možemo učiniti s tim? Pa, naravno, sakrijte trostruku ispod korijena, a zapamtite da je trostruka kvadratni korijen od!

Zašto nam to treba? Da, samo da proširimo naše mogućnosti pri rješavanju primjera:

Kako vam se sviđa ovo svojstvo korijena? Čini život mnogo lakšim? Za mene je to točno! Samo moramo imati na umu da možemo unositi samo pozitivne brojeve ispod znaka kvadratnog korijena.

Isprobajte ovaj primjer sami:
Jeste li uspjeli? Da vidimo što biste trebali dobiti:

Dobro napravljeno! Uspjeli ste unijeti broj ispod korijenskog znaka! Prijeđimo na nešto jednako važno - razmotrite kako usporediti brojeve koji sadrže kvadratni korijen!

Usporedba korijena

Zašto bismo trebali naučiti uspoređivati ​​brojeve koji sadrže kvadratni korijen?

Jako jednostavno. Često u velikim i dugim izrazima koje susrećemo na ispitu dobijemo iracionalan odgovor (sjećate li se što je to? O tome smo već danas pričali!)

Dobivene odgovore trebamo smjestiti na koordinatnu crtu, na primjer, kako bismo odredili koji je interval prikladan za rješavanje jednadžbe. I tu nastaje začkoljica: na ispitu nema kalkulatora, a kako bez njega zamisliti koji je broj veći, a koji manji? To je to!

Na primjer, odredite što je veće: ili?

Nećete reći odmah. Pa, upotrijebimo raščlanjeno svojstvo dodavanja broja ispod znaka korijena?

Zatim naprijed:

Pa, očito, što je veći broj ispod znaka korijena, to je veći i sam korijen!

Oni. ako znači .

Iz ovoga čvrsto zaključujemo da I nitko nas neće uvjeriti u suprotno!

Vađenje korijena iz velikih brojeva

Prije toga smo uveli faktor pod znakom korijena, ali kako ga izvaditi? Samo trebate faktorizirati i izdvojiti što je izvučeno!

Moglo se ići drugim putem i rastaviti na druge faktore:

Nije loše, zar ne? Bilo koji od ovih pristupa je ispravan, odlučite kako se osjećate ugodno.

Faktoring je vrlo koristan pri rješavanju takvih nestandardnih zadataka kao što je ovaj:

Mi se ne plašimo, mi djelujemo! Svaki faktor pod korijenom rastavljamo na zasebne faktore:

A sada pokušajte sami (bez kalkulatora! Neće biti na ispitu):

Je li ovo kraj? Ne stajemo na pola puta!

To je sve, nije sve tako strašno, zar ne?

Dogodilo se? Bravo, u pravu si!

Sada isprobajte ovaj primjer:

A primjer je tvrd orah, pa ne možete odmah shvatiti kako mu pristupiti. Ali mi smo, naravno, u zubima.

Pa, počnimo s faktoringom, može? Odmah napominjemo da broj možete podijeliti na (prisjetite se znakova djeljivosti):

A sada pokušajte sami (opet, bez kalkulatora!):

Pa, je li uspjelo? Bravo, u pravu si!

Sumirati

  1. Kvadratni korijen (aritmetički kvadratni korijen) nenegativnog broja je nenegativan broj čiji je kvadrat jednak.
    .
  2. Ako samo izvadimo kvadratni korijen nečega, uvijek ćemo dobiti jedan nenegativan rezultat.
  3. Svojstva aritmetičkog korijena:
  4. Kada se uspoređuju kvadratni korijeni, mora se zapamtiti da što je veći broj ispod znaka korijena, to je veći i sam korijen.

Kako vam se sviđa kvadratni korijen? Sve jasno?

Pokušali smo vam bez vode objasniti sve što trebate znati na ispitu o kvadratnom korijenu.

Ti si na redu. Pišite nam je li vam ova tema teška ili ne.

Jeste li naučili nešto novo ili je već sve bilo tako jasno.

Pišite u komentarima i sretno na ispitima!

Naslov: Samostalni i testni radovi iz algebre i geometrije za 8. razred.

Priručnik sadrži samostalne i kontrolne radove iz svih najvažnijih tema kolegija algebre i geometrije 8. razreda.

Radovi se sastoje od 6 varijanti tri razine težine. Didaktički materijali namijenjeni su organiziranju diferenciranog samostalnog rada učenika.

SADRŽAJ
ALGEBRA 4
C-1 Racionalno izražavanje. Smanjenje razlomaka 4
C-2 Zbrajanje i oduzimanje razlomaka 5
K-1 Racionalni razlomci. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka 7
C-3 Množenje i dijeljenje razlomaka. Povećanje razlomka na potenciju 10
C-4 Transformacija racionalnih izraza 12
C-5 Obrnuta proporcionalnost i njen prikaz 14
K-2 Racionalni razlomci 16
C-6 Aritmetički kvadratni korijen 18
C-7 Jednadžba x2 = a. Funkcija y = y[x 20
C-8 Kvadratni korijen umnoška, ​​razlomak, potencija od 22
K-3 Aritmetički kvadratni korijen i njegova svojstva 24
C-9 Uvrštavanje i množenje u kvadratne korijene 27
C-10 Pretvaranje izraza koji sadrže kvadratne korijene 28
K-4 Primjena svojstava aritmetičkog kvadratnog korijena 30
C-11 Nepotpune kvadratne jednadžbe 32
C-12 Formula kvadratnog korijena 33
S-13 Rješavanje zadataka pomoću kvadratnih jednadžbi. Vietin teorem 34
K-5 kvadratne jednadžbe 36
C-14 Razlomljene racionalne jednadžbe 38
C-15 Primjena frakcijskih racionalnih jednadžbi. Rješavanje problema 39
K-6 Frakcijske racionalne jednadžbe 40
C-16 Svojstva numeričkih nejednakosti 43
K-7 Brojčane nejednadžbe i njihova svojstva 44
S-17 Linearne nejednadžbe s jednom varijablom 47
S-18 Sustavi linearnih nejednadžbi 48
K-8 Linearne nejednadžbe i sustavi nejednadžbi s jednom varijablom 50
C-19 stupanj c negativan pokazatelj 52
K-9 stupanj s cijelim eksponentom 54
K-10 Godišnji ispit 56
GEOMETRIJA (Prema Pogorelovu) 58
C-1 Svojstva i značajke paralelograma". 58
C-2 pravokutnik. Romb. Trg 60
K-1 paralelogram 62
C-3 Thalesov teorem. Srednja linija trokuta 63
C-4 trapez. Srednja linija trapeza 66
K-2 trapez. Srednje crte trokuta i trapeza .... 68
C-5 Pitagorin teorem 70
S-6 Teorem, suprotno Pitagorinom teoremu. Okomito i koso 71
C-7 Nejednakost trokuta 73
K-3 Pitagorin teorem 74
C-8 Rješavanje pravokutnih trokuta 76
C-9 Svojstva trigonometrijskih funkcija 78
K-4 Pravokutni trokut (zbirni test) 80
S-10 Koordinate sredine segmenta. Udaljenost između točaka. Jednadžba kruga 82
C-11 Jednadžba pravca 84
K-5 Kartezijeve koordinate 86
S-12 Kretanje i njegova svojstva. Centralna i osna simetrija. napuni 88
C-13. Paralelni prijenos 90
C-14 Pojam vektora. Vektorska jednakost 92
C-15 Operacije s vektorima u koordinatnom obliku. kolinearni vektori 94
C-16 Operacije s vektorima u geometrijskom obliku 95
C-17 Točkasti proizvod 98
K-6 Vektori 99
K-7 Godišnji ispit 102
GEOMETRIJA (prema Atanasyanu) 104
C-1 Svojstva i značajke paralelograma 104
C-2 pravokutnik. Romb. Trg 106
K-1 četverokuti 108
C-3 Površina pravokutnika, kvadrata 109
C-4 Površina paralelograma, romba, trokuta 111
C-5 Površina trapeza 113
C-6 Pitagorin teorem 114
K-2 kvadrati. Pitagorina teorema 116
C-7 Definicija sličnih trokuta. Svojstvo simetrale kuta trokuta 118
S-8 Znaci sličnosti trokuta 120
K-3 Sličnost trokuta 122
C-9 Primjena sličnosti u rješavanju problema 124
C-10 Odnosi između stranica i kutova pravokutni trokut 126
K-4 Primjena sličnosti u rješavanju problema. Odnosi stranica i kutova pravokutnog trokuta 128
C-11 Tangenta na kružnicu 130
C-12 Središnji i upisani kutovi 132
C-13 Teorem o produktu odsječaka tetiva koje se sijeku. Izvanredne točke trokuta 134
C-14 Upisane i opisane kružnice 136
K-5 krug 137
C-15 Vektorsko zbrajanje i oduzimanje 139
C-16 Množenje vektora brojem 141
C-17 Srednja linija trapeza 142
K-6 Vektori. Primjena vektora u rješavanju problema 144
K-7 Godišnji ispit 146
ODGOVORI 148
KNJIŽEVNOST 157


PREDGOVOR .
1. Jedna relativno mala knjiga sadrži kompletan set posao provjere(uključujući završne kolokvije) za cijeli kolegij algebre i geometrije 8. razreda, pa je dovoljna kupnja jednog kompleta knjiga po razredu.
Ispiti su dizajnirani za lekciju, samostalan rad- 20-35 minuta, ovisno o temi. Radi lakšeg korištenja knjige, naslov svakog samostalnog i kontrolnog rada odražava njegovu materiju.

2. Zbirka omogućuje diferenciranu kontrolu znanja budući da su zadaci podijeljeni u tri razine složenosti A, B i C. Razina A odgovara obveznim programskim zahtjevima, B - prosječna razina složenosti, razina C zadaci su namijenjeni učenicima koji pokazuju povećani interes za matematiku, a također i za korištenje u razredima, školama, gimnazijama i licejima s dubinsko proučavanje matematika. Za svaku razinu dane su 2 ekvivalentne opcije jedna do druge (kako su obično napisane na ploči), tako da je jedna knjiga po stolu dovoljna za lekciju.


Besplatno preuzmite e-knjigu u prikladnom formatu, gledajte i čitajte:
Preuzmite knjigu Samostalni i kontrolni rad iz algebre i geometrije za 8. razred. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 - fileskachat.com, brzo i besplatno preuzimanje.


U ovom ćemo članku analizirati glavne svojstva korijena. Počnimo sa svojstvima aritmetičkog kvadratnog korijena, dajmo njihove formulacije i dajmo dokaze. Nakon toga ćemo se pozabaviti svojstvima aritmetičkog korijena n-tog stupnja.

Navigacija po stranici.

Svojstva kvadratnog korijena

U ovom dijelu bavit ćemo se sljedećim glavnim svojstva aritmetičkog kvadratnog korijena:

U svakoj od napisanih jednakosti lijevi i desni dio mogu se zamijeniti, npr. jednakost se može prepisati kao . U ovom "obrnutom" obliku, svojstva aritmetičkog kvadratnog korijena se primjenjuju kada pojednostavljenje izraza jednako često kao i u "izravnom" obliku.

Dokaz prva dva svojstva temelji se na definiciji aritmetičkog kvadratnog korijena i na . A da biste opravdali posljednje svojstvo aritmetičkog kvadratnog korijena, morate zapamtiti.

Pa počnimo s dokaz svojstva aritmetičkog kvadratnog korijena umnoška dvaju nenegativnih brojeva: . Da bismo to učinili, prema definiciji aritmetičkog kvadratnog korijena, dovoljno je pokazati da je nenegativan broj čiji je kvadrat jednak a b . Učinimo to. Vrijednost izraza je nenegativna kao umnožak nenegativnih brojeva. Svojstvo stupnja umnoška dvaju brojeva omogućuje nam da zapišemo jednakost , a budući da je po definiciji aritmetičkog kvadratnog korijena i , tada .

Slično se dokazuje da je aritmetički kvadratni korijen umnoška k nenegativnih faktora a 1 , a 2 , …, a k jednak umnošku aritmetičkih kvadratnih korijena ovih faktora. Stvarno,. Iz ove jednakosti slijedi da je .

Evo nekoliko primjera: i .

Sada dokažimo svojstvo aritmetičkog kvadratnog korijena kvocijenta: . Svojstvo prirodnog kvocijenta snage omogućuje nam da napišemo jednakost , a , dok postoji nenegativan broj. Ovo je dokaz.

Na primjer, i .

Vrijeme je za rastavljanje svojstvo aritmetičkog kvadratnog korijena iz kvadrata broja, u obliku jednakosti piše se kao . Da bismo to dokazali, razmotrimo dva slučaja: za a≥0 i za a<0 .

Očito je da za a≥0 jednakost vrijedi. Također je lako vidjeti da za a<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 i (−a) 2 =a 2 . Na ovaj način, , što je trebalo dokazati.

Evo nekoliko primjera: i .

Upravo dokazano svojstvo kvadratnog korijena omogućuje nam da opravdamo sljedeći rezultat, gdje je a bilo koji realni broj, a m bilo koji. Doista, svojstvo potenciranja dopušta nam da zamijenimo stupanj a 2 m izrazom (a m) 2 , tada .

Na primjer, i .

Svojstva n-tog korijena

Najprije nabrojimo glavne svojstva n-tih korijena:

Sve napisane jednakosti ostaju važeće ako su u njima zamijenjene lijeva i desna strana. U ovom se obliku također često koriste, uglavnom pri pojednostavljivanju i transformaciji izraza.

Dokaz svih zvučnih svojstava korijena temelji se na definiciji aritmetičkog korijena n-tog stupnja, na svojstvima stupnja i na definiciji modula broja. Dokažimo ih redom prioriteta.

    Počnimo s dokazom svojstva n-tog korijena proizvoda . Za nenegativne a i b, vrijednost izraza je također nenegativna, kao i umnožak nenegativnih brojeva. Svojstvo umnoška prirodnih potencija omogućuje nam da napišemo jednakost . Prema definiciji aritmetičkog korijena n-tog stupnja i, prema tome, . Time je dokazano razmatrano svojstvo korijena.

    Ovo se svojstvo dokazuje na sličan način za umnožak k faktora: za nenegativne brojeve a 1 , a 2 , …, a n i .

    Evo primjera korištenja svojstva korijena n-tog stupnja proizvoda: i .

    Dokažimo svojstvo korijena kvocijenta. Za a≥0 i b>0, uvjet je zadovoljen, i .

    Pokažimo primjere: i .

    Idemo dalje. Dokažimo svojstvo n-tog korijena broja na n-potenciju. Odnosno, to ćemo dokazati za svako realno a i prirodno m . Za a≥0 imamo i , što dokazuje jednakost , i jednakost očito. Za<0 имеем и (posljednji prijelaz vrijedi zbog svojstva potencije s parnim eksponentom), što dokazuje jednakost , i je istina zbog činjenice da kada govorimo o korijenu neparnog stupnja, uzeli smo za svaki nenegativan broj c .

    Evo primjera korištenja raščlanjenog korijenskog svojstva: i .

    Prelazimo na dokaz svojstva korijena iz korijena. Zamijenimo desni i lijevi dio, odnosno dokazat ćemo valjanost jednakosti , što će značiti valjanost izvorne jednakosti. Za nenegativan broj a, kvadratni korijen iz oblika je nenegativan broj. Sjećajući se svojstva dizanja potencije na potenciju i koristeći definiciju korijena, možemo napisati lanac jednakosti oblika . Time je dokazano razmatrano svojstvo korijena iz korijena.

    Slično se dokazuje i svojstvo korijena iz korijena iz korijena itd. Stvarno, .

    Na primjer, i .

    Dokažimo sljedeće svojstvo redukcije korijenskog eksponenta. Da bismo to učinili, na temelju definicije korijena, dovoljno je pokazati da postoji nenegativan broj koji je, kada se podigne na potenciju n m, jednak a m ​​. Učinimo to. Jasno je da ako je broj a nenegativan, onda je n-ti korijen broja a nenegativan broj. pri čemu , čime je završen dokaz.

    Ovdje je primjer korištenja raščlanjenog korijenskog svojstva: .

    Dokažimo sljedeće svojstvo, svojstvo korijena stupnja oblika . Očito je da je za a≥0 stupanj nenegativan broj. Štoviše, njegova n-ta potencija je doista jednaka a m . Ovo dokazuje razmatrano svojstvo stupnja.

    Na primjer, .

    Idemo dalje. Dokažimo da za sve pozitivne brojeve a i b za koje vrijedi uvjet a , odnosno a≥b . A to je u suprotnosti s uvjetom a

    Na primjer, dajemo ispravnu nejednakost .

    Na kraju, preostaje dokazati posljednje svojstvo n-tog korijena. Dokažimo prvo prvi dio ovog svojstva, odnosno dokazat ćemo da je za m>n i 0 . Zatim, zbog svojstava stupnja s prirodnim eksponentom, nejednakost , odnosno a n ≤ a m . I rezultirajuća nejednakost za m>n i 0

    Slično, kontradikcijom, dokazano je da je za m>n i a>1 uvjet zadovoljen.

    Navedimo primjere primjene dokazanog svojstva korijena u konkretnim brojevima. Na primjer, nejednakosti i su istinite.

Bibliografija.

  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8 ćelija. obrazovne ustanove.
  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10-11 razrede općeobrazovnih ustanova.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za kandidate za tehničke škole).