تبدیل یک سیستم مختصات وابسته تبدیل فضای مختصات تبدیل مختصات برای آدمک ها

انگلیسی:ویکی پدیا سایت را امن تر می کند. شما از یک مرورگر وب قدیمی استفاده می کنید که در آینده نمی تواند به ویکی پدیا متصل شود. لطفاً دستگاه خود را به روز کنید یا با سرپرست فناوری اطلاعات خود تماس بگیرید.

中文: The以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）.

اسپانیایی:ویکی‌پدیا این موقعیت مکانی است. استفاده از وب‌سایت ناوبری است که در ویکی‌پدیا در آینده ایجاد نمی‌شود. در واقع با یک مدیر اطلاعات تماس بگیرید. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

فرانسه:ویکی‌پدیا و بینتوت تقویت کننده امنیت سایت پسر. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à lorsque ce sera fait ویکی پدیا. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. اطلاعات تکمیلی به علاوه تکنیک ها و زبان انگلیسی موجود در دسترس است.

日本語: IT情報は以下に英語で提供しています。

آلمانی: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten مرورگر وب، der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

ایتالیایی:ویکی‌پدیا از rendendo il sito più sicuro است. در یک ویکی‌پدیا در آینده، در مرورگر وب باقی بمانید. به نفع خود، اطلاعاتی را در اختیار شما قرار دهید. Più in basso è موجود در aggiornamento più dettagliato e tecnico به زبان انگلیسی.

مجاری: Biztonságosabb lesz یک ویکی پدیا. A böngésző، amit használsz، nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska:ویکی پدیا گور سیدان mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. به روز رسانی در مورد مدیریت فناوری اطلاعات است. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

ما در حال حذف پشتیبانی از نسخه های پروتکل ناامن TLS، به ویژه TLSv1.0 و TLSv1.1 هستیم، که نرم افزار مرورگر شما برای اتصال به سایت های ما به آن متکی است. این معمولاً به دلیل مرورگرهای قدیمی یا تلفن های هوشمند اندرویدی قدیمی ایجاد می شود. یا ممکن است تداخل نرم افزار "Web Security" شرکتی یا شخصی باشد که در واقع امنیت اتصال را کاهش می دهد.

برای دسترسی به سایت های ما باید مرورگر وب خود را ارتقا دهید یا این مشکل را برطرف کنید. این پیام تا 1 ژانویه 2020 باقی خواهد ماند. پس از آن تاریخ، مرورگر شما نمی‌تواند با سرورهای ما ارتباط برقرار کند.

ابتدا اجازه دهید تعریف کنیم که تبدیلات چیست؟ فرض کنید یک مدل داریم (برای سادگی، بگذارید مثلث باشد). و سه فضای مختصات: فضای شی (که در آن این مثلث توضیح داده شده است)، فضای جهان و فضای دوربین. بنابراین، تبدیل بیان مختصات یک جسم واقع در یک سیستم مختصات (شیء)، با استفاده از مختصات یک سیستم مختصات دیگر (اول جهان، و سپس محفظه) است.

همانطور که قبلاً نوشتم، استفاده از فضاهای مختصات مختلف، ایجاد دنیای مجازی را آسان تر می کند. اشیاء در فضای شی ایجاد می شوند و هر جسم فضای مختصات خود را دارد. فضای جهانی تمام اشیاء دنیای مجازی را به هم متصل می کند و به شما اجازه می دهد تا چیزهای بسیار دشوار را بسیار ساده بسازید (مثلاً اجسام متحرک). پس از ایجاد صحنه و جابجایی همه اشیا، مختصات جهان به فضای مختصات دوربین تبدیل می شود. ما فقط از یک دوربین استفاده خواهیم کرد، اما در شرایط واقعی امکان ایجاد چندین دوربین وجود دارد. به عنوان مثال، چندین دوربین در بازی درخشان Earth 2150: Escape from the blue سیاره استفاده شد.

بنابراین من در مورد چه چیزی صحبت می کنم: تبدیل ها برای استفاده از فضاهای مختصات متعدد ضروری هستند.

ابتدا، بیایید چیزی در مورد بردارها به خاطر بسپاریم. شکل زیر در این امر به ما کمک می کند:

آنچه در اینجا می بینیم: فضای مختصات جهان توسط تبرها تشکیل شده است x، y، z. بردارهای واحد من, j, کبردارهای واحد یا بردارهای پایه فضای مختصات جهان نامیده می شوند. با استفاده از مجموع این بردارها می توانید هر بردار را در فضای مختصات جهان بدست آورید.

v- برداری که مبدا مختصات جهان و مبدا مختصات شی را به هم متصل می کند. طول بردار v برابر است با فاصله بین مبدا مختصات جهان و مبدا مختصات جسم. شکل برداری را در نظر بگیرید v=(5,2,5):

v= x* من+ y* j+ z* ک = 5*من + 2*j + 5*ک

همانطور که در بالا نوشتم، با کمک بردارهای پایه می توانید هر نقطه (بردار) یک فضای معین را نشان دهید، چیزی که این معادله نشان می دهد.

بردارها پ,q,r- بردارهای پایه فضای شی. لطفا توجه داشته باشید که من,j,کلزوما برابر نخواهد بود پ,q,r.

در این شکل، تعدادی از جزئیات را حذف کرده ام: در فضای مختصات جسم، سه نقطه مشخص شده است که یک مثلث را تشکیل می دهند. علاوه بر این، دوربین را که به سمت مثلث هدایت می شود، نشان ندادم.

تبدیل مختصات خطی با استفاده از ماتریس

ابتدا به بردارهای واحد نگاه می کنیم من,j,ککه در جهت با محورهای مختصات فضای جهان منطبق است و بردار واحد یا بردار پایه فضای جهان نامیده می شود.

بیایید این بردارها را به صورت مختصات به صورت ماتریس بنویسیم:

من= [ i x i y i z ] = [ 1 0 0 ] j= [ j x j y j z ] = [ 0 1 0 ] ک= [ k x k y k z ] = [ 0 0 0 ]

در اینجا بردارها با ماتریس های 1x3 (ماتریس ردیف) نشان داده می شوند.

ما می توانیم این بردارهای پایه را با استفاده از یک ماتریس بنویسیم:

و حتی، آنچه بسیار مهمتر است، می توانیم این بردارها را به صورت زیر بنویسیم:

همانطور که می بینید، نتیجه یک ماتریس واحد به اندازه 3x3 یا 4x4 است.

به نظر می رسد، چه اشکالی دارد؟ فقط فکر کنید، ممکن است چند بردار پایه احمقانه فضا را در یک ماتریس بنویسید. اما نه، شما "فکر نمی کنید"!!! اینجاست که یکی از وحشتناک ترین رازهای برنامه نویسی سه بعدی پنهان شده است.

همانطور که در بالا نوشتم، هر نقطه ای که در دنیای مجازی وجود دارد را می توان به صورت برداری نوشت:

v= x* من+ y* j+ z* ک

جایی که v- نقطه در فضا، x، y، z - مختصات نقطه v، آ من,j,ک- بردارهای پایه فضا. توجه کنید که ما در اینجا در مورد یک نقطه صحبت می کنیم، اما ما به یک بردار نگاه می کنیم. امیدوارم به خاطر داشته باشید که یک بردار و یک نقطه اساساً یک چیز هستند.

فرمول بالا شکل برداری یک بردار نامیده می شود. نام دیگری وجود دارد - ترکیبی خطی از بردارها. اتفاقاً این درست است.

حالا بیایید دوباره به بردار نگاه کنیم v. بیایید آن را در یک ماتریس ردیف بنویسیم: v = [ 5 2 5 ]

توجه داشته باشید که طول برداری vفاصله مبدا فضای مختصات جهان تا مبدأ فضای مختصات جسم است.

بیایید سعی کنیم این بردار را در ماتریسی ضرب کنیم که در آن بردارهای پایه فضای جهان نوشته شده است (امیدوارم فرمول ضرب ماتریس را به خاطر داشته باشید):

در نتیجه معادله زیر را بدست می آوریم:

v M = [ (xi x + yj x + zk x) (xi y + yj y + zk y) (xi z +yj z + zk z) ]

ما یک وکتور گرفتیم. آن ها حاصل ضرب یک بردار در یک ماتریس یک بردار است. در این حالت بردار تغییر نکرده است. اما اگر عناصر ماتریس یک (روی مورب اصلی) و صفر (همه عناصر دیگر) نباشند، بلکه تعدادی اعداد دیگر باشند، بردار تغییر می کند. بنابراین، می توان گفت که ماتریس M یک تبدیل فضاهای مختصات را انجام می دهد. فرمول کلی را در نظر بگیرید:

a، b بردار هستند، M ماتریس تبدیل فضاهای مختصات است. فرمول را می توان به صورت زیر خواند: "ماتریس M نقطه a را به نقطه b تبدیل می کند."

برای وضوح، اجازه دهید به یک مثال نگاه کنیم. ما باید مختصات را از فضای شی (p,q) به فضای جهانی (i,j) تبدیل کنیم:

من,j- بردارهای اساسی فضای جهان، پ,q- بردارهای پایه فضای شی. در تصویر می بینید که فضای مختصات شی به اندازه 45- درجه حول محور z چرخیده است (در تصویر قابل مشاهده نیست). علاوه بر این، بردارها q,پ 1.5 برابر بردار بیشتر من,j، به این معنی که اشیاء تعریف شده در فضای شی در فضای جهان یک و نیم برابر کوچکتر به نظر می رسند.

برای تجسم نحوه نگاه کردن مدل فضای شی پس از تبدیل، می توانید یک قاب برای بردارها اضافه کنید من,j:

شما می توانید همان قاب را برای پ,q، اما من نقاشی را به هم ریختم.

حال، فرض کنید یک مثلث در فضای جسم رسم کرده‌ایم (شکل a). در فضای جهان، این مثلث 45 درجه می چرخد ​​و یک سوم کاهش می یابد (شکل ب):

حالا بیایید تمام عناصر پازل را جمع آوری کنیم: همانطور که می دانیم، تبدیل را می توان با استفاده از یک ماتریس انجام داد. سطرهای ماتریس ها بردارهای پایه هستند. مختصات بردارهای پایه فضای مختصات جهان در فضای جسم به شرح زیر است:

من = [ 0.473 0.473 ] j = [ -0.473 0.473 ]

چگونه مختصات را فهمیدیم؟ اول، می دانیم که فضاهای مختصات نسبت به یکدیگر 45 درجه می چرخند. ثانیاً، بردارهای پایه فضای شی 1.5 برابر بردارهای پایه فضای جهان هستند. با دانستن این موضوع به راحتی مختصات بردارها را محاسبه کردیم من,j.

در نتیجه، ماتریس تبدیل زیر را دریافت می کنیم (در این مورد، چرخش یا چرخش):

یا در فضای سه بعدی:

همه مقادیر تقریبی هستند.

این ماتریسی برای تبدیل مختصات از فضای جسم به فضای اینرسی است (به شما یادآوری می کنم که بردارهای پایه فضای اینرسی با بردارهای پایه فضای جهانی منطبق هستند). برای تبدیل مثلث از فضای جسم به فضای اینرسی، باید تمام نقاط (بردار) مثلث را در ماتریس تبدیل ضرب کنید.

در مثال آخر با دو تبدیل چرخش و مقیاس پذیری مواجه شدیم. هر دوی این تبدیل ها خطی هستند.

اکنون که نمونه‌هایی از تبدیل‌های خطی را بررسی کردیم، می‌توانیم با این تعریف آشنا شویم:

تبدیل های خطی، تبدیل های مختصاتی هستند که فضاها را مخدوش نمی کنند. آن ها همه خطوط موازی موازی می مانند (اما یک استثنا وجود دارد). یا به سادگی: با تبدیل های خطی، یک مثلث هرگز به دایره یا مربع تبدیل نمی شود، بلکه همیشه یک مثلث باقی می ماند.

اکنون که تقریباً درک می کنیم که تبدیل های خطی چیست، بیایید به فرمول های خاص نگاه کنیم:

مقیاس

k 1 , k 2 , k 3 - عوامل مقیاس. اگر k 1، اشیاء افزایش می یابد.

چرخش

چرخش حول محور x:

چرخش حول محور y:

چرخش حول محور z:

به هر حال، این ماتریس (چرخش حول محور z) است که در بالا استفاده کردیم.

چرخش می تواند نه تنها در اطراف محورهایی که فضای مختصات را تشکیل می دهند، بلکه در اطراف خطوط مستقیم دلخواه نیز باشد. فرمول چرخش حول یک خط مستقیم دلخواه کاملاً پیچیده است، ما هنوز آماده بررسی آن نیستیم.

مهم‌ترین چیزی که باید از موارد بالا به خاطر بسپارید این است: ردیف‌های ماتریس تبدیل شامل بردارهای پایه فضای مختصات جدید هستند که بر حسب مختصات فضای مختصات قدیمی بیان می‌شوند. .

اگر این چیز ساده را درک کنید (اینکه ماتریس شامل بردارهای پایه فضای جدید است)، سپس با نگاه کردن به ماتریس تبدیل، به راحتی می توانید فضای مختصات جدید را ببینید.

و نکته آخر:
تبدیل های خطی نمی توانند اجسام را حرکت دهند. آن ها اجسام را می توان بزرگ یا کوچک کرد، می توان آنها را چرخاند، اما بی حرکت می مانند.

تبدیل های افینی

تبدیل های افین تبدیل های خطی با ترجمه هستند. با استفاده از تبدیل های affine می توانید اشیا را جابجا کنید.

فرمول بسیار ساده است:

A = bM + v;

جایی که b نقطه شروع، M ماتریس تبدیل خطی، a نقطه تبدیل و v بردار اتصال دو فضا است. یا به عبارت دیگر برداری است که طول آن برابر با فاصله بین دو فضای مختصات است.

در تصویر ابتدای درس، تبدیل افینی مورد نیاز است: ابتدا یک تبدیل خطی از فضای جسم به فضای اینرسی و سپس انتقال تمام نقاط فضای جسم به فضای جهان با استفاده از بردار v.

برای ساده سازی محاسبات در برنامه نویسی گرافیک سه بعدی، از بردارهای 4 بعدی، ماتریس های 4x4 و به اصطلاح مختصات همگن استفاده می شود. بعد چهارم هیچ نقشی ندارد، فقط برای ساده کردن محاسبات معرفی شده است.

همانطور که حدس زده اید یک بردار چهار بعدی از چهار جزء x، y، z و w استفاده می کند. جزء چهارم بردار مختصات همگن نامیده می شود.

نمایش یک مختصات همگن از نظر هندسی بسیار دشوار است. بنابراین یک فضای همگن سه بعدی با مختصات (x,y,w) در نظر خواهیم گرفت. بیایید تصور کنیم که یک صفحه دو بعدی در نقطه w=1 تعریف شده است. بر این اساس، یک نقطه دو بعدی در یک فضای همگن با مختصات زیر نمایش داده می شود (x,y,1). تمام نقاطی در فضا که در صفحه نیستند (در صفحاتی هستند که w != 1) را می توان با پرتاب کردن بر روی یک صفحه دو بعدی محاسبه کرد. برای این کار باید تمام اجزای این نقطه را به یک قسمت همگن تقسیم کنید. آن ها اگر w!=1، در صفحه "فیزیکی" (جایی که ما کار می کنیم و جایی که w=1) مختصات نقطه به صورت زیر خواهد بود: (x/w,y/w,w/w) یا (x/w ، y/w ، 1). به تصویر نگاه کن:

مختصات بردارها به شرح زیر است:

V 1 = [ 3 3 3 ] v 2 = [ 3 1 0 ] v 3 = [ 3 -2 -2 ]

این بردارها بر روی صفحه "فیزیکی" (w=1) به صورت زیر پیش بینی می شوند:

V 1 = [ 1 1 1 ] v 3 = [ -1.5 1 1 ]

شکل سه بردار را نشان می دهد. لطفاً توجه داشته باشید که وقتی یک نقطه در صفحه w=0 قرار دارد، آن نقطه نمی تواند بر روی صفحه فیزیکی نمایش داده شود (بردار v 2).

برای هر نقطه در صفحه فیزیکی، تعداد بی نهایت نقطه در فضای همگن وجود دارد.

در فضای چهار بعدی همه چیز دقیقاً یکسان است. ما در فضای فیزیکی کار می کنیم که w = 1: (x,y,z,1). اگر در نتیجه محاسبات، w != 1 باشد، باید تمام مختصات نقطه را به یک همگن تقسیم کنید: (x/w,y/w,z/w,w/w) یا (x/ w,y/w,z/w,1). یک مورد خاص نیز وجود دارد که w = 0 باشد. ما بعداً به این موضوع خواهیم پرداخت.

حالا بیایید به تمرین برویم: چرا لعنتی به یک مختصات همگن نیاز داریم؟

همانطور که قبلا متوجه شدیم، یک ماتریس 3x3 نشان دهنده یک تبدیل خطی است، یعنی. این شامل انتقال (حرکت) نیست. یک بردار جداگانه برای انتقال استفاده می شود (و این یک تبدیل افین است):

V = aM + b

آن ها تمام نقاط (بردارها) جسم را در ماتریس تبدیل M ضرب می کنیم تا به سیستم مختصات اینرسی (که بردارهای پایه آن با بردارهای پایه سیستم مختصات جهان منطبق است) برویم و سپس با استفاده از بردار b به فضای جهان می رسیم. . اجازه دهید یادآوری کنم که بردار b ابتدای فضای جسم و ابتدای فضای جهان را به هم متصل می کند.

بنابراین، با استفاده از چهار بعد، می توانید هر دو تبدیل خطی (چرخش، مقیاس بندی) و ترجمه را در یک ماتریس قرار دهید.

بیایید تصور کنیم که جزء چهارم همیشه برابر با یک است (اگرچه قبلاً متوجه شده ایم که اینطور نیست). اکنون تبدیل خطی را می توان با استفاده از یک ماتریس 4x4 نشان داد:

بیایید به فرمول ضرب بردارها در یک ماتریس تبدیل در فضای چهار بعدی نگاه کنیم:

V x = (xi x + yj x + zk x + w*0) v y = (xi y + yj y + zk y + w*0) v z = (xi z + yj z + zk z + w*0) v w = (x*0 + y*0 + z*0 + w*1) همانطور که می بینیم، اجزای بردار تبدیل شده با استفاده از ماتریس 4x4 با اجزای بردار تبدیل شده با استفاده از ماتریس 3x3 برابر است. جزء چهارم، همانطور که توافق کردیم، همیشه برابر با یک خواهد بود، بنابراین می توان آن را به سادگی کنار گذاشت. بنابراین، می‌توان گفت که تبدیل‌های انجام شده توسط ماتریس‌هایی با اندازه‌های 3x3 و 3x4 معادل هستند.

حالا بیایید به ماتریس انتقال نگاه کنیم:

هر بردار را از فضای جسم (به شکل ابتدای درس مراجعه کنید) در این ماتریس ضرب کنید و می توانید این بردار را در فضای مختصات جهان بیان کنید (این در صورتی است که بردارهای پایه فضاهای جسم و جهان برابر باشند).

لطفا توجه داشته باشید که این نیز یک تبدیل خطی است، فقط در فضای چهار بعدی.

با استفاده از محصول ماتریس می توانیم ماتریس چرخش و ماتریس ترجمه را ترکیب کنیم:

این ماتریس آخر دقیقاً همان چیزی است که از همان ابتدا به آن نیاز داشتیم. شما باید درک درستی از معنای دقیق تمام عناصر آن (به استثنای ستون 4) داشته باشید.

در مختصات همگن، یک نقطه برای هر ضریب مقیاس نوشته می شود. علاوه بر این، اگر نقطه ای را در مختصات همگن نشان دهیم، آنگاه مختصات دکارتی دو بعدی آن را می توان به صورت و پیدا کرد.

معنای هندسی مختصات همگن به شرح زیر است (شکل 6). نقطه دلخواه روی یک خط

برنج. 6. تفسیر هندسی مختصات همگن

بنابراین، یک تناظر یک به یک بین نقطه تولید با مختصات (x، y) و مجموعه سه گانه اعداد شکل (W×x، W×y، W)، W≠0 برقرار می شود، که اجازه می دهد تا اعداد W×x، W×y، W مختصات جدید این نقطه را در نظر بگیریم. بنابراین، مختصات همگن را می توان به عنوان تعبیه یک صفحه دو بعدی که توسط یک عامل W در صفحه z = W (در اینجا z = 1) در فضای سه بعدی مقیاس بندی شده است، نشان داد.

استفاده از مختصات همگن هنگام حل حتی ساده ترین مسائل راحت است.

اگر دستگاه نمایشگر فقط با اعداد صحیح کار می کند (یا اگر لازم است فقط با اعداد صحیح کار کنید)، برای مقدار دلخواه W (به عنوان مثال W=1) یک نقطه با مختصات یکنواخت (0.5; 0.1; 2.5) نمی تواند باشد. نمایندگی کرد . با این حال، با انتخاب منطقی W، می توان از صحیح بودن مختصات این نقطه اطمینان حاصل کرد. به طور خاص، با W=10 برای مثال مورد بررسی ما (5؛ 1؛ 25) داریم.

یک مورد دیگر. برای جلوگیری از منتهی شدن نتایج تبدیل به سرریز حسابی، برای نقطه ای با مختصات (80000؛ 40000؛ 1000)، می توانید برای مثال W=0.001 بگیرید. در نتیجه، ما (80؛ 40؛ 1) را دریافت می کنیم.

با این حال، کاربرد اصلی مختصات همگن، تبدیل‌های هندسی است، زیرا با کمک سه‌گانه مختصات همگن و ماتریس‌های مرتبه سوم، می‌توان هرگونه تبدیل وابسته را در صفحه توصیف کرد. به طور مشابه، با استفاده از چهارگانه مختصات همگن و ماتریس های مرتبه چهارم، می توانید هر تبدیلی را در فضای سه بعدی توصیف کنید.

همانطور که مشخص است، تبدیل، تغییر مقیاس و چرخش به صورت ماتریسی به صورت نوشته می شود

P' = P × S;

ترجمه به طور جداگانه (با استفاده از جمع) از مقیاس بندی و چرخش (با استفاده از ضرب) اجرا می شود. اگر نقاط را در مختصات همگن بیان کنیم، هر سه تبدیل را می توان با استفاده از ضرب انجام داد. در اینجا به تحولات دو بعدی خواهیم پرداخت.

معادلات انتقال در قالب یک ماتریس تبدیل مختصات همگن به صورت زیر نوشته می شود:

P' = P × T (dx، dy)،

.

گاهی اوقات چنین عباراتی به صورت زیر نوشته می شود:

برای مثال ترجمه دو نقطه ای را در نظر بگیرید. اجازه دهید لازم باشد نقطه P را به نقطه P در فاصله (dx1, dy1) و سپس به P'' در فاصله (dx2, dу2) منتقل کنید. کل انتقال باید برابر با فاصله (dх1+d2، dу1+dу2) باشد. بیایید داده ها را در فرم بنویسیم

P' = P × T (dx1، dy1)؛

P'' = P' × T (dx2، dy2).

با جایگزینی فرمول اول به فرمول دوم، دریافت می کنیم

P'' = P × (T (dx1، dy1) × T (dx2، dy2)).

حاصلضرب ماتریس T (dx1,dy1) ∙ T (dx2,dy2) است

بنابراین، انتقال حاصل (dx1+dx2، dy1+dy2) است. حمل های متوالی افزودنی هستند.

معادلات مقیاس بندی به صورت ماتریسی با استفاده از مختصات همگن به صورت نوشته شده است

,

.

P' = P' × S (Sx، Sy).

حاصلضرب ماتریس S(Sx1, Sy1) × S(Sx2, Sy2) است

بنابراین، پوسته ریزی های متوالی ضربی هستند.

در نهایت، معادله چرخش (در یک سیستم راست دست) را می توان به صورت نمایش داد

.

چرخش های متوالی افزایشی هستند.

ترکیب تبدیلات دو بعدی با استفاده از مختصات همگن. محصول ماتریس در موارد مختلف نامیده می شود اتحاد، اتصال، الحاقو ترکیب بندی. ما از آخرین عبارات ذکر شده استفاده خواهیم کرد.

برای مثال، چرخش یک جسم را نسبت به نقطه دلخواه P1 در نظر بگیرید. از آنجایی که ما فقط می دانیم که چگونه به دور مبدا بچرخیم، مسئله اصلی را به سه زیرمسئله تقسیم می کنیم:

ترجمه، که در آن نقطه P1 به مبدأ منتقل می شود.

دور زدن؛

ترجمه ای که در آن یک نقطه از مبدأ به موقعیت اصلی خود P1 برگردانده می شود.

توالی این تبدیل ها در شکل 1 نشان داده شده است. 7.1.

برنج. 7.1. یک شی را حول یک نقطه دلخواه بچرخانید

تحول حاصل به نظر می رسد

با استفاده از یک رویکرد مشابه، می توانید یک شی را نسبت به یک نقطه دلخواه P1 مقیاس کنید: P1 را به مبدا منتقل کنید، آن را مقیاس کنید، آن را به نقطه P1 برگردانید. تحول حاصل در این مورد به نظر می رسد

بیایید یک تحول پیچیده تر را در نظر بگیریم. بیایید فرض کنیم که باید یک شی را در مکان مورد نظر (خانه در شکل 7.2) مقیاس بندی، بچرخانیم و قرار دهیم، جایی که مرکز چرخش و مقیاس بندی نقطه P1 است.

برنج. 7.2. مثال دنباله تبدیل

دنباله تبدیل ها شامل حرکت نقطه P1 به مبدا، مقیاس بندی و چرخش و سپس انتقال از مبدا به مبدا است. موقعیت جدید P2. ساختار داده برنامه کاربردی که حاوی این تبدیل است ممکن است حاوی ضریب (های) مقیاس، زاویه چرخش و مقادیر ترجمه باشد یا ماتریس تبدیل حاصل ممکن است نوشته شود:

T (-x1، -y1) × S (Sx، Sy) × R (A) × T (x2، y2).

به طور کلی، ضرب ماتریس غیر تعویضی است. اگر M1 و M2 ترجمه، مقیاس یا چرخش ابتدایی را نشان دهند، جابجایی در موارد خاص زیر برقرار است:

M1	M2
Translate Scaling Rotate Scaling (در Sx=Sy)	Translate Zoom Rotate Rotate

ترکیب بیشتر است نمای کلی، متشکل از عملیات R، S و T، دارای یک ماتریس است

قسمت بالای 2×2 آن ماتریس چرخش و مقیاس بندی ترکیبی است، در حالی که tx و ty ترجمه خالص را توصیف می کنند. برای محاسبه P∙M به عنوان حاصل ضرب یک بردار و یک ماتریس 3 × 3، 9 عمل ضرب و 6 عمل جمع مورد نیاز است. ساختار آخرین ستون ماتریس تعمیم یافته به ما اجازه می دهد تا اقدامات واقعی انجام شده را ساده کنیم.

مشکل تحول مختصاتبه شرح زیر است: دانستن مختصات مبدا جدید و بردار مختصات جدید در سیستم قدیمی:

, , , (3)

بیان مختصات x، yنکته ها مدر سیستم مختصات قدیمی، از طریق مختصات این نکته در سیستم جدید

از فرمول (3) نتیجه می شود که

; ; . (4)

(طبق قانون مثلث).

زیرا , ، سپس با تعریف مختصات نقطه , ، یعنی ; .

سپس با استفاده از فرمول (4) به دست می آوریم:

جایی که ما پیدا می کنیم:

(5) ;

مختصات به این صورت بیان می شود x، yنقطه دلخواه مدر سیستم قدیمی از طریق مختصات آن در سیستم جدید .

فرمول (5) نامیده می شود فرمول های تبدیل یک سیستم مختصات وابسته.

ضرایب در - مختصات بردار جدید در سیستم قدیمی. ضرایب، زمانی که مختصات بردار جدید در سیستم قدیمی هستند، عبارت آزاد، مختصات مبدا جدید در سیستم قدیمی هستند:

مختصات نقطه م

در سیستم جدید

ایکس

در

=

=

+

+

+

+

جدول ماتریس انتقال از مبنا به پایه نامیده می شود.

موارد خاص تبدیل آفین

دستگاه های مختصات

1. انتقال ابتدایی.

با این تحول , ، آ (شکل 40).

بیایید مختصات بردارها را در سیستم قدیمی پیدا کنیم، i.e. , , و :

Þ Þ , ;

Þ Þ , .

سپس فرمول (5) به شکل زیر در می آید:

در باره"

برنج. 40

(7)

فرمول های (7) نامیده می شوند فرمول های جایگزینی بردارهای مختصات.

مفهوم زاویه جهت بین بردارها.

تبدیل یک سیستم مختصات مستطیلی

مفهوم زاویه جهت بین بردارها در یک صفحه جهت دار معرفی شده است.

بگذارید و بردارهای غیر صفر باشند که به ترتیب مشخصی مشخص شده اند (- بردار اول، - بردار دوم).

اگر || ، آن زاویه جهت بین بردار و بردارتماس گرفت

اندازه , اگر پایه , - راست;

اندازه ، اگر مبنا باقی بماند.

اگر ، آن زاویه جهتبین آنها برابر در نظر گرفته می شود اگر ، سپس (شکل 42).

دو سیستم مختصات دکارتی مستطیلی و را در نظر بگیرید . اجازه دهید M(x;y) V V . از آنجایی که یک سیستم مختصات مستطیلی یک مورد خاص از یک وابسته است، می توانیم از فرمول (5) از §12 استفاده کنیم، اما ضرایب، , دیگر نمی تواند خودسرانه باشد.

بیایید مختصات بردارها را در سیستم قدیمی پیدا کنیم. بیایید دو مورد را در نظر بگیریم.

1) پایه ها، و، به طور یکسان جهت گیری شده اند (شکل 43).

الف 1

آ

که در

در 1

در باره"

برنج. 44

آ

آ

مثلث های قائم الزاویه و از نظر هیپوتانوز و زاویه حاد برابر است (
، از این رو، و .

از جانب ما پیدا می کنیم:

از این رو، .

از این رو، . سپس فرمول (5) به شکل زیر در می آید:

توجه داشته باشید که تعیین کننده ماتریس انتقال از مبنا به پایه،

.

2) پایه ها و , مخالف جهت گیری هستند (شکل 45).

در باره

در باره"

برنج. 45

در باره

در باره"

که در

در 1

آ

الف 1

آ

برنج. 46

اجازه دهید . اجازه دهید بردارها را به یک مبدأ مشترک برسانیم در باره(شکل 46).

با استدلال مشابه مورد 1)، به دست می آوریم:

از این رو، ; .

سپس فرمول (5) به شکل زیر در می آید:

توجه داشته باشید که در این مورد، تعیین کننده ماتریس انتقال از مبنا به پایه است

فرمول های (8) و (9) را می توان ترکیب کرد:

، جایی که

.

موارد خاص تحول

سیستم مختصات مستطیلی

1. انتقال آغاز: , .

مختصات قطبی

اگر قاعده ای مشخص شده باشد که با استفاده از جفت های مرتب شده از اعداد حقیقی، موقعیت نقاط روی صفحه را بتوان تعیین کرد، آنگاه می گویند که یک سیستم مختصات در صفحه مشخص شده است. علاوه بر سیستم مختصات affine، که در §10 مورد بحث قرار گرفت، سیستم مختصات قطبی در یک هواپیما اغلب در ریاضیات استفاده می شود.

سیستم مختصات قطبی در یک صفحه جهت دار معرفی می شود.

جفت متشکل از یک نقطه در بارهو بردار واحد نامیده می شود سیستم مختصات قطبیو تعیین شده است یا . جهت مستقیم تماس گرفت محور قطبی، نقطه در باره- قطب(شکل 48).

بدین ترتیب، . اگر ممصادف است با در باره، آن . برای هر نقطه مشعاع قطبی آن

اگر ممنطبق با قطب در باره، سپس j تعریف نشده است. از تعریف زاویه جهت بین بردارها (نگاه کنید به §13) نتیجه می شود که زاویه قطبی

آر

برنج. 51

م

j

M 1

اجازه دهید فرمول هایی را برای انتقال از مختصات قطبی به مختصات دکارتی مستطیلی و بالعکس استخراج کنیم.

اجازه دهید یک سیستم مختصات قطبی در یک صفحه جهت‌دار باشد، , V . اجازه دهید یک بردار واحد متعامد به بردار به سیستم قطبی بچسبانیم به طوری که اساس سمت راست باشد (شکل 51).

, .

اجازه دهید M(x;y) V . سپس ؛ (شکل 51).

بدست آورد فرمول های انتقال از قطبی به مختصات مستطیلی:

بیایید دو طرف این برابری ها را مربع کنیم و اضافه کنیم:

، جایی که (ریشه با علامت "+" گرفته می شود، زیرا ). Þ Þ
;
.

آ

در باره

V

برنج. 52

اظهار نظر . هنگام حل مسائل مربوط به انتقال از مختصات دکارتی مستطیلی به مختصات قطبی، کافی نیست که فقط یا فقط ، زیرا تعیین بی ابهام زاویه قطبی از یک تابع مثلثاتی غیرممکن است: در بازه دو زاویه با کسینوس یکسان (دو زاویه با سینوس های یکسان) وجود دارد (شکل 52). بنابراین، فقط در صورت محاسبه همزمان می توانید زاویه قطبی j را به درستی پیدا کنید و .