سطح مرتبه اول چیست؟ سطوح جبری مرتبه اول. تفاوت بین این ماده مرجع و آنالوگ چیست؟

§7. صفحه به عنوان سطح درجه اول. معادله کلی هواپیما. معادله صفحه ای که از نقطه ای عمود بر یک بردار معین می گذرد بیایید یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی Oxyz را در فضا معرفی کنیم و یک معادله درجه یک (یا معادله خطی) را برای x، y، z در نظر بگیریم: (7.1) Ax  توسط  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0 . قضیه 7.1. هر صفحه ای را می توان در یک سیستم مختصات مستطیلی دلخواه با معادله ای از شکل (7.1) تعریف کرد. درست همانطور که در مورد یک خط در یک صفحه، قضیه معکوس قضیه 7.1 معتبر است. قضیه 7.2. هر معادله ای از شکل (7.1) یک صفحه در فضا را تعریف می کند. اثبات قضایای 7.1 و 7.2 را می توان مشابه با اثبات قضایای 2.1، 2.2 انجام داد. از قضایای 7.1 و 7.2 نتیجه می شود که صفحه و فقط آن سطحی از مرتبه اول است. معادله (7.1) را معادله کلی هواپیما می نامند. ضرایب  آن A، B، C به صورت هندسی به عنوان مختصات بردار n عمود بر صفحه تعریف شده توسط این معادله تفسیر می شود. این بردار  n(A, B, C) بردار نرمال صفحه داده شده نامیده می شود. معادله (7.2) A(x  x0)  B(y  y0)  C (z  z0)  0 برای همه مقادیر ممکن ضرایب A، B، C همه صفحاتی را که از نقطه M 0 عبور می کنند، تعریف می کند. x0، y0، z0). به آن معادله یک دسته هواپیما می گویند. انتخاب ارزش های خاص A, B, C در (7.2) به معنای انتخاب صفحه P از اتصال عبوری از نقطه M 0 عمود بر  به بردار داده شده n (A, B, C) است (شکل 7.1). مثال 7.1. معادله صفحه ای را بنویسید که از نقطه   А(1، 2، 0) موازی با بردارهای a  (1، 2،–1)، b  (2، 0، 1) عبور می کند.    بردار نرمال n به P متعامد با بردارهای داده شده a و b است (شکل 7.2)،   بنابراین برای n می توانید n بردار آنها را حاصل کنید: А    Р i j k 2 n  a  1 2  1  i  j 2 1  k 12 0  0 1 2 0 1 n   a    b 2i  3 j  4k . جایگزین مختصات شکل. 7.2. به عنوان مثال 7.1 P M0  نقطه M 0 و بردار n در معادله (7.2)، شکل. 7.1. به معادله معادله بسته نرم افزاری P: 2(x  1)  3(y  2)  4z  0 یا P: 2x  3y  4z  4  0 .◄ ضریب B اگر دو عدد از ضریب A ، C از معادله (7.1) برابر با صفر است، صفحه موازی با یکی از صفحات مختصات را تعریف می کند. به عنوان مثال، وقتی A  B  0، C  0 - صفحه P1: Cz  D  0 یا P1: z   D / C (شکل 7.3). موازی با صفحه Oxy است زیرا بردار نرمال آن  n1(0, 0, C) بر این صفحه عمود است. برای A  C  0 , B  0 یا B  C  0 , A  0 معادله (7.1) صفحات P2 را تعریف می کند: با  D  0 و P3: Ax  D  0 موازی با مختصات Oyz و Oyz. ، به طوری که   بردارهای عادی آنها n2(0, B, 0) و n3(A, 0, 0) بر آنها عمود هستند (شکل 7.3). اگر فقط یکی از ضرایب A، B، C معادله (7.1) برابر با صفر باشد، صفحه موازی با یکی از محورهای مختصات (یا حاوی آن، اگر D  0 باشد) تعریف می‌کند. بنابراین، صفحه P: Ax  توسط  D  0 موازی با محور Oz است، z z  n1  n  n2 P1 L P O  n3 x y O P2 y P3 x 7.4. صفحه P: Ax  B y  D  0 , موازی با محور Oz شکل. 7.3. صفحات موازی با صفحات مختصات  هستند زیرا بردار نرمال آن n(A, B, 0) بر محور Oz عمود است. توجه داشته باشید که از خط L عبور می کند: Ax  توسط  D  0 در صفحه Oxy قرار دارد (شکل 7.4). هنگامی که D  0 معادله (7.1) صفحه ای را که از مبدا می گذرد تعریف می کند. مثال 7.2. مقادیر پارامتر  را بیابید که در آن معادله x  (2  2) y  (2    2)z    3  0 صفحه P را به یک تعریف می کند: از هواپیماهای مختصات؛ ب) موازی با یکی از محورهای مختصات. ج) عبور از مبدأ مختصات. اجازه دهید این معادله را به شکل بنویسیم (7.3) برای هر مقدار ، معادله (7.3) صفحه خاصی را تعیین می کند، زیرا ضرایب x، y، z در (7.3) به طور همزمان ناپدید نمی شوند. الف) در معادله   0 (7. 3) صفحه P را موازی با صفحه Oxy، P: z  3 / 2، و با   2، صفحه P 2 را موازی با صفحه Oyz، P: x  5/ 2 تعریف می کند. برای هیچ مقدار ، صفحه P با معادله (7.3) موازی با صفحه Oxz تعریف نمی شود، زیرا ضرایب x، z در (7.3) به طور همزمان ناپدید نمی شوند. ب) در   1 معادله (7.3) صفحه P را موازی با محور Oz، P: x  3y  2  0 تعریف می کند. برای سایر مقادیر پارامتر ، صفحه ای موازی تنها با یکی از محورهای مختصات تعریف نمی کند. ج) برای   3 معادله (7.3) صفحه P را که از مبدأ عبور می کند، P: 3x  15 y  10 z  0 تعریف می کند. ◄ مثال 7.3. معادله صفحه P را بنویسید که از: الف) نقطه M (1,  3, 2) موازی با محور صفحه Oxy. ب) محور گاو و نقطه M (2, - 1, 3) .   a) برای بردار نرمال n تا Р در اینجا می توانیم بردار k (0، 0،1) را بگیریم - بردار واحد محور Oz، زیرا بر صفحه Oxy عمود است. مختصات نقطه  M (1,  3, 2) و بردار n را با معادله (7.2) جایگزین می کنیم، معادله صفحه P را به دست می آوریم: z 3  0.   b) بردار نرمال n به P متعامد بردارهای i (1، 0، 0) و OM (2،  1، 3) است،  بنابراین حاصلضرب برداری آنها را می توان به صورت n در نظر گرفت: 01   3 j  k . 2  1 3 

1.7.1. سطح.

یک صفحه دلخواه P را بر اساس دکارتی و بردار نرمال (عمود) به آن n (A, B, C) را در نظر بگیرید. در این صفحه یک نقطه ثابت دلخواه M0 (x0، y0، z0) و یک نقطه فعلی M(x، y، z) در نظر بگیرید.

بدیهی است ?`n = 0 (1.53)

(برای j = p /2 به (1.20) مراجعه کنید). این معادله هواپیما به صورت برداری است. با عبور از مختصات، معادله کلی هواپیما را به دست می آوریم

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 ?Ax + Vy + Cz + D = 0 (1.54).

(D = –Ах0 – Ву0 – Сz0؛ А2 + В2 + С2 ? 0).

می توان نشان داد که در مختصات دکارتی هر صفحه با یک معادله درجه یک تعریف می شود و بالعکس هر معادله درجه اول یک صفحه را تعریف می کند (یعنی یک صفحه یک سطح مرتبه اول است و یک سطح مرتبه اول یک صفحه است).

چند مورد خاص از موقعیت هواپیما را که با معادله عمومی ارائه می شود در نظر بگیرید:

A \u003d 0 - موازی با محور Ox. B \u003d 0 - موازی با محور Oy؛ C \u003d 0 - موازی با محور Oz. (این گونه صفحات عمود بر یکی از صفحات مختصات را برجستگی می گویند). D = 0 - از مبدا عبور می کند. A = B = 0 - عمود بر محور Oz (موازی با صفحه xOy)؛ A = B = D = 0 - با صفحه xOy منطبق است (z = 0). همه موارد دیگر به طور مشابه تجزیه و تحلیل می شوند.

اگر D؟ 0، سپس با تقسیم هر دو قسمت (1.54) بر -D، می توانیم معادله هواپیما را به شکل زیر در آوریم: (1.55)

a \u003d - D / A، b \u003d - D / B، c \u003d - D / C. رابطه (1.55) معادله صفحه در پاره ها نامیده می شود. a، b، c عبارتند از ابسیسا، مختصات و کاربرد نقاط تقاطع صفحه با محورهای Ox، Oy، Oz، و |a|، |b|، |c| طول قطعاتی است که توسط صفحه بر روی محورهای مربوطه از مبدا قطع شده است.

ضرب دو طرف (1.54) در ضریب نرمال کننده (mD xcosa + ycosb + zcosg - p = 0 (1.56)

که در آن cosa \u003d Am، cosb \u003d Bm، cosg \u003d Cm جهت کسینوس های نرمال به صفحه هستند، p فاصله تا هواپیما از مبدا است.

اجازه دهید نسبت های اصلی مورد استفاده در محاسبات را در نظر بگیریم. زاویه بین صفحات A1x + B1y + C1z + D1 = 0 و A2x + B2y + C2z + D2 = 0 را می توان به راحتی به عنوان زاویه بین نرمال های این صفحات `n1 (A1, B1, C1) تعریف کرد.

`n2 (A2, B2, C2): (1.57)

از (1.57) به راحتی می توان شرط عمود بودن را به دست آورد

A1A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 (1.58)

و موازی سازی (1.59) هواپیماها و عادی آنها.

فاصله از نقطه دلخواه M0(x0، y0، z0) تا صفحه (1.54)

با عبارت تعریف می شود: (1.60)

معادله صفحه ای که از سه نقطه M1 (x1، y1، z1)، M2 (x2، y2، z2)، M3 (x3، y3، z3) می گذرد به راحتی با استفاده از شرایط همسانی (1.25) بردارها نوشته می شود. که در آن M(x, y , z) نقطه فعلی صفحه است.

(1.61)

ما معادله ای از هواپیماها را ارائه می کنیم (یعنی

مجموعه هواپیماهایی که از یک خط مستقیم عبور می کنند) - استفاده از آن در تعدادی از مشکلات راحت است.

(A1x + B1y + C1z + D1) + l(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (1.62)

جایی که l Î R، و در پرانتز معادلات هر دو صفحه تیر هستند.

سوالات تستی

1) چگونه می توان بررسی کرد که نقطه داده شده روی سطح داده شده توسط معادله داده شده قرار دارد؟

2) ویژگی مشخصه ای که معادله صفحه در سیستم مختصات دکارتی را از معادله سطوح دیگر متمایز می کند چیست؟

3) صفحه نسبت به سیستم مختصات چگونه است، اگر معادله آن شامل: الف) یک جمله آزاد باشد. ب) یکی از مختصات؛ ج) دو مختصات؛ د) یکی از مختصات و یک عبارت آزاد. ه) دو مختصات و یک جمله آزاد؟

1) امتیاز М1(0,-1,3) و М2(1,3,5) داده شده است. معادله صفحه ای که از نقطه M1 می گذرد و عمود بر بردار است را بنویسید پاسخ صحیح را انتخاب کنید:

آ) ; ب) .

2) زاویه بین صفحات و . پاسخ صحیح را انتخاب کنید:

الف) 135 درجه، ب) 45 درجه

1.7.2. سر راست. هواپیماهایی که نرمال آنها خطی نیستند یا قطع می کنند، خط را به طور منحصر به فرد به عنوان خط تقاطع آنها تعریف می کنند که به صورت زیر نوشته می شود:

از طریق این خط می توان بی نهایت صفحات را ترسیم کرد (مدادی از صفحات (1.62))، از جمله مواردی که آن را بر روی صفحات مختصات قرار می دهند. برای به دست آوردن معادلات آنها، تبدیل (1.63)، حذف یک مجهول از هر معادله و کاهش آنها، به عنوان مثال، به شکل کافی است. (1.63`).

بیایید کار را تعیین کنیم - یک خط مستقیم از نقطه M0 (x0، y0، z0) موازی با بردار S (l، m، n) بکشیم (به آن راهنما می گویند). یک نقطه دلخواه M(x,y,z) روی خط مورد نظر بگیرید. بردارها و باید خطی باشد، از آنجا معادلات متعارف خط را بدست می آوریم.

(1.64) یا (1.64`)

که در آن cosa، cosb، cosg کسینوس های جهت بردار 'S هستند. از (1.64) به راحتی می توان معادله یک خط مستقیم را که از نقاط داده شده M1 (x1, y1, z1) و M2 (x2, y2, z2) عبور می کند به دست آورد (موازی است. )

یا (1.64``)

(مقادیر کسری در (1.64) برای هر نقطه از خط برابر است و می توان آن را با t نشان داد، جایی که t R. این به شما امکان می دهد معادلات پارامتریک خط مستقیم را وارد کنید

هر مقدار پارامتر t مربوط به مجموعه ای از مختصات x، y، z یک نقطه روی خط یا (در غیر این صورت) - مقادیر مجهولاتی است که معادلات خط را برآورده می کند.

استفاده از قبل خواص شناخته شدهبردارها و عملیات روی آنها و معادلات متعارف خط مستقیم، به راحتی می توان فرمول های زیر را به دست آورد:

زاویه بین خطوط: (1.65)

شرط موازی (1.66).

عمود l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1.67) خط.

زاویه بین یک خط و یک صفحه (به راحتی با پیدا کردن زاویه بین خط و نرمال به صفحه به دست می آید که به p / 2 مورد نظر می رسد)

(1.68)

از (1.66) شرط موازی Al + Bm + Cn = 0 (1.69) را بدست می آوریم.

و عمود بر (1.70) یک خط و یک صفحه. شرط لازم و کافی برای قرار گرفتن دو خط در یک صفحه را می توان به راحتی از شرط همسانی (1.25) بدست آورد.

(1.71)

سوالات تستی

1) راه های تعیین خط مستقیم در فضا چیست؟

1) معادلات خط مستقیمی را بنویسید که از نقطه A (4،3،0) و موازی بردار می گذرد. پاسخ صحیح را مشخص کنید:

آ) ; ب) .

2) معادلات خط مستقیمی که از نقاط A(2،-1،3) و B(2،3،3) می گذرد را بنویسید. پاسخ صحیح را مشخص کنید.

آ) ; ب) .

3) نقطه تلاقی خط را با صفحه پیدا کنید: , . پاسخ صحیح را مشخص کنید:

الف) (6،4،5)؛ ب) (6, -4.5).

1.7.3. سطوح مرتبه دوم. اگر یک معادله خطی در یک پایه دکارتی سه بعدی به طور منحصر به فرد یک صفحه را تعریف کند، هر معادله غیر خطی، حاوی x، y، z سطح دیگری را توصیف می کند. اگر معادله به نظر می رسد

Ax2 + Vy2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0، سپس یک سطح مرتبه دوم را توصیف می کند (معادله سطح مرتبه دوم عمومی). با انتخاب یا تبدیل مختصات دکارتی، معادله را می توان تا حد امکان ساده کرد و به یکی از اشکال زیر منجر شد که سطح مربوطه را توصیف می کند.

1. معادلات متعارف استوانه های مرتبه دوم، که مولدهای آنها موازی با محور Oz هستند، و منحنی های مرتبه دوم مربوطه در صفحه xOy به عنوان راهنما عمل می کنند:

(1.72), (1.73)، y2 = 2px (1.74)

استوانه های بیضوی، هذلولی و سهموی به ترتیب.

(به یاد بیاورید که سطح استوانه ای به سطحی گفته می شود که با حرکت یک خط مستقیم به نام ژنراتیکس موازی با خود به دست می آید. خط تقاطع این سطح با صفحه عمود بر ژنراتیکس راهنما نامیده می شود - شکل را تعیین می کند. از سطح).

بر اساس قیاس، می توان معادلات همان سطوح استوانه ای را با ژنراتورهای موازی با محور Oy و محور Ox یادداشت کرد. راهنما را می توان به عنوان خط تقاطع سطح سیلندر و صفحه مختصات مربوطه تعریف کرد. سیستم معادلات فرم:

2. معادلات یک مخروط مرتبه دوم با راس در مبدا:

(1.75)

(محورهای مخروط به ترتیب محورهای Oz، Oy و Ox هستند)

3. معادله متعارف بیضی: (1.76);

برای مثال موارد خاص بیضی های انقلاب هستند - سطحی که با چرخش بیضی به دست می آید حول محور اوز (زمانی که

а > с بیضی فشرده شده است، برای x2 + y2+ z2 + = r2 معادله یک کره با شعاع r است که در مرکز مبدا قرار دارد).

4. معادله متعارف هیپربولوئید یک ورق

(علامت "-" می تواند قبل از هر یک از سه عبارت در سمت چپ قرار گیرد - این فقط موقعیت سطح را در فضا تغییر می دهد). به عنوان مثال موارد خاص هیپربولوئیدهای یک صفحه ای از انقلاب هستند سطحی است که با چرخش هذلولی به دست می آید حول محور Oz (محور خیالی هذلولی).

5. معادله متعارف یک هایپربولوئید دو ورق

(علامت "-" را می توان در مقابل هر یک از سه عبارت در سمت چپ قرار داد).

موارد خاص هیپربولوئیدهای دو ورقی چرخش هستند، برای مثال، سطحی که با چرخش هذلولی حول محور Oz (محور واقعی هذلولی) به دست می آید.

6. معادله متعارف پارابولوئید بیضوی

(p > 0، q > 0) (1.79)

7. معادله متعارف یک سهمی هذلولی

(p > 0، q > 0) (1.80)

(متغیر z می تواند مکان خود را با هر یک از متغیرهای x و y تغییر دهد - موقعیت سطح در فضا تغییر می کند).

توجه داشته باشید که با در نظر گرفتن مقاطع این سطوح توسط صفحات عمود بر محورهای مختصات به راحتی می توان از ویژگی ها (شکل) این سطوح ایده گرفت.

سوالات تستی

1) چه مجموعه ای از نقاط در فضا معادله را تعریف می کند؟

2) معادلات متعارف سیلندرهای مرتبه دوم چیست؟ مخروط های مرتبه دوم؛ بیضوی هایپربولوئید یک ورق؛ هایپربولوئید دو ورق؛ پارابولوئید بیضوی; پارابولوئید هذلولی؟

1) مرکز و شعاع کره را پیدا کنید و پاسخ صحیح را نشان دهید:

الف) C (1.5؛ -2.5؛ 2)، ; ب) С(1.5;2.5;2)، ;

2) نوع سطح را با معادلات مشخص کنید: . پاسخ صحیح را مشخص کنید:

الف) هایپربولوئید یک ورقه ای؛ پارابولوئید هذلولی؛ پارابولوئید بیضوی; مخروط

ب) هایپربولوئید دو ورق. پارابولوئید هذلولی؛ پارابولوئید بیضوی; مخروط

سخنرانی 2. هواپیما به عنوان یک سطح از مرتبه اول. معادلات صفحه و بررسی آنها. خط در فضا، چینش متقابل خطوط در فضا، صفحه و خط در فضا. خط روی صفحه، معادلات یک خط در یک صفحه، فاصله از یک نقطه تا یک خط در یک صفحه. منحنی های مرتبه دوم؛ استخراج معادلات متعارف، مطالعه معادلات و ساخت منحنی ها. سطوح مرتبه دوم، مطالعه معادلات متعارف سطوح. روش بخش. 1

عناصر هندسه تحلیلی § 1. صفحه. OXYZ و مقداری سطح داریم S F(x, y, z) = 0 z x (S) O y تعریف 1: معادله ای با سه متغیر معادله سطح S در فضا نامیده می شود که این معادله با مختصات هر یک برآورده شود. نقطه روی سطح قرار دارد و نه با مختصات هیچ نقطه ای روی آن قرار ندارد. 2

مثال. معادله (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) یک کره در مرکز نقطه C(a, b, c) و شعاع R. M M( x , y, z) یک نقطه متغیر است M ε (S) |CM| = RC 3

تعریف 2: سطح S سطحی از مرتبه n نامیده می شود اگر در برخی از سیستم مختصات دکارتی با یک معادله جبری درجه n ام F(x, y, z) = 0 (1) در مثال (1) به دست آید. S) - یک دایره، یک سطح از مرتبه دوم. اگر S سطحی از مرتبه n است، آنگاه F(x، y، z) یک چند جمله ای درجه n با توجه به (x، y، z) است. تنها سطح مرتبه 1 - صفحه را در نظر بگیرید. اجازه دهید معادله صفحه ای را که از نقطه M (x, y, z) می گذرد با بردار معمولی 4 بسازیم.

فرض کنید M(x,y,z) یک نقطه دلخواه (جریان) صفحه باشد. M M 0 О α یا به صورت مختصات: (2) معادله (2) - معادله صفحه ای که از نقطه M با بردار نرمال داده شده عبور می کند. پنج

د (*) (3) - معادله کامل هواپیما معادله ناقص هواپیما. اگر در رابطه (3) چندین ضریب (اما نه همزمان A، B، C) = 0 باشد، معادله ناقص نامیده می شود و صفحه α دارای تکینگی در مکان است. برای مثال، اگر D = 0 باشد، α از مبدأ عبور می کند. 6

فاصله از نقطه M 1 تا صفحه α M 1 (x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 به نقطه M 0 K 7 اعمال می شود

- فاصله از نقطه M 1 تا سطح α معادله صفحه "در بخش" بیایید معادله صفحه را ایجاد کنیم که بخش های غیر صفر را روی محورهای مختصات با مقادیر C(0, 0, c) برش می دهد. قبل از میلاد مسیح. بیایید B(0, b, 0) را به عنوان یک معادله برای نقطه A با A(a, 0, 0) 8 در نظر بگیریم.

- معادله صفحه α "در قطعات" - معادله صفحه ای که از نقطه A، عمود بر بردار معمولی 9 عبور می کند.

§ 2. معادله کلی یک خط مستقیم. یک خط مستقیم در فضا را می توان با تقاطع 2 صفحه تعریف کرد. (1) معادله یک خط مستقیم اگر ضرایب A 1، B 1، C 1 به طور همزمان با A 2، B 2، C 2 نامتناسب باشند، سیستمی به شکل (1) یک خط مستقیم را در فضا تعریف می کند. 10

معادلات پارامتری و متعارف یک خط - نقطه نقطه دلخواه نقطه M M 0 معادله پارامتری t - پارامتر 11

با حذف t بدست می آوریم: - معادله متعارفسیستم (3) حرکت یک نقطه مادی، مستطیل و یکنواخت را از موقعیت اولیه M 0 (x 0، y 0، z 0) با سرعت در جهت بردار تعیین می کند. 12

زاویه بین خطوط در فضا شرایط توازی و عمود بودن. بگذارید دو خط L 1، L 2 در فضا با معادلات متعارف آنها به دست آید: سپس مسئله تعیین زاویه بین این خطوط به تعیین زاویه کاهش می یابد.

بردارهای جهت آنها: با استفاده از تعریف حاصل ضرب اسکالر و بیان در مختصات حاصل ضرب اسکالر مشخص و طول بردارهای q 1 و q 2، به 15 می رسیم.

شرط موازی بودن خطوط l 1 و l 2 مطابق با هم خطی q 1 و q 2 است، شامل تناسب مختصات این بردارها است، یعنی به این شکل است: شرط عمود بودن از تعریف اسکالر نتیجه می گیرد. حاصلضرب و برابری آن به صفر (در cos = 0) و به شکل : l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 است. 16

زاویه بین خط و صفحه: شرایط برای موازی بودن و عمود بودن یک خط و یک صفحه صفحه P را که با معادله کلی به دست می آید در نظر بگیرید: Ax + By + Cz + D = 0 و خط L را که توسط قانون متعارف به دست می آید. معادله: 17

از آنجایی که زاویه بین خط L و صفحه P مکمل زاویه بین بردار هدایت کننده خط q = (l, m, n) و بردار نرمال صفحه n = (A, B, C) است، پس از تعریف حاصل ضرب اسکالر q n = q n cos و برابری های cos = sin (= 90 -) بدست می آید: 18

شرط موازی بودن خط L و صفحه P (که شامل این است که L به P تعلق دارد) معادل شرط عمود بودن بردارهای q و n است و = 0 حاصل ضرب اسکالر این بردارها بیان می شود: q n = 0: Al + Bm + Cn = 0. شرط عمود بودن خط L و صفحه P معادل شرط موازی بودن بردارهای n و q است و با تناسب مختصات این بردارها بیان می شود: 19

شرایط تعلق دو خط به یک صفحه دو خط در فضای L 1 و L 2 می توانند: 1) قطع شوند. 2) موازی بودن 3) آمیختگی در دو مورد اول، خطوط L 1 و L 2 در یک صفحه قرار دارند. اجازه دهید شرط تعلق به همان صفحه دو خط مستقیم را که توسط معادلات متعارف به دست آمده است، تعیین کنیم: 20

بدیهی است که برای اینکه دو خط مشخص شده به یک صفحه تعلق داشته باشند، لازم و کافی است که سه بردار = (x2 - x1، y2 - y1، z 2 - z 1); q 1 = (l 1, m 1, n 1) و q 2 = (l 2, m 2, n 2) همسطح بودند که به نوبه خود لازم و کافی است که حاصلضرب مخلوط این سه بردار = 0. 21

با نوشتن محصولات مخلوط بردارهای نشان داده شده به صورت مختصات، شرط لازم و کافی را برای تعلق دو خط L 1 و L 2 به یک صفحه بدست می آوریم: 22

شرط تعلق یک خط به صفحه یک خط و یک صفحه Ax + Vy + Cz + D = 0 باشد. این شرایط به شکل زیر است: Ax1 + Vy1 + Cz 1 + D = 0 و Al + Bm + Cn = 0 که اولی به این معنی است که نقطه M 1 (x1, y1, z 1) که خط از آن می گذرد متعلق به صفحه است و دومی شرط موازی بودن خط و صفحه است. 23

منحنی های مرتبه دوم. § 1. مفهوم معادله یک خط در یک صفحه. معادله f (x,y) = 0 معادله خط L در سیستم مختصات انتخاب شده در صورتی نامیده می شود که با مختصات هر نقطه ای که روی خط قرار دارد و نه با مختصات هر نقطه ای که روی آن قرار ندارد ارضا شود. 24

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt=" مثال: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}

خط L را خط مرتبه n می نامند اگر در برخی از سیستم مختصات دکارتی با یک معادله جبری درجه n نسبت به x و y به دست آید. ما تنها خط مرتبه 1 را می شناسیم - یک خط مستقیم: Ax + By + D = 0 منحنی های مرتبه 2 را در نظر می گیریم: بیضی، هذلولی، سهمی. معادله کلی خطوط مرتبه دوم این است: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26

تعریف بیضی (E). بیضی - مجموعه تمام نقاط صفحه که مجموع فواصل آنها تا دو نقطه ثابت صفحه F 1 و F 2 که کانون نامیده می شوند ثابت و بزرگتر از فاصله کانون ها است. ثابت 2 a را نشان می دهیم، فاصله بین کانون ها 2 c. اجازه دهید محور X را از کانون ها رسم کنیم، (a > c، a > 0، c > 0). محور Y از طریق نقاط میانی فاصله کانونی. فرض کنید M یک نقطه دلخواه از بیضی باشد، یعنی M ε Er 1 + r 2 = 2 a (1)، که در آن r 1، r 2 کانونی 27 شعاع E هستند.

ما (1) را به صورت مختصات می نویسیم: (2) این معادله یک بیضی در سیستم مختصات انتخاب شده است. با ساده سازی (2) دریافت می کنیم: b 2 = a 2 - c 2 (3) معادله متعارف بیضی است. می توان نشان داد که (2) و (3) معادل 28 هستند

بررسی شکل بیضی بر اساس معادله متعارف 1) بیضی منحنی درجه 2 است 2) تقارن بیضی. از آنجایی که x و y فقط در توان های زوج در (3) قرار می گیرند، پس بیضی دارای 2 محور و 1 مرکز تقارن است که در سیستم مختصات انتخابی با محورهای مختصات انتخابی و نقطه O منطبق است. 29

3) محل بیضی یعنی کل E در داخل مستطیلی قرار دارد که اضلاع آن x = ± a و y = ± b است. 4) تقاطع با محورها. A 1(-a; 0); A 2(a; 0); C OX: رئوس بیضی C OC: B 1(0; b); B2(0;-b); با توجه به تقارن بیضی، رفتار (↓) آن را فقط در ربع اول در نظر خواهیم گرفت. سی

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt="حل (3) با توجه به y، دریافت می کنیم: در ربع اول x > 0 و مقدار بیضی در حال کاهش است"> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}

Hyperbola (G) تعریف: Г مجموعه ای از تمام نقاط صفحه است که مدول اختلاف فواصل آن تا 2 نقطه ثابت صفحه F 1، F 2 یک مقدار ثابت است و

ساده کردن (1): (2) معادله متعارف G است. (1) و (2) معادل هستند. بررسی هذلولی بر اساس معادله متعارف 1) خط Г از مرتبه دوم 2) Г دارای دو محور و یک مرکز تقارن است که در مورد ما با محورهای مختصات و مبدا منطبق است. 3) محل هذلولی. 34

هذلولی در خارج از نوار بین خطوط x = a، x = -a قرار دارد. 4) نقاط تقاطع با محورها. OX: OY: هیچ راه حلی ندارد A 1(-a; 0); A 2(a; 0) - رئوس واقعی Г B 1(0; b); B 2(0; -b) - رئوس موهومی Г 2 a - محور واقعی Г 2 b - محور خیالی Г 35

5) مجانب هذلولی. به دلیل تقارن Γ، اجازه دهید بخش آن را در ربع اول در نظر بگیریم. با حل (2) نسبت به y، به دست می آوریم: معادله Г در ربع I x ≥ 0 نقطه متناظر Γ، یعنی در ربع اول Γ زیر این خط قرار دارد. تمام Г در یک زاویه عمودی با اضلاع 36 قرار دارد

6) می توان نشان داد که در قسمت اول G افزایش می یابد 7) طرح ساخت G

سهمی (P) d (directrix) و F (تمرکز) را روی یک صفحه در نظر بگیرید. تعریف. P - مجموعه تمام نقاط صفحه با فاصله مساوی از خط d و نقطه F (تمرکز) 39

d-directrix F-focus XOY نقطه M P سپس |MF| = |MN| (1) معادله P انتخاب شده در سیستم مختصات با ساده کردن (1) ما y 2 = 2 px (2) را دریافت می کنیم - معادله متعارف P.

تحقیق P با توجه به معادله متعارف x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41

§ 4. سیلندر. سطوح استوانه ای با ژنراتورهای موازی با محورهای مختصات از طریق نقطه x از خط L یک خط مستقیم موازی با محور OZ رسم می کنیم. سطحی که توسط این خطوط ایجاد می شود، سطح استوانه ای یا استوانه (C) نامیده می شود. هر خط موازی با محور OZ ژنراتیکس نامیده می شود. l - راهنمای سطح استوانه ای صفحه XOY. Z(x، y) = 0 (1) 42

فرض کنید M(x، y، z) یک نقطه دلخواه در سطح استوانه ای باشد. ما آن را روی L. M 0 ε L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ц y = y 0 M ϵL 0، که این است که مختصات M را برآورده می کند (1) بدیهی است که اگر M C باشد، آنگاه به نقطه M 0 ϵ L پیش بینی نمی شود و بنابراین، مختصات M معادله (1) را که C را با تعریف می کند برآورده نمی کند. یک ژنراتیکس موازی با محور OZ در فضا. به طور مشابه، می توانیم نشان دهیم که: Ф(x, z) = 0 در فضای Ц || OY 43 (y, z) = 0 در فضای Ц || تعریف می کند گاو نر

طرح ریزی یک خط فضایی در یک صفحه مختصات یک خط در فضا را می توان به صورت پارامتریک و با تقاطع سطوح مشخص کرد. یک خط یکسان را می توان با ∩ سطوح مختلف داد. اجازه دهید خط فاصله L با ∩ از دو سطح α داده شود: S 1: Ф 1(x, y, z) = 0 S 2: Ф 2 (x, y, z) = 0 معادله L Ф 1(x, y , z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 بیایید طرح L را بر روی صفحه XOY از رابطه (1) پیدا کنیم و Z را حذف کنیم. معادله را بدست می آوریم: Z(x, y) = 0 – در فضا این معادله Ц با مولد || است OZ و راهنمای L. 46

طرح ریزی: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 سطوح مرتبه دوم بیضی – معادله متعارف سطح به شکل زیر است: 1) بیضی – سطح مرتبه دوم. 2) X,Y,Z فقط در توان های زوج وارد معادله شوید => سطح دارای 3 صفحه و 1 مرکز تقارن است که در سیستم مختصات انتخاب شده با صفحات مختصات و مبدا منطبق است. 47

3) محل بیضی سطح بین || محصور شده است صفحات با معادلات x = a، x = -a. به طور مشابه، یعنی کل سطح در داخل یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل محصور شده است. x = ± a، y = ± b، z = ± c. سطح را به روش مقاطع کاوش می کنیم - عبور از سطح توسط صفحات مختصات || هماهنگ كردن. در بخش ما خطوطی را دریافت خواهیم کرد که با شکل آنها شکل سطح را قضاوت می کنیم. 48

سطح را با صفحه XOY قطع می کنیم. در بخش ما یک خط دریافت می کنیم. - بیضی a و b - نیم محورها به طور مشابه با صفحه YOZ - بیضی با نیم محورهای b و c صفحه || XOY اگر h(0, c)، آنگاه محورهای بیضی از a و b به 0 کاهش می یابد. 49

a = b = c - پارابولوئیدهای کره الف) سهمی هذلولی سطحی با معادله متعارف است: 1) سطح مرتبه دوم 2) از آنجایی که x و y فقط در توان زوج وارد معادله می شوند، سطح دارای صفحات تقارنی است که منطبق بر یک هستند. انتخاب مختصات با 50 هواپیما XOZ، YOZ.

3) سطح را به روش مقطع زین pl بررسی می کنیم. XOZ در مقطع، سهمی متقارن با محور OZ، صعودی است. مربع YOZ 51

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt="pl. ||XOY برای h > 0 هذلولی، با نیم محور واقعی در امتداد OX، برای ساعت"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}

ب) هایپربولوئید دو ورقه 1) سطح مرتبه دوم 2) دارای 3 صفحه و 1 مرکز تقارن است 3) محل سطح x 2 ≥ a 2 . |x| ≥ a (a, b, c > 0) سطح شامل دو قسمت است که در خارج از نوار بین صفحات با معادلات x = a, x = -a 4 قرار گرفته است) به روش مقاطع (به طور مستقل!) مطالعه می کنیم 57

مخروط مرتبه دوم سطحی است که معادله متعارف آن به صورت: 1) سطح مرتبه دوم 2) دارای 3 صفحه و 1 مرکز تقارن است 3) روش مقاطع pl را مطالعه می کنیم. XOY 58

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt="sq. ||XOY |h| –>∞ از 0 تا ∞ مربع YOZ جفت خط ، عبور از"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}

در فضا، هندسه تحلیلی سطوحی را مطالعه می کند که در مختصات دکارتی مستطیلی با معادلات جبری اول، دوم و غیره تعیین می شود. درجه نسبت به X,Y,Z:

Ax+By+Cz+D=0 (1)

وx²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Mx+2Ny+2Lz+K=0 (2)

و غیره. ترتیب یک معادله را ترتیب سطحی می گویند که تعریف می کند. ما قبلاً دیدیم که معادله سفارش اول(خطی) (1) همیشه تنظیم می شود سطحتنها سطح مرتبه اول است. در حال حاضر سطوح زیادی از مرتبه دوم وجود دارد. بیایید مهمترین آنها را در نظر بگیریم.

§2. سطوح استوانه ای با ژنراتورهای موازی با یکی از محورهای مختصات.

اجازه دهید مقداری خط L در صفحه XOY داده شود، برای مثال، معادله آن F(x,y)=0 (1) است. سپس مجموعه خطوط موازی با محور oz (مولدها) و عبور از نقاط L سطحی را تشکیل می دهند که به آن می گویند. سطح استوانه ای

اجازه دهید نشان دهیم که معادله (1) که شامل متغیر z نیست، معادله این سطح استوانه ای S است. یک نقطه دلخواه M(x, y, z) متعلق به S را در نظر بگیرید. L را در نقطه N قطع می کنند. نقطه N دارای مختصات N(x,y,0) است، آنها معادله (1) را برآورده می کنند، زیرا ()N متعلق به L است. اما سپس مختصات (x,y,z,) نیز (1) را برآورده می کند، زیرا حاوی z نیست. از این رو، مختصات هر نقطه از سطح استوانه ای S معادله (1) را برآورده می کند. بنابراین، F(x,y)=0 معادله این سطح استوانه ای است. منحنی L نامیده می شود راهنما (منحنی)سطح استوانه ای توجه داشته باشید که در سیستم فضایی L باید در واقع با دو معادله F(x,y)=0 , z=0 به عنوان خط تقاطع داده شود.

مثال ها:

راهنماها در صفحه چگونه بیضی، سهمی، هذلولی هستند. بدیهی است که معادلات F=(y,z)=0 و F(x,z)=0 به ترتیب سطوح استوانه ای با ژنراتورهای موازی با محورهای OX و OY را تعریف می کنند. راهنمای آنها به ترتیب در هواپیماهای YOZ و XOZ قرار دارند.

اظهار نظر.یک سطح استوانه ای لزوماً سطح درجه دوم نیست. به عنوان مثال، یک سطح استوانه ای از درجه 3 وجود دارد، و معادله y=sin(x) یک استوانه سینوسی را تعریف می کند، که هیچ ترتیبی به آن نسبت داده نمی شود، این به هیچ وجه یک سطح جبری نیست.

§3. معادله سطح انقلاب.

برخی از سطوح مرتبه دوم سطوح انقلاب هستند. بگذارید مقداری منحنی L F(y,z)=0(1) در صفحه YOZ قرار گیرد. اجازه دهید دریابیم که معادله سطح S که با چرخش منحنی (1) حول محور oz تشکیل شده است، چگونه خواهد بود.

یک نقطه دلخواه M(x,y,z) روی سطح S بگیرید. می توان آن را به دست آمده از (.) N متعلق به L در نظر گرفت، سپس کاربرد نقاط M و N برابر با (=z) است. بنابراین، ترتیب نقطه N در اینجا شعاع چرخش است، اما C (0،0، z) و بنابراین . اما نقطه N روی منحنی قرار دارد و بنابراین مختصات آن آن را برآورده می کند. به معنای (2) . معادله (2) با مختصات سطح چرخش S برآورده می شود. بنابراین (2) معادله سطح چرخش است. علائم "+" یا "-" بسته به اینکه منحنی (1) در کدام قسمت از صفحه YOZ قرار دارد، جایی که y>0 یا .

پس قاعده این است: برای یافتن معادله سطحی که از چرخش منحنی L حول محور OZ تشکیل شده است، باید متغیر y را در معادله منحنی جایگزین کنید.

معادلات سطوح چرخش حول محور OX و OY به طور مشابه تشکیل شده است.

سطح

سطحی که توسط معادله ای در یک سیستم مختصات معین تعریف می شود، مکان نقاطی است که مختصات آنها معادله داده شده F(x; y; z) = 0 را برآورده می کند.

خط در فضا

اگر معادلات F(x; y; z) = 0 و Ф (x; y; z) = 0 سطحی را تعریف می کنند، آنگاه خط L (x; y; z) = 0 را می توان به عنوان مکان نقاط مشترک تعریف کرد. به هر دو سطح (خط تقاطع سطوح)

صفحه به عنوان سطح درجه اول

حداقل سه تعریف از هواپیما وجود دارد:

1) هواپیما سطحی است که به طور کاملهر خطی که هر دو نقطه خود را به هم متصل می کند.

2) صفحه مجموعه ای از نقاط در فضا با فاصله مساوی از دو نقطه داده شده است.

و حالا در مورد یکی از اشکال معادله هواپیما.

اول، از دوران مدرسه شناخته شده است. "هر سه نقطه ای که منطبق نیستند و روی یک خط مستقیم قرار نمی گیرند، یک صفحه را مشخص می کنند و فقط یک صفحه." تصادفی نیست که یک صندلی با سه پایه کاملاً ثابت است (یعنی "تاب نمی خورد") و یک صندلی با دو یا بیش از سه پایه ثابت نیست ("سنگ"). ثانیاً، بردار عادی به صفحه آن را در فضا جهت می دهد (شکل 31 را ببینید).

اجازه دهید صفحه مورد نظر p از نقطه M 0 عمود بر بردار عبور کند، سپس

ابتدا، بردار حاصل حاصل ضرب متقاطع بردار M 0 M 2 و بردار M 0 M 1 است.

ثانیاً، بردار بر هر دو بردار M 0 M 2 و بردار M 1 M 2 عمود است. از کجا، از شرایط متعامد برداریبه دست می آوریم که حاصل ضرب اسکالر روی بردار M 0 M 2 (یا بردار M 0 M 1) برابر با صفر است. اگر نقطه M 2 دارای مختصات (x; y; z) باشد، حاصل ضرب اسکالر بردار و بردار M 0 M 2 باید برابر با صفر باشد. با در نظر گرفتن این واقعیت که بردار M 0 M 2 به صورت تعریف شده است

ما آن را دریافت می کنیم

معادله صفحه ای که از یک نقطه معین می گذرد و بر یک بردار معین عمود است

مثال 30 (به دست آوردن معادله صفحه)

معادله صفحه ای را که از نقطه M 0 (1; 1; 1) عمود بر بردار عبور می کند، بیابید.

تصمیم گیری

در مورد ما

A=1، B=1 و C=1.

x 0 = 2، y 0 = 2، z 0 = 3،

بنابراین، معادله هواپیما شکل دارد

یا بالاخره

پاسخ

صفحه مورد نظر با معادله تعیین می شود

معادله کلی هواپیما

به طور کلی، هر معادله ای از فرم

A x + B y + C z + D = 0

یک صفحه را تعریف می کند (که در آن A، B و C مختصات بردار نرمال به صفحه هستند). این شکل از معادله هواپیما «معادله عمومی هواپیما» نامیده می شود.

معادلات صفحه ناقص

اجازه دهید هواپیما با معادله کلی آن داده شود

A x + B y + C z + D = 0، (*)

1) اگر D = 0، آنگاه (*) صفحه ای را تعریف می کند که از مبدأ عبور می کند.

2) اگر A \u003d 0، سپس B y + C z + D \u003d 0 و ما یک هواپیما داریم، موازی با محور Ox(زیرا)؛

3) اگر B \u003d 0، آنگاه A x + C z + D \u003d 0 و ما یک هواپیما داریم، موازی با محور Oy(زیرا)؛

4) اگر C = 0، A x + B y + D = 0 و ما یک صفحه داریم، به موازات محور اوز(زیرا)؛

5) A = 0; B \u003d 0 ، سپس C z + D \u003d 0 و صفحه ای موازی با صفحه Oxy داریم.

6) A = 0; C \u003d 0 و سپس B y + D \u003d 0 و صفحه ای موازی با صفحه Oxz داریم.

7) B = 0; C = 0، سپس A x + D = 0 و ما یک صفحه موازی با صفحه Oyz داریم.

8) A \u003d 0 ، B \u003d 0 ، D \u003d 0 ، سپس C z \u003d 0 صفحه Oxy است.

9) A = 0، C = 0، D = 0، سپس B y = 0 صفحه Oxz است.

10) B = 0، C = 0، D = 0، سپس A z = 0 صفحه Oyz است.

درست مثل قبل با معادله کلی یک خط مستقیم در یک صفحه، اشکال دیگر معادله صفحه را می توان از معادله کلی به دست آورد. یکی از این اشکال معادله یک صفحه در قطعات است.

از معادله کلی هواپیما

A x + B y + C z + D = 0

معادله هواپیما به صورت قطعه مشخص می شود