Formula za volumen krnje četverokutne prizme. Formule za volumen pune i krnje piramide. Volumen Keopsove piramide. Površina i volumen krnje piramide
Piramida naziva se poliedar, čija je jedna strana poligon ( baza ), a sva ostala lica su trokuti sa zajedničkim vrhom ( bočna lica ) (Slika 15). Piramida se zove ispraviti , ako je njezina baza pravilan mnogokut, a vrh piramide projiciran u središte baze (slika 16). Trokutasta piramida kojoj su svi bridovi jednaki naziva se tetraedar .
Bočno rebro piramidom se naziva stranica bočne plohe koja ne pripada osnovici Visina piramida je udaljenost od njenog vrha do ravnine baze. Svi bočni bridovi pravilne piramide su međusobno jednaki, sve bočne strane su jednaki jednakokračni trokuti. Visina bočne plohe pravilne piramide povučena iz vrha naziva se apothema . dijagonalni presjek Odsjek piramide naziva se ravnina koja prolazi kroz dva bočna brida koji ne pripadaju istoj plohi.
Površina bočne površine piramida se zove zbroj površina svih bočnih stranica. Puna površina je zbroj površina svih bočnih stranica i baze.
Teoremi
1. Ako su u piramidi svi bočni bridovi podjednako nagnuti prema ravnini baze, tada se vrh piramide projicira u središte opisane kružnice blizu baze.
2. Ako u piramidi svi bočni bridovi imaju jednake duljine, tada se vrh piramide projicira u središte opisane kružnice blizu baze.
3. Ako su u piramidi sva lica podjednako nagnuta prema ravnini baze, tada se vrh piramide projicira u središte kružnice upisane u bazu.
Za izračun volumena proizvoljne piramide točna je formula:
gdje V- volumen;
S glavni- osnovna površina;
H je visina piramide.
Za pravilnu piramidu vrijede sljedeće formule:
gdje str- opseg baze;
h a- apotema;
H- visina;
S puna
S strana
S glavni- osnovna površina;
V je volumen pravilne piramide.
krnja piramida naziva se dio piramide zatvoren između baze i rezne ravnine paralelne s bazom piramide (slika 17). Ispravna krnja piramida naziva se dio pravilne piramide, zatvoren između baze i rezne ravnine paralelne s bazom piramide.
Temelji krnja piramida – slični poligoni. Bočna lica - trapez. Visina krnja piramida naziva se udaljenost između njezinih baza. Dijagonalno Krnja piramida je segment koji povezuje njezine vrhove koji ne leže na istoj plohi. dijagonalni presjek Odsjek krnje piramide naziva se ravnina koja prolazi kroz dva bočna brida koji ne pripadaju istoj plohi.
Za krnju piramidu vrijede formule:
(4)
gdje S 1 , S 2 - područja gornje i donje baze;
S puna je ukupna površina;
S strana je površina bočne površine;
H- visina;
V je volumen krnje piramide.
Za pravilnu krnju piramidu vrijedi sljedeća formula:
gdje str 1 , str 2 - perimetri baze;
h a- apotem pravilne krnje piramide.
Primjer 1 U pravilnoj trokutastoj piramidi diedralni kut na bazi je 60º. Odredite tangens kuta nagiba bočnog brida na ravninu baze.
Riješenje. Napravimo crtež (slika 18).
 |
Piramida je pravilna, što znači da je baza jednakostraničnog trokuta, a sve bočne strane su jednaki jednakokračni trokuti. Diedarski kut pri bazi je kut nagiba bočne strane piramide prema ravnini baze. Linearni kut bit će kut a između dvije okomice, tj. Vrh piramide je projiciran u središte trokuta (središte opisane kružnice i upisane kružnice u trokutu ABC). Kut nagiba bočnog rebra (npr SB) je kut između samog brida i njegove projekcije na osnovnu ravninu. Za rebro SB ovaj kut će biti kut SBD. Da biste pronašli tangentu morate znati krake TAKO i OB. Neka duljina segmenta BD je 3 a. točka O segment linije BD dijeli se na dijelove: i Od nalazimo TAKO: 
Od nalazimo: 
Odgovor:
Primjer 2 Odredi obujam pravilne krnje četverokutne piramide ako su dijagonale njezinih baza cm i cm, a visina 4 cm.
Riješenje. Za pronalaženje volumena krnje piramide koristimo formulu (4). Da biste pronašli površine baza, morate pronaći stranice kvadrata baza, znajući njihove dijagonale. Stranice baza su 2 cm, odnosno 8 cm. To znači površine baza i Zamjenom svih podataka u formulu izračunavamo volumen krnje piramide:
Odgovor: 112 cm3.
Primjer 3 Odredite površinu bočne strane pravilne trokutaste krnje piramide čije su stranice baza 10 cm i 4 cm, a visina piramide 2 cm.
Riješenje. Napravimo crtež (slika 19).
Bočna strana ove piramide je jednakokračan trapez. Da biste izračunali površinu trapeza, morate znati baze i visinu. Osnove su date stanjem, samo visina ostaje nepoznata. Pronađite odakle ALI 1 E okomito od točke ALI 1 na ravnini donje baze, A 1 D- okomito od ALI 1 uključeno AC. ALI 1 E\u003d 2 cm, jer je to visina piramide. Za pronalaženje DE napravit ćemo dodatni crtež, u kojem ćemo prikazati pogled odozgo (slika 20). Točka O- projekcija središta gornje i donje baze. budući (vidi sliku 20) i S druge strane u redu je polumjer upisane kružnice i 
OM je polumjer upisane kružnice:
MK=DE.
Prema Pitagorinom teoremu iz
Bočno područje lica: 
Odgovor:
Primjer 4 U osnovi piramide nalazi se jednakokračni trapez čije su osnovice a i b (a> b). Svaka bočna strana tvori kut jednak ravnini baze piramide j. Pronađite ukupnu površinu piramide.
Riješenje. Napravimo crtež (slika 21). Ukupna površina piramide SABCD jednaka je zbroju površina i površine trapeza ABCD.
Poslužimo se tvrdnjom da ako su sve stranice piramide jednako nagnute prema ravnini baze, tada se vrh projicira u središte kružnice upisane u bazu. Točka O- projekcija vrha S u podnožju piramide. Trokut TRAVNJAK je ortogonalna projekcija trokuta CSD na osnovnu ravninu. Prema teoremu o površini ortogonalne projekcije ravna figura dobivamo:
Slično tome, znači 
Dakle, problem je smanjen na pronalaženje površine trapeza ABCD. Nacrtaj trapez ABCD odvojeno (slika 22). Točka O je središte kružnice upisane u trapez.
Kako se krug može upisati u trapez, tada ili Prema Pitagorinom teoremu imamo
krnja piramida naziva se poliedar čiji su vrhovi vrhovi baze i vrhovi njegovog presjeka ravninom paralelnom s osnovicom.
Svojstva krnje piramide:
- Osnove krnje piramide su slični poligoni.
- Bočne strane krnje piramide su trapezi.
- Bočni bridovi pravilne krnje piramide su jednaki i podjednako nagnuti prema bazi piramide.
- Bočne plohe pravilne krnje piramide su jednakokračni trapezi, međusobno jednaki i podjednako nagnuti prema osnovici piramide.
- Diedarski kutovi na bočnim bridovima pravilne krnje piramide su jednaki.
Površina i volumen krnje piramide
Neka - visina krnje piramide, i - perimetri baza krnje piramide, i - površine baza krnje piramide, - površina bočne površine krnje piramide, - površina pune površine krnje piramide, - volumen krnje piramide. Tada vrijede relacije:
.
Ako su svi diedarski kutovi na bazi krnje piramide jednaki, a visine svih bočnih strana piramide jednake, tada
HA13118 je pojačalo klase AB koje sadrži minimalan broj vanjskih elemenata i ima veliku snagu pri relativno niskom naponu napajanja, pojačalo također ima veliki dobitak od 55 dB, što eliminira potrebu za predpojačavanjem signala. Glavni tehnički podaci: Izlazna snaga 18 W (maksimalno) na 4 ohma 10 W ...
Svi navedeni mikrosklopovi izrađeni su u SIP1 kućištu s 11 pinova i dvokanalna su stereo bas pojačala te imaju isti priključak vanjskih elemenata. *TDA2005 je posebno dizajniran za aplikacije mostova. Parametri: TDA2004A(TDA2004S) Napon napajanja 8…18V Struja mirovanja 65mA Frekvencijski raspon 40…20000Hz Rn -2 Ohm Izlazna snaga 10 W Do…
Digitalno kontrolirani regulirani krug napajanja sastoji se od pozitivnog regulatora napona na KM317, CD4017 dekadnog brojača KPOM, NE555 mjerača vremena i negativnog regulatora napona na LM7912. Mrežni napon transformatorom smanjuje na napon od +/-12V pri struji od 1A u sekundarnom namotu, zatim se ispravlja. C1-C5 kapacitivni filter konstantnog napona. LED1 označava …
Slika prikazuje dijagram 8-kanalnog vremenskog releja, vremenski relej koristi Arduino Nano, DS3231 sat stvarnog vremena (modul), sedmosegmentni četveroznamenkasti indikator temeljen na TM1637 drajveru (TM1637 modul) i četiri kontrolne tipke. U svakom kanalu možete podesiti vrijeme paljenja i gašenja releja, sve vrijednosti vremena paljenja i gašenja releja su pohranjene u ...
Normalni trofazni asinkroni motor može generirati moment bez posebnih mjera kada se napaja iz jednofazne mreže. Pretpostavimo da je krug jedne od žica motora koji radi spojen na trofaznu mrežu otvoren (na primjer, zbog pregorjelog osigurača). Stroj koji je u jednofaznom načinu rada sa serijskim ili serijsko-paralelnim spojem namota statora ...
i reznu ravninu koja je paralelna s njegovom bazom.
Ili drugim riječima: krnja piramida- ovo je takav poliedar, koji se sastoji od piramide i njenog presjeka paralelnog s bazom.
Presjek koji je paralelan s bazom piramide dijeli piramidu na 2 dijela. Dio piramide između njezine baze i presjeka je krnja piramida.
Ispostavilo se da je ovaj odjeljak za krnju piramidu jedan od temelja ove piramide.
Udaljenost između baza krnje piramide je visina krnje piramide.
Krnja piramida će ispraviti kada je i piramida iz koje je izvedena bila ispravna.
Visina bočne strane trapeza pravilne krnje piramide je apothema pravilna krnja piramida.
Svojstva krnje piramide.
1. Svaka bočna strana pravilne krnje piramide je jednakokračni trapez iste veličine.
2. Osnovice krnje piramide su slični mnogokuti.
3. Bočni bridovi pravilne krnje piramide jednake su veličine, a jedan je nagnut u odnosu na bazu piramide.
4. Bočne plohe krnje piramide su trapezi.
5. Kutovi diedra na bočnim bridovima pravilne krnje piramide jednake su veličine.
6. Omjer površina baza: S 2 /S 1 \u003d k 2.
Formule za krnju piramidu.
Za proizvoljnu piramidu:
Volumen krnje piramide jednak je 1/3 umnoška visine h (OS) zbrojem površina gornje baze S1 (a B C D E), donja baza krnje piramide S2 (A B C D E) i prosječni proporcionalni između njih.
Volumen piramide:
gdje S1, S2- osnovna površina,
h je visina krnje piramide.
Bočna površina 
jednak je zbroju površina bočnih stranica krnje piramide.
Za pravilnu krnju piramidu:
Ispravna krnja piramida- poliedar, koji se sastoji od pravilne piramide i njenog presjeka, koji je paralelan s bazom.
Područje bočne površine pravilne krnje piramide je ½ umnožak zbroja opsega njezinih baza i apoteme.
gdje S1, S2- osnovna površina,
φ je diedralni kut na bazi piramide.
CH je visina krnje piramide, P1 i P2- perimetre baza, S1 i S2- osnovne površine, S strana- bočna površina, S puna- ukupna površina:
Presjek piramide ravninom paralelnom s bazom.
Presjek piramide ravninom koja je paralelna s njezinom bazom (okomito na visinu) dijeli visinu i bočne bridove piramide na proporcionalne segmente.
Odsjek piramide ravninom koja je paralelna s njezinom bazom (okomito na visinu) je mnogokut koji je sličan osnovici piramide, a koeficijent sličnosti tih poligona odgovara omjeru njihovih udaljenosti od vrha od piramide.
Površine presjeka koji su paralelni s bazom piramide odnose se kao kvadrati njihovih udaljenosti od vrha piramide.
Sposobnost izračunavanja volumena prostornih likova važna je u rješavanju niza praktičnih problema u geometriji. Jedan od najčešćih oblika je piramida. U ovom ćemo članku razmotriti piramide, pune i skraćene.
Piramida kao trodimenzionalni lik
Svi znaju za egipatske piramide, tako da imaju dobru ideju o kojoj će se figuri raspravljati. Ipak, egipatske kamene strukture samo su poseban slučaj ogromne klase piramida.
Geometrijski objekt koji se razmatra u općem slučaju je poligonalna baza, čiji je svaki vrh povezan s nekom točkom u prostoru koja ne pripada osnovnoj ravnini. Ova definicija vodi do figure koja se sastoji od jednog n-kuta i n trokuta.
Bilo koja piramida sastoji se od n+1 stranica, 2*n bridova i n+1 vrhova. Budući da je figura koja se razmatra savršeni poliedar, broj označenih elemenata pokorava se Eulerovoj jednadžbi:
2*n = (n+1) + (n+1) - 2.
Poligon koji se nalazi u podnožju daje ime piramide, na primjer, trokutasta, peterokutna i tako dalje. Skup piramida s različitim bazama prikazan je na slici ispod.
Točka u kojoj je spojeno n trokuta figure naziva se vrhom piramide. Ako se okomica spusti s nje na bazu i siječe je u geometrijskom središtu, tada će se takav lik nazvati ravnom linijom. Ako ovaj uvjet nije ispunjen, tada postoji nagnuta piramida.
Prava figura kojoj je osnovica jednakostraničnog (jednakokutnog) n-kuta naziva se pravilna.
Formula volumena piramide
Za izračun volumena piramide koristimo se integralnim računom. Da bismo to učinili, podijelimo lik sekansnim ravninama paralelnim s bazom u beskonačan broj tankih slojeva. Donja slika prikazuje četverokutnu piramidu visine h i stranice duljine L, u kojoj je tanki presječni sloj označen četverokutom.
Površina svakog takvog sloja može se izračunati formulom:
A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .
Ovdje je A 0 područje baze, z je vrijednost okomite koordinate. Vidi se da ako je z = 0, tada formula daje vrijednost A 0 .
Da biste dobili formulu za volumen piramide, trebali biste izračunati integral po cijeloj visini figure, to jest:
V = ∫ h 0 (A(z)*dz).
Zamjenom ovisnosti A(z) i izračunavanjem antiderivacije dolazimo do izraza:
V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.
Dobili smo formulu za volumen piramide. Da biste pronašli vrijednost V, dovoljno je pomnožiti visinu figure s površinom baze, a zatim rezultat podijeliti s tri.
Imajte na umu da je dobiveni izraz valjan za izračunavanje volumena piramide proizvoljnog tipa. To jest, može biti nagnut, a njegova baza može biti proizvoljan n-kut.
i njegov volumen
Opća formula za volumen dobivena u gornjem odlomku može se precizirati u slučaju piramide s pravilnom bazom. Područje takve baze izračunava se sljedećom formulom:
A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).
Ovdje je L duljina stranice pravilan poligon s n vrhova. Simbol pi je broj pi.
Zamjenom izraza za A 0 u opću formulu dobivamo volumen pravilne piramide:
V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).
Na primjer, za trokutastu piramidu, ova formula dovodi do sljedećeg izraza:
V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.
Za pravilnu četverokutnu piramidu, formula volumena ima oblik:
V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.
Određivanje volumena pravilnih piramida zahtijeva poznavanje strane njihove baze i visine figure.
Piramida krnja
Pretpostavimo da smo uzeli proizvoljnu piramidu i odrezali joj dio bočne plohe koji sadrži vrh. Preostala figura naziva se krnja piramida. Već se sastoji od dvije n-kutne baze i n trapeza koji ih spajaju. Ako je rezna ravnina bila paralelna s bazom figure, tada se formira krnja piramida s paralelnim sličnim bazama. Odnosno, duljine stranica jedne od njih mogu se dobiti množenjem duljina druge s nekim koeficijentom k.
Na gornjoj slici prikazan je skraćeni pravilan.Vidi se da mu gornju bazu, kao i donju, čini pravilan šesterokut.
Formula koja se može izvesti koristeći integralni račun sličan gornjem je:
V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).
Gdje su A 0 i A 1 površine donje (velike) odnosno gornje (male) baze. Varijabla h označava visinu krnje piramide.
Volumen Keopsove piramide
Zanimljivo je riješiti problem određivanja volumena najveće egipatske piramide.
Godine 1984. britanski egiptolozi Mark Lehner i Jon Goodman ustanovili su točne dimenzije Keopsove piramide. Njegova izvorna visina bila je 146,50 metara (trenutno oko 137 metara). Prosječna duljina svake od četiri strane strukture bila je 230,363 metra. Baza piramide je kvadratna s velikom točnošću.
Odredimo pomoću navedenih brojki volumen ovog kamenog diva. Budući da je piramida pravilan četverokut, onda za nju vrijedi formula:
Ubacivanjem brojeva dobivamo:
V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.
Volumen Keopsove piramide je gotovo 2,6 milijuna m 3. Za usporedbu, napominjemo da olimpijski bazen ima volumen od 2,5 tisuće m 3. Odnosno, da bi se napunila cijela Keopsova piramida, bit će potrebno više od 1000 takvih bazena!